bai tap quan he song song luyen thi dai hoc toán 11

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Vấn đề : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG  VÀ  : Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng   ta tìm hai điểm chung I ; J      = I J  Khi tìm điểm chung ta ý : J  Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát điểm chung I    M  d d   M a  b  M (P)   a   ; b    M điểm chung 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E trung điểm AB Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng (ECD) với mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD) 2)Cho tứ diện SABC điểm I đoạn SA; d đường thẳng (ABC) cắt AB; BC J ; K Tìm giao tuyến mặt phẳng (I,d) với mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC) 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD điểm S khơng nằm mặt phẳng chứa tứ giác Tìm giao tuyến : a) (SAC) (SBD) b) (SAB) (SCD) c) (SAD) (SBC) 2)Cho hình chóp S.ABCDE Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng (SAC) với mặt phẳng (SAD) ; (SCE) 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi ; M điểm cạnh CD Tìm giao tuyến mặt phẳng : a)(SAM) (SBD) b)(SBM) ; (SAC) 4: Cho tứ diện ABCD; M điểm nằm ABC; N điểm nằm ACD Tìm giao tuyến : a) (AMN) (BCD) b) (CMN) (ABD) 5: Cho tứ diện ABCD M nằm AB cho AM = MB ; N nằm AC cho AN = 3NC; điểm I nằm BCD Tìm giao tuyến : a) (MNI) (BCD) b) (MNI) (ABD) c) (MNI) (ACD) 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J trung điểm AD; BC a) Tìm giao tuyến : (IBC) (JAD) b)M điểm AB; N điểm AC Tìm giao tuyến (IBC) (DMN) 7: Cho hai đường thẳng a ; b  (P) điểm S khơng thuộc (P) Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng chứa a S với mặt phẳng chứa b S ? 8: Cho tứ diện ABCD ; AB ; AC lấy hai điểm M N cho : AM AN  MB NC Tìm giao tuyến (DMN) (BCD) 9; Cho bốn điểm ABCD khơng đồng phẳng ; gọi I ; K trung điểm AD ; BC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (KAD) ? 10 : Trong mặt phẳng  cho hình thang ABCD có đáy AB ; CD ; S điểm nằm ngồi mặt phẳng hình thang Tìm giao tuyến : a) (SAD) (SBC) b) (SAC) (SBD) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1.11 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang hai đáy AD ; BC Gọi M ; N trung điểm AB ; CD G trọng tâm SAD Tìm giao tuyến : a) (GMN) (SAC) b) (GMN) (SBC) Vấn đề 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Chứng minh A; B; C thẳng hàng : Chỉ A ; B ; C   Chỉ A ; B ; C   Kết luận : A; B; C     A B   C   A; B; C thẳng hàng Chứng minh a ; b ; MN đồng quy : b a P Đặt a  b = P  M Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng  N Kết luận :MN ; a ; b đồng quy P 1: Cho hai mặt phẳng   cắt theo giao tuyến d Trên  lấy hai điểm A ; B khơng thuộc d O điểm ngồi hai mặt phẳng Các đường thẳng OA ; OB cắt  A’ ; B’ AB cắt d C a)Chứng minh O; A; B khơng thẳng hàng ? b)Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ suy AB ; A’B’; d đồng quy 2: Trong khơng gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz khơng đồng phẳng Trên Ox lấy A ; A’ ; Oy lấy B ; B’ Oz lấy C ; C’ cho AB cắt A’B’ D ; BC cắt B’C’ E ; AC cắt A’C’ F Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ? 3: Cho A; B; C khơng thẳng hàng ngồi mặt phẳng  Gọi M ; N ; P giao điểm AB ; BC ; AC với  Chứng minh M; N; P thẳng hàng ? 4: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành ; O giao điểm hai đường chéo ; M ; N trung điểm SA ; SD Chứng minh ba đường thẳng SO ; BN ; CM đồng quy 2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng  khơng song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD M ; N ; R ; S Chứng minh AB ; MN ; RS đồng quy ? 5: Chứng minh tứ diện đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy ? 2.6 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang hai đáy AD ; BC Gọi M ; N trung điểm AB ; CD G trọng tâm SAD Tìm giao tuyến : a) (GMN) (SAB) b) (GMN) (SCD) c) Gọi giao điểm AB CD I ; J giao điểm hai giao tuyến câu a câu b Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng ? Gia sư Thành Được Vấn đề 3: www.daythem.edu.vn CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU, VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG Chứng minh đường thẳng a ; b chéo :  Giả sử : a khơng chéo b  Từ suy hai đường thẳng a b nằm mặt phẳng  ( đồng phẳng )  Từ suy điều mâu thuẫn với gỉa thiết b a  mâu thuẫn với điều Chứng minh A, B, C, D nằm mặt phẳng – đồng phẳng  Chứng minh hai đường D  C  B B thẳng tạo thành từ bốn   C A D điểm cắt  A   song song với 1: Cho bốn điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng a)Chứng minh ba số điểm khơng thẳng hàng b)Chứng minh AB chéo với CD ? 2: Cho hai đường thẳng chéo a b.Trên a lấy hai điểm A, B ; b lấy hai điểm C, D a)Chứng minh AC chéo BD ? b)Lấy M nằm đoạn AC; N nằm đoạn BD Đường thẳng MN có song song AB CD khơng ? c)O trung điểm MN Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng 3: Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng b c Hỏi ba đường thẳng a, b, c có đồng phẳng khơng ? Tại ? 