TỰ học TOÁN 8 PHẦN 4 ( Câu Hỏi và có lời giải chi tiết)

Tự học Tốn Nhóm word tài liệu Tự học Tốn Bài BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH BẤT PHƯƠNG TRÌNH THƯƠNG Một số ví dụ  Ví dụ Giải bất phương trình x2 − 2x + < Lời giải Cách 1: x − x + < ⇔ ( x − 1) < ⇔| x − 1|< ⇔ −3 < x − < ⇔ −2 < x < Cách :Biến đổi thành bất phương trình dạng tích: x − x − < ⇔ ( x + 2)( x − 4) < Lập bảng xét dấu nhị thức x Nhóm word tài liệu x+2 x−4 : Tự học Toán x+2 - x−4 - + + - + −2 < x < Nghiệm bất phương trình cho là: − 5x ≥1 x −1  Ví dụ Giải bất phương trình x ≠1 Điều kiện xác định: − 5x − 5x ≥1 ⇔ −1 ≥ x −1 x −1 ⇔ − 5x − x +1 ≥0 x −1 ⇔ − 6x ≥0 x −1 Lời giải Lập bảng xét dấu x − 3x + − x −1 − 3x x −1 − − + − − 0+ Vậy nghiệm bất phương trình ≤ x Nhóm word tài liệu ( )( + )( ) b) x3 − 27 x − x + − x ≥ Tự học Toán c) x − x + x − 20 >0 x − x − 10 x − d) x2 + 2x + x2 + 4x + > −1 x +1 x+2 Lời giải a) Cách Biến đổi bất phương trình tích ( x + 1) ( x − ) > Cách Đưa bất phương trình dạng | x − 1|> Đáp số: x > 2; x < −1 b) Hai nghiệm c) −1, x < −2; −1 < x < 4; x > x < 2; x > −1 d) Bài Tìm điều kiện x để biểu thức sau có giá trị âm:  1− x x +   x + x −1  A= − − ÷:  ÷  x + x −1   x −1 x +  Lời giải x2 + x + A=− ; ( x + 1) A < ⇔ x > −1 đồng thời Bài Tìm điều kiện x ≠1 W x y để biểu thức sau có giá trị dương:  x − xy x − y   y  A= + + ÷:  ÷ x− y  y + xy x + xy   x − xy Lời giải Nhóm word tài liệu Tự học Tốn ( x − y) A= y ; A > ⇔ y > 0; x ≠ 0, x ≠ y Bài Tìm điều kiện x y để biểu thức sau lớn :  x x − y   y2  x A= + + ÷: ÷:  x− y y  y + xy x + xy   x − xy Lời giải A= x− y y = 1− x x A > ⇔ xy < 0; x + y ≠ x − x x−2 x−3 Bài Tìm điều kiện để biểu thức sau lớn : Lời giải 2< x b + d Chú ý: Không trừ vế hai bất đẳng thức chiều Trừ vế hai bất đẳng thức ngược chiều bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ: a > b, c < d ⇒ a − c > b − d Tính chất đơn điệu phép nhân Nhân hai vế bất đẳng thức với số dương: a > b, c > ⇒ a ×c > b ×c Nhân hai vế bất đửng thức với số âm đổi chiều bất đẳng thức: a > b, c < ⇒ a ×c < b ×c Nhân hai vế bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế bất đẳng thức: a > b > ⇒ an > bn ; Nhóm word tài liệu a > b ≥ 0, c > d ≥ ⇒ ac > bd Tự học Toán a > b ⇔ a n > bn với | a |>| b |⇔ a n > b n n với lẻ; n chẵn So sánh hai lũy thừa số với số mũ nguyên dương: Nếu m>n>0 a = ⇒ am = an a > ⇒ am > an ; ; < a < ⇒ am < an Lấy nghịch đảo hai vế đổi chiều bất đẳng thức hai vế dấu: a > b, a ×b > ⇒ 1 < ( a b xem 325 a ); a>b Chú ý: Ngoài bất đẳng thức chặt, chẳng hạn , ta cịn găp bất thức khơng chăt, a = b) b > chẳng han (tức hoăc Trong tính chất trên, nhiều dấu (hoặc ≥ ≤ thay dấu (hoăc ) B CÁC HẰNG BẤT ĐẲNG THỨC Ngoài bất đẳng thức trị tuyệt đối: | a |≥ Xảy đẳng thức a ≥ 0; −a ≤ a=0 , cần nhớ bất đẳng thức liên quan đến giá ; | a |≥ a a ≥ | a + b |≤| a | + | b | ab ≥ Xảy đẳng thức ; Xãy đẳng thức ; | a − b |≥| a | − | b | | a |>| b | ab > Xãy đẳng thức (các điều kiện cịn diễn đạt a≥b≥0 a≤b≤b≤0 ) Chứng minh bất đẳng thức | a + b |≤| a | + | b | ( 1) Nhóm word tài liệu | a + b |≤| a | + | b | sau: Tự học Toán ⇔ a + 2ab + b ≤ a + | ab | +b ⇔ ab ≤| ab | ( ) Nếu khơng âm) Bất đẳng thức ( 2) đúng, ( 1) Chứng minh bất đẳng thức | a | (ví dụ 77); (bài 325) + b ) ( x + y ) ≥ (ax + by ) (bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, xem 324) C CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Một số ví dụ Dùng định nghĩa Để chứng minh A> B , ta xét hiệu  Ví dụ 88 Chứng minh rằng: Nhóm word tài liệu A− B chứng minh ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) ≥ −1 A− B số dương Tự học Toán Lời giải ( )( ) ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) − (−1) = x − x + x − x + + Xét hiệu Đặt Vậy x2 − 5x + = y , biểu thức ( y − 1)( y + 1) + = y ≥ ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) ≥ −1  Ví dụ 89 Cho số dương     + ÷1 + ÷ ≥  a  b  a b thỏa mãn điều kiện a +b =1 Chứng minh rằng: Lời giải Ta có    1 + ÷1 + ÷ ≥  a  b  ⇔ (1) a +1 b +1 × ≥ ⇔ ab + a + b + ≥ 9ab( ab > 0) a b ⇔ a + b + ≥ 8ab ⇔ ≥ 8ab( a + b = 1) ⇔ ≥ 4ab ⇔ ( a + b) ≥ 4ab( a + b = 1) Bất đẳng thức (2) đúng, mà phép biến đổi tương đương, bất đẳng thức (1) chứng minh Xảy đẳng thức a=b Cách giải khác b  a     a + b  a + b   1 + ÷1 + ÷ = 1 + ÷1 + ÷ =  + ÷ + ÷ a  b   a  b  a  b   Nhóm word tài liệu Tự học Tốn Thực phép nhân ý a b + ≥2 b a a > 0, b > W Khi sử dụng phép biến đổi tương đương, cần ý biến đổi tương đương có diều kiện, chẳng a, b > a > b2 ⇔ a > b hạn: với m > n ⇔ am > an