giai phuong trinh he phuong trinh luyen thi giai pt hpt thpt 2016 2015 va dh cac nam

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn THPT Quốc Gia_2016 1) Giải phương trình  log (  x   x )  log (  x   x ) log x  1  log 3  2  x  2  x   x  2    x    x  ĐK:  9 x  x    x    2  x    (*) 1 n an  a   Áp dụng công thức: log a n x  log a x n  n log a x  n log a x log ( x y )  log x  log y a a  a     (*)  log 32 (  x   x )  log 31 (  x   x ) log  log x   log 31 x   2    log (  x   x ) log 32  log x  1  log x   1  1  2  log (  x   x )  log (  x   x ).2 log 3  log x   1  log x    log 32 (  x   x )   log 32 (  x   x )  log (  x   x ).2  log x   1  log x    log 32 (  x   x )  log (  x   x ).1  log x   1  log x   (**) a  log (  x   x ) Đặt  b   log x (**)  3a  4b.a  b  Cách 1: Tính '   2b  3.b2  4b2  3b2  b2 2b  b  (2b)  b   a a  b  a  a  b 3     b a  3a  b a  2b  b a   (2b)  b    3  Cách 2: thêm bớt a  b  a  b   3a  3b.a  ba  b   3a(a  b)  b(a  b)   (a  b)3a  b     3a  b  3a  b TH1: a=b  log (  x   x ) = 1 log x Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1  log a a  Áp dụng công thức: log a x  log a y  log a ( x y ) log x  log y  x  y a  a  log (  x   x ) = log 3  log x  log (  x   x ) = log (3x)   x   x =3x     3x b  a b  2 x  2 x Áp dụng  a 2 a b   x   x  2  x  x  9x2  (2  x)(  x)  x   4(4  x )  x  B  Áp dụng: A  B   A  B 2  x    x   2  x  x   3 2   x  9 x    x    x      3  x     4(4  x )  9 x     81x  68 x   x  17 68   x    81   x   17   17 x  17 so với đk  x  ta nghiệm x    17 x    TH2: 3a=b  log (  x   x ) = 1 log x  log (  x   x )3 = log 3  log x  log (  x   x )3 = log (3x)  (  x   x ) = 3x (***) 2 x  2 x 1  f’(x)= 2 x 2 x 1  Cho f’(x)=0  =0 2 x 2 x (0  x  2) Đặt f(x)=   x   x    x   x   x   x  x  (loại) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bảng biến thiên: x -∞ f’(x) + f(x) 0 +∞ 2 2 2  f(x)  2    23  f ( x)  2   f ( x)  16  x   3x   f ( x) 0 t  R (vì 3t +4t+2=  3t       3t     0)  3 3   f(t) đồng biến R Do (*)  f (a)  f (b)  a=b  x  =x-1 x    x   13 (loai ) x   x   13 x     2  x   ( x  1)  x  3x     13  x  (nhân)  2 Đối chiếu với đk ta nghiệm phương trình x=2; x  Đại học khối A_năm 2014   x 12  y  y 12  x  12 3)   x  8x   y  x  ĐS:  y  Hướng dẫn:   (1)  13  x, y  R  (2) a2  b2 a, b   Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức: a.b  Dấu “=” xảy  a=b Ta có x 12  y  Mặt khác  x2   12  y  2  y 12  x  x  12  y  (*) y  12  x 2 (**) Cộng (*) (**) ta x 12  y  y 12  x    x 12  y  y 12  x   12 x  Dấu “=” xảy    y  12  x x  12  y y  12  x  2 (3) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Thay (3) vào pt (2) ta được: x3  8x   12  x   x3  8x   10  x Nhẫm nghiệm ta thấy x=3 vào pt Vế trái=Vế phải=2 nên ta thêm bớt có dạng x-3 Cần thêm bớt dạng x  8x   a  10  x  a Tìm a=? biết 10  x  a  nghiệm x=3 Thế x=3 vào ta 10  32  a   a=-2  x3  8x    10  x     x3  8x   10  x   x  3x  3x  x  x    x ( x  3)  3x( x  3)  x    ( x  3)x  3x  