TỰ học TOÁN 8 PHẦN 8 ( Câu Hỏi và có lời giải chi tiết)

Tự học toán Bài ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Tóm tắt lý thuyết Nhờ tam giác đồng dạng, ta xác định chiều cao, khoảng cách � mà không cần đo trực tiếp Một số ví dụ  Ví dụ Một đèn đặt cao vị trí A , hình chiếu vng góc mặt đất H Người ta đặt cọc dài 1, 6 m thẳng đứng hai vị trí B C thẳng hàng với H , bóng cọc dài 0, 4 m 0, 6 m Biết BC  1, 4 m , tính độ cao AH Lời giải , C �là vị trí Gọi BD, CE bóng cọc B� ngang tương ứng đỉnh cọc Đặt BB�  CC � a, BD  b, CE  a, BC  d , AH  x Gọi I giao C điểm AH B�� ΔAB�� C ΔABC đồng dạng � AI B�� C  AH BC � xb  xd  xc  ab  ad  ac  xd � xa d  x bd c �x ab  ac  ad bc � d � � x  a� 1 � � bc� Nhóm word hóa tài liệu Trang Tự học toán 1, � � AH  1, � 1 � 3,84   m  � 0,  0, � Áp dụng thay số: Bài tập tự luyện  Bài 280 Một người đứng cách nhà 200 m , đặt que dài 5 m , cách mắt 40 m theo phương thẳng đứng vừa vặn che lấp chiều cao ngơi nhà Tính chiều cao ngơi nhà Lời giải Gọi vị trí mắt A, BC chiều cao nhà, B�� C chiều dài que ΔAB�� C ∽ ΔABC suy B� C � AI AH � B� C � 200 �  � BC    25   m  BC AH AI 40  Bài 281 Một giếng nước có đường kính DE  0,8 m Để xác định độ sâu BD giếng, người ta đặt gậy vị trí AC , A chạm miệng giếng, AC nhìn thẳng tới vị trí E góc đáy giếng Biết AB  0,9 m, BC  0, 2 m Tính độ sâu giếng Lời giải AB BC AB � DE 0,9 � 0,8  � AD    3,   m  BC 0, VABC ∽ ΔADE suy AD DE Vậy độ sâu giếng Nhóm word hóa tài liệu BD  AD  AB  3,  0,9  2,   m  Trang Tự học toán Chương HÌNH LĂNG TRỤ, HÌNH CHĨP ĐỀU Bài Hình hộp chữ nhật Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa Hình hộp chữ nhật có mặt, mặt hình chữ nhật Định nghĩa Hình lập phương hình hộp chữ nhật có mặt hình vng Định nghĩa Cho hình hộp chữ nhật có chiều dài a , chiều rộng b , chiều cao c  Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật tính cơng thức S xq   a  b  c  Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật tính công thức S   a  b  c  2ab   ab  bc  ca   Thể tích hình hộp chữ nhật tính cơng thức V  abc Tính chất Mơ hình hình hộp chữ nhật cho ta hình ảnh quan hệ khơng gian sau Nhóm word hóa tài liệu Trang Tự học tốn  Hai đường thẳng song song hai đường thẳng nằm mặt phẳng khơng có B điểm chung, chẳng hạn AB ∥ A��  Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với nhau, C chúng song song chẳng hạn AB ∥ D�� B với A��  B không nằm mặt phẳng Đường thẳng A��  ABCD  song song với đường thẳng AB mặt phẳng  ABCD  , ta có A�� B ∥ mp  ABCD    Mặt phẳng BCD   A���� chứa hai đường thẳng cắt mặt phẳng B C D  ∥  ABCD   ABCD  , ta có mp  A����  ABCD   A�  ABB�  A vng góc với hai đường thẳng cắt AB, AD mặt