TỰ học TOÁN 8 PHẦN 1 ( Câu Hỏi và có lời giải chi tiết)

Tự học tốn TỰ HỌC TỐN MỤC LỤC PHẦN ĐẠI SỐ CHƯƠNG 1: Phép nhân phép chia đa thức Nhân đa thức ……………………………………………………………………………… A- Lý thuyết ………………………………………………………………………………… B- Bài tập …………………………………………………………………………………… Các đẳng thức đáng nhớ ………………………………………………………………… Phân tích đa thức thành nhân tử ………………………………………………………….…… A- Tóm tắt lý thuyết………………………………………………………………………… B- Phân loại dạng toán phương pháp giải…………………………………………… C- Bài tập tự luyện ………………………………………………………………………… Chia đa thức…………………………………………………………………………………… A- Tóm tắt lý thuyết ………………………………………………………………………… B- Phân loại dạng toán phương pháp giải…………………………………………… C- Bài tập tự luyện ………………………………………………………………………… CHƯƠNG 2: Phân thức đại số Tính chất phân thức, rút gọn phân thức…………………………………………… A- Tóm tắt lý thuyết ………………………………………………………………………… B- Ví dụ……………………………………………………………………………………… Các phép tính phân thức…………………………………………………………………… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………… B- Các dạng toán …………………………………………………………………………… C- Bài tập tự luyện ………………………………………………………………………… Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ……………………………………… A- Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử …………………………………… B- Phương pháp thêm bớt hạng tử …………………………………………… C- Phương pháp hệ số bất định ……………………………………………………………… D- Phương pháp xét giá trị riêng …………………………………………………………… E- Bài tập …………………………………………………………………………………… Tính chia hết số nguyên ………………………………………………………………… A- Chứng minh quan hệ chia hết …………………………………………………………… B- Tìm số dư ………………………………………………………………………………… C- Tìm điều kiện để chia hết ………………………………………………………………… D- Bài tập …………………………………………………………………………………… Tính chia hết đa thức ……………………………………………………………….… Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn A- Tìm dư phép chia mà khơng thực phép chia …………………………………… B- Sơ đồ Hoóc-ne …………………………………………………………………………… C- Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác ………………………………… D- Bài tập …………………………………………………………………………………… CHƯƠNG 3: Phương trình bậc ẩn Khái niệm phương trình Phương trình bậc …………………………………………… Phương trình tích ………………………………………………………………… …………… Phương trình chứa ẩn mẫu thức ……………………………………………………………… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………… B- Các ver ve ………………………………………………………………………………… C- Bài tập tự luyện …………………………………………………………………………… Giải tốn cách lập phương trình ……………………………………………………… CHƯĨNG 4: Bất phương trình bậc Liên hệ thứ tự phép cộng, phép nhân ………………………………………………… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………… B- Một số ví dụ ……………………………………………………………………………… Bất phương trình bậc ẩn ……………………………………………………………… A- Tóm tắt lí thuyết …………………………………………………………………………… B- Các dạng tốn ……………………………………………………………………………… Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối …………………………………… …… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………… B- Một số ví dụ ……………………………………………………………………………… Bất phương trình chứa ẩn dấu trị tuyệt đối ………………………………………… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………… B- Một số ví dụ ……………………………………………………………………………… Bất phương trình tích Bất phương trình thương ……………………………………………… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………… B- Một số ví dụ ……………………………………………………………………………… Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức …………………………………………………….