PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Fly Education Thầy Hải Toán K/82/10/22 Nguyễn Văn Linh – Hải Châu – Đà Nẵng SĐT: 0905958921 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 2021 MỤC LỤC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §0 – Công thức lượng giác cần nhớ §1 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC §2 – §3 – §4 – A KIẾN THỨC CẦN NHỚ B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng Tìm tập xác định hàm số lượng giác Dạng Tính chẵn lẻ hàm số Dạng Tìm giá trị lớn - giá trị nhỏ C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 13 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 17 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 19 Dạng Giải phương trình lượng giác 19 Dạng Giải phương trình lượng giác dạng mở rộng 21 Dạng Giải phương trình lượng giác có điều kiện xác định 22 Dạng Giải phương trình lượng giác khoảng (a; b) cho trước 24 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 26 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 29 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 29 B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 30 Dạng Giải phương trình bậc hàm số lượng giác 30 Dạng Giải phương trình bậc hai hàm số lượng giác 33 Dạng Giải phương trình bậc sinx cosx 37 Dạng Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx 41 Dạng Phương trình chứa sin x ± cos x sin x · cos x 43 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 45 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC A i/63 17 48 PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 48 Dạng Biến đổi đưa phương trình dạng phương trình bậc hai (ba) hàm số lượng giác 48 Dạng Biến đổi asinx + bcosx 49 Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Chương ii MỤC LỤC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH Dạng Biến đổi đưa phương trình tích 50 Dạng Một số toán biện luận theo tham số 51 B §5 – ĐỀ ƠN TẬP CUỐI CHƯƠNG 57 A Đề số 57 B Đề số 60 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ 63 Gv Ths: Phạm Hùng Hải §6 – BÀI TẬP TỰ LUYỆN 55 ii/63 Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 Chươ ng HÀM SỐ SỐ LƯỢNG LƯỢNG GIÁC GIÁC VÀ VÀ HÀM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIÁC PHƯƠNG LƯỢNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCTRÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1) Đường trịn lượng giác dấu giá trị lượng giác sin x Góc (I) (II) (III) (IV ) GTLG sin α + + − − cos α + − − + tan α + − + − cot α + − + − (Nhất - Nhị sin - Tam tan - Tứ cos) y + π (II) (I) cos x x 2π π −1 O (III) (IV ) 3π −1 − 2) Công thức lượng giác sin α cos α 1 + tan2 α = cos2 α cos α sin α 1 + cot2 α = sin α Cung (góc) đối Cung (góc) bù cos(−α) = cos α sin(π − α) = sin α sin(−α) = − sin α cos(π − α) = − cos α tan(−α) = − tan α tan(π − α) = − tan α cot(−α) = − cot α cot(π − α) = − cot α Cung (góc) phụ π sin − α = cos α π cos − α = sin α π tan − α = cot α π cot − α = tan α sin2 α + cos2 α = tan α · cot α = tan α = cot α = 3) Cung góc liên kết 1/63 Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường BÀI CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ Cơng thức lượng giác cần nhớ Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH Cung (góc) π cos(π + α) = − cos α sin(π + α) = − sin α tan(π + α) = tan α cot(π + α) = cot α π Cung (góc) π sin + α = cos α π cos + α = − sin α π tan + α = − cot α π + α = − tan α cot 4) Công thức cộng Gv Ths: Phạm Hùng Hải sin (a ± b) = sin a · cos b ± cos a · sin b cos (a ± b) = cos a · cos b ∓ sin a · sin b tan a + tan b tan a − tan b tan (a + b) = tan (a − b) = − tan a · tan b + tan a · tan b + tan x π − tan x π +x = tan −x = Hệ quả: tan − tan x + tan x 5) Công thức nhân đôi - hạ bậc - nhân ba Nhân đôi sin 2α = sin α · cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − = − sin2 α tan α tan 2α = − tan2 α cot2 α − cot 2α = cot α Hạ bậc − cos 2α sin2 α = sin 3α = sin α − sin3 α + cos 2α cos 3α = cos3 α − cos α cos2 α = − cos 2α + cos 2α + cos 2α cot2 α = − cos 2α tan2 α = Nhân ba tan 3α = tan α − tan3 α − tan2 α 6) Cơng thức biến đổi tổng thành tích a−b a−b a+b a+b cos a + cos b = cos · cos cos a − cos b = −2 sin · sin 2 2 a+b a−b a+b a−b sin a + sin b = sin · cos sin a − sin b = cos · sin 2 2 sin(a + b) sin(a − b) tan a + tan b = tan a − tan b = cos a · cos b cos a · cos b sin(a + b) sin(b − a) cot a + cot b = cot a − cot b = sin a · sin b sin a · sin b Đặc biệt √ √ π π sin x + cos x = sin x + sin x − cos x = sin x − 4 √ √ π π cos x − = = − cos x + 4 7) Cơng thức biến tích thành tổng cos a · cos b = 2/63 1 [cos(a − b) + cos(a + b)] sin a · sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 sin a · cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gv Chun Tốn 10 - 11 - 12 & LTĐH BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A – KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số y = sin x ○ Tập xác định: D = R y ○ Tập giá trị: [−1; 1], tức −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R ○ Hàm số y = sin x hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng − π2 −π x Đồ thị hàm số y = sin x ○ Hàm số y = sin x tuần hồn với chu kì T = 2π, nghĩa sin(x + k2π) = sin x, với k ∈ Z π π Hàm số y = cos x ○ Tập xác định: D = R ○ Tập giá trị: [−1; 1], tức −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R y − π2 −π π ○ Hàm số y = cos x hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng ○ Hàm số y = cos x hàm số tuần hồn với chu kì T = 2π, nghĩa cos(x + k2π) = cos x, với k ∈ Z x π Đồ thị hàm số y = cos x Hàm số y = tan x π ○ Điều kiện cos x = ⇔ x = + kπ, k ∈ Z π Tập xác định: D = R\ + kπ, k ∈ Z y ○ Tập giá trị: R ○ Là hàm số lẻ ○ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, nghĩa tan(x + kπ) = tan x, với k ∈ Z 3/63 −π − π2 O π π x Hàm số y = cot x Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH ○ Điều kiện sin x = ⇔ x = kπ, k ∈ Z Tập xác định: D = R \ {kπ, k ∈ Z} y ○ Tập giá trị: R ○ Là hàm số lẻ ○ Là hàm số tuần hồn với chu kì T = π, nghĩa cot(x + kπ) = cot x, với k ∈ Z −π 3π − π2 O x π π Một số trường hợp đặc biệt Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = sin x Gv Ths: Phạm Hùng Hải sin sin sin B cos O sin x = ⇔ x = π + k2π A cos O A cos O B sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π sin x = ⇔ x = kπ Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = cos x B A A O sin sin sin cos O cos x = ⇔ x = k2π O cos B cos x = ⇔ x = cos x = −1 ⇔ x = π + k2π cos π + kπ B – PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Dạng Tìm tập xác định hàm số lượng giác Để tìm tập xác định hàm số lượng giác ta cần nhớ: ○ y = tan f (x) = π sin f (x) ĐKXĐ −−−−−−−−−−−−−→ cos f (x) = ⇔ f (x) = + kπ, k ∈ Z cos f (x) ○ y = cot f (x) = cos f (x) ĐKXĐ −−−−−−−−−−−−−→ sin f (x) = ⇔ f (x) = kπ, k ∈ Z sin f (x) ○ Một số trường hợp tìm tập xác định thường gặp: ○ y= 4/63 ĐKXĐ −−−−−−−−→ P(x) = P(x) ○ y= 2n ĐKXĐ P(x) −−−−−−−−→ P(x) ≥ Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ○ y= 2n Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH ĐKXĐ −−−−−−−−→ P(x) > P(x) Khi tìm tập xác định, ta xem có mẫu khơng? có tan, cot khơng? có khơng? ○ Với k ∈ Z, ta cần nhớ trường hợp đặc biệt: π + k2π ○ + sin x = −1 ⇔ x = − π + k2π + sin x = ⇔ x = kπ + cos x = ⇔ x = k2π ○ + cos x = −1 ⇔ x = π + k2π π + cos x = ⇔ x = + kπ π + kπ ○ + tan x = −1 ⇔ x = − π + kπ + tan x = ⇔ x = kπ π + kπ π ○ + cot x = −1 ⇔ x = − + kπ π + cot x = ⇔ x = + kπ + sin x = ⇔ x = Ą Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau đây: a) y = sin x + cos x b) y = + cos x − cos x c) y = + cos 2x sin x d) y = + cos x + sin x e) y = sin x − cos x + f) y = sin x + cos x + g) y = sin x + sin x − h) y = √ j) y = − cos x sin x − sin x + √ cos x − k) y = + cos x i) y = sin … l) y = x−1 x+2 + cos x − cos x ɓ Lời giải 5/63 Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường + cot x = ⇔ x = + tan x = ⇔ x = HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH Ą Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau đây: a) y = tan x + b) y = tan 2x − sin x c) y = cot x + π +1 Gv Ths: Phạm Hùng Hải ɓ Lời giải Ą Ví dụ Tìm tất giá trị m để hàm số sau có tập xác định R a) y = √ m − cos x b) y = √ sin x − m c) y = sin x − cos x + m ɓ Lời giải Ą Ví dụ Tìm tất giá trị m để hàm số y = cos2 x − (2 + m) · cos x + 2m có tập xác định R ɓ Lời giải 6/63 Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dạng Tính chẵn lẻ hàm số Bước Tìm tập xác định D hàm số lượng giác Nếu ∀x ∈ D −x ∈ D, suy D tập đối xứng chuyển sang bước Bước Tính f (−x), nghĩa ta thay x −x, có hai kết thường gặp sau: ○ Nếu f (−x) = f (x) f (x) hàm số chẵn ○ Nếu f (−x) = − f (x) f (x) hàm số lẻ ○ Nếu D không tập đối xứng (∃x ∈ D ⇒ −x ∈ D) ( f (−x) = f (x) f (−x) = − f (x)) ta kết luận hàm số f (x) không chẵn, không lẻ ○ Ta thường sử dụng cung góc liên kết dạng toán này, cụ thể cos(−a) = cos a, sin(−a) = − sin a, tan(−a) = − tan a, cot(−a) = − cot a ○ Lũy thừa: sin2n (−α) = sin2n α, cos2n (−α) = cos2n α, tan2n (−α) = tan2n α, ○ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng Ą Ví dụ Xét tính chẵn lẻ hàm số Å ã 9π a) y = f (x) = sin 2x + ; b) y = f (x) = tan x + cot x ɓ Lời giải 7/63 Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Gv Chun Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH 49 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH ò π 5π ; ? thuộc đoạn 