Tài liệu Giải tích đa trị P5 pptx

5.2. Các định nghĩa và kết quả bổ trợ 155 trơn (và cũng không nhất thiết là Lipschitz địa phơng) có dạng (1.1) và áp dụng các kết quả đó để thu đợc các định lý hàm ngợc, định lý ánh xạ mở, quy tắc nhân tử Lagrange cho bài toán tối u có hệ ràng buộc là hệ bất đẳng thức suy rộng (gọi tắt là bài toán tối u có ràng buộc nón 3 , nếu K là hình nón). Chúng ta đạt đợc đích đó nhờ sử dụng lý thuyết Jacobian xấp xỉ đề xuất bởi các tác giả V. Jeyakumar và Đinh Thế Lục (xem Jeyakumar và Luc (1998, 1999, 2002a,b)) và sử dụng một dạng mở rộng mới của điều kiện chính quy Robinson cho các hàm véctơ liên tục. Chúng ta sẽ thấy rằng Jacobian xấp xỉ theo nghĩa Jeyakumar-Luc là một công cụ hữu hiệu để xử lý các vấn đề liên quan đến các hàm liên tục, không nhất thiết Lipschitz địa phơng. Jacobian xấp xỉ tuân theo một hệ thống khá đầy đủ các quy tắc tính toán. Các quy tắc này thờng uyển chuyển hơn, sắc nét hơn các quy tắc tính toán cho Jacobian suy rộng Clarke (xem Clarke (1983)). Đó là vì Jacobian suy rộng Clarke luôn là tập lồi, và phép lấy bao lồi là không thể tránh khỏi khi ta tiến hành tính toán với đối tợng này. Chẳng những Jacobian suy rộng Clarke là một kiểu Jacobian xấp xỉ, mà nhiều loại đạo hàm của hàm véctơ (nh tiền đạo hàm theo nghĩa Ioffe 4 , thùng đạo hàm không giới nội theo nghĩa Warga 5 ) cũng là những ví dụ về Jacobian xấp xỉ. Trong Mục 5.8 ở cuối chơng này, chúng ta sẽ chứng tỏ rằng đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich (xem Mordukhovich (1994b), Rockafellar và Wets (1998), và Mục 4.2 trong Chơng 4) và Jacobian xấp xỉ là những khái niệm rất khác nhau. Đó là lý do chính giải thích tại sao từ các định lý hàm ẩn sử dụng đối đạo hàm trong Mordukhovich (1994a,c), Rockafellar và Wets (1998), ., ta không thể rút ra các kết quả tơng ứng trong chơng này. Trong Mục 5.3 chúng ta sẽ so sánh chi tiết hơn sự khác biệt giữa các định lý hàm ẩn thu đợc ở đây và các kết quả của Mordukhovich (1994a,c). Các định lý hàm ẩn, các điều kiện đủ cho tính liên tục và tính Lipschitz địa phơng của hàm giá trị tối u trong chơng này mở rộng các định lý tơng ứng trong Yen (1997), nếu nh tập ràng buộc cố định C là khác rỗng, đóng và lồi. (Trong Yen (1997) chỉ cần giả sử C là khác rỗng và đóng.) 5.2 Các định nghĩa và kết quả bổ trợ Mục này trình bày một vài sự kiện cơ bản về Jacobian xấp xỉ và các định nghĩa tính chính quy, nhiễu chấp nhận đợc, và tính ổn định của hệ bất đẳng thức suy rộng liên tục dạng (1.1). 3 TNTA: cone-constrained optimization problem. 4 TNTA: Ioffe prederivative. 5 TNTA: Warga unbounded derivative container. 