Đang tải... (xem toàn văn)
d Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ... b Viết phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm của C với trục hoành.[r]
(1)ĐẠO HÀM VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm định nghĩa Baøi 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm các hàm số sau điểm ra: a) y = f ( x ) = x − x + x0 = c) y = f ( x ) = e) y = f ( x ) = 2x + x0 = x −1 b) y = f ( x ) = − x x0 = –3 d) y = f ( x ) = sin x f) y = f ( x ) = x x0 = x0 = π x2 + x + x0 = x −1 Baøi 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm các hàm số sau: a) f ( x ) = x − x + d) f ( x ) = 2x − b) f ( x ) = x − x c) f ( x ) = e) f ( x ) = sin x f) f ( x ) = x + 1, ( x > − 1) cos x VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm công thức Baøi 1: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y = x − x + x − − x + x x b) y = 3 x d) y = ( x − 1)( x − 4)( x − 9) g) y = 2x +1 e) y = ( x + x )(2 − x ) h) y = 2x +1 − 3x x − 3x + x2 − x + l) y = x −1 x −3 Baøi 2: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y = ( x + x + 1)4 b) y = (1 − x )5 d) y = ( x − x)5 e) y = ( − x ) g) y = 2x + h) y = x −1 ( x − 1)3 − 1 f) y = ( x + 1) x i) y = k) y = ( x + 1)2 c) y = ( x − 2)(1 − x ) − x + x2 2x2 m) y = x2 − 2x − c) y = ( x3 − x + 1)11 f) + x − x2 y= ( x − x + 5)2 3 i) y = − x Baøi 3: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y = x − 5x + b) y = d) y = ( x − 2) x + e) y = ( x − 2)3 g) y = x3 x −1 h) y = x3 − x + 4x +1 x2 + c) y = x+ x f) y = (1 + − x ) i) y = + x2 x Baøi 4: Tính đạo hàm các hàm số sau: sin x a) y = + cos x d) y = cot x g) y = (2 + sin 2 x )3 b) y = x.cos x c) y = sin3 (2 x + 1) e) y = sin + x f) y = sin x + x h) y = sin ( cos2 x tan x ) i) y = sin x − cos3 x (2) x +1 l) y = tan x + tan3 x + tan x k) y = cos2 x −1 Baøi 5: Cho n là số nguyên dương Chứng minh rằng: a) (sin n x.cos nx )' = n sin n −1 x.cos(n + 1) x b) (sin n x.sin nx )' = n.sin n−1 x.sin(n + 1) x c) (cosn x.sin nx )' = n.cosn−1 x.cos(n + 1) x d) (cosn x.cos nx )' = − n.cosn −1 x.sin(n + 1) x VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = f(x) Baøi 1: Cho hàm số (C): y = f ( x ) = x − x + Viết phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 = b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + = c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = d) Vuông góc với đường phân giác thứ góc hợp các trục tọa độ − x + x2 (C) x −1 a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(2; 4) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 3x + Baøi 3: Cho hàm số y = f ( x ) = (C) 1− x a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(2; –7) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hoành c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = x + 100 e) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆: 2x + 2y – = Baøi 2: Cho hàm số y = f ( x ) = Baøi 4: Cho hàm số (C): y = x − 3x a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm I(1, –2) b) Chứng minh các tiếp tuyến khác đồ thị (C) không qua I Baøi 5: Cho hàm số (C): y = − x − x Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = b) Song song với đường thẳng x + 2y = VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao Baøi 1: Cho hàm số f ( x ) = 3( x + 1) cos x π b) Tính f ''(π ), f '' , f ''(1) 2 Baøi 2: Tính đạo hàm các hàm số đến cấp ra: x −3 a) y = cos x , y ''' b) y = x − x + x − x + 7, y '' c) y = , y '' x+4 a) Tính f '( x ), f ''( x ) d) y = x − x , y '' e) y = x sin x , y '' f) y = x tan x , y '' g) y = ( x + 1)3 , y '' h) y = x − x + 4, y (4) i) y = , y (5) 1− x Baøi 3: Cho n là số nguyên dương Chứng minh rằng: a) 1+ x (n ) = (−1)n n! (1 + x ) n +1 n.