phẳng Đường thẳng A�  ABCD  , ta có  A�� B , B�� C song song với Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung A chúng có chung đường thẳng qua A , gọi giao tuyến hai mặt phẳng Chẳng hạn AB giao tuyến hai mặt phẳng  Khi A� A  mp  ABCD  A� A  mp  ABCD  A vng góc với đường thẳng qua A nằm A� mặt phẳng  ABCD  , chẳng hạn Mặt phẳng B BA   A�� A� A  AC A vng góc với mặt phẳng  ABCD  , ta có chứa đường thẳng A� mp  A�� B BA  mp  ABCD  Một số ví dụ Dạng Hình hộp chữ nhật Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hình chữ nhật Nhóm word hóa tài liệu Trang Tự học tốn A� B��� C D Điểm E chia DB theo tỉ số 1: , điểm F chia  Ví dụ Cho hình lập phương ABCD � B� A theo tỉ số 1: B CD hình chữ nhật Tính diện tích hình chữ nhật cạnh hình lập Chứng minh A�� phương a  EMF  song song với mặt Gọi M điểm chia DA theo tỉ số 1: Chứng minh mặt phẳng phẳng B CD   A�� B CD   A�� Chứng minh EF song song với mặt phẳng Chứng minh EF song song với mặt phẳng B CD   A�� mà không cần sử dụng kết câu b Lời giải B CD hình chữ nhật Tính diện Chứng minh A�� tích hình chữ nhật cạnh hình lập phương a B CD ta có Xét tứ giác A�� A�� B ∥ CD (vì song song với AB  A�� B  CD (vì AB  B CD hình bình hành Suy tứ giác A�� DC  mp  BCC � B�  , suy Ta có DC  CC �và DC  CB nên DC  CB� � � B CD có DCB B CD hình  90o nên A�� Hình bình hành A�� chữ nhật C C vuông C �ta có: Xét VB�� B� C  B� C '2  C � C ( định lí Py-ta-go ) � B� Ca  EMF  song song với Gọi M điểm chia DA theo tỉ số 1: Chứng minh mặt phẳng mặt phẳng B CD   A�� DM DE   VDAB có MA EB nên ME ∥ AB (định lí Ta-lét đảo) B CD  B nên ME ∥ A�� B Suy ME ∥ mp  A�� Mà AB ∥ A�� DM B� F   FA nên MF ∥ B� VAB� D có MA D (định lí Ta-lét đảo) Suy MF ∥ mp  A�� B CD  Nhóm word hóa tài liệu Trang Tự học toán Mặt phẳng  MEF  chứa hai đường thẳng cắt song song với mp  A�� B CD  nên mp  MEF  ∥ mp  A�� B CD  Chứng minh EF song song với mặt phẳng B CD   A�� Vì mp  MEF  ∥ mp  A�� B CD  nên EF ∥ mp  A�� B CD  B CD   A�� Chứng minh EF song song với mặt phẳng mà không sử dụng kết câu b Trong mp  ABB� A�  , gọi K giao điểm BF A�� B KF B� F KF  �  FA (định lí Ta-lét) FB B nên FB Ta có AB ∥ A�� KF DE   VBDK có FB EB nên EF ∥ DK (đinh lí Ta-lét đảo) mp  A�� B CD  EF ∥ mp  A�� B CD  Mà DK nằm nên Bài tập tự luyện A� B��� C D Gọi M , N theo thứ tự trung điểm  Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD � AD, DC Gọi I , K theo thứ tự trung điểm B� A� , B�� C Chứng minh MN song song với IK Lời giải VACD có M , N trung điểm AD CD nên MN đường trung bình � MN ∥ AC (1) VA'C ' D 'có I , K trung điểm A ' B ' B 'C ' nên IK đường trung bình �IK ∥ A 'C '(2) , AA� ∥ CC �(vì song song với BB� AA�  CC �(vì