Quan hệ giữa khái niệm Jacobian xấp xỉ theo nghĩa Jeyakumar-Luc của hàm véctơ trong không gian Euclide hữu hạn chiều và khái niệm đối đạo hàm theo
nghĩa Mordukhovich sẽ đ−ợc xét trong mục sau. Mục này đ−a ra một số khái niệm và kết quả bổ trợ, đồng thời khảo sát mối quan hệ giữa khái niệm d−ới vi phân J-L (một tr−ờng hợp đặc biệt của Jacobian xấp xỉ) và d−ới vi phân Mordukhovich (là giá trị của đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich củaánh xạ đa trị trên-đồ-thị của hàm số đã cho tại điểm y∗ = 1).
Kết quả khảo sát ở mục này và mục sau chứng tỏ một cách rõ ràng là đối đạo hàm và Jacobian xấp xỉ là những khái niệm rất khác nhau. Chúng có rất ít điểm chung. Từ những bài báo đ−ợc trích dẫn ở danh mục tài liệu tham khảo ở cuối sách này có thể thấy rằng những khái niệm đó đòi hỏi những ph−ơng pháp khác nhau và chúng cho kết quả d−ới dạng rất khác nhau. Tóm lại, hai khái niệm đó dẫn đến hai lý thuyết vi phân rất khác nhau.
Vai trò quan trọng của đạo hàm đa trị của các hàm số và ánh xạ đa trị đã đ−ợc công nhận rộng rãi (xem Aubin và Ekeland (1984), Aubin và Frankowska (1990), Mordukhovich (1994c), Rockafellar và Wets (1998)). Các loại đạo hàm xây dựng qua nón tiếp tuyến đã xét ở Ch−ơng 2 đều là đạo hàm đa trị.
Đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich là một loại đạo hàm đa trị đ−ợc mô tả bằng các biến đối ngẫu14. Những kết quả nghiên cứu của B. S. Mordukhovich và các tác giả khác đã chứng tỏ rằng khái niệm này rất hữu ích cho sự phát triển của giải tích không trơn và các ứng dụng khác nhau (xem Mordukhovich (2006a,b) và các tài liệu dẫn trong đó15). Đối đạo hàm cho phép ta đặc tr−ng tính mở, tính chính quy mêtric, và các tính chất Lipschitz của ánh xạ đa trị (xem Mordukhovich (1993)). Các ứng dụng của đối đạo hàm trong lý thuyết ổn định và độ nhậy nghiệm của các bài toán tối −u có thể xem trong Mordukhovich (1994a,c,d). Để định nghĩa Mordukhovich đối đạo hàm, ta sử dụng nón pháp tuyến (không lồi) của đồ thị của ánh xạ đa trị đ−ợc xét (xem Mục 4.2 trong Ch−ơng 4). Nếu không gian đ−ợc xét là hữu hạn chiều, thì nón pháp tuyến còn có thể định nghĩa theo một cách khác, sử dụng phép chiếu mêtric lên các tập không lồi. Cách định nghĩa này mang tính hình học rõ rệt. Nó sẽ đ−ợc nhắc
lại ở d−ới đây cùng với các quy tắc tính toán có liên quan, nhằm bổ sung cho những điều đã trình bày trong Mục 4.2 theo cách tiếp cận thuần tuý giải tích16.
Jacobian xấp xỉ (xem Mục 5.2) cũng là một loại đạo hàm đa trị. Nó đ−ợc đ−a ra trong Jeyakumar và Luc (1998, 1999) nh− một sự mở rộng của khái niệm Jacobian suy rộng Clarke - vốn dĩ chỉ đ−ợc định nghĩa cho các hàm véctơ Lipschitz địa ph−ơng. Sử dụng Jacobian xấp xỉ và d−ới vi phân J-L ta có thể thu đ−ợc các định lý ánh xạ mở (xem Jeyakumar và Luc (2002a,b) và Mục 5.4), quy tắc nhân tử Lagrange (xem Wang và Jeyakumar (2000) và Mục 5.4), các điều kiện đủ cho tính chính quy mêtric và tính giả-Lipschitz của hàm ẩn đa trị
14
TNTA: dual variables. 15
Xem thêm cả các mục 4.5 và 4.6 trong Ch−ơng 4. 16
(xem Mục 5.3). Các kết quả đó áp dụng đ−ợc cho các bài toán mô tả bởi các hàm liên tục, không nhất thiết là Lipschitz địa ph−ơng.
