PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

PHẦN ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Thực từ 14/9/2020 – 24/10/2020 A.TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN: I CĂN BẬC HAI CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A2  A Căn bậc hai: Căn bậc hai số không âm a số x cho x  a Căn bậc hai số học:  x2  a a x (với a  ) x  So sánh hai bậc hai số học: a  b  a  b (với a  0, b  ) 4.Căn thức bậc hai Điều kiện để thức bậc hai xác định: Hằng đẳng thức A xác định  A  A2  A - Định lý: Với số thực a, ta có a  a  A, A  A2  A    A, A  - Tổng quát: Với A biểu thức, ta có: II LIÊN HỆ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG Khai phương tích: Nhân bậc hai: A.B  A B  Khai phương thương: Chia hai bậc hai: A B ( A  0, B  0) A  B A  B Lũy thừa bậc hai: A.B ( A  0, B  0) A ( A  0, B  0) B A ( A  0, B  0) B  A  A2 ;  A  A3  A   III BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI Đưa thừa số dấu A B  A  0; B  0 A2 B  A B   A B  A  0; B  0 Đưa thừa số vào dấu  A2 B  A  0; B  0  A B   A2 B  A  0; B  0 Khử mẫu biểu thức lấy A AB  ; AB 0; B 0 B B Trục thức mẫu (1) (2) A A B  ( B  0) B B C C( A  B )  ( B  0, A2  B) A B A B (3) C C( A  B )  (A  0, B  0, A  B) A B A B IV RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI Để rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai, ta cần vận dụng thích hợp phép biến đổi bậc hai đơn giản như: đưa thừa số dấu căn, đưa thừa số vào dấu căn, khử mẫu trục thức mẫu để làm xuất có biểu thức dấu Lưu ý: Đối với câu rút gọn biểu thức chứa biến chưa cần tìm ĐKXĐ biểu thức Bắt đầu giải tập liên quan đến giá trị biểu thức yêu cầu HS phải tìm ĐKXĐ V CĂN BẬC BA Căn bậc ba số a số x cho x3  a Viết: x  a  x3  a Mỗi số a có bậc ba A B  A3B; A.B  A B ; Với B  ta có B CÂU HỎI - BÀI TẬP A  B 3 A B I CĂN BẬC HAI CĂN THỨC BẬC HAI HẰNG ĐẲNG THỨC Bài Tìm bậc hai số sau: 121;144;324; A2  A ;3  2 64 Bài So sánh a) b) 47 c) 33 10 d)  e)  g)  11  Bài Tìm điều kiện xác định x để biểu thức sau xác định a) x b) x  c) 1 x 2x  d) 3x   x4 Bài Rút gọn biểu thức sau: a) A     c) C  x  x ( x  0) b) B     d) D  x   16  x  x ( x  4) Bài Giải phương trình x  18  x    x  a) x 3 1 b) c) 2 x  x 3 d) x  10 x  25  x  II LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG Bài Thực phép tính sau: a) Ví dụ: 4.225  22.152 24 25 16 c) 2, 5.16, b) 2, 25.1, 46  2, 25.0, 02 d) 117,52  26,52  1440 Bài 2: Thực phép tính sau:   a, A  12  27  75  48 f, b, A  0,1  0,9  6,  0,  44,1 g, 15  216 c, B   125  80  605 h, 33  12 d,     k, 12   12  3  3 Bài 3: Rút gọn biểu thức: a,  x    x   b, x2  x    x  0 e,  2   108 x  x  0 12 x c, 13 x y d,  x  0; y   208 x y Bài 4: Giải phương trình sau: a, 2 x  x  18 x  28 1 b, x  20  x   đk: x  x  45  c, 3x  3 x 1 d, 5x  2 x2 Bài 5: Chứng minh biểu thức