Các phương pháp tính tích phân điển hình - Nguyễn Văn Cường

Những cách giải toán tích phân điển hình nhất

PHNG PHÁP VÀ K THUT IN HÌN H TRON G TÍN H PHÂN N guyn Vn Cng, THPT M c A, Hà N i T: 0127.233.45.98 - 04.33.741.526 Email: cuongvan12@gmail.com ng ti ti http://www.mathvn.com/2011/01/cac-phuong-phap-tinh-tich-phan-ien-hinh.html Phép tính tích phân là mt phn quan trng ca gii tích toán hc nói riêng và trong Toán hc nói chung,không nhng nh là mt đi tng nghiên cu trng tâm ca gii tích mà còn có đc lc trong nghiên cu lý thuyt v phng trình, lý thuyt v hàm s. Ngoài ra phép tính vi phân còn đc s dng nhiu trong các môn khoa hc khác nh Vt lý Thiên vn hc ,c hc nó nh là mt gii pháp hu hiu ca các mô hình toán hc c th Hc sinh lp 12 Khi ôn thi tt nghip ,Thi đi hc –cao đng thng rt gp khó khn khi gii các bài tp trong chuyên đ này. Nhng ngi mi hc và làm quen vi Tích phân thng cha hiu rõ t tng cng nh phng pháp tip cn lý thuyt , đc bit là khâu vn dng lý thuyt vào gii các bài toán thc t. Bài vit này xin nêu ra mt s phng pháp đin hình thng đc dùng đ gii các bài tp v tích phân trong các k thi i hc. Ni dung bài vit cng là ni dung c bn ca đ tài sáng kin kinh nghim ca tôi trong nm hc 2010 đã đc S giáo dc và đào to Hà Ni xp loi B. Mc dù đã tham kho mt s lng ln các tài liu hin nay đ va vit, va đi ging dy trên lp đ kim nghim song vì nng lc và thi gian có hn ,rt mong đc s đóng góp ca các bn đng nghip và nhng ngi yêu thích môn toán đ chuyên đ này có ý ngha thit thc hn trong nhà trng ,góp phn nâng cao hn na cht lng Giáo dc ph thông.Giúp các em có phng pháp - k nng khi gii các bài Tích phân trong các k thi cui cp đng thi bc đu trang b cho các em kin thc v phép tính vi phân –Tích phân trong nhng nm đu hc đi hc. Xin vui lòng gii thiu vi các bn đng nghip và nhng ngi yêu toán chuyên đ : “Phng pháp và k thut đin hình tính tích phân” MATHVN.COM | www.MATHVN.com N guyn Vn Cng, M c A, Hà N i - www.MATHVN .com 2 I - K thut bin đi vi phân (đa v bng nguyên hàm) Khi s dng k thut bng nguyên hàm ta cn lu ý đn mt s phép toán vi phân đn gin sau: f (x)dx=dF(x) ,Trong đó F(x)- là mt nguyên hàm ca hàm s f(x) dx= 1 ( )d ax b a + x k dx=d 1 ( ) 1 k x a k + + + sinxdx=d(-cosx) 2 2 2 ( )dx d x x a x a x x a + + = + + + ; 2 (t anx) os dx d c x = ; 2 ( cot x) sin dx d x = - Mt s công thc suy rng sau cos sin kx kxdx c k = - + ò ; sin os kx c kxdx c k = + ò ; kx kx e e dx c k = + ò ; , ln kx kx a a dx c k R k a = + " Î ò . Ví d 1( HA -2010) Tính tích phân : 1 2 x 2 x x 0 x e 2x e I dx 1 2e + + = + ò Li gii 1 1 1 2 2 0 0 0 (1 2 ) 1 2 1 2 x x x x x x e e e I dx x dx dx e e + + = = + + + ò ò ò ; 1 1 3 2 1 0 0 1 ; 3 3 x I x dx= = = ò 1 2 0 1 2 x x e I dx e = + ò = 1 0 1 (1 2 ) 2 1 2 x x d e e + + ò = 1 0 1 ln(1 2 ) 2 x e+ = 1 1 2 ln 2 3 e+ æ ö ç ÷ è ø Vy I = 1 1 1 2 ln 3 2 3 e+ æ ö + ç ÷ è ø Ví d 1( HA -2009) Tính