4: Cho tứ diện ABCD Gọi I ; J trung điểm AD; BC a) Chứng minh AB chéo CD ? b) Chứng minh IB chéo JA ? Vấn đề 4: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG  Giả sử phải tìm giao điểm d   = ? Phương pháp 1: Tìm a   Chỉ a ,d nằm mặt phẳng chúng cắt M d   = M ( hình vẽ ) d   M Phương pháp 2: a  a M   d Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Tìm  chứa d thích hợp Giải tốn tìm giao tuyến a   Trong  : a  d = M d   = M ( hình vẽ b) 1: Cho tứ diện SABC; M ; N điểm nằm SAB ; SBC MN cắt (ABC) P Xác định giao điểm P 2: Cho tứ diện ABCD ; M trung điểm AB; N P điểm nằm AC; AD cho AN : AC = : ; AP : AD = : Tìm giao điểm : a) MN với (BCD) b) BD với (MNP) c) Gọi Q trung điểm NP.Tìm giao điểm MQ với (BCD) 3: A; B ; C ; D bốn điểm khơng đồng phẳng M; N trung điểm AC; BC Trên đoạn BD lấy P cho BP = 2PD Tìm giao điểm : a) CD với (MNP) b) AD với (MNP) 4: Cho hình chóp SABC ; O điểm ABC ; D E điểm năm SB ; SC.Tìm giao điểm a) DE với (SAO) b) SO với (ADE) 5: Cho tứ diện SABC I ; H trung điểm SA; AB Trên đoạn SC lấy điểm K cho CK = 3KS a)Tìm giao điểm đường thẳng BC với (IHK) ? b)Gọi M trung điểm HI Tìm giao điểm đường thẳng KM với (ABC) ? 6: Cho hình chóp SABCD đáy hình thang ABCD đáy lớn AB I; J; K ba điểm SA; SB; SC Tìm giao điểm IK (SBD); giao điểm (ỊJK) SD; SC 7: Gọi I ; J hai điểm nằm ABC; ABD tứ diện ABCD M điểm tuỳ ý CD Tìm giao điểm IJ mặt phẳng (AMB) 8: Hình chóp SABCD đáy hình bình hành ABCD M trung điểm SD a)Tìm giao điểm I BM (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ? b)Tìm giao điểm J của SA (BCM) ? Chứng minh J trung điểm SA ? c) N điểm tuỳ ý BC Tìm giao điểm MN với (SAC) ? Gia sư Thành Được Vấn đề 5: DIỆN www.daythem.edu.vn THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG  VỚI KHỐI ĐA Lần lượt xét giao tuyến  với mặt khối đa diện đồng thời xét giao điểm cạnh đa diện với mặt phẳng  Khi đoạn giao tuyến tìm khép kín thành đa giác ta thiết diện phải tìm Việc chứng minh tiết diện có hình dạng đặc biệt hình bình hành; hình thang ; mặt phẳng  nhờ vào q trình tìm giao tuyến giao điểm Trong phần ta xét hai cách làm : B A C F E D  I Xác định thiết diện cách kéo dài giao tuyến II.Xác định thiết diện cách vẽ giao tuyến phụ 1: 1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Gọi M ; N ; P trung điểm AA’ ; AD ; DC Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua M; N; P với hình lập phương ? 2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Gọi M ; N ; P trung điểm DC ; AD ; BB’ Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) với hình hộp giao tuyến (MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’) 2: 1)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi E; F; K trung điểm SA ; AB ; BC Xác định thiết diện hình chóp mặt phẳng qua ba điểm E; F ; K 2) Cho hình chóp S.ABCD Gọi A’ ; B’ ; C’ điểm nằm SA ; SB; SC Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp *5 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm BD ngồi BD cho ID = 3IB; M ; N hai điểm thuộc cạnh AD ; DC cho MA = MD ; ND = NC 2 a)Tìm giao tuyến PQ (IMN) với (ABC) ? b)Xác dịnh thiết diện tạo (IMN) với tứ diện ? c)Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ? *5 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J trọng tâm ABC ; DBC ; M trung điểm AD Tìm tiết diện tạo (MJI) tứ diện ? 2) Cho hình chóp S.ABCDE Lấy ba điểm M ; N ; K SA ; BC ; SD Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (MNK) với hình chóp Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 5: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang với AB đáy Gọi M ; N trung điểm SB ; SC a)Tìm giao tuyến (SAD) (SBC) ? b)Tìm giao điểm SD với mặt phẳng (AMN) ? c)Tìm tiết diện tạo mặt phẳng (AMN) với hình chóp *5 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC a)Tìm giao điểm I AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM b)Tìm giao điểm F SD với (AMB) ? Chứng minh F trung điểm SD ? c)Xác định hình dạng tiết diện tạo (AMB) với hình chóp d)Gọi N điểm cạnh AB Tìm giao điểm MN với (SBD) ? *5.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M ; N ; P trung điểm SB ; SD ; OC a) Tìm giao tuyến (MNP) với (SAC) ? b) Dựng thiết diện (MNP) với hình chóp ? c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ? ĐS: c) : ; : ; : 5.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành; gọi M trung điểm SB ; G trọng tâm SAD a) Tìm giao điểm I GM với (ABCD) ? b) Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD ? c) Chứng minh (CGM) qua trung điểm SA ? d) Dựng tiết diện (CGM) với hình chóp ? *5.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O ; I ; J trọng tâm SAB ; SAD a) Tìm giao điểm JI với (SAC) ? b) Dựng thiết diện tạo (JIO) với hình chóp 5.10 Cho hình chóp SABCD Gọi I ; M ; N ba điểm SA ; AB ; CD a) Tìm giao tuyến (SAN) (SDM) ? b) Hãy xác định thiết diện tạo (IMN) với hình chóp BÀI TẬP TỔNG HỢP 1: Cho tứ diện ABCD ; I điểm nằm ngồi đoạn BD Mặt phẳng () qua I cắt AB; BC; CD; DA M; N; P; Q a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng ba điểm I ; N ; P thẳng hàng ? b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ? 