TỰ học TOÁN 8 PHẦN 5 ( Câu Hỏi và có lời giải chi tiết)

Chương TỨ GIÁC Bài Tứ giác Tóm tắt lý thuyết Phương pháp giải: Định nghĩa Tứ giác ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC , CD, DA hai đoạn thẳng không nằm đường thẳng  Các tứ giác nghiên cứu chương tứ giác lồi, tứ giác ln nằm mặt phẳng mà bờ đường thẳng chứa bát kì canh tứ giác Khi nói đến tứ giác mà khơng thích thêm, ta hiểu tứ giác lồi o Tính chất Tổng bốn góc tứ giác 360 Một số ví dụ BÀI TẬP MẪU  Ví dụ o ˆ ˆ � Tứ giác ABCD có B  D  180 , CB  CD Chứng minh AC tia phân giác góc A  Lời giải Trên tia đối tia DA lây diềm E cho DE  AB o � o � ˆ � ˆ � Ta có B  ADC  180 , EDC  ADC  180 nên B  EDC �Aˆ1  Eˆ � �AC = EC  Ta có ABC  EDC (c.g.c) Suy (1) Tam giác ACE có AC  EC nên tam giác cân, Aˆ  Eˆ    Từ (1) (2) suy AC tia phân giác góc A Bài tập tự luyện  Bài Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc, AB  8 cm, BC  7 cm, AD  4 cm Tính độ dài CD  Lời giải Gọi O giao điểm AC BD Ta có: OC  OD  OB  OA2  BC  AD   42  65 2 OA  OB  AB  64 2 Suy OC  OD  hay CD  Vậy CD   Bài o o � ˆ ˆ Tứ giác ABCD có A  B  50 Các tia phân giác góc C D cắt I CDI  115 � � Tính góc A B  Lời giải o o ˆ ˆ ˆ ˆ Ta tính C  D  130 , A  B  230 o ˆ ˆ Ta lại có A  B  50 o ˆ o ˆ Từ A  140 , B  90  Bài Cho tứ giác ABCD, E giao điểm đường thẳng AB CD, F giao điểm đường thẳng BC AD Các tia phân giác góc E F cắt I Chứng minh o � o � 1) Nếu BAD  130 , BCD  50 IE vng góc với IF 2) Góc EIF nửa tổng hai cặp góc đối đỉnh tứ giác ABCD  Lời giải 1) Cách giải tổng quát áp dụng câu b 2) Giả sử E F có vị trí hình bên, tia phân giác góc E F cắt I Trước hết ta chứng �  Cˆ  EIF � minh BAD Thật vậy, gọi H K giao điểm FI với AB CD Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có �  Hˆ   , Cˆ  Kˆ   BAD 1 nên � C �H � K �  ( EIF �  � )  ( EIF �  � )  EIF � BAD   �  BAD �  Cˆ : EIF Do  Bài Chứng minh M giao điểm đường chéo tứ giác ABCD MA  MB  MC  MD nhỏ chu vi lớn nửa chu vi tứ giác  Bài So sánh độ dài cạnh AB đường chéo AC tứ giác ABCD biết chu vi tam giác ABD nhỏ chu vi tam giác ACD  Lời giải �AB  CD  AC  BD � Cộng vế �AB  BD �AC  CD Suy AB  AC � AB  AC  Bài Tứ giác ABCD có O giao điểm hai đường chéo, AB  6, OA  8, OB  4, OD  Tính độ dài AD  Lời giải � � 2 � �x  �x  y  36 � �� � 2 ( x  4)  y  64 � �y  135 � Kẻ AH  OB Đặt BH  x, AH  y Ta có hệ � 135 AD  HD  AH  11, 52   166 Do Vậy AD  166  Bài Cho năm điểm mặt phẳng khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh có thể chọn bốn điểm đỉnh tứ giác lồi  Lời giải Xét bốn điểm A, B, C , D Nếu bốn điểm đỉnh tứ giác lồi tốn chứng minh xong Nếu bố điểm khơng đỉnh tứ giác lồi tồn điểm (giả sử điểm ) nằm tam giác có đỉnh ba