với m, n nguyên dương, a >1 Cần rõ Điều kiện biến đổi tương đương Dùng tính chất bất đẳng thức  Ví dụ 90 Cho a +b >1 a + b4 > Chứng minh ( 1) a +b >1> Ta có Lời giải ( a + b) > ⇒ a + 2ab + b > Bình phương hai vế (a − b) ≥ ⇒ a − 2ab + b ≥ Mặt khác Cộng vế (2) (3) ( a2 + b2 ) > ⇒ a + b2 > Bình phương hai vế Mặt khác (a − b2 Cộng vế ( a + b4 ) > ) : ( 4) 2 a + a b + b > ( 4) ≥ ⇒ a − 2a 2b + b ≥ (5) (6) 1 ⇒ a + b4 > Nhóm word tài liệu ( 3) : ( 5) ( 6) ( 2) Tự học Toán   = −100  z − ÷ + 200  400  ≤ 400 Dấu xảy z= maxA = Vậy 400 đạt 1 ⇔ y = = 200 ⇔ x = y − 100 = 100 200 z x = 100  Bài 11 Tìm GTNN GTLN biểu thức A= a) 27 − 12 x x2 + B= b)  Lời giải a) Ta có A= (x = = 27 − 12 x x2 + − 12 x + 36 ) − ( x + ) x2 + ( x − 6) −1 x2 + ≥ −1 Dấu xảy Vậy minA = −1 x−6 = ⇔ x = đạt Ta có Nhóm word tài liệu x=6 8x + 4x2 + Tự học Toán  A = 27 − 12 x x2 + ( 4x = ) ( + 36 − x + 12 x + ) x +9 (2 x + 3) = 4− x +9 ≤4 2x + = ⇔ x = − Dấu xảy Vậy maxA = x=− đạt 3 b) Ta có 8x + x2 + 8x + − x2 − B= = 4x +1 x2 + = 4( x + 1)2 −1 4x2 + ≥ −1 Dấu xảy Vậy minB = −1 x + = ⇔ x = −1 đạt x = −1 Ta có 16 x + − 16 x + x − B= 4x2 + = ( x + 1) − (4 x − 1)2 x2 + (4 x − 1) = 4− 4x2 + ≤4 Nhóm word tài liệu Tự học Toán 4x −1 = ⇔ x = Dấu xảy Vậy maxB = x= đạt  Bài 12 Tìm GTNN biểu thức x2 + y A= x + xy + y B= Tìm GTLN biểu thức x2 x4 +  Lời giải Ta có A= x2 + y2 ( x + y ) − xy xy = = 1− 2 x + xy + y ( x + y) ( x + y)2 Mặt khác ( x − y )2 ≥ ⇔ x + y ≥ xy ⇔ x + y + xy ≥ xy ⇔ ( x + y ) ≥ xy ⇔ xy ≤ ( x + y) A ≥ 1− Suy minA = Vây 1 = 2 , dấu xảy đạt Nhóm word tài liệu x= y x= y Tự học Toán Với Với x=0 x≠0 (x x2 =0 x4 + B= ta có ) −1 ≥ ⇔ x4 − 2x2 + ≥ ⇔ x4 + ≥ x2 > x2 x2 ⇔ ≤ = x +1 2x x2 − = ⇔ x2 = Dấu xảy maxB = Vậy đạt x = ±1  Bài 13 Tìm GTNN biểu thức A= ( x + 4) ( x + 9) x a) C= c) với x + x−2 với B= x>0 b) ( x + 100)2 x với x>0 x>2  Lời giải a) Ta có A= Các số dương x Nhóm word tài liệu 36 x x + 13x + 36 36 = x + + 13 x x có tích khơng đổi nên tổng chúng nhỏ Tự học Toán x= Vậy minA = 25 đạt 36 36 ⇒ x = ⇒ A = + + 13 = 25 x x=6 b) Ta có B= Các số dương x 10000 x x= Vậy minA = 400 đạt x + 200 x + 100000  10000  =x+ ÷+ 200 x x   có tích khơng đổi nên tổng chúng nhỏ 10000 10000 ⇒ x = 100 ⇒ A = 100 + + 200 = 400 x 100 x = 100  Bài 14 Cho x + y = 