TỰ học TOÁN 8 PHẦN 2 ( Câu Hỏi và có lời giải chi tiết)

Tự học tốn Bài CÁC PHÉP TỐN VỀ PHÂN THỨC Tóm tắt lý thuyết Muốn cộng phân thức, ta quy đồng mẫu thức, cộng tử thức với nhau, giữ nguyên mẫu thức chung, rút gọn phân thức vừa tìm Muốn trừ phân thức, ta lấy phân thức bị trừ cộng với phân thức đối phân thức trừ Muốn nhân phân thức, ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau, rút gọn phân thức vừa tìm Muốn chia cho phân thức khác 0, ta lấy phân thức bị chia nhân với phân thức nghịch đảo phân thức chia Một số ví dụ Ví dụ Cho a  b  c  a, b,c khác Rút gọn biểu thức: A ab bc ca  2 2 2 2 a b c b c a c a b  Lời giải Từ a  b  c  suy a  b  c 2 2 2 Bình phương hai vế, ta a  b  2ab  c nên a  b  c  2ab 2 2 2 Tương tự, b  c  a  2bc c  a  b  2ca Do đó, A ab bc ca 1       2ab 2bc 2ca 2 2 Ví dụ Rút gọn biểu thức: A 1     1 x 1 x 1 x 1 x 1 x8  Lời giải Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học toán Do đặc điểm tốn, ta khơng quy đồng mẫu tất phân thức mà cộng phân thức A 2 4 8 16          2 4 8 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x16 Ví dụ Rút gọn biểu thức: B  1.2   2.3   2n  � n n  1 � � �  Lời giải Đương nhiên quy đồng mẫu tất phân thức Ta tìm cách tách phân thức thành hiệu hai phân thức dùng phương pháp khử liên tiếp Ta có 2k  � k k  1 � � �  k  1    k2  k k 1 2  1  k  k  1 Do B n n  2 1 1 1        1  2 2 2 n  n  1  n  1  n 1 Ví dụ Xác định số a, b, c cho:  x  1  x  1  ax  b c  x  x1 (1)  Lời giải Thực phép cộng vế phải (1) ta  ax  b  x  1  c x2  1  x2  1  x  1  ax2  ax  bx  b  cx2  c Đồng phân thức với phân thức a c  � � b a  � � � c b  � x     x  1 x   x  1  a  c x2   b a x   c  b    x2  1  x  1 , ta c b � 1 � � c  ,b   c b � 2 1  x a   22  x  x    Như x 1 x1 Do  Nhóm word hóa tài liệu  71 Tự học tốn Ví dụ Cho A �1 � �4  �  x  y �x y � B �1 � �3  �  x  y �x y � C �1 � �2  � x  y   �x y � Thực phép tính A + B + C  Lời giải Ta có A x4y4  x  y B C     y  x   y  x    y  x   y x  y4  x4 2 x4y4  x  y 2 x4y4  x  y �1 1 y2  x2 �   2 � �3  x  y �x y x  y x y � y3  x3  xy y x �1 y  x �    �3 2 � x3y3  x  y �x y x y �  x  y 2  x  y  y x  y2  2yx  x2  3 xy  2 y  x  x  y x3y3 Do đó,  y  x   y x  A B C  2 x y  x  y 4 2 y  x  x  y x3y3  y  x   y x  2xy y x   y x  y  x  2xy  2 x y  x  y 4 2 x y  x  y 4  y x x4 y4 Bài tập tự luyện  Bài Thực phép tính x  2x  x    1) x  x  x  Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học toán 2) 1 1    x x  y y x  y x x  y y y  x  Lời giải x  2x  x   x  3  x  1   2x  1  x  1   x  3  x2     1   x2  x 1 1) x  x  x  1 1 x y y x 1        0 x x  y y x  y x x  y y y  x xy x  y xy x  y xy xy 2)  Bài Thực phép tính A 1) 1    a  b  a  c  b a  b  c  c  a  c  b ; B 1   ; a a  b  a  c b b  a  b  c c c  a  c  b C bc ac ab   ;  a  b  a  c  b a  b c  c  a  c  b D a2 b2 c2   ;  a  b  a  c  b a  b c  c  a  c  b 2) 3) 4)  Lời giải A 1) 1    a  b  a  c  b  a  b  c  c  a  c  b  c  b a  c  b a 0  a  b  b c  c  a 2) Ta có B   1   a a  b  a  c b b  a  b  c c c  a  c  b bc b  c  ac a  c  ab a  b abc a  