điểm cịn lại (hình bên) Chia mặt phẳng thành chín miền hình vẽ, điểm thứ năm E nằm bên miền (vì năm điểm khơng có ba điểm thẳng hàng).Nếu E thuộc miền 1, 4,8 , ta chọn bốn điểm A, D, B Nếu E thuộc miền 2, 5, ta chọn E A, D, C Nếu E thuộc miền 3, 6,9 ta chọn E , B , D, C Bài HÌNH THANG Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song Định nghĩa Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy Tính chất Trong hình thang cân, hai cạnh bên nhau, hai đường chéo Để chứng minh hình thang hình thang cân, ta chứng minh hình thang có hai góc kề đáy nhau, hoăc có hai đường chéo Định nghĩa Đoạn thẳng nối chung điểm hai cạnh bên hình thang đường trung bình hình thang Tính chất Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai đường trung bình hình thang Một số ví dụ BÀI TẬP MẪU  Ví dụ Cho tam giác ABC có BC  a Các đường trung tuyến BD, CE Lấy điểm M , N cạnh BC cho BM  MN  NC Gọi I giao điểm AM BD, K giao điểm AN CE Tính độ dài IK  Lời giải Dễ thấy DN đường trung bình ACM nên DN P AM �BM  MN � Trong BND có �MI P ND nên I trung điểm BD Tương tự K trung điểm CE Hình thang BEDC có I K trung điểm hai đường chéo nên dễ dàng chứng minh a BC  DE a  a IK    2  Ví dụ Một hình thang cân có đường cao nửa tổng hai đáy Tính góc tạo hai đường chéo hình thang ABCD  AB PCD   Lời giải , đường cao BH Xét hình thang cân BH  AB  CD (1) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC , cắt DC �BE  AC � Ta có �AC  BD nên BE  BD Tam giác BDE cân B, đường cao BH E nên DE (2) Ta có AB  CE nên AB  CD  CE  CD  DE (3)  1 ,    3 suy BH  DH  HE Từ o � Các tam giác BHD, BHE vuông cân H nên DBE  90 DH  HE  �BD  BE � Ta có �AC P BE nên DB  AC Bài tập tư luyên  Bài Cho hình thang có hai đáy khơng Chứng minh 1) Tổng hai góc kề đáy nhỏ lớn tổng hai góc kề đáy lớn 2) Tổng hai cạnh bên lớn hiệu hai đáy  Lời giải Qua đỉnh đáy nhỏ, kẻ đường thẳng song song với cạnh bên hình thang  Bài ˆ ˆ Hình thang ABCD có A  D  90 , đáy nhỏ AB  11 cm, AD  12 cm, BC  13 cm Tính độ dài AC  Lời giải Kẻ BH  CD Ta tính CH  5 cm, CD  16 cm Từ  20 cm  Bài Hình thang ABCD  AB PCD  o � có E trung điểm BC , AED  90 Chứng minh DE tia phân giác góc D  Lời giải Gọi K giao điểm AE DC ABE  KCE  g.c g  Khi Suy AE  EK Vậy ADK cân Từ DE phân giác góc D  Bài ABCD  AB PCD  Hình thang cân có đường chéo BD chia hình thang thành hai tam giác cân ABD cân A tam giác BCD cân D Tính góc hình thang cân  Lời giải o � Đặt ADB  x Ta tìm x  36 o o o o Các góc hình thang 72 ,72 ,108 ,108  Bài Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M ( MA  MB ) Trên nửa mặt phẳng có bờ AB, vẽ tam giác AMC , BMD Gọi E , F , I , K theo thứ tự trung điểm CM , CB, DM , DA Chứng