1   ( x  3)x  3x  1   ( x  3)x  3x  1     10  x  10  x   10  x  1 210  x  12  29  x  10  x  10  x  29  x  10  x  2x  9 0 0 10  x  2x  3x  3 0  ( x  3) x  3x   10  x   2x  3     ( x  3) x  3x   10  x    x     x  3x   2x  3  10  x     x    x  3x   2 x  3  Vô nghiêm (vì x  nên x  3x   2x  3  )  10  x  10  x  x3 so với đk x  nên ta nhận x=3 nghiệm x=3 vào (3) ta y=12-32=3 x  Kết luận hệ có nghiệm  y  Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức: ab  cd  a   c2 b2  d  Gia sư Thành Được Dấu “=” xảy   www.daythem.edu.vn a c  b d  x 12  y  y 12  x  x 12  y  Dấu “=” xảy  x y 12  x y  x 2   12  x 12  y  y   12 x 12  x  12  y y 12  y 12  x   144  12 x  12 y  yx  x y  x y  B   AB  x y  144  12 x  12 y  yx A  B x   2  x y  144  12 x  12 y  yx x   tới tương tự cách  y  12  x Cách 3: Đặt a= 12  y , a  y = 12 – a2 (1)  xa  (12  a )(12  x )  12  122  12x  12a  x 2a  12  xa 12  xa   2 2 2 12  12 x  12 a  x a  12  xa   xa  12   2 2 2 2 12  12x  12a  x a  12  2.12.xa  x a  xa  12   2 12x  2.12xa  12a   xa  12   (x  a)  x  x   Ta có (x – a)2 =  x = 12  y   2  x  12  y  y  12  x tới tương tự cách   Cách 4: Đặt a  x, 12  x , b   12  y , y  a1  b1 Lưu ý: a =(a1;a2); b =(b1;b2) Nếu a  b   ; Nếu a.b  a1.b1  a2 b2 a2  b2 a  x  12  x  12 b  12  y  y  12 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Ta có a.b = x 12  y  y 12  x  2 a b 12  12 Mặt khác   12 2 2   1  a.b  a  b  a  b   a  b  x   x  12  y   2  y  12  x   12  x  y tới tương tự cách Đại học khối B_năm 2014 1  y  x  y  x   x  y  1 y (1) 4)   2 y  3x  y   x  y  x  y  (2) Giải: x  y  x  y y  y  y     Đk:    x  y 4 x  y  x  y  x  y  4 x  y   4 x  y   x, y  R  (*) a  y Đặt  (a,b  0) b  x  y a  y  x  b2  y  b2  a  b  x  y Pt (1)   a b  a  b   b  a   a b  a   b2   b2  a    a b  (1  a )  (b2  1)(1  a)    a (b  1)  (b2  1)(1  a)   1  a (1  a )(b  1)  (b  1)(b  1)(1  a )   1  a (b  1)(1  a  b  1)   1  a (b  1)(  a  b)              1  a   a   b    b  2  a  b  vô nghiêm(vì a  0, b   a  b   0) Trường hợp 1: a=1  y   y=1 1   x2 y=1 vào đk (*) ta  x  4 x    y=1 vào (2) ta Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 2.12  3x  6.1   x  2.1  x  5.1    3x    x   x     3x  x   x    3x  22 ( x  2)  x    3x  4( x  2)  4( x  2)   3x   x  so với đk x  ta nhận x=3 Trường hợp 2: b=1  x  y   x  y  12  y  x  x   x     x  2x  Thế y  x  vào đk (*) ta  x  2( x  1) 4 x  5( x  1)  4 x  x     x   1 x  x  Thế y  x  vào (2) ta 2( x  1)  3x  6( x  1)   x  2( x  1)  x  5( x  1)   2( x2  x  1)  3x  x    x  x   x  5x    2( x2  x  1)  3x    x    x   x  x   3x    x    x  2x2  x  B  AB A  B Cách 2 x  x    2  x  (2 x  x  3)   x  x  1  2  x  (2 x )  x  32  2.2 x x  2.2 x  2.x.3    x  x  1  2  x  x  x   x  12 x  x    x  x  1   4 x  x  11x  x      x  x  1   4 x  x  x  x  x    Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn   x  x  1   4 x ( x  x  1)  7( x  x  1)     x  x  1   ( x  x  1)( x  7)     x  x  1   x  x 1   4 x     x  x  1     