Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA Dạng : Phương trình Dạng 2: Phương trình Dạng 3: Phương trình A ≥ 0( B ≥ 0) A= B⇔ A = B B ≥ A=B⇔ Tổng quát: A = B 2k B ≥ A=B⇔ 2k A = B 3 3 +) A + B = C ⇔ A + B + A.B ( om A ≥ +) A + B = C ⇔ B ≥ (chuyển dạng 2) A + B + AB = C ) A + B = C (1) Dạng 4: A = B ⇔ A = B3 ; k +1 A = B ⇔ A = B k +1 oc Chú ý: - Phương trình (2) phương trình hệ ph tr (1) .c ta sử dụng phép : A + B = C ta phương trình : A + B + 3 A.B.C = C (2) - Phép bình phương vế phương trình mà điều kiện cho vế không âm phép biến đổi hệ Sau tìm nghiệm ta phải thử lại Giải phương trình sau: x2 − 4x + = x + 2) x − 2x + = − x 3) ( x − 3) x − = x − 4) 3x − x + = x − 5) x − 3x + − − x = 6) 8) − 1− x = − x 9) 16) x + + x + = x + 11 x + − − x = 2x − y − 14 − 12 − y = 18) x + 3x + + x + x + = x + x + (20) on g 7) 3x − 3x − = cu 1) Nếu phương trình : 17) 12) 15) x −1 − x − = x − x + − − x = − 2x 3x2 + 6x + 16 + x2 + 2x = x2 + 2x + 19) x +1 = x + − 20) x2 + − x2 − = f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau bình phương ,giải phương trình hệ kh x3 + + x + = x2 − x + + x + x+3 Nhận xét : Nếu phương trình : đổi x +1 + x + + x + = x − − 3x − − x − = x + + x − = 5x f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) Mà có : f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + k ( x ) , ta biến đổi phương trình dạng (21) 3 x + + 3x + = x + x + Nhận xét : 11) 14) bo 10) 13) 3x − x + = x − f ( x ) + g ( x ) = h ( x ) + k ( x ) Mà có : f ( x ) h ( x ) = k ( x ) g ( x ) ta biến f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau bình phương ,giải phương trình hệ PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Dạng 1: Các phương trình có dạng : ∗ α A.B + β A.B + γ = , đặt t = A.B ⇒ A.B = t Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ∗ α f ( x ) + β f ( x ) + γ = , đặt t = ∗ α ( x − a )( x − b) + β ( x − a ) f ( x) ⇒ f ( x) = t x −b x −b + γ = đặt t = ( x − a ) ⇒ ( x − a)( x − b) = t x−a x−a Chú ý: ∗ Nếu điều kiện cho t, sau tìm x phải thử lại Bài Giải phương trình sau: 7) x + 10 x + = − x − x 1) ( x + 1)( x + 4) = x + x + 28 2) ( x − 3) + 3x − 22 = 3) x( x + 5) = 23 x + x − − x − 3x + 5) − (4 − x)(2 + x) = x − x − 12 6) (4 + x)(6 − x) = x − x − 12 Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm? a) (1 + x)(3 − x) = x − x + + m b) − x + x + ( − x )( x + 1) = m − om 4) x − x + = x − x + A ± B± ( A± B ) Bài Giải phương trình sau: x − x2 = x + 1− x a) (QGHN-HVNH’00) + b) x = 2x + +4 2x (Đ36) cu +C = Đặt t= A± B x + + x + = 3x + 2 x + 5x + - c) (AN’01) x + + x − + 49 x + x − 42 = 181 − 14 x e) x + oc Dạng 2: Các phương trình có dạng: c Bài Cho phương trình: − x + x + (3 − x)( x + 1) = m − a Giải phương trình m = 12 b Tìm m để phương trình có nghiệm? x+1 Bài Cho phương trình: (x − 3)(x + 1)+ 4(x − 3) (Đ3) =m x− a Giải phương trình với m = -3 b Tìm m để phương trình có nghiệm? d) g) (TN- KA, B ‘01) x + x+ + x− = x + x2 − 16 − 2 x = 2x + −7 2x z − + z + + ( z − 1)( z + 3) = − z i) kh on g bo x − + x − = x − + 3x − x + (KTQS‘01) + x + − x − (1 + x )( − x ) = a Bài Cho phương trình: (ĐHKTQD - 1998) a Giải phương trình a = b Tìm a để phương trình cho có nghiệm.? Bài Cho phương trình: + x + − x − ( + x )( − x ) = m (Đ59) a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình có nghiệm? x + + − x − ( x + 1)(3 − x) = m (m-tham số) (ĐHSP Vinh 2000) Bài Cho phương trình: a Giải phương trình m = b Tìm để phương trình cho có nghiệm Bài Tìm a để PT sau có nghiệm: + x + − x − ( + x )( − x ) = a Tất tập 2, 3, 4, ta sáng tạo thêm câu hỏi tập sau: a) Tìm a để phương trình cho có nghiệm nhất? (ĐK cần đủ) b) Tìm a để phương trình cho vô nghiệm? h) Dạng 3: Đặt ẩn phụ ẩn ban đầu (Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn ) Từ phương trình tích ( )( x +1 −1 ) x +1 − x + = , ( 2x + − x )( ) 2x + − x + = Khai triển rút gọn ta phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể qua ví dụ ( ) 2 sau Bài Giải phương trình : x + − x + x = + x + Giải: Đặt t = t = x + , ta có : t − ( + x ) t − + x = ⇔ t = x − Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Bài Giải phương trình : ( x + 1) x2 − 2x + = x2 + Giải: 2 Đặt : t = x − x + 3, t ≥ Khi phương trình trở thnh : ( x + 1) t = x + ⇔ x + − ( x + 1) t = Bây ta thêm bớt , để phương trình bậc theo t có ∆ chẵn : t = x − x + − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t − ( x + 1) t + ( x − 1) = ⇔ t = x − ( 1− x − 1+ x )( ) − x − + + x = , khai triển ta pt sau Bài Giải phương trình sau : x + − = x + − x + − x Giải: Nhận xét : đặt t = − x , pttt: + x = x + 2t + t + x (1) ) ( ) 1+ x −1 = ( Nhưng may mắn để giải phương trình theo t ∆ = + + x Muốn đạt mục đích ta phải tách 3x theo Cụ thể sau : x = − ( − x ) + ( + x ) ( ) ( 1− x , 1+ x ) − 48 ( ) x +1 −1 oc dạng bình phương ) c ( Ta rút x = − t thay vào pt: 3t − + + x t + om Từ phương trình đơn giản : thay vào pt (1) ta được: cu Bài Giải phương trình: 2 x + + − x = x + 16 Giải ( ) 2 Bình phương vế phương trình: ( x + ) + 16 − x + 16 ( − x ) = x + 16 ( ) = α ( − x ) + ( + 2α ) x Ta đặt : t = − x ≥ Ta được: x − 16t − 32 + x = 2 − 8α cho ∆ t có dạng phương bo Ta phải tách x Nhận xét : Thông thường ta cần nhóm cho hết hệ số tự đạt mục đích Bài tập đề nghị: Giải phương trình sau 1) ( x − 1) x + = x + x + 2) 2(1 − x ) x + x − = x − x − 3) x2 + x + 12 x + = 36 5) + x − = x + − x + − x 6) sin x + sin x + sin x + cos x = x−1 1 2 x+ y + cos( x + y ) = 13 + cos ( x + y ) 7) 2x + 8) 3 x − x sin − 1− − x − = x x x 12 12 (9) 12 − + x − = x x x on g 4) 1+ x − 2x2 = 4x2 − − 2x + Một số dạng khác ( kh 1) 9( x + 1) = ( x + ) − x + ( 4) 10 x + = x − x + 7) x + 10) x x −1 = ) 35 12 x x +1 −2 = (Đ141) x +1 x ) 5) 8) 2) x − x + = − x4 + x2 +1 x − x2 −1 + x + x2 −1 = 3) 6) x − = x + 3x − 6x 12 x 12 x − − 24 =0 x−2 x−2 x−2 3x 1− x + x 3x = − ⇔ = −1 2 1− x 1− x 1− x 1− x 4x = 2x + 11) 1− + 2x ( ) Dạng 4: Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến : 2 Chúng ta biết cách giải phương trình: u + α uv + β v = (1) cách Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác u u Xét v ≠ phương trình trở thành : + α + β = v v v = thử trực tiếp Các trường hợp