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SD; E điểm cạnh BC Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a) Tìm giao điểm N SC với (AME) ? b) Tìm giao tuyến (AME) với (SAC) ? c) Tìm giao điểm K SA với (MBC) ? Chứng minh K trung điểm SA 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành F trung điểm CD; E điểm cạnh SC cho SE = 2EC Tìm tiết diện tạo (AEF) với hình 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SD; E điểm cạnh SB cho SE = 3EB a) Tìm giao điểm F CD với mặt phẳng (AIE) ? b) Tìm giao tuyến d (AIE) với (SBC) ? c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ? 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi F trung điểm SC; E điểm cạnh BC cho BE = 2EC a)Tìm tiết diện tạo (AEF) với hình chóp ? b) Tìm giao điểm SB với (AEF) ? 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O ; M trung điểm SB; G trọng tâm SAD a) Tìm giao điểm I GM với (ABCD) chứng minh I nằm đường thẳng CD IC = 2ID ? b) Tìm giao điểm J (OMG) với AD ? Tính tỉ số c)Tìm giao điểm K (OMG) với SA ? Tính JA JD KA KS HD: b) c) 7: Cho tứ diện ABCD; AD lấy N cho AN = 2ND ; M trung điểm AC ; BC lấy Q cho BQ = BC a) Tìm giao điểm I MN với (BCD) ? Tính IC:ID b) Tìm giao điểm J BD với (MNP) ? Tính JB:JD Cho tứ diện ABCD Gọi I ; J hai điểm cố định nằm AB ; AC ỊJ khơng song song với BC Mặt phẳng  quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD M ; N a) Chứng minh MN ln qua điểm cố định ? b) Tìm tập hợp giao điểm IN JM ? c)Tìm tập hợp giao điểm IM JN ? Cho hình chóp SABC Gọi A’ ; B’ ; C’ điểm di động SA ; SB ; SC thoả : SA’ = SA n 1 ; SB’ = 2n  SB ; SC’ = SC 3n  Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a) Chứng minh A’B’ qua điểm cố định I A’C’ qua điểm cố định J n thay đổi ? b) Chứng minh (A’B’C’) chừa đường thẳng cố định HD: a) dùng định lí menelaus b) đường IJ BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Vấn đề 1: Chøng minh ®-êng th¼ng song song víi mỈt ph¼ng Phương pháp : Có thể dùng cách sau : - Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng , áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo định lý Ta-lét ) - Chứng minh hai đường thẳng song song song với đường thẳng thứ - Áp dụng định lý giao tuyến Bµi1 Cho tø diƯn SABC cã I, J lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ BC CMR: víi M  SB (M  B) ta ®Ịu cã IJ // (ACM) Bµi Cho tø diƯn ABCD gäi M vµ N lÇn l-ỵt lµ träng t©m  ABD vµ  ACD CMR: M N // (BCD) vµ MN // (ABC) Bµi Cho hai h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ABEF cã chung c¹nh AB vµ kh«ng ®ång ph¼ng Trªn c¸c c¹nh AD, BE lÇn l-ỵt lÊy c¸c ®iĨm M, N cho AM BN   k (0 AD BE < k < 1) Chøng minh r»ng MN // (CDE) Bµi 1: Cho tø diƯn ABCD Gäi I, J lÇn l-ỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC vµ ABD Chøng minh IJ//CD Bµi 2: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AB vµ CD (CD > AB) Gäi M, N lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa SA, SB a, Chøng minh MN//CD b, T×m giao ®iĨm P cđa SC vµ mp(AND) KÐo dµi AN vµ DP c¾t t¹i I Chøng minh SI//AB//CD Tø gi¸c SABI lµ h×nh g×? Bµi 3: Cho tø diƯn ABCD Gäi M, N, P, Q, R, S lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB, CD, BC, AD, AC, BD a, Chøng minh MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh b, Chøng minh MN, PQ, RS c¾t t¹i trung ®iĨm mçi ®o¹n Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC n»m mp(P) Gäi Bx; Cy lµ nưa ®-êng th¼ng song song vµ n»m vỊ cïng phÝa ®èi víi mp(P) M vµ N lµ ®iĨm di ®éng lÇn l-ỵt trªn x, Cy cho CN = 2BM a, Chøng minh r»ng MN lu«n ®i qua ®iĨm cè ®Þnh I M, N di ®éng Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn b, E lµ ®iĨm thc ®o¹n AM vµ EM  EA Gäi F lµ giao ®iĨm cđa IE vµ AN, Q lµ giao ®iĨm cđa BE vµ CF Chøng minh r»ng AQ//Bx//Cy vµ (QMN) chøa ®-êng th¼ng cè ®Þnh M, N di ®éng Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh Gäi M, N, P, Q lµ c¸c ®iĨm trªn BC, SC, SD vµ AD cho MN//SB, NP//CD, MQ//CD a, Chøng minh PQ//SA b, Gäi K lµ giao ®iĨm cđa MN vµ PQ Chøng minh SK//AD//BC c, Qua Q dùng Qx//SC; Qy//SB T×m giao ®iĨm cđa Qx vµ mp(SAB); giao ®iĨm cđa Qy vµ mp(SCD) Bµi 6: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng Trên hai đường thẳng chéo AC BF lấy hai điểm M ; N cho AM : AC = BN : BF = 1: Chứng minh MN // DE Bµi 7: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng Trên hai đường thẳng chéo AC BF lấy hai điểm M ; N cho AM : AC = BN : BF = Dựng MM'  AB với M' AD; NN'  AB với N' AF Chứng minh : a) MM' NN' // CD b) M’N// DF Vấn đề 2: T×m giao tun cđa hai mỈt ph¼ng – ThiÕt diƯn qua mét ®iĨm vµ song song víi ®-êng th¼ng cho tr-íc Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AB vµ CD Gäi I; J lµ trung ®iĨm cđa AD vµ BC Gäi G lµ träng t©m cđa tam gi¸c SAB a, T×m giao tun cđa (SAB) vµ (IJG) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp(IJG) ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? T×m ®iỊu kiƯn ®èi víi AB vµ CD ®Ĩ thiÕt diƯn lµ h×nh b×nh hµnh Bµi 2: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y h×nh h×nh b×nh hµnh Gäi I, J lµ träng t©m c¸c tam gi¸c SAB vµ SAD vµ M lµ trung ®iĨm cđa CD X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(IJM) Bµi 3: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AD = a; BC = b Gäi I; J lµ träng t©m c¸c tam gi¸c SAD vµ SBC a, T×m ®o¹n giao tun cđa mp(ADJ) víimp(SBC); cđa (BCI) vµ (SAD) b, T×m ®é dµi ®o¹n giao tun cđa mỈt ph¼ng (ADJ) vµ (BCI) giíi h¹n bëi mp (SAB) vµ (SCD) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bµi 4: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a Gäi I vµ J lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AC vµ BC Gäi K lµ mét ®iĨm trªn c¹nh BD víi KB = 2KD a, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa tø diƯn víi mp(IJK) Chøng minh thiÕt diƯn lµ h×nh thang c©n b, TÝnh diƯn tchs cđa thiÕt diƯn theo a Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng t©m O c¹nh a MỈt bªn SAB lµ tam gi¸c ®Ịu, SAD  900 Gäi Dx lµ ®-êng th¼ng qua D vµ song song víi SC a, T×m giao ®iĨm I cđa Dx vµ mp(SAB) Chøng minh AI//SB b, T×m thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(AIC) vµ tÝnh diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn ®ã Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh; I, J lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa SA vµ AB M lµ ®iĨm bÊt k× trªn nưa ®-êng th¼ng Ax chøa C BiƯn ln theo vÞ trÝ cđa M trªn Ax c¸c d¹ng cđa thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(IJM) Bµi 7: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a; mỈt bªn SAB lµ tam gi¸c ®Ịu; SC = SD = a Gäi H vµ K lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa SA; SB M lµ ®iĨm trªn c¹nh AD MỈt ph¼ng (HKM) c¾t BC t¹i N a,Chøng minh HKMN lµ h×nh thang c©n b, §Ỉt AM = x   x  a TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c HKMN theo a vµ x T×m x ®Ĩ diƯn tÝch nµy nhá nhÊt c, T×m tËp hỵp giao ®iĨm cđa HM vµ KN; HN vµ KM Bµi 8: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a, lÊy M trªn c¹nh BA; P a trªn c¹nh CD cho AM  DP  X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa tø diƯn vµ mỈt ph¼ng qua MP vµ song song víi AC TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn ®ã BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Vấn đề 1: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 10 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Phương pháp chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P Ta chứng minh d khơng nằm (P) song song với đường thẳng a chứa (P) Ghi : Nếu a khơng có sẵn hình ta chọn mặt phẳng (Q) chứa d lấy a giao tuyến (P) (Q) Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh Gäi M, N lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ CD a, Chøng minh MN // mp  SBC vµ MN // mp  SAD  b, Gäi P lµ trung ®iĨm cđa SA Chøng minh SB vµ SC song song víi mp(MNP) c, Gäi G1 vµ G2 lÇn l-ỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC vµ SBC Chøng minh G1G2//mp(SAC) Bµi 2: Cho tø diƯn ABCD G lµ träng t©m tam gi¸c ABD, M trªn BC cho MB = 2MC Chøng minh MG//mp(ACD) Bµi 3: Cho tø diƯn ABCD Gäi O vµ O’ lÇn l-ỵt lµ t©m ®-êng trßn néi tiÕp c¸c tam gi¸c ABC vµ ABD Chøng minh: a, §iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ OO’//mp(BCD) lµ BC AB  AC  BD AB  AD b, §iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ OO’//mp(BCD) vµ mp(ACD) lµ BC = BD vµ AC = AD Bµi 4: Cho hai h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ABEF kh«ng cïng n»m mét mỈt ph¼ng a, Gäi O vµ O’ lÇn l-ỵt lµ t©m cđa ABCD vµ ABEF Chøng minh OO’//(ADF); OO’//(BCE) 3 b, Trªn AE vµ BD lÊy M vµ N cho AM  AE; BN  BD Chøng minh MN//mp(CDEF) Bµi 5: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy trung điểm M ; BC lấy điểm N bất kì.Gọi () mặt phẳng chứa đường thẳng MN song song với CD a)Tìm tiết diện tứ diện ABCD với () ? b)Xác định vị trí N BC cho tiết diện hình bình hành ? Bµi 6: Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD hình thang có đáy lớn AD Gọi M điểm cạnh AB () mặt phẳng qua M song song AD SD a)Mặt phẳng () cắt SABCD theo tiết diện hình ? b)Chứng minh SA // () Bµi 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng () di động ln ln song song BC đồng thời qua trung điểm C’ SC a)Mặt phẳng () cắt cac cạnh SA ; SB ; SD A’ ; B’ ; D’ tiết diện A’B’C’D’ hình ? 11 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn b)Chứng minh () chuyển động ln ln chứa đường thẳng cố định c)Gọi M giao điểm A’C’ B’D’ Chứng minh () di động M di động đường thẳng cố định Bµi 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy bình hành.Gọi M điểm di động cạnh SC; mặt phẳng () chứa AM  BD a)Chứng minh () ln ln qua đường thẳng cố định M chuyển động cạnh SC b) () cắt SB SD E ; F Trình bày cách dựng E F ? c)Gọi I giao điểm ME CB; J giao điểm MF CD Chứng minh ba điểm I ; J ; A thẳng hàng Vấn đề 2: T×m giao tun cđa hai mỈt ph¼ng – ThiÕt diƯn song song víi ®-êng th¼ng cho tr-íc Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD Gäi M vµ N lµ hai ®iĨm bÊt k× trªn SB vµ CD    lµ mỈt ph¼ng qua MN vµ song song víi SC a, T×m giao tun cđa mp    víi c¸c mỈt ph¼ng (SBC); (SCD); SAC) b, x¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp    Bµi 2: Cho tø diƯn ABCD cã AB = a; CD = b Gäi I, J lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ CD (P) lµ mỈt ph¼ng qua M trªn IJ vµ song song víi AB vµ CD a, T×m giao tun cđa mp(P) víi mp(IJD) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mo(P) ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? Bµi 3: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh Gäi C’ lµ trung ®iĨm cđa SC; M lµ ®iĨm di ®éng trªn SA, (P) lµ mỈt ph¼ng di ®éng lu«n ®i qua C’M vµ song song víi BC a, Chøng minh (P) lu«n chøa ®-êng th¼ng cè dÞnh b, X¸c ®Þnh hiÕ diƯn cua hinh chãp c¾ bëi mp(P) X¸c ®Þnh ®iªm M ®ª thiÕt diƯn lµ h×nh b×nh hµnh c, T×m tËp hỵp giao ®iĨm cđa hai c¹nh ®èi cđa thiÕt diƯn M di chun trªn c¹nh SA Bµi 4: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh thang víi ®¸y lín BC = 2a; AD = a vµ AB = b MỈt bªn SAD lµ ta, gi¸c ®Ịu, (P) lµ mỈt ph¼ng qua ®iĨm M trªn ®o¹n AB vµ song song víi SA vµ BC, pm(P) c¾t CD; SC; SB lÇn l-ỵt t¹i I; J; K a, Chøng minh MIJK lµ h×nh thang c©n b, TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(P) theo a vµ x = AM 12 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD Gäi M vµ N lµ hai ®iĨm trªn AB vµ CD vµ (P) lµ mỈt ph¼ng qua MN vµ song song víi SA a, T×m c¸c giao tun cđa (P) víi (SAB) vµ (SAC) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(P) c, T×m ®iỊu kiƯn cđa M; N ®Ĩ thiÕt diƯn lµ h×nh thang Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O; M lµ ®iĨm di ®éng trªn SC vµ (P) lµ mỈt ph¼ng qua AM vµ song song víi BD a, Chøng minh (P) lu«n chøa mét ®-êng th¼ng cè ®Þnh b, T×m c¸c giao ®iĨm H vµ K cđa (P) víi SB vµ SD Chøng minh SB SD SC   lµ mét h»ng sè SH SK SM c, ThiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp(P) cã thĨ lµ h×nh thang ®-ỵc hay kh«ng Bµi 7: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a; M vµ P lµ hai ®iỴm di ®éng trªn c¸c c¹nh AD vµ BC cho AM=CP=x (0 < x < a) Mét mỈt ph¼ng qua MP vµ song song víi CD c¾t tø diƯn theo mét thiÕt diƯn a, Chøng minh thiÕt diƯn th«ng th-êng lµ h×nh thang c©n b, TÝnh x ®Ĩ diƯn tÝch thiÕt diƯn nhá nhÊt Bµi Cho h×nh chãp S.ABCD gäi M, N lµ hai ®iĨm bÊt k× trªn SB vµ CD ( ) lµ mỈt ph¼ng qua MN vµ song song víi SC a T×m giao tun cđa () víi c¸c mỈt ph¼ng (SBC), (SCD), vµ (SAC) b X¸c ®inh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp t¹o bëi mỈt ph¼ng () Bµi Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh t©m O M lµ trung ®iĨm cđa SB X¸c ®ÞnhthiÕt diƯn cđa h×nh chãp SABCD t¹o bëi mỈt ph¼ng () biÕt a () qua M vµ song song SO vµ AD b () qua O vµ song song AM vµ SC Bµi 10 Cho h×nh chãp S.ABCD; G lµ träng t©m  ABC; M, N, P, Q, R, H lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa SA, SC, CB, BA, QN, AG a Chøng minh r»ng: S, R, G th¼ng hµng vµ SH = 2MH = 4RG b G1 lµ träng t©m  SBC Chøng minh r»ng GG1 // (SAB); GG1 // (SAC) c mỈt ph¼ng () qua GG1 vµ song song BC X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp t¹o bëi mỈt ph¼ng () 13 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bµi 11 Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang ®¸y lín AD Mét ®iĨm M bÊt k× n»m trªn AB, () lµ mỈt ph¼ng qua M vµ song song AD vµ SB a X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp t¹o bëi mỈt ph¼ng () ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? b Chøng minh SC song song () Bµi 12 Cho tø diƯn ABCD ®Ịu c¹nh a I lµ trung ®iĨm cđa AC , J  AD cho AJ = 2JD M lµ mét ®iĨm di ®éng  BCD cho mỈt ph¼ng (MIJ) lu«n song song AB a T×m tËp hỵp ®iĨm M b TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn cđa tø diƯn t¹o bëi mỈt ph¼ng (MIJ) BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Vấn Đề 1: MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp : * Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng Bµi 1: Cho h×nh chíp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O Gäi M, N lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa SA vµ CD a, Chøng minh: mp(OMN) // mp(SBC) b, I lµ trung ®iĨm cđa SC vµ J lµ ®iĨm n»m trªn mp(ABCD) c¸ch ®Ịu AB vµ CD Chøng minh IJ // mp(SAB) c, Gi¶ sư c¸c tam gi¸c SAB vµ ABC c©n t¹i A Gäi AE vµ AF lµ c¸c ®-êng ph©n gi¸c cđa c¸c tam gi¸c ACD vµ SAB Chøng minh EF // mp(SAD) Bµi 2: Cho hai h×nh vu«ng ABCD vµ ABEF kh«ng cïng n»m mét mỈt ph¼ng Trªn AC vµ BF lÊy M vµ N cho AM = BN C¸c ®-êng th¼ng song song víi AB vÏ tõ M, N lÇn l-ỵt c¾t AD; AF t¹i M’, N’ a, Chøng minh: (CBE) // (ADF) b, Chøng minh: mp (DEF) // mp(MNN’M’) c, Gäi I lµ trung ®iĨm cđa MN, t×m tËp hỵp I M, N di ®éng Bµi 3: Cho tø diƯn ABCD cã AB = AC = AD Chøng minh r»ng c¸c ®-êng ph©n gi¸c ngoµi cđa c¸c gãc BAC, CAD, DAB ®ång ph¼ng Bµi 4: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O Gäi M, N lµ trung ®iĨm cđa SA, SD 14 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a, Chøng minh mp(OMN) // mp(SBC) b, Gäi P vµ Q lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ ON Chøng minh PQ // mp(SBC) Bµi 5: Cho tø diƯn ABCD Gäi I vµ J lµ hai ®iĨm di ®éng lÇn l-ỵt trªn AD vµ BC cho IA JB  Chøng minh IJ lu«n ID JC song song víi mét mỈt ph¼ng cè ®Þnh Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh víi AB = a; AD = 2a, mỈt bªn SAB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A Trªn AD lÊy M, ®Ỉt AM = x (0 < x < 2a) MỈt ph¼ng    qua M vµ song song víi mp(SAB) c¾t BC; SC; SD t¹i N, P, Q a, Chøng minh MNPQ lµ h×nh thang vu«ng b, Gäi I lµ giao ®iĨm cđa MQ vµ NP T×m tËp hỵp I M ch¹y trªn AD c, TÝnh diƯn tÝch MNPQ theo a vµ x Bµi 7: Cho ®-êng th¼ng a vµ b chÐo T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm I trªn ®o¹n MN vµ chia MN theo tØ sè k cho tr-íc tr-êng hỵp: a, M, N di ®éng lÇn l-ỵt trªn a, b b, M, N di ®éng trªn a, b vµ MN lu«n song song víi mỈt ph¼ng hc n»m trªn mỈt ph¼ng cho tr-íc c¾t a vµ b Bµi 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi H,I,K trung điểm SA,SB,SC a) Chứng minh (HIK)// (ABCD) b) Gọi M giao điểm AI KD, N giao điểm DH CI Chứng minh (SMN) //(HIK) Bµi 9: Cho hình hộp ABCD.