VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định hoặc trên từng khoảng xác định Cho haøm soá y f x , m , m laø tham soá, coù taäp xaùc ñònh K K là m[r]
(1)ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Hàm số f đồng biến trên D (x1, x2 D, x1 < x2 f(x1) < f(x2) Haøm soá f nghòch bieán treân D (x1, x2 D, x1 < x2 f(x1) > f(x2) Ñieàu kieän caàn Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K a) Nếu f đồng biến trên khoảng K thì f(x) 0, x K b) Nếu f nghịch biến trên khoảng K thì f(x) 0, x K Điều kiện đủ Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K a) Nếu f (x) 0, x K (f(x) = số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên K b) Nếu f (x) 0, x K (f(x) = số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên K c) Nếu f(x) = 0, x K thì f không đổi trên K Chuù yù: Neáu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b) thì f đồng biến (nghịch biến) trên đoạn [a; b] VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực các bước sau: – Tìm taäp xaùc ñònh cuûa haøm soá – Tính y Tìm các điểm mà đó y = y không tồn (gọi là các điểm tới haïn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch bieán cuûa haøm soá Baøi Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau: a) y x x x2 y x 4 b) c) y x x 3 d) y x x x 2 e) y (4 x )( x 1) f) y x x x 1 y x4 2x2 g) h) y x x 1 y x4 x2 10 10 i) k) n) y 2x x 5 y x x 26 x 2 l) o) y x 2 x m) y x 1 x p) y 1 y 1 x x 15 x 3x Baøi Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau: a) y x 8x x d) y b) 2x x2 g) y x e) 3 x y y x2 x2 c) y x2 x 1 x2 x 1 x x 3x 2 h) y x x f) y x 2 x i) y x x (2) y sin x x 2 k) Baøi a) y y sin x x x 2 l) Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: x2 x 2x2 x b) y 3x x x2 x 1 c) y x x d) y x x x VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên khoảng xác định) Cho haøm soá y f ( x , m) , m laø tham soá, coù taäp xaùc ñònh K (K là khoảng, đoạn, hay nửa khoảng), có đạo hàm trên K và phương trình y’=0 có hữu hạn nghiệm trên K Hàm số f đồng biến trên K y 0, x K Haøm soá f nghòch bieán treân K y 0, x K Từ đó suy điều kiện m Chuù yù: 1) y = xảy số hữu hạn điểm 2) Neáu y ' ax bx c thì: a b 0 c 0 y ' 0, x a 0 a b 0 c 0 y ' 0, x a 0 3) Định lí dấu tam thức bậc hai g( x ) ax bx c : Nếu < thì g(x) luôn cùng dấu với a b 2a ) Nếu = thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = Nếu > thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a 4) So sánh các nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) ax bx c với số 0: x1 x2 P 0 x1 x2 P S S x x2 P 5) Để hàm số y ax bx cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x 1; x2) d thì ta thực các bước sau: Tính y Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: a 0 (1) (3) Biến đổi x1 x2 d thaønh ( x1 x2 )2 x1 x2 d (2) Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm Bài Chứng minh các hàm số sau luôn đồng biến trên khoảng xác định (hoặc taäp xaùc ñònh) cuûa noù: a) y x x 13 d) y x2 2x x 1 b) y x3 3x x e) y 3 x sin(3 x 1) c) f) y 2x x 2 y x 2mx x m Bài Chứng minh các hàm số sau luôn nghịch biến trên khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó: a) y x cot( x 1) b) y cos x x c) y sin x cos x 2 x Bài Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc khoảng xác ñònh) cuûa noù: a) y x 3mx (m 2) x m b) d) y mx x m e) y x mx 2x 1 y x 2mx x m c) f) y x m x m y x 2mx 3m x 2m Bài Tìm m để hàm số: a) y x x mx m nghịch biến trên khoảng có độ dài 1 y x mx 2mx 3m b) nghịch biến trên khoảng có độ dài c) y x (m 1)x (m 3)x đồng biến trên khoảng có độ dài Bài Tìm m để hàm số: a) y x3 (m 1)x (m 1) x đồng biến trên khoảng (1; +) b) y x 3(2m 1) x (12m 5) x đồng biến trên