Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 55 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN B GIP GIảI THứC Xạ ảNH Và GIảI THøC NéI X¹ CđA NHãM ABEN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC VINH - 2010 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHAN BÁ GIÁP GI¶I THứC Xạ ảNH Và GIảI THứC NộI Xạ CủA NHóM ABEN CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG VINH - 2010 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU .1 CHƯƠNG NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Dãy khớp 1.2 Hàm tử khớp 10 1.3 Nhóm vi phân 14 1.4 Phức hợp dây chuyền 17 1.5 Đồng cấu nối, dãy khớp đồng điều 21 1.6 Đồng luân dây chuyền 25 1.7 Phức hợp đối dây chuyền 27 CHƯƠNG GIẢI THỨC XẠ ẢNH VÀ GIẢI THỨC NỘI XẠ CỦA NHÓM ABEN 30 2.1 Nhóm Aben xạ ảnh 30 2.2 Nhóm Aben nội xạ 35 2.2 Giải thức xạ ảnh nhóm Aben .42 2.3 Giải thức nội xạ nhóm Aben 49 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐẦU Lý thuyết đồng điều bắt đầu phát triển vào năm đầu kỷ H.Poincaré đưa khái niệm dây chuyền, chu trình đồng điều số khơng gian khơng gian Các khái niệm đặt móng cho phát triển lý thuyết đồng điều Sau khái niệm mở rộng cho không gian tôpô Về nghiên cứu nhóm đồng điều, tìm thấy cơng trình nhà tốn học S.Lefschetz, P.S.Alexandrov, E.Noether, S.Eilenberg, E.Cech, A.Kolmogorov… Các cơng trình P.S.Alexandrov, Cech, Alexandrov giải vấn đề trọng tâm lý thuyết đồng điều, cụ thể tính bất biến nhóm đồng điều kỳ dị đa diện S.Eilenberg Steenrod người xây dựng hệ tiên đề cho lý thuyết đồng điều phạm trù cặp không gian tôpô, phát triển lý thuyết mối quan hệ chặt chẽ với đại số đồng điều lý thuyết phạm trù Hiện tơpơ đại số nói chung lý thuyết đồng điều nói riêng trở thành cơng cụ hiệu việc nghiên cứu phát triển nhiều ngành tốn học đại Hình học vi phân, Hình học đại số, Tơpơ vi phân, Giải tích phức, Giải tích hàm, Lý thuyết phạm trù, Đại số đồng điều ngành Vật lý lý thuyết Cấu trúc luận văn chia làm hai chương: Trong chương 1, chúng tơi trình bày khái niệm chung dãy khớp, nhóm vi phân, phức hợp dây chuyền, phức hợp đối dây chuyền, dãy khớp đồng điều, đồng ln dây chuyền Trong chương 2, chúng tơi tìm hiểu nội dung giải thức xạ ảnh nhóm Aben, sở phép tốn đối ngẫu để tìm hiểu giải thức nội xạ nhóm Aben Luận văn thực hướng dẫn nghiêm túc chu đáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo hướng dẫn Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy PGS.TS Ngô Sĩ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán Thầy Cô môn Đại số Khoa Toán, Khoa đào tạo sau đại học hết lịng giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới học viên Cao học khoá 16 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số, Ban Giám hiệu tập thể trường THPT Phan Thúc Trực tạo điều kiện giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý bảo q thầy bạn học viên Chúng xin chân thành cảm ơn Vinh, tháng 12 – 2010 Tác giả CHƯƠNG NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 DÃY KHỚP 1.1.1 Định nghĩa Một dãy α’ A’ α” A A” (1) gồm nhóm Aben A’, A, A” đồng cấu α’, α” gọi khớp ảnh đồng cấu α’ trùng với hạt nhân đồng cấu α”, tức Imα’ = Kerα” Khi xảy Imα’ Ker ” dãy (1) gọi nửa khớp Nếu dãy (1) khớp (nửa khớp) người ta nói khớp (nửa khớp) số hạng A dãy 1.1.2 Định nghĩa Một dãy: … A ki1 k A ki i 1 k A ki1 i … gồm nhóm Aben A ki , đồng cấu ki i gọi khớp (nửa khớp) khớp (nửa khớp) số hạng A ki i Ta kí hiệu O nhóm tầm thường (tức nhóm có phần tử trung hồ O) O A đồng cấu tầm thường Dãy khớp có dạng: A’ O ’ A ” A" O (2) gọi dãy khớp ngắn Ví dụ a) Dãy O A B gồm nhóm Aben A, B đồng cấu dãy nửa khớp Dễ thấy dãy khớp đơn cấu b) Dãy Kerα c) Dãy A A i B (trong i đồng cấu nhúng) dãy khớp O dãy nửa khớp với đồng cấu Dãy B khớp toàn cấu d) Dãy A ' i A p A A' , A' nhóm nhóm Aben A, i đồng cấu nhúng, p phép chiếu tắc, dãy khớp A' e) Dãy O i p A A O, với i, p đồng cấu A' ví dụ dãy khớp ngắn Việc định nghĩa khái niệm dãy khớp, dãy nửa khớp phạm trù nhóm, phạm trù mơđun hồn tồn tương tự nhóm Aben xét Trong phạm trù I(AG ), I(AG ), ta định nghĩa dãy khớp (nửa khớp) sau: Giả sử I tập hợp thứ tự phần (Ai, ij ) ( i ) (Bi, ij) ( i ) (Ci, ij) (3) dãy vật mũi tên phạm trù I(AG ), gọi khớp (nửa khớp) i I, dãy Ai' i i Bi' Ci' khớp (nửa khớp) Tương tự, dãy ( Ai' , ij' ) i' ( Bi' , ij' ) i' ( Ci' , ij' ) gồm vật mũi tên phạm trù I(AG ), gọi khớp (nửa khớp) i I, dãy Ai' khớp (nửa khớp) i' Bi' i' Ci' Từ Định nghĩa 1.1.1 ví dụ b) c) ta dễ dàng rút hai mệnh đề sau 1.1.3 Mệnh đề Điều kiện cần đủ để dãy (1) nửa khớp ". ' 1.1.4 Mệnh đề Giả sử … A B … dãy khớp nhóm Aben Khi a) α đơn cấu = b) α toàn cấu = c) α đẳng cấu = 0, = 1.1.5 Mệnh đề Điều kiện cần đủ để dãy nhóm Aben O A' A A" (5) khớp (nửa khớp) nhóm Aben G, phạm trù AG , dãy sau khớp (nửa khớp O AG ( G, A' ) AG (G, A) AG (G, A" ) (6) u u, , v v , (u AG ( G, A’), v AG (G, A)) Chứng minh Trước hết ta nhận xét rằng: dãy (6) dãy phạm trù AG, với nhóm Aben G A, tập hợp AG (G, A) có cấu trúc nhóm Aben cho phép tốn v v' x v