Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Vấn đề : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG VÀ : Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng ta tìm hai điểm chung I ; J = I J Khi tìm điểm chung ta ý : J Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát điểm chung I M d d M a b M (P) a ; b M điểm chung 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E trung điểm AB Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng (ECD) với mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD) 2)Cho tứ diện SABC điểm I đoạn SA; d đường thẳng (ABC) cắt AB; BC J ; K Tìm giao tuyến mặt phẳng (I,d) với mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC) 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD điểm S khơng nằm mặt phẳng chứa tứ giác Tìm giao tuyến : a) (SAC) (SBD) b) (SAB) (SCD) c) (SAD) (SBC) 2)Cho hình chóp S.ABCDE Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng (SAC) với mặt phẳng (SAD) ; (SCE) 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi ; M điểm cạnh CD Tìm giao tuyến mặt phẳng : a)(SAM) (SBD) b)(SBM) ; (SAC) 4: Cho tứ diện ABCD; M điểm nằm ABC; N điểm nằm ACD Tìm giao tuyến : a) (AMN) (BCD) b) (CMN) (ABD) 5: Cho tứ diện ABCD M nằm AB cho AM = MB ; N nằm AC cho AN = 3NC; điểm I nằm BCD Tìm giao tuyến : a) (MNI) (BCD) b) (MNI) (ABD) c) (MNI) (ACD) 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J trung điểm AD; BC a) Tìm giao tuyến : (IBC) (JAD) b)M điểm AB; N điểm AC Tìm giao tuyến (IBC) (DMN) 7: Cho hai đường thẳng a ; b (P) điểm S khơng thuộc (P) Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng chứa a S với mặt phẳng chứa b S ? 8: Cho tứ diện ABCD ; AB ; AC lấy hai điểm M N cho : AM AN MB NC Tìm giao tuyến (DMN) (BCD) 9; Cho bốn điểm ABCD khơng đồng phẳng ; gọi I ; K trung điểm AD ; BC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (KAD) ? 10 : Trong mặt phẳng cho hình thang ABCD có đáy AB ; CD ; S điểm nằm ngồi mặt phẳng hình thang Tìm giao tuyến : a) (SAD) (SBC) b) (SAC) (SBD) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1.11 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang hai đáy AD ; BC Gọi M ; N trung điểm AB ; CD G trọng tâm SAD Tìm giao tuyến : a) (GMN) (SAC) b) (GMN) (SBC) Vấn đề 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Chứng minh A; B; C thẳng hàng : Chỉ A ; B ; C Chỉ A ; B ; C Kết luận : A; B; C A B C A; B; C thẳng hàng Chứng minh a ; b ; MN đồng quy : b a P Đặt a b = P M Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng N Kết luận :MN ; a ; b đồng quy P 1: Cho hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến d Trên lấy hai điểm A ; B khơng thuộc d O điểm ngồi hai mặt phẳng Các đường thẳng OA ; OB cắt A’ ; B’ AB cắt d C a)Chứng minh O; A; B khơng thẳng hàng ? b)Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ suy AB ; A’B’; d đồng quy 2: Trong khơng gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz khơng đồng phẳng Trên Ox lấy A ; A’ ; Oy lấy B ; B’ Oz lấy C ; C’ cho AB cắt A’B’ D ; BC cắt B’C’ E ; AC cắt A’C’ F Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ? 3: Cho A; B; C khơng thẳng hàng ngồi mặt phẳng Gọi M ; N ; P giao điểm AB ; BC ; AC với Chứng minh M; N; P thẳng hàng ? 4: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành ; O giao điểm hai đường chéo ; M ; N trung điểm SA ; SD Chứng minh ba đường thẳng SO ; BN ; CM đồng quy 2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng khơng song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD M ; N ; R ; S Chứng minh AB ; MN ; RS đồng quy ? 5: Chứng minh tứ diện đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy ? 2.6 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang hai đáy AD ; BC Gọi M ; N trung điểm AB ; CD G trọng tâm SAD Tìm giao tuyến : a) (GMN) (SAB) b) (GMN) (SCD) c) Gọi giao điểm AB CD I ; J giao điểm hai giao tuyến câu a câu b Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng ? Gia sư Thành Được Vấn đề 3: www.daythem.edu.vn CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU, VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG Chứng minh đường thẳng a ; b chéo : Giả sử : a khơng chéo b Từ suy hai đường thẳng a b nằm mặt phẳng ( đồng phẳng ) Từ suy điều mâu thuẫn với gỉa thiết b a mâu thuẫn với điều Chứng minh A, B, C, D nằm mặt phẳng – đồng phẳng Chứng minh hai đường D C B B thẳng tạo thành từ bốn C A D điểm cắt A song song với 1: Cho bốn điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng a)Chứng minh ba số điểm khơng thẳng hàng b)Chứng minh AB chéo với CD ? 2: Cho hai đường thẳng chéo a b.Trên a lấy hai điểm A, B ; b lấy hai điểm C, D a)Chứng minh AC chéo BD ? b)Lấy M nằm đoạn AC; N nằm đoạn BD Đường thẳng MN có song song AB CD khơng ? c)O trung điểm MN Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng 3: Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng b c Hỏi ba đường thẳng a, b, c có đồng phẳng khơng ? Tại ? 