sau: a,  35  35  c,   b,  17  17  d, 1   e, 2   3   1  2   6   4   49  48 g,  15   15  2 III BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI Bài 1: Đưa nhân tử dấu căn: a, 125 x  x   b, 80 y c, 1   d, 3  10  Bài 2: Đưa nhân tử vào dấu rút gọn: a, d,  x  5 c,   a  b, 5 x   x  5 25  x e,  a  b  2a  a  2 a2 3a 0  a  b b  a2 Bài 3: Thực phép tính: a, 125  45  20  80 c, 49 25   18 e,   28  10 g) 10    1 b, 27 48 75   16 d, 20  12  15  27  f,  14  28 h)  12  27  18  48 30  162 52  Bài 4: Rút gọn biểu thức a) c) x xy y x y  xy b) ( x  0, y  0) ( x y  y x )( x  y) (a; b  0) d) A  x  2( x  2)  x  2( x  2) ( x  0, y  0) xy a  ab b  ab Bài 5: Trục thức mẫu a) b) 3 52 c) d) 14 10  e)  11  11 IV RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI Bài 1: Tính a) b) 3 2   c)   29  12 5   29  12 d)   13  48 Bài 2: Chứng minh đẳng thức a) a b a b 2b    a 2 b a 2 b ba b a b 2 3 216  3      2 b)  2 xx  x 1 Bài 3: Cho biểu thức B    : x   x  x   x x 1 a) Tìm ĐKXĐ b) Rút gọn biểu thức B V BIỂU THỨC VÀ GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài 1: Cho biểu thức : A  x 1 x 25 x   x4 x 2 x 2 a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa  x 2 b) Rút gọn biểu thức A x 2 c) Tìm x để A =  (1  x ) 2 Bài 2: Cho biểu thức: B      x 1 x  x   a) Rút gọn B x  0, x  b) Tìm x để A nhận giá trị dương c)Tìm GTLN B    x 1  x    x x  x  Bài 3: Cho biểu thức: C   x   :  x   a) Rút gọn C b) Tính giá trị C biết x   2 Bài 4: Cho hai biểu thức A  x 1 x 2 B x 1   x4 x 2 2 x a) Tính giá trị A x   b) Tìm x để A > c) Rút gọn biểu thức B d) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức A : B ngun ƠN TẬP CHUN ĐỀ Bài 1: Tính giá tị biểu thức: a) 20  45  18  32  50 b) 27  8  125 1  4,5  12,5  0,5 200  242   24,5 c) 3 d)  2 2  3  4  12     3 2   Bài 2: Thực phép tính: a) 1  5 5 b) c) 2   2 3 d) 42 6  11  5   3 7 2 Bài 3: Chứng minh đẳng thức sau: a) 2     1  2    c)  2    2   Bài 4: Cho biểu thức P  b) 11   11   8 a b   ab a b  a b b a ab Chứng tỏ giá trị biểu thức P không phụ thuộc vào a Bài 5: Giải phương trình: a) 12 x  x  48 x  14 e) x  x    b) x  20  x   c) 36 x  72  15 x  45  x2  5 x2 25  f) 3x  x  x   g) d) x    5x  4 x3 h) 3 x   x   x  16   x x 1 x x 1 Bài 6: Cho biểu thức: P     x x  x x x 1    :  x   x   x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P  c) Tfim giá trị x để P có giá trị nguyên Bài 7: Giải bất phương trình: a) 12 x  3x  48x  14 b) x  20  x   c) x  45  d) x 5 0 x 1 f) x 5 0 x 1 e) x2 x 4 0 x 2 g) x 5  x 1 x 5 x 7   x 1 Bài 8: (Bất đẳng thức Cosi) Cho số a b không âm Chứng minh rằng: ab  ab TRƯỜNG THCS CHU VĂN AN NHĨM TỐN PHẦN HÌNH HỌC CHUYÊN ĐỀ 1: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG A.TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Hệ thức liên hệ cạnh đường cao tam giác