Việc nghiên cứu các mối quan hệ giữa Jacobian xấp xỉ và đối đạo hàm là một công việc đáng làm. Một số nhận xét về mối quan hệ giữa d−ới vi phân Mordukhovich và d−ới vi phân J-L đã đ−ợc đ−a ra trong luận án của Wang (2000) và trong bài báo của Wang và Jeyakumar (2000). Chúng ta sẽ nghiên cứu vấn đề đó trong một phạm vi rộng hơn.
Tr−ớc tiên, chúng ta nhắc lại một số sự kiện trong Mordukhovich (1994b) và Clarke (1983).
Cho F : Rn ⇒ Rm là một ánh xạ đa trị . Nh− ở công thức (2.1) trong
Ch−ơng 4, giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlev´e-Kuratowski của F khi
x→x¯ là tập con củaRm đ−ợc định nghĩa bởi
Lim sup
x→¯x F(x) ={y∈Rm : ∃ các dãy xk→x, y¯ k→y,
với yk∈F(xk) ∀k= 1,2, . . .}.
Có hai điểm khác biệt giữa công thức này và công thức (2.1) trong Ch−ơng 4: giới hạn theo tôpô w∗ đ−ợc thay bằng giới hạn theo tôpô của chuẩn và F có
thể nhận giá trị không phải trong X∗ = (IRn)∗ =IRn, mà trong IRm. Giả sử
Ω⊂Rn. Ký hiệu
P(x,Ω) ={ω ∈Ω : x−ω=d(x,Ω)}.
Nón pháp tuyến Mordukhovich củaΩ tạix¯∈Ωđ−ợc xác định bởi công thức (7.1) NΩ(¯x) = lim sup
x→¯x [cone(x−P(x,Ω))].
Nếu x /¯ ∈ Ω, khi đó ta đặt NΩ(¯x) = ∅. Nói chung, NΩ(¯x) là hình nón không lồi. (Vì vậy nó không thể là nón đối ngẫu của bất cứ hình nón tiếp tuyến nào củaΩ.) Nón pháp tuyến này trùng với hình nón định nghĩa bởi công thức (2.8) trong Ch−ơng 4. Nh−ở Ch−ơng 2,nón tiếp tuyến ClarkeCΩ(¯x)củaΩtạix¯∈Ω đ−ợc định nghĩa bởi công thức
CΩ(¯x) ={u∈Rn : ∀xk(∈Ω)→x,¯ ∀tk ↓0, ∃uk→u such that
xk+tkuk∈Ω for allk}.
Tập hợp NΩCl(¯x) := (CΩ(¯x))∗ là nón pháp tuyến Clarke của Ω tại x¯. Quan
hệ giữa nón pháp tuyến Clarke và nón pháp tuyến Mordukhovich (xem Clarke (1983), Mệnh đề 2.5.7) nh−sau:
Nh− ở Mệnh đề 2.2.1 trong Ch−ơng 2, nón tiếp tuyến Bouligand của Ω tại
x∈Ω đ−ợc cho bởi công thức
TΩ(x) ={u∈Rn : ∃uk→u, ∃tk↓0 sao cho
x+tkuk∈Ω với mọi k}.
Nón đối ngẫu âm của TΩ(x) đ−ợc ký hiệu bởiNΩ(x). Nếu x /∈ Ω thì ta đặt
NΩ(x) =∅. Ng−ời ta đã biết rằng (xem Mordukhovich (1994b), tr. 254):
NΩ(x) ={x∗ ∈Rn : lim sup
y→Ωx
x∗, y−x y−x 0}.
Điều đó chứng tỏ nónNΩ (x) định nghĩa nh− ở đây trùng với nón pháp tuyến
Fréchet định nghĩa bằng công thức (2.7) trong Ch−ơng 4.