4: Cho tứ diện ABCD Gọi I ; J trung điểm AD; BC a) Chứng minh AB chéo CD ? b) Chứng minh IB chéo JA ? Vấn đề 4: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG Giả sử phải tìm giao điểm d = ? Phương pháp 1: Tìm a Chỉ a ,d nằm mặt phẳng chúng cắt M d = M ( hình vẽ ) d M Phương pháp 2: a a M d Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Tìm chứa d thích hợp Giải tốn tìm giao tuyến a Trong : a d = M d = M ( hình vẽ b) 1: Cho tứ diện SABC; M ; N điểm nằm SAB ; SBC MN cắt (ABC) P Xác định giao điểm P 2: Cho tứ diện ABCD ; M trung điểm AB; N P điểm nằm AC; AD cho AN : AC = : ; AP : AD = : Tìm giao điểm : a) MN với (BCD) b) BD với (MNP) c) Gọi Q trung điểm NP.Tìm giao điểm MQ với (BCD) 3: A; B ; C ; D bốn điểm khơng đồng phẳng M; N trung điểm AC; BC Trên đoạn BD lấy P cho BP = 2PD Tìm giao điểm : a) CD với (MNP) b) AD với (MNP) 4: Cho hình chóp SABC ; O điểm ABC ; D E điểm năm SB ; SC.Tìm giao điểm a) DE với (SAO) b) SO với (ADE) 5: Cho tứ diện SABC I ; H trung điểm SA; AB Trên đoạn SC lấy điểm K cho CK = 3KS a)Tìm giao điểm đường thẳng BC với (IHK) ? b)Gọi M trung điểm HI Tìm giao điểm đường thẳng KM với (ABC) ? 6: Cho hình chóp SABCD đáy hình thang ABCD đáy lớn AB I; J; K ba điểm SA; SB; SC Tìm giao điểm IK (SBD); giao điểm (ỊJK) SD; SC 7: Gọi I ; J hai điểm nằm ABC; ABD tứ diện ABCD M điểm tuỳ ý CD Tìm giao điểm IJ mặt phẳng (AMB) 8: Hình chóp SABCD đáy hình bình hành ABCD M trung điểm SD a)Tìm giao điểm I BM (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ? b)Tìm giao điểm J của SA (BCM) ? Chứng minh J trung điểm SA ? c) N điểm tuỳ ý BC Tìm giao điểm MN với (SAC) ? Gia sư Thành Được Vấn đề 5: DIỆN www.daythem.edu.vn THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG VỚI KHỐI ĐA Lần lượt xét giao tuyến với mặt khối đa diện đồng thời xét giao điểm cạnh đa diện với mặt phẳng Khi đoạn giao tuyến tìm khép kín thành đa giác ta thiết diện phải tìm Việc chứng minh tiết diện có hình dạng đặc biệt hình bình hành; hình thang ; mặt phẳng nhờ vào q trình tìm giao tuyến giao điểm Trong phần ta xét hai cách làm : B A C F E D I Xác định thiết diện cách kéo dài giao tuyến II.Xác định thiết diện cách vẽ giao tuyến phụ 1: 1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Gọi M ; N ; P trung điểm AA’ ; AD ; DC Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua M; N; P với hình lập phương ? 2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Gọi M ; N ; P trung điểm DC ; AD ; BB’ Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) với hình hộp giao tuyến (MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’) 2: 1)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi E; F; K trung điểm SA ; AB ; BC Xác định thiết diện hình chóp mặt phẳng qua ba điểm E; F ; K 2) Cho hình chóp S.ABCD Gọi A’ ; B’ ; C’ điểm nằm SA ; SB; SC Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp *5 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm BD ngồi BD cho ID = 3IB; M ; N hai điểm thuộc cạnh AD ; DC cho MA = MD ; ND = NC 2 a)Tìm giao tuyến PQ (IMN) với (ABC) ? b)Xác dịnh thiết diện tạo (IMN) với tứ diện ? c)Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ? *5 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J trọng tâm ABC ; DBC ; M trung điểm AD Tìm tiết diện tạo (MJI) tứ diện ? 2) Cho hình chóp S.ABCDE Lấy ba điểm M ; N ; K SA ; BC ; SD Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (MNK) với hình chóp Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 5: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang với AB đáy Gọi M ; N trung điểm SB ; SC a)Tìm giao tuyến (SAD) (SBC) ? b)Tìm giao điểm SD với mặt phẳng (AMN) ? c)Tìm tiết diện tạo mặt phẳng (AMN) với hình chóp *5 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC a)Tìm giao điểm I AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM b)Tìm giao điểm F SD với (AMB) ? Chứng minh F trung điểm SD ? c)Xác định hình dạng tiết diện tạo (AMB) với hình chóp d)Gọi N điểm cạnh AB Tìm giao điểm MN với (SBD) ? *5.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M ; N ; P trung điểm SB ; SD ; OC a) Tìm giao tuyến (MNP) với (SAC) ? b) Dựng thiết diện (MNP) với hình chóp ? c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ? ĐS: c) : ; : ; : 5.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành; gọi M trung điểm SB ; G trọng tâm SAD a) Tìm giao điểm I GM với (ABCD) ? b) Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD ? c) Chứng minh (CGM) qua trung điểm SA ? d) Dựng tiết diện (CGM) với hình chóp ? *5.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O ; I ; J trọng tâm SAB ; SAD a) Tìm giao điểm JI với (SAC) ? b) Dựng thiết diện tạo (JIO) với hình chóp 5.10 Cho hình chóp SABCD Gọi I ; M ; N ba điểm SA ; AB ; CD a) Tìm giao tuyến (SAN) (SDM) ? b) Hãy xác định thiết diện tạo (IMN) với hình chóp BÀI TẬP TỔNG HỢP 1: Cho tứ diện ABCD ; I điểm nằm ngồi đoạn BD Mặt phẳng () qua I cắt AB; BC; CD; DA M; N; P; Q a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng ba điểm I ; N ; P thẳng hàng ? b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ? 