b  b  c  a  c   c b2  bc  a2  ac  ab a  b abc a  b  b  c  a  c c�  b a  b a  c b a � � ab a  b  � abc a  b  b c  a  c  a  b  cb ca  c2   ab a  b  abc a  b  b  c  a  c Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học toán  a  b  cb ca  c2  ab  abc a  b  b  c  a  c   a  b  b  c  a  c abc a  b  b  c  a  c  abc 3) Ta có bc ac ab    a  b  a  c  b a  b c  c  a  c  b C   bc b  c  ac a  c  ab a  b  a  b  b c  a  c   c b2  bc  a2  ac  ab a  b  a  b  b c  a  c c�  b a  b a  c b  a � � ab a  b  �  a  b  b c  a  c  a  b  cb ca  c2   ab a  b   a  b  b c  a  c  a  b  cb ca  c2  ab   a  b  b c  a  c   a  b  b  c  a  c  a  b  b  c  a  c 1 4) Ta có D    a2 b2 c2    a  b  a  c  b  a  b  c  c  a  c  b a2  b  c  b2  a  c  c2  a  b  a  b  b c  a  c a2  b  c  b2a  b2c  c2a  c2b  a  b  b c  a c   a2  b  c  a b2  c2  bc b  c  a  b  b c  a  c  b  c  a2  ab  ac  cb   a  b  b  c  a  c Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học tốn  a a  b  c a  b �  b c � � �  a  b  b c  a  c   a  b  b c  a  c  a  b  b c  a  c 1  Bài Cho a, b, clà số nguyên khác đôi Chứng minh biểu thức sau có giá trị số nguyên: P a3 b3 c3    a  b  a  c  b  a  b  c  c  a  c  b  Lời giải Ta có P a3 b3 c3   3  a  b  a  c  b a  b c  c  a  c  b  a  b  c  b  c  a  c  a  b  a  b  b c  a  c Phân tích tử thành nhân tử a3  b  c  b3  c  a  c3  a  b  a3b  a3c  b3c  b3a  c3  a  b      a3b b3a  a3c  b3c  c3  a  b    ab a  b  a  b  c a  b a2  ab  b2  c3  a  b    a  b a2b  ab2  ca2  cb2  abc  c3          a  b �c3  cb2  abc  ab2  a2b  ca2 � � �    a  b  b  c cb c2  ab a2      a  b  b  c �  ab cb  a2  c2 � � �   a  b  b  c  a  c  a  b  c Vậy P  a  b  c  Bài Cho 3y x  Tính giá trị biểu thức A x 2x  3y  y x   Lời giải Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học tốn A x 2x  3y 3y  2x  x     y x  y x   3 1 x2 y2 z2 x2  y2  z2     Bài Tìm x, y, z biết  Lời giải �x2 x2 � �y2 y2 � �z2 z2 � x2 y2 z2 x2  y2  z2 �  � �  � �  �    � �3 � �4 � Từ suy � 3x2 2y2 z2   0 Cho nên 10 15 20 Do đó, x  y  z   Bài Tìm x, ybiết x2  y2  1  4 x2 y2  Lời giải Ta có x2  y2  � �2 1� �2 1   � �x   � �y   � x �� y � x y � 2 � 1� � 1� � �x  � �y  � � x � � y� � x  � � x �� � �x  �y   � � � �y  � y Có bốn đáp án bảng sau x y 1    2,  Bài Cho biết a b c 1   2 a2 b2 c2 1 -1 -1 -1 -1 (1) (2) Chứng minh rằng: a  b  c  abc  Lời giải 1 �1 1 �    2�   � �ab bc ca � Từ (1) suy ra: a b c Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học tốn 1 a b c   1 1 abc Do nên ab bc ca suy Do đó: a  b  c  abc x y z   0  Bài Cho : a b c (1) a b c   2 x y z (2) Và a2 b2 c2  2 2 Tính giá trị biểu thức x y z  Lời giải Từ (1) suy bcx  acy  abz  a2 b2 c2 �ab yzbc ca �   �   � x y z xy yz xz � � Từ (2) suy a2 b2 c2 abz  acy  bcx    4 2 xyz 4 Do x y z 2 2  Bài Cho (a  b  c)  a  b  c khác Chứng minh rằng: 1  3  a b c abc  Lời giải Từ giả thiết suy ra: ab  bc  ca  � b c   bc a ab  bc  ca 1 0   0 abc Do , tức a b c 1 1 � �1 1� �1 � �1   �  ��   �  �    3�  � b c �b c � a �bc b c � �b c � Suy a � 1 3(b  c) 3bc  3  2  2  a b c bc ab c abc a b