4.2 Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm 115 Ví dụ 4.2.3 44 Nếu = {x = (x1 , 0) ∈ R2 : x1 1} ∪{x = (0, x2 ) ∈ R2 : x1 1, x2 = x1 − x2 } x = (0, 0), x N () = {x = (x1 , x2 ) : x1 0, x2 0} vµ x NΩ (¯) = NΩ (¯) ∪ [0, +∞) × {0} ∪ {0} × [0, +∞) x H×nh 16 VÝ dơ 4.2.4 45 NÕu f (x) = |x| víi mäi x ∈ R vµ x = 0, th× ¯ ∂ P f (¯) = ∂f (¯) = ∂f (¯) = [−1, 1] x x x VÝ dô 4.2.5 46 NÕu f (x) = −|x| với x I x = 0, R ¯ ∂ P f (¯) = ∂f (¯) = ∅, x x ∂f (¯) = {−1, 1} x CÊu trúc địa phơng tập (0, 0) tơng tự nh cấu trúc tập hợp xét Ví dụ 4.2.2 lân cận điểm (0, 0) 45 Vì hàm số f lồi, nên dới vi phân qua giới hạn trùng với dới vi phân theo nghĩa giải tích lồi 46 Hàm f không lồi dới vi phân qua giới hạn tập không lồi Dới vi phân Clarke f x đoạn [1, 1], tập hợp lồi compắc 44 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 116 Ví dụ 4.2.6 47 Đặt f (x) = |x1 | − |x2 | víi mäi x = (x1 , x2 ) ∈ R2 vµ lÊy x = (0, 0) Hàm số f không lồi, không lõm Ta cã ¯ x Ngphf ((¯, 0)) = Lim sup Ngphf (z) z→(¯,0) x = cone{(1, −1, −1), (1, 1, −1), (−1, 1, −1), (−1, −1, −1)} ∪{(−µ, µ − λ, µ) : 2µ λ 0} ∪{(µ, λ − µ, µ) : 2µ λ 0} ∪{(−λ − µ, µ, µ) : −2µ λ 0} ∪{(−λ − µ, −µ, µ) : −2µ λ ≥ 0} Suy D ∗⎧(¯)(y ∗ ) f x ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎪ {(y , −y ), (y , y ), (−y , y ), (−y , −y )} ⎪ ⎪ ∪{(−λ∗ + y ∗ , −y ∗ ) : 2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(−λ∗ + y ∗ , y ∗ ) : 2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ nÕu y∗ > 0, ⎨ ∗ , −y ∗ ), (y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , −y ∗ )} = {(y ⎪ ⎪ ∪{(y ∗ , −y ∗ − λ∗ ) : −2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(−y ∗ , y ∗ + λ∗ ) : −2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ nÕu y∗ < 0, ⎪ ⎩ {(0, 0)} nÕu y = Vì thế, với y , D f (0)(y ) tập compắc khác rỗng Lu ý thêm rằng, với R hầu hết y ∈ I , D ∗ f (0)(y ∗ ) lµ tập không lồi Bài tập 4.2.6 Sử dụng định nghĩa công thức mục để kiểm tra khẳng định nói ví dụ 4.2.1-4.2.5 4.3 Vấn đề đánh giá dới vi phân hàm giá trị tối u Các hàm giá trị tối u đợc hiểu hàm số nhận giá trị tập số thực suy rộng có dạng sau: (3.1) à(x) := inf {ϕ(x, y) : y ∈ G(x)}, ë ®ã ϕ: X ì Y I hàm giá 48 hay hàm mục tiêu 49 nhận giá trị tập số R thùc suy réng I G: X ⇒ Y lµ ánh xạ đa trị mô tả ràng buộc 50 không R, 47 Các tính toán chi tiết liên quan đến ví dụ đợc trình bày Mục 5.8 Ch−¬ng TNTA: cost function 49 TNTA: objective function 50 TNTA: constraint set-valued mapping 48 4.3 VÊn ®Ị đánh giá dới vi phân hàm giá trị tối u 117 gian Banach Thuật ngữ giá/ràng buộc có nguồn gốc từ tối u có ràng buộc, hàm số (3.1) thờng đợc gọi hàm giá trị tối u 51 (hay hàm marginal) toán tối u cã tham sè (3.2) T×m cùc tiĨu ϕ(x, y) víi ràng buộc y G(x) với ánh xạ nghiệm M (Ã) xác định công thức (3.3) M (x) := {y G(x) : à(x) = (x, y)} Các hàm số dạng (3.1) đóng vai trò quan trọng giải tích biến phân, tối u có ràng buộc, lý thuyết điều khiển, nhiều ứng dụng khác lý thuyết Song song với việc đa điều kiện đủ để hàm giá trị tối u liên tục Lipschitz địa phơng tham số cho tr−íc (xem, vÝ dơ nh−, Mơc 5.5 Ch−¬ng 5), khoảng thời gian 30 năm trở lại đây, ngời ta đà quan tâm nghiên cứu tính chất khả vi khả vi theo hớng hàm giá trị tối u Các kết theo hớng thờng đợc gọi kết tính ổn định vi phân toán tối u Các báo Gauvin Tolle (1977), Gauvin (1979), Auslender (1979) thuộc số nghiên cứu tính chất vi phân hàm giá trị tối u toán quy hoạch phi tuyến cho hàm trơn, không lồi Thông tin thêm lý thuyết ứng dụng hàm giá trị tối u cã thĨ xem Auslender vµ Teboulle (2003), Bonnans vµ Shapiro (2000), Borwein vµ Zhu (2005), Clarke (1983), Dien vµ Yen (1991), Gauvin vµ Dubeau (1982, 1984), Gollan (1984), Ha (2005), Lucet vµ Ye (2001, 2002), Mordukhovich (1992, 2006a, 2006b), Mordukhovich vµ Nam (2005a), Mordukhovich vµ Shao (1996a), Rockafellar (1982, 1985), Rockafellar Wets (1998), Thibault (1991), tài liệu đợc trích dẫn Tất nhiên đặt vấn đề tính dạo hàm đối đạo hàm ánh xạ nghiệm M (Ã) Đây vấn đề khó, đợc nhiều ngời quan tâm nghiên cứu Một tính chất đặc trng hàm giá trị tối u dạng (3.1) chúng hàm không trơn chất, cho dù hàm giá trơn tập ràng buộc tập nghiệm hệ bất đẳng thức đẳng thức mô tả hàm trơn Vì vậy, ta cần nghiên cứu tính chất vi phân theo nghĩa suy rộng hàm giá trị tối u để có đợc thông tin cốt yếu độ nhạy tính ổn định toán tối u điều khiển có nhiễu, điều kiện cực trị, tính điều khiển đợc địa phơng, v.v Một bớc để thu đợc thông tin nh tiến hành đánh giá đạo hàm suy rộng hàm giá trị tối u cho công thức (3.1) tham số x cho trớc thông qua cấu trúc vi phân suy rộng G 51 TNTA: optimal value function Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 118 Đạo hàm suy rộng có hai loại chính: đạo hàm theo hớng/các xấp xỉ tiếp tuyến không gian dới vi phân (tập hợp dới gradient)/các xấp xỉ pháp tuyến