6 ï Đáp số: 5π π • x = kπ; x = + k2π; x = + k2π 6 ï ị π 5π π 5π • Do x ∈ ; nên x = ; x = 6 6 Ą Ví dụ (A-2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) phương trình Å ã cos 3x + sin 3x sin x + = cos 2x + + sin 2x Đáp số: • Biến đổi phương trình cos x = cos 2x + • Nghiệm x = π 5π ;x= 3 Dạng Biến đổi asinx + bcosx Ą Ví dụ Giải phương trình sau √ π a) cos x − sin x = cos 2x − c) 49/63 √ (1 − sin x) cos x = (1 + sin x)(1 − sin x) b) √ cos 5x − sin 3x cos 2x − sin x = d) sin x + cos x sin 2x cos 4x + sin3 x + √ cos 3x Th.S Phạm Hùng Hải – = 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường ɓ Lời giải 50 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH Đáp số: a) x = π k2π π + k2π; x = − + 18 c) x = − π 2π +k 18 b) x = π π π π +k ; x = − +k 18 π π 2π d) x = − + k2π; x = +k 42 Ą Ví dụ (DB1-2008) Tìm nghiệm khoảng (0; π) phương trình Å ã √ 3π 2x 4sin − cos 2x = + 2cos x − Đáp số: • Nghiệm x = 5π 2π 7π + k ; x = − + k2π 18 Gv Ths: Phạm Hùng Hải • Do x ∈ (0; π) nên x = 5π 17π 5π ;x = ;x = 18 18 Dạng Biến đổi đưa phương trình tích Ą Ví dụ Giải phương trình sau a) sin2 2x + sin 7x − = sin x b) cos2 x + cos2 2x + cos2 3x = c) sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x + sin 5x = d) sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x Đáp số: ß a) ™ π π π 2π 5π 2π +k , +k , +k ,k ∈ Z 18 18 c) x = kπ b) π kπ π + ; ± + kπ (k ∈ Z) π π d) x = k , x = k Ą Ví dụ Giải phương trình sau a) (2 sin x − cos x)(1 + cos x) = sin2 x b) cos x − sin 2x = + cos 2x c) (2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x d) (2 sin x − 1) (2 sin 2x + 1) = − cos2 x Đáp số: π 5π + k2π; x = + k2π 6 π π c) x = ± + k2π; x = − + kπ a) x = π + k2π; x = 50/63 π + kπ; x = k2π π π d) x = kπ, x = ± + k2π, x = + k2π, x = 5π + k2π b) x = Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 51 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Ą Ví dụ Giải phương trình sau Å ã 1 7π Å ã = sin a) + −x 3π sin x sin x − c) (sin 2x + cos 2x) cos x + cos 2x − sin x = Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH b) sin 2x + sin x − 1 − = cot 2x sin x sin 2x d) sin 2x − cos 2x + sin x − cos x − = π π 5π a) x = − + kπ; x = − + kπ; x = + kπ 8 c) x = π π +k b) x = π π +k d) x = π 5π + k2π; x = + k2π 6 Dạng Một số toán biện luận theo tham số Ą Ví dụ 10 Cho phương trình cos 2x + cos x + − m = Xác định tất giá trị m để phương π trình có nghiệm x ∈ ;π ɓ Lời giải Đáp số: • Biến đổi cos 2x = cos2 x − • Kết m > √ √ Ą Ví dụ 11 Biết phương trình sin x + cos x + m2 − m = (với m tham số) có nghiệm m ∈ [a; b] Tính giá trị biểu thức P = a2 + b2 ɓ Lời giải 51/63 Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Đáp số: 52 Gv Ths: Phạm Hùng Hải MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH Đáp số: • Sử dụng điều kiện có nghiệm • Kết m ∈ [−1; 2] Vậy P = Ą Ví dụ 12 Cho phương trình (sin x + 1)(sin 2x − m sin x) = m cos2 x Tìm tập tất giá trị thực π tham số m để phương trình có nghiệm khoảng 0; ɓ Lời giải Đáp số: • Phân tích nhân tử; 52/63 Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 53 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gv