c b a c       Bài 10 Cho b c a a c b Chứng minh ba số a, b,c tồn hai số  Lời giải Từ giả thiết suy Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học toán � a2(c  b)  a(c2  b2 )  bc(c  b)  a2c  b2a  c2b  b2c  a2b  c2a � (c  b)(a2  ac  ab bc)  � (c  b)(a  c)(a  b)  Tồn thừa số c  b, a  c, a  b Do đó, ba số a, b,c tồn hai số  Bài 11 Tìm giá trị nguyên x để phân thức sau có giá trị số nguyên: 1) 2) 3) 2x3  6x2  x  x A x4  2x3  3x2  8x  B x2  2x  C x4  3x3  2x2  6x  x2   Lời giải 1) A 2x3  6x2  x   2x2  1 x x A nguyên x nguyên, x  3nguyên ước Suy x   x   1 x   x   5 Hay x  x  x  hoăc x  2 2) B x4  2x3  3x2  8x   x2   x2  2x   x  1 B nguyên x nguyên,  x  1 nguyên ước Suy  x  1 1  x  1 3 Hay x  1 x  1 1hay x  x  x4  3x3  2x2  6x  2 C  x2  3x  2 x 2 x  3) C nguyên x nguyên, x2  nguyên ước Suy x   hay x  Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học tốn  Bài 12 Rút gọn biểu thức sau với A x a 3a  x  3a x  3a 2a   a  x  x  x2  Lời giải A x  3a x  3a 2a 6ax  4x  2a 2x(3a  2)  2a a   a= a= 2 2 x  x 4 x 4 x  x2 a  Bài 13 Rút gọn biểu thức A 2 (a  b)2  (b c)2  (c  a)2    a  b b c c  a (a  b)(b  c)(c  a)  Lời giải Đặt a  b  x , b  c  y , c  a  z x  y z  Ta có: A 2 (a  b)2  (b c)2  (c  a)2    a  b b c c  a (a  b)(b  c)(c  a) 2 x2  y2  z2      x y z xyz  x y z xyz 0 a  b c b c  a c  a  b    bc ca  Bài 14 Cho biết ab Chứng minh ba phân thức vế trái, có phân thức  Lời giải Ta có: a  b c b c  a c  a  b    ab bc ca � c(a  b  c)  a(b  c  a)  b(c  a  b)  � a2  b2  2ab  c2  � (a  b)2  c2  � (a  b c)(a  b  c)  Vậy a  b c  0hoặc a  b  c   Bài 15 Xác định số a, b,c cho: a bx  c   ; x ( x  1) x x  1) a b   ; x x 2) x  Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học toán n3  7n    n  1  n    n  3 n3  7n    n  1  n    n  3 Do A   n  3  n    n  1 n  n  1  n    n  3 Đây tích bảy số nguyên liên tiếp Trong bảy số nguyên liên tiếp:  Tồn bội số (nên A chia hết cho );  Tồn bội số (nên A chia hết cho );  Tồn bội số (nên A chia hết cho ) ;  Tồn bội số , có bội số (nên A chia hết cho 16 ) 16  5040 A chia hết cho số 5, 7,9,16 đôi nguyên tố nên A chia hết cho ��� Khi chứng minh A n chia hết cho m , ta xét moi trường hợp số du chia n cho m  Ví dụ Chứng minh với số nguyên a a) a  a chia hết cho c) a  a chia hết cho b) a  a chia hết cho d) a  a chia hết cho Lời giải (1) a  a  a  a  1 (2) a3  a  a  a  1   a  1 a  a  1 (3) A  a  a  a  a  1  a  1 , chia hết cho Nếu a  5k  k �Z  Nếu a  5k �1 k �Z  Nếu a  5k �2  k �Z  , tích chia hết cho tồn bội a chia hết cho a  chia hết cho a  chia hết cho Trường hợp có thừa số A chia hết cho Cách 2: Phân tích a  a thành tổng hai số hạng chia hết cho 5: Một số hạng tích năm số nguyên liên tiếp, số hạng chứa thừa số Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học toán        a    a  1 a  a  1  a    5a  a       a  a  a a  a   a a  a    a a  a   5a a   1 Số hạng thứ tích năm số nguyên liên tiếp nên chia hết cho , số hạng thứ hai chia hết cho Do a  a chia hết cho Cách 3: Giải tương tự cách : Xét hiệu a  a tích năm số nguyên