Bai tap ve phan thuc dai so

Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên Đáp án Thực hiện phép tính... T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh:..[r]

Bài : BÀI TẬP VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Thực phép tính x2  yz y2  zx z2  xy A   (x  y)(x  z) (y  z)(y  x) (z  x)(z  y) x2 y2 z2 B   (x  y)(x  z) (y  z)(y  x) (z  x)(z  y) Bài : Cho x + y + z = và x, y, z khác Tính : x2 y2 z2 A   x  y2  z2 y2  z  x2 z2  x2  y2 1 1 B   2 2 x y  z y z  x z  x2  y2 x2 y2 z2 x y z S     1 yz z  x xy Bài : Cho y  z z  x x  y Tính A x y xy B y z yz C z x zx A x y 1 xy B y z 1 yz C z x 1 zx Bài : Cho ; ; Chứng minh : (1 + A)(1 + B)(1 + C) = (1 – A)(1 – B)(1 – C) Bài : Cho ; ; Chứng minh : A + B + C = A B C Bài : Tìm giá trị lớn phân thức : Bài 7: Tìm giá trị nhỏ phân thức : A B x  6x  10 8 x  2x  x y z y z  x z  x y   x y z Bài : Cho x, y, z khác và y z x  A  1   1   1  x y z  Tính :  x2  3x   6x  P      : 2  x  3x  9x  27 x    x  x  3x  9x  27  Bài : Cho biểu thức Rút gọn P Bài : A x = 2 Tìm các giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Đáp án Thực phép tính x2  yz y2  zx z2  xy   (x  y)(x  z) (y  z)(y  x) (z  x)(z  y)  yz   y  z  y  xz  x  z   z  xy  x  y   ( x  y )( y  z )( x  z )   x  yz   y  z  y  xy  xy  xz  x  z   z  xy  x  y     ( x  y )( y  z )( x  z ) = x  x    yz   y  z  y  y  x  x  z   x  y  z   x  z    z   xy  x  y  ( x  y )( y  z )( x  z )  yz   y  z    y  x   yx  yz    y  z   x  xz  z  xy  x  y     ( x  y )( y  z )( x  z )  y  z   x2  yz  x  xz   x  y  z  xy  yx  yz    ( x  y )( y  z )( x  z )  z  y  z  x  y  z  x  y  y  z  y  z  x  y  z  z    0 ( x  y )( y  z )( x  z ) ( x  y )( y  z )( x  z ) ( x  y )( y  z )( x  z ) B x2 y2 z2  x ( y  z )  y ( z  x)  z ( x  y )    (x  y)(x  z) (y  z)(y  x) (z  x)(z  y) ( x  y )( y  z )( z  x)     x z  y z  xy  x y  ( z x  z y )  x y  x z  y z  xy  z x  z y )   ( x  y )( y  z )( z  x) ( x  y )( y  z )( z  x) z  x  y   x  y   xy  x  y   z ( x  y )  x  y   zx  zy  xy  z    ( x  y )( y  z )( z  x) ( x  y )( y  z )( z  x)  z   zx  xy    x  y   z  y  z   x  y  z    x  y   y  z   z  x    1 ( x  y )( y  z )( z  x ) ( x  y )( y  z )( z  x) ( x  y )( y  z )( z  x)  x  y    zy   Bài : Cho x + y + z = và x, y, z khác Tính : A x2 y2 z2   x2  y2  z2 y2  z  x2 z2  x2  y2 x   y  z   ) Từ x + y + z =  ) 2 Nên x  y  z 2 yz x  y  z  yz 2 2 2 Tương tự : y  z  x 2 xz ; z  x  y 2 xy Suy : A x2 y2 z2 x2 y2 z2 x3  y3  z       x2  y2  z y2  z2  x2 z2  x2  y2 yz xz xy xyz ) Mặt khác : Từ x + y + z =  ) x   y  z  y z  yz  x   y  z   ) ) x    y  z   x  y  z  yz  y  z   yz   x  3xyz (2) 