156 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng Đối với một không gian Euclide Z, ký hiệu S Z đợc dùng để chỉ mặt cầu đơn vị trong Z. Bao đóng của hình nón sinh ra bởi tập M Z sẽ đợc ký hiệu bởi coneM. Nón đối ngẫu âm của tập M đợc ký hiệu bởi M , nghĩa là M = {w Z : w, z 0 z M}. Nón lùi xa 6 (xem Jeyakumar và Luc (2002a,b), Rockafellar và Wets (1998)) M của tập M Z là tập hợp tất cả những véctơ w Z sao cho tồn tại dãy {t k } các số dơng hội tụ đến 0 và dãy {z k }M để w = lim k t k z k . Đối với một hình nón M Z và một số (0, 1), lân cận nón M của M (xem Jeyakumar và Luc (2002a,b)) đợc xác định bởi công thức M = {z + z B Z : z M}. Để cho đơn giản, ta sẽ viết M thay cho (M ) . Sau đây là một vài khái niệm và kết quả về Jacobian xấp xỉ đã đợc đara trong Jeyakumar và Luc (1998, 1999, 2002a,b). Định nghĩa 5.2.1 (Jacobian xấp xỉ). Cho f : IR n IR m là ánh xạ liên tục. Tập con đóng Jf(x) của không gian L(IR n ,IR m ) các toán tử tuyến tính từ IR n vào IR m (đợc đồng nhất với tập các ma trận cấp m ì n)đợc gọi là một Jacobian xấp xỉ của f tại x IR n nếu, với mọi u =(u 1 , .,u n ) IR n và v =(v 1 , .,v m ) IR m ,tacó (2.1) (v f) + (x; u) sup AJf(x) v, Au, ởđó(v f)(x)=v 1 f 1 (x)+ããã+ v m f m (x) là hàm hợp của v và f,và (2.2) (v f) + (x; u) = lim sup t0 (v f)(x + tu) (v f)(x) t là đạo hàm theo hớng Dini trên 7 của v f tại x theo hớng u. Nếu m =1 thì ta thờng viết JL f(x) thay cho Jf(x) và gọi JL f(x) là dới vi phân J-L của f tại x. Bài tập 5.2.1. Chứng minh rằng nếu f là khả vi Fréchet tại x với đạo hàm Fréchet f (x), thì Jf(x)={f (x)} là một Jacobian xấp xỉ của f tại x. Bài tập 5.2.2. Chứng minh rằng nếu (2.1) nghiệm đúng với mọi u IR n \{0} và v S IR n , thì Jf(x) là Jacobian xấp xỉ của f tại x. 6 TNTA: recession cone. 7 TNTA: upper Dini directional derivative. 5.2. Các định nghĩa và kết quả bổ trợ 157 Nếu f là hàm véctơ Lipschitz địa phơng tại x, nghĩa là tồn tại >0 sao cho f(x ) f (x) x x với mọi x, x trong một lân cận của x, thì Jacobian suy rộng theo nghĩa Clarke (1983) (2.3) J Cl f(x):=co lim k f (x k ):{x k } f ,x k x là một Jacobian xấp xỉ lồi, compắc của f tại x. ở đây f = {x IR n : đạo hàm Fréchet f (x) của f tại x}. Sự kiện này là hệ quả của các tính chất của Jacobian suy rộng Clarke (xem Clarke (1983)) và Định nghĩa 5.2.1. Nếu f là Lipschitz địa phơng tại x và m =1, thì tập hợp J Cl f(x) trùng với dới vi phân suy rộng Clarke Cl f(x) của f tại x (xem Clarke (1983) và Mục 3.4 trong Chơng 3). Bài tập 5.2.3. Cho (x)=|x|,x IR. Hãy chứng tỏ rằng tập hợp JL (0) := {1, 1} Cl (0) là một dới vi phân J-L của tại 0. Bài tập 5.2.4. Xét ánh xạ f : IR IR 2 đợc cho bởi công thức f(x)= (|x|, x) với mọi x IR. Hãy chứng minh rằng Jf(0) := [1, 1]ì{1} và Jf(0) := {1, 1}ì{1} là các Jacobian xấp xỉ 8 của f tại 0. Hãy sử dụng (2.3) để chứng tỏ rằng tập hợp thứ nhất f(0) := [1, 1] ì{1} chính là Jacobian suy rộng Clarke của f tại 0. Chúng ta hãy xét ví dụ minh họa đơn giản sau 9 về Jacobian xấp xỉ của một hàm liên tục, nhng không là Lipschitz địa phơng ở điểm đợc xét. Nhiều ví dụ khác nữa có trong Jeyakumar và Luc (1998, 2002a). Ví dụ 5.2.1. Giả sử f (x)=x 1/3 , x IR. Với x =0, dễ thấy rằng Jf(x)= [, +),ởđó IR là một số thực tùy ý, là một Jacobian xấp xỉ của f tại x. Với x =0, tập Jf(x)={ 1 3 x 2/3 } là một Jacobian xấp xỉ của f tại x. Rõ ràng ánh xạ Jacobian xấp xỉ x Jf(x) là nửa liên tục trên tại x =0. Bài tập 5.2.5. Cho f(x)=x 1/3 + x, x IR. Hãy chứng tỏ rằng f + (0; u)= nếu u>0 f + (0; u)=+ nếu u<0. và (f) + (0; u)= nếu u>0 (f) + (0; u)= nếu u<0. Từ đó hãy suy ra rằng Jf(0) := (,] với <0 đợc chọn tùy ý là Jacobian xấp xỉ của f tại 0. Tính nón lùi xa Jf(0) . 