liên tiếp (a  2)  a  1 a  a  1  a   , 5a  a  1 Do a5  a (4) A  a  a  a  a  1  a  1 Nếu a  7k  k �Z  Nếu a  7k  1 k �Z  Nếu a  k  1 k �Z  Nếu a  k   k �Z  Nếu a  k   k �Z  Nếu a  7k   k �Z  Nếu a  7k   k �Z  chia hết cho a chia hết cho a  chia hết cho a  chia hết cho a  chia hết cho a  chia hết cho a  chia hết cho a  chia hết cho Trường hợp có thừa số A chia hết cho Vậy a  a chia hết cho  Ví dụ Chứng minh số phương chia cho có số dư Lời giải A  n  n �N  A Gọi số phương Xét trường hợp n  3k  k �N  � A  9k , chia hết cho n  3k �1 k �N  � A  9k �6k  Nhóm word hóa tài liệu , chia cho dư 71 Tự học tốn  Ví dụ Chứng minh số phương chia cho có số dư Lời giải A  n  n �N  Gọi A số phương Xét trường hợp n  2k  k �N  � A  4k , chia hết cho  n  2k  1 k �N  � A  4k  4k   4k  k  1  , chia cho dư Vậy số phương chia cho có số dư Từ tốn ta thấy  Số phương chẵn chia hết cho  Số phương lẻ chia cho dư (hơn nữa, chia cho dư 1)  Ví dụ Các số sau có số phương khơng? M  19922  19932  1994 N  19922  19932  19942  19952 P   9100  94100  1994100 Lời giải 2 Các số 1993 ,1994 số phương khơng chia hết chia cho dư , 1992 chia hết cho Số M số chia cho dư , không số phương 2 2 Các số 1992 ,1994 số phương chan nên chia hết cho Các số 1993 ,1995 số phương lẻ nên chia cho dư Số N số chia cho dư , không số phương Các 100 100 100 số 94 ,1994 số phương chan nên chia hết cho Cịn số phương lẻ nên chia cho dư Số P số chia cho dư , khơng số phương  Ví dụ Trong dãy số sau có tồn số số phương khơng? 11, 111, 1111, 11111, … Lời giải Mọi số dãy tận 11 nên số chia cho dư Mặt khác, số phương lẻ chia cho dư Vậy khơng có số dãy số phương Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học tốn Khi chứng minh tính chất chia hết lũy thừa, ta sử dụng đến đẳng thức 8, công thức Niu-ton sau đây: (a  b) n  a n  c1a n 1b  c2 a n  2b  L  cn 1ab n 1  b n Trong công thức trên, vế phải đa thức có n  hang tử, bậc hang tử tập hợp i k biến a, b n (phần biến số hang tử có dạng a b , i  k  n với �i �n,0 �k �n  Các hệ số c1 , c2 , �, cn 1 xác định tam giác Pa-xcan: Trong hình , số dọc theo canh góc vng , số dọc theo cạnh huyền Cộng số với số liền sau bên phải đựơc số đứng hàng số liền sau ấy, chẳng hạn hình Áp dung thức vào tính chia hết, ta có với moi số nguyên a, b số tự nhiên : an  bn   chia  heá t  cho  a  b a �b a2n1  b2n1  chia  heá t  cho  a  b a �b   (a  b)n  BSa  bn  BSa  làbộ i cuû a  a     Đăc biệt nên lưu ý đến:  (a  1) n  BSa  1;  (a  1)2 n  BSa  1;  (a  1) n 1  BSa  n  Ví dụ Chứng minh với số tự nhiên n , biểu thức 16  chia hết cho 17 n số chẳn Lời giải  n  2k , k �N  A  162k    162   chia hết cho 162  theo đẳng thức 8, Nếu n chẵn mà 16   255 , chia hết cho 17 Vậy A chia hết cho 17 k n n Nếu n lẻ A  16   , mà 16  chia hết cho 17 theo đẳng thức 9, nên A không chia hết cho 17 Vậy A chia hết cho 17 n chẵn n n n Cách 2: A  16   (17  1)   BS17  (1)  (theo công thức Niu-tơn) Nếu n chẵn A  BS17    BS17 Nếu n lẻ A  BS17   không chia hết cho 17 Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học