khoảng (2; +) c) d) e) f) y mx (m 2) x m đồng biến trên khoảng (1; +) y x m x m đồng biến khoảng (–1; +) y x 2mx 3m x 2m đồng biến trên khoảng (1; +) y x 3x m ; x 1 nghịch biến trên khoảng VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức (4) Để chứng minh bất đẳng thức ta thực các bước sau: Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc <, , ) Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định đề bài định Xét dấu f (x) Suy hàm số đồng biến hay nghịch biến Dựa vào định nghĩa đồng biến, nghịch biến để kết luận Chuù yù: 1) Trong trường hợp ta chưa xét dấu f (x) thì ta đặt h(x) = f (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h (x) … nào xét dấu thì thôi 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức dạng: f(a) < f(b) Xét tính đơn điệu hàm số f(x) khoảng (a; b) Bài Chứng minh các bất đẳng thức sau: x a) c) x3 sin x x , với x x tan x, với x Baøi 10 b) a sin a b sin b, với a b Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2x sin x , với x a) x3 x3 x x sin x x , với x 6 120 b) Chứng minh các bất đẳng thức sau: x sin x cos x 1, với x Baøi 12 x a) e x, với x c) a tan a b tan b, với a b Baøi 11 c) d) sin x tan x x , với x Chứng minh các bất đẳng thức sau: tan a a , với a b a) tan b b c) sin x tan x x , với x b) ln(1 x ) ln x Baøi 13 , với x 1 x b) ln(1 x ) x , với x 2 d) x ln x x x logn (n 1) log(n1) ( n 2), n Chứng minh bất đẳng thức sau VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm nhất, ta thực các bước sau: Chọn nghiệm x0 phương trình Trong nhiều trường hợp, khơng thể tính nghiệm x0, ta có thể hàm y = f(x) – g(x) liên tục trên D, tồn a, b thuộc D cho y(a).y(b) 0 từ đó chứng tỏ phương trình (*) có nghiệm Xét các hàm số y = f(x) (C 1) và y = g(x) (C2) Ta cần chứng minh hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến Khi đó (C 1) và (C2) giao điểm có hoành độ x0 Đó chính là nghiệm phương trình (*) Chú ý: Nếu hai hàm số là hàm y = C thì kết luận trên đúng Baøi 14 a) Giaûi caùc phöông trình sau: x x 5 b) x x x 0 (5) x x x x 16 14 c) Baøi 15 a) x x x 0 Baøi 17 b) ln( x 4) 5 x x x x d) 38 Giaûi caùc baát phöông trình sau: x x x 13 x a) x 15 3x x Giaûi caùc phöông trình sau: x x x c) 5 Baøi 16 d) b) x x x x x 35 Giaûi caùc heä phöông trình sau: 2 x y y y y z3 z z a) 2 z x x x x y y y y z3 z z b) z x x x y3 6 x 12 x z 6 y 12 y c) x 6 z 12 z tan x tan y y x 5 2 x 3y x, y d) sin x sin y 3 x 3y x y x , y e) cot x cot y x y 5 x y 2 0 x , y g) sin x y sin y x 2 x 3y 0 x , y f) HD: a, b) Xeùt haøm soá f (t ) t t t d) Xeùt haøm soá f(t) = tant + t c) Xeùt haøm soá f (t ) 6t 12t VẤN ĐỀ 5: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên Ta nhắc lại khái niệm giá trị lớn và nhỏ hàm số Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D ) f ( x ) M , x D M max f ( x ) D x0 D : f ( x0 ) M a) f ( x ) m, x D m min f ( x ) D x0 D : f ( x0 ) m b) Chú ý max f ( x ) f (b), f ( x ) f (a) [a;b ] a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì [a;b] max f ( x ) f (a), f ( x ) f (b) [a;b ] b) Neáu haøm soá f nghòch bieán treân [a; b] thì [a;b ] Tìm GTLN, GTNN cuûa haøm soá baèng caùch laäp baûng bieán thieân Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số trên khoảng Tính f (x) Xeùt daáu f (x) vaø laäp baûng bieán thieân Dựa vào bảng biến thiên để kết luận (6) Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục trên đoạn [a; b] Tính f (x) Giải phương trình f (x) = tìm các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có) Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn) So sánh các giá trị vừa tính và kết luận M max f ( x ) max f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) [ a;b ] m