…… A- Các tính chất bất đẳng thức ……………………………………………………… … B- Các bất đẳng thức ……………………………………………………………… … C- Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ………………………………………… … D- Bất đẳng thức với số tự nhiên ……………………………………………………….…… E- Vài điểm ý chứng minh bất đẳng thức …………………………………………… D- Áp dụng chứng minh bất đẳng thức vào giải phương trình ……………………………… Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức ……………………………………… Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn A- Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức ……………………………………… B- Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức chứa biến ……………………… C- Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức có quan hệ ràng buộc biến D- Các ý tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lón biểu thức …………………… E- Bài toán cực trị với số tự nhiên …………………………………………………………… PHẦN HÌNH HỌC CHƯƠNG 1: Tứ giác Tứ giác ………………………………………………………………………………………… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………… B- Một số tập …………………………………………………………………………… Hình thang ……………………………………………………………………………………… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………… B- Các dạng tốn ……………………………………………………………………….…… Dựng hình thước com pa ………………………………………………………….… A- Bài tập …………………………………………………………………………….……… Đối xứng trục …………………………………………………………………………… …… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………… B- Các dạng tốn ………………………………………………………………………….… C- Bài tập tự luyện ………………………………………………………………………… Hình bình hành ………………………………………………………………………………… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………… B- Các dạng tốn …………………………………………………………………………… C- Bài tập tự luyện ………………………………………………….……………………… Đối xứng tâm ……………………………………………… ………………………………… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………… B- Bài tập …………………………………………………………………………………… Hình chữ nhật ………………………………………………………………………………… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………… B- Bài tập …………………………………………………………………………………… Hình thoi ……………………………………………………………………………………… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………… B- Các dạng tốn …………………………………………………………………………… Hình vng ………………………………………………………………………………….… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………… B- Các dạng tốn …………………………………………………………………………… Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn CHƯƠNG 2: Đa giác – Diện tích đa giác Đa giác …………………………………………………………………………………… … A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………… B- Bài tập …………………………………………………………………………………… Diện tích đa giác …………………………………………………………… …………… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………… B- Bài tập …………………………………………………………………………………… CHƯƠNG 3: Chuyên đề Tìm tập hợp điểm ………………………….………………….…………….…………….… A- Hai tập hợp ………………………………………………………………… B- Các tập hợp điểm học ………………………………………………………………… C- Ví dụ ………………………………………………………………………….………… D- Thứ tự nghiên cứu trình bày lời giải tốn tìm tập hợp điểm ……………………… E- Phân chia trường hợp tốn tìm tập hợp điểm ……………………………… F- Bài tập ………………………………………………………………………….