Chun Tốn 10 - 11 - 12 & LTĐH √ • Kết < m < Đáp số: • Chia hai vế cho cos2 x • Kết m ∈ (−∞; −1) Ą Ví dụ 14 Số ï giá ịtrị ngun m để phương trình (cos x + 1) (4 cos 2x − m cos x) = m sin x có 2π nghiệm x ∈ 0; ɓ Lời giải 53/63 Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Ą Ví dụ 13 Tìm tập giá trị Å thực ã tham số m để phương trình m sin x − sin x cos x − m − = 3π có ba nghiệm thuộc khoảng 0; ɓ Lời giải 54 Gv Ths: Phạm Hùng Hải MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH Đáp số: • Phân tích nhân tử • Kết quả: m ∈ Z nên m ∈ {−3; −2} Ą Ví dụ 15 Cho hàm số bậc ba y = f (x) có đồ thị hình vẽ Số nghiệm thuộc đoạn [0; 5π] phương trình f (cos x) = Đáp số: y • Giao đồ thị với đường nằm ngang • Kết nghiệm 54/63 O −1 Th.S Phạm Hùng Hải – x 0905.958.921 55 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH ɓ Lời giải B – BÀI TẬP TỰ LUYỆN 55/63 Th.S Phạm Hùng Hải – Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Bài Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm phương trình cos 3x − cos 2x + cos x − = x Bài Giải phương trình tan x + cos x − cos2 x = sin x + tan x tan 2 − sin 2x sin 3x Bài Giải phương trình tan4 x + = cos4 x 2π 5π 2π π +k ;x = +k Đáp số: x = 18 18 4 sin x + cos x 1 Bài Giải phương trình = cot 2x − sin 2x sin 2x π Đáp số: x = ± + kπ x π x Bài Giải phương trình sin2 − tan2 x − cos2 = π Đáp số: x = π + k2π; x = − + kπ Bài Giải phương trình cos 2x + cos x 2tan x − = π Đáp số: x = (2k + 1)π, x = ± + k2π Bài Giải phương trình − tan x (tan x + sin x) + cos x = π Đáp số: x = ± + kπ Bài cos 4x − 8cos x + 2cos x + = π π Đáp số: x = + k , x = kπ Ä √ ä x π − cos x − 2sin2 − = Bài Giải phương trình cos x − π Đáp số: x = + (2k + 1)π cos x (cos x − 1) Bài 10 Giải phương trình = 2(1 + sin x) sin x + cos x π Đáp số: x = − + kπ, x = π + k2π 2 cos 4x Bài 11 Giải phương trình cot x = tan x + sin 2x π Đáp số: x = ± + kπ 2 Bài 12 Giải phương trình cos 3x cos 2x − cos x = π Đáp số: x = k 0905.958.921 56 Gv Ths: Phạm Hùng Hải MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH Bài 13 Giải phương trình + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 2π π Đáp số: x = − + kπ; x = ± + k2π, √ 2+3 Bài 14 Giải phương trình cos 3x cos3 x − sin 3x sin3 x = π π Đáp số: x = ± + k 16 Bài 15 Giải phương trình: (1 tan x)(1 + sin 2x) = + tan x π Đáp số: x = − + kπ; x = kπ Bài 16 Giải phương trình cot x − tan x + sin 2x = sin 2x π Đáp số: x = ± + kπ cos 2x Bài 17 Giải phương trình cot x − = + sin2 x − sin 2x + tan x π Đáp số: x = + kπ √ √ Bài 18 Giải phương trình 2cos x + sin x cos x + = 3(sin x + cos x) 2π Đáp số: x = + kπ sin 2x cos 2x Bài 19 Giải phương trình + = tan x − cot x cos x sin x π Đáp số: x = ± + k2π Bài 20 Xác định m để phương trình sin x + cos4 x + cos 4x + sin 2x − m = 0(*) có nghiệm π thuộc đoạn 0; 10 Đáp số: − ≤ m ≤ −2 56/63 Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 57 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gv Chun Tốn 10 - 11 - 12 & LTĐH BÀI ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG A – ĐỀ SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM B D = R \ {kπ, k ∈ Z} π