min f ( x ) min f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( x n ) [ a;b ] Baøi 18 Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau: b) y 4 x 3x a) y x x d) y x x e) y c) y x x x x2 2x x2 x 1 y y x ( x 0) x x2 x 1 g) h) Baøi 19 Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau: f) i) y y 2x2 4x x2 1 x4 x2 1 x3 x a) y 2 x x 12 x treân [–1; 5] b) y 3 x x treân [–2; 3] c) y x x treân [–3; 2] 3x y x treân [0; 2] e) d) y x x treân [–2; 2] x y x treân [0; 4] f) x2 7x y x 2 g) treân [0; 2] 1 x x2 y x x treân [0; 1] h) ( x 0) i) y 100 x treân [–6; 8] k) y x x Baøi 20 Tìm GTLN, GTNN cuûa caùc haøm soá sau: 2sin x y y sin x cos2 x cos x a) b) c) y 2sin x cos x d) y cos x 2sin x y sin3 x cos3 x e) f) 2 g) y 4 x x x x y x2 x4 x2 1 2 h) y x x x x VẤN ĐỀ 6: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng bất đẳng thức Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN hàm số Chứng minh bất đẳng thức Tìm điểm thuộc D cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm trở thành đẳng thức Baøi 21 biểu thức: Giả sử D ( x; y; z) / x 0, y 0, z 0, x y z 1 P x y z x 1 y 1 z 1 Tìm giá trị lớn (7) 1 P 3 (x 1) (y 1) (z 1) 9 x y z Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: x 1 y 1 z 1 HD: 3 P P Daáu “=” xaûy x = y = z = Vaäy D Baøi 22 5 ( x; y ) / x 0, y 0, x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Cho D = S x 4y x x x x y 4 4( x y ) 25 25 x x x x 4y x 4y HD: S Daáu “=” xaûy x = 1, y = Vaäy minS = ( x; y) / x 0, y 0, x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Baøi 23 Cho D = x2 y2 P xy 1 x 1 y xy x2 y2 1 1 P (1 x ) (1 y ) 2 2 1 x 1 y x y HD: = 1 x 1 y x y (1 x ) (1 y) ( x y) 9 1 x 1 y x y Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: 1 5 x y x y P Daáu “=” xaûy x = y = Vaäy minP = ( x; y) / x 0, y 0, x y 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Baøi 24 Cho D = P HD: x y y xy P 2 x y2 8 y y y y 33 y2 8 y2 8 3x y2 4x y2 x x 2 1 x (1) Theo bất đẳng thức Cô–si: x (2), 9 (3) P Daáu “=” xaûy x = y = Vaäy minP = VẤN ĐỀ 7: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng miền giá trị Xét bài toán tìm GTLN, GTNN hàm số f(x) trên miền D cho trước Goïi y0 laø moät giaù trò tuyø yù cuûa f(x) treân D, thì heä phöông trình (aån x) sau coù nghieäm: f ( x ) y0 (1) (2) x D Tuỳ theo dạng hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng Thông thường điều kiện (sau biến đổi) có dạng: m y0 M (3) Vì y0 là giá trị bất kì f(x) nên từ (3) ta suy được: f ( x ) m; max f ( x ) M D D Baøi 25 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số sau: (8) a) c) y y x2 x 1 x2 x 1 b) 2sin x cos x sin x cos x d) y y x x 23 x x 10 2sin x cos x cos x sin x VẤN ĐỀ 8: Sử dụng GTLN, GTNN hàm số PT, HPT, BPT f ( x ) m; max f ( x ) M D Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D và có D Khi đó: f ( x ) 1) Heä phöông trình x D coù nghieäm m M f ( x ) 2) Heä baát phöông trình x D coù nghieäm M f ( x ) 3) Heä baát phöông trình x D coù nghieäm m 4) Bất phương trình f(x) đúng với x m 5) Bất phương trình f(x) đúng với x M Baøi 26 a) Baøi 27 Giaûi caùc phöông trình sau: x 4 x 2 x b) 6 x Tìm m để các phương trình sau có nghiệm: a) x x m c) Baøi 28 x 3 x 6 x b) 2 x 2x (2 x )(2 x ) m (3 x )(6 x ) m x x (7 x )(2 x ) m d) Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với x : a) x x m b) m x x m mx x m 0 Baøi 29 Cho baát phöông trình: x x x m a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2] b) Tìm m để bất phương trình thoả x thuộc [0; 2] Baøi 30 Tìm m để các bất phương trình sau: a) mx b) x (1 x )5 16 c) x m coù nghieäm (m 2) x m x 2 coù nghieäm x [0; 2] c) m( x x 1) x x nghiệm đúng với x [0; 1] c) (9)