sau đưa (1) a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) α u + β v = mu + nv Chúng ta thay biểu thức A(x) , B(x) biểu thức vô tỉ nhận phương trình vô tỉ theo dạng om a) Phương trình dạng : a A ( x ) + bB ( x ) = c A ( x ) B ( x ) P ( x ) = A ( x ) B ( x ) Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Như phương trình Q ( x ) = α P ( x ) giải phương pháp Xuất phát từ đẳng thức : c x + = ( x + 1) ( x − x + 1) x + x + = ( x + x + 1) − x = ( x + x + 1) ( x − x + 1) ( )( ) oc x4 + = x2 − x + x2 + 2x + x + = ( x − x + 1) ( x + x + 1) ( cu Hãy tạo phương trình vô tỉ dạng ví dụ như: x − 2 x + = x + Để có phương trình đẹp , phải chọn hệ số a,b,c cho phương trình bậc hai at + bt − c = giải “ nghiệm đẹp” ) Bài Giải phương trình : x + = x + Giải: Đặt u = x + 1, v = x − x + bo u = 2v Phương trình trở thành : ( u + v ) = 5uv ⇔ u = v Bài Giải phương trình : x − x + = − x + x2 + on g 2 Tìm được: x = ± 37 Bài 3: giải phương trình sau : x + x − = x3 − Giải: Đk: x ≥ ( ) ( x − 1) ( x + x + 1) Nhận xt : Ta viết α ( x − 1) + β x + x + = ( ) kh Đồng thức ta được: ( x − 1) + x + x + = ( x − 1) ( x + x + 1) v = 9u Đặt u = x − ≥ , v = x + x + > , ta được: 3u + 2v = uv ⇔ v = u Ta : x = ± Bài Giải phương trình : x − x + Giải: Nhận xét : Đặt y = ( x + 2) − 6x = x + ta biến pt phương trình bậc x y : Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác x = y x − x + y − x = ⇔ x3 − 3xy + y = ⇔ x = −2 y Pt có nghiệm : x = 2, x = − b).Phương trình dạng : α u + β v = mu + nv Phương trình cho dạng thường khó “phát “ dạng , nhưg ta bình phương hai vế đưa dạng Bài giải phương trình : x + x − = x − x + Giải: Đk x ≥ Bình phương vế ta có : + x ) ( x − 1) = x + ⇔ (x + x ) ( x − 1) = ( x + x ) − ( x − 1) oc (x x + x + x − = 3x + x + c Bài 2.Giải phương trình sau : Giải om u = x Ta đặt : phương trình trở thành : u + 3v = u − v 2 v = x − 1− u= v u = x + x 2 Ta đặt : ta có hệ : uv = u − v ⇔ v = x − 1+ v u = 1+ 1+ Do u , v ≥ u = v ⇔ x2 + 2x = ( x − 1) 2 x − 14 x + − x − x − 20 = x + bo Bài giải phương trình : Giải: cu 2 Đk x ≥ Chuyển vế bình phương ta được: x − x + = ( (x − x − 20 ) ( x + 1) ) 2 Nhận xét : không tồn số α , β để : x − x + = α x − x − 20 + β ( x + 1) ta đặt on g u = x − x − 20 v = x + ( ) ( ) 2 Nhưng may mắn ta có : x − x − 20 ( x + 1) = ( x + ) ( x − ) ( x + 1) = ( x + ) x − x − Ta viết lại ( ) 2 phương trình: x − x − + ( x + ) = ( x − x − 5)( x + 4) Đến toán giải kh Dạng 5: Đặt nhiều ẩn phụ đưa tích Xuất phát từ số hệ “đại số “ đẹp tạo phương trình vô tỉ mà giải lại đặt nhiều ẩn phụ tìm mối quan hệ ẩn phụ để đưa hệ Xuất phát từ đẳng thức ( a + b + c ) = a + b3 + c3 + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) , Ta có a + b3 + c3 = ( a + b + c ) ⇔ ( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) = Từ nhận xét ta tạo phương trình vô tỉ có chứa bậc ba x + − x2 − x − + x2 − 8x + = 3x + + − x + x − − x − = Bài Giải phương trình : x = − x − x + − x − x + − x − x Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác u = − x Giải : v = − x , ta có : w = − x 30 239 u= ⇔x= 60 120 ( u + v ) ( u + w ) = 2 − u = uv + vw + wu 3 − v = uv + vw + wu ⇔ ( u + v ) ( v + w ) = , giải hệ ta được: 5 − w2 = uv + vw + wu ( v + w ) ( u + w ) = Bài Giải phương trình sau : x − + x − x − = x + x + + x − x + 2x2 − x − 3x − 2x2 + 2x + a + b = c + d , ta có : 2 2 a − b = c − d om a = b = Giải Ta đặt : c = d = ⇔ x = −2 x2 − x + c Bài Giải phương trình sau 1) x2 + 5x + − x2 − x + = x − x + x ( − x ) + ( − x ) = − x + x3 + x ( − x ) oc 3 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Sử dụng đẳng thức au + bv = ab + vu ⇔ ( u − b ) ( v − a ) = ax + b ± cx + d = ( a - c) x + ( b - d ) m A = B ⇔ ( A − B )( A + B ) = a3−b3 ⇔ (a−b)(a2+ab+b2)=0 ⇔ a=b Bài Giải phương trình : Giải: pt ⇔ ( )( x +1 −1 bo x + + x + = + x + 3x + x = x + −1 = ⇔ x = −1 ) on g Bi Giải phương trình : x + + x = Giải: + x = , nghiệm + x ≠ , ta chia hai vế cho x: kh Bài Giải phương trình: Giải: dk : x ≥ −1 cu u + v = + uv ⇔ ( u − 1) ( v − 1) = 3 x + x2 + x x +1 x +1 + x = 1+ x +1 ⇔ − 1 x x ( x + + x x + = 2x + x2 + x + x = x +1 −1 = ⇔ x = 4x =4 x Bài Giải phương trình : x + + x+3 pt ⇔ ( x + − 2x )( ) Giải: Đk: x ≥ Chia hai vế cho 4x 4x 4x =2 ⇔ 1 − x + : 1+ = ⇔ x =1 x+3 x+3 x + Dùng đẳng thức ) x −1 = ⇔ x = Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác Biến đổi phương trình dạng : Ak = B k ⇔ ( A − B )( AK −1 + AK − B + AK −3 B + + A.B K − + B K −1 ) Bài Giải phương trình : 3−x = x 3+x Giải: Đk: ≤ x ≤ pt đ cho tương đương : x + x + x − = Giải: ( Đk: x ≥ −3 phương trình tương đương : + + x ) x = x + + = 3x = 9x ⇔ ⇔ x = −5 − 97 x + + = −3 x 18 ( x + − 3x ) = ⇔ x =1 ĐS: x=1 3) 4) 8) x + x + 15 = x + + x + − x2 + 7x + 5) = x (ĐHDL ĐĐ’01) ( x + 1) + 3n ( x − 1) + 2n x − = (với n ∈ N; n ≥ 2) x+2 6) ( x + 2)( x − 1) − x + = − ( x + 6)( x − 1) + x + x2 − x − − x − + = x + x + 10 x + 21 = x + + x + − n 7) x − x − − ( x − 1) x + x − x = cu 2) oc Bài tập đề nghị Giải phương trình sau : 1) c Bài Giải phương trình sau : + 3 x ( x + ) = x + 3 x ( x + ) Giải : pttt ⇔ om 10 10 − ⇔x+ = ⇔ x = 3 3 Bài Giải phương trình sau : x + = x − x − (1) (HVKT QS - 2001) (ĐHSPHN2’00) bo PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC x( x − 1) + x ( x + 2) = x 2 x − 2002 x + 2001 + x − 2003 x + 2002 = x − 2004 x + 2003 x( x − 1) + x( x − 2) = x( x + 3) on g x( x − 1) + x( x − 2) = x( x + 3) 8) x − 3x + + x − x + = x − 5x + 4 x( x − − x( x + 2) = x x − 3x + + x − x + ≥ x − x + x + 3x + + x + x + = x + x + (Đ8) (BKHN- 2001) PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI x2 − 4x + − x2 − 10x + 50 = x + − x −1 + x + − x −1 = x + x −1 + x − x −1 = x+3 x + + 2x − + x − − 2x − = 2 x − 2x + = − x x + 15 − x − + x + − x − = kh x + x −1 − x − x −1 = (HVCNBC’01) x − 4x − + x + 4x − = (Đ24) x + = x + + PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP 6.1 Nhân lượng liên hợp để xuất nhân tử chung a) Phương pháp Một số phương trình vô tỉ ta nhẩm nghiệm x0 phương trình đưa dạng tích ( x − x0 ) A ( x ) = ta giải phương trình A ( x ) = chứng minh A ( x ) = vô nghiệm , ý điều kiện nghiệm phương trình để ta đánh gía A ( x ) = vô nghiệm