D D = R\ + k2π, k ∈ Z Câu Tập giá trị hàm số y = cos x tập hợp sau đây? A R B (−∞; 0] C [0; +∞] D [−1; 1] Câu Tập giá trị hàm số y = sin 2x A [−2; 2] B [0; 2] C [−1; 1] Câu Mệnh đề đúng? A Hàm số y = sin x hàm số chẵn C Hàm số y = tan x hàm số chẵn B Hàm số y = cos x hàm số chẵn D Hàm số y = cot x hàm số chẵn D [0; 1] Câu Tìm hàm số lẻ hàm số sau: A y = sin2 x B y = x cos 2x C y = x sin x D y = cos x cos 3x − Câu Tập xác định hàm số y = cos x + A D = R \ {π + kπ; k ∈ Z} B D = R \ {k2π; k ∈ Z} π C D = R \ { + kπ; k ∈ Z} D D = R \ {π + k2π; k ∈ Z} Câu Hàm số y = sin 2x có chu kỳ π A T = 2π B T= C T = π D T = 4π Câu Đường cong hình đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A,B,C,D Hỏi hàm số hàm số nào? y −π π O 2π x −1 A y = + sin x B y = − sin x C y = sin x D y = cos x √ Câu Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = cos x + A max y = y = B max y = y = C max y = y = −2 D max y = y = −1 Câu 10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sin x + cos x − A max y = 4, y = −6 B max y = 6, y = −8 C max y = 6, y = −4 D max y = 8, y = −6 Câu 11 Tập nghiệm phương trình cos 2x + = ß ™ π π 2π 2π A S= + k2π, − + k2π, k ∈ Z B S= + k2π, − + k2π, k ∈ Z 3 3 π π π π C S= + kπ, − + kπ, k ∈ Z D S= + kπ, − + kπ, k ∈ Z 3 6 57/63 Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Câu Tìm tập xác định D hàm số y = − tan x π A D = R\ + kπ, k ∈ Z C D = R \ {k2π, k ∈ Z} 58 ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH π = có nghiệm 5π 5π B x= + k2π C x= + kπ 6 Câu 12 Phương trình sin x − A x= x + kπ √ Câu 13 Nghiệm phương trình tan x = − biểu diễn đường trịn lượng giác hình bên điểm nào? A Điểm F, điểm D B Điểm C, điểm F C Điểm C, điểm D, điểm E, điểm F D Điểm E, điểm F D x= π + k2π y B C D A x O A E F B Câu 14 Gọi S tổng nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) phương trình cos x − = Tính S Gv Ths: Phạm Hùng Hải A S = B S = 4π C S = 3π D S = 2π thuộc đoạn [−2π; 2π] B C D ò ï 3π Số nghiệm thực phương trình sin 2x + = đoạn − ; 10π B 11 C 20 D 21 √ Cho phương trình sin x − = Tổng nghiệm thuộc [0; π] phương trình cho π 2π 4π B C D 3 Câu 15 Số nghiệm phương trình cos x = A Câu 16 A 12 Câu 17 A π Câu 18 Phương trình sin x = cos x có nghiệm thuộc đoạn [−π; π]? A B C D Câu 19 Phương trình cos2 x + cos x − = có nghiệm đoạn [0; 2π] A B C D √ Câu 20 Phương trình sin x − cos x = có tập nghiệm π π π π A − + k2π; + k2π , với k ∈ Z B − + k2π; − + k2π , với k ∈ Z ß ™ 7π π π π C + k2π; + k2π , với k ∈ Z D − + kπ; − + kπ , với k ∈ Z 6 Câu 21 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos2 x = m − có nghiệm A m ≤ B < m < C m ≥ D ≤ m ≤ Câu 22 Điều kiện tham số thực m để phương trình sin x + (m + 1) cos x = ñ m≥0 A B m < −2 C −2 < m < m ≤ −2 √ vô nghiệm D m > Câu 23 Số giá trị thực tham số m để phương trình (sin x − 1)(2 cos2 x − (2m + 1) cos x + m) = có nghiệm thực thuộc đoạn [0; 2π] A 58/63 B C D Vô số Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 59 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gv Chun Tốn 10 - 11 - 12 & LTĐH Câu 24 Giả sử A, B điểm nằm đồ thị hàm Ç số y =√sinåx y = cos x cho tam giác