chuyen de trung diem cua doan thang

BÀI TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG Mục tiêu  Kiến thức + Nhận biết khái niệm trung điểm đoạn thẳng  Kĩ + Vận dụng tính chất trung điểm đoạn thẳng cơng thức cộng độ dài hai đoạn thẳng để tính độ dài đoạn thẳng + Chứng minh điểm trung điểm đoạn thẳng Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Trung điểm đoạn thẳng Định nghĩa Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm A, B cách A, B Cách vẽ trung điểm đoạn thẳng Cách Vẽ theo độ dài Để vẽ trung điểm M đoạn thẳng AB  a  cm  ta vẽ điểm M tia AB cho AM  a  cm  Cách Gấp giấy Gấp giấy cho điểm A trùng với điểm B Nếp gấp cắt đoạn AB trung điểm M AB SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA M trung điểm Định nghĩa MA  MB AB TRUNG ĐIỂM CỦA Đo đoạn thẳng AB Tính AM: AM  Vẽ điểm M đoạn AB ĐOẠN THẲNG Cách vẽ AB Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tính độ dài đoạn thẳng Phương pháp giải Áp dụng tính chất trung điểm đoạn thẳng công thức cộng độ dài hai đoạn thẳng  Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB MA  MB  AB  Nếu điểm M nằm hai điểm A B MA  MB  AB Ví dụ mẫu Ví dụ Trên tia Mx lấy hai điểm N P cho MN  cm; MP  cm Gọi I trung điểm NP Tính độ dài đoạn thẳng MI Hướng dẫn giải Trên tia Mx, ta có MP  MN nên điểm N nằm hai điểm M P Do NP  MP  MN    cm I trung điểm đoạn NP nên NI  IP  NP  cm Do N nằm M P; I nằm N P nên N nằm M I Khi ta có MI  MN  NI    cm Vậy MI  cm Ví dụ a) Trên đường thẳng xy lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự cho AB  cm; AC  12 cm Tính BC b) Gọi O trung điểm đoạn BC Tính OB;OC;OA Hướng dẫn giải a) Trên đường thẳng xy lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự nên điểm B nằm hai điểm A C Khi BC  AC  AB  12   cm b) Do O trung điểm BC nên OB  OC  BC  3,5 cm Do B nằm A C; O nằm B C nên B nằm A O Khi ta có AO  AB  BO   3,  8, cm Vậy BO  CO  3,5 cm; AO  8,5 cm Ví dụ Lấy ba điểm A,B,C đường thẳng xy cho AB  10 cm; AC  cm BC  16 cm a) Trong ba điểm A,B,C điểm nằm hai điểm cịn lại? Vì sao? Trang b) Gọi M trung điểm AC Tính MC c) Gọi N trung điểm đoạn thẳng CB Tính CN Hướng dẫn giải a) Nhận xét thấy AB  AC  BC 10   16  nên điểm A nằm hai điểm B C b) M trung điểm đoạn thẳng AC nên AM  MC  c) N trung điểm đoạn thẳng CB nên CN  BN  AC  cm BC  cm Ví dụ Trên đường thẳng xy lấy ba điểm A,B,C cho AB  24 cm; AC  cm BC  16 cm a) Trong ba điểm A,B,C điểm nằm hai điểm cịn lại? Vì sao? b) Lấy điểm M thuộc xy cho A trung điểm BM Tính BM AM Hướng dẫn giải a) Nhận xét thấy AC  BC  AB   16  24  nên điểm C nằm hai điểm A B b) A trung điểm MB nên AM  AB  MB mà AB  24 cm Từ suy AM  24 cm; BM  