a Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng ABCD.. Thiết diện qua một đ ờng thẳng cho tr ớc và vuông góc với một mặt phẳng cho tr - ớc: 1 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình
Trang 1I) Hai đ ờng thẳng vuông góc:
1) Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a Gọi M, N, P, Q, R lần lợt là trung điểm của AB,
CD, AD, BC và AC CMR:
a) MN RP b) MN RQ c) AB CD
2) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh BC và AD Biết: AB =
CD = 2a; MN = a 3 Tính góc giữa hai đờng thẳng AB và CD
3) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp BCD Chứng minh: AO CD
Góc của đ ờng thẳng và mặt phẳng:
1) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 6, SA (ABCD) Tính gócABCD) Tính góc của :
a) SC với (ABCD) Tính gócABCD)
b) SC với (ABCD) Tính gócSAB)
c) SB với (ABCD) Tính gócSAC)
2) Cho ABC vuông cân tại B, AB = a, SA = a, SA (ABCD) Tính gócABC)
a) Tính khoảng cách từ A đến (ABCD) Tính gócSBC)
b) Tính góc hợp bởi SB và (ABCD) Tính gócSAC)
3) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a và SO (ABCD) Tính gócABCD) (ABCD) Tính gócO là tâm đáy) Gọi
M, N là trung điểm của SA và BC Biết góc của MN và (ABCD) Tính gócABCD) là 600
a) Tính MN và SO
b) Tính góc của MN với mặt phẳng (ABCD) Tính gócSBD)
4) Cho hình vuông ABCD và SAB đều cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc Gọi I
là trung điểm của AB
a) CM: SI (ABCD) Tính gócABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD) Tính gócABCD)
b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ABCD) Tính gócSAD) Suy ra góc của SC hợp với (ABCD) Tính gócSAD)
c) J là trung điểm của CD CM: (ABCD) Tính gócSIJ) (ABCD) Tính gócABCD) Tính góc hợp bởi đờng thẳng SI và (ABCD) Tính gócSDC)
) Chứng minh đ ờng vuông góc với mặt, đ ờng vuông góc với đ ờng
1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA (ABCD) Tính gócABCD) gọi H, I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, SD
a) Chứng minh rằng: BC (ABCD) Tính gócSAB); CD (ABCD) Tính gócSAD); BD (ABCD) Tính gócSAC)
b) Chứng minh rằng: AH SC; AK SC Từ đó suy ra AH, AI, AK đồng phẳng
c) Chứng minh rằng: HK (ABCD) Tính gócSAC); HK AI
Trang 22) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết SA = SC;
SB = SD
a) CM: SO (ABCD) Tính gócABCD)
b) Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AB, BC CMR: IJ (ABCD) Tính gócSBD)
3) Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều Gọi I là trung điểm của BC a) CM: BC (ABCD) Tính gócAID)
b) Hạ AH ID (ABCD) Tính gócH ID) CM: AH (ABCD) Tính gócBCD)
4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SAB đều; SCD vuông cân đỉnh S I, J lần lợt là trung điểm của AB, CD
a) Tính các cạnh của SIJ CMR: SI (ABCD) Tính gócSCD); SJ (ABCD) Tính gócSAB)
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên IJ CMR: SH AC
5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác
đều, SC = a 2 Gọi H, K lần lợt là trung điểm của AB và AD
a) CMR: SH (ABCD) Tính gócABCD)
b) CMR: AC SK; CK SD
6) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên (ABCD) Tính gócABC) CMR:
a) BC (ABCD) Tính gócOAH)
b) H là trực tâm của ABC
c) 12 12 12 12
OC OB
OA
d) Các góc của ABC đều nhọn
7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a; BC = a 3, mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có SD = a 5