vuông Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Ta có: AB  BH BC hay c  c '.a A AC  CH BC hay b  b '.a c AH  BH CH hay h  b '.c ' AB AC  AH BC hay b.c  a.h b c' B b' H a C 1 1 1   hay   2 2 AH AB AC h b c 2.Tỉ số lượng giác góc nhọn Cho góc nhọn   0    90  Dựng ABC vuông A cho  ABC Ta cú: A sin Cạnh đối AC Cạnh hun BC cos   C¹nh kỊ AB  C¹nh huyền BC tan Cạnh đối AC Cạnh kÒ AB cot   α B C Cạnh huyền Cạnh kề AC Cạnh đối AB Vi gúc nhn   0    90  , ln có:  sin   1;  cos   tan   sin  cos  ; cot   ; tan   cot   1;sin   cos   cos  sin  Nếu     90 sin   cos  ; tan   cot  Ví dụ: sin 30  cos 60 ; tan 30  cot 60  B 3.Một số hệ thức cạnh góc tam giác vng Cho tam giác ABC vng A Có BC = a, AB = c, AC = b Ta có: b  a  sin B  a  cos C c  a  sin C  a  cos B b  c  tan B  c  cot C c  b  tan C  c  cot B a c A c b B.CÂU HỎI – BÀI TẬP Phần 1: Hệ thức lượng tam giác vng Bài 1: Tính x, y hình đây: A A 12 B x y H a A y C B y x x H b C B H c C Bài Cho hình vẽ sau đậy, hình vẽ cho hai cạnh Tính cạnh cịn lại 12 h x c b c h y x a a a (hình 1) (hình 2) (hình 2) 15 c b h x b x b c y x y 17 a 10 (hình 4) (hình 5) (hình 6) Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH , biết AB : AC  : BC  25cm Tính độ dài đoạn BH , CH Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH , Tính diện tích tam giác ABC biết AH  12cm , BH  9cm Bài Cho hình thang ABCD vng tai A D Đường chéo BD  BC Biết AD  4cm ; DC  10cm Tính AB Bài Cho hình thang ABCD vng tai A D Đường chéo BD  BC O Biết AB  15cm ; AD  20cm Tính a) AB độ dài đoạn OB , OD b) Độ dài đoạn AC c) Diện tích hình thang ABCD Bài Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH , gọi D , E hình chiếu H lên AB AC Chứng minh a) AB AD  AE AC  HB.HC c) AB HB  AC HC b) ABC đồng dạng với AED d) AB BD  AC CE Bài Cho hình vng ABCD I điểm nằm A B Tia DI cắt K Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DI cắt đường thẳng BC L Chứng minh a) DIL tam giác cân b) Tổng 1 không đổi I di chuyển cạnh AB  DI DK Bài 9: Cho hình thoi ABCD , đường cao AH Cho biết AC  m ; BD  n ; AH  h Chứng minh: 1  2 2 h m n Bài 10: Cho ABC vuông C , đường cao CK a) Cho biết AB  10cm , AC  8cm Tính BC , CK , BK , AK b) Gọi H , I theo thứ tự hình chiếu K lên BC AC Chứng minh: CB.CH  CA.CI c) Gọi M chân đường vng góc kẻ từ K xuống IH Chứng minh: 1   2 KM CH CI AI AC d) Chứng minh:  BH BC Phần 2: Tỉ số lượng giác góc nhọn Bài 1: Cho ABC có AB  a 5; BC  a 3; AC  a a) Chứng minh ABC tam giác vng b) Tính tỉ số lượng giác góc B Bài 2: Cho góc nhọn   00    900  Tìm cos  tan  biết: sin   Bài 3: Không sử dụng bảng số máy tính, xếp theo thứ tự tăng dần: a) cos180 ; sin 650 ; cos 750 ; sin 700 ; cos 790 b) sin 240 ; cos 340 ; sin 540 ; cos 700 ; sin 780 ; cot100 Bài 4: a) Dựng góc nhọn  biết tan   b) Dựng góc nhọn  biết sin   c) Dựng góc nhọn  biết cos   0,6 Bài 5: Chứng minh rằng: a)  sin a  cos a b) 1  cos a 1  cos a   sin a d) sin   sin  cos   sin  Bài 6: c)  sin a  cos a  e) sin   cos   sin  cos   a) Cho cos   0, Tính sin  , tan , cot b) tan  1, Tính cot , sin  , cos  Bài 7: Hãy tìm sin  , cos  biết a) tan  b) cot  Bài 8: a) Biết cos  Tính A  3sin   cos  b) Biết sin  Tính B  sin   3cos  17 Bài 9: CMR với góc nhọn  tùy ý, biểu thức sau không phụ thuộc vào  A   sin   cos     sin   cos   2 B = sin 6  cos 6  3sin 2 cos 2 Bài 10 Khơng dùng máy tính bảng số, tính: A  cos 20  cos 30  cos 40  cos 50  cos 60  cos 70 B  sin 5  sin 25  sin 45  sin 65  sin 85 Phần Hệ thức cạnh góc tam giác vng Bài Giải tam giác vuông ABC, biết Aˆ = 90 a) a = 72cm, Bˆ = 58; c) b = 15cm, Cˆ = 30 b) b = 20cm, Bˆ = 45; d) b = 21cm, c = 18cm Bài Cho tam giác ABC, Bˆ = 42 , AB = 12cm, BC = 22cm Tính cạnh góc tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC có Bˆ = 60 , Cˆ = 50 , AC = 35cm Tính diện tích tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC vng A, có đường cao AH; HB = 9cm; HC = 16cm a) Tính AB, AC, AH b) Gọi D E hình chiếu vng góc H AB AC Tứ giác ADHE hình gì? c) Tính chu vi diện tích tứ giác ADHE Bài Cho tam giác ABC vuông A Biết AB = 3cm, BC = 5cm a) Giải tam giác vuông ABC (số đo góc làm trịn đến độ) b) Từ B kẻ đường thẳng vng góc với BC, đường thẳng cắt đường thẳng AC D Tính độ dài đoạn thẳng AD, BD c) Gọi E, F hình chiếu A BC BD Chứng minh BF.BD = BE.BC d) Phần Ứng dụng thực tế tỉ số lượng giác góc nhọn Bài Ở độ cao 920m, từ máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm A, B hai đầu cầu góc so với đường nằm ngang mặt đất góc   37,   31 Tính chiều dài AB cầu Bài Một em học sinh đứng mặt đất cách tháp ăng – ten 150m Biết em nhìn thấy đỉnh tháp góc 20 so với đường nằm ngang, khoảng cách từ mắt đến mặt đất 1,5m Hãy tính chiều cao tháp Bài Hai cột thẳng đứng hai trại A B lớp 9A lớp 9B cách 8m Từ cọc hai cột, người ta đo góc dây căng từ đỉnh hai cột hai trại A B đến cọc tạo với mặt đất 35 30 Hỏi trại cao cao mét? 350 300 Bài 4: Thang AB dài 6, 7m tựa vào tường làm thành góc 63 với mặt đất Hỏi chiều cao thang đạt so với mặt đất? A 6,7m 63° H B Bài 5: Tìm chiều dài dây kéo cờ, biết bóng cột cờ (chiếu ánh sáng mặt trời) dài 11, 6m góc nhìn mặt trời 36  50 ' 36°50' 11,6m Phần 5: Bài tập tổng hợp Bài Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH Từ H kẻ HE vng góc với AB ( E thuộc AB ) kẻ HF vng góc với AC ( F thuộc AC ) a) Chứng minh AE.AB  AF AC b) Cho biết AB  4cm , AH  3cm Tính độ dài đoạn thẳng AE BE   30 Tính độ dài đoạn thẳng FC c) Cho biết HAC Bài Cho tam giác DEF biết DE  6cm , DF  8cm , EF  10cm a) Chứng minh DEF tam giác vng b) Vẽ đường cao DK Hãy tính DK , FK c) Giải tam giác vuông EDK d) Vẽ phân giác DM tam giác DEF Tính độ dài đoạn thẳng ME , MF e) Tính sin F tam