BB�) A�là hình bình hành Suy tứ giác ACC �  mp  A���� BCD   A�� C  A�� D AA�  A�� B nên AA� Ta có AA� , suy AA� A�có � A�là hình chữ nhật (3) AA�� C  90o nên ACC � Hình bình hành ACC � Từ  1 ,   ,  3 suy MN ∥ IK Nhóm word hóa tài liệu Trang Tự học tốn Dạng Diện tích Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật tính cơng thức: Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật tính cơng thức Trong a chiều dài, b chiều rộng c chiều cao Bài tập mẫu nhà  Ví dụ 2: Hãy điền dấu chấm vào mặt để trống viên súc sắc hình lập phương hình a cho viên súc sắc thỏa mãn hình b (chú ý viên súc sắc, tổng hai số hai mặt đối 7) Lời giải Quan sát hình b ta thấy, nhìn thẳng vào mặt chứa số cho mặt chứa số mặt chứa số bên trái Áp dụng nhận xét vào hình a mặt đối diện với mặt để trống mặt có số Do mặt để trống phải chứa số Bài tập dạng tốn  Bài Tính diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật có chiều dài 4 cm , chiều rộng 3 cm , đường chéo hình hộp 13 cm Lời giải Nhóm word hóa tài liệu Trang Tự học toán A� B��� CD Gọi hình hộp chữ nhật ABCD � B  4 cm, B�� C  3 cm, AC �  13 cm Theo đề ta có A�� VA��� B C vng B�có A� C '2  A� B '2  B� C '2 (định lí Pyta-go) � A�� C    cm  VAA�� C vuông A�có AC '2  AA'2  A� C '2 (định lí Py-ta� AA�  12   cm  go) Diện tích tồn phần S   A�� B� B�� C  B�� C � AA�  AA� � A�� B   192   cm2   Bài Một hình hộp chữ nhật có tổng độ dài cạnh 140 cm , khoảng cách từ đỉnh đến đỉnh xa 21 cm Tính diện tích tồn phần Lời giải Gọi a, b, c kích thước hình hộp chữ nhật, ta có �  a  b  c   140 a  b  c  35 � � � �2 � 2 a  b  c  441 � a  b  c  21 � Diện tích tồn phần 2 2 S   ab  bc  ca   (a  b  c)   a  b  c   352  441  784 cm A� B��� C D Gọi M trung điểm CC �  Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD � Xác định giao tuyến mặt phẳng A� CM  ABB�   B�� BCD   A���� Xác định giao điểm đường thẳng DM mặt phẳng M mặt phẳng  ABCD  Xác định giao điểm đường thẳng B� Lời giải Xác định giao tuyến mặt phẳng Mặt phẳng CM  B�� mặt phẳng Nhóm word hóa tài liệu A� CM  ABB�   B�� B�  BCC �  Trang Tự học tốn Giao tuyến cần tìm BB� Xác định giao điểm đường thẳng DM mặt phẳng BCD   A���� mp  CDD�� C Trong , gọi I giao điểm DM C D�� Vậy I giao điểm cần tìm M Xác định giao điểm đường thẳng B� mặt phẳng  ABCD  mp  BCC � B�  , gọi K giao điểm BC Trong M B� Vậy K giao điểm cần tìm A� B��� C D Gọi M , I theo thứ tự trung điểm  Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD � CM  ADI   B�� AA� , CC � Chứng minh mặt phẳng song song với Lời giải Ta có AD ∥ B�� C (vì song song với BC ) nên AD∥ mp  B�� CM AMC � I hình bình hành nên AI ∥ MC � , AI∥ mp  B�� CM Vậy mp  ADI  ∥ mp  MB�� C