a) CM: SA (ABCD) Tính gócABCD) và tính SA
b) Trong mặt phẳng (ABCD) Tính gócABCD) kẻ đờng thẳng qua A với AC cắt các đờng thẳng CB, CD lần lợt tại I, J Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC Hãy Xác định các giao điểm K,
N của SB, SD với mặt phẳng (ABCD) Tính gócHIJ) CMR: AK (ABCD) Tính gócSBC) AN (ABCD) Tính gócSCD)
c) Tính diện tích tứ giác AKHN
8) Gọi I là một điểm bất kỳ ở trong đờng tròn tâm O bán kính R CD là dây cung của đờng tròn (ABCD) Tính gócO) qua I Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đờng tròn (ABCD) Tính gócO) tại I ta lấy
điểm S với OS = R gọi E là điểm đối tâm của D trên đờng tròn (ABCD) Tính gócO) CMR:
a) SDE vuông b) SD CE c) SCD vuông
9) Cho MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (ABCD) Tính góc) Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính góc) tại A ta lấy hai điểm C, D ở hai bên điểm A Gọi C' là hình chiếu vuông góc của
C trên MD, H là giao điểm của AM và CC'
a) CM: CC' (ABCD) Tính gócMBD)
b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên AB CMR: K là trực tâm của BCD
10) Cho đờng tròn (ABCD) Tính gócO) đờng kính AB= 2R; (ABCD) Tính gócO) ở trong mặt phẳng (ABCD) Tính góc) Dựng AS = 2R vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính góc) Gọi T là một điểm di động trên tiếp tuyến của đờng tròn (ABCD) Tính gócO)
tại A Đặt ABT = đờng tròn BT gặp đờng tròn (ABCD) Tính gócO) tại M Gọi N là hình chiếu vuông góc
của A trên SM
a) Chứng minh các mặt bên của tứ diện SAMB đều là các tam giác vuông
b) CMR: khi T đi động đờng thẳng TN luôn đi qua một điểm cố định H
c) Tính để AHN cân
11) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; SA (ABCD) Tính gócABC) AH là đờng cao kẻ từ A của SAB HK SB (ABCD) Tính gócK SC) CM:
a) BC (ABCD) Tính gócSAB) b) AH (ABCD) Tính gócSBC) c) KH (ABCD) Tính gócSAB)
Trang 312) Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng đôi một vuông góc với nhau
A Ox, B Oy, C Oz Gọi H là trực tâm ABC CMR: OH (ABCD) Tính gócABC)
13) Cho tứ diện SABC có SA (ABCD) Tính gócABC) H, K là trực tâm ABC và SBC CMR:
a) AH, SK, BC đồng quy b) SC (ABCD) Tính gócBHK) c) HK (ABCD) Tính gócSBC)
14) Cho tứ diện ABCD SA (ABCD) Tính gócABC) Dựng đờng cao AE của ABC
a) CM: SE BC
b) H là hình chiếu vuông góc của A trên SE CM: AH SC
15) Cho tứ diện đều, CMR hai cạnh đối của tứ diện này vuông góc với nhau
16) Cho mặt phẳng (ABCD) Tính góc) và một đờng tròn (ABCD) Tính gócC) đờng kính AB chứa trong mặt phẳng đó M (ABCD) Tính gócC) không trùng với A và B Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính góc) tại A ta lấy điểm S
a) CM: các mặt bên của tứ diện SAMB là các tam giác vuông
b) Một mặt phẳng (ABCD) Tính góc) qua A vuông góc với SB tại D cắt SM tại E CM: AED vuông 17) Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD) Tính gócABCD) đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD = DC =
2
AB
I là trung điểm của AB
a) CM: CI SB và DI SC
b) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông
) Thiết diện qua một điểm cho tr ớc và vuông góc với một đ ờng thẳng cho tr ớc:
1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a,
