CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Giaovienvietnam.com MỤC LỤC ĐỀ MỤC TRANG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC VẤN ĐỀ DẠNG 1: f ( x) = g ( x) DẠNG 2: f ( x) = g ( x) DẠNG 3: ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG TÍCH DẠNG 4: ĐẶT ẨN PHỤ 11 DẠNG 5: ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG NÂNG CAO 13 PHƯƠNG TRÌNH CH ỨA CĂN DẠNG NÂNG CAO VẤN ĐỀ 2: DẠNG 1: ÁP DỤNG BĐT CÔ SI ĐỂ GIẢI PT 16 DẠNG 2: ĐƯA VỀ HỆ PT ĐỂ GIẢI 23 NHẬN XÉT SKKN 26 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Vấn đề 1: Nguyễn Hữu Phúc Page Giaovienvietnam.com f ( x) = g ( x) (1) DẠNG 1: Cách giải 1: ( Sử dụng pt hệ quả) • • • • ĐK: f ( x) ≥ Bình phương hai vế pt(1) ta có pt hệ quả: f(x)=g2(x), ( giải tìm x= ?) Thế vào pt(1) xem có thảo mãn hay không Kết luận nghiệm pt(1) Cách giải 2: ( Sử dụng phép biến đổi tương đương) f ( x) = g ( x)  g ( x) ≥ ⇔  f ( x ) = g ( x)  Lưu ý: Khi g(x)0) VD2: Giải pt: HD: Ta biến đổi dạng; (x2+1)(y2+2)(z2+3)= 32xyz Áp dụng BĐT Cơ si ta có:  x + ≥ x = x   2  y + ≥ y = 2 y  2  z + ≥ z = 2.2 2.z ⇒ ( x + 1)( y + 2)( z + 8) ≥ 32 xyz  x2 = x =   Dấu “=” xãy khi:  y = ⇒  y = z2 =  z = 2  Vậy nghiệm cua pt là: (1; 2; 2 ) VD3: Giải pt x + − x = y + y + HD: ĐK − ≤ x ≤ Theo BĐT Bunnhiacopski ta có: ( x.1 + ) ( )( ) − x ≤ x + (2 − x ) 12 + 12 = ⇒ x + − x ≤ (1) y + y + = (2 y + 1) + ≥ (2) Nguyễn Hữu Phúc Page 15 Giaovienvietnam.com x  x = ±1 (x ≥ 0)  x = − x2  =   ⇔ ⇒ Từ (1 ) (2 ) ta có dấu “=” xãy khi:  1 1 y=− 2 y + =  y = −    1  Vậy nghiệm pt 1; - ÷ 2  VD4: Giải pt 16 + x −3 1225 + = 82 − x − − y − − z − 665 y −1 z − 665 HD: ĐK x>3, y>1, z>665 Ta viết pt lại dạng: 16 + x−3 + x −3 1225 + y −1 + + z − 665 = 82 y −1 z − 665 Áp dụng BĐT Cơ si cho cặp số ta có: 16 + x − ≥ x −3 16 x −3 = x −3 + y − ≥ y −1 y −1 = y −1 1225 + z − 665 ≥ z − 665 ⇒ VT ≥ 82 1225 z − 665 = 70 z − 665 Dấu “=” xãy khi:          16 = x−3 x−3 = y −1 y −1 1225 = z − 665 z − 665 VD5: Giải pt  x − = 16  x = 19   ⇔  y −1 = ⇔ y =  z − 665 = 1225  z = 1890   x + 4( y − 1) y − + + = 10 x ( y − 1) HD: ĐK: x>0, y ≠ Nguyễn Hữu Phúc Page 16 Giaovienvietnam.com x + 4( y − 1) y − + 4 + = 10 ⇔ x + + ( y − 1) + = 10 3 x x ( y − 1) ( y − 1)   x+ x ≥2  ⇒  ( y − 1) + ≥8  ( y − 1) ⇒ VT ≥ 10 Dấu “=” xãy khi: x=1; y=2 x=1; y=0 Vậy nghiệm pt là: (1; 2); (1; 0) x − + x − = 2( x − 3) + x − VD6: Giải pt HD: ĐK x ≥ ( ) ( x − 1.1 + ( x − 3).1) ≤ ( x − 1) + ( x − 3) (1 + 1) ⇒ VT ≤ 2( x − 3) + 2( x − 1) = VP Dấu “=” xãy khi: x −1 x − = ⇔ ( x − 3) = x − 1 x = ⇔ x − x + 10 = ⇔  x = VD7: Giải pt x2 x + + = x3 − x + x + 2 HD: Ta có: x − x + x + = (2 x + 1)( x − x + 1) ≥ ⇔ 2x + ≥ ⇔ x ≥ − ⇒ ĐK : x ≥ − Áp dụng BĐT Cô si cho số không âm (2x+1) (x2-x+1) ta có: (2 x + 1)( x − x + 1) ≤ Nguyễn Hữu Phúc (2 x + 1) + ( x − x + 1) x x = + +1 2 Page 17 Giaovienvietnam.com x = Dấu “=” xãy khi: 