A� B��� C D Gọi  Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD � H , I , K theo thứ tự trung điểm AB , AA� , C �� D Chứng minh mặt phẳng  ACD�   HIK  song song với mặt phẳng Lời giải Ta có  HIBA� CD�nên HI ∥ mp  ACD�  HK ∥ AD�nên HK ∥ mp  ACD� Vậy mp  HIK  ∥ mp  ACD�  Nhóm word hóa tài liệu Trang Tự học toán  Bài Cho viên súc sắc thỏa mãn hình a Hãy điền dấu chấm vào mặt để trống hình Hãy điền dấu chấm vào hình khai triển (hình c ) Lời giải Hình a Hình b Hình c Hình d  Lời giải Hình b Hình c Hình d  Bài Một nhện vị trí E gian phịng hình lập AB phương E nằm AB Con nhện muốn bò qua sáu mặt gian phịng trở E Tìm đường ngắn nhện AE   Lời giải � � � � Trải sáu mặt hình hộp chữ nhật ABCD A B C D hình a E thuộc cạnh AB mặt � � ABB A AE  AB, E � thuộc cạnh AB mặt ABCD Để theo đường ngắn từ E đến � E �trên mặt khai triển, nhện phải theo đoạn thẳng EE Đường nhện phòng đường EFGHIKE ' hình b Nhóm word hóa tài liệu Trang 10 Tự học toán  Bài 25 Chứng minh tam giác vng có cạnh huyền khơng đổi, tam giác vng cân có chu vi lớn  Lời giải Vì cạnh huyền tam giác vng có độ dài khơng đổi nên chu vi tam giác lớn tổng độ dài hai cạnh góc vuông lớn Gọi độ dài cạnh huyền a , gọi b , c độ dài hai cạnh góc vng Ta có (b  c) �2(b  c ) � b  c �a Giá trị lớn b  c �a xảy b  c Vậy chu vi tam giác vuông lớn (  1)a tam giác vng cân  Bài 26 Cho ABC có góc B C nhọn, BC  a , đường cao AH  h Xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M thuộc cạnh AB , N thuộc cạnh AC , P Q thuộc cạnh BC Hình chữ nhật MNPQ vị trí diện tích có giá trị lớn nhất?  Lời giải Đặt NP  x , MN  y Ta có S AMN  S BMNC  S ABC � y (h  x)  x (a  y )  ah � hy  ax  ah �y a  h  x h a a a.h  x  h  x  �  x  h  x   h 4h Gọi diện tích tứ giác MNPQ S Ta có S  xy a.h h x Khi MN đường trung bình ABC Vậy S lớn Nhóm word hóa tài liệu Trang 61 Tự học toán  Bài 27 Từ kim loại hình tam giác vng, cắt hình vng theo hai cách: Cách 1: Một góc hình vng trùng với góc vng tam giác, đỉnh đối diện thuộc cạnh huyền tam giác Cách 2: Một cạnh hình vng nằm cạnh huyền tam giác, hai đỉnh thuộc hai cạnh góc vng tam giác Cách cắt cho hình vng có diện tích lớn hơn?  Lời giải Gọi b , c độ dài cạnh góc vng, a độ dài cạnh huyền bc Trong cách cắt thứ ta có cạnh hình vng b  c (ví dụ 31a) ah Trong cách cắt thứ hai, cạnh hình vng a  h (ví dụ 41) bc ah  c  a� h ta chứng minh b  c a  h Vì b �  Bài 28 Cho tam giác ABC vng cân có cạnh huyền BC  a Các điểm D , E theo thứ tự chuyển động cạnh AB , AC Gọi H K theo thứ tự hình chiếu D , E BC Tính diện tích lớn tứ giác DEKH  Lời giải Nhóm word hóa tài liệu Trang 62 Tự học tốn Ta có S DHKE   DH  EK  Vì  BH  KC   HK  a khơng đổi nên tích HK HK   BH  KC  2  BH  KC  HK lớn a a a a HK  BH  KC  HK Khi diện tích tứ giác DEKH lớn 2 Có vơ số tứ giác thỏa mãn tính chất   Bài 29 Cho tam giác tam giác ABC Tìm điểm M thuộc miền nằm cạnh tam giác cho tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác có giá trị nhỏ  Lời giải Đặt BC  a , AC  b , AB  c, khoảng cách từ M đến cạnh theo thứ tự x , y , z đường cao tương ứng với BC h Ta có: Nhóm word hóa tài liệu Trang 63 Tự học toán S MBC  S MAC  S MAB  S ABC a b c a x  y  z  h � 2 2 � ax  by  cz  ah Giả sử a �b �c ax  by  cz �ax  by  cz  ah � x  y  z �h Dấu xảy ay  az  by  cz � y (a  b)  z (a  c )  � y  z  a  b, z  , a  b  c Nếu y  z  M trùng A, a  b, z  ABC cân C (góc C góc nhỏ nhất) M thuộc đáy AB a  b  c ABC đều, M Vậy tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác có giá trị nhỏ đường cao ứng với cạnh lớn Nếu tam giác M điểm nằm bên nằm cạnh tam giác Nếu tam giác cân có cạnh bên lớn cạnh đáy M thuộc cạnh đáy Các trường cịn lại, M trùng với đỉnh góc lớn tam giác  Bài 30 Cho tam giác tam giác ABC Tìm điểm M thuộc cạnh BC cho tổng khoảng cách từ M đến AB đến AC có giá trị nhỏ  Lời giải Đặt AB  c ; AC  b; BC  a , gọi khoảng cách từ M đến cạnh AB  x , khoảng cách từ M đến cạnh AC y , gọi ; hb ; hc độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC ; AC ; AB Nếu a lớn nhất, ta có S MAB  S MAC  S ABC � cx  by  aha � ax  ay �cx  by  aha � x  y �ha Nhóm word hóa tài liệu Trang 64 Tự học tốn Chứng minh tương tự b (hoặc c ) lớn suy x  y �hb (hoặc x  y �hc ) Vậy tổng khoảng cách từ M đến AB AC lớn độ dài đường cao tương ứng với cạnh lớn Vậy b  c điểm M cạnh đáy BC Nếu b �c M trùng với đỉnh đối diện với cạnh lớn hai cạnh AB AC  Bài 31 Cho hình thang ABCD Tìm điểm M nằm cạnh hình thang cho tổng khoảng cách từ M đến cạnh hình thang có giá trị nhỏ  Lời giải Đặt khoảng cách từ M đến AD; DC ; CB; AB x, y, z, t Vì y  z không đổi suy khoảng cách từ M đến cạnh hình thang nhỏ y  z nhỏ Gọi O giao điểm hai cạnh bên AB CD Khi tốn quay trở tìm vị trí điểm M nằm cạnh AD cho t  y nhỏ Khi có hai khả Nếu ABCD hình thang cân M điểm nằm đáy nhỏ Nếu ABCD khơng hình thang cân M trùng với đỉnh góc lớn hai góc kề đáy nhỏ  Bài 32 Cho tam giác ABC Qua A dựng đường thẳng d cho tổng khoảng cách từ B C đến d nhỏ  Lời giải Nhóm word hóa tài liệu Trang 65 Tự học toán Trường hợp 1: Nếu d cắt BC Khi đường thẳng d phải dựng đường thẳng chứa cạnh lớn hai cạnh AB AC Trường hợp 2: Nếu d không cắt BC Ta lấy E đối xứng với B qua A , đường thẳng d cắt đoạn CE Trong hai trường hợp, đường thẳng d phải dựng chứa cạnh lớn hai cạnh AB AC  Bài 33 Cho hình vng ABCD điểm K nằm bên khơng trùng với tâm hình vng Dựng qua K đường thẳng cho cắt hình vng thành hai phần có hiệu diện tích lớn  Lời giải Khơng tính tổng qt ta giả sử K nằm tam giác AOB Qua K dựng đường thẳng song song với AB cắt BC P , Gọi Q điểm đối xứng B qua P, KQ cắt AB T ta chứng minh diện tích tam giác BQT nhỏ Vậy đường thẳng TQ chia hình vng thành hai phần có hiệu diện tích lớn  Bài 34 Cho tam giác ABC cân A Các điểm M , N theo thứ tự chuyển động cách cạnh AB, CA cho AM  CN Xác định vị trí M , N để 1) MN có giá trị nhỏ 2) Diện tích tam giác AMN có giá trị lớn  Lời giải Nhóm word hóa tài liệu Trang 66 Tự học tốn BC BC Do MN nhỏ a) Vẽ MM ' NN ' vng góc với BC Ta có � � MN //M N � M , N trung điểm AB, AC MN �M �N � b) Gọi I trung điểm MN Qua I kẻ đường thẳng song song với BC , cắt AB, AC Ta ln có S AMN �S APQ S AMN � S ABC (tương tự ví dụ 59) nên Dấu xảy MN đường trung bình APQ  Bài 35 Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M thuộc cạnh BC , gọi E F theo thứ tự hình chiếu M AB AC Chứng minh M chuyển động cạnh BC thì: a) Chu vi tứ giác MEAF không đổi b) Đường thẳng qua M vng góc với EF ln ln qua điểm K cố định c) Tam giác KEF có diện tích nhỏ M trung điểm BC  Lời giải � � a) Vì ABC vng cân suy ABC  45 � EBM vuông cân � EB  EM Chứng minh tương tự ta EFC vuông cân suy MF  FC Chu vi hình chữ nhật MEAF 2( AE  AF )  AB Nhóm word hóa tài liệu Trang 67 Tự học tốn b) Gọi K giao điểm HM đường thẳng vng góc với AC C suy CK  CA suy K điểm cố định thỏa mãn đề Thật vậy, kéo dài tia EM cắt CK G , ta chứng minh CG  EA (do tứ giác EGCA hình chữ nhật) Tam giác KGM tam giác EMF suy KG  EM  EB Vậy CK  EA  EB  AB  AC c) Ta có S KEM  S BEM , S KMF  SCMF � S KEF  S BEFC Do S KEF nhỏ S KEF lớn AE AF lớn � AB  AF (chú ý AE  AF khơng đổi) Khi M trung điểm BC  Bài 36 Cho tam giác ABC có diện tích S Các điểm D, E , F theo thứ tự thuộc cạnh AD BE CF   k AB, BC , CA cho AB BC CA Với giá trị k diện tích tam giác DEF có giá trị nhỏ  Lời giải S BDC , Dùng S BDC làm trung gian, ta có S BDE  k � S BDC  (1  k ) S nên S BDE  k (k  1) S Tương tự S ADF , SCEF Đặt S1  S ADE ; S  S BDE ; S3  S CEF suy S1  S2  S3  3k (1  k ) S Ta thấy S DEF nhỏ S1  S2  S3 lớn k (1  k ) Do k  k có tổng khơng đổi nên tích k (1  k ) lớn k   k , tức k  Bài 37 Cho tam giác ABC có BC  a, AC  b, AB  c Tìm điểm M nằm tam giác cho a b c   x y z có giá trị nhỏ nhất, x, y , z theo thứ tự khoảng cách từ điểm M đến cạnh BC , AC , AB  Lời giải Nhóm word hóa tài liệu Trang 68 Tự học tốn Ta nghĩ đến biểu thức ax  by  cz có giá trị khơng đổi S Ta chứng minh bất đẳng thức �a b c � (ax  by  cz ) �   ��(a  b  c ) �x y z � a b c (a  b  c )   � x y z 2S suy Dấu xảy x  y  z , tức M giao điểm đường phân giác tam giác  Bài 38 � Cho tam giác ABC có góc nhỏ 120 Tìm điểm M nằm bên tam giác cho tổng MA  MB  MC có giá trị nhỏ  Lời giải � � Ở phía tam giác ABC vẽ tam giác ACC ABB1 Vẽ tam giác AMM AMM Ta có AM �C � AMC (c-g-c) Khi MA  MM �, MC  M �C � � BM  MA  MC  BM  MM � M �C ��BC Vì M thuộc đoạn BC ' Nhóm word hóa tài liệu Trang 69 Tự học toán Lập luận tương tự trên, M phải thuộc đoạn thẳng CB1 Như M giao điểm hai đoạn thẳng BC ' CB1 Chú ý � � 120� 60� 180�, �  CAC BAC � � BCA ACC � 120� 60� 180� � nên đoạn thẳng BC cắt cạnh AC điểm nằm A C Tương tự, đoạn thẳng CB1 cắt � cạnh AB điểm nằm A B Do tồn giao điểm M đoạn thẳng BC , CB1 điểm M nằm bên tam giác ABC  Bài 39 Cho hình vng ABCD cạnh a , điểm E thuộc cạnh BC , điểm F thuộc cạnh AD cho CE  AF Các đường thẳng AE , BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự M N DN  a a) Chứng minh CM � � � b) Gọi K giao diểm NA MB Chứng minh MKN  90 c) Các điểm E F có vị trí MN có độ dài nhỏ nhất?  Lời giải a) Vì AB //MN � CM CE AF BA    DN  AB  a BA BE FD DN � CM � CM AB CM AD   b) Theo câu a) ta có AB DN nên CB DN Do CMB DAN đồng dạng (c.g.c) nên � � �  DAN � � � � CMB Suy CMB  DNA  90 Vậy MKN  90 c) MN nhỏ CM  DN nhỏ Các độ dài Cm, DN có tích khơng đổi (câu a) nên tổng chúng nhỏ CM  DN Nhóm word hóa tài liệu Trang 70 Tự học tốn  Bài 40 Cho tam giác ABC Qua điểm thuộc cạnh BC , vẽ đường thẳng song song với hai cạnh tạo với hai cạnh hình bình hành Tìm vị trí điểm M để hình bình hành có diện tích lớn  Lời giải Kí hiệu hình Đặt S ABC  S , S DBM  S1 , S EMC  S , S ADME  S3 Đặt BM  x, MC  y, BC  a , ta có x y  a Do S3  S   S1  S  nên S3 S  S2  1 S S Các tam giác DBM , EMC , ABC đồng dạng nên S1 x S y  ;  S a2 S a2     2 ( x  y )2  x  y S3 x2  y a  x  y xy  1    2 a a a a Do S S3 lớn xy lớn Các số x, y có tổng a khơng đổi nên tích chúng lớn x  y Khi M trung điểm cạnh BC , diện tích hình bình hành ADME nửa diện tích tam giác ABC  Bài 41 Cho tam giác ABC Qua điểm O nằm bên tam giác, vẽ đường thẳng song song với cạnh tam giác, chia tam giác thành ba hình bình hành ba tam giác nhỏ 2 Biết diện tích tam giác ABC 81 cm , hai ba tam giác nhỏ có diện tích 4 cm 16 cm Tính diện tích tam giác lại Chứng minh tổng diện tích ba tam giác nhỏ nhỏ lớn diện tích tam giác ABC Điểm O vị trí xảy dấu bằng?  Lời giải Nhóm word hóa tài liệu Trang 71 Tự học toán Đặt BC  a đặt x  DO, y  OE , z  KG; S1  SDOF ; S  SOIE ; S3  S OKG , S diện tích tam giác ABC Các tam giác nhỏ đồng dạng với tam giác ABC nên: 2 �x � S1 �2 � x � �   � ��  �a � S 81 �9 � a 2 �y � S 16 �4 � y   � ��  � � �a � S 81 �9 � a Chú ý x y z z   1  x  y  z  a nên a b c suy a Do S3 �z �  � � � S3  9 cm S �a � b) Ta có S1  S2  S3 x  y  z  S