48 cm Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Trên tia Ox xác định hai điểm A B cho OA  cm; OB  cm a) Điểm A có nằm hai điểm O B khơng? Vì sao? b) So sánh hai đoạn thẳng OA AB Câu Lấy ba điểm A,B,C đường thẳng xy cho AB  cm; AC  cm BC  14 cm a) Trong ba điểm A,B,C điểm nằm hai điểm lại? Vì sao? b) Gọi M trung điểm AC Tính MC c) Gọi N trung điểm đoạn thẳng CB Tính NA Câu Trên đường thẳng xy lấy điểm O hai điểm A; B cho OA  cm; OB  cm (A B nằm khác phía O) Vẽ điểm M N đường thẳng xy cho A trung điểm OM, B trung điểm ON Tính độ dài đoạn thẳng MN Bài tập nâng cao Câu Cho đoạn thẳng MP  cm, N điểm nằm M P Gọi Q trung điểm MN R trung điểm NP Tính độ dài đoạn QR Trang Câu Trên tia Ax lấy ba điểm B,C,D cho CD  BC  AB Gọi I trung điểm đoạn BD a) Điểm I có nằm hai điểm B C khơng? Vì sao? b) Tính AI biết AD  14 cm Dạng Chứng minh điểm trung điểm đoạn thẳng Phương pháp giải Để chứng minh điểm M trung điểm đoạn thẳng AB ta cần chứng minh Cách + Điểm M nằm A B (hoặc AM  MB  AB ) MA  MB + Cách Chứng minh MA  MB  AB Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hai tia đối Ox Ox' Trên tia Ox lấy điểm A cho OA  cm Trên tia Ox' lấy điểm B cho OB  cm Hỏi O có trung điểm đoạn thẳng AB khơng? Vì sao? Hướng dẫn giải Hai điểm A B thuộc hai tia đối Ox Ox' nên điểm O nằm hai điểm A B Lại có OA  OB  cm Do O trung điểm đoạn thẳng AB Ví dụ Trên tia Ox xác định hai điểm A B cho OA  cm; OB  cm a) Điểm A có nằm hai điểm O B khơng? Vì sao? b) So sánh hai đoạn thẳng OA AB c) Điểm A có trung điểm đoạn thẳng OB khơng? Vì sao? Hướng dẫn giải a) Trên tia Ox ta có OA  OB    nên điểm A nằm hai điểm O B b) Do điểm A nằm hai điểm O B nên ta có OA  AB  OB suy AB  OB  OA    (cm) Vậy OA  AB c) Theo câu a) câu b), điểm A nằm hai điểm O B; OA  AB nên điểm A trung điểm đoạn thẳng OB Ví dụ Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA  cm; OB  cm Trang a) Trong ba điểm A, B, O điểm nằm hai điểm cịn lại? Vì sao? Tính AB b) Gọi C D trung điểm OA AB Tính AD; CD c) Lấy điểm E cho O trung điểm AE Hỏi A có trung điểm BE không? Tại sao? Hướng dẫn giải a) Trên tia Ox ta có OA  OB    nên điểm A nằm hai điểm O B Khi ta có OA  AB  OB suy AB  OB  OA    (cm) b) D trung điểm AB nên AD  DB  C trung điểm OA nên CO  CA  AB  (cm) OA  (cm) Do C nằm O A; D nằm A B; A nằm O B nên điểm A nằm C D Khi ta có CA  AD  CD hay CD  CA  AD    (cm) c) O trung điểm AE nên AE  2OA  2.2  (cm) O trung điểm AE nên điểm E O nằm phía so với điểm A (1) Theo câu a) điểm A nằm hai điểm O B nên hai điểm O B nằm khác phía so với điểm A (2) Từ (1) (2) suy hai điểm E B nằm khác phía so với điểm A Do A nằm E B Lại có AE  AB  cm Do A