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SD; E điểm cạnh BC Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a) Tìm giao điểm N SC với (AME) ? b) Tìm giao tuyến (AME) với (SAC) ? c) Tìm giao điểm K SA với (MBC) ? Chứng minh K trung điểm SA 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành F trung điểm CD; E điểm cạnh SC cho SE = 2EC Tìm tiết diện tạo (AEF) với hình 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SD; E điểm cạnh SB cho SE = 3EB a) Tìm giao điểm F CD với mặt phẳng (AIE) ? b) Tìm giao tuyến d (AIE) với (SBC) ? c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ? 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi F trung điểm SC; E điểm cạnh BC cho BE = 2EC a)Tìm tiết diện tạo (AEF) với hình chóp ? b) Tìm giao điểm SB với (AEF) ? 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O ; M trung điểm SB; G trọng tâm SAD a) Tìm giao điểm I GM với (ABCD) chứng minh I nằm đường thẳng CD IC = 2ID ? b) Tìm giao điểm J (OMG) với AD ? Tính tỉ số c)Tìm giao điểm K (OMG) với SA ? Tính JA JD KA KS HD: b) c) 7: Cho tứ diện ABCD; AD lấy N cho AN = 2ND ; M trung điểm AC ; BC lấy Q cho BQ = BC a) Tìm giao điểm I MN với (BCD) ? Tính IC:ID b) Tìm giao điểm J BD với (MNP) ? Tính JB:JD Cho tứ diện ABCD Gọi I ; J hai điểm cố định nằm AB ; AC ỊJ khơng song song với BC Mặt phẳng quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD M ; N a) Chứng minh MN ln qua điểm cố định ? b) Tìm tập hợp giao điểm IN JM ? c)Tìm tập hợp giao điểm IM JN ? Cho hình chóp SABC Gọi A’ ; B’ ; C’ điểm di động SA ; SB ; SC thoả : SA’ = SA n 1 ; SB’ = 2n SB ; SC’ = SC 3n Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a) Chứng minh A’B’ qua điểm cố định I A’C’ qua điểm cố định J n thay đổi ? b) Chứng minh (A’B’C’) chừa đường thẳng cố định HD: a) dùng định lí menelaus b) đường IJ BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Vấn đề 1: Chøng minh ®-êng th¼ng song song víi mỈt ph¼ng Phương pháp : Có thể dùng cách sau : - Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng , áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo định lý Ta-lét ) - Chứng minh hai đường thẳng song song song với đường thẳng thứ - Áp dụng định lý giao tuyến Bµi1 Cho tø diƯn SABC cã I, J lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ BC CMR: víi M SB (M B) ta ®Ịu cã IJ // (ACM) Bµi Cho tø diƯn ABCD gäi M vµ N lÇn l-ỵt lµ träng t©m ABD vµ ACD CMR: M N // (BCD) vµ MN // (ABC) Bµi Cho hai h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ABEF cã chung c¹nh AB vµ kh«ng ®ång ph¼ng Trªn c¸c c¹nh AD, BE lÇn l-ỵt lÊy c¸c ®iĨm M, N cho AM BN k (0 AD BE < k < 1) Chøng minh r»ng MN // (CDE) Bµi 1: Cho tø diƯn ABCD Gäi I, J lÇn l-ỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC vµ ABD Chøng minh IJ//CD Bµi 2: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AB vµ CD (CD > AB) Gäi M, N lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa SA, SB a, Chøng minh MN//CD b, T×m giao ®iĨm P cđa SC vµ mp(AND) KÐo dµi AN vµ DP c¾t t¹i I Chøng minh SI//AB//CD Tø gi¸c SABI lµ h×nh g×? Bµi 3: Cho tø diƯn ABCD Gäi M, N, P, Q, R, S lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB, CD, BC, AD, AC, BD a, Chøng minh MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh b, Chøng minh MN, PQ, RS c¾t t¹i trung ®iĨm mçi ®o¹n Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC n»m mp(P) Gäi Bx; Cy lµ nưa ®-êng th¼ng song song vµ n»m vỊ cïng phÝa ®èi víi mp(P) M vµ N lµ ®iĨm di ®éng lÇn l-ỵt trªn x, Cy cho CN = 2BM a, Chøng minh r»ng MN lu«n ®i qua ®iĨm cè ®Þnh I M, N di ®éng Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn b, E lµ ®iĨm thc ®o¹n AM vµ EM EA Gäi F lµ giao ®iĨm cđa IE vµ AN, Q lµ giao ®iĨm cđa BE vµ CF Chøng minh r»ng AQ//Bx//Cy vµ (QMN) chøa ®-êng th¼ng cè ®Þnh M, N di ®éng Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh Gäi M, N, P, Q lµ c¸c ®iĨm trªn BC, SC, SD vµ AD cho MN//SB, NP//CD, MQ//CD a, Chøng minh PQ//SA b, Gäi K lµ giao ®iĨm cđa MN vµ PQ Chøng minh SK//AD//BC c, Qua Q dùng Qx//SC; Qy//SB T×m giao ®iĨm cđa Qx vµ mp(SAB); giao ®iĨm cđa Qy vµ mp(SCD) Bµi 6: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng Trên hai đường thẳng chéo AC BF lấy hai điểm M ; N cho AM : AC = BN : BF = 1: Chứng minh MN // DE Bµi 7: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng Trên hai đường thẳng chéo AC BF lấy hai điểm M ; N cho AM : AC = BN : BF = Dựng MM' AB với M' AD; NN' AB với N' AF Chứng minh : a) MM' NN' // CD b) M’N// DF Vấn đề 2: T×m giao tun cđa hai mỈt ph¼ng – ThiÕt diƯn qua mét ®iĨm vµ song song víi ®-êng th¼ng cho tr-íc Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AB vµ CD Gäi I; J lµ trung ®iĨm cđa AD vµ BC Gäi G lµ träng t©m cđa tam gi¸c SAB a, T×m giao tun cđa (SAB) vµ (IJG) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp(IJG) ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? T×m ®iỊu kiƯn ®èi víi AB vµ CD ®Ĩ thiÕt diƯn lµ h×nh b×nh hµnh Bµi 2: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y h×nh h×nh b×nh hµnh Gäi I, J lµ träng t©m c¸c tam gi¸c SAB vµ SAD vµ M lµ trung ®iĨm cđa CD X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(IJM) Bµi 3: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AD = a; BC = b Gäi I; J lµ träng t©m c¸c tam gi¸c SAD vµ SBC a, T×m ®o¹n giao tun cđa mp(ADJ) víimp(SBC); cđa (BCI) vµ (SAD) b, T×m ®é dµi ®o¹n giao tun cđa mỈt ph¼ng (ADJ) vµ (BCI) giíi h¹n bëi mp (SAB) vµ (SCD) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bµi 4: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a Gäi I vµ J lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AC vµ BC Gäi K lµ mét ®iĨm trªn c¹nh BD víi KB = 2KD a, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa tø diƯn víi mp(IJK) Chøng minh thiÕt diƯn lµ h×nh thang c©n b, TÝnh diƯn tchs cđa thiÕt diƯn theo a Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng t©m O c¹nh a MỈt bªn SAB lµ tam gi¸c ®Ịu, SAD 900 Gäi Dx lµ ®-êng th¼ng qua D vµ song song víi SC a, T×m giao ®iĨm I cđa Dx vµ mp(SAB) Chøng minh AI//SB b, T×m thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(AIC) vµ tÝnh diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn ®ã Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh; I, J lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa SA vµ AB M lµ ®iĨm bÊt k× trªn nưa ®-êng th¼ng Ax chøa C BiƯn ln theo vÞ trÝ cđa M trªn Ax c¸c d¹ng cđa thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(IJM) Bµi 7: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a; mỈt bªn SAB lµ tam gi¸c ®Ịu; SC = SD = a Gäi H vµ K lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa SA; SB M lµ ®iĨm trªn c¹nh AD MỈt ph¼ng (HKM) c¾t BC t¹i N a,Chøng minh HKMN lµ h×nh thang c©n b, §Ỉt AM = x x a TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c HKMN theo a vµ x T×m x ®Ĩ diƯn tÝch nµy nhá nhÊt c, T×m tËp hỵp giao ®iĨm cđa HM vµ KN; HN vµ KM Bµi 8: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a, lÊy M trªn c¹nh BA; P a trªn c¹nh CD cho AM DP X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa tø diƯn vµ mỈt ph¼ng qua MP vµ song song víi AC TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn ®ã BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Vấn đề 1: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 10 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Phương pháp chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P Ta chứng minh d khơng nằm (P) song song với đường thẳng a chứa (P) Ghi : Nếu a khơng có sẵn hình ta chọn mặt phẳng (Q) chứa d lấy a giao tuyến (P) (Q) Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh Gäi M, N lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ CD a, Chøng minh MN // mp SBC vµ MN // mp SAD b, Gäi P lµ trung ®iĨm cđa SA Chøng minh SB vµ SC song song víi mp(MNP) c, Gäi G1 vµ G2 lÇn l-ỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC vµ SBC Chøng minh G1G2//mp(SAC) Bµi 2: Cho tø diƯn ABCD G lµ träng t©m tam gi¸c ABD, M trªn BC cho MB = 2MC Chøng minh MG//mp(ACD) Bµi 3: Cho tø diƯn ABCD Gäi O vµ O’ lÇn l-ỵt lµ t©m ®-êng trßn néi tiÕp c¸c tam gi¸c ABC vµ ABD Chøng minh: a, §iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ OO’//mp(BCD) lµ BC AB AC BD AB AD b, §iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ OO’//mp(BCD) vµ mp(ACD) lµ BC = BD vµ AC = AD Bµi 4: Cho hai h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ABEF kh«ng cïng n»m mét mỈt ph¼ng a, Gäi O vµ O’ lÇn l-ỵt lµ t©m cđa ABCD vµ ABEF Chøng minh OO’//(ADF); OO’//(BCE) 3 b, Trªn AE vµ BD lÊy M vµ N cho AM AE; BN BD Chøng minh MN//mp(CDEF) Bµi 5: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy trung điểm M ; BC lấy điểm N bất kì.Gọi () mặt phẳng chứa đường thẳng MN song song với CD a)Tìm tiết diện tứ diện ABCD với () ? b)Xác định vị trí N BC cho tiết diện hình bình hành ? Bµi 6: Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD hình thang có đáy lớn AD Gọi M điểm cạnh AB () mặt phẳng qua M song song AD SD a)Mặt phẳng () cắt SABCD theo tiết diện hình ? b)Chứng minh SA // () Bµi 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng () di động ln ln song song BC đồng thời qua trung điểm C’ SC a)Mặt phẳng () cắt cac cạnh SA ; SB ; SD A’ ; B’ ; D’ tiết diện A’B’C’D’ hình ? 11 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn b)Chứng minh () chuyển động ln ln chứa đường thẳng cố định c)Gọi M giao điểm A’C’ B’D’ Chứng minh () di động M di động đường thẳng cố định Bµi 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy bình hành.Gọi M điểm di động cạnh SC; mặt phẳng () chứa AM BD a)Chứng minh () ln ln qua đường thẳng cố định M chuyển động cạnh SC b) () cắt SB SD E ; F Trình bày cách dựng E F ? c)Gọi I giao điểm ME CB; J giao điểm MF CD Chứng minh ba điểm I ; J ; A thẳng hàng Vấn đề 2: T×m giao tun cđa hai mỈt ph¼ng – ThiÕt diƯn song song víi ®-êng th¼ng cho tr-íc Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD Gäi M vµ N lµ hai ®iĨm bÊt k× trªn SB vµ CD lµ mỈt ph¼ng qua MN vµ song song víi SC a, T×m giao tun cđa mp víi c¸c mỈt ph¼ng (SBC); (SCD); SAC) b, x¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp Bµi 2: Cho tø diƯn ABCD cã AB = a; CD = b Gäi I, J lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ CD (P) lµ mỈt ph¼ng qua M trªn IJ vµ song song víi AB vµ CD a, T×m giao tun cđa mp(P) víi mp(IJD) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mo(P) ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? Bµi 