AD = 2a, SA (ABCD) Tính gócABCD) và SA = 2a Gọi M là một điểm trên cạnh AB; (ABCD) Tính góc) là mặt phẳng qua M vuông góc với AB Đặt x = AM (ABCD) Tính góc0 < x < a)
a) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (ABCD) Tính góc) Thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện
2) Cho tứ diện SABC có ABC đều cạnh a, SA (ABCD) Tính gócABC) và SA = 2a Gọi (ABCD) Tính góc) là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC Tìm thiết diện của tứ diện tạo vởi mặt phẳng (ABCD) Tính góc) và tính diện tích của thiết diện
3) Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác đều cạnh a, SA (ABCD) Tính gócABC) và SA = a Tìm thiết diện của tứ diện SABC với mặt phẳng (ABCD) Tính góc) và tính diện tích thiết diện trong các trờng hợp sau: a) (ABCD) Tính góc) qua S và vuông góc với BC
b) (ABCD) Tính góc) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của SBC
c) (ABCD) Tính góc) qua trung điểm M của SC và AB
4) Cho hình tứ diện S.ABC có ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a SA (ABCD) Tính gócABC) và
SA = a 3 M là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB, Đặt AM = x (ABCD) Tính góc0 < x < a) Gọi (ABCD) Tính góc ) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB
a) Xác định thiết diện của tứ diện SABC tạo bởi mặt phẳng (ABCD) Tính góc)
b) Tính diện tích thiết diện này theo a và x
5) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD và hình vuông cạnh a; SA (ABCD) Tính gócABCD) và SA = a 2
Vẽ đờng cao AH của SAB
a) CMR:
3
2
SB
SH
b) Gọi (ABCD) Tính góc) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB, (ABCD) Tính góc) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện
6) Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a; SA (ABCD) Tính gócABCD) và SA = a 2 Gọi (ABCD) Tính góc) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC; (ABCD) Tính góc) cắt SB, SC, SD lần lợt tại M, N, P
a) CMR: AM SB, AD SD
SM.SB = SN.SC = SP.SD = SA2
b) CM: tứ giác AMNP nội tiếp đợc và có hai đờng chéo vuông góc với nhau
Trang 4c) Gọi O là giao điểm của AC và BD; K = AN MP CMR: S, K, O thẳng hàng
d) Tính diện tích tứ giác AMNP
7) Cho hình thoi ABCD có tâm O với các đờng chéo AC = 4a, BD = 2a Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính gócABCD) tại O lấy điểm S với SO = 2a 3 mặt phẳng (ABCD) Tính góc) qua A và
SC cắt SB, SC, SD lần lợt tại B', C', D'
a) Chứng minh tứ giác AB'C'D' có hai đờng chéo vuông góc với nhau
b) Tính diện tích tứ giác AB'C'D'
c) CMR: B'C'D' là tam giác đều
8) Cho hình tứ diện S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a SA (ABCD) Tính gócABC) và SA = a Gọi M
là một điểm tuỳ ý trên AC, (ABCD) Tính góc) là mặt phẳng qua M và AC
a) Tuỳ theo vị trí của điểm M trên cạnh AC, có nhận xét gì về thiết diện tạo bởi mặt phẳng (ABCD) Tính góc) với tứ diện SABC
b) Đặt CM = x (ABCD) Tính góc0 < x < a) Tính diện tích S của thiết diện trên theo a và x và Xác định x để diện tích này có GTLN Tính diện tích lớn nhất đó
9) Cho hình lăng trụ ABC.AB'C' có đáy là tam giác đều cạnh a AA' (ABCD) Tính gócABC) và AA' = a
Có nhận xét gì về thiết diện của lăng trụ tạo bởi mặt phẳng (ABCD) Tính góc) trong mỗi trờng hợp sau: a) (ABCD) Tính góc) qua A và B'C
b) (ABCD) Tính góc) qua B' và A'I (ABCD) Tính gócI là trung điểm của BC)
III) Hai mặt phẳng vuông góc:
