TỰ học TOÁN 8 PHẦN 6 ( Câu Hỏi và có lời giải chi tiết)

Dự án 1: Tự học Tốn HÌNH VNG Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa Hình vng tứ giác có bốn góc vng có bốn cạnh Nhận xét Từ định nghĩa hình vng, ta suy  Hình vng hình chữ nhật có bốn canh  Hình vng hình thoi có bốn góc vng Hình vng vừa hình chữ nhật, vừa hình thoi Tính chất Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi Hệ Dấu hiệu nhận biết Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc vng hình vng Hình thoi có góc vng hình vng Hình thoi có hai đường chéo hình vng Một số ví dụ  Ví dụ VD 16 –tr 96 Gọi M điểm đoạn thẳng AB.Vẽ phía AB hình vng AMCD , BMEF 1) Chứng minh AE  BC 2) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H , F thẳng hàng 3) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M chuyển động đoạn thẳng AB cố định BEgiải  MF , MF // AC) Suy AE  BC 1) Xét CAB, ta có CM  AB, BE  AC (vì Lời Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán AC DM OH = OH  o � 2) Gọi O giao điểm AC DM Do AHC  90 nên, Tam giác MHD có đường trung tuyến HO o � nửa DM nên MHD  90 (1) Chứng minh tương tự �  90o MHF (2) Từ (1) (2) suy D, H , F thẳng hàng 3) Gọi I giao điểm DF AC; DMF có DO  OM , OI // MF nên I trung điểm DF  AB I �là trung điểm AB Kẻ II � II �  AD  BF AM  MB AB   2 Do I điểm cố định: I nằm đường trung trực AB cách AB khoảng AB Bài tập tự luyện  BÀI Tứ giác ABCD có E , F , G , H theo thứ tự trung điểm AB, BD, DC , CA Tìm điều kiện tứ giác ABCD để EFGH hình vng  EF đường trung bình BAD � EF  AD EF // AD Lời giải GH đường trung bình CAD � GH  AD GH // AD Tứ giác EFGH có EF // GH EF  GH Suy Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Tốn EFGH hình bình hành  Ta có EH // FG // BC ; EH = FG = BC Điều kiện để hình bình hành EFGH trở thành hình vng EF  EH EF = EH � AD  BC AD = BC (hình vẽ bên)  BÀI Cho hình vng ABCD , điểm M nằm đường chéo AC Gọi E , F theo thứ tự hình chiếu M AD, CD Chứng minh rằng: 1) BM vng góc với EF 2) Các đường thẳng BM , AF , CE đồng quy Lời giải 1) Gọi K giao điểm EM BC Vì M nằm đường chéo AC hình vng nên: + EAM vng cân E , suy EM  EA  BK + MFCK hình vng, suy MF  MK � � Vây EMF  BKM (c.g.c) nên MFE  KMB Gọi H giao điểm BM EF , ta có � � �  BMK � EMH , suy EMH  MFH o � � Mà EMH  HMF  90 o o � � � nên MFH  HMF  90 � MHF  90 hay Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán BH  EF Vậy MB  EF o o � � � � � � 2) ADF = BAE (c.g.c), suy DAF  ABE , mà EAF  FAB  90 � FAB  ABE  90 suy AF  EB Chứng minh tương tự, CE  BF Vậy BM , AF , CE đường cao  BEF nên chúng đồng quy  BÀI Cho hình vng ABCD Điểm E nằm hình vng cho tam giác ECD cân có o góc đáy 15 Chứng minh  ABE tam giác Lời giải Vẽ điểm I hình vng cho  IAD cân I có o góc đáy 15 ΔIAD = ΔEDC ( g.c.g ) � ID  ED   � � � IDE ADC  � ADI  EDC  90o  30o  60o Vậy ΔIED   � �IE  360o  (150o  60o)  150o AIE  360o  � AID  D �� AIE  � AID Suy ΔIAE = ΔIAD ( c.g.c ) nên EA  AD Chứng minh tương tự ΔECB = ΔEDA � BE  BC Vậy BE  AE  BC Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán o  BÀI Cho ΔABC cân A , góc đáy 75 hình vng BDEC ( điểm A, D, E nằm phía BC ) Hãy xác định dạng ΔADE Lời giải Vẽ tam giác BIC vào hình vng � �  75o  60o  15o ABI  � ABC  IBC � ABD  90o  � ABC  15o Suy ΔBDA = ΔBIA ( c.g.c ) , � � suy DA  AI DAB  IAB Chứng minh tương tự ΔCAI = ΔCAE � AE  AI � � IAC  CAE Suy AD  AE  AI �  BAI �  2CAI �  BAC �  60o DAE Vậy ΔADE  BÀI Cho hình vng ABCD , điểm E thuộc cạnh CD , điểm F thuộc cạnh BC Chứng minh o � chu vi CEF nửa chu vi hình vng EAF  45 Lời giải Trên tia đối tia DC lấy DK  BF , ADK  ABF o � (c.g.c) nên AK  AF , KAF  90 o � *Ta chứng minh mệnh đề " EAF  45 chu vi CEF nửa chu vi hình vng" �  45o � EAK �  45o � EAK  EAF EAF (c.g.c ) � EK  EF Do chu vi CEF CE  CF  EF  CE  CF  EK  CE  CF  ED  DK  CE  CF  ED  FB ( nửa chu vi hình vng ) o � *Ta chứng minh mệnh đề "Chu vi CEF nửa chu vi hình vng EAF  45 " CE  CF  EF  CB  CD � EF  ED  BF � EF  ED  DK  EK Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán o � � � EAK  EAF ( c.c.c ) � EAK  EAF � EAF  45 �  BÀI Cho hình vng ABCD , điểm M thuộc canh AB Tia phân giác MCD cắt cạnh AD N Cho biết BM  m, DN  n Tính độ dài CM theo m n Lời Bài Bài Trên tia đối tia BA lấy điểm K cho BK  DN  n ; DCN  BCK � Cˆ1  Cˆ � � DNC  BKC (1) � ˆ � � Mà DNC  NCB (so le trong) � NDC  C2  � Cˆ3  Cˆ  Cˆ3  MCK (2) Từ (1) (2) suy MCK cân M , CM  MK  m  n B C D nằm hình vng ABCD cho thứ tự đỉnh theo  BÀI Cho hình vng A���� chiều ( tức vẽ hai đường tròn, đường tròn qua đỉnh , C� , D�là hình vng, chiều đường tròn từ A B, C , D từ A�lần lượt qua B� , BB� , CC � , DD�là đỉnh nhau) Chứng minh trung điểm đoạn thẳng AA� vuông Lời giải Gọi E, F, G,H thứ tự trung điểm AA’, BB’, CC’, DD’ Gọi I , K trung điểm BC’, CD’ FI đường trung bình BB ' C ' nên FI //B’C’ FI  B�� C  1 GK đường trung bình CC ' D ' nên GK //C’D’ GK  C ' D '   C  C �� D B�� C  C �� D  3 Lại có B�� �FI  GK  1 ,    3 suy � �FI  KG Từ  4 GI  HK � � GI  HK Chứng minh tương tự ta có �  5 Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán �FI  GK �� � �FIG  GKH � FIG  GKH   �IG  KH 4 5   � FG  GK  và GF  GH  ( tính chất hai góc Từ ta có � có cặp cạnh tương ứng vng góc) Chứng minh tương tự ta GH  HE  EF  FG , từ suy EFGH hình vng  BÀI Cho hình vuông ABCD Lấy điểm E , F theo thứ tự thuộc cạnh AD, AB cho � AE  AF Gọi H hình chiếu A BE Tính CHF Lời giải Gọi K giao điểm AK DC �Aˆ1  Bˆ1 � �AD  BA � ADK  BAE �� � �ADK  EAB � DK  AE  AF � BFKC hình chữ nhật Gọi O tâm hình chữ nhật BFKC Xét HKB vuông tai H nên HO  1 KB  FC � HCF vuông tai H 2 o � Vậy CHF  90  BÀI Cho điểm M thuộc cạnh CD hình vng ABCD Tia phân giác góc ABM cắt AD I Chứng minh: BI �2MI Lời giải Vẽ MH  BI , MH cắt AB E Do BI phân giác � ABM nên E đối xứng với M qua BI Ta có ME  MH �2 MI (1) Kẻ MK  AB , xét MKE BAI có ( Góc có cạnh tương ứng vng góc ) �Bˆ1  Mˆ    � �MK  BA �ˆ ˆ o �K  