Mục này trình bày chứng minh Mệnh đề 5.2.1. Chúng ta sẽ sử dụng bổ đề sau.
Bổ đề 5.6.1 (xem Jeyakumar và Luc (2002a)). Cho F : IRn ⇒ IRs là ánh
xạ đa trị nửa liên tục trên tại x0 ∈ IRn. Giả sử t
i > 0 hội tụ đến 0, qi ∈
coF(x0+tiB¯IRn) vớilimi→∞qi=∞và limi→∞qi/qi=q∗ vớiq∗ ∈IRs.
Khi đó q∗ ∈ (coF(x0))∞. Ngoài ra, nếu co(F(x0))∞ là nón nhọn13, thì
q∗ ∈co(F(x0))∞= (coF(x0))∞.
13
Chứng minh. Do tính nửa liên tục trên của F tại x0, với mỗiε >0, tồn tạii0
đủ lớn sao cho
F(x0+tiB¯IRn)⊂F(x0) +εB¯IRs với mọi ii0.
Vì vậy,
qi ∈co(F(x0) +εB¯IRs)⊂co(F(x0) +εB¯IRs) +εB¯IRs với mọi ii0.
Suy ra
q∗ ∈[co(F(x0) +εB¯IRs) +εB(0,1)]∞ ⊂[co(F(x0) +εB¯IRs)]∞
⊂(coF(x0))∞.
Bao hàm thức co(F(x0))∞ ⊂ (coF(x0))∞ luôn nghiệm đúng vì F(x0) ⊂
coF(x0) và (coF(x0))∞ là nón lồi đóng. Bây giờ chúng ta chứng minh bao hàm thức ng−ợc lại. Giả sửp∈(coF(x0))∞,p= 0. Theo định lý Caratheodory (xem Rockafellar (1970)), tồn tại các tổ hợp lồi pi =s+1
j=1λijpij vớiλij 0, pij ∈F(x0) vàs+1 j=1λij = 1 sao cho p/p= lim i→∞pi/pi và lim i→∞pi=∞.
Không giảm tổng quát ta có thể giả sử rằng lim
i→∞λij = λj 0 với j = 1, . . . , s+ 1 và
s+1
j=1
λj = 1. Với mỗi j, xét dãy {λijpij/pi}i1. Chúng ta khẳng định rằng dãy này là giới nội, vì thế có thể giả sử rằng nó hội tụ đến một phần tử p0j ∈ (F(x0))∞. Nếu điều đó đúng với mỗi chỉ số j, thì ta có
p=
s+1
j=1
p0j ∈co(F(x0))∞, đó là điều phải chứng minh. Để chứng minh khẳng định nói trên, ta giả sử phản chứng rằng {λijpij/pi}i1 là không giới nội. Đặtaij =λijpij/pi. Bằng cách lấy dãy con (nếu cần thiết), chúng ta có thể giả sử rằng
aij0= max{aij:j= 1, . . . , s+ 1}
với mỗi i. Vì vậy,limi→∞aij0=∞. Dopi/pi=s+1
j=1aij, ta có 0 = lim i→∞pi/(pi.aij0) = lim i→∞ s+1 j=1 aij/aij0.
Chúng ta lại có thể giả sử rằng {aij/aij0}i0 hội tụ đến một phần tử a0j ∈
thức 0 = s+1
j=1a0j chứng tỏ rằng co(F(x0))∞ không phải là nón nhọn, mâu thuẫn. 2
Sử dụng Bổ đề 5.6.1, bây giờ ta sẽ chứng minh Mệnh đề 5.2.1 - một tr−ờng hợp riêng của Định lý 4.1 trong Jeyakumar và Luc (2002a).
Chứng minh Mệnh đề 5.2.1:
Chúng ta muốn chỉ ra rằng với mọi u∈IRn vàα∈IR, (6.1) (αg◦f)+(¯x, u)sup
q∈Q(αp0qu),
ở đó p0 =g(f(¯x)) và Q:= J f(¯x) + (J f(¯x))ε
∞.Vì (6.1) là hiển nhiên trong
tr−ờng hợp u= 0 hayα = 0, ta giả sử rằngu = 0và α= 0. Giả sử ti >0 là
dãy số hội tụ tới 0 sao cho
(6.2) (αg◦f)+(¯x, u) = lim
i→∞
α(g(f(¯x+tiu))−g(f(¯x))
ti .