1, x > 0, y > 1 + x y a2 b2 + (a x y b số dương cho ) 2 Tìm GTNN biểu thức 1  1  x+ ÷ + y+ ÷ x  y   Lời giải a= Ta có x+ y = xy xy Do x, y > nên xy nhỏ ⇔ xy lớn Mặt khác xy ≤ x + y ⇔ xy ≤ ( x + y ) = ⇔ xy ≤ Nhóm word tài liệu Tự học Toán ⇒ A≥4 x=y= Dấu xảy Vậy minA = x= y= đạt (do x + y = 1) Ta có 2 a ×1 b2 ×1 a ( x + y ) b ( x + y ) B= + = + x y x y = a2 + a y b2 x + +b x y  a y b2 x  2 = + ÷+ a + b y   x Các số dương a2 y x b2 x y có tích khơng đổi nên tổng chúng nhỏ a y b2 x a = ⇔ a y = b x ⇔ ay = bx ⇔ a ( − x ) = bx ⇔ x = x y a +b x= Khi Vậy a a+b y= ta tính minB = ( a + b) b a+b x= đạt B = ( a + b) a b ,y= a+b a+b  Bài 15 Cho số dương a) A = xy x y thỏa mãn 1 + = x y Tìm GTNN biểu thức b)  Lời giải Nhóm word tài liệu B = x+ y Tự học Toán a) Áp dụng a + b ≥ 2ab , ta có 1 = 2+ 2≥ ⇒ xy ≥ x y xy 1 = ⇔ x = y x y Dấu xảy Vậy minA = đạt x= y=2 Vì x, y > nên ta có xy = ⇔ x = y = b) Từ kết câu a) ta có ( x + y ) ≥ xy ≥ 16 ⇔ x + y ≥ 4 do x + y ≥ Dấu xảy Vậy minB = xy = ⇔ x = y = đạt x= y=2  Bài 16 Tìm GTNN biểu thức 1 1 A = ( a + b)  + ÷ a b với a, b >  1 1 B = ( a + b + c)  + + ÷ a b c với a, b, c >  Lời giải Ta có a b A = 2+ + ÷ b a Các số dương a b b a có tích khơng đổi nên tổng chúng nhỏ a b = ⇔ a2 = b2 ⇔ a = b b a Nhóm word tài liệu Tự học Tốn Khi Vậy A = +1 +1 = minA = đạt a=b Áp dụng tính chất: "Nếu hai số dương khơng đổi tổng của chúng nhỏ hai số dương nhau" ta có a b + ≥ 2,   a=b b a dấu xảy a c + ≥ 2,   c a b c + ≥ 2,   c b dấu xảy dấu xảy a=c b=c a b a c b c ⇒  B = +  + ÷+  + ÷+  + ÷ ≥ b a c a c b Dấu xảy Vậy minB = a=b=c đạt a=b=c  Bài 17 Cho số dương x, y , z có tổng A= Tìm GTNN x+ y xyz  Lời giải Từ giả thiết suy = (( x + y ) + z ) Áp dụng bất đẳng thức ( a + b) ≥ ab = (( x + y ) + z ) ≥ ( x + y ) z Nhân hai vế với số dương x+ y xyz ta x + y z ( x + y ) z ×4 xy ≥ ≥ = 16 xyz xyz xyz Nhóm word tài liệu , ta có Tự học Tốn Dấu xảy Vậy minA = 16 x + y = z   x = y    x + y + z = x= y= đạt 1 ,z = 1 ⇔ x = y = ,z =  Bài 18 Tìm GTLN tích xy với x, y số dương, x < 60, y ≥ 60 x + y = 100  Lời giải Cách Ta có x < 60, y ≥ 60 nên ( 60 − x ) ( 60 − y ) ≤ ⇒ 3600 − 60 ( x + y ) + xy ≤ ⇒ 3600 − 6000 + xy ≤ ⇒ xy ≤ 2400 Dấu xảy Vậy 60 − y = ⇔ y = 60 ⇒ x = 40 max ( xy ) = 2400 Cách Đặt y = 60 + t đạt