8 ở đây, với mọi A =(, ) Jf(0) và với mọi u IR, ta đặt Au =(u, u). 9 Xem Jeyakumar và Luc (2002a). 158 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng Bài tập 5.2.6 . Cho (x)= |x|,x IR. Tồn tại hay không một dới vi phân J-L không chứa 0 của tại 0? Nếu tồn tại, hãy viết công thức của một dới vi phân nh vậy và tính nón lùi xa của tập hợp đó. Quy tắc hàm hợp sau đây đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh các kết quả ở mục sau. Để việc trình bày đợc trọn vẹn, trong Mục 5.6 ta sẽ đa ra chứng minh chi tiết cho mệnh đề này. Mệnh đề 5.2.1 (Quy tắc hàm hợp; xem Jeyakumar và Luc (2002a), Hệ quả 4.2). Cho f : IR n IR m là ánh xạ liên tục, g : IR m IR là hàm số thực liên tục. Giả sử rằng (i) f có một ánh xạ Jacobian xấp xỉ Jf nửa liên tục trên tại x IR n ; (ii) g là khả vi Fréchet trong lân cận của f (x) và ánh xạ gradient g (ã) là liên tục tại f(x) với g (f(x)) =0. Khi đó, với mỗi >0, bao đóng của tập hợp g (f(x)) [Jf(x)+(Jf(x)) ] là một Jacobian xấp xỉ của g f tại x. Định nghĩa 5.2.2 (Tính tràn). Toán tử A L(IR n ,IR m ) đợc gọi là tràn trên tập lồi đóng khác rỗng C IR n tại x 0 C đối với tập đóng khác rỗng K 0 IR m với 0 K 0 nếu (2.4) 0 int(A[T C (x 0 )] + K 0 ), ởđóT C (x 0 )=cone(C x 0 )) là nón tiếp tuyến của C tại x 0 theo nghĩa giải tích lồi. Trong trờng hợp K 0 = {0}, dễ chứng tỏ rằng (2.1) là tơng đơng với điều kiện 0 int(A[C x 0 ]). Vì thế, Định nghĩa 5.2.2 mở rộng khái niệm đã đa ra trong Jeyakumar và Luc (2002b) 10 . Điều kiện cần cực trị sau đây suy ra ngay từ định nghĩa dới vi phân J-L. Mệnh đề 5.2.2 (xem Jeyakumar và Luc (2002b), Mệnh đề 2.1). Giả sử C IR n là tập lồi và giả sử : IR n IR là hàm số liên tục. Nếu x C là điểm cực tiểu địa phơng của trên C và nếu JL f(x) là dới vi phân J-L của tại x, thì sup JL f(x) , u 0 u T C (x). Bây giờ chúng ta quay lại xét hệ bất đẳng thức suy rộng (1.1). Giả sử x 0 là một nghiệm của hệ đó. 10 Ta l u ý rằng trong Jeyakumar và Luc (2002b) tập C có thể không đóng, và thay cho x 0 C các tác giả sử dụng điều kiện x 0 C. 5.2. Các định nghĩa và kết quả bổ trợ 159 Dới đây là dạng mở rộng của khái niệm chính quy theo Robinson (1976b) cho hệ này. Định nghĩa 5.2.3 (Điều kiện chính quy). Đối với hệ (1.1), giả thiết rằng f có ánh xạ Jacobian xấp xỉ Jf. Khi đó, hệ đợc gọi là chính quy tại x 0 nếu (2.5) 0 int (A[T C (x 0 )] + f (x 0 )+K) A coJf(x 0 ) co((Jf(x 0 )) \{0}). Trong mục sau ta sẽ chứng minh (xem Bổ đề 5.3.1) rằng điều kiện chính quy đó kéo theo tính mở đều của các toán tử A Jf(x),ởđóx thuộc một lân cận của x 0 . So sánh (2.5) với (2.4) ta thấy rằng (1.1) là chính quy tại x 0 khi và chỉ khi mỗi toán tử A của tập coJf(x 0 ) co((Jf(x 0 )) \{0}) là tràn trên C tại x 0 đối với K 0 := f(x 0 )+K. Ví dụ 5.2.2. Hệ (1.1) ở đó n = m =1, C = IR, K = {0} và f(x)=x 1/3 ,là chính quy tại nghiệm x 0 =0.Lu ý rằng ánh xạ Jacobian xấp xỉ Jf đã đợc xác định trong Ví dụ 5.2.1. Định nghĩa 5.2.4 (Nhiễu chấp nhận đợc). Nhiễu {f(x, p),P,p 0 } của (1.1) đợc gọi là nhiễu chấp nhận đợc của hệ tại x 0 nếu (i) hàm f(x, p) là liên tục tại (x 0 ,p 0 ), (ii) với mỗi x IR n hàm số f(x, ã) là liên tục trên P , (iii) với mỗi p P hàm số f(ã,p) có một ánh xạ Jacobian xấp xỉ đợc ký hiệu bởi J 1 f(ã,p), (iv) tồn tại lân cận U của p 0 P và một số > 0 sao cho, với mỗi p U , J 1 f(ã,p) là nửa liên tục trên ở trong B(x 0 , ), (v) ánh xạ đa trị (x, p) J 1 f(x, p) là nửa liên tục trên tại (x 0 ,p 0 ). Định nghĩa 5.2.5 (Tính ổn định nghiệm). Ta nói rằng nghiệm x 0 của (1.1) là ổn định dới nhiễu chấp nhận đợc nếu với mỗi >0 và với mỗi nhiễu chấp nhận đợc {f (x, p),P,p 0 } của (1.1) tại x 0 , tồn tại lân cận U của p 0 sao cho G(p) B(x 0 ,) = p U, ởđóG(p) là nghiệm của (1.2). Trong ví dụ sau, chúng ta xét một dạng đặc biệt của nhiễu chấp nhận đợc của hệ bất đẳng thức liên tục. Ví dụ 5.2.3. Giả sử rằng f : IR n IR m là hàm liên tục, C IR n là tập lồi đóng. Ta đặt P = IR m , p 0 =0, và xét hàm véctơ f : IR n ì P IR m đợc cho bởi công thức f (x, p)=f(x) p với mọi (x, p) IR n ì IR m . Rõ ràng rằng {f(x, p),P,p 0 } là một nhiễu của (1.1). Nếu, thêm vào đó, hàm f : IR n IR m có một ánh xạ Jacobian xấp xỉ Jf là nửa liên tục trên tại mọi x IR n , thì {f(x, p),P,p 0 } là một nhiễu chấp nhận đợc của (1.1). Thật vậy, để kiểm tra 160 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng điều đó ta chỉ cần lu ý rằng, với mỗi p P , công thức J 1 f(x, p)=Jf(x) (x IR n ) xác định một ánh xạ Jacobian xấp xỉ của hàm f(ã,p). Dễ thấy rằng ánh xạ đa trị (x, p) J 1 f(x, p) là nửa liên tục trên tại (x 0 ,p 0 ). Để có một ví dụ cụ thể, ta xác định ánh xạ f : IR 2 IR 2 bằng cách đặt f (x 1 ,x 2 )=(x 2/3 1 ,x 2 ) với mọi (x 1 ,x 2 ) IR 2 . Khi đó các công thức J 1 f(x, p)= 1 3 x 2/3 0 01 (x =0) và J 1 f(0,p)= 0 01 , ởđó>0, xác định một Jacobian xấp xỉ của f (ã,p),ởđóf (x, p)=f (x) p (p IR 2 ). 5.3 Tính ổn định Mục này đa ra các điều kiện đủ cho ánh xạ đa trị p G(p) V ,ởđóG(p) là nghiệm của (1.2) và V là một lân cận của x 0 , là nửa liên tục dới ở trong một lân cận của p 0 , cho tính chính quy mêtric của G(ã) tại (p 0 ,x 0 ), và tính chất giả-Lipschitz của G(ã) tại (p 0 ,x 0 ). Chúng ta cũng sẽ xét hai ví dụ chứng tỏ rằng, không giống nh trong trờng hợp hàm ngợc đa trị, đối với hàm ẩn đa trị thì tính chính quy mêtric và cho tính giả-Lipschitz là hai khái niệm khác nhau. Trong mục này có ba định lý chính: - Định lý 5.3.1 đa ra điều kiện đủ để ánh xạ đa trị bị cắt gọn (truncated) p G(p) V ,ởđóV là một lân cận của x 0 , là nửa liên tục dới ở trong một lân cận của p 0 ; - Định lý 5.3.2 bàn về tính