với kiểu điều kiện này khi xét khái niệmtoán tử tràn trên nóntrong Ch−ơng 5. Điều kiện (b) trong (2.19) nói rằng có tồn tại véctơ v0 nào đó trong không gian tiếp xúc14của đa tạp{x∈X : h(x) = 0}tại điểmx¯h−ớng vào phần trongcủa hình nón tiếp tuyến Bouligand của tập hợp{x∈X : g(x)0 ∀i= 1, . . . , m}.
Mệnh đề 2.2.7(Công thức tính nón tiếp tuyến Clarke; xem Aubin và Frankowska (1990)). Giả sửM đ−ợc cho bởi (2.17)với∆ =X. Giả sử ¯x∈M và điều kiện chính quy(2.19)đ−ợc thỏa mãn (vớiCM(¯x)đ−ợc thay bởiX). Khi đó, với mọi v∈X, v∈CM(¯x) khi và chỉ khi điều kiện (2.20)đ−ợc thỏa mãn.
Từ các mệnh đề 2.2.6 và 2.2.7 và tính chất CM(¯x) ⊂Tb
M(¯x) ⊂TM(¯x), ta rút ra điều kiện đủ sau đây cho tính chính quy tiếp tuyến của tập nghiệm của (2.18) tại một điểm cho tr−ớc.
Hệ quả 2.2.1. D−ới các giả thiết của Mệnh đề 2.2.7, ta có CM(¯x) =TMb (¯x) =TM(¯x) ={v∈X : g i(¯x)(v)0 ∀i∈I(¯x), h j(¯x)(v) = 0 ∀j = 1, s}. 14 Là tập hợp{v∈X : h(¯x)(v) = 0}.
70 2. Đạo hàm của ánh xạ đa trị
Bài tập 2.2.7. Cho ∆ =X. Chứng minh rằng điều kiện (a) trong (2.19) t−ơng đ−ơng với đòi hỏi“hệ véctơh1(¯x), . . . , hs(¯x)}[của không gianX∗]
là độc lập tuyến tính”.
Nhận xét 2.2.4. Trong tr−ờng hợp ∆ =X = IRn, điều kiện chính quy (2.19)
trở thành điều kiện chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz15- nói gọn là điều kiện MFCQ16, vì nó đ−ợc đ−a ra trong bài báo của Mangasarian và Fromovitz (1967).
Nhận xét 2.2.5. Điều kiện MFCQ và các dạng mở rộng của nó đóng vai trò hết sức quan trọng trong các nghiên cứu về tính ổn định, ổn định vi phân, và độ nhạy nghiệm của các bài toán tối −u (xem, ví dụ nh−, Gauvin và Dubeau (1981), Mordukhovich (2006a,b), Ch−ơng 4 và Ch−ơng 5 giáo trình này).
Hình 11
Ví dụ đơn giản sau đây cho thấy rằng nếu điều kiện MFCQ bị vi phạm, thì kết luận của các mệnh đề 2.2.6, 2.2.7 và Hệ quả 2.2.1 nói chung không còn đúng nữa.
Ví dụ 2.2.5. Đặt ∆ =X = IR2, m =s = 1, g1(x) =x2+x21, h(x) = x2
với mọi x = (x1, x2) ∈IR2, và x¯ = (0,0). Xét tập M cho bởi (2.18). Ta có
M ={x¯} và CM(¯x) =Tb M(¯x) =TM(¯x) ={(0,0)}. Trong khi đó, {v∈X : g i(¯x)(v)0 ∀i∈I(¯x), h j(¯x)(v) = 0 ∀j = 1, s}=IRì {0}. 15
TNTA: the Mangasarian-Fromovitz Constraint Qualification.
16
2.3. Đạo hàm 71 L−u ý rằng, đối với ví dụ đang xét, ta không thể tìm đ−ợc véctơv0 ∈X =IR2
nào thỏa mãn điều kiện (b) trong (2.19).
Bài tập 2.2.8. Cho∆ =X=IR2,x¯= (1,1), và
M =
x= (x1, x2) : x21+x222, x2=x31
.
Tính các hình nón tiếp tuyến TM(¯x), TMb (¯x) và CM(¯x). (Kết quả:
CM(¯x) = TMb (¯x) = TM(¯x) = {v = (v1, v2) : v1 0, v2 = 3v1};xem Hình 11 ở trang tr−ớc.) xem Hình 11 ở trang tr−ớc.)
2.3 Đạo hàm
ChoX, Y là các không gian định chuẩn,F :X⇒Y là ánh xạ đa trị.
Định nghĩa 2.3.1 (Đạo hàm contingent, đạo hàm Bouligand). Đạo hàm con- tingent17, hay đạo hàm Bouligand, DFz¯(ã) : X ⇒ Y của F tại điểm z¯ = (¯x,y¯) ∈gphF là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến Bouli- gand TgphF(¯z), tức là DFz¯(u) = v∈Y : (u, v) ∈TgphF(¯z) ∀u∈X.
Nếu F ≡f là ánh xạ đơn trị, thì ta viếtDf¯x(ã) thay cho DF(¯x,f(¯x))(ã).
Định nghĩa 2.3.2(Đạo hàm kề).Đạo hàm kềDbFz¯(ã) :X ⇒Y củaF tại điểm ¯
z= (¯x,y¯)∈gphF là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến trung gian Tb gphF(¯z), tức là DbF ¯ z(u) = v∈Y : (u, v)∈Tb gphF(¯z) ∀u∈X.
Nếu F ≡f là ánh xạ đơn trị, thì ta viếtDbf
¯
x(ã) thay cho DbF
(¯x,f(¯x))(ã).
Định nghĩa 2.3.3(Đạo hàm Clarke). Đạo hàm Clarke18 CFz¯(ã) :X ⇒Y của
F tại điểmz¯= (¯x,y¯)∈gphF là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến Clarke CgphF(¯z), tức là CFz¯(u) = v∈Y : (u, v)∈CgphF(¯z) ∀u∈X.
17Chúng tôi ch−a tìm đ−ợc từ thích hợp để dịch thuật ngữ này ra tiếng Việt. Trong vai tròmột tính từ, chữ “contingent” có nghĩa là bất định, tùy chọn, ngẫu nhiên... Có ng−ời đã dịch một tính từ, chữ “contingent” có nghĩa là bất định, tùy chọn, ngẫu nhiên... Có ng−ời đã dịch “contingent derivative” thành “đạo hàm tiếp liên”. Cách dịch này có lẽ không đạt, vì trong tiếng Việt d−ờng nh−không có chữ “tiếp liên” (không rõ nghĩa, không có trong Từ điển tiếng Việt của Giáo s−Hoàng Phê và các đồng tác giả).
18
72 2. Đạo hàm của ánh xạ đa trị
Nếu F ≡f là ánh xạ đơn trị, thì ta viếtCfx¯(ã) thay cho CF(¯x,f(¯x))(ã).
Ba khái niệm đạo hàm nêu trên đ−ợc xây dựng nhờ các cấu trúc hình học - đó là cácnón tiếp tuyến của đồ thịcủa ánh xạ đa trị đ−ợc xét tại một điểm cho tr−ớc. Trong Ch−ơng 4 của giáo trình này, chúng ta sẽ nghiên cứu khái niệm
đối đạo hàm, là một ánh xạ đa trị từ không gian đối ngẫu Y∗ vào không gian
đối ngẫu X∗, l−u giữ các thông tin đã đ−ợc mã hóa trong ngôn ngữ của các
không gian đối ngẫu về tốc độ thay đổi của ánh xạ đa trị trong các không gian nền. Đối đạo hàm đ−ợc xây dựng nhờ các nón pháp tuyến của đồ thịcủa ánh xạ đa trị tại một điểm cho tr−ớc. Ngoài hai cách xây dựng xấp xỉ bậc nhất đó, ng−ời ta còn có thể sử dụng thủ thuật vô h−ớng hóa: thay việc xét ánh xạ đa trị
F :X ⇒Y từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y bằng việc xét hàm tựa
CF(y∗, x) := sup{y∗, y : y∈F(x)} (x∈X, y∗ ∈Y∗).
Nếu F là ánh xạ đa trị có giá trị lồi đóng, thì họ hàm số thực
CF(y∗,ã) :X →IR (y∗∈Y∗)
đ−ợc định nghĩa nh− vậy l−u giữ đầy đủ các thông tin về F. Thật vậy, khi đó
dựa vào họ hàm số {CF(y∗,ã)}y∗∈Y∗ ta có thể tìm lại đ−ợc F bằng công thức
F(x) ={y∈Y : y∗, yCF(y∗, x) với mọi y∗ ∈Y∗}.
