1.3 Định lý Kakutani 35 với y K V× p, y − x ¯ ∀y ∈ K nªn ta cã −p ∈ (TK (¯))∗ = NK (¯) x x (3.7) Vì K miền vững F , nên tồn v F () TK (¯) x x Do ®ã, l−u ý ®Õn (3.7) ta có (3.8) CF (p, x) p, v Đặt I(¯) = {i ∈ {1, , s} : ψi (¯) > 0} x x s ψi (¯) = i () x x Vì với i, nên I() = Với i I(¯), x x i=1 ψi (¯) > nªn x x ∈ supp ψi ⊂ Upj(i) ¯ Tõ ®ã suy CF (p, x) = sup ¯ s x i=1 ψi (¯)pj(i) , y : y ∈ F (¯) x x ¯ i∈I(¯) ψi (¯)CF (pj(i) , x) x < Điều mâu thuẫn với (3.8) Định lý đà đợc chứng minh Nhận xét 1.3.3 (xem Aubin Frankowska (1990), tr 84) Định lý 1.3.3 X không gian tuyến tính tôpô, lồi địa phơng, Hausdorff Định lý điểm bất động Kakutani: Định lý sau dạng mở rộng định lý điểm bất động Kakutani (xem Định lý 1.3.5 dới đây) từ trờng hợp không gian hữu hạn chiều sang trờng hợp không gian vô hạn chiều Định lý 1.3.4 (Định lý điểm bất động Ky Fan, 1972) Cho K tập lồi, compắc, khác rỗng không gian Banach X Cho G : K K ánh xạ đa trị hêmi liên tục K, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Khi đó, tồn x ∈ K ¯ cho x ∈ G(¯) ¯ x Chứng minh Đặt F (x) = G(x) x Từ giả thiết đặt G suy F : K X ánh xạ đa trị hêmi liên tục trên, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Ngoài ra, ta có (3.9) F (x) = G(x) − x ⊂ K − x ⊂ TK (x) Tính liên tục ánh xạ đa trị 36 với mäi x ∈ K V× F (x) = ∅ víi mäi x ∈ K, nªn tõ (3.9) suy tËp lồi K miền vững F Theo Định lý 1.3.3, tån t¹i x ∈ K cho F () Tức x tồn x ∈ K cho x ∈ G(¯) ¯ ¯ x Kết sau suy trực tiếp từ Định lý 1.3.4 Mệnh đề 1.3.1 Định lý 1.3.5 (Định lý điểm bất động Kakutani, 1941) Cho K I n tập lồi, R compắc, khác rỗng Cho G : K K ánh xạ đa trị nửa liên tục K, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Khi đó, tồn x K cho x ∈ G(¯) ¯ ¯ x Bµi tập 1.3.1 Đặt K = [0, 1] I HÃy xây dựng ánh xạ đa trị R G : K K thích hợp để chứng tỏ phát biểu Định lý 1.3.5 ta bỏ điều kiện sau (nhng giữ nguyên ba điều kiện lại), kết luận định lý không nữa: (i) G ánh xạ nưa liªn tơc trªn ë K; (ii) G cã giá trị lồi; (iii) G có giá trị đóng; (iv) G có giá trị khác rỗng (Gợi ý: Xét ánh xạ đa trị G1 (x) = {1} x {0} nÕu < x 2 1, ⎧ ⎨ {x + } nÕu x < 2 G2 (x) = {0, 1} nÕu x = ⎩ {x − } nÕu < x 1, 2 (x, 1) (0, 1) ⎧ ⎨ [ , 1] G4 (x) = ∅ ⎩ [0, ] G3 (x) = nÕu x < nÕu x = 1, nÕu x = nÕu < x < nÕu x = 1, để ý ánh xạ đa trị G : K K điểm bất động K vµ chØ gph G ∩ {(y, y) : y ∈ K} = ∅.) Bµi tËp 1.3.2 Vẽ đồ thị ánh xạ G G4 nói phần gợi ý tập Bài tập 1.3.3 Chứng minh ánh xạ G nói phần gợi ý Bài tập 1.3.1 không hêmi liên tục K Bài tập 1.3.4 Đặt K = [0, 1] I HÃy xây dựng ánh xạ đa trị R G : K K thích hợp để chứng tỏ phát biểu Định lý 1.3.4 ta bỏ điều kiện sau (nhng giữ nguyên ba điều kiện lại), kết luận định lý không nữa: 1.4 Các trình lồi 37 (i) G ánh xạ hêmi liên tục K; (ii) G có giá trị lồi; (iii) G có giá trị đóng; (iv) G có giá trị khác rỗng R R Bài tập 1.3.5 Cho K = BI hình tròn đơn vị I Cho F : K I ánh xạ đa trị nửa liên tục K, có giá trị lồi, đóng, R khác rỗng Chứng minh nÕu ∀x ∈ ∂K ∃y ∈ F (x) cho x, y = 0, ë ®ã ∂K := K \ int K ký hiệu biên K, tồn x ∈ K tháa m·n ¯ ∈ F (¯) x 1.4 Các trình lồi ánh xạ đa trị có đồ thị hình nón lồi có nhiều tính chất tơng tự nh tính chất toán tử tuyến tính Lớp ánh xạ đa trị có đồ thị hình nón lồi đà đợc S M Robinson nghiên cứu kỹ năm 1972-1976 Định nghĩa 1.4.1 ánh xạ F : X Y , X Y không gian định chuẩn, đợc gọi trình lồi gph F hình nón lồi không gian tích X ì Y Nếu gph F hình nón lồi đóng X ì Y F đợc gọi trình lồi đóng 10 Nhắc lại tập K không gian tuyến tính Z đợc gọi hình nón ∈ K vµ λz ∈ K víi mäi z K > Ví dụ 1.4.1 Các tập hợp sau hình nón I n : R K1 := I + = {x = (x1 , , xn ) ∈ I n : xi Rn R ∀i = 1, 2, , n}, K2 := {x = (x1 , , xn ) ∈ I n : xi > ∀i = 1, 2, , n} {0} R Các tập hợp sau hình nón C[a, b] (không gian gồm hàm số f : [a, b] I liên tục đoạn [a, b] I R R): K3 = {f ∈ C[a, b] : f (t) ∀t ∈ [a, b]}, K4 = {f ∈ C[a, b] : f (t) > ∀t ∈ [a, b]} ∪ {0} Bµi tËp 1.4.1 Chøng minh r»ng gph F lµ hình nón F (0) vµ F (λx) = λF (x) víi mäi x ∈ X vµ λ > 10 TNTA: convex process TNTA: closed convex process TÝnh liªn tơc ánh xạ đa trị 38 Định nghĩa 1.4.2 Cho F : X Y trình lồi ®ãng Chn F cđa F lµ sè thùc suy réng đợc cho công thức (4.1) F = d(a, M ) := inf x∈M d(0, F (x)) , x x(dom F )\{0} sup a x khoảng cách từ a đến M Trong phần lại mục này, không nói thêm X, Y đợc giả thiết không gian Banach Từ Định nghĩa 1.4.1 suy F trình lồi đóng F1 trình lồi đóng Định lý sau đa điều kiện đủ để F1 ánh xạ đa trị Lipschitz Định lý 1.4.1 (Tính Lipschitz trình ngợc) Cho F : X Y trình lồi đóng Nếu rge F = Y F ánh xạ đa trị Lipschitz, tức tồn > cho F −1 (y ) ⊂ F −1 (y ) + (4.2) ¯ y − y BY víi mäi y1 , y ∈ Y Để thiết lập (4.2) dới giả thiết trình lồi đóng F ánh xạ đa trị tràn (tức rge F = X), cần sử dụng kết sau Định lý 1.4.2 (Định lý Robinson-Ursescu) Cho F : X Y ánh xạ đa trị lồi, đóng Giả sử y F () y int(rge F ) Khi tồn > vµ ¯ x ¯ ¯ y γ > cho với y B(, ) tồn x ∈ F −1 (y) tháa m·n (4.3) x−x ¯ yy Chứng minh Chứng minh đầy đủ định lý phức tạp (xem Ursescu (1975), Robinson (1976a), Aubin vµ Ekeland (1984)) Chóng ta sÏ chØ xÐt trờng hợp X không gian Banach phản xạ Đặt (4.4) ϕ(y) = d(¯, F −1 (y)) (∀y ∈ Y ) x Khẳng định 1: hàm lồi Thật vậy, F ánh xạ đa trị lồi nên F ánh xạ đa trị lồi Do ®ã, víi mäi y, y ∈ Y vµ víi mäi t ∈ (0, 1) ta cã F −1 ((1 − t)y + ty ) ⊃ (1 − t)F −1 (y) + tF (y ) 1.4 Các trình lồi 39 Vì vậy, y rge F y ∈ rge F th× ϕ((1 − t)y + ty ) = d x, F −1 ((1 − t)y + ty ) ¯ d x, (1 − t)F −1 (y) + tF −1 (y ) ¯ = inf x − [(1 − t)u + tv] : u ∈ F −1 (y), v ∈ F −1 (y ) ¯ inf (1 − t)(¯ − u) + t(¯ − v) : u ∈ F −1 (y), v ∈ F −1 (y ) x x = (1 − t) inf x − u + t inf ¯ x−v ¯ u∈F −1 (y) v∈F −1 (y ) = (1 − t)ϕ(y) + tϕ(y ) DƠ thÊy r»ng ϕ(y) < +∞ vµ chØ y ∈ rge F Ta ®· chøng minh r»ng víi mäi y, y ∈ domϕ = {y : ϕ(y) < +∞} ta cã ϕ((1 − t)y + ty ) (1 − t)ϕ(y) + tϕ(y ) ∀t ∈ (0, 1) Nếu y dom y dom bất đẳng thức cuối hiển nhiên Tóm lại, / / hàm lồi Khẳng định 2: nửa liên tục dới Y Để chứng minh khẳng định ta cần chứng tỏ tËp møc R) R levϕ (λ) (λ ∈ I lµ đóng (xem Bài tập 1.4.2 dới đây) Lấy ∈ I Gi¶ sư {yk } ⊂ levϕ (λ), y k → y Ta sÏ chøng tá r»ng y ∈ lev () Do X không gian Banach phản xạ, hình cầu đóng X compắc yếu (Định lý Banach-Alaoglu) Với k, F (y k ) tập lồi đóng khác rỗng Theo Bổ đề Mazur (Tập lồi đóng không gian định chuẩn tập ®ãng yÕu”), F−1 (y k ) lµ tËp låi ®ãng yếu, khác rỗng Do tồn xk F −1 (y k ) cho (4.5) xk − x = ¯ inf x∈F −1 (y k ) x−x ¯ ¯ ThËt vËy, lÊy x ∈ M, ë ®ã M := F (y k ) Đặt = x − x vµ Mρ = {x ∈ M : x − x ¯ ρ} Ta cã Mρ lµ tËp compắc yếu, khác rỗng Vì (x) := x x hàm lồi, liên tục, nên từ Bổ đề Mazur suy nửa liên tục dới X theo tôpô yếu Theo Định lý Weierstrass, tån t¹i xk ∈ Mρ tháa m·n (4.5) Ta cã xk − x = d(¯, F −1 (y k ) = ϕ(y k ) ¯ x λ ∀k ∈ I N ¯ x VËy {xk } ⊂ B(¯, λ) Suy {xk } cã d·y héi tơ theo t«p« u Gi¶ sư w w k → x ∈ B(¯, λ) Do (xk , y k ) ∈ gph F , (xk , y k ) → (x, y), vµ gph F x x tập lồi đóng yÕu, ta cã (x, y) ∈ gph F Do ®ã x ∈ F −1 (y) V× xk − x ¯ λ víi mäi k ∈ I , ta cã x − x N ¯ λ Suy ϕ(y) = d(¯, F −1 (y)) x x−x ¯ λ Tính liên tục ánh xạ đa trị 40 Vậy ta có y lev () Khẳng định 3: liên tục int(rge F ) Thật vậy, lÊy y0 ∈ int(rge F ) vµ ε > cho ¯ B(y , ε) ⊂ rge F Xét họ tập mức hàm : lev (k) = {y : ϕ(y) k} (k ∈ I ) N Trong chứng minh Khẳng định ta đà lev (k) đóng với k I Ta cã N ∞ (4.6) ¯ B(y , ε) = ¯ levϕ (k) ∩ B(y , ε) k=1 ¯ ThËt vËy, lÊy y ∈ B(y , ε) ⊂ rge F Do ϕ(y) ∈ I tồn k I để (y) k R, N Khi đó, y lev (k) Để tiếp tục chứng minh, cần sử dụng Định lý Baire: Nếu M không gian mêtric đủ, M biểu diễn đợc dới dạng hợp số đếm đợc tập đóng có phần rỗng Do X không gian Banach, B(y , ) không gian mêtric đủ Do định lý Baire N (4.6), tồn k I cho ¯ ¯ int levϕ (k) ∩ B(y , ) = Vì tồn y Y vµ ρ > cho ˆ ¯ ¯ ¯ y B(ˆ, ρ) ⊂ levϕ (k) ∩ B(y , ε), tøc lµ ¯ k ϕ(y) ¯ y ∀y ∈ B(ˆ, ρ) ¯ y Do ϕ lµ låi bị chặn B(, ), nên liªn tơc ë trªn B(ˆ, ρ) ⊂ int(rge F ) y (xem Ioffe Tihomirov (1979)) Khi liên tục int(rge F ) Vì y int(rge F ) hàm liên tục int(rge F ), ta có Lipschitz địa phơng y , tức tồn > > cho ¯ |ϕ(y ) − ϕ(y)| y −y ¯ y ∀y, y ∈ B(¯, γ) (xem Ioffe vµ Tihomirov (1979)) Suy (4.7) |ϕ(y) − ϕ(¯)| y y−y ¯ ¯ y ∀y ∈ B(¯, ) y Đặt = lu ý r»ng ϕ(¯) = v× y ∈ F (¯) Víi y B(, ), y x (y) cho (4.3) nghiệm Định lý đà đợc chøng (4.7) tån t¹i x ∈ F minh 1.4 Các trình lồi 41 Bài tập 1.4.2 Cho hàm sè thùc suy réng ϕ : X → I ∪ {+}, X R không gian định chuẩn Chứng minh nửa liên tục dới X tập mức lev ϕ (λ) := {x ∈ X : ϕ(x) λ} (λ I R) đóng Chứng minh Định lý 1.4.1: Đặt x = 0, y = Do F trình lồi đóng, ta có y F () Tõ gi¶ ¯ ¯ ¯ x thiÕt rge F = Y suy y int(rge F ) Theo Định lý 1.4.2, tồn > y > cho với y B(, γ) tån t¹i x ∈ F −1 (y) tháa m·n (4.3) Với y Y tồn t > cho ¯ y ¯ ty ∈ B(¯, γ) = B(0, γ) Do (4.3), tån t¹i x ∈ F −1 (ty ) cho x − ty − Vì F trình lồi, nên ta cã x ∈ tF −1 (y ) vµ x t y Đặt x = x, ta có t x ∈ F −1 (y ) vµ x y Cố định hai điểm y1 , y Y LÊy tïy ý x1 ∈ F −1 (y ) Do tính chất đà chứng minh đoạn trên, ta chọn đợc u F1 (y y ) cho u y − y Đặt x2 = x1 + u, ta có x2 − x1 = u (4.8) y2 − y1 Ta l¹i cã x2 ∈ F −1 (y ) ThËt vËy, u ∈ F −1 (y − y ), x1 ∈ F −1 (y ), F trình lồi đóng, ta cã 1 2x + u ∈ F −1 (y ) + F −1 (y − y ) 2 ⊂ F −1 ( y + (y − y )) = F −1 ( y ) = F −1 (y ) 2 2 ¯ Tõ ®ã suy x1 + u ∈ F −1 (y ), hay x2 ∈ F −1 (y ) Do (4.8), tån t¹i v ∈ BX − x2 = − y v VËy cho x y x1 ∈ F −1 (y ) + ¯ y − y BY Ta ®· chøng tá r»ng (4.2) nghiƯm ®óng víi mäi y1 , y ∈ Y MƯnh ®Ị 1.4.1 (Định lý ánh xạ mở) Cho F : X Y ánh xạ đa trị lồi, đóng Nếu rge F = Y F ánh xạ mở; nghÜa lµ víi mäi tËp më U ⊂ X, tËp F (U ) = ∪x∈U F (x) lµ më Y Chøng minh Gi¶ sư F tháa m·n gi¶ thiết mệnh đề Giả sử U X tập mở Lấy y F (U ) giả sử x U điểm thỏa mÃn bao hàm thøc y ∈ F (¯) ¯ ¯ ¯ x Do rge F = Y , ta cã y ∈ int(rge F ) Theo Định lý 1.4.2, tồn > > y để với y ∈ B(¯, γ) tån t¹i x ∈ F −1 (y) cho (4.3) nghiƯm ®óng Chän γ ∈ (0, γ) ®đ bÐ ®Ĩ cã (4.9) ¯ x B(¯, γ ) U Tính liên tục ánh xạ đa trị 42 y Khi đó, với y ∈ B(¯, γ ) tån t¹i x ∈ F −1 (y) tháa m·n x−x ¯ VËy x ∈ bao hµm chøng tá y−y ¯ γ ¯ x B(¯, γ ) ⊂ U Do y ∈ F (x) vµ (4.9), tõ ®ã ta cã y ∈ F (U ) Vì y y thức cuối với mäi y ∈ B(¯, γ ), nªn B(¯, γ ) ⊂ F (U ) Ta ®· r»ng F (U ) tập mở Nhận xét 1.4.1 Các định lý ánh xạ mở có vai trò quan trọng giải tích giải tích ứng dụng Ví dụ nh số điều kiện cần cực trị (trong lý thuyết tối u) hay điều kiện đủ cho tính điều khiển đợc hệ động lực (trong lý thuyết điều khiển) đợc dẫn nh hệ trực tiếp của định lý ánh xạ mở Định lý ánh xạ mở Mệnh đề 1.4.1 áp dụng đợc cho ánh xạ đa trị có đồ thị tập lồi đóng Đồng thời với nghiên cứu tác giả nớc ngoài, Giáo s Phạm Hữu Sách, Giáo s Phan Quốc Khánh Phó Giáo s Phạm Huy Điển đà có nhiều đóng góp việc xây dựng định lý ánh xạ mở định lý hàm ngợc tổng quát; xem Sach (1988a,b), Khanh (1986, 1988, 1989), Dien Sach (1991) Trong công trình đó, ánh xạ đa trị đợc xét không thiết phải có đồ thị lồi Nói riêng ra, ba báo nói trên, cách sử dụng khái niệm không gian tựa mêtric (quasi-metric space) tác giả Phan Quốc Khánh đà thu đợc định lý ánh xạ mở tổng quát, mà từ ta thu đợc Định lý Ljusternik quen biết, Định lý quy nạp V Pták (Ptáks induction theorem, 1974), kết trớc Phạm Hữu Sách, nhiều kết khác Các kết Khanh (1986, 1988, 1989) đà thu hút đợc ý nhiều chuyên gia ngành Nhận xét 1.4.2 Trong Chơng giáo trình có trình bày định lý ánh xạ mở địa phơng (xem Định lý 5.4.1) định lý hàm ngợc (xem Định lý 5.4.2) R cho ánh xạ đa trị có dạng đặc biệt: F (x) = f (x) + K, ë ®ã F : I n I m R m tập lồi ánh xạ đơn trị K I R Nhận xét 1.4.3 Các tác giả Huỳnh Thế Phùng Phạm Huy Điển (xem Phung Dien (1991)) đà điểm cân (không điểm) ánh xạ đa trị lồi đóng, tồn tại, tính đợc thuật toán gồm hữu hạn bớc Bài tập 1.4.3 Cho A : X Y toán tử tuyến tính Chứng minh A liên tục ánh xạ F cho công thức F (x) = {Ax} (x X) ánh xạ đóng Bài tập 1.4.4 Chứng minh Định lý ánh xạ mở Banach Cho A : X Y toán tử tuyến tính liên tục Nếu A(X) = Y A ánh xạ mở (tức với tËp më U ⊂ X, A(U ) lµ tËp më Y ) hệ Mệnh đề 1.4.1 1.4 Các trình lồi 43 Ví dụ 1.4.1 (Quá trình lồi đóng) Cho K Y hình nón lồi đóng cho f C (X, Y ) Với x0 X ta đặt Fx0 (v) = f (x0 )v + K (v ∈ X) Khi đó, Fx0 (Ã) trình lồi đóng phụ thuộc vào tham số x0 Mệnh đề 1.4.2 (Điều kiện đủ để trình lồi đóng có chuẩn hữu hạn) Cho F : X Y trình lồi đóng Nếu dom F = X, số F đợc định nghĩa công thức (4.1) hữu hạn Chứng minh Xét trình ngợc F : Y ⇒ X, F −1 (y) = {x ∈ X : y F (x)} Vì F trình lồi đóng, nên F trình låi ®ãng Ta cã rge F −1 = {x ∈ X : ∃y ∈ Y cho x ∈ F −1 (y)} = {x ∈ X : ∃y ∈ Y cho y ∈ F (x)} = {x ∈ X : F (x) = ∅} = dom F Do gi¶ thiÕt dom F = X, ta cã rge F −1 = X áp dụng Định lý 1.4.1 cho ánh xạ F , ta tìm đợc hệ số > cho (4.10) (F −1 )−1 (x ) ⊂ (F −1 )−1 (x) + ¯ x − x BY (∀x, x ∈ X) Víi mäi x ∈ X, (F −1 )−1 (x) = {y ∈ Y : x ∈ F −1 (y)} = {y ∈ Y : y ∈ F (x)} = F (x) Do ®ã (F −1 )−1 = F VËy tõ (4.10) ta cã (4.11) F (x ) ⊂ F (x) + ¯ x − x BY (x, x X) (Điều chứng tỏ F ánh xạ đa trị Lipschitz X.) áp dụng (4.11) cho x = vµ l−u ý r»ng ∈ F (0), ta cã ∈ F (x) + ¯ x BY (∀x ∈ X) ¯ Khi ®ã, víi mäi x ∈ X \ {0}, tån t¹i y ∈ F (x) vµ v ∈ BY cho 0=y+ x v Suy y x v d(0, F (x)) x x = x x VËy ∀x ∈ X \ {0} Tính liên tục ánh xạ đa trị 44 Tõ ®ã ta cã F = sup x=0 MƯnh ®Ị ®· ®−ỵc chøng minh d(0, F (x)) x R R R Ví dụ 1.4.2 Đặt F (x) = {y ∈ I : y x2 } víi mäi x ∈ I Ta cã F : I ⇒ I R : y } tập lồi đóng x ánh xạ đa trị lồi đóng, gph F = {(x, y) ∈ I R a) LÊy x = 0, y = V× rge F = I + , nên y int(rge F ) Do giả thiết R / Định lý 1.4.2 không đợc thỏa mÃn với ba {F, x, y } ®· chän NhËn xÐt ¯ ¯ r»ng kÕt luËn định lý không Thật vậy, giả sử tồn > > với tÝnh chÊt (4.12) ¯ y ¯ ∀y ∈ B(¯, γ) ∃x ∈ F −1 (y) cho x − x y−y ¯ Khi ®ã ∀y ∈ [−γ, γ] ∃x ∈ I cho y R x2 , |x| |y| Chän y = −γ, ta thÊy r»ng kh«ng tån t¹i x ∈ I cho y R x2 Vậy không tồn > > víi tÝnh chÊt (4.12) b) B©y giê