tích phaân 2 3 2 0 I (cos x 1)cos xdx p = - ò Li gii ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 5 2 4 2 1 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 0 0 0 0 0 0 0 cos 1 cos cos cos , cos cos 1 sin cos 8 1 cos2 1 1 1 1 1 2sin sin (sinx) , cos cos2 sin 2 15 2 2 2 2 4 4 I x xdx xdx xdx I x xdx x xdx x x x d I xdx dx dx xdx x x p p p p p p p p p p p p p = - = - = = - = + - + = = = = + = + = ò ò ò ò ò ò ò ò ò ò Tính tích phân 3 x 1 dx I e 1 = - ò Ví d 3 HKD -09) Tính tích phân 3 x 1 dx I e 1 = - ò Li gii 3 3 3 x x x 3 x x x 1 1 1 1 1 e e e I dx dx dx 2 ln e 1 e 1 e 1 - + = = - + = - + - - - ò ò ò MATHVN.COM | www.MATHVN.com N guyn Vn Cng, M c A, Hà N i - www.MATHVN .com 3 3 2 2 ln(e 1) ln(e 1) 2 ln(e e 1)= - + - - - = - + + + Ví d 1 (HKB -03) Tính I= /4 2 0 1 2sin 1 sin 2 x dx x p - + ò Li gii: Nhn thy d(1+sin2x)= 1 os2 2 c xdx , 1-2sin 2 x=cos2x nên ta có I = /4 /4 /4 2 /4 0 0 0 0 1 2sin os2 1 (1 sin 2 ) 1 1 ln(1 sin 2 ) ln 2 1 sin 2 1 sin 2 2 1 sin 2 2 2 x c x d x dx dx x x x x p p p p - + = = = + = + + + ò ò ò Ví d 2 (H KA-06) J = /4 2 2 0 sin 2 os 4sin x dx c x x p + ò Li gii: Nhn thy d(cos 2 x+4sin 2 x)=sin2xdx do đó ta có J= /4 2 2 0 sin 2 os 4sin x dx c x x p + ò = /4 2 2 2 2 0 1 ( os 4sin ) 3 os 4sin d c x x dx c x x p + + ò = 1 2 2 /4 2 0 2 ( os 4sin ) 3 c x x p + = 1 ( 10 2) 3 - Ví d 3 Tính K= 3 2 1 ln 2 ln e x x dx x + ò (HKB-04) Li gii: K = 3 2 3 2 2 1/3 2 3 3 1 1 1 ln 2 ln 1 3 2 ln ln (ln ) (2 ln ) (2 ln ) (3 3 2 2) 2 8 e e e x x dx x xd x x d x x + = + = + + = - ò ò ò Nhn xét 1: - Các tích phân trên có th gii đc bng phng pháp đi bin s song nu ta khéo léo bin đi vi phân thì đa đc v các tich phân c bn . -Dùng phép bin đi vi phân đa v bng nguyên hàm c bn giúp Li gii ngn gn,so vi Phép đi bin s thì không phi đi cn ,Trong gii toán thêm mt phép toán là thêm mt nguy c sai. đ làm rõ u đim ca phng pháp này ta xét bài toán sau Ví d 4: Tính L= ( ) ln ( ) ( ) ( )( ) b x a x b a dx x a x b x a x b + + é ù + + ë û + + ò vi b>a>0 Li gii: MATHVN.COM | www.MATHVN.com N guyn Vn Cng, M c A, Hà N i - www.MATHVN .com 4 Vit li L= ( )ln( ) ( )ln( ) ( )( ) b a x a x a x b x b x a x b + + + + + + + ò dx = ln( ) ln( ) b a x a x b dx x b x a + + é ù + ê ú + + ë û ò = [ ] ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) b a x x d x b x b d x a+ + + + + ò = [ ] ln( )ln( ) ln( )ln( ) ln ln( ) b b a a a d x b x b x a x b a b b + + = + + = + ò Nhn xét 2 -ây là mt trong nhng bài toán đin hình minh ho tính u vit cho phng pháp s dng phng pháp bin đi vi phân đa v bng nguyên hàm -Mt trong nhng phng pháp c bn nht đ tính tích phân lng giác đó là bin đi Vi phân đa v bng nguyên hàm c bn,khi đó ta cn dùng các công thc bin đi lng giác nh h bc ,nhân đôi ,tng thành tích . ta xét các ví d sau Ví d 5 Tính M= /2 sin 0 ( cos ) cos x e x xdx p + ò (H K D-05) Li gii: M= /2 /2 sin 0 0 1 os2 (cos ) 1 2 4 x c x e d x dx e p p p + + = - + ò ò Ví d 6: Tính N= /3 2 2 /4 sin os 1 os xdx c x c x p p + ò Li gii: N= /3 /3 /3 2 1/2 2 2 2 2 /4 /4 /4 2 sin tan 1 (2 tan ) (2 tan ) 5 3 2 1 os 2 tan os cos 1 os xdx xdx x d x c x x c x x c x p p p p p p - = = + + = - + + ò ò ò Ví d 7: Tính P= 2 3 1 2 0 1 x x e dx x + + ò Li gii: P= 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 1 2 1 3 2 2 1 2 0 0 0 (1 ) (1 ) (1 ) 1 x x x x x e dx e x d x dx e d x e e e x - + + + + = + + = + = = - + ò ò ò MATHVN.COM | www.MATHVN.com N guyn Vn Cng, M c A, Hà N i - www.MATHVN .com 5 Mt s sai lm thng gp khi tính tích phân bng phng pháp bin đi vi phân Víd 7 : Tính I= 0 1 sinx dx p + ò Nhn xét: Hc sinh khi gii thng gp sai lm sau t x=tanx/2 dx= 2 2 0 2 2 2 0 0 0 2 1 1 2 2 2 2 ; 2 (1 ) ( 1) 1 1 sinx (1 ) 1 sinx (1 ) tan 0 1 t an 1 tan 1 2 2 dt t dx dt t d t x t t t p p p p p - + - - - = Þ = = + + = = - + + + + + + + + ò ò ò Do tan 2 p không xác đnh nên tích phân trên không tn ti. Nguyên nhân sai lm :Do tích phân là tng vô hn các hng t nên 2 0 tan 1 2 p - Þ + vn đc tha nhn. Li gii đúng: I= 0 1 sinx dx p + ò = 0 1 os( ) 2 dx c x p p + - ò = 0 2 0 ( ) 2 4 tan( ) tan tan( ) 2 4 4 4 1 os ( ) 2 4 x d x x c p p p p p p p - = - = - - + - ò =2 Qua bài toán trên ngi thy nên lu ý vi hc sinh khi đi bin s trc ht phi ngh ngay ti phép đi bin có tn ti hay không?( cng ging nh khi ta gii phng trình cn đt điu kin cho n s nu có) Ví d 8 I= 4 2 0 6 9x x dx- + ò Nhn xét: Hc sinh thng mc sai lm sau I= 4 2 0 6 9x x dx- + ò = 4 4 2 2 2 4 0 0 0 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 4 2 x x dx x d x - - = - - = = - ò ò Nguyên nhân sai lm là phép bin đi 2 ( 3) 3x x- = - không tng đng đng trên [ ] 0,4 vì |x-3|= 3;3 4 3 ;0 3 x x x x - £ £ ì í - £ £ î Li gii đúng là MATHVN.COM | www.MATHVN.com N guyn Vn Cng, M c A, Hà N i - www.MATHVN .com 6 I= 4 2 0 6 9x x dx- + ò = 4 4 4 3 4 2 2 0 0 0 0 3 ( 3) ( 3) ( 3) | 3 | ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3)x dx x d x x d x x d x x d x- = - - = - - = - - - + - - ò ò ò ò ò = 2 2 3 4 0 0 ( 3) ( 3) | 5 2 2 x x- - - + = Ví d 9: Tính I= 2 2 2 ( 1) dx x - + ò Hc sinh thng mc sai lm khi bin đi nh sau I = 2 2 2 ( 1) dx x - + ò = 2 2 2 ( 1) ( 1) d x x - + + ò = 2 2 1 4 | 1 3x - - - = + Nguyên nhân sai lm là do hàm s y= 2 1 ( 1)x + gián đon trên đon [ ] 2;2- nên không s dng đc công thc NeW ton –leibnitz nh trên. Li gii đúng là : hàm s y= 2 1 ( 1)x + không xác đnh ti x=-1 [ ] 2;2Î - nên gián đon trên [ ] 2;2- ,do vy tích phân trên không tn ti. Tng kt:  s dng đc thành tho k thut s dung bng nguyên hàm hc sinh hiu đc bn cht ca các công thc,phi hiu công thc trong trng thái đng.khi đng trc bài toán tính tích phân cn xem xét k biu thc di du tích phân,nu có ý tng s dng bng nguyên hàm thì đnh đa v công thc nào trong bng nguyên hàm.  làm