1 1 x    x  2       1 1  x     x  2       7   x  x   2         x     So với đk  x  ta x  y 1 1 5 1 1  y  2  1  x  x  Kết luận hệ pt cho có nghiệm    y  y  1   làm nháp nè Hướng dẫn cách phân tích x  x  11x  x  = x  ax  b ( x  cx  d )   x  x  11x  x   x  (a  4c) x3  (b  4d  ac) x  (ad  bc) x  bd a  4c  4 b  4d  ac  11   ad  bc  bd  TH1: b=1 d=7 2 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a  4c  4 a  4c  4 (1)   ( 2)  1  28  ac  11  ac  40 7 a  c  (3) 7 a  c    32  a  27 Từ (1), (3)  vào (2) ta thấy không thỏa 35 c    27 TH1: b=7 d=1 a  4c  4 a  4c  4 (1)   (2)  7   ac  11  ac  a  7c  (3) a  c    56  a   Từ (1), (3)  vào (2) không thỏa 11 c   TH3: b=-1 d=-7 a  4c  4 a  4c  4 (1)      28  ac  11  ac  18 ( 2)  a  c   a  c  (3)    a   Từ (1), (3)  vào (2) ta thấy không thỏa c    TH4: b=-7 d=-1 (1) a  4c  4 a  4c  4       ac  11  ac  (2)  a  c   a  7c  (3)   a  Từ (1), (3)  vào (2) ta thấy thỏa c  1 Vậy a=0, b=-7, c=-1, d=-1 x  x  11x  x  = 4 x  ax  b ( x  cx  d ) x  x  11x  x  = x  ( x  x  1) = x ( x  x  1)  7( x  x  1) = x  x3  x  x  x  = x  x  11x  x  Nhờ mà biết ghi ngược lại Lưu ý trường hợp không ta phân tích sau x  x  11x  x  = x  ax  b (2 x  cx  d ) Rồi làm trường hợp nữa, hên Cách 2: giải cách ta biết nhân tử chung x2-x-1 dễ dàng ta thêm bớt sau  x  2x2  x      10 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Thế (4) vào (1) ta được: x.x  x    x3  x    x3  x  x  x  x    x ( x  1)  x( x  1)  2( x  1)  ( 4)  x    x   y 1  ( x  1)( x  x  2)     x  x   (Vô nghiêm)   1  1  x  x  x  Kết luận hệ pt cho có nghiệm:  hay  hay  2 y 1 y  y     Cách 4: (1)  xy  x    2 2 x  x y  x  y  xy  y  (2) Ta thấy x=0 không nghiệm pt(1) y     2  vô lí  x  nên từ (1)  y  2 x (3) x 2 x 2 x 2 x 2 x Thay (3) vào (2) ta được: x  x   x    x  0  x   x   x   x    x   4x  x 2 x 2 x  x  2x3  x   x   0 x  x   x   x   x3 x  x.x (2  x)  x x   x  x  x.x2  x   x2  x    x  x3 (2  x)  x   x  x  x 2  x   x2  x    x5  x3  x  x   x  x  x  x3  x  x   x5  x  x  x    x  x  x  3x   Nhẫm nghiệm ta thấy x=1 nghiệm pt 2.15  2.14  2.12  6.1   Nên ta chia horne 1 -1 -3 2 -2  ( x  1)( x  x  x  x  2)  ( 3)  x    x   y 1   x  x  x  x   (4) 32 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Giải pt x  x3  x  x   Phân tích x  x  x  x   ( x  ax  b)( x  cx  d )  x  (a  c) x  (b  d  ac) x  (ad  bc) x  bd a  c  b  d  ac    ad  bc  bd  2 a  c  (1)  ( 2) TH1: b=1  d  2  ac   2a  c  (3)   a  Từ (1) (2)   vào (2) ta thấy không thỏa c   a  c  (1)  ( 2) TH2: b=-1  d=2  ac  2a  c  (3)  a  Từ (1) (2)   vào (2) ta thấy thỏa c      ( 3)  y    x  2 x  x 1    (4)  x  x  x  x        ( 3)  y   x     x  x   (VN )      1  1  x  x  x  Kết luận hệ pt cho có nghiệm:  hay  hay  2 y 1 y  y     Đại học khối A_năm 2011 5 x y  xy  y  2( x  y )  (1) 12) Giải hệ phương trình:  (x, y  R)  xy ( x  y )   x  y 2 (2) Giải: Cách 1: 33 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn  P  xy Đặt  S  x  y (2)  P( S  P)   S  PS  2P   S  PS  S  2( P  1)     S ( P  1)  2( P  1)( P  1)   ( P  1) S  2( P  1)  P   P    S  2P   S  2P   TH1: P=1  xy   y  x (3) 1 1 1  Thế (3) vào (1) ta x  x.   3.   