tới x = 40, y = 60 t≥0 Ta có xy = ( 100 − y ) y = ( 100 − 60 − t ) ( 60 + t ) = ( 40 − t ) ( 60 + t ) = 2400 − 20t − t ≤ 2400 Dấu xảy t = ⇔ y = 60 ⇒ x = 40  Bài 19 Tìm GTLN biểu thức Nhóm word tài liệu Vậy max ( xy ) = 2400 đạt x = 40, y = 60 Tự học Toán A = ( x + z) ( y + t) B = ( x + z) ( y + t) x2 + y + z + t = biết x + y + z + 2t = biết  Lời giải A = xy + xt + yz + zt Ta có 2 xy ≤ x + y  2 2 xt ≤ x + t ⇒ A ≤ x2 + y + z + t =  2 2 yz ≤ y + z 2 zt ≤ z + t ( x = y = z = t ⇒ x2 = ⇔ x = ± Dấu xảy Vậy max A =1 x= y= z =t =± đạt B = xy + xt + yz + zt ) Ta có 2 xy ≤ x + y 4 xy ≤ x + y   2 2 2 xt ≤ x + t 4 xt ≤ x + 2t ⇔ ⇒ B ≤ x + y + z + 2t =   2 2 2 zt ≤ z + t 4 zt ≤ z + 2t 0 ≤ ( y − z ) 4 yz ≤ y + z  ( maxB = Vậy đạt x = y, y = z , z = t , x = 2t   x = y = ⇔    z = t =   Bài 20 Tìm GTNN biểu thức Nhóm word tài liệu x + y + z + 2t = −1   x = y =   z = t = −1  ) Tự học Toán A = x − + x − + x −   B = x −1 + x + + x − + x −  Lời giải A = x − + x − + x −   Ta có  x − + − x ≥ x − + − x = ⇒ A≥2   x − ≥ Dấu xảy x − ≥ 2 ≤ x ≤  ⇔ x=3 4 − x ≥ ⇔  x = x − =  Vậy minA = đạt a=3 A = x −1 + − x + x − + − x Ta có  x − + − x ≥ x − + − x = ⇒ A≥ 2+2 =   x − + − x ≥ x − + − x = Dấu xảy  x −1 ≥ 3 − x ≥ 1 ≤ x ≤  ⇔ ⇔ 2≤ x≤3  x − = ≤ x ≤    − x ≥ Vậy minB = đạt 2≤ x≤3  Bài 21 A= Tìm GTLN Nhóm word tài liệu x y + x + y − ( x + y) với x, y ∈ ¥ Tự học Tốn  Lời giải Ta xét hai trường hợp − − − x+ y 100a ⇒ n > 10a ⇒ n ≥ 10a + ⇒ n ≥ (10a + 1) ⇒ 100a + b ≥ 100a + 20a + ⇒ b ≥ 20a + Do b ≤ 99 Ta có nên 20a + ≥ 99 ⇒ a ≤ n = 100a + b ≤ 1600 + 99 = 1699 1681 = 41 phải tìm Nhóm word tài liệu Kiểm tra 422 = 1764, 412 = 1681 Số phương lớn ... a )(1 − b )(1 − c) > (1 ) Mặt khác, ta lại có: 4a (1 − a ) = 4a − 4a ≤ (vì + 4a + 4a = (2 a + 1) ≥ Tương tự 4a (1 − b) ≤ Nhóm word tài liệu (2 ) (3 ) Tự học Toán 4c(1 − c) ≤ (4 ) a b c 1− a 1− b 1−... Theo câu a) ta có: 3 (a − b3 )(a − b5 ) ( ) ( a + b8 ≥ a + b )(a + b5 ) ( b8 + c ) ≥ ( b + c ) ( b + c ) ( ) ( )( c8 + a8 ≥ c + a c + a Cộng vế ba bất đẳng thức trên, ta được: ( ) ( ) ( ) ( )... hiệu  Ví dụ 88 Chứng minh rằng: Nhóm word tài liệu A− B chứng minh ( x − 1 )( x − 2 )( x − 3 )( x − 4) ≥ −1 A− B số dương Tự học Toán Lời giải ( )( ) ( x − 1 )( x − 2 )( x − 3 )( x − 4) − (? ??1) = x −