ta lÊy x = 0, y = HiĨn nhiªn y ∈ int(rge F ) Do Định lý 1.4.2, > > với tính chất (4.12) Hình Bài tập 1.4.5 Với x, y nh phần b) cđa VÝ dơ 1.4.2, h·y chØ c¸c ¯ số > > thỏa điều kiện (4.12) Đạo hàm ánh xạ đa trị 60 Nón tiếp tuyến trung gian nón tiếp tuyến Clarke: Định nghĩa 2.2.2 Cho X không gian ®Þnh chuÈn Nãn tiÕp tuyÕn trung b x gian hay nãn kỊ cđa tËp M ⊂ X t¹i x M , đợc ký hiệu TM (), tập hợp véctơ v X thỏa m·n ®iỊu kiƯn (2.9) lim t→0+ d(¯ + tv, M ) x = t §iỊu kiƯn (2.9) cã nghÜa lµ ∀ε > ∃δ > cho d(¯ + tv, M ) x t ε ∀t ∈ (0, ) Định nghĩa 2.2.3 Cho X không gian định chuÈn Nãn tiÕp tuyÕn Clarke8 hay nãn tiÕp tuyÕn lµm tròn tập M X x M , đợc ký hiệu 10 CM (), tập hợp véctơ v X thỏa mÃn ®iỊu kiƯn x d(x + tv, M ) = M t t→0+ ,x−→¯ x (2.10) lim M ¯ x x x ký hiệu giới hạn M {} Điều kiện (2.10) có nghĩa > ∃δ > cho d(x + tv, M ) t ε ∀t ∈ (0, δ) ∀x ∈ M ∩ B(¯, δ) x MƯnh ®Ị 2.2.3 Ta cã: b x x x ¯ (i) CM (¯) ⊂ TM (¯) ⊂ TM (¯) ⊂ cone(M − x); (ii) b x TM (¯) = {v ∈ X : ∀{tk } ⊂ I + \ {0}, tk → 0, ∃{v k }, v k → v, R k v k ∈ M ∀k ∈ I }; x+t ¯ N (iii) CM (¯) = {v ∈ X : ∀{tk } ⊂ I + \ {0}, tk → 0, ∀{xk } ⊂ M, x R xk → x, ∃{v k }, v k → v, xk + tk v k ∈ M ∀k ∈ I }; ¯ N TNTA: the intermediate tangent cone TNTA: the adjacent cone TNTA: the Clarke tangent cone TNTA: the circatangent cone 10 Ch÷ C ký hiệu CM () đợc Aubin Frankowska (1990) sử dụng để vinh danh F H x Clarke, nhà toán học ngời Canađa, số ngời tiên phong việc xây dựng giải tích không trơn Clarke sinh năm 1948 Montreal Ông viết luận án Tiến sÜ ë University of Washington d−íi sù h−íng dÉn cđa R T Rockafellar, nhà toán học tiếng ngời Mỹ 2.1 Nãn tiÕp tuyÕn 61 b x (iv) TM () nón đóng; x (v) CM () nón låi, ®ãng; b x b x (vi) CM (¯) + TM (¯) ⊂ TM (¯); x (vii) CM (¯) + TM (¯) ⊂ TM (¯) x x x Chøng minh Các tính chất (i)-(iv) chứng minh tơng tự nh tính chất (i) (ii) Mệnh đề 2.2.1 Đó tập không khó, nhng bổ ích, đợc dành cho bạn đọc x x (v) Ta cÇn chøng tá r»ng v1 + v ∈ CM (¯) víi mäi v1 , v ∈ CM (¯) Gi¶ sư r»ng v1 , v ∈ CM (¯) Giả sử {tk } I + \ {0} {xk } M dÃy thỏa x R m·n tk → 0, xk → x Do v1 ∈ CM () (iii), tồn {v1,k }, v 1,k → v , ¯ x cho xk := xk + tk v 1,k ∈ M ∀k HiÓn nhiên xk x Vì v CM (), tån t¹i {v2,k }, v 2,k → v , ¯ x xk + tk v 2,k ∈ M Ta cã ∀k xk + tk (v 1,k + v 2,k ) = xk + tk v 2,k ∈ M ∀k + → + ta kÕt luËn r»ng + ∈ CM (¯) x ∈ C (¯) vµ v ∈ T b (¯) Gi¶ sư r»ng {tk } ⊂ I (vi) Cho tïy ý v R+ \ {0}, M x M x b x tk → Do (ii) vµ v2 ∈ TM (¯), tån t¹i {v2,k }, v 2,k → v , cho Do v1,k v 2,k v1 v2 , v1 v2 xk := x + tk v 2,k ∈ M ¯ ∀k M Do xk x v1 CM (), tồn {v1,k }, v 1,k → v , cho ¯ x xk + tk v 1,k ∈ M Ta cã ∀k x + tk (v 1,k + v 2,k ) = xk + tk v 1,k ∈ M ¯ b x v 1,k → v vµ v 2,k → v VËy v1 + v ∈ TM (¯) (vii) Chøng minh t−¬ng tù nh− (vi) b x VÝ dô 2.2.3 (TM (¯) = TM (¯)) §Ỉt x M= : i = 1, 2, 2i ⊂I R Víi x := ∈ M , ta cã ¯ TM (¯) = I + , x R b TM (¯) = {0} x ∀k, Đạo hàm ánh xạ đa trị 62 Tr−íc hÕt, ta sÏ chøng tá r»ng v = TM () Đặt tk = k , v k = v víi mäi x k ∈ I V× N x + tk v k = k ∈ M ∀k, ¯ x nªn v ∈ TM (¯) Suy I + ⊂ TM (¯) ⊂ cone(M − x) = I + R x ¯ R b x VËy TM (¯) = I + Do MƯnh ®Ị 2.2.3(i), TM (¯) ⊂ TM (¯) = I + NÕu ta x R x R b (¯), T b () = {0} Giả sử phản chứng: x chứng minh đợc v = TM x / M b x v = ∈ TM (¯) Khi ®ã (2.11) lim t→0+ d(¯ + tv, M ) x = t LÊy tk = 1 + k+1 k 2 (k = 1, 2, ) Do (2.11), d(¯ + tk v, M ) x = k→∞ tk (2.12) lim V× 1 + k+1 − k+1 2k 2 = 1 + k+1 k 2 1 2k+1 = , = 1 + k+1 2k nên (2.12) sai Vậy ta ph¶i cã v = ∈ TM (¯) / b x d(¯ + tk v, M ) x d(tk , M ) = tk tk b x VÝ dô 2.2.4 (TM (¯) = CM (¯)) LÊy x = (0, 0) ∈ I vµ x ¯ R M = {x = (x1 , x2 ) : x1 Ta cã 0, x2 = 0} ∪ {x = (x1 , x2 ) : x1 = 0, x2 b TM (¯) = TM (¯) = M, x x 0} CM (¯) = {0} x b x Thật vậy, đẳng thức TM () = TM () = M hiển nhiên Vì CM () x x b (), nên để chứng minh r»ng C (¯) = {0} ta chØ cÇn chøng tá r»ng v1 := TM x M x (1, 0) ∈ CM (¯) vµ v := (0, 1) ∈ CM (¯) NÕu v1 ∈ CM (¯), th× / x / x x (2.13) d(x + tv , M ) = M t t→0+ , x−→¯ x lim 2.1 Nãn tiÕp tuyÕn 63 M LÊy tk = 1/k, xk = (0, 1/k) (k = 1, 2, ) Vì tk 0+ xk x, nên tõ ¯ (2.13) ta suy d(xk + tk v , M ) lim = k tk Đẳng thức xảy ra, 1 d((0, k ) + k (1, 0), M ) d(xk + tk v , M ) = tk k 1 d k, k ,M = = k =1 1 k k víi mäi k ∈ I VËy v1 ∈ CM (¯) Do tÝnh ®èi xøng, ta còng cã v2 ∈ CM (¯) N / x / x Tập mợt, tập có tính chất khả vi, tập quy tiếp tuyến: Định nghĩa 2.2.4 Ta nói M mợt 11 x M ánh xạ đa trị TM (Ã) : X X, ¯ ¯ / x → TM (x), lµ nưa liên tục dới x (Ta đặt TM (x) = ∅ víi mäi x ∈ M Khi ®ã, dom TM (·) = M ) b x ¯ x Ta nói M có tính chất khả vi 12 t¹i x ∈ M nÕu TM (¯) = TM (¯) 13 t¹i x ∈ M nÕu C (¯) = T (¯) Ta nãi M lµ chÝnh quy tiÕp tuyÕn ¯ M x M x Ta nãi M lµ tập mợt (tơng ứng, tập có tính chất khả vi, tập quy tiếp tuyến) M mợt (tơng øng, cã tÝnh chÊt kh¶ vi, chÝnh quy tiÕp tuyÕn) điểm thuộc M Ta quay lại với khái niệm nói Định nghĩa 2.2.4 sau chøng tá r»ng nãn tiÕp tuyÕn Bouligand (nãn tiÕp tuyÕn trung gian, nãn tiÕp tuyÕn Clarke) cã thÓ biÓu diễn nh giới hạn Painlevé-Kuratowski họ tập hợp Nón tiếp tuyến giới hạn Painlevé-Kuratowski họ tập hợp: Định nghĩa 2.2.5 (Giới hạn theo Painlevé-Kuratowski) Cho {à }àM họ tập hợp phụ thuộc vào tham số M , M không gian mêtric, X với à, X không gian định chuẩn Giả sử M Tập hợp (2.14) Lim sup Ωµ := {x ∈ X : lim inf d(x, Ωµ ) = 0} µ→¯ µ µ→¯ µ đợc gọi giới hạn theo Painlevé-Kuratowski họ {à }àM Tập hợp (2.15) 11 Lim inf Ωµ := {x ∈ X : lim d(x, Ωµ ) = 0} µ→¯ µ TNTA: sleek 12 TNTA: derivable 13 TNTA: tangentially regular à Đạo hàm ánh xạ đa trị 64 đợc gọi giới hạn dới theo Painlevé-Kuratowski họ {à }àM µ → µ ¯ Do (2.14), x ∈ Lim sup Ωµ ⇔ µ→¯ µ ∃{µk }k∈IN ⊂ M, µk → µ, lim d(x, Ωµk ) = ¯ k→∞ Do (2.15), ¯ µ x ∈ Lim inf Ωµ ⇔ ∀ε > ∃δ > : d(x, Ωµ ) < ε ∀µ ∈ B(¯, δ) µ→¯ µ Nãi cách khác, x Lim inf à ∀{µk }k∈IN ⊂ M, µk → µ, lim d(x, Ωµk ) = ¯ k→∞ NhËn xÐt 2.2.3 Tõ định nghĩa suy Lim inf Lim sup Ωµ µ→¯ µ µ→¯ µ Bµi tËp 2.2.5 Chøng minh r»ng Lim sup Ωµ vµ Lim inf Ωµ lµ tập à à đóng X (Chứng minh: Giả sử {xj } Lim sup , à xj x Với k ∈ I , lÊy j(k) ∈ I cho N N xj(k) − x < ¯ k V× xj(k) Lim sup , nên tồn àk ∈ M cho µ→¯ µ d(µk , µ) < ¯ , k d(xj(k) , Ωµk ) < k Do ta chọn đợc y k àk thỏa mÃn điều kiện x j(k) y k < k Với dÃy {xj(k) }, {àk } {y k } đó, ta có àk µ, xj(k) → x (khi ¯ ¯ k → ∞), với k: d(, àk ) x x yk ¯ x − xj(k) + xj(k) − y k ¯ < + = k k k Vậy lim d(, àk ) = Do x Lim sup Để chứng minh x k à Lim inf đóng, ta giả sử phản chứng Lim inf không đóng à à Khi tồn {xj } ⊂ Lim inf Ωµ , xj → x, x ∈ Lim inf Vậy tồn / µ→¯ µ µ→¯ µ ε > vµ {µk }, µk → µ cho ¯ (2.16) d x, Ωµk ¯ ε ∀k ∈ I N 2.1 Nãn tiÕp tuyÕn 65 ε Do xj → x, tån t¹i j ∈ I cho xj − x < Do lim d(xj , Ωµ ) = ¯ N N àk à, tồn k I thỏa điều kiện d(xj , àk ) < Ta cã d(¯, Ωµk ) x µ→¯ µ ε x − xj + d(xj , Ωµk ) < ¯ ε ε ε + = , 4 mâu thuẫn với (2.16).) Bài tập 2.2.6 Cho M X tập không gian định chuẩn, x ∈ M Chøng minh r»ng ¯ (a) TM (¯) = Lim sup x t→0+ M −x ¯ , t M −x ¯ , t M −x (c) CM (¯) = Lim inf x M t + , x− x t→0 →¯ b (b) TM (¯) = Lim inf x + t0 (Chứng minh: (a) Theo định nghĩa, v ∈ T M (¯) vµ chØ x lim inf t→0+ d(¯ + tv, M ) x = 0; t tức tồn {tk } I + \ {0}, tk → 0, {v k } ⊂ X, v k → v cho R x + tk v k ∈ M víi mäi k ∈ I Râ rµng lµ x + t k v k ∈ M vµ chØ ¯ N ¯ M −x ¯ VËy v ∈ TM (¯) vµ chØ tån t¹i {t k } ⊂ I + \ x R v k ∈ tk M −x ¯ M −x ¯ {0}, tk → 0, cho lim d(v, ) = 0; tøc lµ v ∈ Lim sup k tk t t0+ Các khẳng định (b) (c) đợc chứng minh hoàn toàn tơng tự.) Quan hệ tập mợt tập quy tiếp tuyến: Định lý sau chứng tỏ rằng, dới điều kiện tổng quát, tập mợt phải tập quy tiếp tuyến Định lý 2.2.1 (xem Aubin Frankowska (1990)) Cho X không gian Banach, M X tập đóng Nếu M mợt x M (tức ánh xạ đa trị x TM (x) nửa liên tục dới x) M quy tiếp tuyến x (tức ¯ lµ CM (¯) = TM (¯)) x x TËp hỵp M = 2i : i = 1, 2, ⊂ I xÐt VÝ dô 2.2.4 tập đóng, R không quy tiếp tuyến x = (0, 0) Theo Định lý 2.2.1, M mợt x Đạo hàm ánh xạ đa trị 66 Quan hệ hä nãn Bouligand {TM (x)}x∈M vµ nãn tiÕp tuyÕn Clarke CM (): x Định lý sau cho thấy giới h¹n d−íi theo PainlevÐ-Kuratowski cđa hä ¯ nãn tiÕp tun Bouligand {TM (x)}x∈M (khi x → x) lµ mét bé phận nón tiếp tuyến Clarke CM () x Định lý 2.2.2 (B Cornet 1981, J S Treiman 1983; xem Aubin Frankowska (1990)) Cho X không gian Banach, M X tập đóng Khi đó, với mäi x ∈ M , ¯ x Lim inf TM (x) ⊂ CM (¯) M x−→¯ x Khi X lµ không gian định chuẩn hữu hạn chiều, bao hàm thức cuối trở thành đẳng thức Cụ thể hơn, ta có định lý sau Định lý 2.2.3 (B Cornet 1981, J S Treiman 1983; xem Aubin vµ Frankowska (1990)) Cho X không gian định chuẩn hữu hạn chiều, M X tập đóng Khi đó, với x ∈ M , ¯ Lim inf TM (x) = Lim inf co(TM (x)) = CM (¯) x M x−→¯ x M x x Bạn đọc tìm hiểu chứng minh hai định lý chuyên khảo Aubin Frankowska (1990), tr 128-138 b x x x Các hình nón TM (), TM () CM (¯) lµ trïng nÕu M lµ tËp låi M tập nghiệm hệ bất đẳng thức/đẳng thức cho hàm trơn thỏa mÃn điều kiện quy Mệnh đề 2.2.4 Nếu M tập lồi gian định chuẩn X x ∈ M , th× ¯ (2.17) b CM (¯) = TM (¯) = TM (¯) = cone(M − x) x x x ¯ Chøng minh Ta ®· chøng minh r»ng b CM (¯) ⊂ TM (¯) ⊂ TM (¯) ⊂ cone(M − x) x x x ¯ VËy ®Ĩ thu đợc (2.17) ta cần chứng tỏ cone(M x) CM () x Vì CM () tập đóng, nên cần chứng minh x cone(M − x) ⊂ CM (¯) ¯ x 2.1 Nãn tiÕp tuyÕn 