trung điểm đoạn thẳng BE Ví dụ Cho đoạn thẳng AB dài cm Gọi C trung điểm AB Lấy hai điểm D E thuộc đoạn thẳng AB cho AD  BE  cm Chứng tỏ C trung điểm DE Hướng dẫn giải C trung điểm đoạn thẳng AB nên CA  CB  AB  (cm) Điểm D thuộc đoạn thẳng AB nên thuộc tia AB Trên tia AB, có AD  AC   3 nên điểm D nằm hai điểm A C Do CD  AC  AD    (cm) Trên tia BA, có BE  BC   3 nên điểm E nằm hai điểm B C Do CE  BC  BE    (cm) Do điểm D nằm hai điểm A C nên A D nằm phía so với điểm C (1) Do điểm E nằm hai điểm B C nên B E nằm phía so với điểm C (2) Do điểm C nằm hai điểm A B nên A B nằm khác phía so với điểm C (3) Trang Từ (1), (2) (3) suy hai điểm D E nằm khác phía so với điểm C Hay điểm C nằm hai điểm D E Theo trên, CD  CE  (cm) Vậy C trung điểm DE Ví dụ Lấy hai điểm M, N lấy điểm A cho M trung điểm AN Lấy điểm B cho N trung điểm MB a) Chứng tỏ AB  3MN b) Gọi H trung điểm MN Vì H trung điểm AB? Hướng dẫn giải a) Do M trung điểm AN nên AN  AM  MN  2MN Do N trung điểm MB nên MN  NB M nằm A N nên A M nằm phía so với điểm N (1) N nằm M B nên M B nằm khác phía so với điểm N (2) Từ (1) (2) suy A B nằm khác phía so với điểm N Khi AB  AN  NB  MN  MN  3MN b) H trung điểm MN nên H nằm M, N MH  NH H nằm M N nên H nằm A B Chứng minh điểm M nằm A H nên AH  AM  HM ; N nằm hai điểm B H nên BH  BN  NH Lại có BN  AM   MN  MH  NH Do AH  BH Từ suy H trung điểm AB Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Trên tia Ax vẽ đoạn thẳng AB  cm; AC  cm a) Trong ba điểm A, B, C điểm nằm hai điểm cịn lại? Vì sao? b) Tính độ dài đoạn thẳng BC c) Trên tia đối tia Bx, lấy điểm D cho BD  cm Hỏi B có trung điểm đoạn thẳng CD khơng? Vì sao? Câu Trên đoạn thẳng AB dài cm, lấy điểm M cho AM  cm a) Tính độ dài đoạn thẳng MB b) Điểm M có phải trung điểm đoạn thẳng AB khơng? Vì sao? c) Trên tia đối tia AB lấy điểm K cho AK  cm So sánh MK với AB Trang Câu Trên đoạn thẳng AB  12 cm lấy điểm C cho AC  cm a) Điểm C có trung điểm đoạn thẳng AB khơng? Vì sao? b) Gọi M N trung điểm AC CB Tính MN Câu Trên tia Ox lấy hai điểm A B cho OA  cm; OB  cm a) Tính AB b) Trên tia Ox lấy OC  cm Trong ba điểm A, B, C điểm nằm hai điểm cịn lại? Tính BC, CA c) Điểm C trung điểm đoạn thẳng nào? Câu Trên đoạn thẳng AB  cm lấy điểm C cho AC  cm a) Điểm C có trung điểm đoạn thẳng AB khơng? Vì sao? b) Gọi M trung điểm AC Trên tia đối tia AB, lấy điểm D cho AD  cm Chứng minh D trung điểm đoạn thẳng AM c) Gọi N trung điểm CB Chứng minh C trung điểm đoạn thẳng MN d) Tính MN Câu Cho hai điểm M, N thuộc tia Ox cho OM  cm; ON  cm Điểm P thuộc tia đối tia Ox cho OP  cm a) Điểm M có nằm hai điểm O N khơng? Tại sao? Tính MN b) So sánh MN OP c) Gọi I