không gian đối ngẫu Trong số trờng hợp (bao gồm trờng hợp toán với liệu trơn toán với liệu lồi) phơng pháp tiếp cận không gian phơng pháp tiếp cận không gian đối ngẫu tơng đơng Nhng có nhiều tình cấu trúc không gian đối ngẫu thu đợc từ xấp xỉ không gian quan hệ đối ngẫu, cấu trúc đối ngẫu cho thông tin có giá trị dáng điệu hàm giá trị tối u ứng dụng quan trọng nó, đặc biệt việc phân tích độ nhạy việc thiết lập điều kiện tối u Trong mục 4.5 4.6 đa quy tắc để tính toán đánh giá dới vi phân Fréchet dới vi phân Mordukhovich hàm à(Ã) (3.1) thông qua dới vi phân tơng ứng hàm giá đối đạo hàm ánh xạ mô tả ràng buộc G Các quy tắc đợc thiết lập cho trờng hợp không gian vô hạn chiều, hầu hết quy tắc thu đợc nhờ cách tiếp cận không gian cần tới giả thiết không gian X Y đợc xét hữu hạn chiều Chúng ta minh họa kết thu đợc số ví dụ cụ thể 4.4 Tính compắc pháp tuyến theo dÃy Một điểm khác biệt giải tích biến phân hữu hạn chiều giải tích biến phân vô hạn chiều cần thiết phải đặt yêu cầu tính compắc pháp tuyến (normal compactness) ta xét ánh xạ tập hợp không gian vô hạn chiều Nếu yêu cầu đợc thỏa mÃn lấy giới hạn dÃy theo tôpô yếu ta có đợc kết luận không tầm thờng Mục cung cấp khái niệm liên quan đến tính compắc pháp tuyến theo dÃy tập hợp không gian Banach vô hạn hiều Những khái niệm cần thiết cho việc trình bày kết chứng minh Mục 4.6 Để hiểu sâu thêm, bạn đọc tham khảo sách B S Mordukhovich (2006a,b) Nếu không nói thêm, tất không gian đợc xét đề không gian Banach Các tính chất compắc pháp tuyến đợc đa sau tự động thỏa mÃn không gian hữu hạn chiều Ngoài ra, chúng nghiệm với tập hợp ánh xạ tốt, đợc bảo tồn dới phép biến đổi đa dạng Định nghĩa 4.4.1 Tập hợp không gian Banach X đợc gọi compắc pháp tuyến theo dÃy 52 (SNC) x với mäi d·y εk ↓ 0, xk → x, vµ ¯ ¯ 52 TNTA: sequentially normally compact (SNC) 4.4 TÝnh compắc pháp tuyến theo dÃy 119 x Nk (xk ; Ω) ta cã k w∗ x∗ → =⇒ k x∗ → k k → ∞ NhËn xét 4.4.1 (xem Mordukhovich (2006a)) Nếu X không gian Asplund tập đóng địa phơng lân cận điểm x, định nghĩa ta bỏ ký hiệu k (mà không thay đổi tính chất đợc xét) Trong Định nghĩa 4.4.1 có đòi hỏi, dÃy véctơ nÕu d·y héi tơ vỊ theo t«p« u∗ dÃy chuẩn tơng ứng phải hội tụ (tøc lµ tõ sù héi tơ cđa d·y vỊ theo t«p« u∗ suy sù héi tơ cđa nã vỊ theo chn cđa X∗ ) §Ĩ cã thể hiểu rõ ý nghĩa đòi hỏi đó, ta xÐt vÝ dô sau X ∗, VÝ dô 4.4.1 Lấy X = không gian Hilbert d·y sè thùc x = (x1 , x2 , ) tháa ®iỊu kiƯn ∞ x2 < +∞ víi chuẩn tích vô hớng đợc i=1 i cho ∞ x2 i x = ∞ 1/2 , x, y = i=1 xi yi i=1 X Nhờ Định lý Riesz, ta đồng với X tôpô w∗ cđa X ∗ víi (k) = (0, , 0, 1, 0, ), ë ®ã số tôpô yếu (ký hiệu w) X Lấy x w đứng vị trí thứ k Ta cã x(k) → 0, v× víi mäi v = (v1 , v2 , ) ∈ X tÝnh chÊt lim x(k) , v = hiĨn nhiªn nghiƯm ®óng Tuy thÕ, x(k) = k→∞ k → Định nghĩa 4.4.2 ánh xạ đa trị F : X Y đợc gọi compắc pháp tuyến theo dÃy (, y ) gph F đồ thị có tính chất x Đối với trờng hợp ánh xạ, ta định nghĩa tính chất yếu tính compắc pháp tuyến theo dÃy Định nghĩa 4.4.3 Ta nói ánh xạ đa trị F : X Y compắc pháp tuyến riêng rẽ theo dÃy 53 (PSNC) (, y ) nÕu víi mäi d·y εk ↓ 0, (xk , yk ) → (¯, y ) mµ x ¯ x ¯ ∗ , y ∗ ) ∈ N ((x , y ); gph F ) ta cã (xk , yk ) ∈ gph F , vµ (xk k εk k k w∗ ∗ [x∗ → 0, yk → 0] =⇒ [ x∗ → 0] k → ∞ k k NhËn xÐt 4.4.2 (xem Mordukhovich (2006a)) NÕu X vµ Y lµ không gian Asplund F ánh xạ đa trị có đồ thị đóng, định nghĩa ta cã thĨ bá ký hiƯu εk (nãi c¸ch kh¸c, ta cã thÓ lÊy εk = 0) NhËn xÐt 4.4.3 (xem Mordukhovich (2006a)) Tính chất compắc pháp tuyến riêng rẽ theo dÃy nghiệm F giả-Lipschitz (liên tơc Aubin) t¹i 53 TNTA: partial sequentially normally compact (PSNC) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 120 (, y ), tức tồn lân cận U x V y víi h»ng sè x ¯ ¯ ¯ cho ¯ F (u) ∩ V ⊂ F (v) + u − v BY với u, v U Định nghĩa 4.4.4 Hàm số : X I đợc gọi epi-compắc pháp tuyến R 54 (SNEC) x tập đồ thị (epigraph) theo dÃy epi ϕ := {(x, α) ∈ X × I : ϕ(x) R } SNC (, ()) x x Nếu Lipschitz địa phơng x, SNEC x Trong Mục 4.6 cần đến khái niệm đa định nghĩa 4.4.14.4.4 Do khuôn khổ có hạn giáo trình này, ta không sâu phân tích khái niệm Bạn đọc có quan tâm đọc thêm chuyên khảo Mordukhovich (2006a) 4.5 Dới vi phân Fréchet hàm giá trị tối u Mục đợc dành để trình bày công thức tính toán dới vi phân Fréchet hàm giá trị tối u tổng quát (ở ta không giả thiết ánh xạ đa trị G tham gia công thức (3.1) có cấu trúc đặc thù nào) áp dụng công thức thu đợc cho trờng hợp G(x) tập nghiệm hệ đẳng thức bất đẳng thức phụ thuộc tham số 55 G(x) tập nghiệm bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số 56 , ta có đánh giá dới vi phân Fréchet à(Ã) thông qua tập nhân tử Lagrange toán quy hoạch toán học đợc xét Trớc hết chứng tỏ đặc trng dới gradient Fréchet hàm số thực qua hàm số xấp xỉ dới, khả vi Fréchet điểm đợc xét Bổ đề 4.5.1 (xem Mordukhovich (2006a), Định lý 1.88) Cho Z không gian Banach Giả sử hàm số : Z I hữu hạn z ∈ Z Khi ®ã z∗ ∈ ∂ϕ(¯) R ¯ z tồn hàm số s: Z I hữu hạn lân cận z , khả vi R Fréchet z , tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau ¯ (5.1) 54 s(¯) = ϕ(¯), z z s (¯) = z ∗ , vµ s(z) z ϕ(z) víi mäi z ∈ Z TNTA: sequentially normally epi-compact (SNEC) Khi (3.2) toán quy hoạch toán học phụ thuộc tham số 56 Khi (3.2) toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân phụ thuộc tham số 55 4.5 Dới vi phân Fréchet hàm giá trị tối u 121 Chøng minh Gi¶ sư z ∗ ∈ ∂ϕ(¯) Tõ ®Þnh nghÜa d−íi gradient FrÐchet suy z r»ng tån lân cận U z cho (z) > −∞ víi mäi z ∈ U Hµm sè ¯ ¯ s(z) := {ϕ(z), ϕ(¯) + z ∗ , z − z } z (∀z ∈ Z) tháa mÃn tất tính chất cần có Thật vậy, ta có s hữu hạn U s(z) > −∞ víi mäi z ∈ U vµ s(z) ϕ(¯) + z ∗ , z − z < ∞ víi z Z z Từ công thức định nghÜa s ta suy r»ng s(¯) = ϕ(¯) vµ s(z) ϕ(z) víi mäi z z z ∈ Z Ngoµi ra, lim sup z→¯ z s(z) − s(¯) − z ∗ , z − z z ¯ z−z ¯ z Do điều kiện z (), sử dụng định nghĩa dới gradient Fréchet công thức hàm s ta thu đợc lim inf z z s(z) s() − z ∗ , z − z z ¯ z−z Từ suy s hữu hạn lân cận z , khả vi Fréchet z vµ s (¯) = z ∗ ¯ ¯ z Z tồn hàm số s: Z I thỏa mÃn Ngợc lại, giả sử r»ng z R tÝnh chÊt (5.1) Khi ®ã ta cã lim inf z→¯ z ϕ(z) − ϕ(¯) − z ∗ , z − z z ¯ z−z ¯ Chøng minh kÕt thóc lim inf z→¯ z s(z) − s(¯) − z ∗ , z − z z ¯ = z−z ¯ Bµi tËp 4.5.1 KiĨm tra kÕt luận của Bổ đề 4.5.1 cho trờng hợp Z = I , ϕ(z) = z , z = vµ Z = I , ϕ(z) = − z , z = VÏ h×nh R ¯ R để minh họa cho kết nói ∂ϕ(¯) = [−1, 1] tr−êng hỵp thø z nhÊt () = trờng hợp thứ hai z Định lý sau cho ta đánh giá (upper estimate) cho dới vi phân Fréchet hàm giá trị tối u tổng quát công thức (3.1) tham số x cho trớc Đánh giá đợc thiết lập thông qua đối đạo hàm Fréchet ánh xạ mô tả ràng buộc G tập dới vi phân Fréchet hàm giá Giả thiết + (, y ) khác rỗng phần tử y M () x x 57 Đòi hỏi đợc thỏa mÃn nhiều lớp toán tối u Định lý 4.5.1 Giả sử hàm giá trị tối u à(Ã) (3.1) hữu hạn x ∈ ¯ + ϕ(¯, y ) = ∅ Khi ®ã dom M , giả sử y M () véctơ thỏa mÃn x x (5.2) x∗ + D∗ G(¯, y )(y ∗ ) x ¯ ∂µ(¯) ⊂ x (x∗ ,y ∗ )∈∂ + ϕ(¯,¯) xy 57 Một vài kết tơng tự nh định lý 4.5.1 4.5.2 đà đợc thiết lập cho hàm giá trị tối u toán quy hoạch toán học có tham số với liệu hàm trơn; xem Gollan (1984), Maurer Zowe (1979) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 122 Chøng minh §Ĩ kiĨm chøng (5.2), ta lÊy tïy ý u à() với > x ta chän η > cho µ(x) − µ(¯) − u∗ , x − x x ¯ ∀x ∈ B(¯, η) x µ(x) − ϕ(¯, y ) + ε x − x x ¯ ¯ −ε x − x ¯ ∀x ∈ B(¯, η) x V× y ∈ M (¯), ta cã ¯ x (5.3) u∗ , x − x Lấy cố định véctơ tùy ý (x , y ∗ ) ∈ ∂ + ϕ(¯, y ) Do (2.3), áp dụng Bổ đề x 4.5.1 cho vÐct¬ (−x∗ , −y ∗ ) ∈ ∂(−ϕ)(¯, y ) ta tìm đợc hàm số s: X ì Y I x R khả vi Fréchet (, y ) cho x ¯ x ¯ s(¯, y ) = ϕ(¯, y ), s (¯, y ) = (x∗ , y ∗ ), x ¯ x ¯ s(x, y) (x, y) (x, y) X ì Y (5.4) Để ý r»ng µ(x) s(x, y) víi mäi y ∈ G(x) Tõ (5.3) vµ (5.4) ta suy ϕ(x, y) ¯ u∗ , x − x ϕ(x, y) − ϕ(¯, y ) + ε x − x x ¯ ¯ s(x, y) − s(¯, y ) + ε x − x x ¯ ¯ = sx (¯, y ), x − x + sy (¯, y ), y − y x ¯ ¯ x ¯ ¯ +o( x − x + y − y ) + ε x − x ¯ ¯ ¯ = x∗ , x − x + y ∗ , y − y + o( x − x + y − y ) + ε x − x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ víi mäi (x, y) mµ x B(, ) y G(x) Vì > đợc chọn tùy ý, từ x suy u∗ − x∗ , x − x − y ∗ , y − y ¯ ¯ lim sup x−x + y−y ¯ ¯ gph G (x,y) −→ (¯,¯) xy Điều chứng tỏ (u x , −y ∗ ) ∈ ∂δ((¯, y ); gph G), ë ®ã δ(·; gph G) lµ x ¯ hµm chØ cđa tập gph G Lu ý đến (2.7) ta thu đợc x ¯ (u∗ − x∗ , −y ∗ ) ∈ Ngph G (¯, y ) Do (2.9), tõ ®ã ta cã u∗ − x∗ ∈ D∗ G(¯, y )(y ∗ ) x ¯ VËy ta cã bao hµm thøc u∗ ∈ x∗ + D∗ G(¯, y )(y ∗ ), x tức (5.2) nghiệm 4.5 Dới vi phân Fréchet hàm giá trị tối u 123 Định nghĩa 4.5.1 (xem Robinson (1979)) ánh xạ h: D Y đợc gọi Lipschitz địa phơng 58 x D, D tập X, tồn > cho h(x) − h(¯) x x−x ¯ ∀x B(, ) D x Định nghĩa 4.5.2 Ta nói ánh xạ đa trị F : D Y , D X, có lát cắt Lipschitz địa phơng 59 (, y ) gph F tồn ánh xạ đơn trị x h: D Y Lipschitz địa phơng x cho h(¯) = y vµ h(x) ∈ F (x) ¯ x ¯ víi mäi x ∈ D lân cận x Định lý sau đa điều kiện đủ để bao hàm thức (5.2) nghiệm dới dạng đẳng thức Định lý 4.5.2 Ngoài giả thiết Định lý 4.5.1, ta giả sử thêm khả vi Fréchet (, y ) ánh xạ nghiệm M : dom G Y có lát cắt Lipschitz x địa phơng (, y ) Khi x (5.5) x ¯ ∂µ(¯) = x∗ + D∗ G(¯, y )(y ∗ ), x víi (x∗ , y ∗ ) := ϕ (¯, y ) = x ¯ ∂ϕ(¯, y ) ∂ϕ(¯, y ) x ¯ x ¯ , ∂x ∂y lµ véctơ gradient (, y ) x x Chứng minh Theo Định lý 4.5.1 ta có ∂µ(¯) ⊂ x∗ + D∗ G(¯, y )(y ∗ ) Để x chứng minh bao hàm thức ngợc lại x∗ + D∗ G(¯, y )(y ∗ ) ⊂ ∂µ(¯) x x nghiệm dới điều kiện phụ nói định lý, ta cố định phần tử u à() Ta cần chứng tỏ / x u∗ ∈ x∗ + D∗ G(¯, y )(y ) / x (5.6) Do định nghĩa dới gradient Fréchet, điều kiện u à() kéo theo / x lim inf x→¯ x µ(x) − µ(¯) − u∗ , x − x x ¯ < x−x ¯ N Vì tồn > vµ d·y xk → x, xk = x víi mäi k ∈ I , cho (5.7) 58 59 µ(xk ) − µ(¯) − u∗ , xk − x x ¯ xk − x ¯ TNTA: locally upper Lipschitzian TNTA: admits a local upper Lipschitzian selection −ε §èi đạo hàm ánh xạ đa trị 124 Nếu xk dom G G(xk ) = Khi ta cã / µ(xk ) = inf{ϕ(xk , y) : y ∈ G(xk )} = +∞, m©u thn víi (5.7) VËy ta ph¶i cã xk ∈ dom G víi mäi k I Lấy lát cắt N h(Ã) Lipschitz địa phơng (, y ) ánh xạ nghiÖm M : dom G ⇒ Y x ¯ x x nh giả thiết định lý Đặt yk := h(xk ) để ý à() = ϕ(¯, y ), µ(xk ) = ϕ(xk , yk ) Tõ (5.7) suy u∗ , xk − x ¯ x ¯ ¯ ϕ(xk , yk ) − ϕ(¯, y ) + ε xk − x = ϕ (¯, y ), (xk − x, yk − y ) + o( xk − x + yk − y ) x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ +ε xk − x ¯ = x∗ , xk − x + y ∗ , yk − y + o( xk − x + yk − y ) ¯ ¯ ¯ ¯ +ε xk − x Sử dụng tính chất Lipschitz địa phơng cđa h(·) t¹i x, ta cã ¯ ¯ xk − x yk − y ¯ víi k ∈ I đủ lớn N Điều kéo theo đánh giá u∗ − x∗ , xk − x − y ∗ , yk − y ¯ ¯ ε ε xk − x + yk − y + o( xk − x + yk − y ) ¯ ¯ ¯ ¯ ε( xk − x + yk − y ) + o( xk − x + yk − y ), ¯ ¯ ¯ ¯ ë ®ã ε := min{ε/2, ε/(2 )} V× vËy, lim sup gph G (x,y) −→ (¯,¯) xy u∗ − x∗ , x − x − y ∗ , y − y ¯ ¯ x−x + y−y ¯ ¯ ε; cã nghÜa lµ (u∗ − x∗ , −y ∗ ) ∈ Ngph G (¯, y ) TÝnh chÊt ®ã chøng tá r»ng (5.6) / x ¯ nghiƯm ®óng Chøng minh kÕt thóc B©y giê chóng ta xét số ví dụ để thấy nét đặc trng hai định lý vừa thu đợc giả thiết chúng Chúng ta bắt đầu với ví dụ chứng tỏ bao hàm thức (5.2) Định lý 4.5.1 trở thành đẳng thức hàm giá không khả vi Fréchet Để cho tiƯn, chóng ta ký hiƯu c¸c biĨu thøc ë vế trái vế phải (5.2) tơng ứng LHS (left-hand side) vµ RHS (right-hand side) VÝ dơ 4.5.1 Lấy X = Y = I Đặt (x, y) = −|y| vµ R √ √ [− x, x] nÕu x 0, G(x) = ∅ nÕu x < 140 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị Mặt khác, Định lý 4.5.2 tính quy pháp tuyến cđa G t¹i (¯, y ), cïng x ¯ víi giả thiết khác (iii), đảm bảo đẳng thøc x ¯ x ¯ x ¯ ∂µ(¯) = ϕx (¯, y ) + D ∗ G(¯, y )(ϕy (¯, y )) x nghiệm dới vi phân Fréchet Vì ta có à() x à(), từ suy (6.6) tính quy dới x x Bài tập 4.6.1 Sử dụng Định lý 4.6.1 để tính (hoặc đánh giá) dới vi phân à() à() hàm Ví dụ 4.6.1 điểm x = x x ¯ Ngoµi ra, h·y tÝnh à() cách sử dụng kết Mục 4.5 x Bài tập 4.6.2 Sử dụng Định lý 4.6.1 để tính (hoặc đánh giá) dới vi phân à() vµ ∂ ∞ µ(¯) cđa hµm µ VÝ dơ 4.6.2 x = Ngoài ra, x x x hÃy tính à() cách sử dụng kết Mục 4.5 Từ Định lý 4.6.1 vài tính chất sở dới vi phân Mordukhovich dới vi phân suy biến hàm số nhận giá trị tập số thực suy rộng, rút điều kiện cần cực trị cho toán tối u với ràng buộc đa trị điều kiện để có tính ổn định Lipschitz toán Hệ 4.6.1 Giả sử x dom M , M đợc cho (3.3), giả sử y nghiệm toán tối u phụ thuộc tham số: Tìm cực tiểu hàm số (, y) với ràng buộc y G() x x Giả sử ánh xạ nghiệm M (Ã) à-nửa liên tục dới nội bé t¹i (¯, y ) ∈ x ¯ gph M , hàm giá trị tối u (3.1) nửa liên tục dới lân cận x, hàm mục tiêu Lipschitz địa phơng, ánh xạ mô tả ràng buộc G giả-Lipschitz (liên tục Aubin) (, y ) Khi đó, tồn u X ∗ cho x ¯ (6.7) x ¯ x ¯ (u∗ , 0) ∈ ∂ϕ(¯, y ) + Ngph G (, y ) Chứng minh Do giả thiết, ta cã y ∈ M (¯), ®iỊu kiƯn chÝnh quy (6.1) x thỏa mÃn, SNEC (¯, y ) (do tÝnh chÊt Lipschitz cđa ϕ) V× (6.2) x (6.3) nghiệm Theo Định lý 5.2 báo Mordukhovich Nam (2005a), hàm giá trị tối u (3.1) Lipschitz địa phơng x Sử dụng Hệ 2.25 sách Mordukhovich (2006a), kết luận à() = , nghĩa vế phải (6.2) khác rỗng Từ suy điều kiện x cần cực trị (6.7) Lu ý ta đặc trng trọn vẹn tính chất giả-Lipschitz (liên tục Aubin) ánh xạ đa trị dạng tổng quát G: X Y công cụ đối đạo hàm; xem Chơng Mordukhovich (2006a) Trong không gian hữu hạn chiều đặc trng trở thành D G(, y )(0) = {0} x 4.6 Dới vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối u 141 Do (6.3), từ ta có à() = {0} Lipschitz địa phơng (, y ) x x Vì vậy, hàm giá trị tối u (3.1) Lipschitz địa phơng điều kiện cần cực trị (6.7) Hệ 4.6.1 nghiệm Bây ta xét số ứng dụng kết nói Định lý 4.6.1 Hệ 4.6.1 cho toán quy hoạch toán học liệu hàm không khả vi Giả sử ánh xạ đa trị G(Ã) (3.2) ánh xạ nghiệm hệ đẳng thức bất đẳng thức (6.8) G(x) := y ∈ Y : ϕi (x, y) 0, ϕi (x, y) = 0, i = 1, , m, i = m + 1, , m + r §Ĩ cho gän, chóng ta sÏ phát biểu kết tơng ứng với khẳng định (i) (ii) Định lý 4.6.1, ta giả sử M à-nửa liên tục dới néi bé t¹i (¯, y ) ∈ gph M Trờng hợp M à-bán-compắc nội x đợc xét x tơng tự Khẳng định thứ định lý sau cho ta đánh giá cho dới vi phân Mordukhovich dới vi phân suy biến hàm à(Ã), khẳng định thứ hai quy tắc nhân tử Lagrange cho toán quy hoạch toán học có tham số Ta lu ý khẳng định thứ hai dới vi phân hàm vµ ϕi (i = 1, , m + r) đợc lấy theo cặp biến (x, y), y biến quy hoạch toán, x tham số Định lý 4.6.2 Giả sử M (Ã) ánh xạ nghiệm (1.3), ánh xạ G đợc cho công thức (6.8) Giả sử M à-nửa liên tục dới nội (, y ) gph M , tất hàm i Lipschitz địa