chính quy mêtric của G(ã) tại (p 0 ,x 0 ); - Định lý 5.3.3 đề cập đến tính giả-Lipschitz của hàm ẩn G(ã) tại (p 0 ,x 0 ). Trong suốt mục này chúng ta giả thiết rằng x 0 C là một nghiệm của (1.1) và {f(x, p),P,p 0 } là một nhiễu chấp nhận đợc của (1.1) tại x 0 . Bổ đề sau đây về tính mở đều của một họ toán tử tuyến tính là một kết quả bổ trợ then chốt để thu đợc các kết quả trong mục này. Nó là dạng mở rộng của Bổ đề 3.1 trong Jeyakumar và Luc (2002b) ở đó, trong các ký hiệu của chúng ta, các tác giả xét trờng hợp K = {0} và P = {p 0 }. Bổ đề 5.3.1. Nếu (1.1) là chính quy tại x 0 , thì tồn tại >0 và >0 sao cho (3.1) B IR m A T C (x) B IR n + cone(K + f(x, p)) B IR m với mọi x B(x 0 ,) C, p B(p 0 ,) P ,và (3.2) A x B(x 0 ,),p B(p 0 ,)P co J 1 f(x ,p )+(J 1 f(x ,p )) . 5.3. Tính ổn định 161 Chứng minh. Chúng ta sẽ đi theo lợc đồ chứng minh Bổ đề 3.1 trong Jeyaku- mar và Luc (2002b). Giả sử rằng kết luận của bổ đề là sai. Khi đó, với mỗi k 1 và = k 1 ta tìm đợc v k B IR m , x k ,x k B(x 0 ,k 1 ) C, p k ,p k B(p 0 ,k 1 ) P và A k co J 1 f(x k ,p k )+(J 1 f(x k ,p k )) 1/k sao cho (3.3) v k / k A k T C (x k ) B IR n + cone(f (x k ,p k )+K) B IR m . Không giảm tổng quát, ta có thể giả sử rằng lim k v k = v 0 B IR m . Chúng ta khẳng định rằng, bằng cách lấy dãy con (nếu cần thiết), hoặc (3.4) lim k A k = A 0 coJ 1 f(x 0 ,p 0 ) hoặc (3.5) lim k t k A k = A co ((J 1 f(x 0 ,p 0 )) \{0}) ởđó{t k } là một dãy số dơng hội tụ đến 0. Trớc tiên chúng ta hãy chứng tỏ rằng (3.4) và (3.5) dẫn đến điều mâu thuẫn. Nếu (3.4) nghiệm đúng, thì do (1.3) và điều kiện chính quy (2.5) ta có 0 int (A 0 [T C (x 0 )] + f (x 0 ,p 0 )+K) . Vì f(x 0 ,p 0 )+K cone(f (x 0 ,p 0 )+K)), từ bao hàm thức cuối ta suy ra rằng (3.6) IR m = A 0 [T C (x 0 )] + cone(f(x 0 ,p 0 )+K). Rõ ràng :=A 0 [T C (x 0 ) B IR n ]+[cone(f (x 0 ,p 0 )+K) B IR m ] là tập lồi compắc, và 0 . Nếu 0 / int thì, theo định lý tách các tập lồi (xem Rudin (1991), Định lý 3.4), tồn tại S IR m sao cho {y IR m : , y 0}. Với mỗi v IR m , do (3.6) tồn tại u T C (x 0 ) và v cone(f (x 0 ,p 0 )+K) sao cho v = A 0 u + w. Nếu ta chọn t>0 đủ nhỏ sao cho tu B IR n và tw B IR m , thì tv = A 0 (tu)+tw . Suy ra , tv 0,vàdovậy, v 0. Vì bất 162 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng đẳng cuối đúng với mọi v IR m , ta có điều mâu thuẫn. Vậy 0 int .Từđó suy ra rằng có thể tìm đợc >0 và k 0 > 1 sao cho (3.7) B(v 0 ,) k 0 A 0 T C (x 0 ) B IR n + cone(f(x 0 ,p 0 )+K) B IR m . Do A k A 0 , tồn tại k 1 k 0 sao cho (3.8) A k A 0 </4 với mọi k k 1 . Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại k 2 k 1 sao cho (3.9) B(v 0 , 2 ) k 0 A 0 T C (x k ) B IR n + cone(f(x k ,p k )+K) B IR m với mọi k k 2 . Thật vậy, nếu điều đó không đúng, thì ta có thể giả sử rằng với mỗi k tồn tại phần tử u k B(v 0 ,/2) thỏa mãn u k / k 0 A 0 T C (x k ) B IR n + cone(f(x k ,p k )+K) B IR m . Theo định lý tách các tập lồi, tồn tại k S IR m sao cho (3.10) k ,u k k ,k 0 (A 0 z + w) với mỗi z T C (x k ) B IR n and w cone(f (x k ,p k )+K) B IR m . Bằng cách sử dụng các dãy con (nếu cần), ta có thể giả sử rằng lim k u k = u 0 B(v 0 , 2 ), lim k k = 0 ởđó 0 =1. Từ (3.10) suy ra (3.11) 0 ,u 0 0 ,k 0 (A 0 z + w) với mọi z T C (x 0 ) B IR n và w cone(f (x 0 ,p 0 )+K) B IR m . Thật vậy,để chứng minh khẳng định đó ta chỉ cần chứng tỏ rằng (3.11) nghiệm đúng với mọi z cone(C x 0 ) B IR n và w cone(f (x 0 ,p 0 )+K) B IR m . Giả sử (z, w) là một cặp thỏa mãn hai bao hàm thức sau cùng. Giả sử rằng z = t(c x 0 ),w= (f(x 0 ,p 0 )+v) với c C, t, [0, +) và v K. Với mỗi k, ta đặt z k = t(c x k ),w k = (f(x k ,p k )+v). Khi đó z k T C (x k ), w k cone(f(x k ,p k )+K), z k z và w k w khi k . Nếu z k B IR n thì ta đặt z k = z k . Nếu z k / B IR n thì ta đặt z k =(z/z k )z k .Tơng tự, nếu w k B IR m thì ta đặt w k = w k . Nếu 5.3. Tính ổn định 163 w k / B IR m thì ta đặt w k =(w/w k )w k . Rõ ràng rằng z k T C (x k ) B IR n và w k cone(f(x k ,p k )+K) B IR m với mỗi k. Để ý rằng z k z và w k w khi k . Do (3.10), ta có k ,u k k ,k 0 (A 0 z k + w k ) với mọi k. Cho k ta thu đợc (3.11). Vì u 0 B(v 0 ,/2), kết hợp (3.11) với (3.7) ta đi đến 0 ,v 0 + 2 0 ,u 0 sup { 0 ,k 0 (A 0 z + w) : z T C (x 0 ) B IR n , w cone(f (x 0 ,p 0 )+K) B IR m } sup{ 0 ,v : v B(v 0 ,)} = 0 ,v 0 + ; đó là điều mâu thuẫn. Ta đã chứng tỏ rằng tồn tại k 2 k 1 sao cho (3.9) đúng với mọi k k 2 . Sử dụng (3.8) và (3.9) ta có B(v 0 , 2 ) k 0 A 0 T C (x k ) B IR n + cone(f(x k ,p k )+K) B IR m k 0 (A k T C (x k ) B IR n +(A 0 A k ) T C (x k ) B IR m + cone(f (x k ,p k )+K) B IR m ) k 0 (A k T C (x k ) B IR n + B(0, 4 ) + cone(f (x k ,p k )+K) B IR m ). Điều đó kéo theo (3.12) B(v 0 , 4 ) k 0 A k T C (x k ) B IR n + cone(f (x k ,p k )+K) B IR m . Chọn k k 2 đủ lớn, ta có v k B(v 0 ,/4). Khi đó (3.12) kéo theo (3.13) v k k A k T C (x k ) B IR n + cone(f(x k ,p k )+K) B IR m , mâu thuẫn với (3.3). Bây giờ ta giả sử rằng (3.5) nghiệm đúng. Do điều kiện chính quy, ta có (3.6) ở đó A 0 đợc thay bởi A . Vì vậy tồn tại >0 và k 0 > 1 sao cho (3.7), ở đó A 0 đợc thay bởi A , nghiệm đúng. Các tính chất (3.8)(3.10) vẫn đúng nếu nh A 0 đợc thay bởi A ,vàA k đợc thay bởi t k A k . Khi đó tính chất (3.12) có dạng B(v 0 , 2 ) k 0 t k A k T C (x k ) B IR n + cone(f (x k ,p k )+K) B IR m với mọi k k 2 . Bằng cách chọn k k 2 đủ lớn sao cho v k B(v 0 ,/4) và 0 <t k 1 ta nhận đợc (3.13), điều mâu thuẫn với (3.3). 164 5. Hệ bất đẳng thức suy rộng Chứng minh của bổ đề sẽ kết thúc nếu ta có thể chỉ ra rằng hoặc (3.4) hoặc là (3.5) nghiệm đúng 11 . Vì J 1 f(ã) là nửa liên tục trên tại (x 0 ,p 0 ), tồn tại k 0 1 sao cho (J 1 f(x k ,p k )) (J 1 f(x 0 ,p 0 )) k k 0 . Ta có thể giả sử rằng kết luận đó là đúng với mọi k 1. Vì vậy, với mỗi k 1, tồn tại M kj J 1 f(x k ,p k ),N kj (J 1 f(x 0 ,p 0 )) ,P kj và P k với P k 1, P kj 1, kj [0, 1],j=1, .,nm+1 sao cho nm+1 j=1 kj =1và A k = nm+1 j=1 kj (M kj + N kj + 1 k N kj P