………… Sử dụng công thức diện tích để thiết lập quan hệ độ dài đoạn thẳng ……………… A- Các ví dụ ……………………………………………………………………………….… B- Bài tập …………………………………………………………………………………… CHƯƠNG 4: Tam giác đồng dang Định lý Ta-lét ………………………………………………………………………….……… A- Lí thuyết ………………………………………………………………………….……… B- Bài tập ………………………………………………………………………….………… Định lý Ta-lét đảo ………………………………………………………………… ……….… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………… B- Bài tập tự luyện …………………………………………………………………………… Tính chất đường phân giác tam giác ………………………………………………… …… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………….… B- Bài tập tự luyện ……………………………………………………………………….….… Các trường hợp đồng dạng tam giác ………………………………………………………… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………….… B- Các dạng toán ………………………………………………………………………….…… Dạng Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh …………………………………………………… Dạng Trường hợp cạnh - góc - cạnh …………………………………………………… Dạng Trường hợp góc - góc ……………………………………………………………… Dạng Phối hợp trường hợp cạnh - góc - cạnh góc - góc ……………………… … Dạng Dựng hình ………………………………………………………………………… Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông ………………………………………………… A- Các dạng tốn ………………………………………………………………………….…… Dạng Hai tam giác vng đồng dạng …………………………………………………… B- Tỉ số đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng …………………………… C- Ứng dụng thực tế tam giác đồng dạng ………………………………………………… CHƯƠNG 5: Hình lăng trụ đứng Hình chóp Hình hộp chữ nhật ………………………………………………………………………….…… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………….… B- Các dạng tốn ………………………………………………………………………….…… Dạng Hình hộp chữ nhật ………………………………………………………………… Dạng Diện tích …………………………………………………………………… …… Dạng Thể tích ………………………………………………………………………….… Dạng Các dạng khác …………………………………………………………………… CHƯƠNG 6: Đường thẳng mặt phẳng không gian Hình lăng trụ đứng ……………………………………………………………………………… A- Tóm tắt lí thuyết ………………………………………………………………………… B- Bài tập ………………………………………………………………………….……… … Hình chóp Hình chóp cụt ……………………………………………………………… A- Tóm tắt lí thuyết …………………………………………………………………………… B- Bài tập ………………………………………………………………………….……….… C- Tính đại lượng hình học cách lập phương trình ……………………………….… Tốn cực trị hình học ………………………………………………………………………….… A- Bài tốn cực trị ………………………………………………………………………….… B- Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị …………………………………….… C- Các ý giải tốn cực trị ………………………………………………………… … Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn PHẦN I ĐẠI SỐ Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn Chương PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC Bài NHÂN ĐA THỨC Tóm tắt lý thuyết Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn Để nhân đoen thức với đa thức ta thực nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng kết với A( B + C ) = A.B + A.C Để nhân hai đa thức ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng kết với ( A + B )(C + D ) = A.C + A.D + B.C + B.D Một số ví dụ  Ví dụ Tính giá trị biểu thức A = x − 17 x3 + 17 x − 17 x + 20 x = 16 Lời giải • Cách Chú ý x − 16 x = 16 nên x − 16 = , ta biến đổi để biểu thức chứa nhiều biểu thức dạng A = x − 16 x3 − x + 16 x + x − 16 x − x + 16 + = x3 ( x − 16 ) − x ( x − 16 ) + x ( x − 16 ) − ( x − 16 ) + = • Cách Trong biểu thức A , ta thay số 17 x +1 , 20 x+4 A = x − x ( x + 1) + x ( x + 1) − x ( x + 1) + x + = x − x − x + x + x − x − x + x + = 4 .   