Áp dụng phương pháp dạy học tích cực vào dạy học chủ đề phương trình và bất phương trình ở trung học phổ thông

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, ban chủ nhiệm khoa sau Đại học tr-ờng Đại học Vinh cùng tất cả các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy trong suốt quá trình tôi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Lời cảm ơn

Tr-ớc hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Anh Tuấn, ng-ời thầy đã nhiệt tình h-ớng dẫn tôi hoàn thành luận văn này trong thời gian qua

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, ban chủ nhiệm khoa sau Đại học tr-ờng Đại học Vinh cùng tất cả các thầy cô giáo

đã tham gia giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập nghiên cứu và hoàn thành các chuyên đề thạc sĩ khoá 17, nghành Toán tr-ờng Đại học Vinh

Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán tr-ờng THPT Nguyễn Xuân Ôn, Diễn Châu, Nghệ An - nơi tôi đang công tác giảng dạy, đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình tôi tiến hành thực nghiệm s- phạm

Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Ph-ơng pháp giảng dạy bộ môn Toán

Cuối cùng, tôi xin đ-ợc gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp - những ng-ời luôn cổ vũ động viên tôi để tôi hoàn thành tốt Luận văn này

Tuy đã có nhiều cố gắng, Luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần

đ-ợc góp ý, sửa chữa Rất mong nhận đ-ợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc

Tác giả

MỤC LỤC

1.1.3 Những dấu hiệu đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực 10

1.2.1 Quan điểm về hoạt động trong Tâm lý học hiện đại 13

1.2.2 Tiếp cận khoa học luận về giáo dục Toán học 14

1.3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC CẦN PHÁT

1.3.1 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề 18

1.3.6 Dạy học theo dự án 36 1.4 THỰC TRẠNG VỀ DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT

ÁP DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀO

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG

2.2.1 Nguyên tắc xây dựng các HĐHT nhằm phát huy tính tích cực

2.2.2 Các biện pháp sư phạm nhằm phát huy tính tích cực của học

2.2.3 Vận dụng phương pháp dạy học tích cực vào dạy học những

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 S phát triển c đất nư c trong gi i đoạn hi n n y, công cuộc công

nghi p h , hi n đại h đư c đ c i t qu n t Để đáp ng đư c y u cầu đ t r

về ngu n nh n c c đ hả n ng, n ng c, trình độ ch công c o động trong nền sản uất t động h Ngh quyết Hội ngh ần th IV B n chấp h nh Trung ương Đảng Cộng Sản Vi t N h IV, 1993 n u r : M c ti u giáo d c – đ o tạo phải hư ng v o vi c đ o tạo nh ng con ngư i o động t ch , sáng tạo,

c n ng c giải quyết nh ng vấn đề thư ng g p, qu đ g p phần t ch c c thể hi n

c ti u n c đất nư c Trư c tình hình đ , ng nh giáo d c cần th y đổi phương pháp đ o tạo để ph h p v i th c ti n Ngh quyết Hội ngh ần th II B n chấp h nh Trung ương Đảng Cộng Sản Vi t N h VIII, 1997 : Phải đổi i phương pháp đ o tạo, h c ph c ối truyền th ột chiều, r n uy n th nh nếp tư duy sáng tạo c ngư i học T ng ư c áp d ng nh ng phương pháp ti n tiến v phương ti n hi n đại v o quá trình dạy học, đả ảo điều i n th i gi n t học, t nghi n c u

Luật giáo d c n 2005 quy đ nh: Phương pháp giáo d c phổ thông phải phát huy t nh t ch c c, t giác, ch động, sáng tạo c học sinh; ph h p v i đ c điể

c t ng p học, ôn học; i dưỡng phương pháp t học, hả n ng vi c theo nhóm; rèn luy n ỹ n ng vận d ng iến th c v o th c ti n; tác động đến tình cả ,

đe ại niề vui, h ng thú học tập cho học sinh Cho thấy vi c t ch c c, ch động trong học tập rất cần thiết giúp r n uy n ỹ n ng vận d ng iến th c v o

th c ti n Muốn ch động cần phải đ nh hư ng, tì r phương pháp hoạt động th ch

h p để giải quyết vấn đề

Theo A A Stoliar, dạy toán dạy hoạt động Toán học, trong đ hoạt động

c học sinh ch yếu hoạt động giải i tập toán B i tập toán ng nhiều ch c

n ng như: ch c n ng giáo d c, ch c n ng giáo dưỡng, ch c n ng phát triển tư duy,

ch c n ng iể tr v đánh giá Vì vậy c thể n i dạy học i tập toán ột trong

nh ng tình huống điển hình trong dạy học ộ ôn Toán Nội dung chương trình đại

số v giải t ch ở trư ng phổ thông hết s c phong phú v đ dạng C nh ng dạng

toán đã c thuật giải nhưng cũng c rất nhiều i toán chư c thuật giải Đ ng trư c nh ng i toán chư c thuật giải đ , giáo vi n cần dẫn d t học sinh để các

e huy động iến th c, tì r i giải ph h p đ ng th i phát triển đư c tư duy inh hoạt cho các e

Vi c r n uy n hả n ng tì i giải i toán đ ng v i trò qu n trọng trong quá trình giải toán Do đ trong quá trình dạy học, nếu ngư i giáo vi n thư ng uy n c

ý th c tr u d i hả n ng tì i giải các i toán thì sẽ c tác d ng rất tốt trong vi c phát triển tư duy inh hoạt cho các e học sinh

1.2 R n uy n, phát triển tư duy inh hoạt cho học sinh trong giải Toán c v i

trò qu n trọng trong vi c phát triển tư duy c học sinh, để t đ c hả n ng th ch

ng hi đ ng trư c ột vấn đề cần giải quyết Học sinh cũng thấy đư c ỗi i giải

i Toán ết quả c ột quá trình suy uận, tư duy, phương pháp giải hông chỉ ph thuộc v o đ c điể c i Toán còn ph thuộc tố chất t ý c ản

th n ngư i giải Mối i n h , dấu hi u trong i Toán chỉ c thể đư c phát hi n thông qu quá trình ph n t ch, tổng h p, hái quát hoá, so sánh, Đ ng th i, qu

vi c phát triển tư duy inh hoạt cho học sinh trong dạy học giải Toán cho học sinh iết đư c t nh th c ti n c Toán học: uất phát t th c ti n v qu y về ph c

v th c ti n Ngu n gốc s c ạnh c Toán học ở t nh chất tr u tư ng c o độ

c n Nh tr u tư ng hoá Toán học đi s u v o ản chất c nhiều s vật, hi n

tư ng v c ng d ng rộng rãi Nh c hái quát hoá, ét tương t hả n ng suy đoán v tưởng tư ng c học sinh đư c phát triển, v c nh ng suy đoán c thể rất táo ạo, c c n c d tr n nh ng quy t c, inh nghi qu vi c r n uy n các th o tác tư duy Cũng qu th o tác hái quát hoá v tr u tư ng hoá tư duy độc ập, tư duy sáng tạo, tư duy ph phán c học sinh cũng đư c hình th nh v phát triển Bởi

qu vi c phát triển tư duy đ học sinh t ình phát hi n vấn đề, t ình ác đ nh

đư c phương hư ng, tì r cách giải quyết v cũng t ình iể tr , ho n thi n

ết quả đạt đư c c ản th n cũng như c ngư i hác Một t các e cũng phát

hi n r đư c nh ng vấn đề i, tì r hư ng đi i, tạo r ết quả i

R n uy n, phát triển tư duy inh hoạt trong dạy v học ộ ôn Toán c v i trò

qu n trọng như vậy, tuy nhi n ở trư ng phổ thông hi n n y, vấn đề r n uy n v

phát triển tư duy inh hoạt chư đư c qu n t đúng c N chỉ di n r ột cách

t phát, chư c s chỉ đạo v t i i u hư ng dẫn giáo vi n th c hi n Do đ , giáo

vi n chư th nh thạo trong vi c h i thác các tình huống, các nội dung dạy học nhằ r n uy n v phát triển tư duy inh hoạt cho học sinh

1.3 Trong cuộc sống hi n n y c nhiều cơ hội để r n uy n v phát triển tư

duy inh hoạt Đ c i t chương trình Toán ở trư ng Trung học phổ thông c nhiều tiề n ng thuận i cho vi c r n uy n, phát triển tư duy inh hoạt B i tập Toán c rất nhiều dạng thuộc v o nhiều ch đề iến th c hác nh u Khi giải các i tập Toán đòi hỏi học sinh phải iết đ nh hư ng, phải sử d ng ột cách tổng h p iến

th c i n qu n đến nhiều ĩnh v c hác nh u H thống i tập Đại số, Giải t ch há phong phú về ch ng oại v i các c độ h hác nh u ph h p v i các đối

tư ng học sinh c trình độ nhận th c hác nh u Vì vậy đ y ột ĩnh v c c thể h i thác để r n uy n ĩ n ng, phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình dạy học

1.4 M c d c ột số công trình i n qu n đến r n uy n v phát triển tư duy

inh hoạt, nhưng vi c r n uy n ỹ n ng th c hi n các th o tác tư duy c học sinh

hi giải Toán vẫn vấn đề cần đư c tiếp t c nghi n c u cả về phương di n ý uận

v triển h i trong th c ti n dạy học

T nh ng ý do tr n đ y, chúng tôi quyết đ nh chọn đề t i nghi n c u c

uận v n : “Rèn luyện và phát triển tư duy linh hoạt cho học sinh THPT trong quá trình dạy học giải toán Đại số và Giải tích”

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đề uất ột số đ nh hư ng sư phạ r n uy n v phát triển tư duy inh hoạt trong dạy học giải i tập toán nhằ i dưỡng n ng c giải toán cho học sinh, g p phần n ng c o chất ư ng dạy học ôn Toán ở trư ng phổ thông

3 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Tr n cơ sở nội dung chương trình SGK hi n h nh nếu trong dạy học toán giáo

vi n chú ý r n uy n v phát triển tư duy inh hoạt cho học sinh thì sẽ i dưỡng

đư c n ng c giải toán g p phần n ng c o chất ư ng dạy học Toán ở trư ng phổ thông

4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

4.1 Nghi n c u cơ sở ý uận c i n qu n đến vấn đề i dưỡng tr tu v phát

triển n ng c giải toán cho học sinh

4.2 Điều tr , đánh giá th c trạng dạy học giải i tập Toán ở trư ng THPT;

chọn r ột số th o tác tư duy cần r n uy n cho học sinh trong giải Toán

4.3 Nghi n c u v đề uất ột số đ nh hư ng sư phạ về vi c r n uy n v

phát triển tư duy inh hoạt cho học sinh nhằ n ng c o n ng c giải Toán

4.4 Th c nghi sư phạ để đánh giá t nh hả thi c các đ nh hư ng sư

phạ đã đề uất

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Luận v n sử d ng các phương pháp s u đ y trong quá trình nghi n c u:

6 DỰ KIẾN ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN

G p phần r ột số th nh phần trong n ng c giải Toán c học sinh thông qu vi c r n uy n v phát triển tư duy inh hoạt

Đư r đư c nh ng đ nh hư ng sư phạ nhằ g p phần i dưỡng n ng c giải Toán thông qu r n uy n tư duy inh hoạt cho học sinh THPT trong quá trình giải Toán

7 CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Ngo i phần ở đầu, ết uận v t i i u th hảo, uận v n c chương:

Chương 1: Cơ sở ý uận v th c ti n

Chương 2: R n uy n v phát triển tư duy inh hoạt cho học sinh THPT thông qu dạy học giải i tập Đại số v Giải t ch

Chương 3: Th c nghi sư phạ

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Một số vấn đề về tư duy

1.1.1 Khái niệm về tư duy

Hi n th c ung qu nh c nhiều cái con ngư i chư iết Nhi v c cuộc sống v hoạt động th c ti n uôn đòi hỏi con ngư i phải hiểu thấu cái chư iết đ ng y ột s u s c, đúng đ n v ch nh ác hơn, phải vạch r nh ng cái ản chất v nh ng quy uật tác động c chúng Quá trình nhận th c đ gọi tư duy Trong t ý học, theo X L Ru inst in: "Tư duy - đ s hôi ph c trong ý nghĩ c ch thể về hách thể v i c đầy đ hơn, to n di n hơn so v i các tư i u

cả t nh uất hi n do tác động c hách thể"

Ngo i r c ột số đ nh nghĩ hác, chẳng hạn: "Tư duy ột quá trình t

lý phản ánh nh ng thuộc t nh, ản chất ối i n h v qu n h n trong c t nh quy uật c s vật hi n tư ng trong hi n th c hách qu n trư c đ t chư iết" [32]

Theo Từ điển Triết học: "Tư duy, sản phẩ c o nhất c vật chất đư c tổ ch c

ột cách đ c i t ộ não, quá trình phản ánh t ch c c thế gi i hách qu n trong các hái ni , phán đoán, ý uận Tư duy uất hi n trong quá trình hoạt động sản uất ã hội c con ngư i v đả ảo phản ánh th c tại ột cách gián tiếp, phát

hi n nh ng ối i n h h p quy uật Tư duy chỉ t n tại trong ối i n h hông thể tách r i hỏi hoạt động o động v i n i, hoạt động chỉ ti u iểu cho ã hội

o i ngư i cho n n tư duy c con ngư i đư c th c hi n trong ối i n h ch t chẽ

v i i n i v nh ng ết quả c tư duy đư c ghi nhận trong ngôn ng Ti u iểu cho tư duy nh ng quá trình như tr u tư ng hoá, ph n t ch v tổng h p, vi c n u

n nh ng vấn đề nhất đ nh v tì cách giải quyết chúng, vi c đề uất nh ng giả thiết, nh ng ý ni Kết quả c quá trình tư duy o gi cũng ột ý nghĩ n o

đ "

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

Trư c hết, cần hiểu rằng tư duy sản phẩ c o nhất c ộ não con ngư i v

ột quá trình phản ánh t ch c c thế gi i hách qu n Do đ , tư duy thuộc nấc

th ng nhận th c c o nhất, đ nhận th c ý t nh Vì vậy tư duy c nh ng đ c điể

i về chất so v i cả giác v tri giác C thể thấy s hác i t đ qu nh ng đ c điể cơ ản s u:

Điều kiện nảy sinh tư duy: tư duy chỉ nảy sinh hi con ngư i đ ng trư c

nh ng ho n cảnh c vấn đề Không phải ất c tác động n o c ho n cảnh cũng đều g y r tư duy Tr n th c tế tư duy chỉ nảy sinh hi g p nh ng ho n cảnh c vấn

đề ằng vốn hiểu iết cũ t hông thể giải quyết đư c n Để nhận th c con ngư i phải vư t qu hỏi phạ vi nh ng hiểu iết tri th c cũ v đi tì cái i đạt

c đ ch i Nh ng ho n cảnh như thế gọi ho n cảnh c vấn đề Theo thuật

ng ý thuyết tình huống thì đ s ất c n ằng Ho n cảnh c vấn đề sẽ ch

th ch con ngư i tư duy Muốn vậy con ngư i phải nhận th c đư c, ý th c đư c

ho n cảnh c vấn đề, nhận th c đư c u thuẫn ch đ ng trong vấn đề, ch thể phải c nhu cầu, nhu cầu nhận th c v đương nhi n phải c nh ng tri th c cần thiết

c i n qu n đến vấn đề, chỉ tr n cơ sở đ thì tư duy i nảy sinh v di n iến Một trong nh ng ngư i c công trình nghi n c u nhiều nhất về tư duy X L

Ru instein Ông đã nhấn ạnh rằng tư duy sáng tạo uôn đư c t đầu t ột ho n cảnh c vấn đề

Tư duy có tính khái quát: hác v i nhận th c cả t nh, tư duy c hả n ng đi

s u v o s vật, hi n tư ng nhằ vạch r nh ng thuộc t nh chung nh ng ối i n h ,

qu n h c t nh quy uật gi chúng Vì thế tư duy c t nh hái quát

Nh phản ánh hái quát, các quy uật tư duy giúp con ngư i hông chỉ

nhận th c thế gi i c òn c hả n ng cải tạo thế gi i

Tư duy có tính gián tiếp: ở c độ nhận th c cả t nh, con ngư i phản ánh

tr c tiếp s vật, hi n tư ng ằng giác qu n c ình tr n cơ sở đ cho t hình ảnh

cả t nh về s vật v hi n tư ng đến tư duy, con ngư i hông nhận th c thế gi i

ột cách tr c tiếp c hả n ng nhận th c thế gi i ột cách gián tiếp - nhận th c ằng ngôn ng , nh phương ti n ngôn ng v hả n ng phản ánh hái quát; con ngư i c hả n ng vạch r các thuộc t nh ản chất, các ối qu n h c t nh quy uật D đoán đư c chiều hư ng phát triển v di n iến c chúng để nhận th c v cải tạo chúng

Quan hệ giữa tư duy với ngôn ngữ: Tư duy v ngôn ng c qu n h ch t chẽ

v i nh u hông tách r i nh u, nhưng cũng hông đ ng nhất v i nh u S thống nhất gi tư duy v ngôn ng thể hi n r ở h u iểu đạt ết quả c quá trình tư

duy 29, tr.9

Theo qu n điể c duy vật i n ch ng thì tư duy v ngôn ng c qu n h

ch t chẽ v i nh u nhưng hông đ ng nhất v i nh u Nh c tư duy ngôn ng phát triển; ngư c ại ngôn ng công c thúc đẩy tư duy phát triển

Nét nổi ật c tư duy quá trình tư duy o g nhiều gi i đoạn ế tiếp

nh u đ t nhận th c vấn đề đến uất hi n các i n tưởng v qu quá trình tư duy

ộ não s ng ọc các i n tưởng đ để hình th nh n n các giả thuyết t đ iể tr giả thuyết để ch nh ác hoá nhằ ph đ nh h y hẳng đ nh vấn đề đ đi đến ác

ỏ h y chấp nhận giả thuyết Trong tất cả các ư c tr n tư duy uôn uôn uất hi n

hi g p ho n cảnh c vấn đề, v tư duy c qu n h ật thiết v i nhận th c cả t nh Theo X L Ru inst in hẳng đ nh: nội dung cả t nh o gi cũng c trong tư duy

tr u tư ng, t h như chỗ d cho tư duy Điều đ cũng cho t nhận thấy rằng quá trình tư duy uôn ột hoạt động c tr tu v di n r ằng cách ch thể tiến h nh qu nh ng th o tác nhất đ nh v các th o tác đ th gi v o ột quá trình c thể như: ph n t ch, tổng h p, so sánh,

Như vậy, qu vấn đề n u tr n t nhận thấy tư duy c tác d ng hết s c to n trong đ i sống ã hội c con ngư i Chúng t d v o tư duy để hiểu, nhận th c các quy uật hách qu n c t nhi n v ã hội v i d ng n để phát triển ã hội

N i như thế c nghĩ nh c tư duy ã hội o i ngư i phát triển ng y ột c o

C nh ng hi n tư ng trư c đ y con ngư i hông thể giải th ch đư c hi tư duy chư phát triển, cho đến y gi tư duy c ng phát triển s giải th ch ấy c ng ng y,

c ng đư c sáng tỏ

Nh Toán học Li n ô cũ K K P ntônôv đã n u n các gi i đoạn c tư duy ằng sơ đ s u đ y:

Sơ đồ 1.1 dẫn theo Nguy n V n Thuận [29], tr 10

1.1.3 Sự phân loại tư duy

C nhiều cách ph n oại tƣ duy

Theo Phạ Minh Hạc, Sácđ côp M N c 3 oại tƣ duy s u đ y:

a) Tư duy trực quan hành động: đ oại tƣ duy ằng các th o tác c thể t y

ch n hƣ ng v o vi c giải quyết ột vấn đề c thể, tr c qu n

b) Tư duy trực quan hình tượng: oại tƣ duy phát triển ở c độ c o hơn, r

đ i uộn hơn so v i tƣ duy tr c qu n h nh động, chỉ c ở ngƣ i, đ oại tƣ duy

vi c giải quyết vấn đề d v o hình ảnh s vật, hi n tƣ ng

c) Tư duy trừu tượng (tư duy ngôn ngữ, lôgic): oại tƣ duy phát triển ở c

độ c o nhất, chỉ c ở ngƣ i, đ oại tƣ duy vi c giải quyết vấn đề d tr n các

hái ni , các ối qu n h ôgic v g n ch t chẽ v i ngôn ng , ấy ngôn ng

Vì tƣ duy ột hình th c phản ánh gián tiếp n n n g n v i ngôn ng

ột cách h u cơ v hông c ngôn ng thì hông c tƣ duy

Theo A V P trôv i v L B Iten ơn, c 4 oại tƣ duy đ : tƣ duy hình

tƣ ng, tƣ duy th c h nh, tƣ duy ho học v tƣ duy ôgic Vi c phát triển tƣ duy ôgic o gi cũng đƣ c coi ột nhi v qu n trọng đ t n h ng đầu trong quá trình dạy học Toán N i đến tƣ duy ôgic ngƣ i t nhấn ạnh tƣ duy i n ch ng nghi n c u tƣ duy dƣ i g c độ cách th c nhận th c s phát triển v iến đổi c các

s vật hi n tƣ ng

Nhƣ vậy, d tr n cách chi đ t thấy ối qu n h ch t chẽ gi các oại tƣ duy c ột ối qu n h i n ch ng ẫn nh u đi t thấp đến c o t cái đơn giản đến ph c tạp, t nh ng điều trông thấy đến nh ng vấn đề cần c tƣ duy c o độ Mối

qu n h đ c ột ý nghĩ hết s c qu n trọng trong s phát triển ã hội o i ngƣ i

S phát triển t thấp đến c o đ ột quá trình nhận th c c con ngƣ i phản ánh

ột cách i n ch ng thế gi i hách qu n Quá trình nhận th c ằng tƣ duy di n r hông đơn giản, th động, áy c M đ ột quá trình phản ánh hi n th c khách quan v o ộ c con ngƣ i n ng động sáng tạo, i n ch ng Đ quá trình đi

t cái chƣ iết, chƣ s u s c, t cái iết t đến cái iết nhiều, t nhận th c cả t nh đến nhận th c ý t nh Vì vậy, quá trình tƣ duy c con ngƣ i n i chung di n r ở

h i gi i đoạn nhận thức cảm tính và nhận thức lý tính Quá trình đ trải qu hi g p

tình huống c vấn đề Đ h i gi i đoạn hác nh u về chất, c đ c điể v v i trò

hác nh u về vi c nhận th c s vật hách qu n Nhận th c cả t nh phản ánh

tr c tiếp, c thể, sinh động s vật, còn nhận th c ý t nh phản ánh gián tiếp, ng

t nh tr u tƣ ng hái quát Nhận th c cả t nh đe ại nh ng hình ảnh ề ngo i, chƣ thật s u s c về s vật; còn nhận th c ý t nh phản ánh đƣ c ối qu n h n trong, ản chất, phổ iến, tất yếu c s vật Do đ nhận th c ý t nh phản ánh s vật s u s c hơn đầy đ hơn

Tuy nhi n, nhận th c cả t nh v nhận th c ý t nh ại thống nhất i n ch ng

v i nh u, i n h , tác động ẫn nh u, ổ sung, hỗ tr cho nh u, hông tách r i nh u Chúng đều c ng phản ánh thế gi i vật chất, c c ng ột cơ sở sinh ý duy nhất

h thần inh c con ngƣ i v đều c ng ch u s chi phối c th c ti n ch sử - xã

hội Nhận th c cả t nh cơ sở c nhận th c ý t nh, hông c nhận th c cả

t nh thì hông c nhận th c ý t nh Trái ại, nhận th c cả t nh hông c nhận

th c ý t nh thì hông thể n t đư c ản chất v quy uật c s vật, hi n tư ng

Tr n th c tế, chúng thư ng di n r đ n en v o nh u trong ỗi quá trình nhận th c Phép i n ch ng hách qu n c thế gi i ung qu nh t đư c phản ánh v o phép

i n ch ng ch qu n đ y vấn đề c t nh chất nền tảng

1.1.4 Tư duy toán học

C t “tư duy toán học” đã đư c sử d ng ột cách rất phổ iến, trong dạy

học, trong đánh giá ết quả học tập Tuy nhi n hái ni n y chư đư c đ nh nghĩ

ột cách tư ng inh thư ng sử d ng theo nh ng h cạnh c n trong dạy học Toán Dư ng như ọi ngư i cũng chỉ d v o hả n ng toán học, s c học toán

để r i đánh giá về tư duy toán học Đ nh rằng ột học sinh yếu về Toán thì không thể tốt về tư duy toán học nhưng ột học sinh c ĩ n ng giải Toán tốt chư hẳn

đã c tư duy toán học tốt Cho đến n y c rất nhiều t i i u nghi n c u về tư duy toán học Tuy nhi n trong ột số t i i u c n i đến thì cũng chỉ n i chung chung còn ở ột c độ nhất đ nh, v c n i ĩ thì cũng chỉ n i về ột oại hình tư duy c thể n o đ thôi Cũng t điều đ thì tư duy toán học đư c hiểu, th nhất hình

th c iểu ộ tư duy i n ch ng trong quá trình con ngư i nhận th c ho học toán học h y trong quá trình áp d ng Toán học v o các ho học hác như ỹ thuật, inh

tế Th h i, tư duy toán học c các t nh chất đ c th đư c quy đ nh ởi ản chất c

ho học toán học ởi s áp d ng các phương pháp toán học để nhận th c các hi n

tư ng thế gi i hi n th c, cũng như ởi ch nh các phương th c chung c tư duy

n sử d ng Nội dung c tư duy toán học nh ng tư tưởng phản ánh hình dạng hông gi n v nh ng qu n h số ư ng c thế gi i hi n th c 5, tr.5  Điều đ cho t thấy rằng tư duy i n ch ng ột oại hình tư duy qu n trọng thể hi n trong

tư duy toán học, t cũng cần hiểu tư duy i n ch ng như thế n o? Thuật ng tư duy i n ch ng uất hi n nhiều ần tr n các sách áo tạp ch v ấn phẩ ho học, tuy nhi n hầu như chư c ột t i i u n o đư r ột đ nh nghĩ tư ng inh về oại hình tư duy n y C t i i u th y vì đ nh nghĩ tư duy i n ch ng thì ại nhấn ạnh v i trò c n ; c t i i u hông đ nh nghĩ tư duy i n ch ng chỉ n i rằng

tư duy i n ch ng d v o ôgic i n ch ng, th c r chẳng ri ng gì tư duy i n

ch ng i d v o ôgic i n ch ng n i như I encô Tư duy toán học đáng giá nhất thiết phải tư duy i n ch ng C u n y c thể hiểu như s u ọi oại hình tư duy toán học trong ình n đều c h ư ng c tư duy i n ch ng, tuy nhi n

h ư ng ấy chỗ n y chỗ i c thể hác nh u v cũng hông n n hiểu rằng tư duy

i n ch ng đ để o quát tất cả các tình huống Toán học c d n cần thiết

Nh sư phạ ô viết A X M c rencô đã t ng chỉ r rằng trong dạy học và giáo d c chúng t phải theo p nh ng y u cầu ã hội chúng t sẽ đề r cho con ngư i trong ột tương i hông Để giáo d c đư c con ngư i o động sáng tạo

c n ng c tr tu c o cần phải vận d ng nh ng phương pháp dạy học t ch c c nhằ phát triển nh ng n ng c tư duy ột cách i n ch ng, n ng c e ét các đối

tư ng v hi n tư ng trong ối qu n h qu ại, trong quá trình vận động iến đổi,

u thuẫn v phát triển c chúng 1, tr.65

1.2 Nhiệm vụ phát triển tư duy cho học sinh THPT trong dạy học môn toán

Chúng t iết rằng, hoạt động nhận th c h y hẹp hơn hoạt động tư duy chỉ

di n r trong tình huống c vấn đề Vấn đề hái ni t thư ng d ng để chỉ các u thuẫn nảy sinh trong th c ti n h y ét trong dạy học Toán t thư ng gọi

i toán B i toán o g h i h thống thông tin, h i ộ phận uôn u thuẫn v i

nh u nhưng uôn c nh ng i n h g n v i nh u Bộ phận th nhất “điều kiện”

o g tất thảy nh ng thông tin đã cho ột cách tư ng inh ho c tiề ẩn T c điều i n c i n qu n đến i Toán sẽ iểu hi n s u nh ng iến đổi nhất đ nh Bộ

phận th h i “yêu cầu” g nh ng thông tin i toán đòi hỏi phải tì Quá

trình giải i toán hoạt động tr c g nh ng th o tác đ dạng, ph c tạp nhưng

ét đến c ng uôn s ph n t ch, tổng h p, so sánh, đối chiếu các điều i n v i các

y u cầu c i toán; ph n t ch, ý giải các ối i n h đã c để giải quyết nh ng

u thuận gi điều i n v y u cầu Quá trình ph n t ch, ý giải n y sẽ dẫn tư duy đến nh ng ối i n h i C như thế dần dần sáng tỏ y u cầu cần đạt c bài Toán

Thông tin cần cho vi c giải i Toán còn ở dạng tiề ẩn, cho n n, vi c ý giải thông qu các th o tác tư duy, ối i n h gi tập h p các điều i n tư ng inh

h y tiề ẩn v i các y u cầu c i Toán Vi c há phá dần dần các điều i n tiề ẩn cũng ch nh quá trình ch ng inh, ổ sung ho n chỉnh ho c ác ỏ giả thuyết n đầu, ởi vì nh các hoạt động đ tư duy c thể nhìn thấy r hơn ối

i n h th c gi điều i n v y u cầu N sẽ giúp t thấy đư c con đư ng đi t i

c đ ch y u cầu đ t r đúng hư ng

Ti u iểu cho tư duy quá trình ph n t ch, tổng h p, tr u tư ng hoá, vi c

n u n nh ng vấn đề nhất đ nh v tì cách giải quyết chúng, vi c đề uất nh ng giả thuyết, nh ng ý ni , ết quả c quá trình tư duy o gi cũng ột ý nghĩ

n o đ Khả n ng phản ánh th c tại ột cách gián tiếp c tư duy đư c iểu hi n ở

hả n ng suy ý, ết uận ôgic ch ng inh c con ngư i Hoạt động tư duy c con ngư i uôn hư ng v o giải quyết ột vấn đề, ho c sáng tỏ điều n o đ

họ c ong uốn cần hiểu iết

1.2.1 Rèn luyện các thao tác tư duy

Trong quá trình dạy học, vi c r n uy n các hoạt động tr tu cho học sinh cần tập trung chú ý t i vi c r n uy n ột số th o tác tư duy cơ ản Đ nh ng hoạt động tr tu thư ng g p trong dạy học Toán ở nh trư ng phổ thông

Xuất phát từ yêu cầu thời gian và phạm vi nghiên cứu của đề tài, chúng tôi đi sâu vào việc tìm hiểu việc rèn luyện một số thao tác tư duy cơ bản sau:

1.2.1.1 Thao tác phân tích và tổng hợp

Theo t học các quá trình ph n t ch v tổng h p nh ng thao tác tư duy

cơ bản, tất cả nh ng cái tạo th nh hoạt động tr tu đều nh ng dạng hác nh u

c các quá trình đ Vì vậy, để phát triển tr tu cho học sinh qu ộ ôn Toán,

giáo vi n cần phải coi trọng vi c r n uy n cho học sinh hả n ng phân tích và tổng

hợp

Theo Nguy n Cảnh To n: Phân tích chi ột chỉnh thể r th nh nhiều ộ phận để đi s u v o các chi tiết trong t ng ộ phận Tổng hợp là nhìn bao quát lên

ột chỉnh thể g nhiều ộ phận, tì các ối i n h gi các ộ phận c chỉnh thể v c ch nh chỉnh thể đ v i ôi trư ng ung qu nh Theo ông, ph n t ch tạo điều i n cho tổng h p, tổng h p ại chỉ r phương hư ng cho s ph n t ch tiếp theo [30, tr 122]

Ho ng Chúng cho rằng: Trong ọi h u c quá trình học tập Toán học c học sinh, n ng c ph n t ch, tổng h p uôn ột yếu tố qu n trọng giúp học sinh n

v ng iến th c v vận d ng iến th c ột cách sáng tạo [5, tr.15]

Theo M N Sácđ cốp thì: Phân tích ột quá trình nhằ tách các ộ phận

c nh ng s vật ho c hi n tƣ ng c hi n th c v i các dấu hi u v thuộc t nh c chúng, cũng nhƣ các ối i n h v qu n h gi chúng theo ột hƣ ng nhất đ nh Theo ông, thì quá trình ph n t ch nhằ c đ ch nghi n c u chúng đầy đ v s u

về chất, cung cấp ột s hiểu iết i n o đ về hi n th c

Nhƣ vậy, phân tích và tổng hợp h i hoạt động tr tu trái ngƣ c nhƣng ại

h i t c ột quá trình thống nhất Chúng h i hoạt động tr t cơ ản c quá trình tƣ duy Nh ng hoạt động tr tu hác đều di n r tr n nền tảng c ph n t ch

v tổng h p C thể n i hông ột vấn đề tổng h p hông tầ thƣ ng n o ại chẳng cần d ng đến ph n t ch trong quá trình phát hi n v giải quyết vấn đề

Phân tích và tổng hợp hông o gi t n tại tách r i nh u Chúng h i t

đối ập c ột quá trình thống nhất ởi vì trong ph n t ch đã c tổng h p, ph n

t ch cái to n thể đ ng th i tổng h p các phần c n Vì ph n t ch cái to n thể r

t ng phần cũng chỉ nhằ c đ ch ộc ộ r ối i n h gi các phần c cái

to n thể ấy Ph n t ch ột cái to n thể con đƣ ng để nhận th c cái to n thể s u

s c hơn S thống nhất c quá trình ph n t ch- tổng h p còn đƣ c thể hi n ở chỗ: Cái to n thể n đầu tổng h p 1 đ nh hƣ ng cho ph n t ch, chỉ r cần ph n t ch

t n o, h cạnh n o, ết quả c ph n t ch cái to n thể n đầu đƣ c nhận

th c s u s c hơn tổng h p 2 Nhƣ vậy, phân tích và tổng hợp theo con đƣ ng:

tổng h p 1 - phân tích - tổng h p 2 Các th o tác ph n t ch - tổng h p c t trong

ọi h nh động tr tu c con ngƣ i

Trong giải toán, học sinh thư ng phải th c hi n các th o tác ph n t ch, tổng

h p en ẽ v i nh u Bằng g i ý c G Pô y viết trong tác phẩ “Giải bài toán

như thế nào” đã đư r quy trình 4 ư c để giải i toán Trong ỗi ư c tác giả đã

đư r các g i ý, đ ch nh các th o tác ph n t ch, tổng h p i n tiếp, đ n en nh u

để th c hi n đư c 4 ư c c quá trình giải toán C thể thấy trong giải toán, các

th o tác ph n t ch v tổng h p thư ng g n h ng h t v i nh u Trong ph n t ch

c s tổng h p Tổng h p th nh phần v trong quá trình tổng h p phải c s ph n

t ch Để đả ảo t nh ôgic v t nh đ nh hư ng c quá trình tổng h p Một điều hiển nhi n : Một i tập học sinh cần phải giải chỉ c h u hạn các phương pháp giải, các phương pháp giải ấy tất nhi n phải sử d ng các iến th c đã c c học sinh vì thế ản chất c th o tác giải ột i tập toán c học sinh thư ng :

Do vậy vi c r n uy n tư duy inh hoạt cho học sinh qu vi c giải i tập nhất

thiết phải đư c tiến h nh thông qu s ph n oại học sinh Không c ột cách “rèn

luyện” n o ph h p cho ọi đối tư ng, thậ ch c nh ng quá trình ph n t ch -

tổng h p hi giải ột i tập c ết quả đối v i học sinh n y nhưng ại “vô

nghĩa” v i học sinh hác Vì thế, tì hiểu ĩ đối tư ng, nghi n c u ĩ i tập đ nh

truyền đạt, t thầy giáo phải ph n t ch ĩ ột i tập trư c hi hư ng dẫn cho học sinh quá trình phân tích - tổng h p hi giải i tập toán rất qu n trọng Dư i đ y

ột số v d inh họ

Ví dụ 1.1 Giải phương trình:

(1 sin  x )cos x   (1 cos x )sin x   1 sin 2 x (1)

Đề thi Đại học hối A, 2007

- Hoạt động phân tích:

VP=1 sin 2  x  sin2x  c os2x  2sin cos x x  (sin x  cos ) x 2,

S ph n t ch n y di n r tr n cơ sở tổng h p, i n h iểu th c :

1 cos sin2x 2x và 2 sinx cosx sin 2x

VT iểu th c đối ng đối v i sinx và cosx n n c thể ph n t ch đư c

qua sin x  cos x

(sin cos )(1 sin cos )

- Hoạt động tổng hợp, ta có lời giải: Vì vậy phương trình 1 c thể iến đổi

về phương trình t ch v i ột th số sin x  cos x

(1)  (sin x  cos )(1 sin cos ) x  x x  (sin x  cos ) x 2

(sin x cos )(1 sin )(1 sin ) x x x 0

Theo G Pô y : Ph n t ch v tổng h p 2 động tác qu n trọng c tr c Nếu

đi v o chi tiết thì c thể ngập v o đấy Nh ng chi tiết quá nhiều v quá nhỏ ọn cản trở ý nghĩ, hông tập trung v o điể c n ản Đ trư ng h p c ột ngư i chỉ thấy c y hông thấy r ng Trư c hết, phải hiểu i toán như ột cái toàn ộ Khi đã hiểu r thì t d c điều i n hơn để e ét nh ng điể chi tiết

n o c n ản T phải nghi n c u thật sát v ph n chi i toán th nh t ng ư c

v chú ý, hông đi quá hi chư cần thiết [21, tr.74]

Khi i toán cần giải đã đư c hiểu tr n to n ộ theo nghĩ ác đ nh r giả thiết ết uận , đã tì hiểu đư c c đ ch, ý ch đạo, thì cần phải đi v o chi tiết

Đ c i t nếu i toán há h h n thì đôi hi cần thiết phải th c hi n hơn n

vi c ph n chi v hảo sát chi tiết nhỏ hơn

Ví dụ 1.2 Giải phương trình:

2(4 x  4  x ) 3(2  x  2  x ) 1 0   (1)

Đ y i toán giải phương trình hông d d ng v i học sinh i học, n đòi hỏi ột hả n ng vận d ng th nh thạo ỹ n ng ph n t ch để c thể đi t i đ ch ằng cách d ng nhiều ần phép rút gọn B n cạnh đ n còn đòi hỏi học sinh phải c iến th c về ột số dạng phương trình đơn giản, ột suy nghĩ đúng hư ng thì i phát hi n r : 2

giải hác nh u c i toán

S u hi đã ph n chi i toán, t cố g ng tổ h p ại ột cách hác các yếu tố

c n Chẳng hạn, t c thể tạo n n ột i toán i, d hơn trong trƣ ng h p

cần thiết c thể d ng nhƣ ột i toán ph

Đối v i ột i toán trong đ c giả thiết v ết uận thì s ph n t ch phải

hƣ ng v o c đ ch tì cho r các t ch ôgic nối giả thiết v i ết uận Trong

Toán học, thƣ ng đƣ c sử d ng h i phép ph n t ch:

* Phép phân tích đi lên (suy ngược lùi)

* Phép phân tích đi xuống (suy ngược tiến)

Trong quá trình dạy học giáo vi n cần hƣ ng dẫn học sinh d ng phép suy

ngƣ c để tì i giải, d ng phép suy uôi để trình y i giải

Ví dụ 1.3 CMR: a3 + b3 > a2b +ab2 v i a b ,  0 và a b

Nếu chỉ d ng phép tổng h p để giải, suy nghĩ s o để t a3 + b3 suy ra nó

n hơn a2b + ab2 điều hông d Do đ giáo vi n c thể hƣ ng dẫn học sinh ết

a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 - ab +b 2 ) = (a+b)[(a - b) 2 + ab]

= (a+b)(a - b) 2 + (a+b)ab> (a+b)ab = a 2 b +ab 2 ĐPCM

Khi giải Toán trƣ c ti n phải nhìn o quát e i toán thuộc oại gì, phải

ph n t ch cái đã cho, cái phải tì Đ vi c e ét, nghi n c u i toán đã cho Mấu chốt vấn đề ở đ y cách nhìn i toán Phải iết cách nhìn i toán dƣ i dạng

ch nh quy ẫu c Đ y cách nhìn ch yếu v o đ c điể ch yếu c i toán Cách nhìn n y giúp t phát hi n đư c các điể cơ ản, đơn giản nếu hông che huất ởi nh ng hình th c r c rối Tuy nhi n, ại phải iết cách nhìn i toán dư i dạng đ c th ri ng ẻ Đ ng th i cũng phải uy n tập thư ng uy n, ngư i giải i iết cách h i thác hết ọi h cạnh iểu hi n tinh vi c i toán, i c đư c

nh ng điều uốn n i c các con số, c các hi u, các điều i n ch đ ng trong

i toán V i i toán đại số nhưng ại phải i n tưởng đến chẳng hạn phạ vi ư ng giác, hình học, v ngư c ại

1.2.1.2 Khái quát hoá và đặc biệt hóa

a) Khái quát hoá: Theo G Pô i , Khái quát hoá chuyển t vi c nghi n c u

ột tập h p đối tư ng đã cho đến vi c nghi n c u ột tập h p n hơn, o g cả tập h p n đầu [23, tr 21]

Theo tác giả Nguy n Bá Ki : Khái quát hoá chuyển t ột tập h p đối

tư ng s ng ột tập h p n hơn ch tập h p n đầu ằng cách n u ật ột số đặc

điểm chung c các phần tử trong tập h p uất phát [11, tr.55]

C thể n i trong cuộc sống v học tập, h p nơi v ọi úc đều cần đến phương pháp tư duy hái quát Đúng như Đại v n h o Ng - Lep Tôn tôi đã n i: Chỉ hi tr tu c con ngư i t hái quát ho c đã iể tr s hái quát thì con ngư i i c thể hiểu đư c n Không c hái quát thì hông c ho học; hông iết hái quát hông iết cách học Khả n ng hái quát hả n ng học tập vô

c ng qu n trọng, hả n ng hái quát Toán học ột hả n ng đ c i t [32, tr.170]

V d , hái quát hoá hi chuyển t vi c nghi n c u t th c s ng vi c nghi n

c u nh ng đ th c ậc tuỳ ý Ho c hái quát hoá hi chuyển t vi c nghi n c u h

th c ư ng trong t giác vuông s ng vi c nghi n c u nh ng h th c ư ng trong

điều i n ột g c c t giác ằng 900 để nghi n c u nh ng t giác v i g c tuỳ

ý

Theo tác giả Nguy n Bá Ki trong Nghiên cứu giáo dục số 5/1982 thì nh ng

dạng hái quát hoá thư ng g p trong ôn Toán đư c iểu di n ằng sơ đ s u:

Sơ đồ 1.3 Dẫn theo 13, tr 6

V i s iểu di n như tr n, t thấy rằng c 2 con đư ng hái quát: Con đư ng

th nhất tr n cơ sở so sánh nh ng trư ng h p ri ng ẻ, con đư ng th 2 hông d

tr n so sánh d tr n s ph n t ch chỉ ột hi n tư ng trong ột oạt hi n tư ng giống nh u C thể n i rằng, hái quát hoá ột thông số qu n trọng ậc nhất, ột

n ng c đ c th c tư duy, cơ sở duy nhất để ph n i t gi tư duy ý uận v tư duy inh nghi , n ng c hái quát hoá ở ỗi con ngư i uôn đ ng v i trò qu n trọng trong quá trình học tập, nghi n c u; hi đư c phát triển đến c độ c o ch nh

n ng c n y sẽ giúp ỗi con ngư i tách đư c cái chung, cái ản chất, nh ng ối

i n h n trong c t i i u nghi n c u, học tập ằng con đư ng ph n t ch chỉ ột

s i n điển hình thôi Bằng con đư ng đ con ngư i sẽ tiết i th i gi n s c

c c ình, iết cách há phá các tri th c ho học ằng nh ng phương pháp tối ưu

Như vậy, hái quát hoá th o tác tư duy nhằ phát hi n nh ng quy uật phổ iến c ột p các đối tư ng ho c hi n tư ng t ột số các trư ng h p ri ng ẻ

V i nghĩ đ , hái quát hoá thuộc về các phép suy uận c ý n n các ết uận đư c rút r t hái quát hoá thư ng ng t nh chất giả thuyết, d đoán Bởi nếu hẳng

đ nh ch c ch n thì đã ch ng inh

Khái quát hoá

Khái quát h t cái ri ng

Khái quát hoá t i cái tổng

quát đã iết Khái quát hoá t i cái tổng quát chư iết

Chúng t thư ng hái quát hoá ằng cách chuyển t chỗ chỉ ét ột đối tư ng

s ng vi c ét to n thể ột p o g cả đối tư ng đ Tổng quát hoá ột i toán thông thư ng s ở rộng i toán đ

Ví dụ1.4 Giáo viên đư r i toán s u v i c đ ch thông qu hoạt động giải

i toán giúp học sinh hái quát h đư c i toán c ng oại

Bài toán: Cho

Lời giải: Do v i trò c x và y ình đẳng n n các th o tác đối v i x và y là

như nh u v d đoán dấu ằng xảy r hi x = y

Đến đ y nếu học sinh chư tì r c u trả i giáo vi n c thể dẫn d t như s u:

- E hãy áp d ng ất đẳng th c C uchy cho x2 v i số dương a; y 2 v i số

Cho x, y, z  0 thoả ãn : xn + yn + zn = M n số t nhi n n  2; M số hông cho trư c Tì GTLN c :

T i toán tr n, t c thể hái quát hoá i toán c ng oại:

Cho , , c các số dương tuỳ ý CMR  x R, ta có:

T c thể phát iểu i toán tổng quát:

Cho 3 số x, y, z dương v xyz = 1 CMR n n n

x  y  z    x y z v i n  N*). Trong ôn Toán Trung học phổ thông, n i ri ng trong ôn Đại số v Giải

t ch, c nhiều tình huống i n qu n đến hoạt động hái quát hoá

Ví dụ:

- Khái quát hoá để hình thành khái niệm;

- Khái quát hoá để hình thành định lý;

- Khái quát hoá các bài toán Toán học;

- Khái quát hoá để hình thành phương pháp giải lớp các bài toán;

- Khái quát hoá hướng suy nghĩ giải bài tập toán

Một vấn đề vô c ng qu n trọng trong th c tế giải i toán, GV cần cho HS thấy đư c v i trò c hoạt động n y Lẽ t nhi n GV i cũng iết vi c tổng quát hoá ột i toán thông thư ng ở rộng i toán đ Nhưng c phải tất cả đều như vậy hông?

Nhiều hi, phát iểu ại i toán dư i dạng tổng quát sẽ giúp t d hiểu hơn

v c hả n ng tì đư c hư ng giải d d ng hơn; ởi vì, úc đ t sẽ chú trọng đến các yếu tố ản chất cả i toán v ỏ qu nh ng yếu tố hông ản chất đ y ch nh

th nh cho HS ỹ n ng giải hi g p nh ng i toán dạng n y hông?

Tr n cơ sở nh ng thắc mắc n y nếu t tổng quát i toán tr n, đư r i toán:

"Giải phương trình a A x  bB x c A x B x    " thì ản chất i toán đư c ộc

ộ r r ng hơn Tạo cho HS c hư ng suy nghĩ tách iểu th c dư i dấu c n r t ch c

h i iểu th c Chẳng hạn hi giải các phương trình s u :

4  2  2 

4x  1 2x 2x1 2x 2x1Tuy nhi n để quá trình hái quát hoá đạt ết quả tốt cần phải chú trọng đến

các hoạt động tr tu hác nhƣ: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, đặc biệt hoá

và hệ thống hoá, trong đ ph n t ch v tổng h p đ ng v i trò nền tảng

b) Đặc biệt hóa : Theo G Pô i : Đ c i t hoá chuyển t vi c nghi n c u t ột

tập h p đối tƣ ng đã cho s ng vi c nghi n c u ột tập h p nhỏ hơn ch trong tập

h p đã cho

Chẳng hạn, chúng t đ c i t hoá hi chuyển t vi c nghi n c u đ giác s ng

vi c nghi n c u đ giác đều v tiếp t c đ c i t hoá hi chuyển t vi c nghi n c u đ giác đều n cạnh n3 s ng vi c nghi n c u t giác đều n=3

Nh ng dạng đ c i t hoá thƣ ng g p trong ôn Toán c thể đƣ c iểu di n ằng sơ đ s u:

Một i toán h thƣ ng d giải hơn nếu t ét n trong ột trƣ ng h p đ c

i t vì hi đ t đã ổ sung th giả thiết, t ng th d i n cho i toán S u hi giải quyết các i toán đ c i t chúng t c thể rút r đƣ c các ết uận, tì đƣ c

cái “chốt” giúp cho vi c giải quyết các i toán tổng quát Các trƣ ng h p ri ng đôi

úc g i ý cho các ch ng inh tổng quát Chẳng hạn, trƣ c hi học sinh đƣ c học

Như vậy trong i toán n y, vi c đ c i t hoá m 3 đã che dấu dạng c

i toán v cho i toán trở n n h h n Nh ng cách đ c i t hoá hác sẽ dẫn đến nhiều i toán hác nh u Nếu suy đoán đư c s đ c i t đ , hôi ph c đư c

i toán n đầu thì c thể đ nh hư ng để tì r phương pháp giải

1.2.1.3 Trừu tượng hoá

Theo Nguy n Bá Ki : Tr u tư ng hoá s n u ật v tách nh ng đ c điể

ản chất hỏi nh ng đ c điể hông ản chất Chẳng hạn tr u tư ng hoá nh đề: Bình phương c ột số ột số dương học sinh phải tách đ c điể số

ũ chẵn hỏi đ c điể số ũ ằng 2 để đư c nh đề: uỹ th ậc chẵn c ột

số ột số dương

Tr u tư ng hoá ột “hoạt động của tư duy”, hoạt động n y c ộ não con

ngư i c thể hư ng t i ất ì vấn đề gì c ho học n i chung v n i ri ng c Toán học Ở đ y chúng t chỉ n đến vi c tr u tư ng hoá ột i tập Đại số v Giải t ch trong quá trình r n uy n các th o tác tư duy thông qu vi c giải i tập như thế n o thôi

Không c hái quát hoá v tr u tư ng hoá thì hông thể c iến th c v tri

th c thuyết đư c Khi tr u tư ng hoá, chúng t tách r cái chung trong các đối

tư ng nghi n c u, chỉ hảo sát cái chung n y, gạt qu ột n nh ng cái ri ng ph n

i t đối tư ng n y v i đối tư ng hác, hông chú ý t i nh ng cái ri ng n y Chẳng hạn t nh ng ết quả c thể: Hình ch nhật c gi o c 2 đư ng chéo trung điể

c ỗi đư ng Hình vuông cũng c 2 đư ng chéo gi o nh u tại trung điể c

ỗi đư ng Hình thoi cũng c ết quả tương t Tất cả 3 hình ể tr n đều hình ình h nh T đ t c thể tách ột đ c điể chung c các hình tr n v c nh

đề hái quát s u: Trong một hình bình hành các đường chéo giao nhau tại trung

điểm của mỗi đường”

Học sinh cũng thư ng g p h h n hi vận d ng iến th c v o nh ng điều

i n c thể i, thư ng do phải chuyển t tư duy c thể s ng tư duy tr u tư ng,

tì cái chung trong cái ri ng, cái c thể, cái hông ản chất nhạt, che

ấp cái chung, tạo r cái hố ng n cánh gi cái c thể v cái tr u tư ng C thể giúp học sinh h c ph c h h n đ ằng cách d ng sơ đ , hình vẽ Nh s ết h p

đư c cả h i t c thể v tr u tư ng trong ản th n n , sơ đ c thể giúp “cầu

nối” hi chuyển t tư duy c thể s ng tư duy tr u tư ng v ngư c ại

Để giúp học sinh phát triển tư duy tr u tư ng trong s tác động qu ại v i tư duy c thể, ại cần phải ết h p v i vi c sử d ng hình vẽ, hi u v i phát triển ngôn

ng , giúp cho iến th c c học sinh đư c ch nh ác hông hình th c

Trong hi đòi hỏi học sinh hái quát hoá nh ng nh đề để đư c nh ng nh

đề tổng quát hơn Chẳng hạn hi học về uỹ th , y u cầu học sinh i tập s u:

V i i tập n y, học sinh đư c huyến h ch th c hi n phép tương t coi như

s iểu hi n c hái quát hoá Tuy nhi n, trư c đ học sinh phải so sánh tì đ c điể chung c t ng nh v d

Ba ví dụ đầu: Luỹ th , c ng cơ số, cơ số chẵn, số ũ ẻ

Ba ví dụ sau: Luỹ th , c ng số ũ, cơ số ẻ, số ũ chẵn

Khi hái quát hoá theo y u cầu 3 , học sinh phải tách nh ng đ c điể ản chất h i

đ c điể đầu hỏi nh ng đ c điể hông ản chất đ c điể cuối , t c tiến

h p ại e h i s vật hi n tư ng c cái gì giống v hác nh u

Trong hoạt động Toán học, so sánh gi ột v i trò qu n trọng Usin i chỉ

r : Nếu nh uốn hiểu r ột s vật n o đ c thi n nhi n n ngo i thì nh hãy ph n i t n v i các s vật giống n nhất v tì trong n nh ng dấu hi u giống v i s vật ạ v i n nhất; chỉ hi ấy nh i hiểu r tất cả các dấu hi u

ản chất c s vật, ch nh điều đ i c nghĩ hiểu s vật [24, tr 111]

S so sánh các s vật v hi n tư ng c hi n th c hách qu n di n r theo ột

g c độ nhất đ nh, uất phát t ột qu n điể n o đ , nhằ giải quyết ột vần đề nhất đ nh I M X ts nốp viết: Ngư i t đối chiếu v so sánh các s vật, nhằ đánh giá s giống nh u v hác nh u c chúng trong tất cả các ối qu n h c thể

c

Trong giảng dạy v học tập, so sánh uôn uôn ph c v ột nhận th c n o đ ,

n uôn uôn c c đ ch Do đ các s vật v hi n tư ng c thể giống nh u theo

qu n điể n y v hác nh u theo qu n điể hác Chẳng hạn hi dạy cho học sinh

t nh chất c uỹ th v i số ũ nguy n dương t đư r y u cầu học sinh t nh v so sánh:

(3.5)4 và 34.54;

3

1 3

(1, 2.5, 3)2 và (1, 2)2 (5, 3)2

Giáo vi n y u cầu học sinh phát iểu đ c điể c t ng v d c thể, so sánh

để rút r đ c điể chung: Các đẳng thức luỹ thừa, vế trái là luỹ thừa của một tích,

vế phải là tích các luỹ thừa T nh ng đ c điể chung tì đư c, tr n cơ sở hái

quát hoá t c công th c tổng quát: x.y)n = xn.yn

Rõ ràng trong quá trình giảng dạy nếu t để ý, sử d ng th o tác so sánh ột cách đúng úc, th ch h p sẽ giúp học sinh n ch c iến th c i tiếp thu, c ng cố

đư c iến th c cũ đã học v giúp học sinh vận d ng iến th c cũ tốt hơn

Chỉ hi n v ng iến th c cơ ản học sinh i c thể tư duy ột cách inh hoạt, sáng tạo hi giải quyết vấn đề

b) Tương tự : Tương t ột iểu giống nh u n o đ C thể n i tương t giống

nh u nhưng ở c độ ác đ nh hơn, v c độ đ đư c phản ánh ằng hái ni [32, tr.22]

Trong “lôgic học”, D Gor i viết: Tương t phép suy uận trong đ t chỗ

h i đối tư ng giống nh u ở ột số dấu hi u, t rút r ết uận rằng các đối tư ng

n y giống nh u ở các dấu hi u hác Nếu đối tư ng A c dấu hi u , , c, d v đối

tư ng B cũng c dấu hi u , , c thì t rút r ết uận giả định rằng đối tư ng B

cũng c t nh chất d T c thể iểu di n sơ đ c phép suy uận tương t như s u:

A c t nh chất , , c, d

B c t nh chất , , c - Kết uận B cũng c t nh chất d [ 21]

Chúng t đã nghi n c u đ c i t h v thấy hông c gì đáng để nghi ng cả Nhưng hi ư c v o nghi n c u s tương t thì chúng t c ột cơ sở é v ng

ch c hơn

Trong Toán học, ngư i t thư ng ét vấn đ tương t tr n các h cạnh s u:

- H i phép ch ng inh tương t , nếu đư ng ối, phương pháp ch ng inh giống nh u;

- H i hình tương t , nếu chúng c nhiều t nh chất giống nh u Nếu v i trò

c chúng giống nh u trong h i vấn đề n o đ , ho c nếu gi các phần tử tương ng

c chúng c qu n h giống nh u Chẳng hạn đư ng thẳng trong t phẳng tương

t v i t phẳng trong Hình học hông gi n , vì trong Hình học phẳng đư ng thẳng đư ng đơn giản nhất c v i trò giống t phẳng t đơn giản nhất trong Hình học hông gi n Ngo i r , c nhiều đ nh ý vẫn còn đúng nếu chúng t th y t

đường thẳng” ởi t “mặt phẳng”, v d đ nh ý “Nếu hai đường thẳng phân biệt

cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song” c thể th y

“đường thẳng” ởi “mặt phẳng”)

Nói về v i trò c phép tương t , nh Sư phạ đ ng th i nh Toán học nổi tiếng ngư i Mỹ G Pô y c nhận ét: Trong Toán học sơ cấp cũng như trong Toán

học c o cấp, phép tương t c ẽ có mặt trong mọi phát minh Trong ột số phát

inh, phép tương t đ ng v i trò qu n trọng hơn cả , còn đối v i nh Thi n v n học t i Kep er ngư i Đ c , ngư i đã phát inh r đ nh uật nổi tiếng trong Thi n v n học thì: Tôi vô c ng iết ơn các phép tương t , nh ng ngư i thầy đáng

tin cậy nhất c tôi, các phép tương t đã giúp tôi khám phá r các ật c t

nhi n, đã giúp tôi vư t qu ọi trở ngại dẫn theo 21, tr.148

Ở đ y, chúng t chỉ ét nh ng phép tương t theo nghĩ chuyển t ột trư ng h p ri ng n y s ng ột trư ng h p ri ng hác c c ng ột cái tổng quát Chẳng hạn, ét các M nh đề:

"Trung ình cộng c h i số hông hông nhỏ hơn trung ình nh n c chúng, t c : 1 2

³ trung ình cộng c số hông n hơn ho c ằng

trung ình nh n c chúng ; Trung ình cộng c n số hông n hơn ho c

ằng trung ình nh n c n c "

Vi c chuyển t nh đề h y s ng c hái quát hoá; vi c chuyển t

s ng ột phép tương t Phép tương t ở đ y rất gần v i khái quát hoá; phép tương t c thể e tiền th n c hái quát hoá, ởi vì vi c chuyển t ột

trư ng h p ri ng n y s ng ột trư ng h p ri ng hác c c ng ột cái tổng quát

ột ư c để đi t i nh ng trư ng h p ri ng ất ỳ c cái tổng quát đ

Đối v i học sinh, tương t đ ng v i trò qu n trọng trong vi c r n uy n tư duy sáng tạo c ngư i học Để giải ột i toán, chúng t thư ng nghĩ về ột i toán tương t d hơn v tì cách giải i toán ấy S u đ , để giải i toán n đầu, t ại dùng bài toán tương t d hơn đ ô hình

Ví dụ 1.8 T nh tổng: S(n) = 1.2 + 2.3+ +n(n+1)

Để t nh tổng tr n t i n h n v i ột tổng tương t đơn giản hơn

S1(n) = 1 + 2 + 3 + + n Để cho tổng S1(n c dạng gần gũi v i tổng S(n hơn

ta nhân S1(n v i 2 t có:

2 S1(n) = 1.2 + 2.2 + 2.3 + + 2.n

Do đ : S(n) -2 S1(n) = 1.2 + 2.3 + + (n-1).n Vế phải c đẳng th c n y ch nh là: S(n)-n(n+1)

Vì vậy: S(n) - 2 S1(n) = S(n) - n(n+1)

1

( 1) ( )

1.2.2 Bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ

Môn Toán cần đư c h i thác để g p phần phát triển nh ng phẩ chất tr tu

như: t nh inh hoạt, t nh sáng tạo, t nh độc ập Hơn thế ôn Toán c hả n ng to

n g p phần phát triển n ng c tr tu cho học sinh Vi c i dưỡng cho học sinh

nh ng phẩ chất tr tu c ý nghĩ to n đối v i vi c học tập, công tác v trong cuộc sống

M c đ ch n y cần đư c th c hi n ột cách c ý th c, c h thống, c ế hoạch

ch hông phải t phát Vì vậy trong quá trình dạy học giáo vi n cần c ý th c

i dưỡng các phẩ chất tr tu qu n trọng sau :

- Tính linh hoạt: T nh inh hoạt c tư duy thể hi n ở hả n ng chuyển

hướng quá trình tư duy Trư c hết, cần r n uy n cho học sinh hả n ng đảo ngược quá trình tư duy, ấy đ ch c ột quá trình đã iết điể

uất phát cho ột quá trình i, còn điể uất phát c quá trình đã iết trở th nh đ ch c quá trình i

- C học sinh ại đề ngh sử d ng đ nh ý Viet cho phương trình ậc 3,

hư ng n y cũng hông ổn vì đ nh ý Viet cho phương trình ậc 3 hông

đư v o chương trình

- Vậy thế n o để giải đư c i toán n y?

- T giả sử đã c x x x1, 2, 3 ho nh độ gi o điể c C v i tr c ho nh Suy ra ( x - x 1 )( x - x 2 )( x - x 3 ) = 0

 x3 ( x1  x2 x x3) 2 ( x x1 2 x x1 3 x x x2 3)  x x x1 2 3  0

Đ ng nhất h số v i phương trình x3  3 x   1 0 ta có:

x1  x2 x3 0 và x x1 2  x x1 3  x x2 3   3

  S ( x1  x2 x3)2 2( x x1 2 x x1 3 x x2 3)  6

Đ nh hư ng giải c u 2:

- Học sinh nghĩ rằng tì x x x1, 2, 3 ằng áy t nh, r i ấy nghi gần đúng,

hư ng n y hông đư c vì đề hông y u cầu tì nghi gần đúng

- C học sinh đề uất d ng Các đ nô, hư ng n y cũng hông đư c vì hông

c trong chương trình SGK phổ thông

- Biểu th c x3 – 3x giúp các e i n tưởng đến điều gì?



; 7 9

x x x r i th y v o A Tuy nhiên nếu bằng lòng v i 2 phương pháp đ thì

hông ổn vì đ nh ý Viet cho phương trình ậc 3 hông đư v o chương trình v cách tính x x x1, 2, 3 ph c tạp

- Vậy thế n o để giải đư c i toán n y?

- Ta có x x x1, 2, 3 ho nh độ gi o điể c C v i tr c ho nh

Suy ra f x ( )   x  x  x  x  x  x 

1 (s inx cos )

Tuy nhiên đối v i I trong bài toán này hi học sinh sử d ng cách giải tr n sẽ s i

ầ vì hi chi cả tử v ẫu cho 2

os ,

c x ho c 2

sin x để đ t t=tanx ho c t=cotx thì

ẫu ằng hông tại các cận ấy t ch ph n

Đối v i trư ng h p n y học sinh cần phải tì cách h c ph c để tiếp t c giải ho c chuyển hư ng suy nghĩ s ng cách hác

Nếu tiếp t c theo hư ng đ t t=tanx hoặc t=cotx thì cần phải gì?

C u trả i t ong đ i tách cận

Hãy giải i toán theo hư ng hác?

T ối i n h công th c sinx cosx v i 2 os( )

Vì vậy để r n uy n hả n ng tư duy nhạy én trư c nh ng vấn đề n o đ , điều

ch yếu ngư i học sinh phải c ột vốn tri th c, vốn phương pháp v ỹ thuật cần thiết để trư c ột vấn đề n o đ c thể c nh ng phản ạ để phát hi n nh ng điều ổ ch cho vi c giải quyết vấn đề đ

- Tính độc lập: T nh độc ập c tư duy thể hi n ở hả n ng t ình phát hi n

vấn đề, t ình ác đ nh phương hư ng, tì r cách giải quyết, t ình iể tr v

ho n thi n ết quả đạt đư c T nh độc ập i n h ật thiết v i tính phê phán c tư

duy T nh chất s u thể hi n ở hả n ng đánh giá nghi túc nh ng ý nghĩ v tư