phơng (, y ), vµ x ¯ x ¯ (λ1 , , λm+r ) = ∈ I m+r lµ véc tơ thỏa hệ điều kiện R m (6.9) 0∈ m+r λi ∂ϕi (¯, y ) + x ¯ i=1 (λ1 , , λm+r ) ∈ λi (∂ϕi (¯, y ) x ¯ i=m+1 I + , λi ϕi (¯, y ) = Rm+r x ¯ ∪ ∂(−ϕi )(¯, y )), x ¯ víi i = 1, , m (đợc gọi điều kiện quy, hay điều kiện chuẩn hoá ràng buộc) Khi ta có bao hàm thức (6.10) ∂µ(¯) ⊂ x u∗ ∈ X ∗ : (u∗ , 0) ∈ ∂ϕ(¯, y ) + x ¯ m+r m λi ∂ϕi (¯, y ) x ¯ i=1 λi (∂ϕi (¯, y ) ∪ ∂(−ϕi )(¯, y )) víi x ¯ x ¯ + i=m+1 (λ1 , , λm+r ) ∈ I + Rm+r vµ λi ϕi (¯, y ) = 0, i = 1, , m , x Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 142 (6.11) µ(¯) ⊂ x u∗ ∈ X ∗ : (u∗ , 0) ∈ m λi ∂ϕi (¯, y ) x ¯ i=1 m+r λi (∂ϕi (¯, y ) ∪ ∂(−ϕi )(¯, y )) víi x ¯ x ¯ + i=m+1 (λ1 , , λm+r ) ∈ I + Rm+r vµ λi ϕi (¯, y ) = 0, i = 1, , m x ¯ Ngoài ra, (6.10) trở thành đẳng thức quy dới x nh tất hàm số i khả vi chặt (, y ) M : dom G Y có lát cắt x Lipschitz địa phơng (, y ) x (ii) Ngoài giả thiết chung định lý, giả sử thêm quan hÖ (x∗ , 0) ∈ m m+r λi (∂ϕi (¯, y ) ∪ ∂(−ϕi )(¯, y )) x ¯ x ¯ λi ∂ϕi (¯, y ) + x ¯ i=1 i=m+1 víi (λ1 , , λm+r ) ∈ I + tháa m·n λi ϕi (¯, y ) = 0, i = 1, , m, chØ x¶y Rm+r x ¯ ∗ = Khi tồn u X nhân tư (λ , , λ ®èi víi x Rm+r m+r ) ∈ I + cho λi ϕi (¯, y ) = víi i = 1, , m vµ x ¯ (6.12) m x ¯ (u∗ , 0) ∈ ∂ϕ(¯, y ) + m+r λi (∂ϕi (¯, y ) ∪ ∂(−ϕi )(¯, y )) x ¯ x ¯ λi ∂ϕi (¯, y ) + x ¯ i=1 i=m+1 Chøng minh (i) §Ĩ thu đợc bao hàm thức (6.10) (6.11), ta sử dụng bao hàm thức (6.2) (6.3) Định lý 4.6.1, đối đạo hàm D G(, y ) x đợc tính cho ánh xạ G cho công thức (6.8) Ta nhận xét điều kiƯn chÝnh quy (6.1) vµ tÝnh chÊt SNEC cđa hµm giá tự động nghiệm đúng, đợc giả thiết Lipschitz địa phơng Do có giả thiết quy (6.9) hàm i (i = 1, , m + r) Lipschitz địa phơng (, y ), áp dụng Hệ 4.36 Mordukhovich x (2006a) ta có đánh giá D ∗ G(¯, y )(v ∗ ) x ¯ ⊂ u∗ ∈ X∗ m+r (6.13) : (u∗ , −v ∗ ) m ∈ λi ∂ϕi (¯, y ) x ¯ i=1 λi (∂ϕi (¯, y ) ∪ ∂(−ϕi )(¯, y )) víi x ¯ x ¯ + i=m+1 (λ1 , , λm+r ) ∈ I + Rm+r vµ λi ϕi (¯, y ) = 0, i = 1, , m x cho đối đạo hàm D G(, y ) ánh xạ đa trị G cho bëi hƯ rµng bc (6.8) x ¯ 4.6 Dới vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối u 143 LÊy tïy ý u∗ ∈ ∂µ(¯) Do (6.2), tån t¹i (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂ϕ(¯, y ) cho x x ¯ x ¯ u∗ − x∗ ∈ D∗ G(¯, y )(y ∗ ) Theo (6.13), tån t¹i (λ1 , , λm+r ) ∈ I m+r víi R λi vµ λi ϕi (¯, y ) = víi mäi i = 1, , m x ¯ cho m (u∗ − x∗ , −y ∗ ) ∈ λi ∂ϕi (¯, y ) x ¯ i=1 m+r λi (∂ϕi (¯, y ) ∪ ∂(−ϕi )(¯, y )) x ¯ x ¯ + i=m+1 Tõ ®ã suy (u∗ , 0) ∈ (x∗ , y ∗ ) + m+r m λi ∂ϕi (¯, y ) x ¯ i=1 λi (∂ϕi (¯, y ) ∪ ∂(−ϕi )(¯, y )), x ¯ x ¯ + i=m+1 ta đến kết luận u phần tử thuộc tập hợp vế phải bao hàm thức (6.10) Ta đà chứng minh à() tập tập hợp x Vì Lipschitz địa phơng (, y ), nên ϕ(¯, y ) = {0} Do ®ã, kÕt x ¯ x hợp (6.3) với (6.13) theo cách vừa rồi, ta thu đợc (6.11) Đẳng thức (6.10) suy từ khẳng định (iii) Định lý 4.6.1 kiện nói ánh xạ đa trị G cho (6.8) quy tiếp tuyến (, y ) dới x giả thiết hàm i khả vi chặt (xem Mordukhovich (2006a), Hệ 4.35) (ii) Để thu đợc điều kiện cần cực trị (6.12), ta áp dụng Hệ 4.6.1 công thức (6.13) Ta lu ý rằng, định nghĩa, x D G(, y )(y ∗ ) vµ chØ x ¯ (x∗ , −y ∗ ) ∈ Ngph G (¯, y ) Nh vậy, công thức (6.13) cho ta đánh giá x (đánh giá ngoài) cho hình nón pháp tuyến Ngph G (, y ) Với lu x ý đơn giản đó, từ (6.7) (6.13) ta thu đợc (6.12) Ta phải kiểm tra tính giả-Lipschitz (tính liên tục Aubin) G - giả thiết Hệ 4.6.1 Để làm việc đó, ta cần để ý Hệ 4.43 Mordukhovich (2006a) khẳng định ánh xạ G cho (6.8) giả-Lipschitz (, y ) dới giả thiết x quy nói khẳng định thứ hai định lý Các kết Định lý 4.6.2 mở rộng kết Rockafellar (1985), tác giả đa đánh giá cho dới vi phân Clarke hàm giá trị tối u Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 144 sử dụng dới vi phân Clarke cho biểu thức bên vế phải (6.10) (6.12) Lu ý công thức mô tả quan hệ dới vi phân Clarke với dới vi phân Mordukhovich dới vi phân suy biÕn ∂ Cl µ(¯) = cl∗ co [∂µ(¯) + à()], x x x (6.14) cl ký hiệu phép lấy bao đóng tôpô yếu X , nghiệm cho trờng hợp không gian Asplund (xem Mordukhovich (2006a), Định lý 3.57) Sử dụng (6.14), từ Định lý 4.6.2 ta rút đánh giá cho dới vi phân Clarke hàm giá trị tối u toán quy hoạch toán học không trơn phụ thuộc tham số; xem Clarke (1983) Rockafellar (1982) Nhận xét rằng, dới vi phân Clarke ta có đẳng thức Cl ()() = Cl () x x (xem Clarke (1983)) Do đó, biểu thức tơng tự trờng hợp dới vi phân Clarke cđa c¸c biĨu thøc x ¯ x ¯ λi ∂ϕi (¯, y ) ∪ ∂(−ϕi )(¯, y ) víi λi 0, i = m + 1, , m + r, x R; Định lý 4.6.2 sÏ lµ λi ∂ Cl ϕi (¯, y ) víi i I hoàn toàn giống nh đánh giá vi phân đà đợc thiết lập Clarke (1983) Rockafellar (1982, 1985) Từ Định lý 4.6.2 ta rút kết tơng ứng cho toán quy hoạch toán học với hàm mục tiêu hàm ràng buộc khả vi chặt Trớc làm việc đó, đa vài định nghĩa ký hiệu Định nghĩa 