A  90 � MKE  BAI � ME  BI ( ) Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán Từ  1  2 suy BI �2MI  BÀI 10 Vẽ phía ngồi tam giác hình vng cạnh cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1) Các đoạn thẳng nối trung điểm cạnh tam giác với tâm hình vng dựng hai cạnh vng góc với 2) Đoạn thẳng nối tâm hai hình vng vng góc với đoạn thẳng nối tâm hình vng thứ ba với đỉnh chung hai hình vng trước Lời giải 1) Vì A�là tâm hình vng cạnh BC nên Vì EF đường trung bình ABC nên A� D BC EF  BC D  EF (1) Vây A� Chứng minh tương tự: FD  EB�   (2) D  BC � A� D  FE (3) Có A� �FD P AC � FD  EB� � � AC  EB Lại có � (4) Từ � � EF  FDA  3 ,   � B�� (góc có cạnh tương ứng vng góc) Từ  1 ,    5 (5) ( c.g.c ) suy ADF  FEB� �� � FA�  FB�và FB  FD � FB�  FA� E� A� FD , mà EB� FB�có b) Xét AFA�và C � �AF  C ' F ( C’ tâm hình vng cạnh AB ) � FB '  FA '( cmt ) � �� � (góc có cạnh tương ứng vng góc) �AFA '  B ' FC ' � AFA�  C � FB� � B� C�  AA�và B�� C  AA�(cạnh tương ứng vng góc hai góc nhau) Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán  BÀI 11 Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi tam giác hình vng ABDE , ACFG có tâm theo tứ tự M , N Gọi I , K theo thứ tự trung điểm EG, BC 1) Chứng minh KMIN hình vng 2) Nếu tam giác ABC có BC cố định đường cao tương ứng h khơng đổi I chuyển động đường trịn nào? Lời giải 1) Xét AEC ABG có AE = AB � � � = BAG � EAC � � AC = AG � (góc có cạnh tương ứng vng góc) � AEC  ABG � EC  BG EC  BG (cạnh tương ứng vng góc) Lại có: MK đường trung bình BEC nên MK  CE MK // CE NK đường trung bình CGB nên NK  BG NK // BG Do MK  KN MK  KN Tứ giác KMIN có MK  KN MK  KN nên hình vng 2) Do EA  AB EA // PG nên PG  AB �PG  AB � � � PGA  BAC � GA  AC � Xét PGA BAC có �PG  BA( EA) �� � � PGA  BAC �PGA  BAC �AG  AC � (c-g-c) � PA  BC PA  BC (cạnh tương ứng vng góc hai góc nhau) Suy I chuyển động đường thẳng song song với BC , cách BC khoảng h BC  BÀI 12 Cho tứ giác ABCD Gọi E , F , H theo thứ tự tâm hình vng có cạnh AB, BC , CD , DA dựng phía ngồi tứ giác Chứng minh Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán 1) Tứ giác EFGH có hai đường chéo vng góc với 2) Trung điểm đường chéo tứ giác ABCD, EFGH đỉnh hình vng Lời giải 1)Gọi K trung điểm AC , theo 10 phần a ) ta có KE  KF , KE  KF , KH  KG KH  KG , suy FKH  EKG (c.g.c) Suy FH  EG FH  EG 2) Gọi M , N thứ tự trung điểm HF , EG KM , KN đường trung tuyến tương ứng hai tam giác trên, KM  KN , KM  KN Vậy MKN vuông cân tai K Gọi I trung điểm BD , chứng minh tương tự, IMN vng cân I Do IMKN hình vng  BÀI 13 Cho bốn điểm E , G, F , H Dựng hình vng ABCD có bốn đường thẳng chứa cạnh qua bốn điểm E , G, F , H Lời giải Phân tích Qua G , vẽ GI  EF , cắt CD K K  FF � E nên GK  EF Ta dựng Ta có GG � HK làđường thẳng chứa cạnh hình vng Cách dựng + Dựng đường thẳng GI vng góc với EF I + Dựng điểm K GI cho GK  EF + Dựng đường thẳng AD, BC qua E , F vng góc với HK D, C + Dựng đường thẳng qua G vng góc với AD, BC A, B Biện luận Qua G , vẽ GI  EF , Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Tốn Hình 199 Các điểm I , K thuộc đường phải tìm vì: với K SIAB  SICD  1 S ABD  SBCD  S ABCD 2 đối Ta chứng minh M thuộc đoạn thẳng IK “Dồn” đoạn thẳng AB, CD E Trên tia EA lấy EG  AB , tia ED lấy EH  CD Ta có: SIHG  SEHG  S IHEG  S IHE  S IGE  SICD  SIAB  S ABCD SKHG  SEHG  S KHEG  S KHE  S KGE  S KCD  SKAB  S ABCD S MHG  S EHG  S MHEG  S MHE  S MGE  S MCD  S MAB  Từ  1 ,    3 suy ra: S ABCD  1  2  3 S IGH  S KGH  S MGH Do khoảng cách từ I , K , M đến HG nên I , K , M thuộc đường thẳng song song với HG Các điểm M nằm phần đường thẳng IK thuộc miền tứ giác ABCD Để chứng minh N thẳng hàng với IK , ta chứng minh: Thật vậy, SNHG  S EHG  SNHE  SNGE  S NCD  S NAB  Nhóm word tài liệu Trang SNHG  S EHG  S ABCD 1  SFCD  SFAB   S ABCD 2  4 Dự án 1: Tự học Toán Chú ý: Cách khác giải câu a)  h.200  Hình 200 Ta thấy, trung điểm I BD điểm thuộc đường phải tìm Ta có: Mà S AMB  S CMD  S AIB  S CID  S ABCD S ABCD Nên SAMB  S CMD  S AIB  S CID S  S CQM  S API  S DQI Trừ S1  S2 , ta được: PBM ( P giao điểm AM BD , Q giao điểm DM CI ) Cộng thêm S3  S4 , ta được: SBIM  S CIM  SAIM  SDIM Ta lại có: S BIM  S DIM nên S CIM  S AIM Suy đường cao CC �bằng đường cao AA� CC �là hình bình hành Do A� C ' qua trung điểm AC , tức IM qua Như vậy, AA� trung điểm AC Vậy M nằm đường thẳng qua trung điểm hai đường chéo tứ giác ABCD (phần thuộc miền tứ giác)  Bài 17 : Cho hình chữ nhật ABCD cố định Tìm tập hợp điểm M cho: 2 2 a/ MA  MC  MB  MD b/ MA  MC  MB  MD  Lời giải Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Tốn Hình 201 2 2 Đẳng thức: MA  MC  MB  MD phẳng, ln ln Tập hợp phải tìm tồn mặt  2 MA  MC  MB  MD �  MA  MC    MB  MD   1 � MA2  MC  2.MA.MC  MB  MD  2.MB.MD � 2.MA.MC  2.MB.MD  3 � MA.MC  MB.MD Từ (1), (3) suy ra:  MA  MC    MB  MD  Do đó: MA  MC  MB  MD  4 Hoặc: MA  MC  MD  MB  5 Từ  4  2 suy ra: MA  MB , M thuộc đường trung trực AB Từ  5  2 suy ra: MA  MD , M thuộc đường trung trực AD Vậy tập hợp điểm M phải tìm hai trục đối xứng hình chữ nhật Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Tốn Bài SỬ DỤNG CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH ĐỂ THIẾT LẬP QUAN HỆ VỀ ĐỘ DÀI CỦA CÁC ĐOẠN THẲNG Tóm tắt lý thuyết Các cơng thức diện tích cho ta quan hệ độ dài đoạn thẳng, chúng có ích để giải nhiều tốn Một số ví dụ Ví dụ Cho tam giác Chứng minh điểm thuộc miền tam giác tổng khoảng cách từ đến ba cạnh tam giác chiều cao tam giác Quan hệ thay đổi điểm thuộc miền tam giác?  