tốn (1) Người ta dùng phương pháp phản chứng, nguyên lí Di-rích-lê để chứng minh quan hệ chia hết  Ví dụ Chứng minh tồn bội 2003 có dạng 20042004 2004 Lời giải Xét 2004 số: a1  2004 a2  20042004 … a2004  20042004 �2004 (nhóm 2004 có mặt 2004 lần ) Theo ngun lí Đi-rích-lê, tồn hai số có số dư phép chia cho 2003 Gọi hai số am an (1 �n  m �2004) am  an M2003 Ta có 4n am  an  2004 20040000 0000  2004 2004.10 14243 m n nhom ù 2004 4n Do 10 2003 nguyên tố nên 2004 2004 142 43 B TÌM SỐ DƯ m  n  nhóm 2004 chia hết cho 2003 B 100  Ví dụ Tìm số dư chia a) cho b) Cho 25 c) Cho 125 Lời giải Lũy thừa sát với bội số    Ta có   2100  23 33  2(9  1)33   BS  1  BS   BS  100 Số dư chia cho 10 Lũy thừa sát với bội số 25  1024  BS 25  Ta có 2100   210  10  ( BS 25  1)10  BS 25  100 Số dư chia cho 25 Dùng công thức Niu-tơn: 2100  (5  1)50  550  50 � 549  L  50 � 49 �  50 � 1 Không kể phần hệ số khai triển Niu-tơn 48 số hạng đầu chứa lũy thừa với số mũ lớn nên chia hết cho 125 Hai số hạng chia hết cho 125, số hạng 100 cuối Vậy  BS125  Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học toán 100 * Tổng quát hơn, ta chứng minh số tụ nhiên n khơng chia hết cho chia n cho 125 ta số dư Thật vậy, n có dang 5k �1 hoăc 5k �2 Ta có 100 � 99 (5k ) �100 � 5k   BS125  100 � 99 (5k ) 298 100 5k 299 2100 BS125 2100 (5k �1)100  (5k )100 �L  (5k  2)100 ��‫ױ‬ (5k� )100�L Ta lại có 2100  BS125 1 câ uc 100 Do (5k �2)  BS125  100  Ví dụ 10 Tìm ba chữ số tận viết hệ thập phân Lời giải 100 100 tìm số dư chia cho 1000 Trước hết tìm số dư chia 100 100 cho 125 Theo ví dụ ta có  BS125  , mà số chẵn, nên ba chữ số tận Tìm ba chữ số tận 2100 126, 376, 626 876 100 Hiển nhiên chia hết ba chữ số tận phải chia hết cho Trong bốn số có 376 thỏa mãn điều kiện 100 Vậy ba chữ số tận 376 * Ban doc tự chứng minh n số chẵn khơng chia hết cho ba chũ số tận n100 376 1994  Ví dụ 11 Tìm bốn chữ số tận viết hệ thập phân Lời giải 54  625 Ta thấy số tận 0625 nâng lên lũy thừa nguyên dương tận 0625 (chỉ cần kiểm tra: 0625 ��0625  �0625 ) Do 51994  54 k   25  54   25(0625)k  25  �0625  �5625 k 1994 54 Cách khác: Tìm số dư chia cho 10000  �    4k 54   52    Nhận xét: chia hết chia hết cho 16 Ta có 51994  56  51988  1  56 1988 56  51988  1 Do chia hết cho ,  chia hết cho 16 (theo nhận xét trên) nên chia hết 1994 cho 10000 Tính , ta 15625 Vậy bốn chữ số tận 5625 Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học toán * Nếu viết   51994  52 51992   52 1992 ta có  chia hết cho 16, không chia hết cho   n 1994  n   5n 54 Như toán này, ta cần viết 51994 dang 5 cho n �4 1994  n chia hết cho C TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ CHIA HẾT B  Ví dụ 12 Tìm số ngun x để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B A=x  2x  3x  B  x2  x Lời giải Đặt tính chia x2  x x3 x  2x  3x    x3  x2 3x2 -3x +2  - 3x2 +3x Muốn chia hết, ta phải có chia hết cho n  n  1 , chia hết cho n Ta có n n 1 n  n  1 0 1 2 loại Vậy n  1; n  2 2 3 loại * Chú ý : Khơng thể nói đa thức A chia hết cho đa thức B Ở