kj )+ 1 k P k . Nếu các dãy { kj M kj } k1 , { kj N kj } k1 ,j=1, .,nm+1, đều giới nội, thì dãy {A k } cũng giới nội. Bằng cách chuyển sang xét các dãy con, ta có thể giả sử rằng lim k A k = A 0 , lim k kj = 0j , lim k kj N kj = N 0j , lim k kj M kj = M 0j với mỗi j =1, .,nm+1.Vì(J 1 f(x 0 ,p 0 )) là hình nón đóng, ta có N 0j (J 1 f(x 0 ,p 0 )) , nm+1 j=1 N 0j co(J 1 f(x 0 ,p 0 )) . Ngoài ra, ta cũng có nm+1 j=1 0j =1. Chúng ta phân chia tổng nm+1 j=1 kj M kj thành hai tổng: Tổng thứ nhất 1 bao gồm những số hạng với dãy {M kj } k1 giới nội, và tổng 2 bao gồm những số hạng với dãy {M kj } k1 không giới nội. Khi đó, các giới hạn 0j với j lấy trong tập chỉ số của tổng thứ hai đều bằng 0 và các giới hạn M 0j tơng ứng là các hớng lùi xa của tập J 1 f(x 0 ,p 0 ). Vì vậy, 1 0j =1và, do tính nửa liên tục trên của J 1 f tại (x 0 ,p 0 ), lim k 1 kj M kj = 1 M 0j co J 1 f(x 0 ,p 0 ), lim k 2 kj M kj = 2 M 0j co (J 1 f(x 0 ,p 0 )) . 11 Phần chứng minh này lặp lại hoàn toàn phần hai của chứng minh Bổ đề 3.1 trong Jeyakumar và Luc (2002b) ở đó M k đợc thay bởi A k , y k bởi (x k ,p k ), F (y k ) bởi J 1 f(x k ,p k ),vàF (0) bởi J 1 f(x 0 ,p 0 ). Tính nửa liên tục trên của F (ã) tại 0 giờ đây đợc thay bởi tính nửa liên tục trên của J 1 f tại (x 0 ,p 0 ). Để tiện cho sự tra cứu của bạn đọc, khác với cách trình bày rút gọn trong Jeyakumar và Yen (2004), ở đây chúng tôi trình bày toàn bộ các lập luận chi tiết. [...]... của hàm ngợc đa trị của ánh xạ x f (x) + K đối với tập ràng buộc C Trong trờng hợp K = {0}, dới giả thiết nói rằng mỗi phần tử A coJf (x0 ) co((Jf (x0 )) \ {0}) là tràn trên C tại x0 , hàm ngợc đa trị là chính quy mêtric tại (0, x0 ) và giả-Lipschitz tại (f (x0 ), x0 ) Nh đã nói ở cuối mục trớc, đối với hàm ngợc đa trị, hai tính chất đó là tơng đơng Tính chính quy mêtric của hàm ngợc đa trị đã đợc... tuyến đã xét ở Chơng 2 đều là đạo hàm đa trị Đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich là một loại đạo hàm đa trị đợc mô tả bằng các biến đối ngẫu 14 Những kết quả nghiên cứu của B S Mordukhovich và các tác giả khác đã chứng tỏ rằng khái niệm này rất hữu ích cho sự phát triển của giải tích không trơn và các ứng dụng khác nhau (xem Mordukhovich (2006a,b) và các tài liệu dẫn trong đó 15 ) Đối đạo hàm cho... K, vì thế (4.1) nghiệm đúng 2 Định lý 5.4.2 (Định lý hàm ngợc đa trị) Dới các giả thiết của Định lý 5.4.1, ánh xạ đa trị p G(p), ở đó G(p) := {x C : p f (x)+K}, là giả-Lipschitz tại (0, x0 ), và tồn tại à > 0 cùng với các lân cận U của 0 I m và V của x0 R sao cho d(x, G(p)) àd(p, f (x) + K) với mọi p U và x V, nghĩa là hàm ngợc đa trị G(ã) là chính quy mêtric tại (0, x0 ) Chứng minh Lấy P = I... minh tính chính quy mêtric của hàm ẩn đa trị Định nghĩa 5.3.2 (xem Borwein (1986)) Hàm ẩn đa trị G(ã) xác định bởi hệ bất đẳng thức suy rộng có tham số (1.2) đợc gọi là chính quy mêtric tại (p , x0 ) 0 nếu tồn tại hằng số à > 0 và các lân cận U1 của p0 và V1 của x0 sao