Lời giải , MB� , MC �là khoảng cách từ Gọi a h cạnh chiều cao tam giác ABC , MA� M đến BC , AC , AB Nếu M thuộc miền tam giác thì: S MBC  S MAC  S MAB  S ABC Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán � 1 1 BC.MA�  AC.MB�  AB.MC �  BC AH 2 2 � a a  MA� MB� MC �   h 2 � MA�  MB�  MC � h Nếu M thuộc miền tam giác ABC thuộc miền góc A (miền 2) thì: S MAC  S MAB  S MBC  S ABC a a a a � MB�  MC �  MA�  h 2 2 � MB�  MC �  MA� h Tương tự: - Nếu M thuộc miền tam giác ABC thuộc miền góc B (miền 3) thì: MA�  MC �  MB� h - Nếu M thuộc miền tam giác ABC thuộc miền góc C (miền 4) thì: MA�  MB�  MC � h  MB�  MC � h - Nếu M thuộc miền góc đối đỉnh với góc A (miền 5) thì: MA�  MA�  MC � h - Nếu M thuộc miền góc đối đỉnh với góc B (miền 6) thì: MB� Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán  MA�  MB� h - Nếu M thuộc miền góc đối đỉnh với góc C (miền 7) thì: MC � Ví dụ Các điểm nằm cạnh hình bình hành cho Gọi giao điểm Chứng minh tia phân giác  Lời giải Kẻ DH  IA H, DK  IC K Ta có: � S AFD  SCED  S ABCD 1 DH AF  DK CE 2 � DH  DK  doAF  CE  � d thuộc tia phân giác � AIC � Vậy ID tia phân giác AIC Ví dụ Cho tam giác có , điểm nằm Chứng minh tổng khoảng cách từ từ đến lớn đường cao kẻ từ nhỏ đường cao kẻ từ tam giác Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán  Lời giải Gọi AH , CK đường cao tam giác ABC Kẻ AE CF vng góc với BD Đặt S ABC  S AE  Ta có: Nên 2S S ABD , CF  CBD BD BD AE  CF  Ta lại có: AH  2S BD 2S 2S , CK  BC AB � Do A �90�nên AB  BD  BC , đó: AH  AE  CF  CK Bài tập tự luyện  Bài 1: Có tam giác mà độ dài ba đường cao cm, cm, cm không?  Lời giải Giả sử tồn tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c thỏa mãn u cầu tốn Khi đó, ta có 3a  4b  7c (cùng hai lần diện tích tam giác) 3a  4b  7c � Ta có: Suy ra: a a b c a  b  c 84 P     1 1 1 61   7 28 P 21P 12 P ,b  ,c  61 61 61 Do đó, ta có a  b  c, b  c  a, c  a  b hay a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Vậy tồn tam giác mà độ dài ba đường cao cm, cm, cm Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán  Bài 2: Độ dài hai cạnh tam giác 6cm 4cm, nửa tổng chiều cao ứng với hai cạnh chiều cao ứng với cạnh thứ ba Tính độ dài cạnh thứ ba  Lời giải Giả sử tam giác có độ dài ba cạnh lần lược a, b  6cm, c  4cm , hb , hc độ dài ba đường cao tương ứng tam giác Khi đó, ta có: aha  bhb  chc � a  hb  hc  h h h h  6hb  4hc � b c  b  c 1 a 1   � a  4,8cm Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a Vậy độ dài cạnh thứ ba tam giác 4,8cm  Bài 3: Chứng minh tam giác tam giác vuông chiều cao , hb , hc thỏa 2 �ha � �ha � � � � � h h mãn điều kiện: �b � � c �  Lời giải Gọi S diện tích tam giác, ta có: �ha � �ha � � � �hb � �hc �2S �a � � � �2S � � �b 2 � �2S � �a � �2S � � � �c � 2 � �b � �c � 2 � � � � � � � b  c  a �a � �a � � � Suy tam giác cho tam giác vng  Bài 4: Tính cạnh tam giác có ba đường cao 12 cm, 15 cm 20 cm  Lời giải Giả sử tam giác ABC có độ dài ba đường cao  12cm, hb  15cm, hc  20cm tương ứng với ba cạnh a, b, c Khi đó, ta có : 2 2 2 12 � �12 � �b � �c � �ha � �ha � � � � � � � � � � � � � � 15 � �20 � �a � �a � �hb � �hc � � � b2  c2  � tam giác ABC vuông A 2 2 Do đó, ta có: AB  15cm, AC  20cm, BC  AB  AC  15  20  25cm Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán 1    Bài 5: Gọi , hb , hc ba đường