trung điểm OM Tính IO IP d) Điểm I có trung điểm NP không? Tại sao? Bài tập nâng cao Câu Cho đoạn AB  cm Gọi O trung điểm AB Trên tia OA lấy điểm E, tia OB lấy điểm F cho OE  OF  cm Chứng minh O trung điểm EF AE  BF Câu Lấy hai điểm M, N lấy điểm A cho M trung điểm AN Lấy điểm B cho N trung điểm MB Chứng tỏ AB  3MN Trang ĐÁP ÁN Dạng Tính độ dài đoạn thẳng Bài tập Câu a) Trên tia Ox ta có OA  OB    nên điểm A nằm hai điểm O B b) Do điểm A nằm hai điểm O B nên ta có OA  AB  OB suy AB  OB  OA    (cm) Vậy OA  AB Câu a) Nhận xét thấy AB  AC  BC 10   16  nên điểm A nằm hai điểm B C b) M trung điểm đoạn thẳng AC nên AM  MC  c) N trung điểm đoạn thẳng CB nên CN  BN  AC  cm CB  cm Hai điểm A N thuộc đoạn CB nên chúng thuộc tia CB Lại có CA  CN    nên điểm A nằm hai điểm C N Do AN  AC  NC hay AN  NC  AC    (cm) Câu A trung điểm OM nên OM  2OA  (cm) B trung điểm ON nên ON  2OB  (cm) A nằm O M nên A M nằm phía so với điểm O (1) B nằm O N nên B N nằm phía so với điểm O (2) A B nằm khác phía so với điểm O (3) Từ (1), (2) (3) suy M N nằm khác phía so với điểm O Khi ta có OM  ON  MN hay MN  OM  ON    14 (cm) Vậy MN  14 cm Bài tập nâng cao Câu Trang N nằm M P nên MN  NP  MP  (cm) Q trung điểm MN nên QN  R trung điểm NP nên NR  Từ suy QN  NR  MN NP 1  MN  NP    (cm) 2 Q nằm M N nên M, Q nằm phía so với điểm N (1) R nằm N P nên R P nằm phía so với điểm N (2) Mặt khác, N nằm M P nên M P nằm khác phía so với điểm N (3) Từ (1), (2) (3) suy R Q nằm khác phía so với điểm N hay N nằm R Q Khi ta có QR  QN  NR  (cm) Câu a) Trên tia Ax lấy ba điểm B, C, D nên C nằm B D Theo giả thiết, CD  BC suy BD  BC  CD  3BC hay BC  BD I trung điểm BD nên I nằm B D BI  BD Hai điểm C I thuộc tia BD, BI  BC nên điểm C nằm hai điểm B I b) Theo giả thiết AD  AB  BD  AB  3BC  AB  AB  AB Suy AB  cm BD  12 cm Từ ta tính BI  cm Suy AI  AB  BI    cm Dạng Chứng minh điểm trung điểm đoạn thẳng Bài tập Câu a) Trên tia Ax, ta có AB  AC    nên điểm B nằm hai điểm A C b) Ta có BC  AC  AB    (cm) c) C thuộc tia Bx, D thuộc tia đối tia Bx nên B nằm C D Lại có BD  BC (  cm) nên B trung điểm đoạn thẳng CD Câu Trang 10 a) Điểm M thuộc đoạn AB nên M nằm A B Do MB  AB  AM    (cm) b) M nằm A B; MB  AM (  cm) nên M trung điểm đoạn AB c) K thuộc tia đối tia AB nên A nằm M K Khi MK  MA  AK    (cm) Do MK  AB Câu Trên đoạn thẳng AB  12 cm lấy điểm C cho AC  cm c) Điểm C có trung điểm đoạn thẳng AB khơng? Vì sao? d) Gọi M N trung điểm AC CB Tính MN a) Trên đoạn thẳng AB, ta có AC  AB   12  nên điểm C nằm hai điểm A B Lại có AC  AB nên điểm C trung điểm đoạn thẳng AB b) M trung điểm AC nên MC  AC  cm N trung điểm BC nên CN  CB  cm Từ ta tính