) Nhị diện - góc của hai mặt phẳng:
1) Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ SA = a 3, SA (ABCD) Tính gócABCD) Tính số đo của các nhị diện sau: a) (ABCD) Tính gócS, AB, C) b) (ABCD) Tính gócS, BD, A) c) (ABCD) Tính gócSAB, SCD)
2) Cho hình vuông ABCD cạnh a tâm O; SA (ABCD) Tính gócABCD) Tính SA theo a để số đo nhị diện (ABCD) Tính gócB, SC, D) bằng 1200
3) Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O và OB =
3
a
Vẽ SO (ABCD) Tính gócABCD) và SO =
3
6
a) CM: góc ASC = 300
b) Chứng minh các mặt phẳng (ABCD) Tính gócSAB); (ABCD) Tính gócSAD) với nhau
4) Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC Gọi I, J là trung
điểm của AB, BC Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (ABCD) Tính gócSAJ) và (ABCD) Tính gócSCI)
5) Cho tứ diện ABCD có mặt ABC là tam giác đều, mặt DBC vuông cân tại D Biết AB = 2a,
AD = a 7 Tính số đo góc nhị diện cạnh BC
6) Cho ba nửa đờng thẳng Ox, Oy, Oz không đồng phẳng với góc xOy = 900 góc yOz = 600 Tính số đo nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng xOz, zOy
7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB đều và vuông góc (ABCD) Tính gócABCD) Gọi H là trung điểm của AB
a) CM: SH (ABCD) Tính gócABCD)
b) Gọi I là trung điểm của BC CM: SC DI Tính số đo nhị diện (ABCD) Tính gócB, SC, D)
ứ ng dụng của định lý diện tích hình chiếu của đa giác
1) Cho ABC đều cạnh a ở trong mặt phẳng (ABCD) Tính góc) Trên các đờng thẳng vuông góc với (ABCD) Tính góc) vẽ
từ B và C lấy các đoạn BD =
2
2
a ; CE = a 2 nằm cùng một bên với (ABCD) Tính góc)
a) CM: ADE vuông Tính SADE
b) Tính góc của (ABCD) Tính gócADE) và (ABCD) Tính góc)
2) Cho hình thoi ABCD có đỉnh A ở trong mặt phẳng (ABCD) Tính góc) Các đỉnh khác không ở trong mặt phẳng (ABCD) Tính góc), BD = a, AC = a 2 Chiếu vuông góc hình thoi xuống mặt phẳng (ABCD) Tính góc) ta đợc hình vuông AB'C'D'
Trang 5a) Tính: S ABCD,S AB'C'D' Từ đó suy ra góc của (ABCD) Tính gócABCD) và (ABCD) Tính góc).
b) Gọi E và F lần lợt là giao điểm của CB và CD với mặt phẳng (ABCD) Tính góc) Tính diện tích của tứ giác EFDB và EFD'B'
3) Cho ABC đều cạnh a Từ các đỉnh A, B, C ta vẽ các đờng thẳng vuông góc mặt phẳng (ABCD) Tính gócABC) lấy các điểm A', B', C' sao cho AA' = a, BB' = 2a, CC' = x (ABCD) Tính gócA', B', C' ở cùng một phía
đối với mặt phẳng chứa tam giác)
a) Xác định x để A'B'C' vuông tại A'
b) Trong trờng hợp đó tính góc của (ABCD) Tính gócABC) và (ABCD) Tính gócA'B'C')
4) Cho ABC cân có đáy là BC = 3a, BC (ABCD) Tính góc) và tam giác có đờng cao
AH = a 3 A' là hình chiếu của A trên (ABCD) Tính góc) sao cho A'BCvuông tại A' Tính góc của hai mặt phẳng (ABCD) Tính góc) và (ABCD) Tính gócABC)
) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Chứng minh đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng:
1) Cho tứ diện ABCD có AB (ABCD) Tính gócBCD) Trong BCD vẽ các đờng cao BE và DF cắt nhau tại
O trong mặt phẳng (ABCD) Tính gócADC) vẽ DK AC tại K
a) CM: (ABCD) Tính gócADC) (ABCD) Tính gócABE); (ABCD) Tính gócADC) (ABCD) Tính gócDFK)
b) Gọi H là trực tâm của AOD CM: OH (ABCD) Tính gócACD)
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O (ABCD) Tính gócSAD) và (ABCD) Tính gócSAB) cùng vuông góc với (ABCD) Tính gócABCD) Gọi (ABCD) Tính góc) là mặt phẳng qua A và với SC, (ABCD) Tính góc) cắt SC tại I