cho (3.20) d(x, G(p)) àd(0, f (x, p) + K) p U1 , x V1 C Tính chính quy mêtric của hàm ngợc đa trị (xem Mục 5.4 dới đây) là một trờng... rất ít điểm chung Từ những bài báo đợc trích dẫn ở danh mục tài liệu tham khảo ở cuối sách này có thể thấy rằng những khái niệm đó đòi hỏi những phơng pháp khác nhau và chúng cho kết quả dới dạng rất khác nhau Tóm lại, hai khái niệm đó dẫn đến hai lý thuyết vi phân rất khác nhau Vai trò quan trọng của đạo hàm đa trị của các hàm số và ánh xạ đa trị đã đợc công nhận rộng rãi (xem Aubin và Ekeland (1984),... ẩn đa trị, cả hai khẳng định tính chính quy mêtric kéo theo tính giả-Lipschitz và tính giả-Lipschitz kéo theo tính chính quy mêtric nói chung đều không đúng Mặc dù thế, đối với hàm ngợc đa trị, đã từ lâu ngời ta biết rằng tính Lipschitz chính quy tơng đơng với tính giả-Lipschitz (xem Borwein và Zhuang (1988), Mordukhovich (1993), Penot (1989)) Những điều kiện đủ cho tính giả-Lipschitz của hàm ẩn đa trị. .. trị trong ngôn ngữ đối đạo hàm đã đợc đa ra trong Mordukhovich (1994a, Định lý 4.1 và Định lý 5.1) và Mordukhovich (1994c; các định lý 5.1, 5.8 và 6.1) Nhận xét nêu trên chứng tỏ rằng các điều kiện đó có thể không đảm bảo tính chính quy mêtric của hàm ẩn đa trị Dới những điều kiện khá ngặt (xem Mordukhovich (1994a, Định lý 4.9)), tính chính quy mêtric của hàm ẩn đa trị tơng đơng với tính giả-Lipschitz... rệt Nó sẽ đợc nhắc lại ở dới đây cùng với các quy tắc tính toán có liên quan, nhằm bổ sung cho những điều đã trình bày trong Mục 4.2 theo cách tiếp cận thuần tuý giải tích1 6 Jacobian xấp xỉ (xem Mục 5.2) cũng là một loại đạo hàm đa trị Nó đợc đa ra trong Jeyakumar và Luc (1998, 1999) nh một sự mở rộng của khái niệm Jacobian suy rộng Clarke - vốn dĩ chỉ đợc định nghĩa cho các hàm véctơ Lipschitz địa phơng... Mordukhovich và dới vi phân J-L 187 nghĩa Mordukhovich sẽ đợc xét trong mục sau Mục này đa ra một số khái niệm và kết quả bổ trợ, đồng thời khảo sát mối quan hệ giữa khái niệm dới vi phân J-L (một trờng hợp đặc biệt của Jacobian xấp xỉ) và dới vi phân Mordukhovich (là giá trị của đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich của ánh xạ đa trị trên-đồ-thị của hàm số đã cho tại điểm y = 1) Kết quả khảo sát ở mục này và... mở, tính chính quy mêtric, và các tính chất Lipschitz của ánh xạ đa trị (xem Mordukhovich (1993)) Các ứng dụng của đối đạo hàm trong lý thuyết ổn định và độ nhậy nghiệm của các bài toán tối u có thể xem trong Mordukhovich (1994a,c,d) Để định nghĩa Mordukhovich đối đạo hàm, ta sử dụng nón pháp tuyến (không lồi) của đồ thị của ánh xạ đa trị đợc xét (xem Mục 4.2 trong Chơng 4) Nếu không gian đợc xét là . hai ví dụ chứng tỏ rằng, không giống nh trong trờng hợp hàm ngợc đa trị, đối với hàm ẩn đa trị thì tính chính quy mêtric và cho tính giả-Lipschitz là hai. việc chứng minh tính chính quy mêtric của hàm ẩn đa trị. Định nghĩa 5.3.2 (xem Borwein (1986)). Hàm ẩn đa trị G(ã) xác định bởi hệ bất đẳng thức suy rộng