minh EFIK hình thang cân KF  CD  Lời giải o � � Chứng minh EF P KI , EKI  FIK  60 CD KF  EI  Suy  Bài Cho điểm M nằm bên tam giác ABC Chứng minh ba đoạn thẳng MA, MB, MC đoạn lớn nhỏ tổng hai đoạn  Lời giải Qua M vẽ MD P AB , vẽ ME P BC , vẽ MF P AC , ba hình thang cân, MA  DE , MB  EF , MC  DF đoạn thẳng MA, MB, MC độ dài cạnh DEF nên đoạn lớn nhỏ tổng hai đoạn  Bài Cho tam giác ABC , trọng tâm G , B� , C �là hình chiếu 1) Vẽ đường thẳng d qua G , cắt đoạn thẳng AB, AC Gọi A� , BB� , CC � A, B, C d Tìm mối liên hệ độ dài AA� 2) Nếu đường thẳng d nằm ngồi tam giác ABC G�là hình chiếu G d , BB� , CC � , GG�có liên hệ gì? độ dài AA�  Lời giải 1) Lấy điểm I đường trung tuyến AM cho I trung điểm AG Kẻ AA� , BB� , CC � , II � , MM � vng góc với d  BB�  CC � Khi AA� 2) Gọi BE đường trung tuyến VABC , M trung điểm BG , BB� , CC � , EE � , GG � , MM � vuông Vẽ AA� góc với D Ta có: MM �  EE �  2GG� �  2 MM �  EE �  4GG� �  BB�  GG �  AA�  CC �  4GG � � AA�  BB�  CC �  3GG �  Bài Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M N ( M nằm A N ) Vẽ phía AB tam giác dều AMD, MNE , BNF Gọi G trọng tâm tam giác DEF Chứng minh khoảng cách từ G đến AB khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M , N đoạn AB  Lời giải Gọi K giao điểm AD, BF ABK Trước hết chứng minh tổng khoảng cách từ D, E , F dến AB đường cao KH  h KAB (h khơng đối) h Do khoảng cách từ G đến AB  Bài Tứ giác ABCD có E , F theo thứ tự trung điểm AD, BC AB  CD EF � 1) Chứng minh 2) Tứ giác ABCD có điều kiện EF  AB  CD  Lời giải 1) Gọi K trung điểm AC AB  CD EF � Ta có EF �KF  KE , từ 2EF �AB  CD nên 2) Ta có EF  AB  CD � E, K , F thẳng hàng � AB ∥ CD  Bài 10 Tứ giác ABCD có AB  CD Chứng minh đường thẳng qua trung điểm hai đường chéo tạo với AB CD góc  Lời giải Gọi M trung điểm AD, I , K trung điểm AC , BD Đường thẳng IK cắt AB, CD E , F Kˆ  Iˆ Tam giác MIK cân nên 1 Ta lại có Lại có Vậy Kˆ  Eˆ1 (so le trong, AB∥ KM ) Iˆ1  Fˆ1 (so le trong, IM ∥ CD ) Eˆ1  Fˆ1  Lời giải  Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Gọi I , K hình chiếu vng góc H lên AB, AC M trung điểm BC Chứng minh AM  IK Tự học Tốn Nhóm word hóa tài liệu Tự học Toán Gọi O, N giao điểm AH , AM với IK �  MCK � ;OKA �  OAK � MAK Ta có � � � � nên MAK  OKA  MCK  OAK  90 Do AM  IK  BÀI Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo, H hình chiếu � � � vng góc A lên OD Biết DAH  HAO  OAB , chứng minh ABCD hình chữ nhật Lời giải o � Kẻ OK  AB K Ta chứng minh BAD  90 Thật vậy, ta có � �  90o  OAH � � AOK  90o  OAK AOH AOK   g  c  g  Do AOH  , suy OK  OH � � Vì OH  OD, DAH  OAH nên ADO cân A , OH  OD Mà ABCD hình bình hành nên OB  OD , OK  OK  OH  OB OB o o � � nên