Khảo sát các tính chất vi phân của họ hàm số thực{CF(y∗,ã)}y∗∈Y∗, ta có đ−ợc các thông tin về tốc độ thay đổi của F. Ph−ơng pháp này đ−ợc gọi là ph−ơng pháp hàm tựa. Một số công trình của Phó Giáo s− Phạm Huy Điển và các tác giả khác (xem Dien (1982, 1985), Dien và Sach (1989), Dien và Yen (1991), Thibault (1991)) về điều kiện cần cực trị cho bài toán tối−u với ràng buộc đa trị, tập nghiệm của bao hàm thức đa trị phụ thuộc tham số, các tính chất vi phân của hàm giá trị tối−u..., đã cho thấy tính hiệu quả của cách tiếp cận này. Khái niệmsơ đạo hàm20 của ánh xạ đa trị do Giáo s− Phạm Hữu Sách đề xuất cũng sử dụng hàm tựa, nh−ng đó làhàm tựa của ánh xạ đạo hàm. Cụ thể hơn, sơ đạo
hàm của F :X⇒ Y tại z¯= (¯x,y¯)∈gphF là một ánh xạ đa trịT :X⇒ Y, Lipschitz địa ph−ơng tại0∈X, sao cho với mọiε >0 tồn tại lân cậnU của x¯ thỏa mãn: ∀x∈U ∃y∈F(x) với tính chất sup y∗∈B¯Y∗ y∗, y−y¯ −[CT(y∗, x−x¯)−CT(y∗,0)] εx−x¯,
ở đóCT(y∗, x)ký hiệu hàm tựa củaT; xem Sach (1988a), tr. 220. Xuất phát từ
khái niệm này ta có thể đ−a ra các định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ng−ợc, định
20
2.3. Đạo hàm 73 lý về đạo hàm của hàm hợp, định lý giá trị trung bình, quy tắc nhân tử Lagrange, nguyên lý tựa dạng tổng quát (xem, ví dụ nh−, Sach (1988a,b), Dien và Sach (1989), Yen (1987)). Nghiên cứu mới nhất mà chúng tôi đ−ợc biết về đạo hàm của ánh xạ đa trị dựa trên khái niệm hàm tựa là công trình của Gorokhovich và Zabreiko21 (2005).
Dựa trên các khái niệm đạo hàm contingent và đạo hàm Clarke trong các định nghĩa 2.3.1 và 2.3.3, ng−ời ta có thể đặc tr−ng tính lồi vàtính lồi theo nón
của ánh xạ đa trị F :X ⇒ Y thông qua tính đơn điệu và tính đơn điệu theo nóncủa các họ ánh xạ đạo hàm {DFz(ã)}z∈gphF và{CFz(ã)}z∈gphF. Các kết
quả theo h−ớng này có thể xem trong Sach (1996), Sach và Yen (1997), và các tài liệu đ−ợc dẫn trong các bài báo đó. ở đây chúng ta chỉ nhắc lại hai khái niệm chính là tính lồi theo nón và tính đơn điệu theo nón. ChoK ⊂Y là nón lồi. Ta nói F là ánh xạ đa trị lồi theo nón K, nói gọn là K-lồi, nếu với mọi x1, x2 ∈X và t∈(0,1) ta có
(1−t)F(x1) +tF(x2)⊂F((1−t)x1+tx2) +K.
(Trong tr−ờng hợp đặc biệt, khi K ={0} và F là ánh xạ có giá trị đóng, khái niệm này trùng với khái niệm ánh xạ đa trị lồi đã xét trong Ch−ơng 1.) Ta nói họ ánh xạ đạo hàm contingent {DFz(ã)}z∈gphF là đơn điệu theo nón K, hay K-đơn điệu, nếu với mọi điểm z1 = (x1, y1) và z2 = (x2, y2) thuộc gphF ta có 0∈co $ DFˆz1(x2−x1) +DFˆz2(x1−x2) % ,
ở đó Fˆ(x) =F(x) +K là ánh xạ mở rộngcủa F theo nón K. Tính lồi theo
nón K của họ ánh xạ đạo hàm Clarke {CFz(ã)}z∈gphF đ−ợc định nghĩa hoàn toàn t−ơng tự.
