bai tap ve nguyen ham dai so 12 17299 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các...
NHẬP MÔN CSDL QUAN HỆ Soạn bởi bộ môn Công nghệ phần mềm 1. BµI TËP VÒ ĐẠI SỐ QUAN HỆ MỤC TIÊU CỦA BÀI NÀY GIÚP NGƯỜI HỌC Phân biệt các phép toán trên quan hệ, các tính chất của đại số quan hệ. Kết hợp các phép toán để giải quyết các yêu cầu cụ thể. A/ NHẮC LẠI LÝ THUYẾT I. CÁC CÔNG THỨC QUAN TRỌNG Phép hợp: Cho hai quan hệ R và S có cùng tập thuộc tính là U, Khi đó hợp của hai quan hệ R và S, kí hiệu là R+S, đó cũng là một quan hệ có tập thuộc tính là U, và được xác định như sau: R+S={ t | t ∈ R hoặc t ∈ S} Phép giao: Cho 2 quan hệ R và S, có cùng tập thuộc tính U, giao của 2 quan hệ R và S, kí hiệu là R.S, là một quan hệ trên tập thuộc tính U và chỉ gồm tất cả các bộ t vừa thuộc R vừa thuộc S, tức là: R.S={ t | t ∈ R và t ∈ S } Phép hiệu: Cho R và S là 2 quan hệ trên tập thuộc tính U, hiệu hai quan hệ R và S, kí hiệu là R\S, là một quan hệ trên tập thuộc tính U, và được xác định như sau: R-S= { t | t ∈ R và t ∉ S} Phép chọn: Cho quan hệ R trên tập thuộc tính U và E là biểu thức chọn trên tập thuộc tính U, phép chọn quan hệ R theo biểu thức chọn E đựơc kí hiệu là R(E), đó là một quan hệ trên tập thuộc tính U, và được xác định như sau: R(E)= { t | t ∈ R và t(E) } Phép chiếu: Cho quan hệ R trên tập thuộc tính U, φ≠X⊆U là một tập con các thuộc tính của U, phép chiếu của quan hệ R lên tập thuộc tính X, được kí hiệu là R[X], đó là một quan hệ trên tập thuộc tính X, và được xác định như sau: R[X] = { t.X | t ∈ R} Phép chia: Cho lược đồ quan hệ R={A1, A2,…, An}. Cho quan hệ R(U), và S(V), với ∅ ≠ V ⊆ U, đặt X = U\V. Phép chia quan hệ R cho quan hệ S, ký hiệu là R ÷ S là một quan hệ trên tập thuộc tính X và được xác định: R ÷ S ={ t.X\ t ∈ và ∀ V ∈ S và <t.X,V> ∈ R} Trong định nghĩa trên chú ý rằng ký hiệu <t, u> là sự ghép vào đúng vị trí của hai xâu t và u. Phép kết nối θ - Sau đây ta sẽ xét phép kết nối theo toán tử θ, với θ là một toán tử so sánh số học 2 ngôi (=, <, >, ≤, ≥, ≠). Trang 1 NHẬP MÔN CSDL QUAN HỆ Soạn bởi bộ môn Công nghệ phần mềm - Cho A ⊆ U, B ⊆ V là các thuộc tính, t1, t2 lần lượt là 2 bộ trên U và V. Khi đó, t1, t2 có thể kết nối với nhau nếu t1.A θ t2.B, ký hiệu là t= <t1, t2> là kết quả kết nối của t1, t2. Định nghĩa: Cho 2 quan hệ R(U) và S(V) l tương ứng trên các lược đồ rời nhau R và S tức R ∩ S = ∅. θ là phép so sánh, A ∈ U, B ∈ S . Phép kết nối quan hệ R và S theo điều kiện A θ B được ký hiệu là: */ Phép kết nối tự nhiên Định nghĩa: Cho 2 quan hệ R(U), S(V), đặt X= U ∩ V, phép kết nối tự nhiên của quan hệ R và S, ký hiệu là R* S, được xác định như sau: R*S = { t\ ∃ t1 ∈ R, t2 ∈ S để t1.X = t2.X} */ Phép kết nối một nửa Với giả tihết như trên với R(U), S(V). Ta có phép kết nối nửa sau: II. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Đây là phép chiếu trên quan hệ R R A B C D R[AC] A C a 1 b 3 c 1 d 1 a1 c 1 a 2 b 2 c 1 d 3 a2 c 1 a 1 b 1 c 1 d 2 a 3 c 2 a 3 b 1 c 2 d 5 a 1 b 3 c 1 d 6 Ví dụ 2: Đây là phép kết nối trên 2 quan hệ Giả sử r và s là các quan hệ như sau: r A B C s D E 1 2 3 3 1 4 5 6 6 2 7 8 9 Khi đó, ta có r 2<1 s A B C D E 1 2 3 3 1 Trang 2 R = A θ B = { t\ ∃ t1 ∈ R, t2 ∈ S, t =<t1, t2>, sao cho t1.A θ t2.B } R S = { t\ t ∈ (R S) [U]} NHẬP MÔN CSDL QUAN HỆ Soạn bởi bộ môn Công nghệ phần mềm 1 2 3 6 2 4 5 6 6 2 Ví dụ 3: Đây là phép kết nối trên 2 quan hệ Cho hai quan hệ R và S như sau: R A B C S C D a 1 1 c 1 c 1 4 a 2 2 c 1 c 1 3 a 1 3 c 1 c 2 2 a 3 4 c 2 c 2 1 Phép so sánh là B > D khi đó R D B > S A B C C D a 2 2 c 1 c 2 1 a 1 3 c 1 c 2 2 a 1 3 c 1 c 2 1 a 3 4 c 2 c 1 3 a 3 4 c 2 c 2 2 a 3 4 c 2 c 2 1 Ví dụ 4: Đây là phép kết nối nửa trên 2 quan hệ r A B C s C D a b c b c d d b c b c e b b f a d b c a d Khi đó ta có: r s A B C a b c Trang 3 NHẬP MÔN onthionline.net Tìm nguyên hàm I = Đặt x = t , I = ∫ ∫ x2 − x dx 6t dt t2 = dt = ∫ t + + ÷dt = Đến đơn gian ∫ t −t t −1 t −1 I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1. f(x) = x 2 – 3x + x 1 ĐS. F(x) = Cx xx ++− ln 2 3 3 23 2. f(x) = 2 4 32 x x + ĐS. F(x) = C x x +− 3 3 2 3 . f(x) = 2 1 x x − ĐS. F(x) = lnx + x 1 + C 4. f(x) = 2 22 )1( x x − ĐS. F(x) = C x x x ++− 1 2 3 3 5. f(x) = 4 3 xxx ++ ĐS. F(x) = C xxx +++ 5 4 4 3 3 2 4 5 3 4 2 3 6. f(x) = 3 21 xx − ĐS. F(x) = Cxx +− 3 2 32 7. f(x) = x x 2 )1( − ĐS. F(x) = Cxxx ++− ln4 8. f(x) = 3 1 x x − ĐS. F(x) = Cxx +− 3 2 3 5 9. f(x) = 2 sin2 2 x ĐS. F(x) = x – sinx + C 10. f(x) = tan 2 x ĐS. F(x) = tanx – x + C 11. f(x) = cos 2 x ĐS. F(x) = Cxx ++ 2sin 4 1 2 1 12. f(x) = (tanx – cotx) 2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C 13. f(x) = xx 22 cos.sin 1 ĐS. F(x) = tanx - cotx + C 14. f(x) = xx x 22 cos.sin 2cos ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C 15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = Cx +− 3cos 3 1 16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) = Cxx +−− cos5cos 5 1 17. f(x) = e x (e x – 1) ĐS. F(x) = Cee xx +− 2 2 1 18. f(x) = e x (2 + ) cos 2 x e x− ĐS. F(x) = 2e x + tanx + C 19. f(x) = 2a x + 3 x ĐS. F(x) = C a a xx ++ 3ln 3 ln 2 20. f(x) = e 3x+1 ĐS. F(x) = Ce x + +13 3 1 2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng 1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x 2 + x + 3 2. f’(x) = 2 – x 2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 1 3 2 3 +− x x 3. f’(x) = 4 xx − và f(4) = 0 ĐS. f(x) = 3 40 23 8 2 −− xxx 4. f’(x) = x - 2 1 2 + x và f(1) = 2 ĐS. f(x) = 2 3 2 1 2 2 −++ x x x 5. f’(x) = 4x 3 – 3x 2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x 4 – x 3 + 2x + 3 6. f’(x) = ax + 2)1(,4)1(,0)1(', 2 =−== fff x b ĐS. f(x) = 2 51 2 2 ++ x x II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. Tính I = ∫ dxxuxuf )(')].