x v' x Giả sử dãy (5) nửa khớp Khi đó, dãy (6) nửa khớp AG ( G, A’) AG (G, A), (rút từ Ví dụ 1) Mệnh đề 1.1.4) Bây giả sử dãy (5) khớp, từ u u suy u = (bởi đơn cấu (ví dụ 1)), nghĩa đơn cấu, theo Ví dụ 1), suy dãy (6) khớp số hạng AG ( G, A’) Dãy (5) khớp, nên theo chứng minh dãy (6) nửa khớp Vậy Im Ker Bây ta chứng minh Ker Im Giả sử (v) = 0, v v x v x Ker =Im Vậy tồn a' A' cho a' v x Phần tử a ' đơn cấu Ta xác định u AG ( G, A' ) công thức u x a' Từ rút v = (u) Vậy Ker Im dãy (6) khớp số hạng AG (G, A) Ngược lại, giả sử dãy (6) nửa khớp Từ ví dụ 1) suy dãy (5) nửa khớp số hạng A' Từ u u nhóm Aben G u AG ( G, A’), ta nhận (khi lấy G A' u = IdG) Như dãy (5) nửa khớp số hạng A Bây giờ, giả sử dãy (6) khớp, ta chứng minh Ker Im Giả sử a Ker Khi ta có a Xét G a nhóm Aben tự sinh a v AG (G, A) đồng cấu định nghĩa qua cơng thức v(na) = na Khi ta có βv(na) = β(na) = nβ(a) v Ker Im v = (u) với u AG ( G, A’), nghĩa v(a) = αu(a) a = α(u(a)) với u(a) A ' Vậy a Imα Bằng đối ngẫu ta có mệnh đề sau đây: 1.1.6 Mệnh đề Điều kiện cần đủ để nhóm Aben A' A A" O (5’) khớp (nửa khớp) nhóm Aben G, phạm trù AG dãy sau khớp (nửa khớp) O AG ( A" , G) AG (A, G) AG (A’, G) (u) = uβ, (v) = uα (u AG (A”, G), v AG (A, G)) (6’) 10 1.1.7 Định nghĩa Người ta nói dãy khớp ngắn (2) O A' α’ A α” A" O chẻ thoả mãn hai điều kiện sau đây: a) ' có ngược trái ' : A A' , ' ' IdA’ b) " có ngược phải " : A" A , " " IdA” Các điều kiện tương đương Khi ta có đẳng thức: ' ' " " Id A , ' " Chứng minh a) b) Nếu ' có ngược trái ' : A A' Id A ' ' ' ' ' ' ' Do đó, đồng cấu Id A ' ' tầm thường nhóm Im ' Ker " Bởi " tồn cấu, nên tồn đồng cấu " : A" A cho ". " Id A ' ' , nghĩa ta có cơng thức ' ' " " Id A Từ công thức " " Id A ' ' ta suy " " " " Id A ' ' " " " " " ' . ' " " . " " Vì " toàn cấu, suy " " IdA” b) a) Nếu đồng cấu " : A" A ngược phải " " Id A " " " " " " " " Do Im Id A " " Ker " Im ' Vậy tồn đồng cấu ' : A A' thoả mãn đẳng thức ' ' Id A " " , tức ta có đẳng thức ' ' " " Id A Đồng cấu ' ' đơn cấu Từ đẳng thức ' ' Id A " " suy ' ' ' Id A " " ' ' " " ' ' ' ' ' ' ' ' Id A ’ (vì ' đơn cấu) Bây ta chứng minh đẳng thức '. " Từ công thức ' ' " " Id A 41 f 1 : G Rõ ràng Bây ta giả sử Ker 0 Do Ker Ideal Z nên tồn số nguyên p cho Ker pZ Bởi G nên suy p Hiển nhiên ta có dãy khớp: O i p G O i đồng cấu nhúng Giả sử f ' : đồng cấu xác định công thức f ' n n p Khi f 'i np f ' np n 0, f 'i Ta xét đồng cấu :G cho ta có biểu đồ giao hoán: f’ G Nếu ngo G ta xác định ngo f ' n n p Z Ánh