tồn tai nhũng giá trị nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B Có thể thay việc đăt phép chia cách biến đổi: Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học toán     x3  x  3x   x x  x  x  x   Ví dụ 13 Tìm số ngun dương n để n  chia hết cho n  Lời giải Biến đổi  n5  1Mn3      � n2 n3   n  Mn3      �  n  1  n  1 M n  1 n  n  � n  1Mn  n  1  vì n  �0  Nếu n  ta chia hết cho n   n  n  1   n  n  Nếu n  , n  khơng thể chia hết cho n  n  Vậy giá trị n tìm  Ví dụ 14 Tìm số ngun n để n  chia hết cho n  Lời giải Biến đổi n5  1Mn3  1 � n  n3  1   n  1 Mn3  �   n  1  n  1 M n  1  n  n  1 � n  1Mn  n  n  1Mn  n  � n  n  1 Mn  n  � n  n Mn  n    � n  n   1Mn  n  � 1Mn  n  Có hai trường hợp: n  n   � n  n  1  � n  0; n  Các giá trị thỏa mãn đề  n2  n 1 1� n2  n  0  ,  vônghiệ m.  Vậy n  0; n  hai số phải tìm n  n  1 Mn  n  (1) Từ n  1Mn  n  suy phép kéo theo không phép biến đổi tương đương Do sau tìm n  0, n  , ta phải thử lại n Ví dụ 15 Tìm số tự nhiên n cho  chia hết cho Lời giải Nếu n  3k  k �N  n 3k k      chia hết cho Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học tốn Nếu n  3k  1 k �N  Nếu n  3k   k �N    2n   23k 1   23 k    BS    2n   23k    23k    BS  n � n  3k  k �N  Vậy  chia hết cho Bài tập tự luyện: PP  Bài Chứng minh với số nguyên n ta có: n  3n  2n chia hết cho n 2  n  1  1 Biến đổi chia hết cho 24 n3  3n  2n  n  n  1  n   Lời giải , tích ba số nguyên liên tiếp Do n  3n  2n chia hết cho với nguyên n Suy điều phải chứng minh n Biểu đổi   n     n  1 n  n  1  n   n Đây tích số nguyên liên tiếp, đó:   n 1 1 chia hết cho 24  Bài Chứng minh rằng: n  6n  8n chia hết cho 48 với số chẵn n 2 n  10n  chia hết cho 384 với số lẻ n Lời giải Biến đổi n3  6n  8n  n  n    n   Vì n số chẵn nên ta thay n  2k với k �Z , ta có: n3  6n  8n  2k  2k    2k    8k  k  1  k   chia hết cho 48 Suy điều phải chứng minh 2 Đặt A  n  10n  � A  n  10n    n  1  n     n  1  n  1  n  3  n  3 Vì n số lẻ suy n  2k  với k �Z , thay vào biểu thức ta có: A   n  1  n  1  n  3  n  3    2k   1  2k   1  2k   3  2k   3   2k   2k  2k    k      k  1 � 2k �  k  1 �  k  2 Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học toán   k  1 k  k  1  k   Vì  k  1 k  k  1  k   tích số nguyên liên tiếp nên  k  1 k  k  1  k   chia hết cho 24 Suy chia hết cho 384  Bài Chứng minh n  n  2n chia hết cho 72 với số nguyên n Lời giải Đặt A  n  n  2n , ta có: A  n  n  2n  n  n2 n4  n2   n2   1  n      n  n  1  n  1 n2   6n  n  1  n  1  n.n  n  1  n  1  n    n    6n.n  n  1  n  1   n    n  1 n.n  n  1  n    6n.n  n  1  n  1  n    n  1 n tích ba số tự nhiên liên tiếp suy  n    n  1 n chia hết cho n  n  1  n   tích ba số tự nhiên liên tiếp suy �  n    n  1 n � n  n  1  n   n  n  1  n   chia hết cho chia hết cho Mà số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho số chia hết cho suy ra:  n    n  1 n �n  n  1  n   Suy chia hết cho  n    n  1 n �n  n  1  n   Dễ dàng chứng minh chia hết cho 72 6n � n  n  1  n  1 chia hết cho 72 Suy A chia hết cho 72 2n  Bài Chứng minh  