ÁB’C’D’ a) Chứng minh (BA’D) // (B’D’C) b) Chứng minh AC’ qua trọng tâm G G’ tam giác A’BD CB’D’ Bµi 10: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành tâm O Gọi M,N trung điểm SA ,CD a) Cm: (OMN) //(SBC) b) Giả sử tam giác SAD, ABC cân A Gọi AE,A F đường phân giác tam giác ACD SAB Cm: E F //(SAD) Bµi 11: Cho hai hình vuông ABCD, ABE F không nằm mặt phẳng Trên đường chéo AC,BF lấy điểm M,N cho AM=BN Các dường thẳng // AB vẽ từ M,N cắt AD, A F M’,N’ 15 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a)Cm: (CBE) //(AD F) b) Cm: (DE F)//(MNN’M’) VẤN ĐỀ 2: T×m giao tun cđa hai mỈt ph¼ng – ThiÕt diƯn c¾t bëi mỈt ph¼ng song song víi mỈt ph¼ng cho tr-íc Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O cã AC = a; BD = b; tam gi¸c SBD ®Ịu MỈt ph¼ng    di ®éng song song víi mp(SBD) qua I trªn ®o¹n AC a, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp    b, TÝnh diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn theo a, b vµ x = AI Bµi 2: Cho hai mỈt ph¼ng (P) vµ (Q) tho¶ m·n (P) //(Q), ABC  mp  P ; MN   Q a, T×m giao tun cđa mp(MAB) vµ mp(Q); giao tun cđa mp(NAC) vµ mp(Q) b, T×m giao tun cđa mp(MAB) vµ mp(NAC) Bµi 3: Tõ ®Ønh cđa h×nh b×nh hµnh ABCD vÏ nưa ®-êng th¼ng song song cïng chiỊu Ax; By; Cz; Dt kh«ng n»m mp(ABCD) Mét mp    c¾t nưa ®-êng th¼ng t¹i A’; B’; C’; D’ a, Chøng minh (Ax; By) // (Cz; Dt) b, Chøng minh A’B’C’D’ lµ h×nh b×nh hµnh c, Chøng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’ Bµi 4: Cho tø diƯn ABCD, gäi G1; G2; G3 lÇn l-ỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC, ACD, ABD a, Chøng minh (G1G2G3) // mp(BCD) b, T×m thiÕt diƯn cđa tø diƯn c¾t bëi mp(G1G2G3) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯntheo diƯn tÝch cđa tam gi¸c BCD c, M di ®éng tø diƯn cho G1M // (ACD) T×m tËp hỵp ®iĨm M Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh thang, ®¸y lín AB = 3a; AD = CD = a, tam gi¸c SAB c©n t¹i S vµ SA = 2a MỈt ph¼ng    di ®éng song song víi mp(SAB) c¾t AD; BC; SC; SD t¹i M; N; P; Q a, Chøng minh MNPQ lµ h×nh thang c©n b, §Ỉt x = AM (0 < x < a) T×m x ®Ĩ MNPQ ngo¹i tiÕp mét ®-êng trßn TÝnh b¸n kÝnh ®-¬ng trßn ®ã c, Gäi I lµ giao ®iĨm cđa MQ vµ NP T×m tËp hỵp I M ®i ®éng trªn AD Gäi J lµ giao ®iĨm cđa MP vµ NQ Chøng minh IJ cã ph-¬ng kh«ng ®ỉi vµ J di ®éng trªn mp cè ®Þnh Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O, E lµ trung ®iĨm cđa SB BiÕt tam gi¸c ACE ®Ịu vµ AC = 16 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn OD = a Mp    di ®éng song song víi mp(ACE) vµ qua I trªn OD, mp    c¸t AD, CD, SC, SB, SA lÇn l-ỵt t¹i M, N, P, Q, R a, NhËn xÐt g× vỊ tam gi¸c PQR vµ tø gi¸c MNPR b, T×m tËp hỵp giao ®iĨm cđa MP vµ NR I di ®éng trªn ®o¹n OD c, TÝnh diƯn tÝch MNPQR theo a vµ x = DI X¸c ®Þnh x ®Ĩ diƯn tÝch ®ã lín nhÊt Bµi 7: Cho h×nh chãp SABCD cã ®ay lµ h×nh b×nh hµnh MỈt ph¼ng (P) c¾t SA; SB; SC; SD lÇn l-ỵt t¹i A’; B’; C’; D’ Chøng minh ®iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ A’B’C’D’ lµ h×nh b×nh hµnh lµ mp(P) // (ABCD) Bµi 8: Cho h×nh chãp SABC, mp(P) di ®éng song song víi mp(ABC) c¾t SA; SB; SC lÇn l-ỵt t¹i A’; B’; C’ T×m tËp hỵp ®iĨm chung cđa mỈt ph¼ng (A’BC), (B’AC), C’AB) Bµi 9: Cho tø diƯn ABCD Gäi E; F; J theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa BC; BD; AD Mp    qua EF vµ song song víi BJ, mp    qua BJ vµ song song víi CD a, ThiÕt diƯn mp    c¾t tø diƯn lµ h×nh g×? b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn mp    c¾t tø diƯn Chøng minh    //   c, AC vµ AD c¾t mp    lÇn l-ỵt t¹i H, K Gäi I lµ giao ®iĨm cđa AC vµ mp    Chøng minh HE; KF vµ AB ®ång quy t¹i M d, Gi¶ sư c¸c tam gi¸c ABC vµ ABD vu«ng t¹i B TÝnh chu vi tam gi¸c MHK biÕt chu vi tam gi¸c ACD b»ng a Bµi 10: Cho h×nh chãp SABCD ®ay lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AB; CD víi CD = pAB (0 < p < 1) Gäi S0 lµ diƯn tÝch tam gi¸c SAB vµ    lµ mỈt ph¼ng qua M trªn c¹nh AD vµ song song víi mp(SAB) §Ỉt DM x AD   x  1 a, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp SABCD víi TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn theo S0, p, x b, TÝnh x ®Ĩ diƯn tÝch thiÕt diƯn b»ng mp    S0 Bµi 11: Cho h×nh chãp SABC, I lµ trung ®iĨm cđa SB vµ J n»m trªn ®o¹n SC cho JC  JS vµ O lµ träng t©m tam gi¸c ABC a, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp(OIJ), gäi s lµ diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn nµy 17 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn b,    lµ mỈt ph¼ng qua M trªn nưa ®-êng th¼ng BC vµ mp    song song hc trïng víi mp(OIJ) §Ỉt BM  x  x  0 T×m x BC ®Ĩ mp    c¾t h×nh chãp c, BiƯn ln theo x c¸c d¹ng cđa thiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp    d, Gäi H(x) lµ diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn nãi ë c©u c TÝnh H(x) theo s vµ x Bµi 12: Cho h×nh chãp SABCD cã E lµ giao ®iĨm cđa AD vµ BC Mp(P) song song víi SE c¾t SA, SB, SC, SD theo thø tù t¹i J, K, H, I a, Tø gi¸c IJKH lµ h×nh g×? b, T×m ®iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ tø gi¸c IJKH lµ h×nh b×nh hµnh Bµi 13: Cho tø diƯn ABCD cã AD = a; BC = b; AB = c LÊy M trªn AB, mỈt ph¼ng qua M song song víi AD vµ BC c¾t c¸c c¹nh AC, CD, BD t¹i N, P, Q a, Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? b, §Ỉt AM = x TÝnh c¸c c¹nh cđa tø gi¸c MNPQ c, Mn tø gi¸c MNPQ lµ h×nh ch÷ nhËt ph¶i cã thªm ®iỊu kiƯn g×? T×m diƯn tÝch tø gi¸c tr-êng hỵp nµy T×m vÞ trÝ cđa M trªn AB ®Ĩ tø gi¸c cã diƯn tÝch lín nhÊt Bµi 14: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a, Mp(P) qua A song song víi BC, c¾t BD vµ CD t¹i M, N, ®Ỉt BM = x TÝnh AM  MN  AN BÀI 5: PhÐp chiÕu song song – H×nh l¨ng trơ – H×nh hép Bµi 1: Cho l¨ng trơ tam gi¸c ABCA’B’C’ Mp qua ®-êng chÐo A’C vµ song song víi ®-êng chÐo BC’ chia AB theo tØ sè nµo? Bµi 2: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’ LÊy M  A ' B', N  AB, P CC' tho¶ m·n: AM ' BN C' P    MB' NA PC Mp(MPN) c¾t B’C’ t¹i Q T×m C' Q B' C' Bµi 3: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’ Gäi H lµ trung ®iĨm cđa A’B’ a, Chøng minh C’B // mp(AHC’) b, T×m giao ®iĨm cđa AC’ vµ mp(BCH) c, Mp(P) qua trung ®iĨm cđa CC’ vµ song song víi AH vµ CB’ X¸c ®Þnh thiÕt diƯn vµ tØ sè mµ c¸c ®Ønh cđa thiÕt diƯn chia c¹nh t-¬ng øng cđa l¨ng trơ 18 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bµi 4: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’ a, T×m giao tun cđa (AB’C’) vµ (BA’C’) b, Gäi M vµ N lµ ®iĨm bÊt k× trªn AA’ vµ BC T×m giao ®iĨm cđa B’C’ víi mp(AA’N), cđa MN víi (AB’C’) Bµi 5: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’ Gäi G vµ G’ lÇn l-ỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC vµ A’B’C’ Chøng minh r»ng c¸c mỈt ph¼ng (ABC’), (BCA’) vµ (CAB’) cã ®iĨm chung O trªn GG’ TÝnh tØ sè OG : OG’ Bµi 6: Cho h×nh hép ABCDA’B’C’D’ a, Chøng minh mp(BDA’) // mp(B’D’C) b, Chøng minh ®-êng chÐo AC’ qua träng t©m G1; G2 cđa c¸c tam gi¸c BDA’ vµ B’D’C Chøng minh G1; G2 chia AC’ lµm phÇn b»ng Bµi 7: Chøng minh r»ng h×nh hép, tỉng c¸c b×nh ph-¬ng cđa ®-êng chÐo b»ng tỉng b×nh ph-¬ng tÊt c¶ c¸c c¹nh Bµi 8: Cho l¨ng trơ tam gi¸c ABCA’B’C’ a, Gäi I, K, G lÇn l-ỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC; A’B’C’ vµ ACC’ Chøng minh (IGK) // (BB’C’C) vµ (A’KG) // (AIB’) b, Gäi M, N lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa BB’ vµ CC’ H·y dùng ®-êng th¼ng qua träng t©m tam gi¸c ABC c¾t AB’ vµ MN Bµi 9: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’ Gäi M, N lµ trung ®iĨm cđa BC vµ CC’, P ®èi xøng víi C qua A a, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa l¨ng trơ víi mp(A’MN) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa l¨ng trơ víi mp(MNP) Bµi 10: Cho h×nh lËp ph-¬ng ABCDA’B’C’D’ c¹nh a Gäi M, N, P lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB, B’C’; DD’ a, Chøng minh mp(MNP) // mp(A’B’D) vµ (BDC’) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh lËp ph-¬ng víi mp(MNP)? ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn ®ã Bµi 11: Cho h×nh l¨ng trơ ABCA’B’C’ ®¸y lµ tam gi¸c ®Ịu c¹nh a, ABB’A’, ACC’A’ lµ c¸c h×nh vu«ng Gäi I, J lµ t©m cđa ABB’A’, ACC’A’ vµ O lµ t©m ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC a, Chøng minh IJ // mp(ABC) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa l¨ng trơ víi mp(IJO) Chøng minh thiÕt diƯn lµ h×nh thang c©n ƠN TẬP TỔNG HỢP 19 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bµi1: Cho h×nh chãp S.ABCD, ®¸y ADBC lµ h×nh thoi c¹nh a; SA = SB = a; SC = SD = a Gäi E, F lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa c¸c c¹nh SA, SB; M lµ mét ®iĨm trªn c¹nh BC 1) X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp S.ABCD víi mỈt ph¼ng (MEF) ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? 2) §Ỉt BM = x (0  x  a) TÝnh FM vµ diƯn tÝch thiÕt diƯn trªn theo a vµ x KQ: S = 3a 16 x  8ax  3a 16 Bµi2: Cho tø diƯn ABCD ®ã AB vu«ng gãc víi CD vµ AB = AC = CD = a; M lµ mét ®iĨm trªn c¹nh AC víi AM = x (0 < x < a); () lµ mỈt ph¼ng qua M song song víi AB vµ CD 1) X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa tø diƯn t¹o bëi mỈt ph¼ng () ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? 2) TÝnh diƯn tÝchthiÕt diƯn theo a vµ x X¸c ®Þnh x ®Ĩ diƯn tÝch thiÕt diƯn nµy lín nhÊt S = x(a x) a < x < a x = Bµi3: Trong mỈt ph¼ng () cho ABC ®Ịu c¹nh a, gäi O lµ trung ®iĨm cđa c¹nh AC; lÊy ®iĨm S ë ngoµi () cho SA = a vµ SA  BO; () lµ mỈt ph¼ng chøa BO vµ song song víi SA 1) () c¾t tø diƯn SABC theo thiÕt diƯn lµ h×nh g×? 2) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn trªn theo a a2 S = Bµi4: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ h×nh b×nh hµnh víi AB = 2a, AD = a SAB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A Gäi M lµ mét ®iĨm trªn c¹nh AD víi AM = x (0 < x < a) () lµ mỈt ph¼ng qua M vµ song song víi (SAB) 1) () c¾t h×nh chãp theo thiÕt diƯn lµ h×nh g×? 2) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn trªn theo a vµ x S = a2  x2 Bµi5: Cho tø diƯn ABCD Gäi I, J lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa c¸c c¹nh CA, CB M lµ mét ®iĨm trªn ®o¹n BD, mỈt ph¼ng (IJM) c¾t AD t¹i N 1) Chøng minh IJMN lµ h×nh thang X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa M ®Ĩ IJMN lµ h×nh b×nh hµnh 2) Gäi K lµ giao ®iĨm cđa IM vµ JN T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm K M di ®éng trªn ®o¹n BD   20 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bµi6: Tõ ®iĨm cđa h×nh b×nh hµnh ABCD vÏ nưa ®-êng th¼ng song song cïng chiỊu Ax, By, Cz, ®-Êng th¼ng cho chóng c¾t mỈt ph¼ng (ABCD) Mét mỈt ph¼ng () c¾ nưa ®-êng th¼ng ®ã lÇn l-ỵt t¹i A', B', C', D' 1) Chøng minh: (Ax; By) // (Cz; Dt) 2) Chøng minh tø gi¸c A'B'C'D' lµ h×nh b×nh hµnh 3) Gäi O, O' lÇn l-ỵt lµ t©m c¸c h×nh b×nh hµnh ABCD, A'B'C'D' Chøng minh ®-êng th¼ng OO' // AA' vµ AA' + CC' = BB' + DD' Bµi7: Cho tø diƯn ABCD víi AB  CD, BCD vu«ng t¹i C cã = 300 M lµ ®iĨm di ®éng trªn c¹nh BD, () lµ mỈt ph¼ng qua M song song víi AB vµ CD 1) () c¾t tø diƯn ABCD theo mét thiÕt diƯn lµ h×nh g×? 2) Gi¶ sư AB = BD = a, BM = x TÝnh diƯn tÝch S cđa thiÕt diƯn thao a vµ x 3) VÉn lÊy gi¶ thiÕt c©u2) X¸c ®Þnh x ®Ĩ thiÕt diƯn cã ®-êng chÐo vu«ng gãc KQ: 2) S = 3) x = 2  3a xa  x  Bµi8: Cho h×nh chãp S.ABCD víi ABCD lµ h×nh thoi c¹nh a, SAD lµ tam gi¸c ®Ịu Gäi M lµ mét ®iĨm  AB, () lµ mỈt ph¼ng qua M song song víi (SAD) c¾t CD, SC, SB lÇn l-ỵt t¹i N, P, Q 1) Chøng minh MNPQ lµ h×nh thang c©n 2) Gäi I lµ giao ®iĨm cđa MQ vµ NP T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm I M ch¹y tõ A ®Õn B 3) §Ỉt AM = x TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn MNPQ theo a vµ x S = a  x2 Bµi9: Cho tø diƯn ®Ịu SABC c¹nh a Gäi I, K, L lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB, AI, SB () lµ mỈt ph¼ng qua KL vµ song song víi CI TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn cđa () víi a2 tø diƯn S = Bµi10: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®Êy lµ h×nh b×nh hµnh t©m O 1) Tõ mét ®iĨm M di ®éng trªn ®o¹n SA dùng ®-êng th¼ng song song víi AD c¾t SD t¹i N, NB c¾t SO t¹i P Chøng minh MP ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh    21  Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn CQ SM Chøng minh  CD SA MQ lu«n sonh song víi mét mỈt ph¼ng cè ®Þnh 3) T×m vÞ trÝ cđa M trªn SA ®Ĩ MNQ cã diƯn tÝch lín nhÊt? Bµi11: Cho h×nh lËp ph-¬ng ABCD.A'B'C'D'; E, F, G lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AA', BB', CC' Chøng minh r»ng: 1) (EFG) // (ABCD) 2) X¸c ®Þnh giao tun cđa hai mỈt ph¼ng (ABD) vµ (C'D'D) 3) T×m giao ®iĨm cđa A'C vµ (C'DB) 4) Gäi O vµ O' lÇn l-ỵt lµ giao ®iĨm cđa hai ®-êng chÐo ®Êy ABCD vµ A'B'C'D' Chøng minh r»ng AO' vµ C'O chia A'C thµnh ba ®¹on b»ng Bµi12: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD Gäi G1, G2 lÇn l-ỵt lµ t©m cđa ABD vµ BCD; I lµ trung ®iĨm cđa AC 1) CM: G1G2 // (ABC); G1G2 // (ACD) 2) mỈt ph¼ng () ®i qua G1, G2 vµ song song víi BC T×m thiÕt diƯn cđa () vµ tø diƯn ABCD ThiÕt diƯn lµ h×nh g× ? T¹i sao? 3) G lµ t©m cđa tø diƯn ABCD K lµ trung ®iĨm cđa G1G2 Chøng minh r»ng G, I, K th¶ng hµng Bµi13: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh thang mµ ®¸y lín lµ c¹nh AD Mét ®iĨm M bÊt kú trªn c¹nh AB vµ mét mỈt ph¼ng () qua M vµ // AD vµ SB 1) mỈt ph¼ng () c¾t h×nh chãp S.ABCD theo thiÕt diƯn lµ h×nh g×? 2) CM: SC // () Bµi14: Cho h×nh hép ABCD.A"B'C'D' cã Q lµ trung ®iĨm c¹nh DD', I lµ mét ®iĨm trªn ®o¹n BD cho DI = 3IB T×m thiÕt diƯn cđa h×nh hép ABCD.A"B'C'D' t¹o bíi mỈt ph¼ng () qua IQ vµ // AC Bµi15: Cho tø gi¸c ABCD n»m mp (P) Hai ®-êng th¼ng AB vµ CD c¾t t¹i E; AD vµ BC c¾t t¹i F Mét ®iĨm S n»m ngoµi mỈt ph¼ng (P) vµ mét mỈt ph¼ng (Q) di ®éng c¾t SA, SB, SC t¹i I, J, K 1) T×m giao ®iĨm K cđa (Q) vµ SD 2) Chøng minh r»ng ®iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ IJ // KL lµ SE // (Q) 3) T×m ®iỊu kiƯn gi÷a SF vµ (Q) ®Ĩ IL // JK Chøng minh r»ng nÕu IJKL lu«n lµ h×nh b×nh hµnh th× (Q) lu«n song song víi mét mỈt ph¼ng cè ®Þnh 2) Trªn c¹nh CD lÊy ®iĨm Q cho: 22 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bµi16: Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh a vµ tam gi¸c vu«ng c©n ADF (AD = AF) n»m hai mỈt ph¼ng kh¸c BiÕt BF = a , trªn c¸c ®o¹n AC, FD lÇn l-ỵt lÊy hai ®iĨm M, N di ®éng cho: AM = FN = x (0 < x < a ) 1) Chøng minh r»ng MM // (ABF) 2) Chøng minh: AN = MN = BM c) TÝnh ®é dµi MN theo a vµ x X¸c ®Þnh x ®Ĩ MN cã ®é dai nhá nhÊt 23 ... ph¼ng qua MP vµ song song víi AC TÝnh diƯn tÝch thi t diƯn ®ã BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Vấn đề 1: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 10 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Phương... mỈt ph¼ng (MIJ) lu«n song song AB a T×m tËp hỵp ®iĨm M b TÝnh diƯn tÝch thi t diƯn cđa tø diƯn t¹o bëi mỈt ph¼ng (MIJ) BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Vấn Đề 1: MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp Chứng... song song víi mp(SAB) §Ỉt DM x AD   x  1 a, X¸c ®Þnh thi t diƯn cđa h×nh chãp SABCD víi TÝnh diƯn tÝch thi t diƯn theo S0, p, x b, TÝnh x ®Ĩ diƯn tÝch thi t diƯn b»ng mp    S0 Bµi 11: