BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHẢO SÁT ĐỒ THỊ HÀM SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN

Bài toán tìm điểm thuộc đồ thị hàm số và có tọa độ nguyên Cho đường cong C có phương trình y = fx hàm phân thức2. Hãy tìm trên C hai điểm A và B thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số sao cho

Trang 1

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHẢO SÁT ĐỒ THỊ HÀM SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN

Chủ đề: Điểm thuộc đồ thị

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng 1: Điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số

Trắc nghiệm Điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số

Chủ đề: Nhận dạng đồ thị hàm số

4 dạng bài Nhận dạng đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng 1: Cách nhận dạng đồ thị hàm số bậc 3

Dạng 2: Cách nhận dạng đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương

Dạng 3: Cách nhận dạng đồ thị hàm số phân thức

Bài tập trắc nghiệm

40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có giải chi tiết

275 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có lời giải chitiết (cơ bản - phần 1)

Trang 2

200 câu trắc nghiệm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có lời giải chitiết (nâng cao - phần 1)

Trang 3

Chủ đề: Điểm thuộc đồ thị

Dạng bài Điểm thuộc đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

I Phương pháp giải

1 Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (Cm) có phương trình y = f(x; m) Hãy tìm những điểm cốđịnh thuộc họ đường cong khi m thay đổi?

2 Bài toán tìm điểm thuộc đồ thị hàm số và có tọa độ nguyên

Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) (hàm phân thức) Hãy tìm nhữngđiểm có tọa độ nguyên của đường cong?

Phương pháp giải:

• Bước 1 Thực hiện phép chia đa thức; chia tử số cho mẫu số

• Bước 2 Lập luận để tìm ra x

Chú ý:

khi và chỉ khi (cx + d) ∈ Ư(k) Từ đó ta lập bảng

Trang 4

3 Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng

Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) Tìm những điểm thuộc đường cong(C) và đối xứng với nhau qua một điểm; qua một đường thẳng

Sử dụng tính chất hai điểm A, B đối xứng với nhau qua 1 điểm M (đường thẳngd) Khi đó; M là trung điểm AB(d là đường trung trực của AB)

4 Bài toán: Cho hàm số có đồ thị(C) Hãy tìm trên (C) hai điểm A

và B thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số (C) có tiệm cận đứng là x = -d/c Do tính chất hàm phân thức, đồthị nằm về hai phía của tiệm cận đứng Nên gọi hai số α, β là hai số dương

• Nếu A thuộc nhánh trái thì

• Nếu B thuộc nhánh phải thì

Sau đó:

tính

Sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta sẽ ra kết quả

5 Bài toán: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f(x) Tìm tọa độ điểm

M thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất (lớn nhất).

Phương pháp

Trang 5

• Gọi tọa độ M(x; y) Khi đó, tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là: d = |x|+ |y|

• Sử dụng phương pháp đánh giá, dùng bất đẳng thức hoặc xét chiều biến thiêncủa hàm số để xét tính dmax, dmin

6 Bài toán Cho đồ thị hàm số ( C) có phương trình:

Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài MI ngắn nhất (lớn nhất) - với I là điểm cho trước.

II Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 2 Tìm hai điểm trên đồ thị hàm số sao chochúng đối xứng nhau qua điểm M(-1;3)

Trang 6

* Gọi A(x0;y0) và B là điểm đối xứng với A qua điểm M(-1; 3)

⇒ M là trung điểm của AB nên B(-2 - x0; 6 - y0)

* Do A và B thuộc đồ thị hàm số (C) nên:

Từ (1) và (2) lấy vế cộng vế ta được:

Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1;-1)

A (0; -4) và (1; 3) B (2; 0) và (0; -4)

Trang 7

(theo định lý Vi-et)

Do A và B đối xứng nhau qua MN ⇔ I ∈ MN ⇔ m = -4

Suy ra (1)

Nên A(0; -4); B(2; 0)

Suy ra chọn đáp án B

Trang 8

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 9x + 4 Xác định các giá trị của m để trên đồthị hàm số có cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.