a) CMR: SA (ABCD) Tính gócABCD)
b) Xác định giao điểm K của (ABCD) Tính góc) và SO
c) CM: (ABCD) Tính gócSBD) (ABCD) Tính gócSAO) và BD // (ABCD) Tính góc)
d) Xác định giao tuyến d của (ABCD) Tính gócSBD) và (ABCD) Tính góc)
3) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, SA (ABCD) Tính gócABCD)
a) CM: (ABCD) Tính gócSAD) (ABCD) Tính gócSCD)
b) Gọi BE, DF là hai đờng cao của SBD CMR:
(ABCD) Tính gócACF) (ABCD) Tính gócSBC); (ABCD) Tính gócACE) (ABCD) Tính gócSDC); (ABCD) Tính gócAEF) (ABCD) Tính gócSAC)
4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) Tính gócABCD) Gọi M, N là hai điểm lần lợt ở trên cạnh BC, DC sao cho BM =
2
a
; DN =
4
3a
CM: (ABCD) Tính gócSAM) (ABCD) Tính gócSMN) 5) Cho ABC vuông tại A Vẽ BB' và CC' cùng vuông góc với (ABCD) Tính gócABC)
a) CM: (ABCD) Tính gócABB') (ABCD) Tính gócACC')
b) Gọi AH, AK là đờng cao của ABC và AB'C' CMR:
(ABCD) Tính gócBCC'B') (ABCD) Tính gócAHK) (ABCD) Tính gócAB'C') (ABCD) Tính gócAHK)
6) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (ABCD) Tính gócSAB) là tam giác đều
và vuông góc với đáy Gọi I là trung điểm của AB CMR:
a) SI (ABCD) Tính gócABCD) b) AD (ABCD) Tính gócSAB)
7) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; AB = a; SO (ABCD) Tính gócABCD) và
SO =
2
a
; Gọi I, J là trung điểm của AD và BC CMR:
a) (ABCD) Tính gócSAC) (ABCD) Tính gócSBD) b) (ABCD) Tính gócSIJ) (ABCD) Tính gócSBC) c) (ABCD) Tính gócSAD) (ABCD) Tính gócSBC)
8) Cho hình vuông ABCD, I là trung điểm của AB Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính gócABCD) tại I ta lấy điểm S (ABCD) Tính gócS I)
a) CM: (ABCD) Tính gócSAD) (ABCD) Tính gócSAB) (ABCD) Tính gócSBC) (ABCD) Tính gócSAB)
b) J là trung điểm của BC CM: (ABCD) Tính gócSBD) (ABCD) Tính gócSIJ)
9) Cho ABC vuông tại A; Gọi O, I, J lần lợt là trung điểm của BC, AB, AC Trên đờng thẳng (ABCD) Tính gócABC) tại O ta lấy điểm S (ABCD) Tính gócS O) CMR:
a) (ABCD) Tính gócSBC) (ABCD) Tính gócABC) b) (ABCD) Tính gócSOI) (ABCD) Tính gócSAB) c) (ABCD) Tính gócSOI) (ABCD) Tính gócSOJ)
Trang 610) Cho tứ diện SABC có SA = SC (ABCD) Tính gócSAC) (ABCD) Tính gócABC) Gọi I là trung điểm của AC CM: SI (ABCD) Tính gócABC)
11) Cho tứ diện ABCD có AB (ABCD) Tính gócBCD) Gọi BE, DF là hai đờng cao của BCD ; DK là đ-ờng cao của ACD
a) CM: (ABCD) Tính gócABE) (ABCD) Tính gócADC); (ABCD) Tính gócDFK) (ABCD) Tính gócACD)
b) Gọi O và H lần lợt là trực tâm của hai BCD , ACD CM: OH (ABCD) Tính gócADC)
12) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SAB cân tại S và (ABCD) Tính gócSAB) (ABCD) Tính gócABCD) I là trung điểm của AB CMR: a) BC (ABCD) Tính gócSAB) b) AD (ABCD) Tính gócSAB) c) SI (ABCD) Tính gócABCD)
) Thiết diện qua một đ ờng thẳng cho tr ớc và vuông góc với một mặt phẳng cho tr - ớc:
1) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a; SA (ABCD) Tính gócABCD) và SA = a 3 Gọi (ABCD) Tính góc) là mặt phẳng chứa AB và (ABCD) Tính gócSCD)
a) Xác định rõ mặt phẳng (ABCD) Tính góc) mặt phẳng (ABCD) Tính góc) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện
2) Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B; AB = a; SA (ABCD) Tính gócABC) và SA