2 x    x x  x  x   5x    x    x  x   x  x   3x  x    x  x x x  ( 3)  x  1  y    1  ( 3)  x   y  1  TH2: S  P    x  y    x  y  (4) (2)  3x y  y  x y  xy  2( x  y)   y( x  y )  x y  xy  2( x  y)  (5) Thay (4) vào (5) ta y.2  x y  xy  2( x  y)   y  x y  xy  x  y   yx  xy  x  y   yx  2(2 y  1) x  y      '  y   y.4 y  y  y   y  y  y   y   y   (2 y  1) x    y y  xy    x  y  y   (2 y  1)   2y x  y  Với xy=1 giải TH1 Với x  y (6) 34 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn  10 ( 6) 10  x   y   5 Thay (6) vào (4) ta được: 2 y   y   y  y   y     10 ( 6) 10  x  y  5    10 10 x x   x   x  1   5 Kết luận hệ pt cho có nghiệm        y  y      y   10  y  10   5 5 x y  xy  y  2( x  y )  (1) (x, y  R)   xy ( x  y )   x  y 2 (2) Cách 2: (2)  xy ( x  y )   x  y  xy  xy ( x  y )  ( x  y )  xy      xy    xy    2 2 x  y   x  y  2  x  y ( xy  1)  2( xy  1)   xy  1 x  y       TH1: P=1  xy   y  x (3) 1 1 1  Thế (3) vào (1) ta x  x.   3.   2 x    x x  x  x   5x    x    x  x   x  x   3x  x    x  x x x  ( 3)  x  1  y    1  ( 3)  x   y  1  TH2: x  y  (4) (2)  3x y  y  x y  xy  2( x  y)   y( x  y )  x y  xy  2( x  y)  Thay (4) vào (5) ta y.2  x y  xy  2( x  y)   y  x y  xy  x  y   x y  x  xy  y   x( xy  1)  y( xy  1)   ( xy  1)(2 x  y)   xy   xy     x  y 2 x  y Với xy=1 giải TH1 35 (5) Gia sư Thành Được Với x  y www.daythem.edu.vn (6)  10 ( 6) 10  x   y   5 Thay (6) vào (4) ta được: 2 y   y   y  y   y     10 ( 6) 10  x  y  5    10 10 x x   x   x  1   5 Kết luận hệ pt cho có nghiệm        y 1  y  1  y   10  y  10   5 Đại học khối B_năm 2011  x   x  4  x  10  3x Giải phương trình 13) (1) (x  R) Giải: Cách 2  x   Điều kiện: 2  x   2  x  (*) 4  x   (1)   x  2  x  4 (2  x)(2  x)  10  3x   (2) Đặt t=  x  2  x  t   x  (2  x)(2  x)  4(2  x)  t  4 (2  x)(2  x)  10  3x t  (2)  3t  t  t  3t    t  TH1: t=0   x  2  x =0   x  2  x   x  4(2  x)   x   x  5x  6  x  thỏa mãn điều kiện (*) TH2: t    x  2  x =3   x  2  x  2 x  2; 2 x 33 Kết luận pt cho có nghiệm x  Vô nghiệm Cách 2:  x   x  4  x  10  x (1) 2  x   Điều kiện: 2  x   2  x  (*) 4  x     x  2  x  (2  x)(2  x)  10  3x   3 2 x    x   2 (8  x)(2  x)  10  3x 36 (2) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a   x a   x Đặt    a  b  10  3x b   x b   x (2)  3(a  b)  2ab  a  b (  a  2;0  b  ) a  b  a  b   3(a  b)  (a  b)  3(a  b)  (a  b)   (a  b)3  (a  b)    3  (a  b)  a  b  TH1: a=b   x   x   x   x  5x   x  thỏa mãn điều kiện (*) TH2: a  b  vô nghiệm a  2; b   Kết luận pt cho có nghiệm x  Cách 3:  x   x  4  x  10  3x 2  x   Điều kiện: 2  x   2  x  4  x   (1) (*) Đặt u =  x v =  x (u, v  0)  u  4v  10  3x 3u  6v  4uv  u  4v ( 2) (1)   2 u  v  (3) (2)  u  (4v  3)u  4v  6v  4v    u  2v  2 2   4v  3  4(4v  6v)  16v  24v   16v  24v    u  4v    2v   4 TH1: u = 2v