cao tam giác, chứng minh hb hc  Lời giải Gọi a, b, c ba cạnh tương ứng với đường cao , hb , hc S diện tích tam giác a bc� Ta có: S 2S S 1   �   hb hc hb hc  Bài 6: Tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c chiều cao tương ứng , hb , hc Biết a   b  hb  c  hc Chứng minh tam giác ABC tam giác  Lời giải Xét a   b  hb , ta có: a  b  hb   2S 2S ab �1 �   S �  � S b a ab �b a � � 2S � �  a  b � 1 � � ab � � a  b S ab Suy tam giác ABC cân C vuông C  1 Tương tự, tam giác ABC cân B vuông B  2 tam giác ABC cân A vuông A  3 Xảy  1 ,    3 tam giác ABC  Bài 7: Cho điểm O thuộc miền tam giác ABC Các tia AO, BO, CO cắt cạnh tam , B� , C� giác ABC theo thứ tự A� Chứng minh : OA� OB� OC �   1 AA� BB� CC � ; OA OB OC   2 AA� BB� CC � (bài tốn Giec-gơn, nhà Tốn học Pháp) ; M OA OB OC   �6 OA� OB� OC � Tìm vị trí O để tổng M có giá trị nhỏ ; Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán N OA OB OC �8 OA�OB �OC � Tìm vị trí O để tích N có giá trị nhỏ  Lời giải Gọi S diện tích tam giác ABC , kí hiệu S1 , S2 , S3 hình vẽ S S  S3 OA S    , � S1 Ta có: OA SOA�C SOA�B  1 OA� SOA�C SOA�B SOA�C  SOA�B S1     AA� S AA�C S AA�B S AA�C  S AA�B S Từ     OA� S  S3  suy ra: AA� S OA� OB� OC � S1 S S3       1 Ta có: AA� BB� CC � S S S OA OB OC S  S3 S3  S1 S1  S       S S AA� BB� CC � S Ta có: M OA OB OC   OA� OB� OC �  S  S3 S3  S1 S1  S2   S1 S2 S3 �S S � �S S � �S S �  �  � �  � �  � �S S1 � �S3 S � �S1 S3 � Nhóm word tài liệu Trang  2 Dự án 1: Tự học Toán �2    Đẳng thức xảy O trọng tâm tam giác ABC Ta có: N OA OB OC OA�OB�OC �   S2  S3   S3  S1   S1  S2  S1S2 S3  S  S3   S3  S1   S1  S2   2  S1S2 S3  �N 2 4S S 4S S 4S S � 3 2  64  S1S2 S3  Suy ra: N �8 Đẳng thức xảy O trọng tâm tam giác ABC  Bài 8: Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm M nằm đáy tam giác cân đến hai cạnh bên khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M cạnh đáy Kết có thay đổi điểm M thuộc đường thẳng chứa cạnh đáy không phụ thuộc cạnh đáy ?  Lời giải Gọi a độ dài cạnh bên h độ dài đường cao ứng với cạnh bên tam giác ABC cân A , Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán Kẻ: MH  AB H , MK  AC K Khi M nằm đoạn BC , ta có: 1 a.MH  a.MK  a.h � MH  MK  h 2 S AMB  S AMC  S ABC � Vậy tổng khoảng cách từ M đến hai cạnh bên chiều cao ứng với cạnh bên Khi M nằm ngồi đoạn BC, ta có: 1 a.MK  a.MH  a.h � MK  MH  h 2 S AMC  S AMB  S ABC � Vậy hiệu khoảng cách từ M đến hai cạnh bên chiều cao ứng với cạnh bên  Bài 9: Cho tam giác ABC cân A Tìm tập hợp điểm M thuộc miền tam giác nằm cạnh tam giác, cho khoảng cách từ điểm M đến BC tổng khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh  Lời giải Gọi MD, ME , MF khoảng cách từ điểm M đến AB, AC , BC Theo đề bài, ta có :  1 MD  ME  MF  BC Qua M vẽ IK // BC Vẽ IH  AC , II �  2 Ta có : MD  ME  IH  3 MF  II � Từ  1 ,    3 suy : IH  II � � CI đường phân giác tam giác ABC Tương tự BK Vậy tập hợp điểm M đoạn thẳng IK