Từ định lý giá trị trung bình (xem Jeyakumar và Luc (1999), Hệ quả 5.1) suy ra rằng, với mỗiti, tồn tạipi ∈cog([f(¯x), f(¯x+tiu)])vàqi∈coJ f([¯x,x¯+tiu]) sao cho
(6.3)
f(¯x+tiu)−f(¯x) =tiqiu,
g(f(¯x+tiu))−g(f(¯x)) =pi(f(¯x+tiu)−f(¯x)).
Do giả thiết của chúng ta, lim
i→∞pi =p0. Bằng cách xét một dãy con (nếu cần
thiết), ta chỉ phải khảo sát hai tr−ờng hợp sau: (a) {qi}hội tụ đến một véctơ q0 nào đó;
(b) limi→∞qi=∞ với {qi/qi} hội tụ đến mộtq∗ nào đó. Từ (6.2) và(6.3) suy ra rằng
(αg◦f)+(¯x, u) = lim
i→∞(αpiqiu).
Trong tr−ờng hợp (a), do tính nửa liên tục trên củaJ f tạix¯, ta cóq0∈coJ f(¯x). Vì vậy,
(αg◦f)+(¯x, u) =αp0q0usup
q∈Q(αp0qu).
Xét tr−ờng hợp (b). Do Bổ đề 5.6.1, q∗ ∈ (coJ f(¯x))∞. Nếu co(J fx¯))∞ là không nhọn, thì dễ thấy rằng co(J(f(¯x))ε
∞trùng với toàn không gianL(IRn, IRm).
Vì u= 0, tính chất đó và giả thiết p0 = 0kéo theo sup
q∈Q(αp0qu) sup
vì thế (6.1) nghiệm đúng. Nếu hình nón co(J f(¯x))∞ là nhọn, thì theo Bổ đề 5.6.1 nó chứa q∗. Đặt β := αp0q∗u. Nếu β > 0, thì từ sự kiện λq∗ ∈
co(J f(¯x))∞ với mọi λ0ta rút ra quan hệ sau: sup
q∈Q(αp0qu)≥ sup
q∈qr+co(Jf(¯x))ε∞(αp0qu)lim sup
λ→∞ (αp0(qr+λq∗)u)+∞,
ở đó qr là một phần tử tùy ý của J f(¯x).Quan hệ đó kéo theo (6.1).
Nếu β <0 thì với iđủ lớn, ta có αpiqqiiu < β 2 <0. Do đó, (αg◦f)+(¯x, u) = lim i→∞(αpiqiu) lim i→∞qi.β 2 =−∞. Điều đó chứng tỏ rằng(6.1) nghiệm đúng.
Bây giờ ta giả sử rằng β = 0. Từ bao hàm thức q∗ ∈ co(J f(¯x))∞ và từ
định nghĩa của tập hợp co(J f(¯x))ε
∞= (co(J f(¯x))∞)ε suy ra rằng q∗ ∈int(co(J f(¯x))ε ∞). Chúng ta khẳng định rằng tồn tạiq1 ∈co(J f(¯x))ε ∞ sao cho (6.4) αp0q1u >0.
Thật vậy, xét phiếm hàm tuyến tính φ:L(IRn, IRm)→IR đ−ợc xác định bằng cách đặt φ(q) = αp0qu với mọi q ∈L(IRn, IRm). Nếu khẳng định của chúng
ta không đúng, thì φ(q) 0 với mọi q ∈ co(J f(¯x))ε
∞. Vìφ(q∗) =β = 0 và
q∗ ∈ int(co(J f(¯x))ε
∞), ta kết luận rằng φ = 0. Vì u = 0 và p0 = 0, tồn tại
q ∈L(IRn, IRm) sao choqu không thuộc vào nhân của phiếm hàm p0. Khi đó
ta có αp0qu = 0. Điều đó không thể xảy ra bởi vì φ = 0. Khẳng định của chúng ta đã đ−ợc chứng minh. Cố định một phần tửqr ∈ J f(¯x). Từ (6.4) ta suy ra rằng sup q∈Q(αp0qu) sup q∈qr+co(Jf(¯x))ε ∞ (αp0qu) lim λ→∞(αp0(qr+λq1)u)+∞; vì vậy(6.1) nghiệm đúng. 2