π n.π (n) b) (sin x )( n) = sin x + c) (cos x ) = cos x + (3) Baøi 4: Tính đạo hàm cấp n các hàm số sau: 1 a) y = b) y = x+2 x − 3x + 1− x e) y = sin x d) y = 1+ x c) y = x x2 −1 f) y = sin x + cos4 x Baøi 5: Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số ra: y = x sin x b) y = x − x a) xy ''− 2( y '− sin x ) + xy = y y ''+ = x −3 y = x tan x y = c) d) x+4 2 x y ''− 2( x + y )(1 + y ) = 2 y′2 = ( y − 1)y '' sin u( x ) x → x0 u( x ) VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng lim Baøi 1: Tính các giới hạn sau: sin x − cos x b) lim a) lim x →0 sin x x →0 x2 + sin x − cos x x →0 − sin x − cos x e) lim f) lim x→ tan x x →0 sin x − sin x π π − x 2 cos x − sin x π cos x x→ π sin x − π 6 g) lim − x tan x h) lim π π2 x→ x→ − cos x c) lim d) lim VẤN ĐỀ 6: Các bài toán khác Baøi 1: Giải phương trình f '( x ) = với: a) f ( x ) = cos x − sin x + x b) f ( x ) = cos x + sin x + x − c) f ( x ) = sin x + cos x d) f ( x ) = sin x − cos x cos x − 3π + x f) f ( x ) = sin x − cos3 x + 3(cos x − sin x ) Baøi 2: Giải phương trình f '( x ) = g( x ) với: e) f ( x ) = − sin(π + x ) + cos a) f ( x ) = sin x g( x ) = sin x b) f ( x ) = sin x g( x ) = cos x − 5sin x x 2 x f ( x ) = x cos f ( x ) = x cos d) c) g( x ) = 8cos x − − x sin x g( x ) = x − x sin x Baøi 3: Giải bất phương trình f '( x ) > g '( x ) với: a) f ( x ) = x + x − 2, g( x ) = x + x + b) f ( x) = x − x − 8, g ( x) = x x2 − d) f ( x ) = , g( x ) = x − x x Baøi 4: Xác định m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với x ∈ R: c) f ( x ) = x − x + 3, g( x ) = x + mx a) f '( x ) > − 3x + mx − với f ( x ) = mx mx b) f '( x ) < − + (m + 1) x − 15 với f ( x ) = Baøi 5: Cho hàm số y = x3 − x + mx − Tìm m để: a) f '( x) bình phương nhị thức bậc b) f '( x) ≥ với x (4) mx3 mx + − (3 − m) x + Tìm m để: b) f '( x) = có hai nghiệm phân biệt cùng dấu a) f '( x) < với x Baøi 6: Cho hàm số f ( x) = − c) Trong trường hợp f '( x) = có hai nghiệm, tìm hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc vào m BÀI TẬP ÔN Bài 1: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y = x ( x − 4) b) y = ( x + 3)( x − 1) c) y = x − x + d) y = x (2 x − 1) e) y = (2 x + 1)(4 x − x ) f) y = x − 3x + h) y = 2x − x − 2x Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau: i) y = (3 − x )2 g) y = a) y = x − x + d) y = b) y = − x 1+ x e) y = 1− x Bài 3: Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y = sin( x − x + 2) d) y = sin x + cos x sin x − cos x + 9x x +1 c) y = x − 3x − x x −3 x f) y = − x2 sin x x + x sin x b) y = tan (cos x ) c) y = e) y = x cot( x − 1) f) y = cos2 ( x + x + 2) g) y = cos2 x h) y = cot + x i) y = tan (3 x + x ) Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) các hàm số, với: a) (C ) : y = x − x + điểm M(−1, −2) b) (C ) : y = x2 + 4x + điểm có hoành độ x0 = x+2 c) (C ) : y = x + biết hệ số góc tiếp tuyến là k = Bài 5: Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) cho tiếp tuyến đó: a) Song song với đường thẳng y = −3 x + b) Vuông góc với đường thẳng y = x − c) Đi qua điểm A(0;2) cos x π π Tính giá trị f ' + f ' cos x 6 3 b) Cho hai hàm số f ( x ) = sin x + cos4 x và g( x ) = cos x So sánh f '( x ) và g '( x ) Bài 7: Tìm m để f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ R , với: Bài 6: a) Cho hàm số f ( x ) = a) f ( x ) = x + (m − 1) x + x + 1 b) f ( x ) = sin x − m sin x − sin x + mx Bài 8: Chứng minh f ′ ( x ) > , ∀x ∈ R , với: a) f ( x ) = x + sin x b) f ( x ) = x − x + x − x + x − (5)