([ bằng cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) dxxudt )('=⇒ I = ∫ ∫ = dttfdxxuxuf )()(')].([ BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. ∫ − dxx )15( 2. ∫ − 5 )23( x dx 3. dxx ∫ − 25 4. ∫ −12x dx 5. ∫ + xdxx 72 )12( 6. ∫ + dxxx 243 )5( 7. xdxx .1 2 ∫ + 8. ∫ + dx x x 5 2 9. ∫ + dx x x 3 2 25 3 10. ∫ + 2 )1( xx dx 11. dx x x ∫ 3 ln 12. ∫ + dxex x 1 2 . 13. ∫ xdxxcossin 4 14. ∫ dx x x 5 cos sin 15. ∫ gxdxcot 16. ∫ x tgxdx 2 cos 17. ∫ x dx sin 18. ∫ x dx cos 19. ∫ tgxdx 20. ∫ dx x e x 21. ∫ − 3 x x e dxe 22. ∫ dx x e tgx 2 cos 23. ∫ − dxx .1 2 24. ∫ − 2 4 x dx 25. ∫ − dxxx .1 22 26. ∫ + 2 1 x dx 27. ∫ − 2 2 1 x dxx 28. ∫ ++ 1 2 xx dx 29. ∫ xdxx 23 sincos 30. dxxx .1 ∫ − 31. ∫ +1 x e dx 32. dxxx .1 23 ∫ + 2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I ∫ ∫ −= dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( Hay ∫ ∫ −= vduuvudv ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1. ∫ xdxx sin. 2. ∫ xdxxcos 3. ∫ + xdxx sin)5( 2 4 ∫ ++ xdxxx cos)32( 2 5. ∫ xdxx 2sin 6. ∫ xdxx 2cos 7. ∫ dxex x . 8. ∫ xdxln 9. ∫ xdxxln 10. dxx ∫ 2 ln 11. ∫ x xdxln 12. ∫ dxe x 13. ∫ dx x x 2 cos 14. ∫ xdxxtg 2 15. ∫ dxxsin 16. ∫ + dxx )1ln( 2 17. ∫ xdxe x cos. 18. ∫ dxex x 2 3 19. ∫ + dxxx )1ln( 2 20. ∫ xdx x 2 21. ∫ xdxx lg 22. ∫ + dxxx )1ln(2 23. ∫ + dx x x 2 )1ln( 24. ∫ xdxx 2cos 2 TÍCH PHÂN I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1. 1 3 0 ( 1)x x dx+ + ∫ 2. 2 2 1 1 1 ( ) e x x dx x x + + + ∫ 2. 3 1 2x dx− ∫ 3. 2 1 1x dx+ ∫ 4. 2 3 (2sin 3 )x cosx x dx π π + + ∫ 5. 1 0 ( ) x e x dx+ ∫ 6. 1 3 0 ( )x x x dx+ ∫ 7. 2 1 ( 1)( 1)x x x dx+ − + ∫ 8. 2 3 1 (3sin 2 )x cosx dx x π π + + ∫ 9. 1 2 0 ( 1) x e x dx+ + ∫ 10. 2 2 3 1 ( )x x x x dx+ + ∫ 11. 2 1 ( 1)( 1)x x x dx− + + ∫ 12. 3 3 1 x 1 dx( ). − + ∫ 13. 2 2 2 -1 x.dx x + ∫ 14. 2 e 1 7x 2 x 5 dx x − − ∫ 15. x 2 5 2 dx x 2+ + − ∫ 16. 2 2 1 x 1 dx x x x ( ). ln + + ∫ 17. 2 3 3 6 x dx x cos . sin π π ∫ 18. 4 2 0 tgx dx x . cos π ∫ 19. CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM Bài tập về tiêu chuẩn ổn định đại số Routh – Hurwitz Bài tập 1: Cho hệ thống như Hình 1. Hệ thống vòng kín có ổn định không? R(s) GC(s) Go(s) C(s) Hình 1 1000 GO(s) = ( s +2)( s +3)( s +5) GC(s) =1 Giải: PTĐT: 1 + GC ( s ) G0 ( s ) = 0 ⇔ 1+ 1000 =0 ( s + 2 )( s + 3)( s + 5) ⇔ s 3 + 10s 2 + 31s + 1030 = 0 Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 1 CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM Dùng tiêu chuẩn Routh Bảng Routh: S3 S2 S1 S0 1 10→1 -72 1030 31 1030→103 0 0 (Ở hàng s2 ta chia các hệ số cho 10 để dễ tính toán mà không ảnh hưởng đến kết quả) Kết luận: Cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần nên hệ thống không ổn định, 2 cực bên phải mpp. Dùng tiêu chuẩn Hurwitz 10 1030 Ma trận Hurwitz: H= 1 0 31 10 0 0 1030 ∆1 = 1 > 0 Các định thức con: ∆2 = 10 1030 = 310 − 1030 = −720 < 0 1 31 ∆ 3 = 1030* ∆ 2 < 0 Kết luận: Vì tất cả các định thức con không dương nên hệ không ổn định. Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 2 CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM Bài tập 2: Xét ổn định của PTĐT sau: s 5 + 2 s 4 + 3s 3 + 6 s 2 + 5 s + 3 = 0 Giải: Bảng Routh: S5 S4 S3 S2 S1 S0 1 2 0→ε 6ߝ െ 7 ൏0 ߝ 42ߝ െ 49 െ 6ߝ ଶ 0 12ߝ െ 14 3 3 6 7/2 3 5 3 0 0 0 0 0 0 Kết luận: PTĐT không ổn định, có 2 nghiệm bên phải mpp. Bài tập 3: Xét ổn định của PTĐT sau: s 5 + 7 s 4 + 6 s 3 + 42 s 2 + 8s + 56 = 0 Giải: Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 3 CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM Bảng Routh: S5 1 6 8 S4 7→1 42→6 56→8 S3 0→4→1 0→12→3 0→0→0 S2 3 8 0 S1 1/3 0 0 S0 8 0 0 Hàng s3 có các hệ số bằng 0 → lập đa thức phụ A ( s ) = s 4 + 6s 2 + 8 dA ( s ) ⇒ = 4 s 3 + 12 s ds Kết luận: PTĐT ổn định vì các hệ số cột 1 bảng Routh dương. Bài tập 4: Cho hệ thống như Hình 4. Hệ thống vòng kín có ổn định không? R(s) GC(s) Go(s) Hình 4 C(s) 200 GO(s) = 3 2 s( s +6s +11s +6) GC (s) =1 ĐS: Hệ thống không ổn định, 2 cực bên phải mpp. Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 4 CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM Bài tập 5: Cho hệ thống như Hình 5. Hệ thống vòng kín có ổn định không? R(s) GC(s) Go(s) C(s) G0(s)= 1 s( 2s4 +3s3 +2s2 +3s+2) Gc(s)=1 Hình 5 ĐS: Hệ thống không ổn định, 2 cực bên phải mpp. Bài tập 6: Cho hệ thống như Hình 6. Tìm K để hệ thống vòng kín ổn định? R(s) GC(s) Go(s) Hình 6 C(s) K G0 (s) = s ( s + 7)( s +11) Gc (s) = 1 ĐS: 0 < K < 1386. Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 5 CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM Bài tập 7: Cho hệ thống như Hình 7. Tìm K để hệ thống vòng kín ổn định? R(s) GC(s) Go(s) Hình 7 C(s) G0 ( s) = K ( s + 20) s ( s + 2)( s + 3) Gc (s) = 1 ĐS: 0 < K < 2. Bài tập 8: Xét ổn định của hệ thống được cho bởi hệ PTTT sau: 3 1 0 10 ɺ x+0 x = 2 8 1 −10 −5 −2 0 y = [1 0 0] x Tính ĐTĐT: det(sI-A)=0 rồi dùng tiêu chuẩn Routh hoặc Hurwitz. ĐS: Hệ thống không ổn định, 1 cực bên phải mpp. Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 6 CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM Bài tập 9: Xét ổn định của hệ thống được cho bởi hệ PTTT sau: 2 1 1 0 ɺ x + 0 x = 1 7 1 −3 4 −5 1 y = [0 1 0] x Tính ĐTĐT: det(sI-A)=0 rồi dùng tiêu chuẩn Routh hoặc Hurwitz. ĐS: Hệ thống không ổn định, 2 cực bên phải mpp. Bài tập 10: Cho hệ thống có hàm truyền G0(s) sau: 0.25 K ( s + 0.435 ) G0 ( s ) = 4 s + 3.456 s 3 + 3.457 s 2 + 0.719 s + 0.0416 Tìm điều kiện của K để hệ thống hồi tiếp âm đơn vị ổn định. ĐS: -0.382 < K < 25.87. Bài tập 11: Cho hệ thống có hàm truyền vòng kín Gk(s) sau: Bài tập lấy từ sách: Control Systems Engineering by Norman S. Nise 7 CSTĐ_Nguyễn Đức Hoàng 2010 Gk ( s ) = Bộ môn ĐKTĐ - Khoa ĐĐT - BKHCM 76.39 K s 3 + 151.32 s 2 + 198s