3: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh Gäi C’ lµ trung ®iĨm cđa SC; M lµ ®iĨm di ®éng trªn SA, (P) lµ mỈt ph¼ng di ®éng lu«n ®i qua C’M vµ song song víi BC a, Chøng minh (P) lu«n chøa ®-êng th¼ng cè dÞnh b, X¸c ®Þnh hiÕ diƯn cua hinh chãp c¾ bëi mp(P) X¸c ®Þnh ®iªm M ®ª thiÕt diƯn lµ h×nh b×nh hµnh c, T×m tËp hỵp giao ®iĨm cđa hai c¹nh ®èi cđa thiÕt diƯn M di chun trªn c¹nh SA Bµi 4: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh thang víi ®¸y lín BC = 2a; AD = a vµ AB = b MỈt bªn SAD lµ ta, gi¸c ®Ịu, (P) lµ mỈt ph¼ng qua ®iĨm M trªn ®o¹n AB vµ song song víi SA vµ BC, pm(P) c¾t CD; SC; SB lÇn l-ỵt t¹i I; J; K a, Chøng minh MIJK lµ h×nh thang c©n b, TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(P) theo a vµ x = AM 12 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD Gäi M vµ N lµ hai ®iĨm trªn AB vµ CD vµ (P) lµ mỈt ph¼ng qua MN vµ song song víi SA a, T×m c¸c giao tun cđa (P) víi (SAB) vµ (SAC) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(P) c, T×m ®iỊu kiƯn cđa M; N ®Ĩ thiÕt diƯn lµ h×nh thang Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O; M lµ ®iĨm di ®éng trªn SC vµ (P) lµ mỈt ph¼ng qua AM vµ song song víi BD a, Chøng minh (P) lu«n chøa mét ®-êng th¼ng cè ®Þnh b, T×m c¸c giao ®iĨm H vµ K cđa (P) víi SB vµ SD Chøng minh SB SD SC lµ mét h»ng sè SH SK SM c, ThiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp(P) cã thĨ lµ h×nh thang ®-ỵc hay kh«ng Bµi 7: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a; M vµ P lµ hai ®iỴm di ®éng trªn c¸c c¹nh AD vµ BC cho AM=CP=x (0 < x < a) Mét mỈt ph¼ng qua MP vµ song song víi CD c¾t tø diƯn theo mét thiÕt diƯn a, Chøng minh thiÕt diƯn th«ng th-êng lµ h×nh thang c©n b, TÝnh x ®Ĩ diƯn tÝch thiÕt diƯn nhá nhÊt Bµi Cho h×nh chãp S.ABCD gäi M, N lµ hai ®iĨm bÊt k× trªn SB vµ CD ( ) lµ mỈt ph¼ng qua MN vµ song song víi SC a T×m giao tun cđa () víi c¸c mỈt ph¼ng (SBC), (SCD), vµ (SAC) b X¸c ®inh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp t¹o bëi mỈt ph¼ng () Bµi Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh t©m O M lµ trung ®iĨm cđa SB X¸c ®ÞnhthiÕt diƯn cđa h×nh chãp SABCD t¹o bëi mỈt ph¼ng () biÕt a () qua M vµ song song SO vµ AD b () qua O vµ song song AM vµ SC Bµi 10 Cho h×nh chãp S.ABCD; G lµ träng t©m ABC; M, N, P, Q, R, H lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa SA, SC, CB, BA, QN, AG a Chøng minh r»ng: S, R, G th¼ng hµng vµ SH = 2MH = 4RG b G1 lµ träng t©m SBC Chøng minh r»ng GG1 // (SAB); GG1 // (SAC) c mỈt ph¼ng () qua GG1 vµ song song BC X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp t¹o bëi mỈt ph¼ng () 13 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bµi 11 Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang ®¸y lín AD Mét ®iĨm M bÊt k× n»m trªn AB, () lµ mỈt ph¼ng qua M vµ song song AD vµ SB a X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp t¹o bëi mỈt ph¼ng () ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? b Chøng minh SC song song () Bµi 12 Cho tø diƯn ABCD ®Ịu c¹nh a I lµ trung ®iĨm cđa AC , J AD cho AJ = 2JD M lµ mét ®iĨm di ®éng BCD cho mỈt ph¼ng (MIJ) lu«n song song AB a T×m tËp hỵp ®iĨm M b TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn cđa tø diƯn t¹o bëi mỈt ph¼ng (MIJ) BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Vấn Đề 1: MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp : * Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng Bµi 1: Cho h×nh chíp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O Gäi M, N lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa SA vµ CD a, Chøng minh: mp(OMN) // mp(SBC) b, I lµ trung ®iĨm cđa SC vµ J lµ ®iĨm n»m trªn mp(ABCD) c¸ch ®Ịu AB vµ CD Chøng minh IJ // mp(SAB) c, Gi¶ sư c¸c tam gi¸c SAB vµ ABC c©n t¹i A Gäi AE vµ AF lµ c¸c ®-êng ph©n gi¸c cđa c¸c tam gi¸c ACD vµ SAB Chøng minh EF // mp(SAD) Bµi 2: Cho hai h×nh vu«ng ABCD vµ ABEF kh«ng cïng n»m mét mỈt ph¼ng Trªn AC vµ BF lÊy M vµ N cho AM = BN C¸c ®-êng th¼ng song song víi AB vÏ tõ M, N lÇn l-ỵt c¾t AD; AF t¹i M’, N’ a, Chøng minh: (CBE) // (ADF) b, Chøng minh: mp (DEF) // mp(MNN’M’) c, Gäi I lµ trung ®iĨm cđa MN, t×m tËp hỵp I M, N di ®éng Bµi 3: Cho tø diƯn ABCD cã AB = AC = AD Chøng minh r»ng c¸c ®-êng ph©n gi¸c ngoµi cđa c¸c gãc BAC, CAD, DAB ®ång ph¼ng Bµi 4: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O Gäi M, N lµ trung ®iĨm cđa SA, SD 14 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a, Chøng minh mp(OMN) // mp(SBC) b, Gäi P vµ Q lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ ON Chøng minh PQ // mp(SBC) Bµi 5: Cho tø diƯn ABCD Gäi I vµ J lµ hai ®iĨm di ®éng lÇn l-ỵt trªn AD vµ BC cho IA JB Chøng minh IJ lu«n ID JC song song víi mét mỈt ph¼ng cè ®Þnh Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh víi AB = a; AD = 2a, mỈt bªn SAB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A Trªn AD lÊy M, ®Ỉt AM = x (0 < x < 2a) MỈt ph¼ng qua M vµ song song víi mp(SAB) c¾t BC; SC; SD t¹i N, P, Q a, Chøng minh MNPQ lµ h×nh thang vu«ng b, Gäi I lµ giao ®iĨm cđa MQ vµ NP T×m tËp hỵp I M ch¹y trªn AD c, TÝnh diƯn tÝch MNPQ theo a vµ x Bµi 7: Cho ®-êng th¼ng a vµ b chÐo T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm I trªn ®o¹n MN vµ chia MN theo tØ sè k cho tr-íc tr-êng hỵp: a, M, N di ®éng lÇn l-ỵt trªn a, b b, M, N di ®éng trªn a, b vµ MN lu«n song song víi mỈt ph¼ng hc n»m trªn mỈt ph¼ng cho tr-íc c¾t a vµ b Bµi 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi H,I,K trung điểm SA,SB,SC a) Chứng minh (HIK)// (ABCD) b) Gọi M giao điểm AI KD, N giao điểm DH CI Chứng minh (SMN) //(HIK) Bµi 9: Cho hình hộp ABCD.