đc điu đó hoc sinh phi hiu k bn cht ca công thc, có t duy trong bin đi vi phân mt cách logic, đ tip nhn nó mt cách t nhiên ,không gng ép . Chng hn khi hng dn hc sinh s dung công thc 1 1 x x dx c a a a + = + + ò , hc sinh phi hiu giá tr x trong hai s x a và dx là ging nhau, nu thay x trong hai s đó bi mt biu thc khác th công thc trên vn đúng ví d thay MATHVN.COM | www.MATHVN.com N guyn Vn Cng, M c A, Hà N i - www.MATHVN .com 7 X = 2t+1 thì ta có 1 (2 1) (2 1) (2 1) 1 t t d t c a a a + + + + = + + ò ,Nhng nu ch có dng (2 1)t dt a + ò mun s dng đc công thc trên phi bin đi dt = 1 (2 1) 2 d x + .ngha là ta đã bin đi vi phân. Tng t đi vói các nguyên hàm khác.  luyn tp k thut trên ta có th làm tng t các bài tp sau 1/I= 4 3 sinx dx p p ò ; 2/J= 4 3 cos dx x p p ò ; 3/K= 32 3 1x x dx- ò ;4/L= tan xdx ò ;5/ M= 4 dx cos x ò 6/N= 2 4 2 1 os 1 x x c x+ + ò ; 7/ P= 2 1 ln (ln 1) e x x x + ò ; 8/Q= 2001 2 1002 (1 ) x dx x+ ò ; 9/y= 2 2 2 0 sin x cos 3sin 4 os xdx x c x p + ò ; 10/T= 3 3 5 6 sin os dx xc x p p ò ; 11/H= 4 6 6 0 sin 4 sin os xdx x c x p + ò II-Tính tích phân bng cách đa biu thc di du tích phân v do hàm ca mt hàm s khi s dng k thut này ta chú ý đn các tính cht quan trng sau · ( UV) ’ =UV ’ +U ’ V · ' ' ' 2 U U V UV V V - æ ö = ç ÷ è ø · ( ) ( ) ' ' U V UV dx d UV+ = ò ò · ' ' 2 U V UV U dx d V V - æ ö = ç ÷ è ø ò ò Ví d 1 I= 2 1 2 ln ln e e x dx x æ ö + ç ÷ è ø ò (H NT-00) Li gii: Ta có ' ' ' 1 2 ln 2 ln .( ) (2 ln ) (2 ln ) ln x x x x x x x x + = + = MATHVN.COM | www.MATHVN.com N guyn Vn Cng, M c A, H N i - www.MATHVN .com 8 Do ú I= 2 2 2 2 1 2 ln (2 ln )= 2 ln 2 2 2 ln e e e e e e x dx d x x x x e e x ổ ử + = = - ỗ ữ ố ứ ũ ũ Vớ d 2 J= 2 0 1 sinx 1 cos dx x p + + ũ (H -Dc -00) Li gii: J= 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 1 2sin os 1 sinx 1 2 2 tan tan 1 cos 2 2 2 os 2 os 2 2 tan 2 x x x x x x x x c x x e dx e dx e e dx d e x x x c c x e e p p p p p p ộ ự + ờ ỳ + ổ ử = = + = = ờ ỳ ỗ ữ + ố ứ ờ ỳ ở ỷ ổ ử = ỗ ữ ố ứ ũ ũ ũ ũ Nhn xột :Ngoi cỏch gii trờn ta cũn cú th gii nh sau Cỏch 2 Phõn tớch K= 2 2 2 1 2 0 0 0 1 sinx 1 sinx 1 cos 1 cos 1 cos x x x e dx e dx e dx K K x x x p p p + = + = + + + + ũ ũ ũ 2 2 2 2 2 1 0 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 (tan ) tan tan 1 cos 2 2 2 2 os 2 sin sin 1 cos 2 os 2 x x x x x x x x x x K e dx e dx e d e e dx x x c x x e e dx e e dx K K e K K e x x c p p p p p p p p p p p = = = = - + = - = - - ị = + - = + ũ ũ ũ ũ ũ ũ Cỏch 3: Cú th t 2 2 (1 cos ) sinx 1 sinx (1 cos ) (1 cos ) 1 cos x x x du u x x x dv e dx v e ỡ ộ ự + + ỡ = - = ù ù ờ ỳ + + ị + ớ ớ ở ỷ ù ù = = ợ ợ dx T ú ta cú K= 2 2 ' 2 2 2 2 0 2 2 2 1 sinx (1 cos ) sinx 1 e 2 ( ) 1 cos (1 cos ) (1 cos ) 2 (1 cos ) 1 2 ( ) 2 1 cos x x x x o o x o x e e e dx e dx x x x x e e e x p p p p p p p ộ ự + + - - = - - = ờ ỳ + + + + ở ỷ - - = + ũ ũ Vớ d 3 K = 2 2 . ( 2) x x e x + ũ dx Li gii: MATHVN.COM | www.MATHVN.com N guyn Vn Cng, M c A, Hà N i - www.MATHVN .com 9 K = 2 ' 2 2 2 ' . 