nối chân hai đường phân giác BK , CI  Bài 10: Cho tam giác ABC cố định có chiều cao h Tìm tập hợp điểm M có tổng m  h khoảng cách đến ba cạnh tam giác độ dài m không đổi   Lời giải Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán Xét điểm M thuộc miền ví dụ 1, tập hợp phải tìm cạnh lục giác (như hình vẽ) '  BC , MB�  AB, MC �  AC , ta có : Chẳng hạn với M thuộc miền 2, kẻ MA� MA�  MB�  MC � m � MB�  MC �  MA�  2MA� m ' � h  MA�  m  doMB�  MC �  MA�  h � MA�  mh �  Bài 11: C điểm thuộc tia phân giác xOy có số đo 600, M điểm nằm � đường vng góc với OC C C thuộc miền xOy Gọi MA, MB theo thứ tự khoảng cách từ M đến Ox, Oy Tính độ dài OD theo MA, MB  Lời giải Gọi E , F giao điểm đường thẳng MC vớicác tia Ox, Oy (hình vẽ) Khi đó, tam giác OEF Gọi a độ dài cạnh tam giác OEF Ta có: SOEF  SOME  SOMF 1 � a.OC  a.MA  a.MB 2 � OC  MA  MB Vậy: OC  MA  MB Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán , B� , C�  Bài 12: Cho tam giác ABC , đường cao AD, BE , CF Gọi A� hình chiếu điểm M (nằm bên tam giác ABC ) AD, BE , CF Chứng minh điểm M thay đổi vị trí tam giác ABC thì: D  B� E  C� F không đổi a/ Tổng A�  BB�  CC �không đổi b/ Tổng AA�  Lời giải Kẻ MH  BC , MI  AC , MK  AB Khi đó, ta có : MH  A� D, MI  B� E , MK  C � F Gọi h độ dài đường cao tam giác ABC Theo ví dụ 1, ta có : MH  MI  MK  h � A� D  B� E  C� F h D  B� E  C� F không đổi Vậy tổng A� Theo kết câu a, ta có: AA�  BB�  CC �  AD  A� D  BE  B� E  CF  C � F   AD  BE  CF    A� D  B� E  C� F  3h  h  2h D  B� E  C� F không đổi Vậy tổng A� , B� ,C�  Bài 13: Cho tam giác ABC , A� theo thứ tự hình chiếu điểm M (nằm bên tam giác ABC ) BC , AC , AB Các đường thẳng vng góc với AB B , vng góc với BC C , vng góc với CA A cắt D, E , F Chứng minh rằng: Tam giác DEF tam giác đều;  BC �  CA� Tổng AA� khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M tam giác ABC  Lời giải (1) Ta có Ta có Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán �  BAC �  CAE �  180� FAB �  60� 90� 180  FAB �  30� � FAB �� AFB  60� o � � Tương tự, ta có AEC  CDB  60 � Tam giác DEF tam giác (2) Kẻ MH  DE , MI  EF , MK  FD Khi đó, , MI  AB� , MK  BC � ta có MH  CA� Gọi h độ dài đường cao tam giác DEF Theo ví dụ 1, ta có MH  MI  MK  h � AB�  BC �  CA� h  BC �  CA�khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M tam giác ABC Vậy tổng AB� Nhóm word tài liệu Trang ... Ta có Ta có  2n Ta tìm n  180 o  Aˆ  2570o  n  2 � nên Aˆ   n   � 180 o  2570o Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Toán 5   n  2 � 180  2570  180 � 16  n  17 o ˆ 18 18. .. 4 ;6? ?? n Có Chẳng hạn ngũ giác nửa lục giác Nhóm word tài liệu Trang Dự án 1: Tự học Tốn Ta có 180 o  n  2 � 360 �N � 180  �N � 360 Mn n n 32 � Phân tích 360 thừa số nguyên tố ta 360  � Số 360 ... chứng minh (a  b  c  d )2 �4(a  c)(b  d )(* ) (* ) � ( x  y ) �4 xy � ( x  y) �0 (luôn đúng) Thật vậy, đặt x  a  c, y  b  d , 2 Vậy (a  b  c  d )2 �4(a  c )(b  d ) �16S Dấu "="