chia hết cho 72 với số nguyên dương n Lời giải Biến đổi B     , nên B M9 2n n Đề chứng minh B M8 ta viết B dạng: B   3n      3n  1  3n  1  n n  3n  1  3n  1 chia hết cho Vì   số chan liên tiếp nên Suy ra: B chia hết cho 2n Vậy  chia hết cho 72 với số nguyên dương n  Bài Chứng minh với số tự nhiên a n thì: Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học tốn n n4 1) có hai chữ số tận 2) a a có chữ số tận n n4  n �1 3) a a có chữ số tận Lời giải Xét hiệu A  n4  ta có: n A  n   n  n   1  7n � 2400 � AM 100 n n Vậy số có hai chữ số tận Xét hiệu B  a  a  a  a  1  a  1 10 Dễ dàng chứng minh B M2 B M5 suy B M Vậy a a có chữ số tận Xét hiệu C  a n   a n  a n  a  1  a  1 Dễ dàng chứng minh C M2 C M5 suy C :10 n n Vậy a a có chữ số tận  Bài Tìm điều kiện số tự nhiên a để a  3a  chia hết cho Lời giải a  3a    a  1  a   chia hết cho a  3a  2M � a chia dư � a không chia hết cho 2 Vậy a không chia hết cho a  3a  chia hết cho  Bài Cho a số nguyên tố lớn Chứng minh a  chia hết cho 24 2 Chứng minh a b số nguyên tố lớn a  b chia hết cho 24 Tìm điều kiện số tự nhiên a để a  chia hết cho 240 Lời giải 2 Ta có a số phương lẻ nên chia cho dư 1, a số phương khơng chia hết chia cho dư Suy a  chia hết cho 8, chia hết cho , chia hết cho 24 Áp dụng ý a) ta có a b số nguyên tố lớn thì: a  chia hết cho b  chia hết cho Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học tốn     � a   b2  M � a  b2 M3 Suy điều phải chứng minh Ta có: 240  �� 4 Vì AM240 � a  1M2 ; a  1M3 ; a  1M5 Dễ thấy a  1M2 � a số lẻ Dễ thấy a  1M3 � a không chia hết cho Dễ thấy a  1M5 � a không chia hết cho Ta chứng minh a không chia hết cho 2,3 a  chia hết cho 240 Thật vậy:     A  a   a  a    a  1  a  1  a  1  k �N  Nếu a lẻ a  2k  với Khi ta có:   A   a  1  a  1 a  �    2k   1  2k   1 � (2k  1)  1� � �   k  2k   k  4k    8k  k  1  2k  2k  1 � AM 16  k �N  Nếu a khơng chia hết cho a  3k �1 với Khi ta có a  1M3 � AM3  k �N  Nếu a khơng chia hết cho a  5k �1 a  5k �2 với 2 Suy a  1M5 a  1M5 � AM5 � A : 240 Vậy a khơng chia hết cho 2,3 a  chia hết cho 240 2  Bài Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a, b, c cho a  b  c số nguyên tố Lời giải Xét trường hợp: Trong a, b, c có số 2 Khi đó:    38 , hợp số, loại 2 Còn    83 số nguyên tố, thỏa mãn Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học toán Cả a, b, c lớn 2 2 2 Khi a , b , c chia cho dư nên a  b  c chia hết cho , hợp số, loại 2 Vậy ba số nguyên tố liên tiếp a, b, c 3,5, a  b  c số nguyên tố 2 2  Bài Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a  b  c  d Chứng minh a  b  c  d hợp số Lời giải Ta có:   a  b  c  d � a  b  c  d  c  d M2 Xét: A   a2  b2  c2  d    a  b  c  d          a  a  b2  b  c2  c  d  d   a  a  1  b  b  1  c  c  1  d  d  1 Vì a  a  1 M2; b  b  1 M2; c  c  1 M2; d  d  1 M2 � AM2 � a  b  c  d M2 Mà a, b, c, d số nguyên dương suy a  b  c  d  � a  b  c  d hợp số (điều phải chứng minh)  Bài 10 Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn ab  cd Chứng minh a  b5  c5  d hợp số Lời giải Gọi UCLN  