MN  MC  CN    (cm) Câu a) Trên tia Ox có OB  OA    nên điểm B nằm hai điểm O A Khi AB  OA  OB    (cm) b) Trên tia Ox có OC  OA    nên điểm C nằm hai điểm O A hay hai điểm O A nằm khác phía so với điểm C (1) Trên tia Ox có OB  OC    nên điểm B nằm hai điểm O C hay hai điểm O B nằm phía so với điểm C (2) Từ (1) (2) suy A B nằm khác phía so với điểm C Do C nằm hai điểm A B C nằm O A nên AC  OA  OC    (cm) Trang 11 B nằm O C nên BC  OC  OB    (cm) c) Theo câu b), C nằm A B; AC  BC (  cm) nên C trung điểm đoạn thẳng AB Câu a) C thuộc đoạn AB nên C nằm A B Do BC  AB  AC    (cm) Suy AC  BC (  cm) Vậy C trung điểm đoạn thẳng AB b) M trung điểm AC nên M thuộc đoạn AB D thuộc tia đối tia AB nên A nằm D M M trung điểm AC nên AM  MC  AC  (cm) Từ đó, A nằm D M; AD  AM (  cm) nên A trung điểm DM c) N trung điểm CB nên CN  CB  (cm) Chứng minh C nằm M N Ta có C nằm M N; MC  NC (  cm) nên C trung điểm MN d) Do C trung điểm MN nên MN  MC  NC    (cm) Vậy MN  cm Câu a) Hai điểm M, N thuộc tia Ox OM  ON    nên điểm M nằm hai điểm O N Khi OM  MN  ON hay MN  ON  OM    (cm) b) MN  OP  cm c) I trung điểm OM nên IO  IM  OM  (cm) I trung điểm OM nên I thuộc tia Ox P thuộc tia đối tia Ox nên O nằm I P Khi ta có OP  OI  IP hay IP  OP  OI    (cm) d) O N nằm khác phía so với điểm I; O P nằm phía so với điểm I nên N P nằm khác phía so với điểm I Ta tính IN  cm Do IP  IN (  cm) Vậy I trung điểm đoạn thẳng NP Bài tập nâng cao Trang 12 Câu O trung điểm AB nên OA OB hai tia đối E, F thuộc hai tia đối gốc O nên O nằm E F Mặt khác theo giả thiết, OE  OF  cm suy O trung điểm EF O trung điểm AB nên OA  OB  AB  (cm) Trên tia OA có OA  OE   3 nên A nằm O E Từ AE  OE  OA  (cm) Trên tia OB có OB  OF   3 nên B nằm O F Từ BF  OF  OB  (cm) Vậy AE  BF Câu Do M trung điểm AN nên AN  AM  MN  MN Do N trung điểm MB nên MN  NB M nằm A N nên A M nằm phía so với điểm N (1) N nằm M B nên M B nằm khác phía so với điểm N (2) Từ (1) (2) suy A B nằm khác phía so với điểm N Khi AB  AN  NB  MN  MN  3MN Trang 13 ... C trung điểm DE Ví dụ Lấy hai điểm M, N lấy điểm A cho M trung điểm AN Lấy điểm B cho N trung điểm MB a) Chứng tỏ AB  3MN b) Gọi H trung điểm MN Vì H trung điểm AB? Hướng dẫn giải a) Do M trung. ..  cm Do A trung điểm đoạn thẳng BE Ví dụ Cho đoạn thẳng AB dài cm Gọi C trung điểm AB Lấy hai điểm D E thuộc đoạn thẳng AB cho AD  BE  cm Chứng tỏ C trung điểm DE Hướng dẫn giải C trung điểm...I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Trung điểm đoạn thẳng Định nghĩa Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm A, B cách A, B Cách vẽ trung điểm đoạn thẳng Cách Vẽ theo độ dài Để vẽ trung điểm M đoạn thẳng AB