67 x−x ¯ t M ¯ ¯ ¯ N Gi¶ sư xk −→ x, tk → 0+ Chän k ∈ I cho tk ∈ (0, t) với k k Đặt k < k k k v = x−x ¯ nÕu k k t x−x ¯ ¯ = v k → ∞ NÕu k < k, th× xk + tk v k = xk ∈ M NÕu Ta cã vk → t k ¯ k k th× tt ∈ (0, 1) vµ ta cã LÊy tïy ý v ∈ cone(M − x), lấy t > 0, x M để cã biĨu diƠn v = ¯ x k + t k v k = xk + t k x − xk = t 1− tk t xk + tk x∈M t x (do M tập lồi) Theo Mệnh đề 2.2.3, ®iỊu ®ã chøng tá r»ng v ∈ CM (¯) Từ mệnh đề vừa đợc chứng minh suy tập lồi không gian định chuẩn quy tiếp tuyến Định lý 2.2.1 nói tập đóng không gian Banach tập mợt, tập quy tiếp tuyến Nh tính mợt (sleekness) nói chung mạnh tính quy tiếp tuyến (tangential regularity) Mệnh đề tiếp sau cho thấy tập lồi đóng không gian Banach hai tính chất tơng đơng Mệnh đề 2.2.5 Mọi tập lồi đóng không gian Banach tập mợt Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề cách sử dụng Định lý tách tập lồi Giả sử M tập lồi đóng không gian Banach X ánh xạ đa trị nón pháp tuyến NM (Ã) : X X ∗ (x → NM (x) ∀x ∈ X), ë X đợc xét với tôpô chuẩn X đợc xét với tôpô yếu , đóng Thật vậy, giả sử {p } {x } dÃy suy réng cho pα ∈ NM (xα ) víi w∗ mäi α, xα → x, vµ pα −→ p Ta sÏ chØ r»ng p ∈ NM (¯) Do NM (x) = ∅ ¯ ¯ ¯ x víi mäi x M , nên ta giả sử r»ng xα ∈ M víi mäi α Víi mäi y ∈ M / vµ víi mäi α, ta cã pα , y − xα = pα , y − x + pα , x − xα ¯ ¯ w Lấy giới hạn theo (lu ý p p, nên { p } dÃy giới nội), ta đợc p, y x Vì bất đẳng thức cuối với y ∈ M , nªn p ∈ NM (¯) TÝnh đóng x ánh xạ nón pháp tuyến đà đợc chứng minh Đạo hàm ánh xạ đa trị 68 Lấy x M Ta khẳng định ánh xạ đa trị nón tiếp tuyến TM (Ã) : X X nửa liên tục d−íi t¹i x (Ta cã dom TM (·) = M ) Nếu khẳng định sai, M tồn v TM (), > d·y {xk } cho xk −→ x cho với x k I ta có N ¯ v TM (xk ) ∩ B(¯, ε) = Do đó, với k, sử dụng Định lý tách tập lồi (xem Rudin (1973), Định 3.4), ta tìm đợc pk X , pk = cho pk , v sup v∈TM (xk ) inf ¯ v v∈B(¯,ε) pk , v V× TM (xk ) hình nón, điều kéo theo pk , v sup 0, v∈TM (xk ) tøc lµ pk ∈ NM (xk ) Vì TM (xk ), nên từ điều nói ta có inf v v∈B(¯,ε) pk , v = pk , v − ε pk ¯ = pk , v − ε ¯ Do hình cầu đơn vị X compắc yếu (theo Định lý Banach-Alaoglu), dÃy {pk } có dÃy hội tụ theo tôpô yếu Không giảm tổng quát, ta cã thĨ gi¶ w∗ sư r»ng pα −→ p Do pk ∈ NM (xk ) víi mäi k vµ xk → x, tõ tÝnh ®ãng cđa ¯ ¯ ¸nh x¹ NM (·) suy p ∈ NK (¯) Vì p, v x Mặt khác, cho k , từ bất đẳng thức pk , v (k I ), ta thu đợc ε ¯ N p, v Ta ®· ®i ®Õn mâu thuẫn Vậy ánh xạ đa trị TM (Ã) nửa liên tục dới x Vì x M đợc lấy tùy ý, ta kết luận M tập mợt Mệnh đề 2.2.2 đà thiÕt lËp c«ng thøc tÝnh nãn tiÕp tun Bouligand cđa tập nghiệm hệ bất đẳng thức cho hàm số khả vi Fréchet Tiếp sau tìm hiểu công thức tính nón tiếp tuyến Bouligand tập nghiệm hệ hỗn hợp bất đẳng thức đẳng thức cho hàm trơn (tức hàm số khả vi Fréchet liên tục) Cho X không gian Banach, X tập ®ãng, Ω ⊃ ∆ lµ tËp më, gi : Ω → I (i = 1, , m) vµ hj : Ω → I (j = 1, , s) hàm khả vi R R Fréchet liên tục Đặt (2.18) M = {x ∆ : gi (x) ∀i = 1, m, hj (x) = ∀j = 1, s} 2.1 Nãn tiÕp tuyÕn 69 Ta cã M ⊂ X lµ tËp đóng Với x M , ta đặt I(x) = {i : gi (x) = 0} vµ gäi I(x) tập số hoạt ứng với điểm x M Để cho gọn, ta đặt h(x) = (h1 (x), , hs (x)) , ë ®ã dÊu chØ phÐp chun vÞ ma trËn Nh− vËy, h ánh xạ từ vào I s R Mệnh đề 2.2.6 (Công thức tính nón tiếp tuyến Bouligand; xem Aubin Frankowska (1990)) Giả sử M đợc cho (2.18) Giả sử x M điều kiện quy sau đợc thỏa mÃn: (2.19) x x R (a) h (¯)(C∆ (¯)) = I s (b) ∃v0 ∈ X ®Ĩ h (¯)(v ) = 0, gi (¯)(v ) < ∀i ∈ I(¯) x x x Khi đó, v TM () v ∈ T∆ (¯) vµ x x (2.20) gi (¯)(v) ∀i ∈ I(¯) x x hj (¯)(v) = j = 1, s x Nói cách hình ảnh, điều kiện (a) (2.19) nói phần hạn chế toán tử đạo hàm h () : X I s nón CM () tràn Ta trở lại x R x với kiểu điều kiện xét khái niệm toán tử tràn nón Chơng Điều kiện (b) (2.19) nói có tồn véctơ v không gian tiếp xúc 14 đa tạp {x X : h(x) = 0} điểm x hớng vào phần hình nón tiếp tuyến Bouligand tËp hỵp {x ∈ X : g(x) ∀i = 1, , m} Mệnh đề 2.2.7 (Công thøc tÝnh nãn tiÕp tuyÕn Clarke; xem Aubin vµ Frankowska (1990)) Giả sử M đợc cho (2.17) với = X Giả sử x M điều kiện quy (2.19) đợc thỏa mÃn (với CM () ®−ỵc thay bëi X) Khi ®ã, víi mäi x v ∈ X, v ∈ CM (¯) vµ chØ ®iỊu kiƯn (2.20) ®−ỵc tháa m·n x b x Tõ mệnh đề 2.2.6 2.2.7 tính chất CM (¯) ⊂ TM (¯) ⊂ TM (¯), ta x x rút điều kiện đủ sau cho tính quy tiÕp tun cđa tËp nghiƯm cđa (2.18) t¹i mét điểm cho trớc Hệ 2.2.1 Dới giả thiết cđa MƯnh ®Ị 2.2.7, ta cã b x CM (¯) = TM (¯) x = TM (¯) x = {v X : gi ()(v) x 14 Là tập hợp {v ∈ X : h (¯)(v) = 0} x ∀i ∈ I(¯), hj (¯)(v) = ∀j = 1, s} x x Đạo hàm ánh xạ đa trị 70 Bài tập 2.2.7 Cho = X Chứng minh điều kiện (a) (2.19) tơng đơng với đòi hỏi hệ véctơ h (), , hs (¯)} [cđa kh«ng gian X ∗ ] x x độc lập tuyến tính Nhận xét 2.2.4 Trong trờng hợp = X = I n , điều kiện quy (2.19) R trở thành điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz 15 - nói gọn điều kiện MFCQ 16 , đợc đa báo Mangasarian Fromovitz (1967) Nhận xét 2.2.5 Điều kiện MFCQ dạng mở rộng đóng vai trò quan trọng nghiên cứu tính ổn định, ổn định vi phân, độ nhạy nghiệm toán tối u (xem, ví dụ nh, Gauvin Dubeau (1981), Mordukhovich (2006a,b), Chơng Chơng giáo trình này) Hình 11 Ví dụ đơn giản sau cho thấy điều kiện MFCQ bị vi phạm, kết luận mệnh đề 2.2.6, 2.2.7 Hệ 2.2.1 nói chung không Ví dụ 2.2.5 Đặt = X = I , m = s = 1, g1 (x) = x2 + x2 , h(x) = x2 R , vµ x = (0, 0) XÐt tËp M cho bëi (2.18) Ta cã víi mäi x = (x1 , x2 ) ∈ I R ¯ M = {¯} vµ x b CM (¯) = TM (¯) = TM (¯) = {(0, 0)} x x x Trong ®ã, {v ∈ X : gi (¯)(v) x 15 16 ∀i ∈ I(¯), hj (¯)(v) = ∀j = 1, s} = I × {0} x x R TNTA: the Mangasarian-Fromovitz Constraint Qualification TNTA: the MFCQ condition 2.3 Đạo hàm 71 Lu ý rằng, ví dụ xét, ta tìm đợc véctơ v ∈ X = I R nµo tháa m·n ®iỊu kiƯn (b) (2.19) Bµi tËp 2.2.8 Cho ∆ = X = I , x = (1, 1), vµ R ¯ M = x = (x1 , x2 ) : x2 + x2 2, x2 = x3 b Tính hình nón tiếp tuyến T M (), TM () CM () (Kết quả: x x x b x x x 0, v2 = 3v1 }; CM (¯) = TM (¯) = TM (¯) = {v = (v1 , v2 ) : v1 xem Hình 11 trang trớc.) 2.3 Đạo hàm Cho X, Y không gian định chuẩn, F : X Y ánh xạ đa trị Định nghĩa 2.3.1 (Đạo hàm contingent, đạo hàm Bouligand) Đạo hàm tingent17 , hay đạo hàm Bouligand, DFz (Ã) : X Y F điểm z = (, y ) gph F ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến Boulix gand Tgph F (¯), tøc lµ z DFz (u) = v ∈ Y : (u, v) ∈ Tgph F (¯) z ¯ ∀u ∈ X NÕu F ≡ f lµ ánh xạ đơn trị, ta viết Dfx (Ã) thay cho DF(,f ()) (Ã) x x Định nghĩa 2.3.2 (Đạo hàm kề) Đạo hàm kề Db Fz (Ã) : X Y F điểm z = (, y ) gph F ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến trung ¯ x ¯ b z gian Tgph F (¯), tøc lµ b D b Fz (u) = v ∈ Y : (u, v) ∈ Tgph F (¯) z ¯ u X Nếu F f ánh xạ đơn trị, ta viết Db fx (Ã) thay cho Db F(,f ()) (Ã) x x Định nghĩa 2.3.3 (Đạo hàm Clarke) Đạo hàm Clarke18 CFz (Ã) : X Y F điểm z = (, y ) gph F ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp x ¯ tuyÕn Clarke Cgph F (¯), tøc lµ z CFz (u) = v ∈ Y : (u, v) ∈ Cgph F (¯) z ¯ 17 ∀u ∈ X Chóng t«i cha tìm đợc từ thích hợp để dịch thuật ngữ tiếng Việt Trong vai trò tính từ, chữ contingent có nghĩa bất định, tùy chọn, ngẫu nhiên Có ngời đà dịch contingent derivative thành đạo hàm tiếp liên Cách dịch có lẽ không đạt, tiếng Việt dờng nh chữ tiếp liên (không rõ nghĩa, Từ điển tiếng Việt Giáo s Hoàng Phê đồng tác giả) 18 Đạo hàm Clarke CFz (Ã) đợc gọi đạo hàm tiếp tuyến làm tròn19 Đạo hàm ánh xạ đa trị 72 Nếu F f ánh xạ đơn trị, ta viết Cfx (·) thay cho CF(¯,f (¯)) (·) ¯ x x Ba khái niệm đạo hàm nêu đợc xây dựng nhờ cấu trúc hình học nón tiếp tuyến đồ thị ánh xạ đa trị đợc xét điểm cho trớc Trong Chơng giáo trình này, nghiên cứu khái niệm đối đạo hàm, ánh xạ đa trị từ không gian đối ngẫu Y vào không gian đối ngẫu X , lu giữ thông tin đà đợc mà hóa ngôn ngữ không gian đối ngẫu tốc độ thay đổi ánh xạ đa trị không gian Đối đạo hàm đợc xây dựng nhờ nón pháp tuyến đồ thị ánh xạ đa trị điểm cho trớc Ngoài hai cách xây dựng xấp xỉ bậc đó, ngời ta sử dụng thủ thuật vô hớng hóa: thay việc xét ánh xạ đa trị F : X Y từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y việc xÐt hµm tùa CF (y ∗ , x) := sup{ y ∗ , y : y ∈ F (x)} (x ∈ X, y ∗ ∈ Y ∗ ) NÕu F ánh xạ đa trị có giá trị lồi đóng, họ hàm số thực CF (y , Ã) : X → I R (y ∗ ∈ Y ∗ ) đợc định nghĩa nh lu giữ đầy đủ thông tin F Thật vậy, dùa vµo hä hµm sè {CF (y ∗ , ·)}y∗∈Y ta tìm lại đợc F công thøc F (x) = {y ∈ Y : y ∗ , y CF (y ∗ , x) víi mäi y Y } Khảo sát tính chất vi phân họ hàm số thực {CF (y , Ã)}y Y , ta có đợc thông tin tốc độ thay đổi F Phơng pháp đợc gọi phơng pháp hàm tựa Một số công trình Phó Giáo s Phạm Huy Điển tác giả khác (xem Dien (1982, 1985), Dien vµ Sach (1989), Dien vµ Yen (1991), Thibault (1991)) vỊ điều kiện cần cực trị cho toán tối u với ràng buộc đa trị, tập nghiệm bao hàm thức đa trị phụ thuộc tham số, tính chất vi phân hàm giá trị tối u , đà cho thấy tính hiệu cách tiếp cận Khái niệm sơ đạo hàm 20 ánh xạ đa trị Giáo s Phạm Hữu Sách đề xuất sử dụng hàm tựa, nhng hàm tựa ánh xạ đạo hàm Cụ thể hơn, sơ đạo hàm cđa F : X ⇒ Y t¹i z = (¯, y ) gph F ánh xạ đa trÞ T : X ⇒ Y , ¯ x ¯ Lipschitz địa phơng X, cho với > tồn lân cận U x ¯ tháa m·n: ∀x ∈ U ∃y ∈ F (x) víi tÝnh chÊt sup ¯ y ∗ ∈BY ∗ y ∗ , y − y − [CT (y ∗ , x − x) − CT (y ∗ , 0)] ¯ ¯ ε x−x , ¯ ë ®ã CT (y ∗ , x) ký hiƯu hµm tùa cđa T ; xem Sach (1988a), tr 220 Xt ph¸t tõ kh¸i niƯm ta đa định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ngợc, định 20 TNTA: prederivative 2.3 Đạo hàm 73 lý đạo hàm hàm hợp, định lý giá trị trung bình, quy tắc nhân tử Lagrange, nguyên lý tựa dạng tổng quát (xem, vÝ dơ nh−, Sach (1988a,b), Dien vµ Sach (1989), Yen (1987)) Nghiên cứu mà đợc biết đạo hàm ánh xạ đa trị dựa khái niệm hàm tựa công trình Gorokhovich Zabreiko 21 (2005) Dựa khái niệm đạo hàm contingent đạo hàm Clarke định nghĩa 2.3.1 2.3.3, ngời ta đặc trng tính lồi tính lồi theo nón ánh xạ đa trị F : X Y thông qua tính đơn điệu tính đơn điệu theo nón họ ánh xạ đạo hàm {DFz (Ã)}zgph F {CFz (Ã)}zgph F Các kết theo hớng xem Sach (1996), Sach Yen (1997), tài liệu đợc dẫn báo nhắc lại hai khái niệm tính lồi theo nón tính đơn điệu theo nón Cho K ⊂ Y lµ nãn låi Ta nãi F ánh xạ đa trị lồi theo nón K, nói gän lµ K-låi, nÕu víi mäi x1 , x2 ∈ X vµ t ∈ (0, 1) ta cã (1 − t)F (x1 ) + tF (x2 ) ⊂ F ((1 − t)x1 + tx2 ) + K (Trong tr−êng hỵp đặc biệt, K = {0} F ánh xạ có giá trị đóng, khái niệm trùng với khái niệm ánh xạ đa trị lồi đà xét Chơng 1.) Ta nói họ ánh xạ đạo hàm contingent {DFz (Ã)}zgph F đơn điệu theo nón K, hay K-đơn điệu, với điểm z1 = (x1 , y ) vµ z = (x2 , y ) thuéc gph F ta cã ˆ ˆ ∈ co D Fz (x2 − x1 ) + DFz (x1 − x2 ) , ˆ ë ®ã F (x) = F (x) + K ánh xạ më réng cña F theo nãn K TÝnh låi theo nón K họ ánh xạ đạo hàm Clarke {CFz (Ã)}zgph F đợc định nghĩa hoàn toàn tơng tự Có thể sử dụng đạo hàm contingent để xây dựng điều kiện cần cực trị tối u véctơ ®a trÞ (xem D T Luc (1989), D T Luc C Malivert (1992)) Bài tập 2.3.1 Xét ánh xạ đa trị F : I I cho công thøc R R F (x) = y ∈ I : x2 + y R 2, y = x3 Tính ánh xạ đạo hàm DF z (Ã), D b Fz (Ã) CFz (Ã), z = (1, 1) (Gợi ý: Để ý r»ng gph F trïng víi tËp M Bµi tËp 2.2.8 sử dụng kết tính hình nón tiếp tuyến M điểm x = (1, 1).) ¯ 21 Gi¸o s− Petr Petrovich Zabreiko (Belarus State University, Minsk, Belarus) chuyên gia tiếng Giải tích hàm GS TSKH Nguyễn Hồng Thái (University of Szczecin, Ba Lan) PGS TSKH Nguyễn Văn Minh (Đại học Quèc gia Hµ Néi; University of West Georgia, Mü) lµ học trò Việt Nam ông Đạo hàm ánh xạ đa trị 74 Trong giải tích cổ điển (xem Rudin (1976)), sử dụng khái niệm đạo hàm Fréchet ngời ta đà xây dựng định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ngợc kết đợc sử dụng rộng rÃi hình học vi phân, tôpô vi phân, lý thuyết phơng trình vi phân, lý thuyết bậc, nhiều lý thuyết toán học khác Hoàn toàn tơng tự, dựa vào khái niệm đạo hàm vừa đợc trình bày trên, ngời ta đà đa định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ngợc cho ánh xạ đa trị xem xét hai định lý hàm ngợc tiêu biểu thuộc Aubin Frankowska (1984) Định lý thứ sử dụng giả thiết tính mở họ đạo hàm contingent Định lý thứ hai sử dụng giả thiết tính tràn đạo hàm Clarke Các định lý đợc chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland Vì chứng minh cồng kềnh, phức tạp, nên không đợc trình bày Định lý 2.3.1 (Định lý hàm ngợc cho ánh xạ đa trị sử dụng đạo hàm contingent; xem Aubin Frankowska (1990), tr 204-205) Giả sử X, Y không gian Banach, F : X Y ánh xạ đa trị, z = (, y ) gph F Giả sử tồn x ¯ h»ng sè c > 0, δ > vµ α ∈ [0, 1) cho ∀(x, y) ∈ (gph F ) ∩ B(¯, δ), ∀v ∈ Y, ∃u ∈ X, ∃w ∈ Y ®Ĩ z c v , w α v v ∈ DF(x,y) (u) + w, u Khi y int(rge F ) ta có F ánh xạ đa trị giả-Lipschitz (, y ) x Định lý 2.3.2 (Định lý hàm ngợc cho ánh xạ đa trị sử dụng đạo hàm Clarke; xem Aubin Frankowska (1984, 1990)) Giả sử X không gian Banach, Y không gian định chuẩn hữu hạn chiều, F : X Y ánh xạ đa trị đóng, z = (, y ) ∈ gph F NÕu rge (CFz ) = Y , y int(rge F ) ta có F x ánh xạ đa trị giả-Lipschitz (, y ) x Bài tập 2.3.2 (a) Phát biểu Định lý 2.3.1 cho trờng hợp F = f ánh xạ đơn trị khả vi Fréchet điểm lân cận ®iÓm x ∈ X ¯ (b) Cho X = Y = I F (x) = {f (x)}, f (x) = x3 HÃy tìm tất R, điểm x I cho Định lý 2.3.1 áp dụng đợc víi z := (¯, f (¯)) ¯ R ¯ x x ... ánh xạ đa trị đa diện 13 tồn số hữu hạn tËp låi ®a diƯn ∆1 , ∆2 , , s không gian tích I n ì Rm cho R s gph F = ∆i i=1 Định lý 1.5.1 (Robinson (1981)) Nếu F : I n I m ánh xạ đa trị đa diƯn... K; (ii) G có giá trị lồi; (iii) G có giá trị đóng; (iv) G có giá trị khác rỗng R R Bài tập 1.3.5 Cho K = BI hình tròn đơn vị I Cho F : K I ánh xạ đa trị nửa liên tục K, có giá trị lồi, đóng,... ánh xạ đa trị Tay cầm đợc khói sơng Mới mong giữ yêu thơng cho (Trần Mạnh Hảo, Ru em Thúy Kiều) Chơng giới thiệu khái niệm số định lý đạo hàm ánh xạ đa trị Cách xây dựng đạo hàm ánh xạ đa trị thông