2x+1=x2-x+1 ⇔ x(x-3)=0 ⇔  x = Vậy pt có 2n x=0; x=3 VD8: Giải pt: x + x − + x − x + = x − x + (1) HD: Áp dụng BĐT Cơ si ta có:  ( x + x − 1) + x + x ( x + x − 1).1 ≤ =  2  2  ( x − x + 1).1 ≤ ( x − x + 1) + = x − x +  2 ⇒ x + x − + x − x + ≤ x + (2) Từ (1 ) (2 ) ta có: x2-x+2 ≤ x+1 ⇔ x2-2x+1 ≤ ⇔ (x-1)2 ≤ ⇔ x=1 Thử lại ta có x=1 nghiệm pt VD 9: Giải pt HD: ĐK x + x − + x − x + = x − 3x + (1) −1 + 21 + 13 ≤x≤ 2 Áp dụng BĐT Cơ si ta có:  ( x + x − 5) + x + x − ( x + x − 5).1 ≤ =  2  2  ( x − x + 3).1 ≤ ( x − x + 3) + = x − x +  2 ⇒ x + x − + x − x + ≤ x (2) Từ (1 ) (2 ) ta có: x2-3x+4 ≤ x ⇔ x2-4x+4 ≤ ⇔ (x-2)2 ≤ ⇔ x=2 Thử lại ta có x=2 nghiệm pt VD 10: Giải pt x − + 10 − x = x − 12 x + 40 (1) HD: ĐK: ≤ x ≤ 10 Áp dụng BĐT Cơ si ta có: Nguyễn Hữu Phúc Page 18 Giaovienvietnam.com ( x − 2) + x +  =  x − = ( x − 2).4 ≤ 4   10 − x = (10 − x).4 ≤ (10 − x) + = 14 − x  4 ⇒ VT = x − + 10 − x ≤ (1) Mặt khác: VP=x2-12x+40=(x2-2.6.x+36)+4=(x-6)2+4 ≥ (2) Từ (1 ) (2 ) ta có dấu “=” xãy khi: x=6 Thử lại ta có x=6 nghiệm pt Cách 2: Lưu ý đến toán phụ: ∀a, b ≥ ⇒ a + b = (a + b) ≤ (a + b) + (a − b) ⇒ a + b ≤ 2(a + b ) Từ ta có VT= x − + 10 − x ≤ ( ( x − 2) + (10 − x) ) = ( sau giải giống trên) 2 VD 11: Giải pt x + y + 1 + =4 x y HD: ĐK xy ≠ Áp dụng BĐT Cô si cho số x2 + y + 1 1 + = ( x2 + ) + ( y + ) ≥ + = x y x y  x = ±1 Dấu “=” xãy khi:   y = ±1 A =  Cách 2: Đưa pt dạng A + B + C = ⇒  B = C =  Nguyễn Hữu Phúc 2 Page 19 Giaovienvietnam.com Ta có: 1 1 x2 + y2 + + = ⇔ x2 + y + + − = x y x y 1 1 ⇔ ( x − 2.x + ) + ( y − y + ) = x x y y   x − x =  x = ±1 1  1  ⇔ x− ÷ + y− ÷ = 0⇔  ⇔ x  y   y = ±1 y − = y  2 VD 12: Giải pt − x + − x + + x = HD: ĐK -1 ≤ x ≤ Áp dụng BĐT Cơ si ta có: − x2 = 1− x = 1+ x = 1− x + 1+ x (1) 1− x +1 − x ≤ (2) 1+ x +1 + x ≤ (3) 1− x 1+ x ≤ Cộng (1), (2), (3) ta được: − x + − x + + x ≤ + − x + + x Áp dụng BĐT Cô si thêm lần ta được: (1 − x) + − x  − x = (1 − x ).1 ≤ =  2 ⇒ 1+ 1− x + 1+ x ≤ ⇒ VT ≤  (1 + x ) + + x  + x = (1 + x).1 ≤ =  2 1 − x = ⇒x=0 Dấu “=” xãy khi:  1 + x = Vậy pt có nghiệm x=0 Lời bình:  Qua ví dụ cho ta thấy BĐT áp dụng để giải phương trình chứa thức dạng phức tạp Nhờ điều kiện dấu xãy BĐT ta tìm nghệm pt cách dễ dàng  Ta gặp cách giải hệ pt trình phức tạp sau Bài tập tương tự: Nguyễn Hữu Phúc Page 20 ... ví dụ cho ta thấy nhược điểm phương pháp giải theo phương trình hệ dài phải thử lại nghiệm ( tránh trường hợp xuất nghiệm ngoại lai), phương pháp giải theo phương trình tương đương có phần ưu... phân biệt tùy theo đặc thù phương trình chứa mà ta chọn cách giải cho phù hợp  Vì sau tiếp cận nhiều toán chứa thức ta cảm nhận sâu sắc khía cạnh tốn lúc ta thấy rõ phương pháp điều có ý nghĩa... =  Lời bình:  Qua ví dụ cho ta thấy giải phương trình phương pháp biến đổi tương đương có nhiều lợi tiện lợi, giải phương pháp biến đổi phương trình hệ quả, nghĩa phải đặt điều kiện để có