giác vng DFK DEF Từ suy ED.DF  DK EF Bài Cho hình vng ABCD điểm E tùy ý cạnh BC Tia Ax vng góc với AE A cắt CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI tam giác AEF kéo dài cắt cạnh CD K a) Chứng minh AE  AF b) Chứng minh tam giác AKF , CAF đồng dạng AF  KF CF c) Cho AB  4cm; BE  BC Tính diện tích tam giác AEF d) AE kéo dài cắt CD J Chứng minh 1 khơng phụ thuộc vào vị trí điểm E  AE AJ Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD Qua B kẻ đường thẳng vng góc với đường chéo AC H Gọi E , F , G theo thứ tự trung điểm AH , BH , CD a) Chứng minh tứ giác EFCG hình bình hành   90 b) Chứng minh BEG    Tính S c) Cho biết BH  h, BAC ABCD theo h  d) Tính độ dài đường chéo AC theo h  Phần 6: Một số đề tham khảo kiểm tra 45 phút ĐỀ I.Trắc nghiệm (1,5đ) Câu 1: Cho hình vẽ, kết luận sau sai? A sin   1 B sin   cos   C tan  D   30 Câu 2: Cho hình vẽ, kết luận sau đúng? A HK  KP.PM B KM MP  HK HP C HM  MK MP D Câu : Cho cos   A B 1   2 HM MK MP sin  giá trị sau đây? C D II Tự luận (8,5đ) Bài 1: (3 đ): Tìm x, y, z hình vẽ sau:   90 ) Đáy nhỏ AB  7cm ; cạnh bên Bài 2: (4 đ) Cho hình thang vng ABCD ( A  D BC  10cm tạo với cạnh đáy CD góc 30 BK đường cao hình thang a) Tính độ dài cạnh bên AD ? b) Tính độ dài cạnh đáy DC ? ? c) Tinh DBC Bài 3: (1,5đ) Chứng minh hệ thức cot    lượng giác sin  ;cos  ; tan  ? 1 Áp dụng cho cot   Tính tỉ số sin  ĐỀ I.Trắc nghiệm (3đ): Điền giá trị thích hợp chỗ chấm để kết đúng: 1) Tam giác ABC vng A , góc B 600 , BC  30 cm độ dài đoạn thẳng AB  2) Cho góc nhọn  sin   0,6 Ta có cos  ………… 3) Cho góc nhọn x thỏa mãn 13sin x  11cos  900  x    Giá trị góc x bằng……… 4) Cho hình vẽ, điền số thích hợp vào chỗ chấm để kết đúng: tan B  ……………; sin B  ………………… cot B  ……………; cos B  ………………… B 2a A 3a C II Tự luận ( đ ) Bài (3đ): Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Hai điểm M N hình chiếu H lên AB AC a) Chứng minh AM AB  AN AC b) Biết BH  16 cm, CH  cm Tính AH , AB , AC , MN ? c) Tính diện tích tứ giác AMHN Bài (3,5 đ): Cho tam giác MNP có MN  20 cm, NP  30 cm, góc N 600 a) Tính chiều cao MH diện tích tam giác MNP b) Tính chu vi tam giác MNP c) Tính góc M , Q tam giác MNP ( xác đến phút) ... GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI Để rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai, ta cần vận dụng thích hợp phép biến đổi bậc hai đơn giản như: đưa thừa số dấu căn, đưa thừa số vào dấu căn, khử mẫu trục...  2 III BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI Bài 1: Đưa nhân tử dấu căn: a, 125 x  x   b, 80 y c, 1   d, 3  10  Bài 2: Đưa nhân tử vào dấu rút gọn: a, d,  x  5 c,   a ... có biểu thức dấu Lưu ý: Đối với câu rút gọn biểu thức chứa biến chưa cần tìm ĐKXĐ biểu thức Bắt đầu giải tập liên quan đến giá trị biểu thức yêu cầu HS phải tìm ĐKXĐ V CĂN BẬC BA Căn bậc ba số