A m > 0 B m < 0

C m ≥ 0 D m ≤ 0

Hiển thị đáp án

* Giả sử M(x0; y0); N(-x0; -y0) với x0 ≠ 0 là cặp điểm đối xứng nhau qua O Do M

và N thuộc đồ thị hàm số nên ta có:

* Lấy (1) cộng với (2) vế với vế ta có: mx02 + 4 = 0 (3)

Để (3) có nghiệm khi và chỉ khi m < 0

Vậy với m < 0 thì trên đồ thị hàm số có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa

độ O có hoành độ

* Hàm số có hai điểm cực trị

⇔ Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 2

* Khi đó hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là:

Trang 9

* Để A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) ⇔ AB ⊥ (d) và trung điểm Icủa đoạn AB thuộc (d).

Một vectơ chỉ phương của (d) là a−(2;3)

Mà

* AB vuông góc với (d) ⇔ AB−.n− = 0

* Với m = 0 thì A(2;-1/3); B(0;1) suy ra trung điểm của AB là I(1; 1/3)

Thay tọa độ I vào phương trình của (d), ta được 0 = 0, suy ra I ∈ (d)

Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu của bài toán

* Với m = 4 thì A(2; 23/3); B(4; 19/3) suy ra I(3;7)

Thay tọa độ I vào phương trình (d) ta được 27 – 42 - 7 = 0 (sai) ⇒ I ∉ (d)

Vậy m = 4 không thỏa mãn yêu câu bài toán

Vậy m = 0 thỏa mãn bài toán

M đến tiệm cận đứng bằng ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồthị

A M(-4;7/5) hoặc M(2; 5) B M(4; 3) hoặc M(-2; 1)

C M(4; 3) hoặc M(2;5) D M(-4;7/5) hoặc M(-2; 1)

Trang 11

A Phương pháp giải & Ví dụ

1 Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (Cm) có phương trình y = f(x, m), trong đó f là hàm đa thứctheo biến x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2 Hãy tìm những điểm

cố định thuộc họ đường cong khi m thay đổi?

Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (Cm) không có điểm cố định

Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (Cm)

2 Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:

Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) (hàm phân thức) Hãy tìm nhữngđiểm có tọa độ nguyên của đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ củađiểm đó đều là số nguyên

Phương pháp giải:

Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số

Bước 2: Lí luận để giải bài toán

3 Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:

Trang 12

Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) Tìm những điểm đối xứng nhauqua một điểm, qua đường thẳng.

điểm đối xứng nhau qua điểmI(xI, yI)

Gọi M(a; Aa3 + Ba2 + Ca + D), N(b; Ab3 + Bb2 + Cb + D) là hai điểm trên (C) đốixứng nhau qua điểm I

Ta có:

Giải hệ phương trình tìm được a,b từ đó tìm được toạ độ M, N

Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị (C):y = Ax3 + Bx2 + Cx + D Trên đồ thị (C) tìmnhững cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ

Gọi M(a, Aa3 + Ba2 + Ca + D), N(b, Ab3 + Bb2 + Cb + D) là hai điểm trên (C) đốixứng nhau qua gốc tọa độ

Ta có:

Giải hệ phương trình tìm đượca,b từ đó tìm được toạ độ M,N

điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:y=A1x + B1

Gọi M(a; Aa3 + Ba2 + Ca + D),N(b; Ab3 + Bb2 + Cb + D) là hai điểm trên (C) đốixứng nhau qua đường thẳng d

Trang 13

(với I là trung điểm của MN và u ⃗_d là vectơ chỉ phương củađường thẳng d).

Giải hệ phương trình tìm được M, N

Bài toán tìm điểm đặc biệt khác:

Lí thuyết:

Cho điểm M(xo; yo ) và đường thẳng d: Ax + By + C = 0, thì khoảng cách từ M

Khoảng cách từ M(xo; yo ) đến tiệm cận đứng x = a là h = |xo - a|

Khoảng cách từ M(xo; yo )đến tiệm cận ngang y = b là h = |yo - b|

Chú ý: Những điểm cần tìm thường là hai điểm cực đại, cực tiểu hoặc là giao củamột đường thẳng với một đường cong (C) nào đó Vì vậy trước khi áp dụng côngthức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tại rồi tìm tọa độ của chúng

Các bài toán thường gặp:

Bài toán 1: Cho hàm số y = (ax + b)/(cx + d) (c ≠ 0,ad - bc ≠ 0) có đồ thị (C) Hãy

tìm trên (C) hai điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách

Trang 14

Nếu B thuộc nhánh phải thì xB > -d/c ⇒ xB = -d/c + β > - d/c; yB = f(xB).

Sau đó tính AB2 =(xB - xA )2 + (yB - yA)2 =[(a + β) - (a - α)]2 +(yB - yA)2

Áp dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy), ta sẽ tìm ra kết quả

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f(x) Tìm tọa độ điểm M

thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất

Gọi M(x;y)và tổng khoảng cách từ Mđến hai trục tọa độ là d thì d = |x| + |y|

Xét các khoảng cách từ Mđến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí đặc biệt: Trêntrục hoành, trên trục tung

Sau đó xét tổng quát, những điểm Mcó hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độhoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi không xét đến

Những điểm còn lại ta đưa về tìm giá trị nhỏ nhất của đồ thi hàm số dựa vào đạohàm rồi tìm được giá trị nhỏ nhất của d

Bài toán 3: Cho đồ thị (C) có phương trình y = f(x) Tìm điểm Mtrên (C) sao cho

khoảng cách từ M đến Ox bằng klần khoảng cách từ M đến trụcOy

Trang 15

Theo đầu bài ta có |y| = k|x| ⇔

Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f(x) = (ax + b)/(cx + d) (c

≠ 0, ad - bc ≠ 0) Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài MIngắn nhất (với I làgiao điểm hai tiệm cận)

Tiệm cận đứng x = (-d)/c; tiệm cận ngang y = a/c

Ta tìm được tọa độ giao điểm I((-d)/c;a/c)của hai tiệm cận

Gọi M(xM; yM) là điểm cần tìm Khi đó:

Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN cho hàm số g để thu được kết quả

Bài toán 5: Cho đồ thị hàm số (C) có phương trình y = f(x) và đường thẳng

d:Ax+By+C=0 Tìm điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất.Phương pháp giải

Gọi I thuộc (C) ⇒ I(xo; yo ); yo = f(xo)

Khoảng cách từ I đến d là g(xo) = h(I;d) =

Khảo sát hàm số y = g(x) để tìm ra điểm I thỏa mãn yêu cầu

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Đồ thị của hàm số y = (m - 1)x + 3 - m (m là tham số) luôn đi qua một

điểm Mcố định

Tìm điểm M cố định đó

Trang 16

Vậy điểm cố định cần tìm là M(1;2)

Ví dụ 2: Trên đồ thị (C) của hàm số y=2/(x + 2) có bao nhiêu điểm có tọa độ

nguyên? Tìm các điểm có tọa độ nguyên đó

-2),M3(-Ví dụ 3: Xác định tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y = (x+2)/(2x-1)

sao cho M cách đều hai điểm A(2,0) và B(0,2)

Hướng dẫn:

Phương trình đường trung trực đoạn AB là y=x

Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của phươngtrình :

Trang 17

⇔(xo + 1)m + xo3 - 3xo2 - yo=0, ∀m

bao nhiêu điểm cố định?

Gọi M(xo;yo) là điểm cố định cần tìm

Ta có yo=(1 - 2m)xo4 + 3mxo2 - m - 1,∀m

⇔(2xo4 - 3xo2 + 1)m + yo - xo4 + 1 = 0,∀m

Trang 18

Vậy đồ thị hàm số đã cho đi qua bốn điểm cố định.

Bài 3: Trên đồ thị (C) của hàm số y = (x + 10)/(x + 1) có bao nhiêu điểm có tọa

Vậy trên đồ thị (C) có sáu điểm có tọa độ là các số nguyên

xứng với nhau qua điểm I(2; 18)

Gọi M(x;y) là điểm trên đồ thị (C), gọi N là điểm đối xứng với Mqua I, ta có N(4 x; 36 - y) Vì N thuộc (C), ta có

Trang 19

-⇒ x3 + 3x2 - 2 = -(4 - x)3 - 3(4 - x)2 + 38

⇔ x = 2

Vậy có tất cả một cặp điểm thuộc đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu đề bài

-3x2 + m có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ

Đồ thị hàm số (C_m) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi vàchỉ khi tồn tại xo ≠ 0 sao cho y(xo) = -y(-xo) ⇔ tồn tại xo ≠ 0 sao cho xo3 - 3xo2 + m

= -[(-xo )3 - 3(-xo )2 + m] ⇔ tồn tại xo ≠ 0 sao cho 3xo2 = m ⇔ m > 0

điểm đó cách đều hai trục tọa độ

Gọi M(x_M,y_M ),(x_M≠-3) thỏa yêu cầu bài toán Ta có:

Vậy điểm cần tìm là M(-15/2;-15/2)

Bài 7: Gọi A, B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trên đồ thị (C) của hàm số

y = (x + 3)/(x - 3) Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng AB

Trang 20

Vậy AB2 = (xB - xA )2 + (yB - yA )2 = [(3 + β) - (3 - α)]2 + [(1 + 6/β) - (1 - 6/α)]2

Dùng bất đẳng thức Cauchy, ta có

g(α; β) ≥ (2αβ + 2αβ)(1 + 36/(α2β2 )) = 4αβ + 144/αβ ≥ 2√4.144 = 48

Vậy AB≥√48=4√3 Dấu đẳng thức xảy ra khi vả chỉ khi

Vậy độ dài AB ngắn nhất là 4√3

Bài 8: Xác định tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y = (x + 4)/(x - 2)

đối xứng nhau qua đường thẳng d: x - 2y - 6 = 0

Trang 21

Để Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì phương trình h(x) = 0 có hai nghiệm phân

là

Điều kiện đủ:

Gọi I là trung điểm của AB, ta có:

Để hai điểm A,B đối xứng nhau qua d: x - 2y - 6 = 0 khi I ∈ d ⇔ (m+3)/4 - 2.(3m+3)/2 - 6 = 0 ⇔ m = -3(thỏa điều kiện (*))

Với m = -3 phương trình h(x) = 0 ⇔ 2x2 - 2 = 0

Vậy tọa hai điểm cần tìm là (1; -5) và (-1; -1)

Trắc nghiệm Điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số

điểm Mcố định có tọa độ là

Trang 22

⇔ (2xo- 1)m + xo2 + 1 - yo =

định khi m thay đổi, khi đó tọa độ của điểm M là

Bài 3: Biết đồ thị (Cm) của hàm số y=[(m+1)x + m]/(x + m) (m ≠ 0) luôn đi qua

một điểm M cố định khi m thay đổi Tọa độ điểm M khi đó là

A M(-1; -1/2) B M(0; 1) C M(-1; 1) D M(0; -1)

Đáp án : B

Giải thích :

Gọi M(xo;yo) là điểm cố định cần tìm

Ta có yo=((m + 1)xo + m)/(xo+ m) ,∀m≠0⇔ xo yo+myo = mxo + xo + m ,∀m ≠ 0

Trang 23

Vậy trên đồ thị (C) có hai điểm có tọa độ là các số nguyên dương

Bài 5: Trên đồ thị (C) của hàm số y = (x + 2)/(2x - 1) có bao nhiêu điểm có tọa độ

Trang 24

⇒ ⇒ 2xo-1∈{-5;-1;1;5} ⇒ xo∈{-2;0;1;3}

⇔ xo=-2 ⇒ yo=0 ⇒ M(-2;0) ⇔ xo= 1 ⇒ yo=3 ⇒ M(1;3)

⇔ xo=0 ⇒ yo=-2 ⇒ M(0;-2) ⇔ xo= 3 ⇒ yo=1 ⇒ M(3;1)

Vậy trên đồ thị (C) có bốn điểm có tọa độ là các số nguyên

qua gốc tọa độ O là?

Thay (1) vào (2) ta được

xA3 -4xA2 + 9xA + 4 + (-xA )3 - 4(-xA )2 + 9(-xA) + 4 =

Vậy cặp điểm cần tìm là A(1; 10), B(-1; -10)

Trang 25

Bài 7: Cặp điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y = x3 + x đối xứng nhau qua đườngthẳng d: y = -1/2 x là:

Thay (3) vào (4) ta được a2 - a2 +a2 -1=0 ⇔

Vậy cặp điểm cần tìm là A(1; 2), B(-1; -2)

Trang 26

Bài 8: Cho điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y = (x - 7)/(x + 1), biết M có

hoàng độ a và khoảng cách từ Mđến trục Ox bằng ba lần khoảng cách từ Mđếntrục Oy Giá trị có thể có của a là

Bài 9: Tập hợp tất cả các giá trị thực của m để trên đồ thị (Cm) của hàm số y =

(x2 - 4mx + 5m)/(x - 2) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ là

A (0; +∞) B (-1/2; 0)\{-4/13}

C [1; +∞) D (-∞; 0)∪(1/2; 4/3)∪(4/3; +∞)