4 4 2 1 1 1 4 4 ( ) ( ) ( 2) ( 2) ( 2) 2 2 4 ( ) 4( ) 2 2 x x x x x x x x x x x x e x x dx e e dx e dx e e e dx x x x x x e e e dx e C x x é ù + + - é ù = - = - = - + ê ú ê ú + + + + + ë û ë û - = - + + + ò ò ò ò ò  luyn tp ta tính các tích phân sau I= 4 2 2 0 4 tan (1 tan ) 2 2 x x x x dx p é ù + + ê ú ë û ò HD: I= 2 tan 8 8 p p J= 1 2 2 0 ( 1) ( 1) x x e dx x + + ò HD: J=1 K= 2 sinx 0 (1 cos )e x x dx p + ò HD: K= 2 e p III-K thut đi bin s 1/i bin s dng 1: i bin s là mt trong nhng phng pháp quan trng nht đ tính nguyên hàm và tích Phân .C s ca phng pháp đi bin s dng 1 là công thc sau , [ ( )] ( ) b a f u x u x dx ò = ( )f u du b a ò Trong đó f(x) là hàm s liên tc và hàm s u(x) có đo hàm liên tc trên K sao cho f[u(x) ] xác đnh trên K và ( ), ( )u a u b a b = = . Áp dng tính cht trên ta có quy tc đi bin sau Xét tích phân ( ) b a f x dx ò . t t=V(x) khi đó ta bin đi f(x)dx=g(t)dt do đó ( ) b a f x dx ò = ( )g t dt b a ò và ( ), ( )u a u b a b = = MATHVN.COM | www.MATHVN.com N guyn Vn Cng, M c A, H N i - www.MATHVN .com 10 Khi i bin s iu quan trng l chn c hm V(x) thớch hp sao cho tớch phõn vi bin mi phi n gin hn so vi tớch phõn ban u ,v gn lin vi vic i bin ú l phi i cn , ta xột mt s bi toỏn sau trc khi rỳt ra nhng kinh nghim trong vic la trn hm V(x). Vớ d 0(HKB-2010): Tớnh tớch phõn I = 2 1 ln (2 ln ) e x dx x x+ ũ ( ) 2 1 ln 2 ln e x I dx x x = + ũ ; 1 lnu x du dx x = ị = ( ) ( ) 1 1 2 2 0 0 1 2 2 2 2 u I du du u u u ổ ử = = - ỗ ữ ỗ ữ + + + ố ứ ũ ũ 1 0 2 ln 2 2 u u ổ ử = + + ỗ ữ + ố ứ ( ) 2 ln3 ln2 1 3 ổ ử = + - + ỗ ữ ố ứ 3 1 ln 2 3 ổ ử = - ỗ ữ ố ứ Vớ d 1: Tớnh I= 2 3 2 5 4 dx x x + ũ (HKA-03) Li gii: t t= 2 4x + khi x= 5 ,t=3 x= 2 3 ,t=4. t 2 =x 2 +4 suy ra x 2 =t 2 - 4,tdt=xdx I= 2 3 2 5 4 dx x x + ũ = 2 3 2 2 5 4 xdx x x + ũ = 4 4 4 4 4 2 2 3 3 3 3 3 1 ( 2) ( 2) 1 ( 2) 1 ( 2) ( 4) 4 4 ( 2)( 2) 4 2 4 2 tdt dt t t d t d t dt t t t t t t t + - - - + = = = - = - - + - - + ũ ũ ũ ũ ũ 4 3 1 2 1 5 ln ln 4 2 4 3 t t - = + . Nhn xột 1: -Dng tng quỏt ca tớch phõn trờn l 2 ( ) b a dx mx n px qx c+ + + ũ ngoi cỏch gii nh trờn l t t= 2 px qx c+ + ta cũn cú th gii nh sau: t mx+n= 1 t . Sau ú chuyn tớch phõn trờn v bin mi t ta cng thu c kt qu trờn -i vi cỏc tớch phõn cú cha biu thc ( ) n f x ta thng ngh ti vic la chon t= ( ) n f x ( tr mt s trng hp s cú du hiu i bin s dng 2 s trỡnh by sau ).Ta xột thờm mt s vớ d lm sỏng t Vớ d 2 : Tớnh (HKA-04) . pháp và k thut đin hình tính tích phân” MATHVN. COM | www. MATHVN. com N guyn Vn Cng, M c A, Hà N i - www. MATHVN .com 2 I - K thut bin đi vi phân. 1 e 1 e 1 - + = = - + = - + - - - ò ò ò MATHVN. COM | www. MATHVN. com N guyn Vn Cng, M c A, Hà N i - www. MATHVN .com 3 3 2 2 ln(e 1) ln(e 1) 2 ln(e