OBK  30 � OAB  30 Xét tam giác OKB vuông K có o � o � Do BAH  60 , BAD  90 Vậy ABCD hình chữ nhật  BÀI Cho tam giác ABC có trực tâm H I giao điểm đường trung trực Gọi E điểm đối xứng A qua I Chứng minh BHCE hình bình hành Lời giải ABC nên IA  IB  IC Vì I giao điểm đường trung trực Nhóm word hóa tài liệu Tự học Tốn Mà IA  IE nên IA  IB  IC  IE Xét tam AE , CI  giác AEC có I trung điểm nên ACE vng C � CE  AC AE Mà BH  AC nên BH // CE Xét tam giác AEB có I trung điểm AE nên VABE vuông B � BE  AB Mà CH  AB nên CH // BE AE , BI   1   ta suy BHCE hình bình Từ hành  BÀI Cho tam giác ABC vng A( AB  AC ) có đường cao AH Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE  AB Gọi M trung điểm BE Chứng minh HM tia phân giác � góc AHC Lời giải Kẻ EK  BC K , EI  AH I � IHKE hình chữ nhật, IE  HK o � � � � Mà EAI  HAB  90  HAB  HBA � � Nên HBA  EAI Lại có AB  AE nên AHB  EIA � AH  IE  HK Vì tam giác BAE , BKE vuông M trung điểm BE nên AM  KM  BE AHM  KHM  c  c  c  Do � �� AHM  KHM , suy HM tia phân � giác góc AHC  BÀI Cho hình thang cân o � ABCD có AB // CD, ACD  60 O giao điểm hai đường chéo Gọi E , F , G theo thứ tự trung điểm OA, OD, BC Tam giác EFG tam giác gì? Vì sao? Lời giải Nhóm word hóa tài liệu Tự học Tốn ABCD hình thang cân nên ACD  BDC Vì o o � � (c.g.c) Mà ACD  60 nên BDC  60 Khi tam giác OAB, OCD tam giác Vì E , F trung điểm OA, OD nên BE  OA, CF  OD EF  1 AD  BC 2  1 Xét tam giác BEC , BFC vng E , F có G trung điểm BC nên EG  FG  BC  2 Từ  1  2 ta suy EFG tam giác  BÀI Gọi H hình chiếu vng góc đỉnh B lên đường chéo AC hình chữ nhật ABCD M , K trung điểm AH , CD Gọi I , O trung điểm AB, IC Chứng minh � Tính số đo góc BMK MO  IC Lời giải 1/ Vì ABCD hình chữ nhật I , K trung điểm AB, CD nên BIKC hình chữ nhật Do O trung điểm CI , BK Xét tam giác IMC vng M có MO  IC 2/ Xét tam giác MBK có o � nên BMK  90 MO  1 IC  BK 2  BÀI Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c , chu vi p đường cao tương ứng h, m, n Chứng minh 2 a) (b  c) �a  4h Nhóm word hóa tài liệu Tự học Toán 2 2 c) h  m  n �p b) h �p  p  a  Lời giải Qua A kẻ đường thẳng d song song với BC gọi D điểm đối xứng B qua d a) Ta có BD  2h Xét tam giác vuông BCD B có BD  BC  CD � AD  AC  � 4h2  a  (b  c)2 (1) b) Từ (1) suy 4h � b  c   a   b  c  a   b  c  a   4( p  a ) Do h �p ( p  a) c) Tương tự câu b) ta có kết ta m �p  p  b  h  m2  n �p  p  a  p  b  p  c   p n �p  p  c  Cộng CD Aˆ  Dˆ  90o, AB  AD  Qua điểm E thuộc cạnh  BÀI Cho hình thang vng ABCD có AB , kẻ đường thẳng vng góc với DE , cắt BC F Chứng minh ED  EF Lời giải Kẻ BH  CD tai H � ABHD hình vng, BH  a DH  a � CH  a Ta có BH  HD  CH  a � BCD vuông B Gọi M trung điểm DF