Mệnh đề 5.1.1(xem Kruger và Mordukhovich (1980)). Với mọiΩ⊂Rnvà với
mọix¯∈Ω,ta có
(7.3) NΩ(¯x) = Lim sup
x→¯x
NΩ(x).
Nh− ở Ch−ơng 4, đối đạo hàm Mordukhovich D∗F(¯x,y¯) :Rm ⇒ Rn của F tại (¯x,y¯)∈gphF đ−ợc cho bởi công thức
D∗F(¯x,y¯)(y∗) ={x∗ ∈Rn : (x∗,−y∗)∈NgphF(¯x,y¯)}. Đối đạo hàm Clarkecủa F tại (¯x,y¯)∈gphF đ−ợc cho bởi công thức
D∗
CF(¯x,y¯)(y∗) ={x∗ ∈Rn : (x∗,−y∗)∈NgphCl F)(¯x,y¯),}.
Đồ thị củaD∗
CF(¯x,y¯)(ã)là hình nón lồi đóng trong không gian tíchRmìRn.
NếuF có đồ thị lồi, thì đối đạo hàm Clarke và đối đạo hàm Mordukhovich trùng nhau, tức là
D∗F(¯x,y¯)(y∗) =D∗
CF(¯x,y¯)(y∗) ∀(¯x,y¯)∈gphF, ∀y∗∈Rm.
Nếu F là hàm véctơ khả vi chặt, thì hai đối đạo hàm đó cũng trùng nhau. Cụ thể là nếuf :Rn→Rm là khả vi chặt tạix¯, thì D∗f(¯x)(y∗) =D∗ Cf(¯x)(y∗) = (f(¯x))∗(y∗) ∀y∗∈Rm.
Ngoài hai tr−ờng hợp kể trên, đồ thị của đối đạo hàm Mordukhovich th−ờng là tập con thực sự của đối đạo hàm Clarke.
Cho hàm số ϕ:Rn→R=R∪ {±∞} với miền hữu hiệu domϕ={x∈Rn : −∞< ϕ(x)<+∞}.
Công thức
F(x) =Eϕ(x) :={à∈R : àϕ(x)}
xác địnhánh xạ đa trị trên-đồ-thị củaϕ. Rõ ràng là
gphF =epiϕ:={(x, à)∈RnìR : àϕ(x)}. Cho x¯∈domϕ. Tập hợp ∂ϕ(¯x) :=D∗Eϕ(¯x, ϕ(¯x))(1) = x∗∈Rn : (x∗,−1)∈Nepiϕ(¯x, ϕ(¯x))
đ−ợc gọi làd−ới vi phân Mordukhovich củaϕ tạix¯, còn tập hợp
∂∞ϕ(¯x) :=D∗E ϕ(¯x, ϕ(¯x))(0) = x∗∈Rn : (x∗,0)∈Nepiϕ(¯x, ϕ(¯x))
đ−ợc gọi là d−ới vi phân suy biến của ϕ tại x¯. Nếu x /¯ ∈ domϕ thì ta đặt
∂ϕ(¯x) =∂∞ϕ(¯x) =∅. D−ới vi phân Clarke∂Clϕ(¯x) và d−ới vi phân suy biến Clarke ∂Cl,∞ϕ(¯x) đ−ợc định nghĩa t−ơng tự; thay cho D∗ (t.−., N
gphF(ã)) ta xét D∗
C (t.−.,NgphCl F(ã)). Có thể chứng minh rằng d−ới vi phân Mordukhovich và d−ới vi phân suy biến định nghĩa nh− ở đây là trùng với các tập hợp định nghĩa bởi các công thức (2.5) và (2.6) trong Ch−ơng 4.
Nếu ϕlà khả vi chặt tại x¯, thì ∂Clϕ(¯x) =∂ϕ(¯x) ={ϕ(¯x)}. Với mỗi hàm số nửa liên tục d−ớiϕvà với mỗi điểm x¯∈domϕ, từ (7.2) suy ra rằng (7.4) ∂Clϕ(¯x) =co[∂ϕ(¯x) +∂∞ϕ(¯x)].
Công thức (7.4) là tr−ờng hợp riêng của công thức (6.14) trong Ch−ơng 4, ở đó ta xét hàm số xác định trên không gian Banach bất kỳ.
D−ới một số điều kiện nhẹ nhàng, ta có thể tính d−ới vi phân Clarke∂Clϕ(¯x) thông qua đạo hàm theo h−ớng Clarke-Rockafellar. Nếu ϕ:Rn→IRlà hàm số liên tục, thì đạo hàm theo h−ớng Clarke-Rockafellar ϕ↑(¯x, u) của ϕtại x¯ theo
h−ớng u đ−ợc định nghĩa (xem Clarke (1983), tr. 97) bằng công thức
(7.5) ϕ↑(¯x;u) = lim ε↓0 lim sup x→x, t¯ ↓0 inf u∈u+εB¯Rn ϕ(x+tu)−ϕ(x) t .
Mệnh đề 5.7.2 (xem Clarke (1983), tr. 97). Ta có ∂Clϕ(¯x) =∅ khi và chỉ khi ϕ↑(¯x; 0) =−∞. Nếu tr−ờng hợp đó không xảy ra, thì ta có
và
(7.7) ϕ↑(¯x;u) = sup{x∗, u : x∗ ∈∂Clϕ(¯x)} ∀u∈Rn.
Nếu ϕlà Lipschitz địa ph−ơng tạix¯, thì
ϕ↑(¯x;u) =ϕo(¯x;u) với mọi u∈Rn, ở đó ϕo(¯x;u) = lim sup x→¯x, t↓0 ϕ(x+tu)−ϕ(x) t
là đạo hàm theo h−ớng Clarke của ϕ tại x¯ theo h−ớng u (xem Mục 3.4 trong Ch−ơng 3). Vì ∂Cl,∞ϕ(¯x) = {0} (xem Clarke (1983), Mệnh đề 2.9.7) và
∂∞ϕ(¯x)⊂∂Cl,∞ϕ(¯x), ta suy ra rằng∂∞ϕ(¯x) ={0}.
Để tiện theo dõi, chúng ta nhắc lại khái niệm Jacobian xấp xỉ đã xét ở Mục 5.2. Giả sử f : Rn → Rm là hàm véctơ liên tục. Tập con đóng J f(¯x) ⊂ L(Rn,Rm) đ−ợc gọi là Jacobian xấp xỉ của f tại x¯∈Rn nếu
(7.8) (y∗◦f)+(¯x;u) sup A∈Jf(¯x) y∗, Au, ∀u∈Rn, ∀y∗∈Rm, ở đó (y∗◦f)(x) =y∗, f(x), và (y∗◦f)+(¯x;u) = lim sup t↓0 (y∗◦f)(¯x+tu)−(y∗◦f)(¯x) t
là đạo hàm Dini trên của y∗◦f tạix¯ theo h−ớngu. Một Jacobian xấp xỉ của f
tại x¯ đ−ợc gọi làtối thiểu (minimal) nếu nó không chứa tập con (đóng) thực sự nào cũng là Jacobian xấp xỉ của f tại x¯. Nếu f khả vi Fréchet tại x¯, thì hiển nhiên J f(¯x) ={f(¯x)} là Jacobian xấp xỉ tối thiểu của f tại x¯.
Giả sử ϕ:Rn →IRlà hàm liên tục. Nếu J ϕ(¯x) là một Jacobian của ϕtại ¯
x, thì ta viết ∂JLϕ(¯x) thay choJ ϕ(¯x) và gọi ∂JLϕ(¯x) làd−ới vi phân J-Lcủa
ϕtạix¯. Một J-L d−ới vi phân J-L đ−ợc gọi làtối thiểu(minimal) nếu nó không chứa tập con (đóng) thực sự nào cũng là d−ới vi phân J-L của f tại x¯.
Nhận xét rằng hàm ϕxét trong Ví dụ 5.2.1 không có d−ới vi phân J-L tối thiểu tạix¯= 0.
Nếu f =ϕ, là một hàm thực, thì (7.8) t−ơng đ−ơng với cặp điều kiện sau:
(7.9) lim sup t↓0 ϕ(¯x+tu)−ϕ(¯x) t sup x∗∈∂JLϕ(¯x) x∗, u ∀u∈Rn
và (7.10) lim inf t↓0 ϕ(¯x+tu)−ϕ(¯x) t inf x∗∈∂JLϕ(¯x)x∗, u ∀u∈Rn.