= a 3 Gọi E, F lần lợt là trung điểm của SC và SB M là một điểm trên AB, Đặt AM = x (ABCD) Tính góc) là mặt phẳng chứa EM và vuông góc (ABCD) Tính gócSAB)
a) Xác định rõ mặt phẳng (ABCD) Tính góc) mặt phẳng (ABCD) Tính góc) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông tại A và D;
AB = 2a, AD = DC = a Hai mặt (ABCD) Tính gócSAB) và (ABCD) Tính gócSAD) cùng vuông góc với đáy,
SA = a Gọi E là trung điểm của SA, M là một điểm trên AD với AM = x Gọi (ABCD) Tính góc ) là mặt phẳng chứa EM và vuông góc (ABCD) Tính gócSAD)
a) Xác định rõ mặt phẳng (ABCD) Tính góc) mặt phẳng (ABCD) Tính góc) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
b) Tính diện tích thiết diện theo a và x
4) Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' đáy là tam giác đều cạnh a AA' (ABCD) Tính gócABC) và AA' = a 2 Gọi M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và A'C' Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng (ABCD) Tính góc) qua MN và vuông góc (ABCD) Tính gócBCC'B') Tính diện tích thiết diện
5) Cho hình chóp S.ABCD đáy là vuông cạnh a SA (ABCD) Tính gócABCD) và SA = 2a Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD tạo bởi mặt phẳng (ABCD) Tính góc) trong các trờng hợp sau:
a) (ABCD) Tính góc) qua tâm O của đáy, trung điểm M của SD và vuông góc (ABCD) Tính gócABCD)
b) (ABCD) Tính góc) qua A, trung điểm N của CD và (ABCD) Tính gócSBC)
IV) Khoảng cách:
Các bài toán về khoảng cách:
1) Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a, AB (ABCD) Tính gócBCD) và AB = a Tính khoảng cách:
a) Từ D đến (ABCD) Tính gócABC)
b) Từ B đến (ABCD) Tính gócACD)
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) Tính gócABCD), SA = h Gọi
O là tâm hình vuông ABCD Tính khoảng cách:
a) Từ B đến (ABCD) Tính gócSCD)
b) Từ O đến (ABCD) Tính gócSCD)
Trang 73) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông vạnh a, mặt bên (ABCD) Tính gócSAB) đáy và SA = SB = b Tính khoảng cách:
a) Từ S đến (ABCD) Tính gócABCD)
b) Từ trung điểm I của CD đến (ABCD) Tính gócSHC), H là trung điểm của AB
c) Từ AD đến (ABCD) Tính gócSBC)
Xác định đoạn vuông góc chung của hai đ ờng thẳng chéo nhau:
1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA = h; SA (ABCD) Tính gócABCD) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
a) SB và CD
b) SC và BD
c) SC và AB
d) SB và AD
2) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a Gọi I là trung điểm của BC Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đờng thẳng: a) OA và BC
b) AI và OC
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) Tính gócABCD), SA = a Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng:
a) SA và BD
b) SC và BD
c) AC và SD
4) Cho hai tam giác cân không đồng phẳng ABC và ABD có đáy chung AB
a) CM: AB CD
b) Xác định đoạn vuông góc chung của AB và CD
5) Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD) Tính gócABC) và SA = a 2 ABC vuông tại B với AB = a M
là trung điểm AB Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SM và BC
6) Cho hình vuông ABCD cạnh a I là trung điểm của AB Dựng IS (ABCD) Tính gócABCD) và IS =
2
3
a Gọi M, N, P là trung điểm của BC, SD, SB Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
a) NP và AC
b) MN và AP
Trang 8VI) Mặt cầu:
2) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau OA = a, OB = b, OC =
c Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
3) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA (ABCD) Tính gócABC); SA =
2
3a
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
4) Cho hình chóp tứ giác đều ABCD, cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = a 2 Xác định tâm
và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
5) Cho hình chóp S.ABCD Đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = a, SA (ABCD) Tính gócABCD); SA = 3a Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
6) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang cân ABCD ngoại tiếp với đờng tròn tâm O bán kính a Đờng cao của hình chóp là SO = 2a
a) CM: O cách đều các mặt bên của hình chóp S.ABCD
b) Xác định tâm và bán kính của hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD
7) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc của mặt bên với đáy là (ABCD) Tính góc)
8) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, đờng cao SH = h
9) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O, SO (ABCD) Tính gócABCD)
a) CM: O cách đều các mặt bên của hình chóp Từ đó suy ra hình chóp có mặt cầu nội tiếp b) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp biết SO = h, góc BAD = a, < 900 và AB = a
10) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, BC = 2a các cạnh bên SA = SB
= SC = b Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
11) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và vuông góc với đáy Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
12) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (ABCD) Tính gócBCD) a) Tính AH
b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
13) Cho tứ diện S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a,
SA = a 2, SA (ABCD) Tính gócABC) Gọi M là trung điểm của AB Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
14) Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên đờng thẳng vuông góc với (ABCD) Tính gócABCD) dựng từ tâm O của hình vuông lấy một điểm S sao cho OS =
2
a
Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
15) Cho ba nửa đờng thẳng Ox, Oy, Oz không đồng phẳng và góc xOy = 900 góc yOz =
600 , góc zOx = 120 Trên Ox, Oy, Oz lần lợt lấy các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC
= a
a) CM: ABC vuông tại B
b) Gọi I là trung điểm của AC CM: OI (ABCD) Tính gócABC)
c) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC16) Cho ABC cân có góc BAC = 1200 và đờng cao AH = a 2 Trên đờng thẳng vuông góc (ABCD) Tính gócABC) tại A lấy hai điểm I, J ở hai bên điểm A sao cho IBC đều và JBC vuông cân
Trang 9a) Tính các cạnh của ABC.
b) Tính AI, AJ và CM: BIJ, CIJ là tam giác vuông
c) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện IJBC, IABC
17) Cho ABC vuông cân tại B (ABCD) Tính gócAB = a) Gọi M là trung điểm của AB Từ M dựng đờng thẳng vuông góc (ABCD) Tính gócABC) trên đó lấy điểm S sao cho SAB đều
a) Dựng trục của các đờng tròn ABC và SAB
b) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC
VII) Diện tích, Thể tích khối đa diện
1) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy AB = a và các mặt bên hợp với đáy một góc Tính thể tích và S xq của hình chóp.