Ví dụ Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết cộng ba tích hai ba số ấy, ta 242 Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán Lời giải x − 1, x, x + Coi ba số tự nhiên liên tiếp Ta có: x ( x − 1) + x ( x + 1) + ( x − 1) ( x + 1) = 242 ⇔ 3x − = 242 ⇔ x = 81 Do x số tự nhiên nên x=9 Ba số tự nhiên cần tìm 8;9;10 Bài tập tự luyện  Bài Thực phép tính a) b) c) a) b) x n × ( x n −3 + 1) − x n × ( x n−3 − 1) 5n +1 − 4.5n 62 × 64 − 43 × ( 36 − 1) Lời giải x n ( x n −3 + 1) − x n ( x n −3 − 1) = 18 x n −3 + x n − 18 x n −3 + x n = x n n +1 − 4.5 = 5.5 − 4.5 = n n n n 62 × 64 − 43 ( 36 − 1) = (3.2)6 − ( 22 ) ( 36 − 1) = 36 × 26 − 26 × 36 + 26 = 26 c)  Bài Tìm a) b) c) d) x , biết 4(18 − x) − 12(3 x − 7) = 15(2 x − 16) − 6( x + 14) 5(3x + 5) − 4(2 x − 3) = x + 3(2 x + 12) + 2(5 x − 8) − 3(4 x − 5) = 4(3 x − 4) + 11 x − 3[4 x − 2(4 x − 3(5 x − 2))] = 182 Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn Lời giải a) ( 18 − x ) − 12 ( x − ) = 15 ( x − 16 ) − ( x + 14 ) 72 − 20 x − 36 x + 84 = 30 x − 240 − x − 84 156 − 56 x  = 24 x − 324 156 + 324 = 24 x + 56 x 80 x = 480 x=6 b) ( 3x + ) − ( x − 3) = x + ( x + 12 ) + 15 x + 25 − x + 12 = x + x + 36 + x + 37 = 11x + 37 x  = x=0 c) ( x − ) − ( x − ) = ( x − ) + 11 10 x − 16 − 12 x + 15 = 12 x − 16 + 11 −2 x − = 12 x − 5 − = 12 x + x 14 x = x  = 10 Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn Chương PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Bài TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC, RÚT GỌN PHÂN THỨC Tóm tắt lý thuyết A B B≠0 A B Phân thức đại số biểu thức có dạng , đa thức, Phân thức đại số có tính chất sau: - Nếu nhân tử thức mẫu thức phân thức với đa thức khác phân thức phân thức cho - Nếu chia tử thức mẫu thức phân thức cho nhân tử chung chúng phân thức phân thức cho Muốn rút gọn phân thức đại số, ta có thể: - Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử; - Chia tử thức mẫu thức cho nhân tử chung Một số ví dụ 78 Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn (a M=  Ví dụ Cho phân thức: + b + c ) ( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) ( a + b + c) 2 − ( ab + bc + ca ) a , b, c Tìm giá trị để phân thức xác định (tức để mẫu khác ) Rút gọn phân thức M Lời giải Ta có: ( a + b + c) − (ab + bc + ca) = ⇔ a + b + c + ab + bc + ca = ⇔ 2a + 2b + 2c + 2ab + 2bc + 2ca = ⇔ ( a + b ) + (b + c ) + (c + a ) = ⇔ a+b = b+c = c+a = ⇔a=b=c=0 Với điều kiện để phân thức Chú ý M xác định a , b, c không đồng thời (a + b + c) = a + b + c + ( ab + bc + ac ) a + b + c = x ab + bc + ca = y Do đó, ta đặt , Khi (a + b + c) = x + y Ta có x ( x + 2) + y x + xy + y ( x + y ) M= = = = x+ y x + 2y − y x+ y x+ y = a + b2 + c + ab + bc + ca  Ví dụ Rút gọn biểu thức: (b − c)3 + (c − a)3 + ( a − b)3 A= a ( b − c ) + b2 ( c − a ) + c2 ( a − b ) Lời giải Nhóm word hóa tài liệu 79 Tự học tốn Phân tích mẫu thức thành nhân tử: a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b ) = a ( b − c ) + b2 c − ab + ac − bc = a ( b − c ) + bc ( b − c ) − a ( b − c ) = ( b − c ) ( a + bc − ab − ac ) = ( b − c )  a ( a − b ) − c ( a − b )  = ( b − c) ( a − b) ( a − c) A= Do (b − c)3 + (c − a)3 + ( a − b)3 − ( a − b) ( b − c ) ( c − a ) Ta có nhận xét: Nếu Đặt x+ y+z =0 b − c = x, c − a = y , a − b = z thì A= x + y + z = xyz x+ y+z =0 Theo nhận xét x + y + z 3xyz = = −3 − xyz − xyz  Ví dụ Chứng minh với số nguyên n n phân số n + 2n n + 3n + phân số tối giản Lời giải Để chứng minh phân số cho tối giản, ta chứng tỏ tử mẫu có ước chung Gọi d Ta có: ước n + 2n n + 3n + ±1 n3 + 2n Md ⇒ n ( n3 + 2n ) Md ⇒ n + 2n Md (1) 80 Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán n + 3n + − ( n + 2n ) = n + 1Md ⇒ ( n + 1) = n + 2n + 1Md (n Từ (1) (2) suy ra: Vậy n + 2n n + 3n + (2) + 2n + 1) − ( n + 2n ) Md ⇒ 1Md ⇒ d = ±1 phân số tối giản  Ví dụ Chứng minh rằng: + x + x + x + + x 31 = (1 + x)(1 + x )(1 + x )(1 + x8 )(1 + x16 ) (1) Lời giải Gọi vế trái đẳng thức (1) Ta có: (1 − x) A = − x 32 A , vế phải B ( theo đẳng thức) (1 − x).B = (1 − x)(1 + x)(1 + x )(1 + x )(1 + x8 )(1 + x16 ) = − x 32 Nếu Nếu x ≠1 x =1 thì A A và B B − x32 32 Do Do A=B A=B Trong hai trường hợp, đẳng thức (1) Bài tập tự luyện  Bài Tìm giá trị a) x + x3 + x + x − x3 + x − x + x để phân thức sau : ; b) x4 − 5x2 + x − 10 x + Lời giải a) Phân thức x + x3 + x + x − x3 + x − x + tử thức mẫu thức khác 81 Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán x4 + x3 + x + = Ta có: ⇔ x ( x + 1) + ( x + 1) = ⇔ ( x + 1) ( x3 + 1) = ⇔ x = −1 x = −1 Thay Vậy x = −1 vào mẫu thức ta (−1)4 − (−1)3 + 2(−1) − ( −1) + ≠ thỏa yêu cầu b) Phân thức x4 − 5x2 + x − 10 x + tử thức mẫu thức khác x4 − 5x2 + = Ta có: ⇔ ( x − 1) ( x − ) = Với Với x2 = x2 = thay vào mẫu thức, ta thay vào mẫu thức, ta − 10 + = nên loại (4) − 10 ×4 + ≠ nên x = ±2 thỏa yêu cầu  Bài Rút gọn phân thức: A= a) 1235 ×2469 − 1234 1234 ×2469 B= ; b) 4002 1000 ×1002 − 999 ×1001 Lời giải a) Đặt x = 1234 A= Ta có ( x + 1) ( x + 1) − x x ( x + 1) + x + 2x2 + x + = 2x + 2x +1 =1 82 Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn b) Đặt x = 1000 B= Ta có = = 4x + x ( x + ) − ( x − 1) ( x + 1) ( x + 1) ( ) x2 + x − x2 − ( x + 1) 2x +1 =2  Bài Rút gọn phân thức: a) 3x3 − x + x − x3 − x − x + ; (x - y)3 - 3xy ( x+ y ) + y x + y + z − xy + xz − yz  b)     c)  x - 6y x − xy + y − z ; Lời giải 3x − x + x − ( 3x − 1) ( x − 1) 3x − = = 2 x − x − x + ( x + 3) ( x − 1) 2x + a) b) 2 2 ( x − y )3 − xy ( x + y ) + y = x − 3x y + 3xy − y − 3x y − xy + y x − 6y x−6 = x2 ( x − y) x − 6y = x2   c) x + y + z − xy + xz − yz ( x − y + z)2 x− y+z = = 2 x − xy + y − z ( x − y + z )( x − y − z ) x − y − z  Bài Rút gọn phân thức với a) ( n + 1) ! n !( n + ) ; n b) số tự nhiên: n! ( n + 1) !− n ! ; c) ( n + 1) !− ( n + ) ! ( n + 1) !+ ( n + ) ! 83 Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn Lời giải    a) ( n + 1) ! n !( n + ) = n !( n + 1) n !( n + ) = n +1 n+2 n! n! = = ( n + 1) !− n ! n!( n + − 1) n   b) ( n + 1) !− ( n + ) ! = ( n + 1) !− ( n + 1) !( n + ) = ( n + 1) !( −n − 1) ( n + 1) !+ ( n + ) ! ( n + 1) !+ ( n + 1) !( n + ) ( n + 1) !