vào (3) v2 = suy ra: – x = x= 5    11 (loai ) v  2 TH2: u = 2v + vào (3)  (2v + 3) + v =  5v + 12v +5 =   (vì v     11 (loai ) v   0) Kết luận pt cho có nghiệm x  Cách 4:  x   x  4  x  10  3x 2  x   Điều kiện: 2  x   2  x  4  x   (1) (*) (1)   x   x  (8  x)(2  x)   x   x 37 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn   x   x  (8  x)(2  x)  (2  x)  (8  x)(2  x)  (8  x)   3(  x   x )   x (  x   x )   x (  x   x )   3(  x   x )   x (  x   x )   x (  x   x )   (  x   x )(3   x   x )    x   4x    x   4x   3   x   x  3   x   x (2)   x   x  5x   x  ( 2) (3) thỏa mãn điều kiện (*) (3)    x   x   x 5 x  15  x  x     ptVN   x  x  15   2 8  x  (5 x  15) 25 x  71x  217   ptVN Kết luận pt cho có nghiệm x  Cách 5:  x   x  4  x  10  3x 2  x   Điều kiện: 2  x   2  x  4  x   (*) Nên ta nhân vế pt cho (vì mẫu nghiệm 5) 15  x  30  x  20 (2  x)(2  x)  50  15 x Cần phân tích pt có dạng Bấm máy ta nghiệm x=1.2 tức là= 15  x  a  30  x  b  20  x  c  50  15 x  a  b  c Tìm a=? biết 15  x  a =0 nghiệm x= 6 Thế x= vào ta 15   a   a  12 5 Tìm b=? biết  30  x  b =0 nghiệm x= 6 Thế x= vào ta  30   b   b  12 5 Tìm c=? biết 20  x  c =0 nghiệm x= 6 Thế x= vào ta 20     c   c  32 5 (1)  15  x  30  x  20 (2  x)(2  x)  50  15 x 38 (1) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn  15  x  12  30  x  12  20  x  32  50  15 x  32  3(5  x  )  6(5  x  )  4(5  x  8)  15 x  18  3 25(2  x)  80 25(2  x)  20 25(4  x )  64 6 4  3(5 x  6)  2 x 4 5 2 x 2  x2  25 x  30 30  25 x  25 x  36 6 4  3(5 x  6)  2 x 4 5 2 x 2  x2  15(5 x  6) 30(6  x) 4(6  x)(6  x)    3(5 x  6)   2 x 4 5 2 x 2  x2  15(5 x  6) 30(5 x  6) 4(5 x  6)(6  x)    3(5 x  6)   2 x 4 5 2 x 2  x2  3   15 30    3   5 x  6  x2   5  x  5  x  5 x    15 30    30   x  5  x   x2    x  (thoa đk (*)) x  15 30   3 (Vô nghiêm)   x  5  x  4 x 8 15 30 4    ; VP= Vì VT    0 u  R  f(u) đồng biến R x  2 x   (3)  2x=t  x   y     4x2 x   y y       44 +∞ (4) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn   4x2     x  Thế (4) vào (2) ta được: x      25  40 x  16 x     x  x     16 x  25  40 x  16 x   x  28 16 x  24 x    x  Bấm máy ta nghiệm x=0,5 tức Nên ta thêm bớt có dạng x  16 x  24 x   a   x  a  Tìm a=? biết  x  a =0 x= Thế x= vào ta 8+a=0 a=  16 x  24 x     x   16 x  24 x    x    1  16 x   x    8(  x  1)   4  4 x  54 x  1   x    4x   4x 0  4 x  52 x  1(2 x  1)   4x  16(2 x  1) 0  4 x  52 x  1(2 x  1)   4x      2 x  1 x  (2 x  1)   16  0  x  1 2 x    16  x  (2 x  1)  0   4x  1 ( 4) y2 Giải pt: x    x  (nhân)  16 0 Giải pt: 4 x  5(2 x  1)  (5)  4x 1 16 0  x  x  10 x    4x  16  x  x  10 x    4x    45 Gia sư Thành Được Vì  x  www.daythem.edu.vn nên 45 3  3 Vế trái  8   4    5,6 4 4 16 16  5  10,856 Vế phải  10.0    4.0  1  vế trái < vế phải  (5) vô nghiệm  x  Kết luận hệ có nghiệm   y  4x   6x   2x  2x  17) ĐS:  x  46 ... www.daythem.edu.vn Bảng biến thi n: x -∞ f’(x) + f(x) 0 +∞ 2 2 2  f(x)  2    23  f ( x)  2   f ( x)  16  x   3x   f ( x)