a2  1 2 2 Vì x  y  z  a suy x  y  z  2( xy  yz  zx )  a 2 Mặt khác x  y  z �xy  yz  zx nên x   y  z �a  2 S1  S  S3 � S ABC Từ (1) (2) suy Dấu xảy OD  OE , OF  OG, OI  OK � O trọng tâm tam giác ABC  Bài 42 Nhóm word hóa tài liệu Trang 72 Tự học tốn 1) Cho hình thang ABCD điểm N thuộc cạnh đáy AD Chứng minh điểm M MB NA  thuộc cạnh đáy BC cho MC ND phần chung hai tam giác AMD, BNC có diện tích lớn 2) Cho hình thang ABCD Dựng điểm M , N theo thứ tự thuộc cạnh đáy BC , AD cho phần chung hai tam giác AMD, BNC có diện tích lớn  Lời giải 1) Gọi E giao điểm AM BN , F giao điểm DM CN Trước hết ta thấy EF //AD Thật ME BM MC MF    � EF //AD EA AN ND FD � � Gọi M điểm khác M thuộc đáy BC , giả sử M nằm B M Gọi I giao � � điểm AM BN , gọi K giao điểm DM CN Với điều giả sử trên, I nằm B E , K nằm N F Ta chứng minh S MENF  S M �INK Muốn cần chứng minh � S MOKF  S M �OEI O ( giao điểm AM DM � � Gọi giao điểm EF với M A M D G H Ta chứng minh GE  HF Thật vậy, EF //BC //AD nên GE AE DF HF    � � M M AM DM M M � GE  HF S  S MM �HF S S � S M �OEG  S MOHF Do S AGE  S DHF suy MM �GE ( AMM � DMM �) Ta có S MOKF  S MOHF  S M �OEG  S M �OEI Suy điều phải chứng minh 2) Nhóm word hóa tài liệu Trang 73 Tự học toán BM AN  Cố định điểm N thuộc cạnh đáy AD , ta dựng M thuộc cạnh đáy BC cho BC AD Theo câu a) diện tích tứ giác MENF lớn BM � AN �  � � AD Ứng với điểm N thuộc cạnh đáy AD , dựng điểm M thuộc cạnh đáy BC cho BC � � � � S  S M �E �N �F � , ta tứ giác M E N F có diện tích lớn Ta chứng minh MENF Theo � � � câu a) ta có EF //AD, E F //AD Bây ta chứng minh E , E , F , F thẳng hàng Thật vậy, BE � BM � BM BE    � E �E //AD � � E N AN AN EN � � Vậy E , E , F , F thẳng hàng Ta lại có E �F � M �E � ME EF  �   � EF  E �F � AD M A MA AD S S � S M �E�N �F �  SMENF N �E�F � NEF Như điểm M , N phải dựng điểm chia BC AD theo tỉ số Bài tốn có vơ số nghiệm hình Do S M �E�F �  S MEF Để dựng điểm M , N nói trên, ta ý AB cắt CD P P, M , N thẳng hàng, cịn AB //CD MN //AB //CD Nhóm word hóa tài liệu Trang 74 Tự học tốn Nhóm word hóa tài liệu Trang 75 ... = 8cm , DA = 5cm ? ?Lời giải (h.204) Cách Kí hiệu hình vẽ Xét tam giác vuông OAD OBC �x + y = 25 � � 2 � ( x + 6) +( y +8) = 225 � � (1 ) (2 ) 2 Rút gọn (2 ) ý x + y = 25 , ta x + y = 50 (3 ) Từ (1 )... cạnh mà a) Có mặt sơn; b) có hai mặt sơn; b) Có ba mặt sơn; d) khơng có mặt sơn  Lời giải Nhóm word hóa tài liệu Trang 13 Tự học tốn 1) Có mặt sơn Ở mặt có hình lập phương nhỏ sơn mặt (các hình... 15cm , BC = 18cm Nhóm word hóa tài liệu Trang 38 Tự học toán ? ?Lời giải (h.205) Cách Kẻ AH ^ BC , ta tính BD = 8cm , BH = 6, 75cm , HD = 1, 25cm Ta có AD = AH + HD = AH +1, 252 (1 ) AH = AB -