Chúng ta sẽ trả lời câu hỏi sau: Phải chăng d−ới vi phân Mordukhovich nào cũng là d−ới vi phân J-L?
Ví dụ 5.7.1(xem Jeyakumar và Luc (2002a)). Xét hàm sốϕ(x) =x1/3,x∈R. Khi đó ∂JLϕ(0) = [α,+∞), ở đó α ∈IR đ−ợc lấy tùy ý, là d−ới vi phân J-L của ϕtại 0. Thật vậy, thếx¯= 0, u = 1và u=−1 vào (7.9) và (7.10) ta thấy rằng cả hai điều kiện đó đều thỏa mãn. Sử dụng (7.3) ta có
Nepiϕ((0,0)) ={(x∗,0) ∈R2 : x∗ 0}.
Vì thế ∂ϕ(0) = ∅ và ∂∞ϕ(0) = [0,+∞). Vậy ∂ϕ(0) không phải là d−ới vi phân J-L của ϕtại 0.
Ví dụ trên gợi ý rằng câu hỏi đang đ−ợc khảo sát cần đ−ợc phát biểu lại nh− sau:
Câu hỏi 1: Nếu d−ới vi phân Mordukhovich khác rỗng, thì nó có là d−ới vi phân J-L hay không?
Ba ví dụ tiếp theo ủng hộ câu trả lời khẳng định cho câu hỏi trên.
Ví dụ 5.7.217. Đặt ϕ(x) = |x| với mọi x ∈ IR. Để ý rằng ϕ là hàm lồi, Lipschitz ở trên IR. Sử dụng (7.1) hoặc (7.3) ta thu đ−ợc
Nepiϕ((0,0)) ={(x∗, y∗)∈R2 : |x∗|−y∗}.
Vì vậy,∂ϕ(0) = [−1,1]. Do ∂JLϕ(0) :={−1,1}là d−ới vi phân J-L của ϕtại 0, ta kết luận rằng∂ϕ(0)là d−ới vi phân J-L của ϕtại 0, nh−ng nó không phải là d−ới vi phân J-L tối thiểu. (L−u ý rằng ∂JLϕ(0) = {−1,1} là d−ới vi phân J-L của ϕtại 0).
Ví dụ 5.7.318. Đặtϕ(x) =−|x|với mọix∈IR. Ta có ϕlà hàm lõm, Lipschitz ở trên IR. Sử dụng (7.1) hoặc (7.3) ta tìm đ−ợc
Nepiϕ((0,0)) ={(x∗, y∗)∈R2 : |x∗|=|y∗|} ∪ {(x∗, y∗)∈R2 : x∗ |y∗|}.
Vì vậy∂ϕ(0) ={−1,1}. Dễ thấy rằng ∂JLϕ(0) :={−1,1}là d−ới vi phân J-L tối thiểu củaϕtại 0. Vì vậy, d−ới vi phân Mordukhovich củaϕtại 0 là d−ới vi phân J-L tối thiểu củaϕtại 0.
17
Xem Ví dụ 4.2.4. 18
Ví dụ 5.7.4. Đặt ϕ(x) = 0 với mọi x ∈ (−∞,0] và ϕ(x) = x1/2 với mọi
x ∈ (0,+∞). Ta có ϕ là hàm số không lồi, không lõm, không Lipschitz địa ph−ơng tại 0. Sử dụng (7.3) ta tính đ−ợc
Nepiϕ((0,0)) ={(x∗, y∗)∈R2 : x∗ 0, y∗ 0}.
Vì vậy, ∂ϕ(0) = ∂∞ϕ(0) = [0,+∞). Bằng cách kiểm tra trực tiếp, ta thấy rằng các điều kiện (7.9) và (7.10) đ−ợc thỏa mãn với ∂JLϕ(¯x) := [0,+∞), ở đó x¯= 0. Vậy ∂ϕ(0) là d−ới vi phân J-L của ϕtại 0. Dễ thấy rằng đó không phải là d−ới vi phân J-L tối thiểu.