Đáp án : D

Trang 28

⇒ minIM = √(2 + 2√2) Đạt được khi 2(x-1)2 = 1/(x - 1)2 ⇔ (x - 1)4 = 1/2

Bài 11: Cho hàm số y =(x + 2)/(x - 3) có đồ thị (C) Tổng khoảng cách từ một

điểm M thuộc (C) đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

Điểm M nằm trên trục tung : dM = 0 + |-2/3| = 2/3 < 2

Xét những điểm M có hoành độ |x|>2/3 ⇒ dM = |x| + |y| > 2/3

Xét những điểm M có hoành độ thỏa mãn |x| < 2/3; y < -2/3 ⇒ |y| > 2/3(*)

Trường hợp : 0 ≤ x ≤ 2/3 Do (*) cho nên : dM = |x| + |y| > 2/3

Trường hợp : 2/3 < x < 0;2/3 < y < 0 ⇒ dM = x 1 5/(x 3); d'M = 1 + 5/(x 3)2

-d'M=0⇔ Khi lập bảng biến thiên ,ta thấy hàm số nghịch biếnvới mọi x∈(-2/3;0) Vậy mindM=dM (0)=2/3

Bài 12: Tọa độ điểm M có hoành độ nguyên thuộc đồ thị (C) của hàm số y = (x +

2)/(x - 1) có khoảng cách đến đường thẳng Δ: x - y + 1 = 0 bằng 1/√2 là

A M(-2; 0) B M(2; 4)

C M(2; 4);M(-2; 0) D M(2; -2)

Trang 29

Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu là M(2; 4);M(-2; 0)

một điểm M thuộc (C) đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

A 1 B 1/2 C 2 D 3/2

Đáp án : D

Giải thích :

Điểm M(0,3/2) nằm trên trục Oy Khoảng cách từ M đến hai trục là d = 3/2

Xét những điểm M có hoành độ lớn hơn 3/2 ⇒ d = |x| + |y| > 3/2

Xét những điểm M có hoành độ nhỏ hơn 3/2:

Với 0 < x < 3/2 ⇒ y > 3/2 ⇒ d = |x| + |y| > 3/2

Với -3/2 < x < 0; y > 0 ⇒ d = -x + x + 1 + 1/(x + 2) = 1 + 1/(x + 2); d' = -1/(x +2)2 < 0

Chứng tỏ hàm số nghịch biến Suy ra min d=y(0)=3/2

Trang 30

Bài 14: Điều kiện của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số y = x3 (3m 1)x2 + 2mx + m + 1 có ít nhất hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua trục Oy là

Trang 31

Vậy h(M; d) đạt giá trị nhỏ nhất là 4/√10.

Khi x + 2 < 0

Ta có -4(x + 2) - 1/((x + 2)) ≥ 4

Dấu bằng xảy ra ⇔ - 4(x + 2) = -1/(x + 2)⇔ (x + 2)2 = 1/4 ⇒ x = -5/2

Vậy h(M; d) đạt giá trị nhỏ nhất là 4/√10

Chủ đề: Nhận dạng đồ thị hàm số

4 dạng bài Nhận dạng đồ thị hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Nếu Δ' < 0: Hàm số luôn tăng hoặc luôn giảm trên R

3 Đạo hàm cấp 2: y'' = 6ax + 2b Phương trình y'' = 0 khi x = -b/3a

Điểm x = -b/3a là hoành độ điểm uốn, đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.Giới hạn:

Nếu a > 0 thì:

Nếu a < 0 thì:

4 Bảng biến thiên và đồ thị:

Trang 32

1 Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: Δ' = b2 - 3ac > 0.

2 Hàm số luôn đồng biến trên R

3 Hàm số luôn nghịch biến trên

4 Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị ta làm như sau: lấy

f(x) chia cho f'(x) ta được: f(x) = f'(x).g(x) + r(x) Tại hai điểm cực trị ta có: f'(x) =

0 nên ta có phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y = r(x)

5 Đồ thị luôn có điểm uốn I là tâm đối xứng của đồ thị (hoành độ điểm I là

nghiệm phương trình y' = 0

6 Đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ hàm số có hai cực trị trái dấu nhau.