Có thể sử dụng đạo hàm contingent để xây dựng các điều kiện cần cực trị trong các tối −u véctơ đa trị (xem D. T. Luc (1989), D. T. Luc và C. Malivert (1992)).
Bài tập 2.3.1. Xét ánh xạ đa trịF :IR⇒IRcho bởi công thức
F(x) =
y∈IR : x2+y22, y=x3
.
Tính các ánh xạ đạo hàmDFz¯(ã),DbF¯z(ã)vàCF¯z(ã), ở đó ¯z= (1,1). (Gợi ý: Để ý rằng gphF trùng với tậpM trong Bài tập 2.2.8 và sử dụng kết quả tính các hình nón tiếp tuyến củaM tại điểmx¯= (1,1).)
21Giáo s−Petr Petrovich Zabreiko (Belarus State University, Minsk, Belarus) là một chuyên gianổi tiếng về Giải tích hàm. GS. TSKH. Nguyễn Hồng Thái (University of Szczecin, Ba Lan) và nổi tiếng về Giải tích hàm. GS. TSKH. Nguyễn Hồng Thái (University of Szczecin, Ba Lan) và PGS. TSKH. Nguyễn Văn Minh (Đại học Quốc gia Hà Nội; University of West Georgia, Mỹ) là các học trò Việt Nam của ông.
74 2. Đạo hàm của ánh xạ đa trị
Trong giải tích cổ điển (xem Rudin (1976)), sử dụng khái niệm đạo hàm Fréchet ng−ời ta đã xây dựng các định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ng−ợc - những kết quả đ−ợc sử dụng rộng rãi trong hình học vi phân, tôpô vi phân, lý thuyết ph−ơng trình vi phân, lý thuyết bậc, và trong nhiều lý thuyết toán học khác. Hoàn toàn t−ơng tự, dựa vào các khái niệm đạo hàm vừa đ−ợc trình bày ở trên, ng−ời ta đã đ−a ra các định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ng−ợc cho ánh xạ đa trị.ở đây chúng ta sẽ xem xét hai định lý hàm ng−ợc tiêu biểu thuộc về Aubin và Frankowska (1984). Định lý thứ nhất sử dụng giả thiết về tính mở đều của họ đạo hàm contingent. Định lý thứ hai sử dụng giả thiết về tính tràn của đạo hàm Clarke. Các định lý này đều đ−ợc chứng minh bằng nguyên lý biến phân Ekeland. Vì các chứng minh là khá cồng kềnh, phức tạp, nên sẽ không đ−ợc trình bày ở đây.
Định lý 2.3.1(Định lý hàm ng−ợc cho ánh xạ đa trị sử dụng đạo hàm contingent; xem Aubin và Frankowska (1990), tr. 204-205). Giả sửX,Y là các không gian Banach, F :X ⇒Y là ánh xạ đa trị, z¯= (¯x,y¯) ∈gphF. Giả sử tồn tại các hằng số c >0, δ >0 và α∈[0,1) sao cho
∀(x, y)∈(gphF)∩B(¯z, δ), ∀v∈Y, ∃u∈X, ∃w∈Y để v∈DF(x,y)(u) +w, ucv, wαv.
Khi đóy¯∈int(rgeF) và ta cóF−1 là ánh xạ đa trị giả-Lipschitz tại(¯x,y¯).
Định lý 2.3.2 (Định lý hàm ng−ợc cho ánh xạ đa trị sử dụng đạo hàm Clarke; xem Aubin và Frankowska (1984, 1990)). Giả sử X là không gian Banach, Y là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, F :X ⇒ Y là ánh xạ đa trị đóng,
¯
z = (¯x,y¯) ∈ gphF. Nếu rge(CFz¯) = Y, thì y¯∈int(rgeF) và ta có F−1 là ánh xạ đa trị giả-Lipschitz tại(¯x,y¯).
Bài tập 2.3.2.
(a) Phát biểu Định lý 2.3.1 cho tr−ờng hợpF =f là ánh xạ đơn trị khả vi Fréchet tại mọi điểm trong một lân cận của điểmx¯∈X. (b) ChoX=Y =IR,F(x) ={f(x)},f(x) =x3. Hãy tìm tất cả những