xạ hồn tồn xác định f 'i Ta có 1 f ' 1 1 p 0, Bổ đề chứng minh hoàn toàn 2.2.6 Bổ đề Nếu H nhóm Aben tồn đơn cấu : H AG/(AG H , , ) Chứng minh Ta kí hiệu AG H , H AG(AG H , Ta định nghĩa : H H sau: Nếu h H h : H , ) H ánh xạ xác định công thức h h H Ánh xạ đồng cấu, 42 h' h" h' h" h' h" h' h" h' h" Ta chứng minh đơn cấu Giả sử h H với h Ta h 0, chứng minh tồn H cho h Giả sử G nhóm xyclic sinh phần tử h nhóm Aben H Theo Bổ đề 2.2.5, tồn đồng cấu không tầm thường : G O i G Ta xét biểu đồ: H Z Theo Bổ đề 2.2.4, tồn đồng cấu : H , cho i Nhưng ta có h i h h (h phần tử sinh nhóm G) Với điều đó, Bổ đề chứng minh Nhận xét: Ánh xạ : H H có tính chất hàm tử, nghĩa xét ánh xạ * : G G, cịn AG (H, G) đồng cấu cảm sinh * * : H G làm cho biểu đồ sau giao hoán H H * * * G G 2.2.7 Bổ đề Giả sử F nhóm Aben tự Khi nhóm Aben F AG F , nhóm nội xạ Chứng minh Giả sử biểu đồ O B f F Như Định nghĩa 2.2.1 Ta có biểu đồ g A 43 A g* O B f* F F g với dãy A O khớp (Mệnh đề 2.2.2) đơn B cấu (Bổ đề 2.1.6) Bởi F nhóm xạ ảnh nên (theo Bổ đề 2.1.4) tồn đồng cấu h : F A cho biểu đồ sau giao hoán g* A O B h f* F Bởi hàm Hom *, F hàm tử phản biến, khớp bên trái, nên ta có biểu đồ giao hốn O B g* * (f*)* A h* F * F với dòng thứ khớp Từ biểu đồ biểu đồ giao hoán sau đây: F f B g B F F f* * A A B g* * ta xác định h*. A : A F Ta có A 44 h* A g h* g* * B * f* * B * F f Dễ thấy * F F * F id F Do h*. A g f Như vậy, nhóm F thoả mãn Định nghĩa 2.2.1, tức F nhóm nội xạ 2.2.8 Mệnh đề Bất kì nhóm Aben G đẳng cấu với nhóm nhóm nội xạ Chứng minh Giả sử G nhóm Aben Khi nhóm G AG G, nhóm Aben (theo Bổ đề 2.1.5) đẳng cấu với nhóm thương nhóm Aben tự F Vì vậy, xét tồn cấu : F G Từ Bổ đề 2.2.7 suy F nhóm nội xạ Xét đồng cấu cảm sinh * : G F , đơn cấu tính khớp bên trái hàm tử Hom *, Giả sử : G G đơn cấu Bổ đề 2.2.6 Khi hợp thành G G * F đơn cấu từ nhóm G vào nhóm nội xạ F Bởi G Im * nên ta có điều khẳng định mệnh đề 2.2.9 Hệ Mọi nhóm Aben G nhúng dãy khớp ngắn O G f J g G’ O J nhóm Aben nội xạ Thật vậy, từ Mệnh đề 2.2.8, ta có J F , f * G' J Imf Qua đối ngẫu Hệ 2.1.7 ta nhận được: 2.2.10 Mệnh đề Giả sử G nhóm Aben nội xạ giả sử biểu đồ A f B k G g C 45 f dãy A g B C khớp, dãy C g B k G nửa khớp Khi tồn đồng cấu h : A G cho h f k 2.2.11 Mệnh đề Giả sử G nhóm Aben Khi G nhóm nội xạ thành phần trực tiếp nhóm chứa Chứng minh Nếu G thành phần trực tiếp nhóm chứa nó, G thành phần trực tiếp nhóm nội xạ J Theo Mệnh đề 2.1.3 G nhóm nội xạ ngược lại, giả sử G nhóm nội xạ Ta giả sử nhóm nhóm