3xyz  xyz Thay (2) vào (1) Ta có : A = B (1) 1   2 2 x y  z y z  x z  x2  y2 2 2 2 2 2 Tương tự: x  y  z  xy ; y  z  x  yz ; x  z  y  xz (*) 1     x  y  z B    0 xy yz xz xyz Thay (*) vào B Ta có : x2 y2 z2 x y z S     1 yz z  x xy Bài : Cho y  z z  x x  y Tính x y z   1 Từ y  z z  x x  y Nhân vế cho x + y + z Ta có : x y z     x  y  z  yz zx xy   x  y  z  x y z   x  y  z    x  y  z    x  y  z  x  y  z yz zx x y x y  z y  x  z z  x  y x2 y2 z2      x  y  z yz zx zx x y x y  yz x2 y2 z2 x2 y2 z2 x y  z x  y  z  S    0 zx xy yz zx x y  yz x y y z z x A B C xy yz zx Bài : Cho ; ; Chứng minh : (1 + A)(1 + B)(1 + C) = (1 – A)(1 – B)(1 – C) 2x x  y   A 1  x  y  x 1 A  x  y x  y hay x y xy Từ 2y 2z 1 B  1 C  yz ; zx Tương tự : A  Nên (1 + A)(1 + B)(1 + C) x 2 y 2 z xyz   x  y  y  z   z  x  x  y  y  z   z  x 1 A  Chứng minh tương tự:  2y 2z 2x ;1  B  ;1  C  xy yz xz y 2 z 2 x xyz   x  y  y  z   z  x  x  y  y  z   z  x Nên (1 – A)(1 – B)(1 – C) Vậy (1 + A)(1 + B)(1 + C) = (1 – A)(1 – B)(1 – C) A x y 1 xy B y z 1 yz C z x 1 zx A x y 1 xy B y z 1 yz C z x 1 zx Bài : Cho ; ; Chứng minh : A + B + C = A B C Bài : Cho ; ; Chứng minh : A + B + C = A B C x y y z z x   Ta có : A + B + C =  xy  yz  xz  x  y    yz    xz   y  z    xy    xz   z  x    xy    yz      xy    yz    xz    xy    yz    xz    xy    yz    xz  =  x  y    yz    xz   y  x  x  z    xy    xz   z  x    xy    yz     xy    yz    xz   xy    yz    xz      xy    yz    xz  =  x  y    yz    xz   x  y    xy    xz   x  z    xy    xz   x  z    xy    yz      xy    yz    xz    xy    yz    xz    xy    yz    xz    xy    yz    xz   =  x  y    xz     yz     xy    x  z    xy     xz     yz      xy    yz    xz    xy    yz    xz   x  y    xz   yz  xy    x  z    xy   xz  yz     xy    yz    xz    xy    yz    xz   x  y    xz   z  x  y  z  x    xy   x  y  z  x  y   z  x   y   xz   z   xy        xy    yz    xz    xy    yz    xz    xy    yz    xz   x  y  z  x  y  z    xy    yz    xz  = A B C  A Bài : Tìm giá trị lớn phân thức : A x  6x  10 5   x  x  10 x  x    x  3  5 Max 5 2 x  3 1  x  x  10 Suy : Max = x - =  x 3 8 B x  2x  Bài 7: Tìm giá trị nhỏ phân thức : 8 8 8 B Min   2 x  2x   x  1  4 Min x - =  x 1 x y z y z  x z  x y   x y z Bài : Cho x, y, z khác và y z x  A  1   1   1  x y z  Tính : x y z y z x z x y yz xz xy    1 1  1  x y z x y z Từ y  z x  z x  y 2 x  y  z     2 x y z xyz Suy : x  y 2 z ; y  z 2 x ; x  z 2 y y  z  x  x  y y  z x  z 2z 2x y  A                8 x  y  z x y z x y z  Ta có:  x2  3x   6x  P      : 2 x  3x  9x  27 x    x  x  3x  9x  27   Bài : Cho biểu thức Rút gọn P Tìm các giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên  x2  3x   6x  P      : 2  x  3x  9x  27 x    x  x  3x  9x  27    x  x  3   6x   :    x  x  3   x  3 x    x  x  x  3   x        ĐKXĐ : x 3  x2  6x    1 x  6x  x x       :  : x   x    x  x   x  3  x  x    x   x  3            x  3 x 3  : x   x    x  3 P  x  x2  x    x2  x  x  x 3 x  36  1  Z x   U    1; 2; 3; 6 x x x thì  x   2;1;0;  3;4;5;6;9 x   2;1;0;  3;4;5;6;9 Vậy P  Z thì BÀI TẬP VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Bµi 1: a) Cho sè x,y,z Tháa m·n x.y.z = TÝnh biÓu thøc 1 M= + + 1+ x + xy 1+ y+ yz 1+ z+ zx b) Cho a,b,c là độ dài cạnh tam giác 1 1 1 Chøng minh r»ng: + + + + a+b − c b+c −a c+ a −b a b c a) V× xyz = nªn x 0, y 0, z z z = = 1+ x + xy z (1+ x+ xy ) z +xz +1 xz xz = = 1+ y + yz (1+ y+ yz)xz xz +1+ z z xz  M= + + =1 z + xz+1 xz +1+ z 1+ z + xz b) a,b,c là độ dài cạnh tam giác nên a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 1 áp dụng bất đẳng thức víi x,y > Ta cã: + ≥ x y x+ y 1 1 1 ; + ≥ = ; + ≥ + ≥ a+b − c b+c −a b b b+c − a c+ a −b c c+ a −b a+b − c a Cộng vế bất đẳng thức chia cho ta đợc điều phải chứng minh Xảy dấu đẳng thức và a = b = c 1   2 c2  a - b2 a  b - c2 Bµi 2: Cho A = b  c - a Rót gän biÓu thøc A, biÕt a + b + c = Ta cã: a + b + c =  b + c = - a B×nh ph¬ng hai vÕ ta cã : (b + c)2 = a2  b2 + 2bc + c2 = a2  b2 + c2 - a2 = -2bc T¬ng tù, ta cã: c2 + a2 - b2 = -2ca a2 + b2 - c2 = -2ab 1 -(a+b+c) = =0  A = 2bc 2ca 2ab 2abc (v× a + b + c = 0) - VËy A= Bµi 3: a T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x + x +1 x 2+ x +2 + = x + x+ x 2+ x +3 x2  x 1 x2  x     1  2 x x2 x  x 3 1 1 5 1 1 1 1        x  x  x  x 3 x  x 2 x  x 3  Suy : x = ; x = -1 x2 víi x  1+ x Giải: Vì B> nên B đạt giá trị lớn thì B đạt giá trị nhỏ b T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: B = x4 1 1 1   x  2 x   2 x   x 1 x x x B x Ta cã : B 1 x   x 1 x VËy Max B = Bµi 4: Cho a,b, c, lµ c¸c sè d¬ng T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 1 + + ) a b c a a b b c c a b a c b c Ta cã: P = + + + +1+ + + +1=3+ + + + + + b c a c a b b a c a c b x y MÆt kh¸c + ≥ víi mäi x, y d¬ng  P  3+2+2+2 =9 y x P= (a+ b+ c) ( ( )( )( ) VËy P = a=b=c Bµi 5: Cho hai sè x, y tho· m·n ®iÒu kiÖn 3x + y = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 3x2 + y2 Ta cã: 3x + y =  y 1  3x 1 A = 3x2 + (1-3x)2 = 12(x- )2 + 1 VËy Amin = x = ; y = A≥ Bµi T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc A 27  12 x x2  2 x2  27  12 x x  12 x  36  x  A     x 9 x2  x 9    A đạt giá trị nhỏ là -1   x  6  0 hay x = x  36  x  12 x   x  3 27  12 x  4  4 x2  x2  A = x 9  x  3 0  x  A đạt GTLN là    