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a, AD = b, SA = b, SA (ABCD) Tính gócABCD) M là điểm thuộc SA với AM= x, mặt phẳng (ABCD) Tính gócMBC) cắt SD tại N Tính thể tích khối đa diện ABCDMN theo a, b và x
3) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là ABC vuông cân có AB = AC = a, cạnh bên AA' = a gọi E là trung điểm của AB, F là hình chiếu vuông góc của E lên BC mặt phẳng (ABCD) Tính gócC'EF) chia lăng trụ thành hai phần Tính tỷ số thể tích của hai phần đó
4) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông có CA = CB = a; CC' = 2a M, N là trung điểm của AB và AA', mặt phẳng (ABCD) Tính gócC'MN) cắt BC tại P
Trang 10a) CM: PC = 2PB.
b) Tính: VAMNCPC'
5) Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi E, F là trung điểm của C'D' và C'B' Mặt phẳng (ABCD) Tính gócAEF) chia hình lập phơng thành hai phần Tính thể tích của mỗi phần
6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA (ABCD) Tính gócABCD), SA = h Gọi I, J, K
là trung điểm của SA, BC, CD Chứng minh mặt phẳng (ABCD) Tính gócIJK) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau
7) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng avà góc ASB =
a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp
b) Chứng minh rằng đờng cao của hình chóp bằng 1
2
cot 2
2
g a
c) Tính thể tích hình chóp
8) Cho hình chóp S.ABC có hai mặt bên (ABCD) Tính gócSAB) và (ABCD) Tính gócSAC) vuông góc với đáy.Đáy ABC là một tam gíc cân đỉnh A Trung tuyến AD bằng a Cạnh SB tạo với đáy góc và tạo với mặt phẳng (ABCD) Tính gócSAD) góc
a) Xác định các góc và
b) Chứng minh rằng: SB2 = SA2 + AD2 + BD2
c) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp
9) Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' cạnh a E và F lần lợt là trung điểm của C'B' và C'D' a) Xác định thiết diện của hình lập phơng tạo bởi (ABCD) Tính gócAEF)
b) Tính thể tích hai phần của hình lập phơng do mặt phẳng (ABCD) Tính gócAEF) cắt ra
10) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt
đáy Từ A hạ các đờng vuông góc AE với SB và AF với SD
a) Chứng minh: (ABCD) Tính gócAEF) SC
b) Gọi P là giao điểm của (ABCD) Tính gócAEF) với SC Tìm quỹ tích của P khi S chạy trên nửa đờng thẳng Ax vuông góc với đáy ABCD
c) Chứng minh rằng có hai vị trí của S trên Ax sao cho VPABCD bằng một giá trị V cho trớc với điều kiện V không vợt quá một giá trị V1 nào đó mà ta phải xác định
VII) Toán tổng hợp các phần:
1) Cho ABC đều có đờng cao AH = 3a, lấy điểm O trên đoạn AH sao cho AO = a Trên
đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác tại O lấy điểm S sao cho OS = BC a) CM: BC SA
b) Tính SO, SA, SH theo a
c) Qua I trên đoạn OH vẽ mặt phẳng (ABCD) Tính góc) OH (ABCD) Tính góc) cắt AB, AC, SC, SB lần lợt tại M, N, P,
Q CM: MNPQ là hình thang cân
d) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x = AI Xác định x để diện tích này có giá trị lớn nhất
2) Cho hình chóp S.ABC có SA (ABCD) Tính gócABCD) Đáy ABC không phải là tam giác cân Gọi B'
và C' lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC
a) Chứng minh tứ giác BCC'B' nội tiếp đợc và các cạnh BC và B'C' không song song
b) CM: 5 điểm A, B, C, B', C' ở trên một mặt cầu
c) Gọi I là giao điểm của đờng thẳng BC và B'C' CM: góc IAB = góc ICA
3) Cho hai nửa đờng thẳng chéo nhau Ax, By hợp với nhau một góc là 600,
AB = a là đoạn vuông góc chung Trên Ax, By lần lợt lấy các điểm C, D sao cho AC = 2a,
BD = a Gọi (ABCD) Tính góc) là mặt phẳng chứa By // Ax, E là hình chiếu vuông góc của C lên (ABCD) Tính góc)
a) CM: CD By
b) Chứng minh 5 điểm A, B, C, D, E ở trên một mặt cầu, tính bán kính mặt cầu đó
c) Tính góc hợp bởi CD và mặt phẳng (ABCD) Tính gócABC)
d) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của CE và AD