4.6.3 Hàm số L(x, y, λ) = ϕ(x, y) + λ1 ϕ1 (x, y) + + λm+r ϕm+r (x, y) đợc gọi hàm Lagrange toán (3.2) với G(x) đợc cho (6.8) Bộ số := (1 , , λm+r ) ∈ I m+r đợc gọi nhân tử Lagrange Với R cỈp (¯, y ) ∈ gph M , ta xÐt tËp nh©n tư Lagrange x ¯ (6.15) Λ(¯, y ) := λ ∈ I m+r : x ¯ R m+r ϕy (¯, y ) + x ¯ i=1 λi λi (ϕi )y (¯, y ) = 0, x ¯ 0, λi ϕi (¯, y ) = víi mäi i = 1, , m x ¯ vµ “tËp nh©n tư Lagrange suy biÕn” (6.16) Λ∞ (¯, y ) x ¯ := λ ∈ I m+r R m+r : i=1 λi (ϕi )y (¯, y ) = 0, λi x ¯ 0, λi ϕi (¯, y ) = víi i = 1, , m x 4.6 Dới vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối u 145 Giống nh Chơng 2, ta nãi ®iỊu kiƯn chÝnh quy Mangasarian-Fromovitz (hay ®iỊu kiƯn chuẩn hoá ràng buộc Mangasarian-Fromovitz) thỏa mÃn (, y ) ∈ gph M nÕu c¸c gradient x ¯ ϕm+1 (¯, y ), , ϕm+r (¯, y ) x x độc lập tuyến tính tồn w X ì Y cho ϕi (¯, y ), w = víi x ¯ mäi i = m + 1, , m + r vµ ϕi (¯, y ), w < víi mäi i = 1, , m mµ x ¯ x ¯ ϕi (¯, y ) = Hệ 4.6.2 Trong ký hiệu Định lý 4.6.2, giả sử hàm i khả vi chặt (, y ), giả sư r»ng ®iỊu kiƯn chÝnh quy Mangasarian-Fromovitz x ¯ tháa mÃn (, y ) Khi ta có bao hµm thøc x ¯ m+r (6.18) ∂µ(¯) ⊂ x ϕx (¯, y ) + x ¯ λ∈Λ(¯,¯) xy (6.19) i=1 λi (ϕi )x (¯, y ) , x ¯ m+r ∞ ∂ µ(¯) ⊂ x λ∈Λ∞ (¯,¯) xy i=1 λi (ϕi )x (¯, y ) , x ¯ ë tập nhân tử Lagrange (, y ) (, y ) tơng ứng đợc cho x ¯ x ¯ (6.15) vµ (6.16) Ngoµi ra, (6.18) nghiƯm dới dạng đẳng thức ánh xạ nghiệm M : dom G Y có lát cắt Lipschitz địa phơng (, y ) x Chứng minh Các kết luận hệ suy trực tiếp từ Định lý 4.6.2(i) x () = { ()} với hàm khả vi chặt x x Do (6.19), à() = {0} nÕu ϕi tháa m·n ®iỊu kiƯn chÝnh quy Mangasarianx Fromovitz y, tức gradient i (, y ) Định nghĩa 4.6.4 x đợc thay bëi (ϕi )y (¯, y ) Do biĨu diƠn (6.14), từ kết thu đợc x Hệ 4.6.2 ta suy đánh giá tơng ứng cho dới vi phân Clarke hàm giá trị tối u quy hoạch trơn Kết mở rộng kết quen biết, Định lý 5.3 Gauvin Dubeau (1982) Lu ý kết Gauvin Dubeau đợc chứng minh cho trờng hợp không gian hữu hạn chiều Chúng ta nhận xét kết Định lý 4.6.2 Hệ 4.6.2, đa đánh giá cho dới vi phân hàm giá trị tối u quy hoạch toán học thông qua tập nhân tử Lagrange, đòi hỏi điều kiện quy kiểu Mangasarian-Fromovitz hệ ràng buộc Đối với Định lý 4.6.1 Hệ 4.6.1 nó, đa đánh giá cho dới vi phân hàm giá trị tối u tổng quát thông qua đối đạo hàm ánh xạ đa trị mô tả ràng buộc, ta không cần đến điều kiện quy mạnh nh Thay vào đó, ta Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 146 cần sử dụng điều kiện quy nhẹ, điều kiện (6.1) Nh đà nói trên, điều kiện (6.1) thỏa mÃn hàm giá Lipschitz địa phơng Bây trình bày ví dụ cụ thể để chứng tỏ Định lý 4.6.1 cho phép tính toán trọn vẹn dới vi phân Mordukhovich dới vi phân suy biến hàm giá trị tèi −u (víi dÊu b»ng x¶y tÊt c¶ đánh giá dạng bao hàm thức Định lý 4.6.1) toán quy hoạch trơn không låi, ®iỊu kiƯn chÝnh quy nãi HƯ 4.6.2 không đợc thỏa mÃn (do Hệ 4.6.2 không áp dụng đợc) Những quan sát tơng tự với hầu hết ví dụ bệnh tật (pathological examples) Gauvin vµ Dubeau (1984) VÝ dơ 4.6.3 Xét toán quy hoạch toán học không lồi (3.2) với liệu trơn đợc cho R (x, y) := −y x vµ G(x) := {y ∈ I : y − x 0}, x∈I R DÔ thÊy r»ng M (x) = G(x) = µ(x) = [− ∅ −x2 ∞ √ √ x, x] nÕu x 0, nÕu x < 0; nÕu x 0, nÕu x < Vậy ánh xạ nghiệm M vừa à-nửa liên tơc d−íi néi bé t¹i (¯, y ) = (0, 0), x vừa à-bán-compắc nội x = Ngoài ra, giả thiết khác Định lý 4.6.1 đợc thỏa mÃn Từ định nghĩa suy r»ng ∂µ(¯) = x {−2¯} x (−∞, 0] nÕu x > 0, ¯ nÕu x = 0; ¯ ∂ ∞ µ(¯) = x {0} (−∞, 0] nÕu x > 0, x = Hơn nữa, tính đợc nón pháp tuyến đồ thị ánh xạ đa trị G điểm đáng quan t©m nh− sau: Ngph G ((0, 0)) = (−∞, 0] × {0}, √ √ Ngph G ((¯, x)) = { − λ(1, −2 x) : λ ≥ 0}, x ¯ ¯ √ √ Ngph G ((¯, − x)) = { − λ(1, x) : λ 0} x ¯ Kết hợp tất điều đó, kết luận bao hàm thức (6.2) (6.3) nghiệm dới dạng đẳng thức điểm (, y ) gph M x bao hàm thức (6.4) (6.5) nghiệm dới dạng đẳng thức điểm x dom M NhËn xÐt r»ng ®iỊu kiƯn chÝnh quy Mangasarian-Fromovitz ¯ có tham số (xem Định nghĩa 4.6.4) không thỏa mÃn (, y ) = (0, 0), nghĩa x Hệ 4.6.2 không áp dụng đợc cho ví dụ 4.6 Dới vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối u 147 Chúng ta kết thúc mục vài công thức đánh giá dới vi phân hàm giá trị tối u toán tối u hai cấp với ràng buộc cân Để cho đơn giản, phát biểu kết dới giả thiết nói ánh xạ nghiệm à-nửa liên tục dới nội Một số kết theo hớng đà đợc Lucet Ye (2001) thiết lập cho trờng hợp không gian hữu hạn chiều Xét lớp toán (3.2) dới dạng toán tối u có ràng buộc cân bằng, với G(x) tập nghiệm hệ biến phân có tham số (còn gọi ràng buộc cân có tham số, hay phơng trình suy rộng phụ thuộc tham số) dạng (5.29) Định lý 4.6.3 Xét hàm giá trị tối u à(Ã) cho (3.1) với ánh xạ mô tả ràng buộc cho (5.29), X Y không gian Asplund, Z không gian Banach Giả sử ánh xạ nghiệm M : dom G Y à-nửa liên tục dới nội điểm (, y ) gph M hàm giá Lipschitz địa x x x phơng (, y ) Ký hiệu z := −f (¯, y ) ∈ Q(¯, y ) Khi ®ã, khẳng định x sau nghiệm đúng: (i) Giả sử f : X ì Y X = Z khả vi chặt (, y ) với đạo hàm x f (, y ) : X ì Y Z x ánh xạ tràn, giả sử (5.29) ta có Q = Q(y) Khi à() x (x ,y )(,) z ∗ ∈Z ∗ xy x∗ + fx (¯, y ) x ¯ ∗ −y ∗ ∈ fy (¯, y ) x ¯ x ∂ ∞ µ(¯) ⊂ z ∗ ∈Z ∗ (z ∗ ) : ∗ (z ∗ ) + D∗ Q(¯, z )(z ∗ ) , y ¯ (fx (¯, y ))∗ (z ∗ ) : −y ∗ ∈ (fy (¯, y ))∗ (z ∗ ) + D∗ Q(¯, z )(z ∗ ) x ¯ x ¯ y (ii) Giả sử Z không gian Asplund, f : X ì Y Z liên tục lân cận (, y ), Q: X ì Y Z có đồ thị đóng l©n cËn cđa x ¯ (¯, y , z ) Khi x à() x u X ∗ : ∃z ∗ ∈ Z ∗ víi (u∗ , 0) ∈ ∂ϕ(¯, y ) + D∗ f (¯, y )(z ∗ ) + D∗ Q(¯, y , z )(z ∗ ) , x ¯ x ¯ x ¯ ¯ ∂ ∞ µ(¯) ⊂ u∗ ∈ X ∗ : ∃z ∗ ∈ Z ∗ víi (u∗ , 0) ∈ D∗ f (¯, y )(z ∗ ) x x ¯ +D∗ Q(¯, y , z )(z ∗ ) , x ¯ ¯ nÕu nh− (x∗ , y ∗ , z ∗ ) = (0, 0, 0) lµ bé ba nhÊt tháa m·n ®iỊu kiƯn (x∗ , y ∗ ) ∈ D∗ f (¯, y )(z ∗ ) ∩ ( − D∗ Q(¯, y , z )(z ∗ )) x x Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 148 Q SNC (, y , z ), f Lipschitz địa phơng (, y ) x x không gian Z hữu hạn chiều Chứng minh Dựa vào khẳng định (i) Định lý 4.6.2 ta có kết luận định lý cách sử dụng đánh giá cho đối đạo hàm D G(, y ) x cho tơng ứng Định lý 4.44(i) Định lý 4.46 Mordukhovich (2006a), với lu ý đánh giá nghiệm dới giả thiết phát biểu khẳng định (i) (ii) Bạn đọc xem thêm tiểu mục 4.4.1 Mordukhovich (2006a) để biết đánh giá chi tiết cho đối đạo hàm ánh xạ đa trị G mô tả ràng buộc cân dạng cụ thể Các đánh giá chi tiết cho phép đặc biệt hoá kết luận Định lý 4.6.3 cho toán tối u có ràng buộc cân với cấu trúc đặc thù Trong Chơng sách Mordukhovich (2006b) bạn đọc tìm thấy điều kiện cần cực trị cho toán tối u có ràng buộc cân vấn đề có liên quan đến toán tối u phân cấp (hierarchical) không gian hữu hạn chiều vô hạn chiều Bài tập 4.6.3 Cho X, Y, Z, ϕ, f, Q, G, µ vµ x nh Bài tập 4.5.6 áp dụng Định lý 4.6.3 để tính (hoặc đánh giá) dới vi phân ∂µ(¯) x x ¯ ∂ ∞ µ(¯) cđa hµm µ điểm x 4.7 Dới vi phân Mordukhovich phiếm hàm tích phân Các kết mục thuộc Nguyễn Huy Chiêu (xem Chieu (2006c)) Định lý sau cho ta công thức để tính tích phân Aumann ánh xạ dới vi phân Fréchet hàm số thực Lipschitz Định lý 4.7.1 Giả sử f : [a, b] R hàm số Lipschitz Khi đó, b a ∂f (t)dt = {f (b) − f (a)} Công thức tính tích phân Aumann ánh xạ dới vi phân Mordukhovich hoàn toàn tơng tự nh trờng hợp ánh xạ dới vi phân Clarke Định lý sau đợc chứng minh nhờ vào Định lý 3.2.1, công thức (6.14), Định lý 3.4.1 Định lý 4.7.2 Giả sư f : [a, b] → R lµ hµm sè Lipschitz Khi ®ã, b a ∂f (t)dt = − b a f (t; −1)dt, b a f (t; 1)dt 4.7 Dới vi phân Mordukhovich phiếm hàm tích phân 149 Sau công thức tính dới vi phân Fréchet dới vi phân Mordukhovich phiếm hàm tích phân, hàm số dới dấu tích phân liên tục điểm lân cận thủng điểm đợc xét (nhng gián đoạn điểm đó) 73 Định lý 4.7.4 Cho f : [a, b] → I lµ hµm số thực khả tích Lebesgue [a, b] R x f (t) dà, x [a, b] Giả sử f Xét phiếm hàm tích phân F (x) := a liên tục điểm lân cận thủng điểm x (a, b) tồn giới hạn hữu hạn := lim f (t), β := lim f (t) Khi ®ã, x→¯−0 x ⎧ ⎨ [α, β ] (7.1) ∂F (¯) = x vµ ⎩ ∅ ∂F (¯) = x ⎩ nÕu α β nÕu β < α, ⎧ ⎨ [α, β] (7.2) x→¯+0 x nÕu α { α, β } β nÕu β < α Bµi tËp 4.7.1 XÐt hµm sè f (t) = −1 nÕu t ∈ [−1, 0) nÕu t ∈ [0, 1] x vµ phiÕm hµm tÝch phân F (x) := f (t) dà HÃy tính dới vi phân F (0) F (0) theo hai cách: a) Bằng công thức (7.1) (7.2); b) Bằng định nghĩa (sau xác định đợc công thøc hiĨn cđa hµm F ) Bµi tËp 4.7.2 XÐt hµm sè f (t) = nÕu t ∈ [−1, 0) nÕu t ∈ [0, 1] −1 x vµ phiÕm hàm tích phân F (x) := f (t) dà HÃy tính dới vi phân F (0) F (0) theo hai cách: x 73 Lu ý công thøc tÝnh d−íi vi ph©n Clarke cđa phiÕm tÝch ph©n dạng F (x) = f (t) dà a đà có Clarke (1983), tr 34 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 150 a) Bằng công thức (7.1) (7.2); b) Bằng định nghĩa (sau xác định đợc công thức hiển hàm F ) Bài tập 4.7.3 Sử dụng định nghĩa Mục 4.2 Định lý giá trị trung bình tích phân Riemann, hÃy đa chứng minh cho Định lý 4.7.4 Câu hỏi đặt là: Liệu đa công thức tơng tự nh (7.1) (7.2) cho trờng hợp f có vô số điểm gián đoạn lân cận thủng tùy ý điểm x (a, b) hay không Nếu f hàm khoảng hai điểm gián đoạn nào, ta có kết sau Định lý 4.7.5 Giả sử {tk }, {k }, {k }, {k } dÃy số thùc cho a = t0 < t1 < < tk < tk+1 < < x < < τk+1 < τk < < τ1 < τ0 = b, ¯ ¯ lim tk = lim τk = x Giả sử hai chuỗi k k k=1 k (tk tk1 ) x hội tụ tuyệt đối Xét phiếm hàm tích phân F (x) := k=1 βk (τk−1 −τk ) f (t)dt, ë ®ã a ⎧ ⎨ αi α0 f (t) = ⎩ βj nÕu ti−1 t < ti , i = 1, 2, nÕu t = x ¯ nÕu τj t < τj−1 , j = 1, 2, Đặt := lim inf i=k+1 tk − x ¯ k→∞ ∞ αi (ti − ti−1 ) , β := lim inf i=k+1 βi (τi−1 − τi ) τk − x ¯ k→∞ , vµ Ω := { lim αik } ∪ { lim βjk } ∪ lim sup[αi , αi+1 ] ∪ lim sup[βj+1 , βj ], ik →∞ jk →∞ ë ®ã N1 := {i ∈ I : αi