Aben G’ Khi có dãy khớp ngắn O G i G' G" O (*) Ta chứng minh dãy chẻ Xét biểu đồ O i G G' IdG G Khi tồn đồng cấu h : G' G cho h.i IdG Do i có ngược trái; từ dãy (*) chẻ Vì G thành phần trực tiếp nhóm G’ 2.2.12 Chú ý: Các định nghĩa kết tương tự phần có phạm trù K – mơđun 2.3 GIẢI THỨC XẠ ẢNH CỦA NHĨM ABEN Giả sử G nhóm Aben 2.3.1 Định nghĩa Một giải thức đồng điều nhóm G phức hợp dây chuyền (C): … Cn+1 n1 Cn n Cn-1 … 46 thoả mãn điều kiện sau đây: 1) C-1 = G 2) Cn = với n 1 3) H n C với n Nếu nhóm Cn , n 0, nhóm xạ ảnh giải thức đồng điều (C) gọi giải thức xạ ảnh Khi nhóm Cn , n 0, nhóm tự giải thức đồng điều (C) gọi giải thức tự Nhận xét 1: Phức hợp (C) dãy khớp giải thức đồng điều nhóm Aben G Nhận xét 2: Nếu xét thêm phức hợp dây chuyền (C’): … 'n1 Cn' 1 'n Cn' … Cn' 1 cho Cn' Cn , n 0, Cn' O n 0, 'n n n 'n n 1, H n C ' G Thật vậy, khẳng định thứ rút từ H n C ' H n C n 0, H C ' C0 Im 1 C0 Ker G (vì dãy C1 1 C0 0 G O khớp) 2.3.2 Chú ý: Khái niệm giải thức đồng điều K – môđun định nghĩa hồn tồn tương tự 2.3.3 Mệnh đề Bất kì K – mơđun G có giải thức đồng điều tự Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.5, ta xét dãy khớp sau: O R0 O R1 1 F0 F1 1 G O R0 O 47 ……………………………………………… O Rn n Fn 1 Rn-1 O O Rn+1 n 1 Fn+1 n 1 Rn O Fi, i = 0, 1, …, n, …, môđun tự Ta xét dãy (C): … Fn+1 n n1 n1. n Fn … Fn-1 F0 F1 G 1 O… Dãy tạo nên giải thức tự môđun G Thật vậy, hạng tử Fi, i = 0, 1, 2, … mơđun tự dãy khớp: khớp hạng tử G rút từ dãy khớp dãy khớp nói trên, khớp hạng tử Fn, n 0, rút từ n1 n n n1 n1n x n x x n y x n n1 z với x Fn , y Rn , z Fn1 Nhận xét: Nếu G nhóm Aben dãy khớp O R0 F0 G O, xét chứng minh Mệnh đề 2.3.3, giải thức tự nhóm G (vì R0 nhóm nhóm tự F0 nên nhóm tự do) 2.3.4 Mệnh đề Nếu h : G G ' đồng cấu nhóm Aben G, G’ dãy (C): … Cn+1 (C’): … Cn' 1 n1 'n1 Cn Cn' n 'n Cn-1 … Cn' 1 … giải thức xạ ảnh nhóm G nhóm G’, tồn mũi tên f fn : C C ' phạm trù dãy khớp cho f 1 h Chứng minh Ta cần tồn đồng cấu f n : Cn Cn' , n 0, cho biểu đồ sau giao hoán 48 … Cn+1 n1 Cn fn+1 … Cn' 1 n fn 'n1 Cn' … Cn-1 fn-1 'n C0 C-1= G f0 … Cn' 1 C0' O … h '0 C' G ' O … Ta chứng minh điều quy nạp Với n = 0, ta xét biểu đồ 0 C0 G O h C0' '0 G’ O Vì C0 nhóm xạ ảnh nên tồn đồng cấu f0 : C0 C0' cho '0 f0 h. Giả sử ta xây dựng đồng cấu f0, f1, f2, …, fn-1 Khi ta có biểu đồ giao hốn m = 0, 1, 2, …, n-1: Cm m fm fm-1 Cm' Cm-1 ' m Cm' 1 Ta xét biểu đồ Cn n Cn-1 n1 fn-1 Cn' 'n Cn' 1 Cn-2 fn-2 'n1 Cn' Ta có 'n1 f n1. n fn2 n1. n dãy khớp Bởi Cn nhóm xạ ảnh, nên từ Hệ 2.1.7 suy tồn đồng cấu f n : Cn Cn' cho 'n f n f n1. n 49 2.3.5 Hệ Nếu (C) (D) hai giải thức xạ ảnh nhóm Aben G, tồn mũi tên f : C D cho f 1 IdG 2.3.6 Mệnh đề Giả sử dãy (C): … Cn+1 (C’) Cn' 1 n1 'n1 Cn Cn' n 'n Cn-1 … Cn' 1 … giải thức xạ ảnh nhóm G nhóm G’ Nếu tồn hai mũi tên f , g : C C ' dãy khớp, cho f 1 g1 f g đồng luân Chứng minh Ta xây dựng đồng luân s sn : Cn Cn' 1 n Z, f g cho thoả mãn đẳng thức: (*) 'n1.sn sn1. n fn gn , n Z Nếu n 1, ta chọn sn = Khi đó, đẳng thức (*) thoả mãn Ta giả sử rằng, với m 1, 0, , n 1, đồng cấu sm : Cm Cm' 1 xác định thoả mãn (*) Bây ta xét biểu đồ: Cn j Cn' 1 'n1 Cn' 'n Cn' 1 j f n gn sn1. n Ta có dãy khớp 'n f n gn sn1 n 'n f n 'n gn sn2 n1 f n1 gn1 n 'n f n 'n gn f n1. n gn1. n Theo Hệ 2.1.7 rút tồn đồng cấu sn : Cn Cn' 1 cho 'n1.sn fn gn sn1. n 50 Ta biết hai giải thức (C) (D) tương đương đồng luân tồn hai mũi tên f : C D g : D C cho g f IdC , f g Id D Vậy từ Mệnh đề 2.3.4 2.3.6 ta nhận được: 2.3.7 Mệnh đề Bất kì hai giải thức xạ ảnh nhóm G ln tương đương đồng ln Chứng minh Ta xây dựng f : C D với f 1 IdG g : D C cho g1 IdG Khi g f 1 IdG g f IdC Hồn tồn tương tự ta có f g Id D 2.3.8 Mệnh đề Giả sử O G’ f G g G” O dãy khớp ngắn nhóm Aben Nếu (C’) (C”) hai giải thức xạ ảnh nhóm G’ G” tồn giải thức xạ ảnh (C) nhóm G cho có dãy khớp O (C’) (C) (C”) O phạm trù phức hợp dây chuyền Chứng minh Ta xây dựng dãy (C) sau: Cn n 1, C1 G; giả sử ta xây dựng nhóm xạ ảnh Cm đồng cấu m : Cm' Cm , m : Cm Cm" với m n Khi ta có sơ đồ sau với dòng cột khớp: O Cn' 1 n 1 'n1 O Cn' n 2 Cn' 3 n 1 Cn O Cn" O Cn" 3 O n2 n n 3 Cn" 1 "n1 n1 'n O Cn-1 "n Cn 3 n 3 Dễ chứng minh dãy nhóm chu trình sau khớp 51 n1 Z n' 1 O Z n 1 n 1 Z n" 1 O Bây xét biểu đồ Cn' Cn" n1 Z n' 1 O n 1 Z n 1 O Z n" 1 O O Ta nhúng biểu đồ vào biểu đồ giao hốn với dịng cột khớp: Cn' O O Z Cn" Cn ' n ' n 1 n1 n Z n 1 n 1 O " n Z n" 1 O O O O Từ suy (C) giải thức xạ ảnh nhóm G có dãy khớp ngắn phức hợp dây chuyền (C’), (C) (C”) Mệnh đề cho phép ta mở rộng khái niệm giải thức xạ ảnh phức hợp dây chuyền Ta nói giải thức xạ ảnh (C) dãy … C n 1 C n C n 1 … phạm trù phức hợp dây chuyền, cho với số nguyên m, dãy … Cm n 1 Cm n … Z m n 1 Z m n Z m n 1 … … Bm n 1 Bm n Bm n 1 … … H m n 1 H m n H m n 1 … Cmn 1 … giải thức xạ ảnh tương ứng nhóm Cm , Zm , Bm , H m phức hợp dây chuyền (C) 52 Sử dụng Mệnh đề 2.3.3, 2.3.8 dễ dàng chứng minh: phức hợp dây chuyền nhóm Aben có giải thức xạ ảnh 2.4 GIẢI THỨC NỘI XẠ CỦA NHÓM ABEN Khái niệm đối ngẫu khái