( n + 3)    c) = −n − n+3  Bài Rút gọn phân thức: a ( b − c ) + b2 ( c − a ) + c ( a − b ) a) c) ab − ac − b3 + bc x − y + z + xyz ( x + y )2 + ( y + z )2 + ( z − x)2 ; ; a2 ( b − c ) + b2 ( c − a ) + c ( a − b ) ab − ac − b + bc 2 d) = c) d) ( a − b) ( b − c) ( a − c) ( a − b) ( b − c) ( b + c) 2 x − x − 12 x + 45 ( x − 3) ( x + ) x + = = x − 19 x + 33 x − ( x − 3) ( x − 1) x − ; x + y + z − xyz ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x)2 Lời giải a) b) b) x − x − 12 x + 45 3x3 − 19 x + 33x − = a−c b+c ; ; x − y + z + 3xyz = ( x − y + z) 2 ( x + y ) + ( y + z ) + ( z − x) x + y + z − 3xyz = ( x + y + z) 2 ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x)  Bài Chứng minh phân số sau tối giản với số tự nhiên a) 3n + 5n + ; b) 12n + 30n + ; c) n n + 2n n + 3n + : ; d) 2n + 2n − 84 Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán Lời giải ( 3n + 1,5n + ) = d a) Giả sử 3(5n + 2) − ( 3n + 1) Md ⇒ 1Md ⇒ d = ±1 Ta có: Vậy phân số phân số tối giản ( 12n + 1) − ( 30n + ) Md ⇒ −1Md ⇒ d = ±1 Vậy phân số (n c) Giả sử: Ta có 3n + 5n + ( 12n + 1,30n + ) = d b) Giả sử Ta có (n Do Suy (n 12n + 30n + phân số tối giản + 3n + 1, n + 3n + 1) = d + 3n + 1) − n ( n3 + 2n ) = n + 1Md ) ( ) + 3n + − n + = n Md 1Md ⇒ d = ±1 Vậy phân số d) Giả sử n3 + n n + 3n2 + phân số tối giản d ∈ ( C ) ( 2n + 1, 2n − 1) ⇒ n ( 2n + 1) − ( 2n − 1) = n + 1Md ⇒ 2n + 2Md ⇒ ( 2n + ) − ( 2n + 1) = 1Md ⇒ d = ±1 85 Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán Vậy phân số 2n + 2n − phân số tối giản  Bài Chứng minh phân số n7 + n + n8 + n + không tối giản với số nguyên dương n Lời giải Ta có: n + n + = ( n + n + 1) ( n5 − n + n − n + 1) n8 + n + = ( n − n + n − n + 1) ( n + n + 1) Tử mẫu chứa thừa số n số nguyên dương n2 + n + lớn nên phân số n7 + n + n8 + n + không tối giản với  Bài Viết gọn biểu thức dạng phân thức: (x − x + 1) ( x − x + 1) ( x8 − x + 1) ( x16 − x8 + 1) ( x32 − x16 + 1) Lời giải Đặt A = ( x − x + 1) ( x − x + 1) ( x8 − x + 1) ( x16 − x + 1) ( x 32 − x16 + 1) Nhân biểu thức A với x2 + x + (x , ta được: + x + 1) ×A = ( x64 + x32 + 1) x 64 + x 32 +  Do x + x + ≠ 0 nên A = x + x +1 86 Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn  Bài Cho biết x, y , z khác (ax + by + cz )2 = a2 + b2 + c2 2 x +y +z minh Chứng a b c = = x y z Lời giải Ta có: (ax + by + cz )2  = a + b + c 2 2 x +y +z ⇔ ( ax) + (by ) + (cz ) + 2abxy + 2acxz + 2bcyz = ( a + b + c ) ×( x + y + z ) ⇔ ( ay − bx) + ( az − cx) + (bz − cy ) = Do ta được: Suy ay − bx =  az − cx = bz − cy =  a b c = = x y z  Bài 10 Cho biết ax + by + cz = A= Rút gọn bc ( y − z )2 + ca ( x − z )2 + ab ( x − y )2 ax + by + cz Lời giải Ta có:  B = bc ( y − z ) + ca ( z − x) + (bz − cy ) = = bcy + bcz + cax + abx + aby − ( bcyz + acxz + abxy ) Từ giả thiết ta suy Từ (1) (2) suy ra: a x + b y + c z + ( bcyz + acxz + abxy ) = (1) (2) B = ax ( b + c ) + by ( a + c ) + cz ( a + b ) + a x + b y + c z = ax ( a + b + c ) + by ( a + b + c ) + cz ( a + b + c ) = ( a + b + c ) ( ax + by + cz ) 87 Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn A= Do B = a+b+c ax + by + cz 2 A=  Bài 11 Rút gọn biểu thức x2 + y2 + z ( y − z ) + ( z − x )2 + ( x − y ) Lời giải , biết x+ y+z =0 x+ y+z =0 Ta có: ⇔ x + y + z + xy + xz + yz = ⇔ x + y + z = − ( xy + xz + yz ) A= Do đó: = x2 + y2 + z ( y − z ) + ( z − x )2 + ( x − y ) x2 + y + z 2 x + y + z − ( xy − xz − yz ) x2 + y2 + z = x2 + y2 + z2 ( ) = A=  Bài 12 Tính giá trị biểu thức x − y = xy ( y ≠ 0; x + y ≠ ) Ta có: Lời giải x− y x+ y , biết x − xy − y = ⇔ x + xy − xy − y = ⇔ x( x + y) − 2y ( x + y) = 88 Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán ⇔ ( x + y ) ( x − y ) = Do x+ y ≠0 nên A= x = y Vậy 2y − y y = = y + y 3y A=  Bài 13 Tính giá trị phân thức 3x − y 3x + y , biết x + y = 20 xy y < 3x < Lời giải Ta có A2 = Do x + y − 12 xy 20 xy − 12 xy xy = = = x + y + 12 xy 20 xy + 12 xy 32 xy y < x < ⇒ x − y > 0,3 x + y < ⇒ A <  Bài 14 Cho x − y = 3z 2x + y = 7z A=− Vậy M= Tính giá trị biểu thức x − xy ( x ≠ 0, y ≠ ) x2 + y Lời giải Ta có hệ: 3x − y = 3z x = 2z ⇔   y = 3z 2 x + y = z Thay vào biểu thức M M= ta được:  Bài 15 Tìm số nguyên a) d) 2x −1 x − 59 x+8 ; x z − ×2 z ×3z −8 z = =− 2 4z + 9z 13z 13 để phân thức sau có giá trị số nguyên: x +1 ; b) e) x+2 x2 + x − x +1 ; c) ; Lời giải 89 Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn a) Để b) Để 2x −1 có giá trị số nguyên 5x −1 x2 + x − ∈ { −3; −1;1;3} có giá trị số nguyên x − x +1 x + 1∈ { 1;5} c) Để d) Để x − 59 x +8 Do e) Đề x+2 x2 + có giá trị số ngun có giá trị số ngun x ∈ { −13; −9; −7; −3} x ∈ { −1; 0;1; 2} Do Do x ∈ { −2; 0; 2} x − x + 1∈ { −7; −1;1;7} Do x ∈ { −2; 0;1;3} x − 59Mx + ⇔ x − 64 + 5Mx + ⇔ 5Mx + có giá trị số nguyên x + 2Mx + ⇒ ( x + ) ( x − ) Mx + ⇒ x + − 8Mx + ⇒ 8Mx + Xét Xét x2 + = ⇔ x = (không thỏa) x + = ⇔ x = ±2 ; thử lại ta thấy  Bài 16 Tìm số hữu tỉ x để phân thức x = −2 10 x2 + thỏa u cầu tốn có giá trị số nguyên Lời giải Đặt 10 = k ∈Z x2 + Ta phải có k x2 = 10 − k k x2 = kx + k = 10 , ta có 10 − k ≤0 k nên có < k ≤ 10 nên 10 − k k Ta có bảng sau: 10 3 2 3 90 Nhóm word hóa tài liệu Tự học toán x∈Q Vậy ±2 ±3 1 x = ±3; ±2; ±1; ± ; ± ;0 ±1 ± ±  Bài 17 Chứng minh nên chữ số a , b, c khác thỏa mãn điều kiện ab : cbc = a : c abbb : bbbc = a : c Lời giải Ta có: abbb : c = ( 1000a + 111b ) c = 1000ac + 111bc = ac + 111c ( 9a + b ) a bbbc = a ( 1110b + c ) = ac + 1110ab Ta cần chứng minh 111c(9a + b) = 111ab , tức c(9a + b) = 10ab Theo giả thiết ta có ⇒ ( 10a +b ) c = ( 10b + c ) a abc = bc.a ⇒ 10ac +bc = 10ab + ac ⇒ 9ac + bc = 10ab ⇒ c( 9a + b) = 10ab  Bài 18 Điểm trung bình mơn Tốn học sinh nam nữ hai lớp 8A 8B thống kê bảng sau: Cả h 8,1 91 Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn 9,0 8,4 Tính điểm trung bình mơn Tốn học sinh hai lớp  Lời giải Gọi số học sinh nam nữ hai lớp 8A theo thứ tự c d theo thứ tự Ta cần tìm 7,6b + 9d b+ d a b , số học sinh nam nữ lớp 8B Ta có: 7,1a + 7,6b = 7,4 a+ b (1) 8,1c + 9d = 8,4 c+ d (2) 7,1a + 8,1c = 7.9 a+ c (3) Từ (1) suy b = 1,5a Từ (3) suy c = 4a Từ (2) suy d = 0,5c , d = 2a Ta được: 7,6b + 9d = 7,6.1,5a + 9a 1,5a + 2a = 8,4 b+ d Vậy điểm trung bình phải tìm 8,4 92 Nhóm word hóa tài liệu ...  Bài 19 Rút gọn biểu thức: x (2 x − 1) − 3x ( x + 3) ( x − 3) − x ( x + 1) a) b) ( 3x + 1) c) d) − ( x + 1) ( x + ) + ( x + ) ( + 1) ( 32 + 1) ( 34 + 1) ( 38 + 1) ( 316 + 1) ( 332 + 1) (a +... giải A=2 = 1 650 4 × − ×3 − + 315 6 51 105 6 51 315 ×6 51 105 2. 315 + 1 3.6 51 + 650 4.3 × − × − + 315 6 51 315 6 51 315 ×6 51 315  1   1   =  + −3 × + 12 × ÷× 4− ÷− × 315  615 315  6 51  315 ... + 1) ? ?10 0 + 80 (a + 1) + = 10 0a + 18 0 a + 81 n n 41 Nhóm word hóa tài liệu Tự học tốn = (1 0 a + 9) = (9 9 12 … 39) n +1 a = 11 {? ?1 n c) Đặt ta có 10 n = 9a + Do đó, C = 4a ? ?10 n + 8a + = 4a(9a + 1)