OAB nhận π điểm G ; làm trọng tâm Tính diện tích S tam 3 giác OAB, biết xA ∈ [0; 2π] A O y = cos x π x √ π C S= Câu 25 Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = sin x đoạn [0; π], điểm C, D thuộc trục Ox thỏa mãn ABCD hình 2π chữ nhật CD = Tính độ dài đoạn BC √ √ A B C D 2 B y = sin x √ π D S= y A B O π x D C y = sin x BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Giải phương trình b) cos2 x − sin x − = a) sin x − = c) sin x + cos x = √ cos 5x d) cos 3x + cos x + sin 2x = Bài Giải phương trình a) sin x cos x − = 3(sin x + cos x) b) sin4 x + cos4 x − sin2 x − =0 − cos 4x —HẾT— 59/63 Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường √ π B S= √ π A S= y 60 ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH B – ĐỀ SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Tìm ï tập giá ò trị T hàm số y = sin 2x 1 A T= − ; B T = [−2; 2] 2 Câu Tìm tập xác định D hàm số y = tan 2x π A D = R\ + kπ, k ∈ Z C D = R\ kπ, k ∈ Z C T = R D T = [−1; 1] π + kπ, k ∈ Z π kπ D D = R\ + ,k ∈ Z B D = R\ Gv Ths: Phạm Hùng Hải π Câu Tìm tập xác định D hàm số y = cot x − π π + k2π, k ∈ Z + kπ, k ∈ Z A D = R\ B D = R\ ß3 ™ π 5π C D = R \ − + k2π, k ∈ Z D D = R\ + kπ, k ∈ Z Câu Chu kì tuần hồn T hàm số y = cos x bao nhiêu? A T = 2π B T = π C T = 3π Câu Tìm tập xác định D hàm số y = A D = R sin x − cos x D T= π π + kπ, k ∈ Z D D = R \ {k2π, k ∈ Z} B D = R\ C D = R \ {kπ, k ∈ Z} Câu Hình đồ thị hàm số y = sin x? y A y x O x O B y y O O C x x D sin x − Câu Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = A m=− B m=− C m = −3 3 Câu Tìm giá trị lớn M hàm số y = − | cos x| A M = B M = C M = D m = −1 D M = Câu Tìm giá trị lớn M hàm số y = sin x − cos x A M = B M = C M = π Câu 10 Hỏi x = nghiệm phương trình sau đây? A sin x = B cos x = C sin x cos x = √ Câu 11 Tìm tập nghiệm S phương trình sin 2x = − 60/63 D M= √ D sin 2x = Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 61 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH ™ ß 4π π B S = − + k2π, + k2π, k ∈ Z ß ™ 5π π D S= + k2π, + k2π, k ∈ Z 12 12 π = Câu 12 Tìm tập nghiệm S phương trình sin x cos x − ß ™ 3π A S = {kπ, k ∈ Z} B S= + kπ, k ∈ Z ß ™ π 3π C S = − + kπ, k ∈ Z D S = kπ; + kπ, k ∈ Z 4 √ Câu 13 Tìm tập nghiệm S phương trình cos 2x = A S = R ß ™ √ √ 1 B S = − arccos + kπ; arccos + kπ, k ∈ Z 2 C S = ∅ π π D S = − + k2π; + k2π 4 Câu 14 Tìm tất giá trị số thực a để phương trình cos x = a2 có nghiệm A a ∈ R B a ∈ R \ {0} C a ∈ [0; 1] D a ∈ [−1; 1] Câu 15 Phương trình tan 2x = có họ nghiệm π kπ π A x = + , k ∈ Z B x = + kπ, k ∈ Z π π C x = + k2π, k ∈ Z D x = + k2π, k ∈ Z 4 √ Câu 16 Họ nghiệm phương trình cot x + = π π A x = − + kπ, k ∈ Z B x = − + kπ, k ∈ Z π π C x = + k2π, k ∈ Z D x = + kπ, k ∈ Z ◦ Câu 17 Phương trình tan (2x + 12 ) = có họ nghiệm A x = −6◦ + k180◦ , k ∈ Z B x = −6◦ + k360◦ , k ∈ Z C x = −12◦ + k90◦ , k ∈ Z D x = −6◦ + k90◦ , k ∈ Z Câu 18 Cho phương trình a sin x + cos x = b Tìm tất giá trị thực a, b để phương trình có nghiệm A b2 − a2 ≤ B b2 − a2 < C b2 + a2 ≤ D b2 + a2 ≥ √ Câu 19 Tìm tập nghiệm phương trình sin x + cos x = −2 ß ™ 5π A S = ∅ B S = − + k2π k ∈ Z ß ™ π 5π C S= + k2π k ∈ Z D S = − + kπ k ∈ Z 6 Câu 20 Tìm số nghiệm thuộc khoảng (−π; π) phương trình sin x + sin 2x = A B C D Câu 21 Giải phương trình sin2 x + sin x + = π A x = − + kπ, k ∈ Z π C x = − + k2π, k ∈ Z Câu 22 Giải phương trình cos 2x − sin x − = π 7π A x = − + kπ, x = + kπ, k ∈ Z 6 61/63 π B x = − + k3π, k ∈ Z π kπ D x = − + , k ∈ Z 2 π 7π B x = − + k3π, x = + k3π, k ∈ Z 6 Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường ™ ß 2π π A S = − + kπ, + kπ, k ∈ Z ß ™ 5π π C S= + k2π, + k2π, k ∈ Z 6 62 ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH π 7π π 7π D x = − + k2π, x = C x = − + k4π, x = + k4π, k ∈ Z + k2π, k ∈ Z 6 6 Câu 23 Giải phương trình tan x + cot x − = π π A x = ± + k2π, k ∈ Z B x = ± + kπ, k ∈ Z 4 π π C x = + kπ, x = arctan + kπ, k ∈ Z D x = ± + kπ, x = ± arctan + kπ, k ∈ Z 4 Câu 24 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình m cos x + sin x = − m có nghiệm A m ≤ B m < C m ≥ D m < Câu 25 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình cos 2x − cos x + m = có nghiệm? A B C D BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Giải phương trình sau: Gv Ths: Phạm Hùng Hải a) cos x − c) π = 0; √ π tan − x = 1; b) sin 3x − cos 3x = −1; d) sin x + cos x − sin x cos x = Bài Tính tổng nghiệm x ∈ 0; 100 phương trình cos3 x − cos2 x + = cos 2x + tan2 x cos2 x —HẾT— 62/63 Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 63 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Gv Chuyên Toán 10 - 11 - 12 & LTĐH BÀI ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI 1 A 11 D 21 A B 12 B 22 A D 13 C 23 D A 14 A 24 C D 15 D 25 A D 16 A 26 A C 17 B 27 C B 18 A 28 C B 19 A 29 A 10 C 20 B 30 D A 18 C 28 B A 19 D 10 D 20 D C 18 D 28 A B 19 C 29 C 10 B 20 C 30 B D 18 D B 19 C 10 A 20 C D 18 A D 19 B 10 C 20 A C 11 D 21 A A 12 B 22 A B 13 C 23 D C 14 C 24 C D 15 B 25 A D 16 B 26 B B 17 C 27 A ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI B 11 A 21 A B 12 D 22 A A 13 D 23 A D 14 D 24 B B 15 B 25 C C 16 D 26 C C 17 D 27 A ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ĐỀ SỐ 1 A 11 C 21 D D 12 B 22 C C 13 A 23 B B 14 D 24 B B 15 A 25 B D 16 A C 17 A ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM ĐỀ SỐ D 11 A 21 C 63/63 D 12 D 22 D B 13 C 23 C A 14 D 24 C D 15 A 25 A D 16 B D 17 D Th.S Phạm Hùng Hải – 0905.958.921 Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM BÀI ... 0905.958.9 21 Chươ ng HÀM SỐ SỐ LƯỢNG LƯỢNG GIÁC GIÁC VÀ VÀ HÀM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIÁC PHƯƠNG LƯỢNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCTRÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1) Đường trịn lượng giác dấu giá trị lượng giác. .. −∞ 10 b −20 2a +∞ 30 x 00 −∞ 10 01 y 02 11 21 31 11 12 ∆ −22 4a 32 01 y 02 12 b −20 2a ∆ − 21 4a 22 Th.S Phạm Hùng Hải – +∞ 30 31 32 0905.958.9 21 Chương HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC... giá trị hàm số y = sin 2x A [−2; 2] B [0; 2] C [? ?1; 1] Câu Mệnh đề đúng? A Hàm số y = sin x hàm số chẵn C Hàm số y = tan x hàm số chẵn B Hàm số y = cos x hàm số chẵn D Hàm số y = cot x hàm số chẵn