niệm giải thức đồng điều khái niệm giải thức đối đồng điều 2.4.1 Định nghĩa Giả sử G nhóm Aben Giải thức đối đồng điều nhóm G phức hợp đối dây chuyền C* : … C n 1 n 1 n Cn C n 1 … thoả mãn điều kiện: 1) C 1 G 2) C n O với n 1 3) H n C * O , với n Z Nếu nhóm C n , n nhóm nội xạ, giải thức C * gọi giải thức nội xạ Tương tự trường hợp giải thức đồng điều, dãy C * khớp phức hợp đối dây chuyền: C : O C '* C1 C n n C n 1 … có nhóm đồng điều H n C '* O n H C '* G 2.4.2 Mệnh đề Mỗi nhóm Aben G có giải thức nội xạ Chứng minh Theo Hệ 2.1.9, ta xét dãy khớp: O G O G0 0 1 J0 J1 0 1 G0 O G1 O ………………………………………………… 53 O Gn-1 O Gn n n1 Jn Jn+1 n n 1 Gn O Gn+1 O ………………………………………………… Ở Ji, i = 0, 1, … nhóm Aben nội xạ Khi ta xét dãy O G 0 J 1 J1 … Jn n1 n Jn+1 … Dễ thấy dãy khớp giải thức đối đồng điều nhóm G 54 KẾT LUẬN Luận văn trình bày chi tiết số nội dung sau: Các kiến thức sở lý thuyết đồng điều: dãy khớp, hàm tử khớp nhóm vi phân, hợp phức dây chuyền, đồng cấu nối, dãy khớp đồng điều đồng luân dây chuyền, phức hợp đối dây chuyền Giải thức xạ ảnh nhóm Aben, sở phép đối ngẫu để tìm hiểu giải thức nội xạ nhóm Aben Hướng mở luận văn: Tiếp tục tìm hiểu ứng dụng giải thức nội xạ, xạ ảnh lý thuyết nhóm lý thuyết môđun 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Văn Đồnh - Tạ Mân, (2009), Nhập mơn Tôpô đại số, Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội [2] Sze-TsenHu, (1974), Nhập môn đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [3] Hoàng Tuỵ - Nguyễn Xuân My – Nguyễn Văn Khuê – Hà Huy Khoái, (1979), Mở đầu số lý thuyết đại tôpô đại số, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [4] Nguyễn Viết Đông – Trần Huyên, (2006), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học Quốc gia T.P Hồ Chí Minh TIẾNG ANH [1] A.Dold., (1972), Lectures on algebraic topology Springer [2] S.Eilenberg, N.E.Steenrod, AlgebraicTopology Princeton, Univi.Press (1952), Foundation of ... GIẢI THỨC XẠ ẢNH VÀ GIẢI THỨC NỘI XẠ CỦA NHÓM ABEN 30 2.1 Nhóm Aben xạ ảnh 30 2.2 Nhóm Aben nội xạ 35 2.2 Giải thức xạ ảnh nhóm Aben .42 2.3 Giải thức nội. .. * … 33 CHƯƠNG GIẢI THỨC XẠ ẢNH VÀ GIẢI THỨC NỘI XẠ CỦA MỘT NHÓM ABEN 2.1 NHÓM ABEN XẠ ẢNH 2.1.1 Định nghĩa Nhóm Aben G gọi nhóm Aben xạ ảnh cho biểu đồ G f g A B O (1) g với nhóm Aben A, B đồng... 2.2 NHÓM ABEN NỘI XẠ Khái niệm đối ngẫu nhóm Aben xạ ảnh khái niệm nhóm Aben nội xạ Do nhóm Aben G nội xạ phạm trù AG nhóm Aben xạ ảnh nhóm phạm trù AG Vậy ta có: 39 2.2.1 Định nghĩa Một nhóm Aben