7 Đồ thị cắt Ox tại hai điểm phân biệt ⇔ đồ thị hàm số có hai cực trị và một cực

trị nằm trên Ox

8 Đồ thị cắt Ox tại một điểm ⇔ hoặc hàm số không có cực trị hoặc hàm số có hai

cực trị cùng dấu

9 Tiếp tuyến: Gọi I là điểm uốn Cho M thuộc (C).

Trang 33

* Nếu M = I thì ta có đúng một tiếp tuyến đi qua M và tiếp tuyến này có hệ số gócnhỏ nhất (nếu a > 0), lớn nhất (nếu a < 0).

* Nếu M khác I thì có đúng 2 tiếp tuyến đi qua M

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên của đồ thị hàm số: y = -x3 + 3x2 - 4

1 Tập xác định: D = R

2 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Đạo hàm y' = -3x2 + 6x y' = 0 khi x = 0 hoặc x = 2

Bảng biến thiên :

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;0) và (2; ∞)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; giá trị cực tiểu yCT = -4

Hàm số đạt cực đại tại x = 2; giá trị cực đại yCĐ = 0

Trang 34

* Đồ thị cắt trục hoành tại (-1; 0) và (2; 0);

Cắt trục tung tại (0; -4)

* ta có: y'' = -6x + 6 = 0 khi x = 1

Điểm uốn I(1; -2)

Ví dụ 2: Cho hàm số y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4 (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 6|x|3 - 9x2 + 12|x| = m

a Tập xác định: D = R

Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Trang 35

Đạo hàm y' = 6x2 – 18x + 12 Xét y' = 0 khi x = 1 hoặc x = 2

+ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên (-∞; 1) và (2; +∞) Hàm số nghịch biến trên (1; 2)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu yCT = 0

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và giá trị cực đại yCĐ = 1

Ta có y'' = 12x - 18 = 0 khi x = 3/2 ⇒ y = 1/2 Hàm số nhận điểm I(3/2; 1/2) làmđiểm uốn

Trang 36

• Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục Oy, ta được

• Lấy đối xứng qua trục Oy phần , ta được

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 2 có đồ thị là (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) khi m = -3

b Tùy theo k giải và biện luận phương trình: -|x|3 + 3x2 + k = 0

c Gọi A và B là hai điểm cực trị của (C), tìm điểm M trên (C) sao cho tam giácMAB cân tại M

d Tìm m để đồ thị hàm số (C) cắt trục hoành tại điểm duy nhất

Ví dụ 4: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm sốđược liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?

Trang 37

A y = -x3 + 1 B y = -x3 + 3x + 2.

C y = -x3 + 3x2 – 3x + 2 D y = -x3 + 2

* Để ý thấy khi x = 0 thì y = 2 nên ta loại đáp án A

* Dựa vào đồ thị, suy ra hàm số không có cực trị nên ta loại đáp án B vì y' = 3x2 + 3x có hai nghiệm

-* Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (1;1), kiểm tra thấy C và D đều thỏa mãn.Xét phương trình hoành độ giao điểm: -x3 + 3x2 - 3x + 2 = 0 ⇒ x = 2

Xét phương trình hoành độ giao điểm: -x3 + 2 = 0 ⇒ x = 3√2

Suy ra chọn đáp án D

Ví dụ 5: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên Mệnh đềnào dưới đây đúng?

Trang 38

Dựa vào dạng đồ thị ta có a > 0, d < 0

Hàm số không điểm cực trị trái dấu nên c > 0

Đồ thị hàm số có điểm uốn có hoành độ dương nên -b/a > 0 nên b < 0

Trang 39

Dựa vào dạng đồ thị ta có a > 0; d > 0

Hàm số không điểm cực trị trái dấu nên c < 0

Đồ thị hàm số có điểm uốn có hoành độ dương nên -b/a > 0 nên b < 0Suy ra chọn đáp án C

Dạng 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm trùng phương.

* Nếu ab ≥ 0 thì đồ thị không có điểm uốn

* Nếu ab < 0 thì đồ thị có 2 điểm uốn

4 Bảng biến thiên và đồ thị:

* a > 0; b < 0: Hàm số có 3 cực trị

Trang 40

* Nếu đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì ba điểm cực trị tạo thành một tam giáccân có đỉnh nằm trên Oy.

* Nếu đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị thì đường thẳng d' đối xứng với dqua Ox cũng là tiếp tuyến của đồ thị

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 - 2x2 - 1 có đồ thị (C)

Định dạng
Số trang	506
Dung lượng	5,99 MB