ta có M EM  BM  DF � tam giác MEB, MFB cân �  45o � � DBH ABC  135o Vì ABHD hình vng nên o o � � � � � � 135o  90o Lại có MEB  MFB  MBE  MBF  EBF  135 , EMF  360  � Xét tam giác DEF có EM trung tuyến, đồng thời đường cao nên DEF cân E nên ED  EF o �  BÀI Cho hình chữ nhật ABCD có BDC  30 Qua C kẻ đường thẳng vng góc với BD E cắt tia phân giác góc � ADB M Gọi N , K hình chiếu M lên AD, AB 1/ Chứng minh AMBD hình thang cân 2/ Chứng minh ba điểm N , K , E thẳng hàng Nhóm word hóa tài liệu Tự học Tốn Lời giải 1) Vì N , K hình chiếu M lên AD, AB nên ANMK hình chữ nhật o o � � Vì BDC  30 nên ADB  60 �  BDC �  30o( �� ADM  MDB DM tia � phân giác BDC ) � Vì DE phân giác MDC DE  MC nên DMC tam giác cân D � DE đường trung trực MC � BM  BC o o o � � � Vì BDC  30 nên DBC  60 Mà CEB  90 o � nên BCE  30 o � �  30o 30o  120o � MBA Do CBM  180  � o o � � � � Vì MCB  MDA  30 nên MCD  MDC  60 , MCD cân M � MK đường trung trực CD (vì MD  AB nên MD  CD) Từ ta có MK trục đối xứng hình chữ nhật ABCD � MK đường trung trực AB , MA  MB Do MA  MB  BC  AD (1) o � � � Lại có AMD  ADM  MDB  30 nên AM // BD ( 2) Từ (1) (2) ta suy AMBD hình thang cân � 2) Vì M nằm tia phân giác góc NDE nên MN  ME Mà NME cân M có o �  120o � NME nên MNE  30 (3) o � � � Lai có MNAK hình chữ nhật nên MNK  MAK  ABD  30 (4) Từ (3) (4) ta suy N , K , E thẳng hàng  BÀI 10 Cho hình chữ nhật ABCD 2 2 1) Chứng minh M điểm nằm ABCD MA  MC  MB  MD 2) Kết có thay đổi khơng điểm M nằm ngồi hình chữ nhật? Lời giải Nhóm word hóa tài liệu Tự học Toán 1/Kẻ đường ME  AD, MG  AB, MF  BC , MH  CD (như hình vẽ bên) Ta có  1  2 MA2  MC  ME  MG  MF  MH MB  MD  MF  MG  ME  MH Từ  1  2 2 2 suy MA  MC  MB  MD ABCD ta 2) Trường hợp M nằm ngồi hình chữ nhật có hình vẽ bên Khi MA (3) MC ME  EA2 MF FC MB MD MF  FB ME ED (4) Từ (3) (4) suy MA  MC  MB  MD Vậy M nằm ngồi hình chữ nhật ABCD kết không thay đồi 2 2  BÀI 11 Cho tam giác ABC Vẽ phía ngồi tam giác ABC hình chữ nhật ABDE , ACFG , BCHK Chứng minh đường trung trực EG , FH , KD đồng quy Lời giải Gọi M giao điểm đường trung trực đoạn thẳng FH , DK Ta có MA2  MD  ME  MB MB  MH  MK  MC MC  MG  MF  MA2 Cộng kết ta MD  MH  MG  ME  MK  MF Vì MD  MK , MH  MF Nên MG  ME Do M nằm đường trung trực đoạn thẳng GE Vậy đường trung trực EG, FH , KD đồng quy Nhóm word hóa tài liệu Tự học Tốn Bài HÌNH THOI Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa Hình thoi tứ giác có bốn cạnh Định lí Trong hình thoi Hai đường chéo vng góc với Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi Hệ Dấu hiệu nhận biết Tứ giác có bốn cạnh hinh thoi Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi Một số ví dụ o � o �  Ví dụ Cho tứ giác ABCD