Mệnh đề 5.7.1. Nếu ϕ:Rn→Rlà Lipschitz tại x¯, thì ∂ϕ(¯x)là d−ới vi phân J-L của ϕtại x¯. Chứng minh. Do (7.4), (7.6) và (7.7) ta có lim sup t↓0 ϕ(¯x+tu)−ϕ(¯x) t ϕo(¯x;u) = max{x∗, u : x∗ ∈∂Clϕ(¯x)} = max{x∗, u : x∗ ∈∂ϕ(¯x)}. Mặt khác, lim inf t↓0 ϕ(¯x+tu)−ϕ(¯x) t lim inf x→x, t¯ ↓0 ϕ(x+tu)−ϕ(x) t =−ϕo(¯x;−u) =−max{x∗,−u : x∗ ∈∂Clϕ(¯x)} = min{x∗, u : x∗∈∂ϕ(¯x)}.
Các tính chất (7.9) và (7.10) đã đ−ợc thiết lập đối với∂JLϕ(¯x) :=∂ϕ(¯x). Vậy
∂ϕ(¯x) là d−ới vi phân J-L của ϕtại x¯. 2
Ví dụ sau cho ta câu trả lời phủ định cho Câu hỏi 1.
Ví dụ 5.7.5. Đặtϕ(x) =x2sin(1/x) với mọi x∈ (−∞,0) và ϕ(x) = −x1/3 với mọix∈[0,+∞). Khi đó ϕlà hàm số liên tục, không Lipschitz địa ph−ơng tại 0. Chúng ta khẳng định rằng ∂ϕ(0) = ∅, nh−ng đó không phải là d−ới vi phân J-L của ϕtại 0. Thật vậy, dễ thấy rằngNepi
ϕ((0,0)) ={0}. Vì
epiϕ={(x, y) : y−x2sin(1/x) 0, x <0}∪{(x, y) : y+x1/30, x0},
do công thức tính nón tiếp tuyến Bouligand cho hệ bất đẳng thức xác định bởi các hàm khả vi (xem Aubin và Frankowska (1990), tr. 124, hoặc Mệnh đề 2.2.2 trong Ch−ơng 2) ta có
nếux <0, Tepiϕ(x, ϕ(x)) ={(v1, v2)∈R2 : 1 3x −2/3v1+v2 0} nếux >0. Vì vậy,
Nepiϕ(x, ϕ(x)) ={λ∗(2xsin(1/x)−cos(1/x),−1) : λ∗ 0}
nếux <0, và Nepiϕ(x, ϕ(x)) ={λ∗(−1 3x −2/3,−1) : λ∗ 0} nếux >0. áp dụng (7.3) ta thu đ−ợc Nepiϕ(0,0) ={(x∗, y∗)∈R2 : −|x∗|y∗} ∪(−∞,0]ì {0}. Do đó, ∂ϕ(0) = [−1,1]. Nhận xét rằng (2.10), ở đó x¯ := 0 và ∂JLϕ(0) := [−1,1], không đúng với u= 1vì rằng vế trái là −∞, trong khi vế phải là−1.
Vì thế,∂JLϕ(0)là tập lồi compắc khác rỗng, nh−ng không phải là d−ới vi phân J-L của ϕtại 0.
Nhận xét rằng, trong các ví dụ 5.7.1 và 5.7.5, tập
∂JLϕ(0) :=∂ϕ(0)∪∂∞ Mϕ(0)
là d−ới vi phân J-L của ϕtại 0 (mặc dù ∂ϕ(0) không phải là d−ới vi phân J-L củaϕtại 0). Ta có thể nêu lên19 câu hỏi sau:
Câu hỏi 1’: Phải chăng với mỗi hàm véctơ liên tục ϕ : Rn → IR và với mọi
¯
x∈Rn, hợp của d−ới vi phân Mordukhovich và d−ới vi phân suy biến ∂ϕ(¯x) :=∂JLϕ(¯x)∪∂∞ϕ(¯x)
là d−ới vi phân J-L của ϕtại x¯?
Cho đến nay, Câu hỏi 1’ vẫn ch−a có câu trả lời.