a, c   k  a , c   , ta có: a  ka1 , c  kc1 1 Thay vào ab  cd ka1b  kc1d nên: a1b  c1d  Bài 11 Cho số tự nhiên a b Chứng minh rằng: 2 Nếu a  b chia hết cho a b chia hết cho 2 Nếu a  b chia hết cho a b chia hết cho Lời giải Một số phương chia cho dư Xét trường hợp tổng số dư:  0;  1;1  có  chia hết cho Do để a  b chia hết cho a M b M3 � a M3 bM3 � a  bM3 Suy điều phải chứng minh Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học toán Nhận xét: Một số phương chia cho dư 0;1; 2; 2 Ta có: a  b chia hết có trường hợp số dư  thỏa mãn � a M7 b M7 � a M7 b M7 Suy điều phải chứng minh  Bài 12 Cho số nguyên a, b, c Chứng minh rằng: 3 Nếu a  b  c chia hết cho a  b  c chia hết cho 5 Nếu a  b  c chia hết cho 30 a  b  c chia hết cho 30 Lời giải Xét hiệu: A   a  b3  c3    a  b  c        a  a  b3  b  c  c    a  1 a  a  1   b  1 b  b  1   c  1 c  c  1 � AM6 � a  b3  c3 M6 Suy điều phải chứng minh Xét hiệu: A  ( a  b5  c )  ( a  b  c )  (a  a )  (b5  b)  (c  c)  a (a  1)  b(b  1)  c (c  1)  a (a  1)(a  1)  b(b  1)(b  1)  c (c  1)(c  1)  a (a  1)(a  1)(a  1)  b(b  1)(b  1)(b  1)  c(c  1)(c  1)(c  1)  a (a  1)(a  1)(a  4)  5a (a  1)(a  1)  b(b  1)(b  1)(b  4)  5b(b  1)(b  1)  c(c  1)(c  1)(c  4)  5c (c  1)(c  1)  a (a  1)(a  1)(a  2)(a  2)  5a (a  1)(a  1)  b(b  1)(b  1)(b  2)(b  2)  5b(b  1)(b  1) c(c  1)(c  1)(c  2)(c  2)  5c(c  1)(c  1)  (a  2)(a  1)a (a  1)(a  2)  5(a  1)a (a  1)  (b  2)(b  1)b(b  1)(b  2) 5(b  1)b(b  1)  (c  2)(c  1)c(c  1)(c  2)  5(c  1)c(c  1)) Nhận xét:  a    a  1 a  a  1  a   tích số nguyên liên tiếp �  a    a  1 a  a  1  a   M30 Mà dễ thấy  a  1 a  a  1 M30 �  a    a  1 a  a  1  a     a  1 a  a  1 M30 Tương tự ta có:  b    b  1 b  b  1  b     b  1 b  b  1 M30  c    c  1 c  c  1  c     c  1 c  c  1 M30 � AM30 Nhóm word hóa tài liệu 71 Tự học toán 5 Mà a  b  c chia hết cho 30 suy a  b  c chia hết cho 30 Suy điều phải chứng minh  Bài 13 Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 3 a  b  c chia hết cho 3abc ; 5 a  b  c chia hết cho 5abc (1) a  b  c  � c    a  b Do đó: Lời giải a  b3  c  a  b3  (a  b)3  3ab  a  b   3abc M3abc 3 Hay a  b  c chia hết cho 3abc (điều phải chứng minh) (2) a  b  c  � c   a  b Do đó: 5 a  b5  c  a  b  ( a  b )  5a 4b  10a 3b  10a 2b3  5ab  5ab(a  2a 2b  2ab  b3 )  5ab[( a  b3 )  (2a 2b  2ab )]  5ab[( a  b)(a  ab  b )  2ab(a  b)]  5ab(a  b)(a  ab  b )  5abc( a  ab  b ) � a  b  c5 M5abc , suy điều phải chứng minh Nhóm word hóa tài liệu 71 ... 2n 12 32 52 (2 n  1 )2 B  ? ?2 ? ?2 L    (2 n  2)  Bài 21 Rút gọn biểu thức Lời giải Ta có  12 32 52 (2 n  1) 12 32 52 (2 n  1) � � L  � � L 22  42  62  (2 n  2)  1 � 3� 5� (2 n  1 )(2 n... (3 ) 3( x  x  1)  ( x  x  1) 2 (4 ) (2 x  4) 9 Lời giải 2 (1 ) (2 x  x  1) (2 x  x  1) 2 (2 ) ( x  2) ( x  3x  3 )( x  x  3) 2 (3 ) 2( x  1) ( x  x  1) 2 (4 ) (2 x  x  5) (2 x ... n > 1, ta có: 1+ A= Khi đó: n(n + 2) + n + 2n + (n + 1 )2 = = = n(n + 2) n(n + 2) n(n + 2) n(n + 2) 2 32 (n+1 )2 2.3.4 (n+1) 2. 3.4 (n +1) = 1.3 2. 4 3.5 n(n + 2) 1 .2. 3 n 3.4.5 (n+ 2) = n+1 n+