có A  40 , D  80 , AD  BC Gọi E F trung điểm AB � � CD Tính EFD, EFC Lời giải Nhóm word hóa tài liệu Tự học Toán Gọi M , N theo thứ tự trung điểm BD, AC Ta có NF đường trung bình ADC nên � NFC  � ADC  80o, MF đường trung bình �  BCD �  40o BDC nên MFD �  180o  80o  40o  60o MFN Suy Tứ giác EMFN có bốn cạnh nên   hình thoi o o � � Do F1  F2  60 :  30 Vây �  30o  40o  70o, EFC �  30o  80o  110o EFD Bài tập tư luyện  BÀI Xác định dạng tứ giác, biết 1/ Tứ giác có hai trục đối xứng vng góc với khơng qua đỉnh tứ giác 2/ Tứ giác có hai trục đối xứng hai đường chéo Lời giải Giả sử tứ giác ABCD có hai trục đối xứng vng góc d1 d hình vẽ Khi d1 đường trung trực AB CD nên AB // CD d đường trung trực AD BC nên AB // BC Lại có d1  d � AB  BC Vậy ABCD hình chữ nhật 2/ Do BD trục đối xứng nên BD đường trung trực AC Nên DA  DC , BA  BC AC  BD Do AC trục đối xứng nên AC đường trung trực BD nên AD  AB Vậy ABCD hình thoi Nhóm word hóa tài liệu Tự học Toán  BÀI Cho ABC Điểm D thuộc cạnh AB , điểm E thuộc cạnh AC cho BD  CE Gọi I , K , M , N theo thứ tự trung điểm BE , CD, BC , DE 1/ Tứ giác MINK hình gì? Vì sao? 2/ Chứng minh IK vng góc với tia phân giác At góc A Lời giải 1/ Có  MK đường trung bình CBD (1)  NI đường trung bình EBD (2) Từ (1) (2) suy MK // NI // DB , MK  IN  BD nên MINK hình bình hành  3 Lại có NK đường trung bình DEC EC  BD , suy NK  IN   Từ  3   , suy MINK hình thoi 2/ Gọi G, H theo thứ tự giao điểm MN với AC , BD � G �  MI // CE � M 1 (hai góc so le trong) �  Hˆ (  MK // BD � M hai góc so le trong) � �  Mà M  M (tính chất hình thoi) (3)  1 ,   � (3) suy AHG cân A Mà At phân giác BAC � � � BAt AHG � At // HG (do hai góc vị trí đồng vị) Từ Lại có HG  IK � IK  At o  BÀI Cho hình bình hành ABCD, AB  AD, D  70 Gọi H hình chiếu B AD, M trung điểm CD Tính số đo góc HMC Lời giải Nhóm word hóa tài liệu Tự học Toán �MN // DA � Gọi N trung điểm AB , có �DA  BH � MN  BH MN qua trung điểm BH � MN đường trung trực � M � BH � M � � o � � Lại có M  M NMC  ADM  70 Vậy �  3� HMC 35o  150o  BÀI Gọi O giao điểm đường chéo hình thoi ABCD, E F theo thứ tự hình chiếu O BC CD Tính góc hình thoi biết EF phần tư đường chéo hình thoi Lời giải  Xét trường hợp EF  BD Gọi I trung điểm OB EOB vuông E nên BO  EF � EFOI hình thoi, suy OEF cân F , lại có OE  OF nên OEF EI  �  60o � ECF �  120o � � � EOF ABC  60o Vậy EF  BD o ˆ o ˆ ˆ ˆ C  A  120 , B  D  60 Xét trường hợp EF  AC Nhóm word hóa tài liệu Tự học Toán o o � � � Gọi I trung điểm OC � EF  EI  IF � IEF CIF  30 � CIF  30 � IOF o �  15o � Dˆ  30o  Bˆ ˆ ˆ 15o � ODF A  C  150  BÀI Trên cạnh AB, BC , CD, DA hình bình hành ABCD , lấy theo thứ tự điểm E , M , N , F cho BM  DN , BE  DF Gọi I , O, K theo thứ tự trung điểm EF , BD, MN 1) Chứng minh ba điểm I , O, K thẳng hàng 2) Trong trường hợp năm điểm A, I , O, K , C thẳng hàng? Lời giải 1/ Trước hết, ta chứng minh đường thẳng OI tạo với AB AD góc Thậy vậy, gọi Q trung điểm BF ta có Nhóm word hóa tài liệu Tự học Tốn  IQ đường trung bình OQ đường trung bình FBE � IQ  BE BFD � OQ  FD Mà BE  FD � QI  QO  Nếu ABCD hình thoi I , O, A thẳng hàng Tương tự K , O, C thẳng hàng Do năm điểm A, I , O, K , C thẳng hàng Nếu ABCD khơng hình thoi, ta có QIO cân Gọi G, H giao điểm OI với AD, AB Ta � � ˆ ˆ � ˆ ˆ ˆ có O  I , QIO  H (góc đồng vị) QOI  OGF (góc so le trong) nên G  H HG song song với tia phân giác Ax góc A Tương tự, OK song song với phân giác Cy góc C Nhưng Ax // Cy , I , O, K thẳng hàng  BÀI Tứ giác ABCD có đường chéo cắt O chu vi tam giác OAB, OBC , OCD , ODA Chứng minh ABCD hình thoi Lời giải Giả sử OC �OA, OD �OB Trên đoạn thẳng OC lấy điểm E , đoạn thẳng OD lấy điểm F cho OE  OA, OF  OB Tứ giác ABEF hình bình hành, chu vi OAB chu vi OEF Theo đề bài, chu vi OAB chu vi nên chu vi tam giác OEF OCD nhau, tức EF  EC  CD  DF Điều xảy C trùng E D trùng F Vậy ABCD hình bình hành Theo đề bài, chu vi OAB chu vi OBC , tức OA  AB  BO  OB  BC  CO mà OA  CO nên AB  BC , ABCD hình thoi  BÀI Gọi H trực tâm tam giác ABC , đường cao AD Lấy điểm M thuộc cạnh BC Gọi E F theo thứ tự hình chiếu M AB, AC Gọi I trung điểm AM Xác định dạng tứ giác DEIF Chứng minh đường thẳng MH , ID, EF đồng quy Lời giải Nhóm word hóa tài liệu Tự học Tốn 1/ DAM vng D , có DI đường trung tuyến nên EAM vng E , có EI đường trung tuyến nên DI  EI  AM AM (1) (2) � � � � Lại có MIE  IAE  IEA  IAE �  IAE �  IEA �  IAE � MIE �  DIM �  MIE �  2( IAD �  IAE � )  DAE �  60o    DIE Từ  1 ,    3 suy DIE Chứng minh tương tự DIF (4)    Từ (4) (5), suy DEIF hình thoi b) Gọi O giao điềm ID EF Cần chứng minh M , O, H thẳng hàng Gọi N trung điểm AH , ta có OH đường trung bình DIN � OH // IN IN đường trung bình AMH � MH // IN Suy OH MH song song với IN hay H , O, M thẳng hàng Vậy HM , ID, EF đồng quy Nhóm word hóa tài liệu ...  AB � AB  AH  162 2 2 Từ (2 ) (3 ) Ta có AB  AD  16   1 75 Từ (1 ) (4 ) ta AB   6 25  1 75  :  400 � AB  20 cm (2 ) (3 ) (4 ) AD   6 25  1 75  :  2 25 � AD  15? ?cm  VÍ DU Cho tam giác minh... HB  16 cm  Lời giải Ta có BD  BH  HD  16   25 cm Xét tam giác ABD vng A có AB  AD  152  6 25 Xét tam giác ADH vng H có AH  HD  AD � AD  AH  92 Xét tam giác AHB vng H có AH  HB ... dựng có đủ điều kiện mà tốn địi hỏi Lời giải đầy đủ tốn dựng hình gồm bốn phần: 1) Phân tích Giả sử có hình thỏa mãn điều kiện tốn Có thể vẽ thêm hình làm xuất yếu tố nêu đề làm xuất hình có thể