N N i→∞ N j →∞ αi+1 }, N2 := {j ∈ I : βj+1 N βj }, { lim ik } ik { lim jk } tơng ứng tập hợp tất điểm tụ dÃy {k } jk {k } Khi khẳng định sau nghiệm đúng: (i) Nếu , R, F () = [, ] ∂F (¯) = Ω ∪ [α, β] x x (ii) Nếu = + = , F (¯) = ∅ vµ ∂F (¯) = Ω x x (iii) Nếu = = +, ∂F (¯) = ∂F (¯) = R x x (iv) Nếu = R, F (¯) = (−∞, β] vµ ∂F (¯) = Ω ∪ (−∞, β] x x 4.7 D−íi vi ph©n Mordukhovich cđa phiếm hàm tích phân 151 (v) Nếu R = +, F () = [, +) vµ ∂F (¯) = Ω ∪ [α, +∞) x x Sau ví dụ ứng với khả đợc mô tả định lý nói Trong ví dụ ta lấy a = 0, b = 1, x = ¯ VÝ dụ 4.7.1 Đặt tk = , 2k k αk = = 3+ 4+ + 2k 2k , βk 2k = víi mäi k ∈ I , vµ N nÕu k = 2i nÕu k = 2i + ë ®ã i = 0, 1, B»ng tÝnh to¸n trùc tiÕp, ta cã Ω = [3, 4] ∪ {7}, α = ∂F (¯) = [ 11 , 7] vµ ∂F (¯) = [3, 4] ∪ [ 11 , 7] x x 3 Ví dụ 4.7.2 Đặt tk = 21 , τk = k + 21 , βk = β ∈ R, vµ αk = k k 11 , víi mäi k ∈ N Ta tính đợc = {} = + Theo Định lý 4.7.5, F () = x ∂F (¯) = {β} x k k VÝ dô 4.7.3 §Ỉt tk = − 21 , τk = + 21 , βk = vµ αk = − víi k k 2 2 mäi k ∈ I Ta cã Ω = ∅, α = , = + Vì vậy, theo Định lý 4.7.5, N ∂F (¯) = ∂F (¯) = R x x Ví dụ 4.7.4 Đặt tk = 21 , τk = + 21 , βk = β ∈ R, vµ αk = − k k 2 k víi mäi k ∈ I Ta thÊy r»ng Ω = {β} vµ α = −∞ Vì vậy, F () = (, ] N x F () = (, ] x Ví dụ 4.7.5 Đặt tk = − ,τ 2k k = + , βk 2k = k vµ αk = α ∈ R víi mäi k ∈ I Ta cã Ω = {α} vµ β = + Từ Định lý 4.7.5 suy N ∂F (¯) = [α, +∞) vµ ∂F (¯) = [α, +) x x 152 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị Chơng Hệ bất đẳng thức suy rộng Ma hay ma hàng nhỏ Buổi chiều ngồi ngóng chuyến ma qua (Trịnh Công Sơn, Diễm xa) Trong chơng khảo sát số tính chất loại ánh xạ đa trị đặc biệt, ánh xạ nghiệm hệ bất đẳng thức suy rộng cho hàm véctơ liên tục Kết thu đợc định lý hàm ẩn cho ánh xạ đa trị Nguyên lý biến phân Ekeland trình bày Chơng công cụ thiếu đợc cho chứng minh áp dụng định lý tính nửa liên tục dới tính giả-Lipschitz ánh xạ nghiệm hệ bất đẳng thức cho toán quy hoạch toán học phụ thuộc tham số, thu đợc điều kiện đủ cho tính liên tục tính Lipschitz địa phơng hàm giá trị tối u Ngoài ra, so sánh dới vi phân Mordukhovich (dới vi phân qua giới hạn) dới vi phân theo nghĩa V Jeyakumar Đinh Thế Lục (thờng đợc gọi tắt dới vi phân J-L), đối đạo hµm theo nghÜa Mordukhovich vµ Jacobian xÊp xØ theo nghÜa V Jeyakumar Đ T Lục Việc so sánh cho thấy mối liên hệ khái niệm vi phân đợc xét khái niệm đà đợc xét Chơng Chơng đợc viết sở báo Jeyakumar Yen (2004), Nam Yen (2007), Yen (1997) Giáo s Đinh Thế Lục đồng thời cán nghiên cứu thuộc Viện Toán học (Hà Nội) giáo s giảng dạy Khoa Toán, Đại học Tổng hợp Avignon (Pháp) ông chuyên gia hàng đầu Việt Nam tối u véctơ, giải tích không trơn, giải tích đa trị 153 Hệ bất đẳng thức suy réng 154 5.1 Giíi thiƯu chung XÐt hƯ bÊt ®¼ng thøc suy réng ∈ f (x) + K, (1.1) x ∈ C, ë ®ã C ⊂ I n K I m tập lồi đóng, khác rỗng, f : I n I m R R R R cđa (1.1) lµ mét hƯ bất đẳng thức suy rộng có hàm véctơ liên tơc NhiƠu tham sè d¹ng ∈ f (x, p) + K, (1.2) x C, p tham sè biÕn thiªn tËp P ⊂ I r , f : I n × P → I m hàm R R R véctơ cho trớc Chúng ta giả sử với p P hàm số f (Ã, p) liên tục tồn p0 ∈ P cho f (x, p0 ) = f (x) ∀x ∈ I n R (1.3) NhiÔu (1.2) ®−ỵc ký hiƯu bëi {f (x, p), P, p0 } Với p P , đặt G(p) = {x ∈ C : ∈ f (x, p) + K} Ta cã G(p) lµ tËp nghiƯm cđa (1.2) VËy G(·) hàm ẩn xác định hệ bất đẳng thức cã tham sè (1.2) NhËn xÐt r»ng nÕu K = I + × {0}m−s Rs := {y = (y1 , , ym ) ∈ I m : y1 0, , ys 0, R ys+1 = = ym = 0} th× (1.1) (tơng ứng, (1.2)) hệ thống gồm s bất phơng trình m s phơng trình với tập ràng buộc C Ta nói (1.1) hệ bất đẳng thức trơn (t.., Lipschitz địa phơng, liên tục) f hµm thc líp C1 (I n , I m ) (t.., R R hàm Lipschitz địa phơng, hàm liên tục) Robinson (1976b) đà thiết lập định lý tính ổn định nghiệm hệ bất đẳng thức trơn Định lý nói hệ bất đẳng thức đà cho quy nghiệm nghiệm ổn định hệ biến động dới tác động nhiễu nhỏ Kết Robinson đà đợc mở rộng sang cho hệ bao gồm hàm không trơn (xem, ví dụ nh−, Borwein (1986), Dien vµ Yen (1991), Yen (1987, 1997)) cho hệ bao gồm toán tử nón pháp tuyến (xem Mordukhovich (1994c,d), Rockafellar Wets (1998)) Đích chơng thiết lập điều kiện tổng quát cho tính ổn định nghiệm bất đẳng thức suy rộng liên tục, không TNTA: perturbation ... nó, đa đánh giá cho dới vi phân hàm giá trị tối u tổng quát thông qua đối đạo hàm ánh xạ đa trị mô tả ràng buộc, ta không cần đến điều kiện quy mạnh nh Thay vào đó, ta Đối đạo hàm ánh xạ đa trị. .. Đại học Tổng hợp Avignon (Pháp) ông chuyên gia hàng đầu Việt Nam tối u véctơ, giải tích không trơn, giải tích đa trị 153 Hệ bất đẳng thức suy rộng 154 5.1 Giới thiệu chung Xét hệ bất đẳng thức... hàm ánh xạ đa trị Chơng Hệ bất đẳng thức suy rộng Ma hay ma hàng nhỏ Buổi chiều ngồi ngóng chuyến ma qua (Trịnh Công Sơn, Diễm xa) Trong chơng khảo sát số tính chất loại ánh xạ đa trị đặc biệt,