ÁB’C’D’ a) Chứng minh (BA’D) // (B’D’C) b) Chứng minh AC’ qua trọng tâm G G’ tam giác A’BD CB’D’ Bµi 10: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành tâm O Gọi M,N trung điểm SA ,CD a) Cm: (OMN) //(SBC) b) Giả sử tam giác SAD, ABC cân A Gọi AE,A F đường phân giác tam giác ACD SAB Cm: E F //(SAD) Bµi 11: Cho hai hình vuông ABCD, ABE F không nằm mặt phẳng Trên đường chéo AC,BF lấy điểm M,N cho AM=BN Các dường thẳng // AB vẽ từ M,N cắt AD, A F M’,N’ 15 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn a)Cm: (CBE) //(AD F) b) Cm: (DE F)//(MNN’M’) VẤN ĐỀ 2: T×m giao tun cđa hai mỈt ph¼ng – ThiÕt diƯn c¾t bëi mỈt ph¼ng song song víi mỈt ph¼ng cho tr-íc Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O cã AC = a; BD = b; tam gi¸c SBD ®Ịu MỈt ph¼ng di ®éng song song víi mp(SBD) qua I trªn ®o¹n AC a, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp b, TÝnh diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn theo a, b vµ x = AI Bµi 2: Cho hai mỈt ph¼ng (P) vµ (Q) tho¶ m·n (P) //(Q), ABC mp P ; MN Q a, T×m giao tun cđa mp(MAB) vµ mp(Q); giao tun cđa mp(NAC) vµ mp(Q) b, T×m giao tun cđa mp(MAB) vµ mp(NAC) Bµi 3: Tõ ®Ønh cđa h×nh b×nh hµnh ABCD vÏ nưa ®-êng th¼ng song song cïng chiỊu Ax; By; Cz; Dt kh«ng n»m mp(ABCD) Mét mp c¾t nưa ®-êng th¼ng t¹i A’; B’; C’; D’ a, Chøng minh (Ax; By) // (Cz; Dt) b, Chøng minh A’B’C’D’ lµ h×nh b×nh hµnh c, Chøng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’ Bµi 4: Cho tø diƯn ABCD, gäi G1; G2; G3 lÇn l-ỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC, ACD, ABD a, Chøng minh (G1G2G3) // mp(BCD) b, T×m thiÕt diƯn cđa tø diƯn c¾t bëi mp(G1G2G3) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯntheo diƯn tÝch cđa tam gi¸c BCD c, M di ®éng tø diƯn cho G1M // (ACD) T×m tËp hỵp ®iĨm M Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh thang, ®¸y lín AB = 3a; AD = CD = a, tam gi¸c SAB c©n t¹i S vµ SA = 2a MỈt ph¼ng di ®éng song song víi mp(SAB) c¾t AD; BC; SC; SD t¹i M; N; P; Q a, Chøng minh MNPQ lµ h×nh thang c©n b, §Ỉt x = AM (0 < x < a) T×m x ®Ĩ MNPQ ngo¹i tiÕp mét ®-êng trßn TÝnh b¸n kÝnh ®-¬ng trßn ®ã c, Gäi I lµ giao ®iĨm cđa MQ vµ NP T×m tËp hỵp I M ®i ®éng trªn AD Gäi J lµ giao ®iĨm cđa MP vµ NQ Chøng minh IJ cã ph-¬ng kh«ng ®ỉi vµ J di ®éng trªn mp cè ®Þnh Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O, E lµ trung ®iĨm cđa SB BiÕt tam gi¸c ACE ®Ịu vµ AC = 16 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn OD = a Mp di ®éng song song víi mp(ACE) vµ qua I trªn OD, mp c¸t AD, CD, SC, SB, SA lÇn l-ỵt t¹i M, N, P, Q, R a, NhËn xÐt g× vỊ tam gi¸c PQR vµ tø gi¸c MNPR b, T×m tËp hỵp giao ®iĨm cđa MP vµ NR I di ®éng trªn ®o¹n OD c, TÝnh diƯn tÝch MNPQR theo a vµ x = DI X¸c ®Þnh x ®Ĩ diƯn tÝch ®ã lín nhÊt Bµi 7: Cho h×nh chãp SABCD cã ®ay lµ h×nh b×nh hµnh MỈt ph¼ng (P) c¾t SA; SB; SC; SD lÇn l-ỵt t¹i A’; B’; C’; D’ Chøng minh ®iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ A’B’C’D’ lµ h×nh b×nh hµnh lµ mp(P) // (ABCD) Bµi 8: Cho h×nh chãp SABC, mp(P) di ®éng song song víi mp(ABC) c¾t SA; SB; SC lÇn l-ỵt t¹i A’; B’; C’ T×m tËp hỵp ®iĨm chung cđa mỈt ph¼ng (A’BC), (B’AC), C’AB) Bµi 9: Cho tø diƯn ABCD Gäi E; F; J theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa BC; BD; AD Mp qua EF vµ song song víi BJ, mp qua BJ vµ song song víi CD a, ThiÕt diƯn mp c¾t tø diƯn lµ h×nh g×? b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn mp c¾t tø diƯn Chøng minh // c, AC vµ AD c¾t mp lÇn l-ỵt t¹i H, K Gäi I lµ giao ®iĨm cđa AC vµ mp Chøng minh HE; KF vµ AB ®ång quy t¹i M d, Gi¶ sư c¸c tam gi¸c ABC vµ ABD vu«ng t¹i B TÝnh chu vi tam gi¸c MHK biÕt chu vi tam gi¸c ACD b»ng a Bµi 10: Cho h×nh chãp SABCD ®ay lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AB; CD víi CD = pAB (0 < p < 1) Gäi S0 lµ diƯn tÝch tam gi¸c SAB vµ lµ mỈt ph¼ng qua M trªn c¹nh AD vµ song song víi mp(SAB) §Ỉt DM x AD x 1 a, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp SABCD víi TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn theo S0, p, x b, TÝnh x ®Ĩ diƯn tÝch thiÕt diƯn b»ng mp S0 Bµi 11: Cho h×nh chãp SABC, I lµ trung ®iĨm cđa SB vµ J n»m trªn ®o¹n SC cho JC JS vµ O lµ träng t©m tam gi¸c ABC a, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp(OIJ), gäi s lµ diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn nµy 17 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn b, lµ mỈt ph¼ng qua M trªn nưa ®-êng th¼ng BC vµ mp song song hc trïng víi mp(OIJ) §Ỉt BM x x 0 T×m x BC ®Ĩ mp c¾t h×nh chãp c, BiƯn ln theo x c¸c d¹ng cđa thiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp d, Gäi H(x) lµ diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn nãi ë c©u c TÝnh H(x) theo s vµ x Bµi 12: Cho h×nh chãp SABCD cã E lµ giao ®iĨm cđa AD vµ BC Mp(P) song song víi SE c¾t SA, SB, SC, SD theo thø tù t¹i J, K, H, I a, Tø gi¸c IJKH lµ h×nh g×? b, T×m ®iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ tø gi¸c IJKH lµ h×nh b×nh hµnh Bµi 13: Cho tø diƯn ABCD cã AD = a; BC = b; AB = c LÊy M trªn AB, mỈt ph¼ng qua M song song víi AD vµ BC c¾t c¸c c¹nh AC, CD, BD t¹i N, P, Q a, Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? b, §Ỉt AM = x TÝnh c¸c c¹nh cđa tø gi¸c MNPQ c, Mn tø gi¸c MNPQ lµ h×nh ch÷ nhËt ph¶i cã thªm ®iỊu kiƯn g×? T×m diƯn tÝch tø gi¸c tr-êng hỵp nµy T×m vÞ trÝ cđa M trªn AB ®Ĩ tø gi¸c cã diƯn tÝch lín nhÊt Bµi 14: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a, Mp(P) qua A song song víi BC, c¾t BD vµ CD t¹i M, N, ®Ỉt BM = x TÝnh AM MN AN BÀI 5: PhÐp chiÕu song song – H×nh l¨ng trơ – H×nh hép Bµi 1: Cho l¨ng trơ tam gi¸c ABCA’B’C’ Mp qua ®-êng chÐo A’C vµ song song víi ®-êng chÐo BC’ chia AB theo tØ sè nµo? Bµi 2: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’ LÊy M A ' B', N AB, P CC' tho¶ m·n: AM ' BN C' P MB' NA PC Mp(MPN) c¾t B’C’ t¹i Q T×m C' Q B' C' Bµi 3: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’ Gäi H lµ trung ®iĨm cđa A’B’ a, Chøng minh C’B // mp(AHC’) b, T×m giao ®iĨm cđa AC’ vµ mp(BCH) c, Mp(P) qua trung ®iĨm cđa CC’ vµ song song víi AH vµ CB’ X¸c ®Þnh thiÕt diƯn vµ tØ sè mµ c¸c ®Ønh cđa thiÕt diƯn chia c¹nh t-¬ng øng cđa l¨ng trơ 18 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bµi 4: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’ a, T×m giao tun cđa (AB’C’) vµ (BA’C’) b, Gäi M vµ N lµ ®iĨm bÊt k× trªn AA’ vµ BC T×m giao ®iĨm cđa B’C’ víi mp(AA’N), cđa MN víi (AB’C’) Bµi 5: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’ Gäi G vµ G’ lÇn l-ỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC vµ A’B’C’ Chøng minh r»ng c¸c mỈt ph¼ng (ABC’), (BCA’) vµ (CAB’) cã ®iĨm chung O trªn GG’ TÝnh tØ sè OG : OG’ Bµi 6: Cho h×nh hép ABCDA’B’C’D’ a, Chøng minh mp(BDA’) // mp(B’D’C) b, Chøng minh ®-êng chÐo AC’ qua träng t©m G1; G2 cđa c¸c tam gi¸c BDA’ vµ B’D’C Chøng minh G1; G2 chia AC’ lµm phÇn b»ng Bµi 7: Chøng minh r»ng h×nh hép, tỉng c¸c b×nh ph-¬ng cđa ®-êng chÐo b»ng tỉng b×nh ph-¬ng tÊt c¶ c¸c c¹nh Bµi 8: Cho l¨ng trơ tam gi¸c ABCA’B’C’ a, Gäi I, K, G lÇn l-ỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC; A’B’C’ vµ ACC’ Chøng minh (IGK) // (BB’C’C) vµ (A’KG) // (AIB’) b, Gäi M, N lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa BB’ vµ CC’ H·y dùng ®-êng th¼ng qua träng t©m tam gi¸c ABC c¾t AB’ vµ MN Bµi 9: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’ Gäi M, N lµ trung ®iĨm cđa BC vµ CC’, P ®èi xøng víi C qua A a, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa l¨ng trơ víi mp(A’MN) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa l¨ng trơ víi mp(MNP) Bµi 10: Cho h×nh lËp ph-¬ng ABCDA’B’C’D’ c¹nh a Gäi M, N, P lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB, B’C’; DD’ a, Chøng minh mp(MNP) // mp(A’B’D) vµ (BDC’) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh lËp ph-¬ng víi mp(MNP)? ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn ®ã Bµi 11: Cho h×nh l¨ng trơ ABCA’B’C’ ®¸y lµ tam gi¸c ®Ịu c¹nh a, ABB’A’, ACC’A’ lµ c¸c h×nh vu«ng Gäi I, J lµ t©m cđa ABB’A’, ACC’A’ vµ O lµ t©m ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC a, Chøng minh IJ // mp(ABC) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa l¨ng trơ víi mp(IJO) Chøng minh thiÕt diƯn lµ h×nh thang c©n ƠN TẬP TỔNG HỢP 19 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bµi1: Cho h×nh chãp S.ABCD, ®¸y ADBC lµ h×nh thoi c¹nh a; SA = SB = a; SC = SD = a Gäi E, F lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa c¸c c¹nh SA, SB; M lµ mét ®iĨm trªn c¹nh BC 1) X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp S.ABCD víi mỈt ph¼ng (MEF) ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? 2) §Ỉt BM = x (0 x a) TÝnh FM vµ diƯn tÝch thiÕt diƯn trªn theo a vµ x KQ: S = 3a 16 x 8ax 3a 16 Bµi2: Cho tø diƯn ABCD ®ã AB vu«ng gãc víi CD vµ AB = AC = CD = a; M lµ mét ®iĨm trªn c¹nh AC víi AM = x (0 < x < a); () lµ mỈt ph¼ng qua M song song víi AB vµ CD 1) X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa tø diƯn t¹o bëi mỈt ph¼ng () ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? 2) TÝnh diƯn tÝchthiÕt diƯn theo a vµ x X¸c ®Þnh x ®Ĩ diƯn tÝch thiÕt diƯn nµy lín nhÊt S = x(a x) a < x < a x = Bµi3: Trong mỈt ph¼ng () cho ABC ®Ịu c¹nh a, gäi O lµ trung ®iĨm cđa c¹nh AC; lÊy ®iĨm S ë ngoµi () cho SA = a vµ SA BO; () lµ mỈt ph¼ng chøa BO vµ song song víi SA 1) () c¾t tø diƯn SABC theo thiÕt diƯn lµ h×nh g×? 2) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn trªn theo a a2 S = Bµi4: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ h×nh b×nh hµnh víi AB = 2a, AD = a SAB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A Gäi M lµ mét ®iĨm trªn c¹nh AD víi AM = x (0 < x < a) () lµ mỈt ph¼ng qua M vµ song song víi (SAB) 1) () c¾t h×nh chãp theo thiÕt diƯn lµ h×nh g×? 2) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn trªn theo a vµ x S = a2 x2 Bµi5: Cho tø diƯn ABCD Gäi I, J lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa c¸c c¹nh CA, CB M lµ mét ®iĨm trªn ®o¹n BD, mỈt ph¼ng (IJM) c¾t AD t¹i N 1) Chøng minh IJMN lµ h×nh thang X¸c ®Þnh vÞ trÝ cđa M ®Ĩ IJMN lµ h×nh b×nh hµnh 2) Gäi K lµ giao ®iĨm cđa IM vµ JN T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm K M di ®éng trªn ®o¹n BD 20 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bµi6: Tõ ®iĨm cđa h×nh b×nh hµnh ABCD vÏ nưa ®-êng th¼ng song song cïng chiỊu Ax, By, Cz, ®-Êng th¼ng cho chóng c¾t mỈt ph¼ng (ABCD) Mét mỈt ph¼ng () c¾ nưa ®-êng th¼ng ®ã lÇn l-ỵt t¹i A', B', C', D' 1) Chøng minh: (Ax; By) // (Cz; Dt) 2) Chøng minh tø gi¸c A'B'C'D' lµ h×nh b×nh hµnh 3) Gäi O, O' lÇn l-ỵt lµ t©m c¸c h×nh b×nh hµnh ABCD, A'B'C'D' Chøng minh ®-êng th¼ng OO' // AA' vµ AA' + CC' = BB' + DD' Bµi7: Cho tø diƯn ABCD víi AB CD, BCD vu«ng t¹i C cã = 300 M lµ ®iĨm di ®éng trªn c¹nh BD, () lµ mỈt ph¼ng qua M song song víi AB vµ CD 1) () c¾t tø diƯn ABCD theo mét thiÕt diƯn lµ h×nh g×? 2) Gi¶ sư AB = BD = a, BM = x TÝnh diƯn tÝch S cđa thiÕt diƯn thao a vµ x 3) VÉn lÊy gi¶ thiÕt c©u2) X¸c ®Þnh x ®Ĩ thiÕt diƯn cã ®-êng chÐo vu«ng gãc KQ: 2) S = 3) x = 2 3a xa x Bµi8: Cho h×nh chãp S.ABCD víi ABCD lµ h×nh thoi c¹nh a, SAD lµ tam gi¸c ®Ịu Gäi M lµ mét ®iĨm AB, () lµ mỈt ph¼ng qua M song song víi (SAD) c¾t CD, SC, SB lÇn l-ỵt t¹i N, P, Q 1) Chøng minh MNPQ lµ h×nh thang c©n 2) Gäi I lµ giao ®iĨm cđa MQ vµ NP T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm I M ch¹y tõ A ®Õn B 3) §Ỉt AM = x TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn MNPQ theo a vµ x S = a x2 Bµi9: Cho tø diƯn ®Ịu SABC c¹nh a Gäi I, K, L lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AB, AI, SB () lµ mỈt ph¼ng qua KL vµ song song víi CI TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn cđa () víi a2 tø diƯn S = Bµi10: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®Êy lµ h×nh b×nh hµnh t©m O 1) Tõ mét ®iĨm M di ®éng trªn ®o¹n SA dùng ®-êng th¼ng song song víi AD c¾t SD t¹i N, NB c¾t SO t¹i P Chøng minh MP ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh 21 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn CQ SM Chøng minh CD SA MQ lu«n sonh song víi mét mỈt ph¼ng cè ®Þnh 3) T×m vÞ trÝ cđa M trªn SA ®Ĩ MNQ cã diƯn tÝch lín nhÊt? Bµi11: Cho h×nh lËp ph-¬ng ABCD.A'B'C'D'; E, F, G lÇn l-ỵt lµ trung ®iĨm cđa AA', BB', CC' Chøng minh r»ng: 1) (EFG) // (ABCD) 2) X¸c ®Þnh giao tun cđa hai mỈt ph¼ng (ABD) vµ (C'D'D) 3) T×m giao ®iĨm cđa A'C vµ (C'DB) 4) Gäi O vµ O' lÇn l-ỵt lµ giao ®iĨm cđa hai ®-êng chÐo ®Êy ABCD vµ A'B'C'D' Chøng minh r»ng AO' vµ C'O chia A'C thµnh ba ®¹on b»ng Bµi12: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD Gäi G1, G2 lÇn l-ỵt lµ t©m cđa ABD vµ BCD; I lµ trung ®iĨm cđa AC 1) CM: G1G2 // (ABC); G1G2 // (ACD) 2) mỈt ph¼ng () ®i qua G1, G2 vµ song song víi BC T×m thiÕt diƯn cđa () vµ tø diƯn ABCD ThiÕt diƯn lµ h×nh g× ? T¹i sao? 3) G lµ t©m cđa tø diƯn ABCD K lµ trung ®iĨm cđa G1G2 Chøng minh r»ng G, I, K th¶ng hµng Bµi13: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh thang mµ ®¸y lín lµ c¹nh AD Mét ®iĨm M bÊt kú trªn c¹nh AB vµ mét mỈt ph¼ng () qua M vµ // AD vµ SB 1) mỈt ph¼ng () c¾t h×nh chãp S.ABCD theo thiÕt diƯn lµ h×nh g×? 2) CM: SC // () Bµi14: Cho h×nh hép ABCD.A"B'C'D' cã Q lµ trung ®iĨm c¹nh DD', I lµ mét ®iĨm trªn ®o¹n BD cho DI = 3IB T×m thiÕt diƯn cđa h×nh hép ABCD.A"B'C'D' t¹o bíi mỈt ph¼ng () qua IQ vµ // AC Bµi15: Cho tø gi¸c ABCD n»m mp (P) Hai ®-êng th¼ng AB vµ CD c¾t t¹i E; AD vµ BC c¾t t¹i F Mét ®iĨm S n»m ngoµi mỈt ph¼ng (P) vµ mét mỈt ph¼ng (Q) di ®éng c¾t SA, SB, SC t¹i I, J, K 1) T×m giao ®iĨm K cđa (Q) vµ SD 2) Chøng minh r»ng ®iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ IJ // KL lµ SE // (Q) 3) T×m ®iỊu kiƯn gi÷a SF vµ (Q) ®Ĩ IL // JK Chøng minh r»ng nÕu IJKL lu«n lµ h×nh b×nh hµnh th× (Q) lu«n song song víi mét mỈt ph¼ng cè ®Þnh 2) Trªn c¹nh CD lÊy ®iĨm Q cho: 22 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Bµi16: Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh a vµ tam gi¸c vu«ng c©n ADF (AD = AF) n»m hai mỈt ph¼ng kh¸c BiÕt BF = a , trªn c¸c ®o¹n AC, FD lÇn l-ỵt lÊy hai ®iĨm M, N di ®éng cho: AM = FN = x (0 < x < a ) 1) Chøng minh r»ng MM // (ABF) 2) Chøng minh: AN = MN = BM c) TÝnh ®é dµi MN theo a vµ x X¸c ®Þnh x ®Ĩ MN cã ®é dai nhá nhÊt 23 ... ph¼ng qua MP vµ song song víi AC TÝnh diƯn tÝch thi t diƯn ®ã BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Vấn đề 1: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 10 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Phương... mỈt ph¼ng (MIJ) lu«n song song AB a T×m tËp hỵp ®iĨm M b TÝnh diƯn tÝch thi t diƯn cđa tø diƯn t¹o bëi mỈt ph¼ng (MIJ) BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Vấn Đề 1: MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp Chứng... song song víi mp(SAB) §Ỉt DM x AD x 1 a, X¸c ®Þnh thi t diƯn cđa h×nh chãp SABCD víi TÝnh diƯn tÝch thi t diƯn theo S0, p, x b, TÝnh x ®Ĩ diƯn tÝch thi t diƯn b»ng mp S0 Bµi 11: