CHUYEN DE
BAI TOAN CUC TRI TRONG HINH HOC GIAI TICH
Bài tốn cực trị trong hình hoc giải tích thường được phát biểu dưới dạng yêu cầu xác định toa độ của một điểm, phương trình của một đường hay một mặt để một biểu thức hình học nào đĩ đạt giá trị lớn nhất hay bé nhất Khi gặp bài tốn dạng này, ta cĩ thể nghĩ tới một trong hai phương pháp sau :
Cách 1 : Dùng các phương pháp của hình học thuần tuý để khảo sát biểu thức cần tìm cực trị Chỉ sau khi đã xác định được vị trí về mặt hình học của điểm (hay của đường, mặt) cần tìm thì ta mới tính toạ độ (hay viết phương trình) của nĩ Trong khi khảo sát bằng phương pháp hình học, cần lưu ý rằng ngoại trừ các bài tốn đã quen thuộc trong Hình học thuần tuý mà ta đã cĩ phương pháp khảo sát riêng, cịn nĩi chung ta cần biến biểu thức cần khảo sát về dạng mới để trong đĩ chỉ cịn một đại lượng biến thiên
Cách 2 : Đặt một đại lượng thay đổi nào đĩ bằng biến ứ rồi viết biểu thức cần khảo sát thành một hàm của biến / Sau đĩ khảo sát hàm vừa tìm được bằng các phương pháp của đại số Trong khi sử dụng phương pháp này, cần lưu ý việc lựa chọn một đại lượng để đặt bằng biến ¿ để thuận lợi trong việc tính tốn biểu thức cần khảo sát theo (và được một hàm số cĩ thể khảo sát được sự biến thiên của nĩ) Cũng cần lưu ý tới miền xác định của biến ¿, bởi nĩ ảnh hưởng tới việc tìm cực trị của hàm xác định trên biến đĩ
Nhận xét : Ở cách 1 hay cách 2, ta đều nhấn mạnh tới việc chuyển biểu thức cần khảo sát về dạng mới mà trong đĩ chỉ cịn một đại lượng biến thiên (đại lượng hình học ở cách I và đại số ở cách 2) Tuy vậy, khơng phải với bài tốn nào cũng cĩ thể thực hiện được điều đĩ Trong trường hợp cần khảo sát một biểu thức cĩ ' nhiều đại lượng biến thiên, ta cĩ thể sử dụng cách sau :
Cách 3 : Dùng các bất đăng thức đại số để đánh giá biểu thức cần khảo sát
Xét dấu đăng thức xảy ra khi nào và cĩ kết luận tương ứng về giá trị cực trị của biểu thức cần khảo sát Trong khi sử dụng phương pháp này, kĩ năng sử dụng các bất đẳng thức đại số là rất quan trọng Cần nắm được đặc trưng của từng bất đẳng thức đại số cổ điển và các nguyên tắc sử dụng chúng Thí dụ, khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy, một bất đẳng thức được khai thác nhiều trong Tốn phổ thơng, ta cần lưu ý những điểm sau :
e Các tham số tham gia vào bất đẳng thức Cauchy là khơng âm ;
e Phụ thuộc vào mục đích ta đang muốn đánh giá một biểu thức là lớn hay là bé mà ta nhìn biểu thức đĩ dưới dạng là tổng hay là tích tương ứng (mục đích
Trang 2quyết định cách nhìn đối tượng dưới gĩc độ nào, và cách nhìn nhận đối tượng sé quyết định hướng giải quyết) ;
e Khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy, cần lưu ý hướng tới dấu đẳng thức cĩ thể xảy ra Trước hết, cần suy diễn để biết rằng dấu bằng của bất đẳng thức cần chứng minh xảy ra khi nào Trên cơ sở đĩ, ta chỉ sử dụng bất đẳng thức Cauchy đối với những số cĩ khả năng bằng nhau
Ta hãy xem xét những lưu ý trên trong một ví dụ cụ thể sau : "Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Chứng minh rằng :
(feito
Ở đây, mục đích ta đang cần đánh giá biểu thức vế trái của bất đẳng thức là lớn Do đĩ, ta cần nhìn nhận nĩ dưới dạng là tổng Như vậy, ta cần nhìn vào từng thành phần 1 + ~ 1+ ty + : để thấy chúng là các tổng, do đĩ cĩ thể đánh giá chúng lớn theo bất đảng thức Cauchy (nếu ta nhìn vào tồn biểu thức [i + at + i + *) thi ta sé thay đây là một tích)
x y Z
, ¬- l l L , ` ee ae LS ;
Đề đánh giá tong i +—,l+—,l+ ;] là lớn, ta cần hướng tới dấu băng của
x y Z
bất đẳng thức trong bài tốn Dễ dàng kiểm tra được dấu bằng xảy ra
¬ ew n
khix = y=z= 3” và khi đĩ — = 3 Vì vậy, ta cân biểu diễn tong 1+ 1 dưới
xX Xx
] l l ` 2 + nw ^Z , + ~ > ` Z Z
dạng l + — +— + — (là tổng của bốn số cĩ khả năng băng nhau) Từ đĩ ta cĩ 3x 3x 3x
lời giải sau :
Trang 3Mặt khác : l = x + y + z > 33/xyz
=> xyz< S > 27 xyz <1
Do đĩ ta nhận được bất đẳng thức cần chứng minh
Ví dụ 1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng A di qua
¿ l l
M(I ; 2) và cắt các trục Ĩx, Ĩy lần lượt tai A, B khac O sao cho —>†?— OA* OB bé nhat
Lời giải (h.61) Ay
— Ở ví dụ này, ta trình bày ba cách giải theo ba
phương pháp nĩi trên B M
Cach 1 Ha OH LA Trong tam giác vuơng H
OAB, ta cĩ :
T+—==—>—_ (hơng đổi, Oo A2
OA“ OB’ OH” OM À
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
H=M<OMLA Minh or
Vay — + — đạt giá trị bé nhất khi đường thang A di qua diém M(1 ; 2) OA“ OB
và cĩ pháp vectơ là OM (1; 2) Vậy đường thẳng A cần tìm là :
lx—1)+2(y-2)=0 ©x+2y-5 =0
Nhận xét :
e Phép biến đổi : + | } là chuyển biểu thức ban đầu với hai đại OA* OB? OH?
lượng biến thiên ĨA, ĨB về biểu thức cịn một đại lượng biến thién OH
e Cách giải trên khơng mở rộng được cho bài tốn tổng quát hơn : xác định vị _#_ + —P _ nhỏ nhất (z >0, b > 0)
trí của đường thẳng A để
OA? OB?
Trang 4Cách 2 Đường thẳng A di qua M(1 ; 2), cat cdc truc toa dé va khơng đi qua
gốc nên nĩ là đường thẳng cĩ hệ số gĩc & với k z 0,k # 2 Khi đĩ :
A:y-2=k(x-1)©y=kx-k+2 Ta cĩ : A*?:0}a(0:2~4 và 1 + 1 = ke +1 OA? O8? (k-2Ÿ ¬ ke +1 Xét hàm số : ƒ(k) = 5 (k # 0,2) (k - 2) -4k? + 6k +4 f{)=——————zx— ( -2) k=2 Ta cĩ: ƒ'#) =0 © -4k +6k+4=0ôâ vỏ =~>
Ta c bảng biến thiên của hàm số ƒ{#) :
k —oœo 7 0 2 +00 2 f'(k) _ 0 + ~ l +00 +00 fb) it a 4} Lyi 4 5 1
Vậy ƒ(k) nhỏ nhất khi và chỉ khi k = >
Do đĩ + +, nhỏ nhất khi và chỉ khi £ = —L © A: x+2y— 5 =0
OA OB , 2
Trang 5Cách 3 Giả sử : Am ; 0), BO; n), m,n # 0
Khidé A: +2 =1 di qua M(I ; 2) nên :
H m — +—=Ì] L2 m H Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta cĩ : 2 ]= (= + 2) < (ứ + 2= + 5] m H m n
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
17 mon 1 —+—=]Ì 1 2 m=5 1 — $‹m đnm oO _ 3 21 m=2n ay on l l l 1 _ 1
Nhu vay ——~ + —~ = z1 Dấu bằng xây ra khi va chi khi m = 5
OA? OB? m” n
5
n = —, nghia la 2 Ẽ
A:x+2y-5=0
Ví dụ 2 Viết phương trình đường thẳng A đi qua M(2 ; 3), cắt chiều dương của các trục toa độ Ĩx, Ĩy tại các điểm A, B sao cho AAĨB cĩ diện tích nhỏ nhất
Lời giải
Gia str: A(m ; 0), B(O; 1), m,n > 0
2 2 3
= 1 Vi Adi qua diém M(2 ; 3) nén —+—=1
Trang 6Dấu bằng xây ra khi và chỉ khi = == = - e> m = 4,n = 6 mn
Do đĩ diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi và chỉ khi A 7 + 5 =1
Ví dụ 3 Trong mặt phẳng toạ độ Ĩxy, viết phương trình đường thắng A đi qua điểm Ä⁄(1 ; 8), cắt chiều dương của các trục Ox, Oy tai A, B sao cho AB nhỏ nhất
Lời giải
Gia su: A(m; 0), B(O; n), m,n > 0
l
Khi đĩ A : ~ 42% =1, Vi Adi qua M(1; 8) nen 242 <1
mon mi on
tach: 122482 by telat s ra
m n 2m 2m in n Amn?
¬ 5 10
Do đĩ : mn 2” Dấu đăng thức xảy ra khi và chỉ khi
18 , m on m= 11 no 2m n Ta cĩ : 2 2 2 2 2.8
2 =OA? + 0B =m tramp egy ty ta 5st"
4 4 44
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m” = T © n = 2m
28 10
Vậy : AB? > 5.9 4 >5 sO = 125 4
Dấu đăng thức xảy ra khi và chỉ khi m = 5,n = 10
Vậy AB nhỏ nhất khi và chỉ khi A Sta =1 hay A:2x+y-10=0
Ví dụ 4 Trong mặt phang toa do Oxy cho ba điểm A(I ; 1), B(3 ; 2), CŒ ; 10) a) Chứng minh rằng gĩc A của tam giác ABC nhọn
Trang 7b) Viét phuong trình đường thẳng A đi qua A sao cho tổng các khoảng cách từ B và C tới đường thẳng A là lớn nhất Lời giải AA a) Tacé: AB = (2;1), AC = (6;9) 2.6 + 1.9
cosBAC = COS AB,AC = > 0
| | 2? +12.\6ˆ + 9# j ; `,
Do dé: BAC < 90° Hinh 62
b) + Nếu đường thẳng A cat doan BC tai mot diém M Khi do :
d(B, A) + d(C, A) < BM + CM = BC
Dấu đẳng thức xảy ra khi đường thẳng A vuơng gĩc với BC
+ Nếu đường thẳng A khơng cắt đoạn 8C (h.62) Gọi /(5 ; 6) là trung điểm
của BC | |
Ta co:
d(B, A) + d(C, A) = 2d(I, A) < 2AI
Dấu đẳng thức xảy ra khi đường thẳng A vuơng gĩc véi Al (dé y rang khi dé
đường thang A khơng cắt đoạn BC)
Do tam giác ABC nhọn nên 2Al > BC
Do dé d(B, A) + d(C, A) 16n nhat khi va chi khi duéng thang A di qua diém
A(1 ; 1), cĩ pháp vectơ AI(4 ; 5}
Đường thẳng A cần tìm là
A(x —1) + 5(y-1) =0 @ 4x+5y-9=0
Ví dụ 5 Trong khơng gian toa d6 Oxyz cho mat phang (a):x- y+z-1=0 va
cdc diém A(1;2; -]), B(1;0;—1), C(2 1; ~2) Tìm điểm M thuộc mặt phang (a)
sao cho MA” + MB? - MC7 nhỏ nhất ˆ
Lời giải
—
Xét điểm J sao cho JA + IB — IC = 0
Trang 8Gia su / = (x; y; z) Ta cĩ : IA =(L~x;2—y;—L— 2} IB =(L—x;— y;=1— ?), IC =(2-x;1-y;-2-2) ~x =0 Do đĩ : /A + J8 - /C =0 © 41—-y=0 œ7 =(0;1;0) —z =0 Ta cĩ : — —2 — —+\2 — —+\2
MA? + MB? - MC? = (Mi + IA) + (Mi + 1B) - (Mi + IC)
—
= MP + IA? + IB? — IC? + 2MI|1A +78 ~ ic)
= MI” + IA + IB? ~ IC’
Do đĩ : MA” + MB” ~ MC” nhỏ nhất © MI nhé nhat <> MIL (a)
Khi do MI di qua /(0 ; I ; 0) và cĩ vectơ chỉ phương na (I -—1; 1) nên cĩ
phương trình : |
x=t
| =]—f
(Z =ứ
Vậy toa độ điểm Mí cần tìm ứng với giá trị là nghiệm của phương trình
2
t—(l-)+t-1=0ar= 2
Vậy MA” + MB? — MC” nhỏ nhất khi M = (2:3:5}
_ Ví dụ 6 Trong khơng gian toa độ Oxyz cho mặt phẳng
(z):x—3y + 3z — II =0
và các điểm A(3 ;—4; 5),B(3; 3; 3) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (a) sao cho
|MA — MB] l6n nhat
Trang 9Lời giải (h.63)
Lần lượt thay toạ độ của A(3;—4;5) và B(3;3;—3) vào vế trái của phương
trình mặt phẳng (ø), ta được hai số trái dấu Do đĩ A và 8 nằm về hai phía của mặt phẳng (ø) Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (2)
Ta cĩ : |MA - MB| = |MA'- MB| < A'B
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M, A', B thang hang và điểm M nằm ngồi
đoạn thẳng A'8 Mặt khác, M thuộc mặt phẳng (ø) cịn A' và 8 nằm về một phía
của mặt phẳng (ø) Do đĩ, dấu bằng của đăng thức trên xảy ra khi và chỉ khi
M = ABo(ø)
B
Đường thẳng AA' đi qua điểm A@ ; —4 ; 5), A vuơng gĩc với mặt phẳng (œ) nên cĩ vectơ
chỉ phương ny (i ;-3;3) | ⁄ | x=3+í mM 1 I AA':4y =-Ä- 3í ⁄ z=5+ 3t
Toạ độ giao điểm / của AA' với mặt A
phẳng (ø) ứng véi gid tri ¢ 14 nghiệm của Hinh 63
phuong trinh :
3+ 14 3(—4 - 3¡) + 3(Š + 3r)-11 =0
© I9:+19=0<>r=-I
Vay | = (2;-1; 2)
Giả sử A' = (x; y;z) Khi đĩ / là trung điểm của AA' nên
Trang 10———>
Vì A'B = (2;1; —2) nên đường thẳng A'B cĩ phương trình
x=l+2/ AB:$y=2+f
Z = —Ì - 2t
Toạ độ của điểm M cần tìm ứng với giá trị / là nghiệm của phương trình :
(L+22)~32 +)+3(—1~22)~11= 0© r= Vậy |MA — MB| lớn nhất khi A⁄ = _ 2.3}
„ ‹ 2 x+y-z-1=0
Vi du 7 Cho duong thang A:
2x-y-1=0
va hai diém A(2;~1;1), B(1;-1;0) Tim diém M thudc dong thang A dé
dién tich tam gidc AMB dat gia tri nho nhat
Loi gidi
Xét m = (1313-1), m = (23-150) Đường thang A cĩ vectơ chỉ phương
+ Í -I L1 ati 1 in]: * * > > =(-1;-2;-3 1;2;3) -!1 0; ;0 2 72 ‘) ( )/{ 3)
Mặt khác đường thắng A di qua điểm N(I ; I; 1) nên
Trang 11Xét ham s6 f (t) = 121? + 20: +9 Hàm số này cĩ đồ thi 1a parabol quay bé
lõm lên phía trên Do đĩ f(t) nhỏ nhất <> Ât = v â M = [s:-2 -3}
Vay dién tich tam giac AMB nho nhat khi M = Ề 5 -3}
Ví dụ 8 Trong các mặt phẳng đi qua các điểm A(1;2;-1), B(-1;1 ;2), viết
phương trình mặt phẳng (2) tạo với mặt (xĨy) một gĩc nhỏ nhất
Lời giải
x-1.y-2 z+1 gp fe -2y+3=0
2 1 -3 3y+z—5=0
Mat phang (a) chứa A nên cĩ phương trình dạng :
(a) : u(x - 2y +3) + (3y + z— 5) = 012 + È > 0}
e Nếu u = 0 thi (a) :3y +z—-—5=0 cé phap vecto n„(0;3; 1)
Mặt phẳng (xĨy) cĩ pháp vectơ n(0 ;0; 1)
Khi đĩ cos((œ), (xOy)) = eos(ng n) = i v10 e Nếu # 0, cĩ thể coi u = 1 Khi do:
(z): x + (3 — 2)y + 0z — 5r + 3 = 0 cĩ pháp vectơ ø„(1; 3 = 2;) Khi đĩ cos((œ), (xOy)) = cos{ ng , n) = l ï =
Trang 12Ta cĩ bang biến thiên : t —00 0 fw , ~ 0 — + fn) ĐỒNG aA NI 0 s a
Do đĩ cos((z), (xOy)) lớn nhất bằng lễ khi í = =
So sánh hai trường hợp trên, suy ra mặt phẳng (ø) tạo với (xĨy) một gĩc nhỏ
m|a | c| lu + 10 nhất khi ¢ = >, 6
Vậy mặt phẳng (a) cần tìm cĩ phương trình là
x+|[Số ~2Ìy+ 5z ~ Số +3 =0 = 6x+3y+5z-7=0
Ví du 9 Cho đường thang
+ —l1=0
A: ( y+z
x-y+z-1=0
và các điểm A(2;1;-1), B(-1;2;0) Trong các đường thẳng đi qua Ư và cắt đường thẳng A, viết phương trình đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nĩ là
lớn nhất ? Bé nhất ? Lời giải
Xét m = (15151), m = (15-151)
Đường thẳng A đi qua N(1 ; 0; 0) va cé vecto chi phuong
[| =(2;0;~2)//(1;0;—1)
Trang 13x=Ìl+f
Vậy A:4y=0 z = -t
Gọi ¿ là đường thẳng bất kì đi qua B(—1; 2 ;0) và cắt đường thẳng A Giả sit d cắt đường thắng A tai M(1+1;0;-r) Khi đĩ đ cĩ vectơ chỉ phương là
BM = (2 +1;-2;-2) Ta cĩ BA =(3;-1;~1, | BM, BA| = (2-1;2- 2154-1) BM, BAY (2-1 +(2—20 + (@ ~ BM y(2 + ty +442 _ [60 - 20r +24 _ la: - 10 + 12 217 + 44 +8 a ae Do d6: d(A,d) = 2 2
Xétham sO: f(t) = *™ taco f(r) = ——
| r+2tr+4 (? +2044) t=2 {) =0 > ⁄) ; = -2 Ta cĩ bảng biến thiên : f —O —2 2 +00 ƒŒ) + 0 - 0 + me a ÀNG
Vậy khoảng cách từ A tới d lớn nhất bằng M11 khi ¡ = -2 ứng với M{(_1;0;2) và nhỏ nhất bằng % khi r = 2 ứng với M(3;0;—2) Hai đường thẳng cần tìm ứng với các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất lần lượt cĩ phương trình là :
Trang 14
a(A,d) max €> M = (-1;0;2) «9d: 424-252 22
od: x+1=0—
‘|ly+z-2=0
a(A,d) min â M = (3;0;~3) ôd = *TÊ= =
ood: x+2y-3=0 “|y-z-2=0
Bai tap
1 Trong mặt phẳng toạ độ xĨy, viết phương trình đường thang A đi qua điểm
|
+
OM? ON?
A(-1;3) và cat cdc truc Ox, Oy lần lượt tại M, N sao cho
nhỏ nhất
2 Trong mặt phẳng toa độ xĨy, viết phương trình đường thẳng A di qua điểm M2 ; 5), cắt chiều dương của các trục Ĩx, Ĩy lần lượt tại các điểm A, 8 khác
gốc toa độ sao cho diện tích tam giác AB nhỏ nhất
3 Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho đường thang
Á : mx + y + 2m = Ơ
Tìm m để khoảng cách từ A(3 ; 4) tới đường thẳng A đạt giá trị lớn nhất
4 Trong mặt phẳng toạ độ xĨy, viết phương trình đường thang A đi qua điểm M(3 ; 2), cắt chiều dương của các truc Ox, Oy tương ứng tại các điểm A, B
khác gốc toa độ sao cho ĨA + 2ĨB đạt giá trị nhỏ nhất
5 Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho các điểm A(I ; 1), B(2; 5), C( ; 7) Chứng minh rằng Ầ®C cĩ gĩc A nhọn
Viết phương trình đường thẳng A đi qua A sao cho :
a) d(B, A) + d(C, A) lớn nhất ; b) 2d(B, A) + d(C, A) 16n nhat
6 Trong mat phang toa do xOy cho đường thẳng A : x + y + 2 =0 và các điểm A(2;1), B(-1; -3), C(1; 3) Tìm điểm M thuộc đường thẳng A sao cho
a) |MA ~ MB| lớn nhất ;
b) MA + MC nhỏ nhất ;
Trang 1510
c) MA? + MB? — MC? nho nhat;
d) |MA + MB + MC| nho nhat
Trong khơng gian toa dé Oxyz, viét phuong trinh mat phang (a) di qua điểm
A(I ; 2; 4) và cắt chiều dương của các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lan luot tai M, N,P khác gốc toạ độ sao cho tứ điện OMNP cĩ thể tích nhỏ nhất
Trong khơng gian toa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (ø) đi qua điểm Mí(1 ; 2; 3), cắt các trục toạ độ Ĩx, Ĩy, Ĩz lần lượt tại A, 8, C sao cho
- + = + — nhỏ nhất
OA“ OB OC
Trong khơng gian toa d6 Oxyz, viét phuong trinh mat phang (a) di qua diém M(2; 5; 3) va cat chiéu duong cua cac truc Ox, Oy, Oz lan lượt tại các điểm A, B, C sao cho OA + OB + ĨC nhỏ nhất
Cho mặt phẳng (ø): x - y+2z =0 và các điểm A(1;2;-I), B(3;1;-2), C{I;—2; 1) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (ø) sao cho
a) MA + MB nho nhat ; b) |MA — MC| lớn nhất ; c) MA? — MB? — MC? 16n nhat : d) IMA + MB + MC| nhỏ nhất 11 Cho các đường thẳng —— - 2 ] l +2y—-z+1=0 af" y~Z x-y+z+1=0
Trong các đường thẳng đi qua A(2 ; -l ; 2) và cắt đường thang A,, viết phương trình đường thẳng A sao cho khoảng cách giữa A và As lớn nhất
12 Trong các mặt phẳng đi qua A(2 ; —1 ; 0) và song song với đường thẳng ds x+l_y~2_ 2th
1 41 -Ì
viết phương trình mặt phẳng (ø) tạo với mặt phẳng (xĨy) một gĩc nhỏ nhất
Trang 16
13 Trong cdc mat phang di qua A(1 ; 1 ; —1) va vu6ng géc véi mặt phẳng
(B):2x-y+z+2=0,
viết phương trình mặt phẳng tạo với đường thẳng Ĩy một gĩc lớn nhất
14 Cho mặt phẳng (Z) : x + y —- z + I1 = 0 và đường thẳng
HN 2x-y+z-2=0
Trong các đường thẳng đi qua A(1 ; —l ; 2) và song song với mặt phẳng (œ),
viết phương trình đường thẳng A sao cho khoảng cách giữa A và ¿ lớn nhất
=Ì_ y+l z-l
1 - 2 ~]
15 Cho đường thẳng đ:^ và hai điểm A(2 ; 1; -l),
B(3; -2; 1)
Trong các đường thẳng di qua Ư và cắt đường thẳng d, viét phuong trinh cac
đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nĩ là lớn nhất ; bé nhất
16 Cho đường thẳng
x+y-z-1=0
A:Jx†y~?
2x-y-z=0 va hai diém A(2; 1; 1), B(-1 ; 2; 0)
Tim điểm M thuộc đường thẳng A sao cho MA? + MB? nhỏ nhất
17 Cho hai đường thẳng A,: Š= 2= Z4 A,,x18 y6 77-10
1 —1 2 2 I -l
a) Chứng minh rằng các đường thẳng A¡ va A› chéo nhau
b) Trong các mặt cầu tiếp xúc với các đường thẳng A; và A›, viết phương trình mặt cầu (Š) cĩ bán kính nhỏ nhất
18 Trong các mặt cầu đi qua A(Í ; 2 ; —1) và tiếp xúc với mặt phẳng
(a): x+y+2z-13=0, viết phương trình mặt cầu cĩ bán kính nhỏ nhất
19 Cho mặt cầu (Š): x7 +? +Z2—2x+2z—4=0 và mặt phẳng
(z):2x—2y+z+8=0
Tìm điểm ÄM thuộc (S) sao cho khoảng cách từ Mí tới mặt phẳng (ø¿) là lớn nhất
16 ,
Trang 1720 Cho mat cau
(S)i x? ty? + 2° -2x422-2=0 và cac diém A(0; 1; 1), B(-1 ; -2; -3), CU ; 0; -3)
Tìm điểm D thuộc mặt cầu (Š) sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất Lời giải
1 Gia su M = (m; 0), N=(0;n) (mn #0)
Duong thang A di qua M, N nên cĩ phương trình là :
242-4
m n Hơn nữa A(-1;3) e A nên Hey
m on l 4+ —— = 2 OM? ON? m° 4 j Ta cĩ : + n Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta cĩ : ES (2) Oar TT mm n
Dau "=" xay ra khi và chỉ khi :
Zot : m = —6n nai?
4 ` — sly 6
4221 Ata m = -19
m n
Vậy đường thẳng A cĩ phương trình là : —x + 6y - 19 = 0 2 Giast A =(a;0), 8=(0;b) (a>0,b>0)
http://violet.vivkinhhoa
Đường thẳng A cĩ phương trình là : = 4 = 1, a
Trang 18Do đường thẳng A đi qua M(2 ; 5) nén +
q ¬ b
- a „ Log 2 5
Ap dụng bất đăng thức Cauchy cho hai số dương - — - và P° taco: ab 2 40
te
a
¿ 2 53 1 a=
Dấu "=” xảy ra khi và chỉ khi : — = — = — ©
ab 2
Vay Song bé nhat bang 20 khi a = 4, b = 10
Khi đĩ đường thẳng A cĩ phương trình :
~T+—=]1, 4 10
Khoảng cách từ A(3 ; 4) tới đường thẳng A : mx + y + 2m = 0 là :
Bm+4+2m| - l5m+ 4 Vm? +1 Vm? +1 Cách 1 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta cĩ : (m? +1)(5? + 4?) > (5m + 4) <> 41(m? +1) > (5m + 4) (5m + 4Ÿ oz <4I m +1 Sm + eo Pmt ag Vm? +1 Ay tot 2 ˆ ` 2 m 1 5
Dấu "=" xay ra khi va chi khi — = — hay m = —
5 4 4 |
Vậy khoảng cách từ A đến đường thẳng A đạt giá trị lớn nhất bằng X41 khi
m =S 4
18
Trang 19| 5m + 4 2 2 Cách 2 : Đặt ƒ(m) = ( m ) _ 25m + 40m +16 Khi dé m“ +] m +1 , -40mˆ2 + 18m + 40 £ứ) = 2 2 [m + 1) fmm) = 0 e m= ~~ hoặc m = > 4 lim f(m) = 25 m>»œ Ta cĩ bảng biến thiên : +œ HN ƯỚNG
Từ đĩ ƒ(m) đạt giá trị lớn nhất bằng 41 khi m = : hay khoảng cách từ A tới
oy CO} 4+ |t f'(m) ~ 0 + đường thẳng A lớn nhất bằng V41 khim = =
4 Giả sử A(a;0), B(O;b) (a>0,b >0) là giao điểm của đường thẳng A với chiêu dương của các trục toạ độ Khi đĩ đường thẳng A cĩ phương trình là :
Trang 2020 2 Ta cĩ: OA +2OB =a+2b=a+- 2 — 4 +4 a — 3 a-3_ Dat f f(a) = as a3) 4 a —6a -3 Fla) = an ứng 2 = &-3 2
can lim f(a) = lim a f(a) = +00, a—>3+
Ta cĩ bảng biến thiên :
a 2V3 3423 $00
eB Z7: T
Tir dé f(a) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7+4V3 khi a = 3+243 hay ĨA + 20B đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7 + 443 khi z =3 + 243
Với z= 3+ 2/3 thì b = 2 + V3 Phương trình đường thẳng A cần tìm là : x y 3125 243 Tacĩ: A8 = (1;4), AC = (3;6) AB.AC = 1.3+ 4.6 = 27
AB.AC = AB.ACcosBAC = M17.V45.cosBAC
——— 27 —
= cosBAC = > 0 = BAC nhọn
V17V45 _
Trang 21a) Nếu đường thẳng A cắt đoạn BC tại một điểm M thì :
d(B, A) + d(C, A) < BM + CM = BC Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng A vuơng gĩc với 8C
Nếu A khơng cắt đoạn 8C thì 4(B, A) + d(C, A) = 24Œ,A) < 2AI, ở đĩ 13;6) là trung điểm của BC Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A vuơng gĩc
voi Al
Do tam giác A8C cĩ BAC nhọn nên 2A/ > BC
Vậy d(B,A) + d(C, A) lớn nhất khi và chỉ khi đường thang A đi qua điểm
A(I ; 1) và cĩ vectơ pháp tuyến /A = (~2;~5)
Đường thẳng A cần tìm cĩ phương trình :
-2(a - I)- 5(y-I)=0 œ 2x+5y-7=0 b) Trên tia AB lấy điểm Ư' sao cho 8 là trung điểm của AB
Ta cĩ : 8 = (3; 9) và d(B', A) = 2d(B, A)
Tir d6 : 2d(B, A) + d(C, A) = d(B’, A) + d(C A}
Tương tự như cách giải câu a) áp dụng cho tam giác AC, ta cũng chia làm hai trường hợp :
e Nếu đường thẳng A di qua A va cat doan B'C tai M thi: d(B', A) + d(C, A) < B'M + CM = BC Dau "=" xay ra khi va chi khiA 1 B'C
e Nếu đường thẳng A khong cat doan B'C thi
d(B', A) + d(C, A) = 2d(I', A) < 21'A voi | ( ; ) là trung điểm của cạnh #C
Dấu "=" xảy ra khi đường thang A vuơng gĩc với A AABC cĩ BAC nhọn nên 2/'A > BC
Trang 22Vay d(B’, A) + d(C, A) lớn nhất khi và chỉ khi đường thang A di qua A(I ; 1)
va cĩ vectơ pháp tuyến ai 2 ; 7|
Đường thẳng A cần tìm là :
sứ ~1)+ 7Úy= I)=0 6 5x+l4áy- 19 =0
a) A(2 ; L) và B(—1 ; -3) thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là đường thẳng A:x+y+2=0vì
(x4 + y4 + 2)(xg + yg + 2) = 5(-2) < 0
Gọi A' là điểm đối xứng với A qua đường thẳng A Khi đĩ A' và B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ A
Ta cĩ : |MA - MB| = |MA— MB| < A'B
Dấu "=” xây ra khi và chỉ khi M, A, B thang hang va M ở ngồi đoạn A'B
<> {M} = A'BOA (vi ME A vaA’, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ A) AA' đi qua A(2 ; 1) và vuơng gĩc với đường thẳng A nên AA' cĩ vectơ chỉ
phương 1a ny = (1;1) |
` X=2+t
AA' cĩ phương trình
y=Ìl+t
1} = AAmA thì toạ độ của 7 tương ứng với giá trị : là nghiệm của phương
trình: (2+)+(L+r)+2=0
©21+5=0 G= Tố,
1 3 Vay Ï =|-—;—~| vi=[-2i~2]
Vì 7 là trung điểm của ÁA' nên
x _ XA + Xa:
[ _ Jat Ya’ 2 =\" Xy Ya = 2yy, — Ya = 2x, - x tf Ya = —4 Xy = 3 => A'=(-3; -4)
2
Trang 23` ; „ ` x=~3+2/ Suy ra đường thăng A'B cĩ phương trình :
yr -4 + t
Giao điểm Xí của A'B và đường thẳng A ứng với ¿ là nghiệm của phương trình : (-3 + 2r)+ (4 +7)+2=0
©3?-5=0©œr=Sœ w=[š:-3]
3 3 3
‹ aay: 1 7
Vậy |MA — MB| lớn nhất khi M = l -2}
b) Gọi A' là điểm đối xứng với A qua A Khi đĩ, A' và C nam ở hai phía khác
nhau đối với đường thẳng A
Với Mí tuỳ ý trên đường thẳng A ta cĩ :
MA +MC =MA'+MC> AC
Dấu "=”" xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của A'C và A (tức M ở giữa A' và
C, điều này cĩ được do A' và C thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau cĩ bờ là
đường thẳng A)
Theo cau a) : A'(-3 ; -4), A'C = (4:7)
Phuong trinh dudng thang A'C :
x=—-3+4t
( =-4+ 7t
Toa do cia M img voi gia tri f là nghiệm của phương trình :
(-3 + 4t) + (4+ 7t)+2=0
eo lt 5=0e01= 2
c) V6i M(x ; y) thuộc đường thẳng A, ta cĩ : x = —y — 2
MA? =(x- 2)” + (y- TỶ, MB? =(x +1) +(y +3), MC2 = (x- 1 +(y- 3Ý,
Trang 24suy ra MA? + MB? — MC? = x” + y* + 10y 45
| =(-y- 2} + y? +10y+5
= 2y? +l4y +9,
Xét hàm số ƒ(y) = 2y” + 14y +9 cĩ đồ thị là parabol quay bề lõm lên trên
Do đĩ f(y) nho nhat khi y = + © M= lš:-2}
Vậy MA? + MB” - MC” nhỏ nhất khi M = (5:-;]
đ) Giả sử M = œ& ; y) thì MA =(2-x;1-y), MB =(-l-x;-3- y}
MC =(L~ x;3~ y}
= MA + MB + MC = (2 ~3x;1— 3y)
[MA + MB + MỒ = \(0 ~3x) +(1-3y) nhỏ nhất khi và chỉ khi
(2- 3x)” + (L— 3y}” nhỏ nhất
Với M(z ; y) thuộc đường thẳng A thì x = —y — 2, do đĩ :
(2- 3x} +(L-3yƑˆ = (4y + 8Ÿ +(1-3yŸ
= 18y* + 42y +65
Xét hàm số ƒ(y) = 18y” + 42y + 65 Hàm số này cĩ đồ thị là parabol quay bể lõm lên trên Do đĩ ƒ (y) nhỏ nhất khi y = = <M -(-2-2}
Was we same LL: 5 7
Vay IMA + MB + MC| nho nhat khiM = (-2.-2)
Gia st M(m;0;0), N(0;7;0), P(0;0; p) (m > 0," > 0, p > 0)
Mat phẳng (ø) cĩ phương trinh : —+2+—=1,
m np
Diém A(1 ; 2; 4) thuộc mặt phẳng (ø) nên : + + 2 + a 1
mon p
Trang 25Ap dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số đương i 2 4 ta CĨ : mn p l= I m => mnp = 216 2 n ¿ , 1 Dau "=" xay ra <> — = m m=3 p=12
va mat phang (a) c4n tim cĩ phương trình là :
y 3 6 12
Hạ OH vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC)
l l 1 1
Vì tứ diện OABC vuong tai O nên : + ;† 7" >
OA“ OB OC OH
Vi OH <OM nén 5 > 5
OA OM
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi H = M < OM vuơng gĩc với mặt phẳng
(ABC)
khơng đổi
Vậy + + : đạt giá trị nhỏ nhất khi mặt phẳng (ø) đi qua
Mí(1 ; 2; 3) và nhận OM(I -2; 3) là vectơ pháp tuyến |
Vậy mặt phẳng (2) cần tìm là : I(x - 1) + 2(y — 2) + 3(z - 3) = 0 hay
(z):x+ 2y+3z —- 14 =0
Trang 269,
19
Gia sử A(ø ;0;0), B(O; b;0), C(0;0;c) (với a,b,c > 0)
Mặt phẳng (a) cĩ phương trình : ~ + ; +—=1 diqua M(2;5;3) nén
a C 2 3 —+—+—=Ì * a ob ¢ * Ta cĩ : OA + ĨB + ĨC =u+b+c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta cĩ :
ETE) (Ria sr certo a b C
hay (2 + + le +2) > (V5 + V3 + VŸ,
a C
Suy ra L(a+b+c) > (J2 + v3 + V5} (do (*)) Dau "=" xảy ra khi và chỉ khi
42 V5 VB a = ¥2(V2 + V3 + V5) =2+ Vo + V10
ab 6 gy b = V5(V2 + V3 + V5) =5+ V10 + Vi5
a bc fe=V3(v2 + v3 + V5) = VIS + V6 +3
Vậy OA + ĨOB + ĨC nhỏ nhấtkhi ø= 2+6 + V10, b= 5+ V10 + N15,
c=3+ 46 +15 Mặt phẳng (ø) cần tìm là : x y Z + + =|, 2+ J6 +10 5+ V10 + VI5 3+ x6 + V15
a) Hai điểm A(I ; 2 ; —1) va B(3 ; 1 ; -2) nằm về cùng một phía đối với mặt
phẳng (ø) vì thay toạ độ hai điểm này vào vế trái phương trình tổng quát của mặt phẳng (ø), ta được hai số cùng dấu
Gọi A' là điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (a), ta cĩ :
MA + MB = MA'+ MB 2 A'B
Dấu đẳng thức xảy ra © M, A', B thẳng hang va M thudc doan A'B
2G
Trang 27Do A' va B khơng thuộc cùng một phía đối với mặt phẳng (ø) nên {M} = A'B (œ) Đường thẳng AA' đi qua A và vuơng gĩc với mặt phẳng (a) nên AA’ cé vecto chi phuong 1, = (1; ~1;2)
x=l+t
AA’: sy=2-t z=~Ì+ 2
Toa d6 giao diém 7 của AA' với mặt phẳng (a) ứng với giá trị ? là nghiệm của
phương trình :
1+¢-(2-1) + 2(-1+ 27) =0
œ6r-3=0œ¿=2, 2
Vay J = [3:30] Vì 7 là trung điểm của AA' nên :
c x _ XA +XA Lr + 2 XẠ: = 2X — XA + Và Đị = + = ya = 2y, — YA => A’ = (23151) ZA + Z 4 ZA! = 22; — ZA rn `
Vì A'8 = (1;0;— 3) nên đường thẳng A'B cĩ phương trình :
.|x=2+íf
y=]
z=1-3¢
Trang 28b) Thay toa do cua A(1 ; 2; -1) va C(I ; =2 ; I) vào vế trái của phương trình
mặt phăng (ø), ta được hai số trái dấu nên hai điểm này nằm về hai phía của
mặt phăng (a) Do dé A’ va C nằm cùng một phía của mặt phẳng (a)
Ta cĩ : |MA - MC| = |MA- MC| < AC
Dau "=" xay ra khi và chi khi M, A’, C thang hang va M nam ngoai doan AC Mặt khác, M thuộc mặt phẳng (a) va A', C nằm về một phía của mặt phẳng
(a) Do do, dau "=" trong bat đẳng thức trên xảy ra khi {M} = A'C 7 (a)
Ta cé A'C = (-1;-3;0) nén A'C cé phuong trinh : x=I1-t
y=-2-3t
z = ]
Toa độ điểm M cần tìm ứng với giá trị / là nghiệm của phương trình :
5
I-r-(-2-3?)+2=0© 2+5 =0 @r===,
Vậy |MA — MC| lớn nhất khi M = Fs |
c) Xét diém J sao cho: IA — IB — IC = 0
Gia su /(v; y; z), taco: oe IA — IB — IC =(1-x;-2-y;1-2z) (l-x«;2-y;-l- 2), (3-x;1-y;-2- 2), =3+vx =0 Do đĩ : /A - /8 -!C =0 © 43+ y=0 ©!=(3;-3;0) z=0 | Taco: 2 2 2 (> ey fm mY OG ry
MA? - MB? - MC =(MI + 1Ä) - (Mi + 18) - (MI + IC}
= —MI? + IA? — IB? — IC? + 2Mi(7A _ 1B - ic}
= —MI* + [A* — IB? — IC’
Trang 29Do dé MA* — MB* — MC? 16n nhat © MI” nhỏ nhất < MI nho nhat
© Mi vuơng gĩc với mặt phang (a)
Khi đĩ M7 đi qua /(3 ; —3 ; 0) và cĩ vectơ chỉ phương là Hy =(1;-1;2) x=3+í
Phương trình của MỸ là : 4 y = —3 — Z = 2I
Toa do điểm Mí cần tìm ứng với giá trị là nghiệm của phương trình : 3+r—(-3-!)+2./27=0 ©6r+6=0€r=-l Vậy MA? - MB” - MC” lớn nhất khi M = (2 ; -2 ; —2)
d) Goi G la điểm thoả mãn GA + GB + GC = 0
Toa do cuaG 1a: |
XA + XR + XC
3
ly, = Jat Yet Ye =6-(3:3:-2}
3 3 3 3 _ ZA +°Zp + Zo 'G@ TT ~— 3 XG = Ta cĩ : MA + MB + MC = (MG + GA) + (MG + GB) + (MG + GC) = 3MG + (GA + GB + GC) = 3MG Do đĩ [MA + MB + MC| = MG| = 3MG OC
Vay MA + MB + MC| bé nhat <> MG bé nhat <> MG vuong géc với mặt
phang (a)
` 2 5 1 2 ` 7 7 `
Duong thang MG di qua G 3°3° 3 và cĩ vectơ chỉ phương là
nạ =(1;—1;2)
Trang 3011
Vay phuong trinh cua MG la:
f x=—+f 5 3 Jy=l-r Ta z= =2 +2, 3
Toa độ điểm M cần tìm ứng với giá trị ? là nghiệm của phương trình : 3*r~[s~r]+2|-3 +2r]~0
3 3 3
©6:=0<>¡r=0
Vậy |MA + MB + MC| bé nhất khi M = (3:3:-3]
x=l+2/
z=]l+t
Giả sử M e Ai thì M =(L+2/;—l+r;1+?), AM = (22 =1;t;r — 1)
Đường thẳng AM đi qua A(2 ; —1 ; 2), cĩ vectơ chỉ phương là u= AM và
dudng thang dé lu6n cat dudng thang A)
Dé thay A, di qua /(-1 ; 0; 0) vacé vecto chi phuong wu = (—1;2;3),
Trang 31oo (Q0r-2/
d(AM,A,) lớn nhất <> f(t) = 252 99 404 lớn nhất
¿ es aus 68
Khảo sát cực trị của hàm số f(t) ta thay f(r) dat gid tri lon nhất ti  = 95
, ơ l ` s ` 2 ` + `
Khi dé u = 954! ,68;—27) và do đĩ, đường thang A cần lập cĩ phương trình :
x=2_ y+l z-2
41 68 -27
12 Mặt phẳng (a) qua A(2 ; —1 ; 0) c6é phuong trinh dang
m(x — 2) + n(y + 1) + pz =0 (mi? +n? + p? # 0)
hay mx +ny+ pz-2m+n=0
Tacé n,(m3n;p),uj(1315-1)
Truong hop 1: m =0 => (a): ny+ pz+n=0
(a) //d <> njuy =0an-p=0
Chon n = 1=> p = 1, khi đĩ mặt phẳng (a) cé phuong trinh: y+z+1=0
——+ =>
nn
Và COS@ = "¬ = v2 ở đĩ ø là gĩc giữa hai mat phang (a) va (Oxy) ; n\n
Noy = (0 1; 1) và n= (0;0 1) lần lượt là vectơ pháp tuyến cua (a) va (Oxy) Trường hợp 2: m z 0 Chọn m = 1, ta được (a) :x+ny+ pz-2+n=0
Trang 32nh+2n+] 2n +2n+2 ot, m 2 2(n? +n +1) lớn nhất lớn nhất > n „ ae 5 ——— lớn nhất n+nt+] Dé thay ————— ~ n+n4+1 3
Dau "=" xay ra khi va chi khin = 1 Khi đĩ ta cĩ cosø = Xã
So sánh kết quả hai trường hợp l và 2, thấy rằng ø nhỏ nhất khi 7 = 1 và khi đĩ, mặt phẳng (ø) cĩ phương trình :
x+y+2z-1=0
13 Mặt phang («) qua A(1 ; 1 ; —1) c6 phuong trinh dang :
m(x = 1) + n(y = 1) + p(z +1) = O(n? +H +p z0)
hay mx +ny+ pz-m-n+p=0
Do (a) L (8) > ny.ng =0> 2m-n+ p=0,
ở đĩ ny (m ;n; p), ng (2 ;—1;1) lần lượt là vectơ pháp tuyến của (2) và (/) Truong hop 1: m=0 => -n+ p=0
Chon n = 1 thi p = 1 Khid6é (a): y+z=0
Đường thẳng OĨy cĩ vectơ chi phuong u = (0;1;0) Gọi ø là gĩc giữa Ĩy và
Trang 33Do0<ø< 5 nên ø lớn nhất © sing lớn nhất 2 + p| Se <S© ———— lớn nhất J5+ 4p+ 2p? 2 Ðp +áp+4 lớn nhất 2p” +4p+5 2 Xéthàm ƒ(p) = -E_*“P *`,, Ta cĩ 2p” +4p+5 = —2 4p? -6p4+4 P f{p)=—“P—ŠP*Š ,Ƒ(p)=0e| 1 (2p° +4p +5} pes
Taco lim f(p) = `;/(-2) = 0, (3) = 2 Do đĩ f(p) lớn nhất khi và chỉ
p—too 2 2 6
khi p =
Khi dé n => va (a): x+2y+—2-3=0
2 2 2
mn
2 ]
So sánh hai trường hợp (l) va (2), do 5 < 6 nén (a) txt 2 + 27 —=3=0
là mặt phẳng cần tìm
14 (œ): x + y—z + l =0 cĩ vectơ pháp tuyến n{ ;1;—1) Đường thẳng
! w+y+z-3=0 d: 2x-ytz-2=0 x=-Ìl+2í cĩ phương trình tham số : +4 y = / z=4- ải
Do đĩ, ¿ đi qua điểm /(—1 ; 0; 4) và cĩ vectơ chỉ phương ¿(2 ;1; ~3)
Trang 35à lim f(b) -2- -3)=0: 43) =>
“ sim 10) = Ge ; 0;/|Ê) 14"
Vay ƒ(b) lớn nhất khi và chi khi b = > 8
Khi d6 f(b) = — va d(A, 4) = đỗ 14 14
So sánh kết quả ở trường hợp 1 và 2, ta thấy đường thẳng qua Á, song song với
x=1
(a) và cách đ một khoảng lớn nhất là A : 4y = —l + s
_ lz=21+s
15 Đường thẳng ¿! cĩ phương trình tham số là :
x=l+í y=-l+2f z=1-t
Giả sử đường thẳng A bất kì đi qua B(3 ; -2 ; 1) và cắt đường thẳng ¿ tại
M(I+r;2r—1;1—r) Khi đĩ, đường thẳng A cĩ vectơ chỉ phương là
BM = (t—2;20+1;—r)
Ta cĩ : BA = (—1;3;~2)
Khoảng cách từ A tới đường thẳng A là :
Trang 36Ta co bang bién thién : 5 7 f£ | — —= — 400 7 6 f(t) + 0 — 0 + 14 2 i 1) s Ns “ 6 6
Vậy khoảng cách từ A tới đường thẳng A lớn nhất bằng X14 khi + = “5 ứng
với M 2, 17,12 và bé nhất bằng 2 Km r= ứng với Mí Giảng)
7 7 6 6 6 3
Phương trình đường thẳng cách A một khoảng lớn nhất là :
x-3 yt2 zZ-ÏÌ x-3 yr? z-l 1903 5-8 {3 7 7 7 5
Phương trình đường thẳng cách A một khoảng bé nhất là :
x-3 y+? 7-Ï x-~3 y+2 z-I1
5 20 7 5 220 7
6 6 6
ar
2x-y-z=0
Xét: my = (1315-1), m = (2;-1;-1)
Đường thang A cĩ vectơ chỉ phương : In 1 - br Ul 1
N,N |=
bee -1 -I EL 2'lb -1
Điểm N(1 ; 1 ; 1) thuộc đường thẳng A nên A cĩ phương trình tham số :
Trang 37Gọi Mf(I+2/;1+;1+ 37) e A Ta cĩ :
AM = (2+ —1;:;3), BM = (21+ 231-151 +431)
Suyra AM? + BM? = (2+ - TỶ + 2 +(38)” + (2+2Ÿ” +(r— Đˆ +(+ 3ƒ
= 28/2 + 8í +7
Xét f(t) = 287” + 8 +7 cĩ đơ thị là parabol quay bề lõm lên trên nên ƒ()
nhỏ nhất khi và chỉ khi ; = 1 M = 2.6.4)
7 7 7 7
Vậy MA? + MB” nhỏ nhất khi M [12]
17 a) Từ các phương trình của đường thẳng A; và As ta cĩ :
e A; đi qua A(0 ; 2 ; -4) và cĩ vectơ chỉ phương là u,(1 ;—1;2)
e Az đi qua 8(-8 ; 6; 10) và cĩ vectơ chỉ phương là z¿(2;1;—1)
Do Hà và Wy khác phương nên A, khong song song véi A, Chung cé phuong trình tham số : x=t x= 842s A,iyy=2-t A,:\y=6+t+s z=-44+2t z=10 s t=-8+ 2s (1) Xéthé: <2-t=6+5s (2) —4 - 2¡ = 10 - s (3)
Ti (1) va (2) suy ra s = > t= = khơng thoả mãn (3) Do đĩ, hệ ba phương trình trên vơ nghiệm Vậy A, va A, chéo nhau
b) Giả sử (S) là mặt cầu tâm 7, bán kính #
Gọi tiếp điểm của (S) với các đường thắng A, và A; theo thứ tự là M, N
Khi đĩ : 2K = IM +IN> MN > HK, (*)
Trang 38trong đĩ HK là đường vuơng gĩc chung của hai đường thăng Ai và A, (H € A,,K € Ay)
Dấu đẳng thức ở (*) xảy ra khi và chỉ khi (S) là mặt cầu đường kính HK Goi H(t;2-1;-4 + 21), K(-8 + 2s;6 + s; 10 — 3)
Taco: HK =(-8+2s—1;4+s541;14—s5-2r)
Vi HK là đường vuơng gĩc chung của A; và A; nên :
HK Lu, |HKu,=0 [-84+2s—-1-4-s-142(14— 5-21) =0 — _, Pj), c HK 1 w HK u, = 0 2(-8 + 2s-t)+44+54+t-144+5421=0 16-s-6t=0 =2 <> c© ~26 +6y+=0 s4 Tir do: H = (2;0;0),K =(0;10;6) va HK = V2? +10? +6? = V140 Đường trịn (S) cần tìm cĩ tâm /(1 ; 5 ; 3), bán kính R= M35 và cĩ phương trình : 2 2 2 (x - 1) + (y -5) + (z - 3) = 35
18 Giả str mat cau (S) c6 tam /, ban kinh R di qua A(I ; 2 ; —l) và tiếp xúc với mặt phang (a) tai B
Khi đĩ : 2R=IA+IB>AB>AH,
trong đĩ H là chân đường vuơng gĩc hạ từ A tới mặt phẳng (2) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (S) là mặt cầu đường kinh AH
Duong thang AH di qua A(1 ; 2 ; —1) và cĩ vectơ chỉ phương là Ny =(1;1;2)
Do đĩ AH cĩ phương trình tham số là :
x=l+t
y=2+í
z=-14+2t
Toa độ của điểm H ứng với gid tri ¢ 14 nghiém cia phương trình
I+r+2+¿/+2(-I+ 2?) — 13 =0 © -6:+12=0 ¡=2 © H =(3;4;3)
Trang 3919
Mặt cầu (S) cần tìm cĩ tâm là trung điểm /{2 ; 3 ; 1) của đoạn AH và cĩ bán
kính là ^“° = V6 2
Phương trình của mặt cầu cần tìm là :
(x-2)+(y-3 +(z- =6
(S): x” + y” + zˆ - 2x + 2z — 4 = 0 là mặt cầu cĩ tâm /(1 ; 0; ~1), bán kính
R = d6
Khoảng cách từ 7 tới mặt phẳng (ø): 2x - 2y+z+8=0 là 2.1-2.0-1+8
Pin 20-149 93 Gok
J2? +(-2Ÿ +
Do dé (a) va (S) khong cĩ điểm chung
Gia sử H là chân duong vuéng géc ha tir / xu6ng
mặt phẳng (a), A 1a giao điểm của đoạn HI voi
(S), Al kéo dài cắt (S) tai B |
Với Mí tuỳ ý trên mặt cầu (S), gọi () là mặt phẳng qua Mí và song song với (ø), (Ø) cắt AB
tại K
Khi đĩ, K ở giữa A và B (vi nếu K thuộc tia AH
thì /K = d(I;(8)) > 1A = R Hình 64
Điều này dẫn đến () ¬ (S) = Ø : vơ lí vì M e (Ø) © (S)
Tương tự K khơng thể thuộc tia đối của tia BA
Ta cĩ: d(M, (œ)) = KH
Từ AH < KH < BH suy ra KH lớn nhất bằng BH khi M = B
Đường thẳng 1H đi qua /(1 ; 0; —1), cĩ vectơ chỉ phương là Hy = (2 :—2? 1) nên :
x=1+2t TH :5y = -2t
z=-l+t
Trang 4020
Toạ độ giao điểm của /H với (S) ứng với giá trị ? là nghiệm của phương trình
(+ 22“ +(-27 +(r- ' -2(1+22)+2(—1)—4=0
29 =6ara4/2
Với NI + 2r;—2t;-1+ t) e IH thì khoảng cách từ N téi mặt phẳng (a) 1a:
ð(I + 2) + 2.2 + (—1 +) + 8| _ pr+9 2? + (-2) +7 3 sof] bof 3 3 3 3 can tim)
Vay diém M can tim là ¬ fba+ 2
3 3“ 3
(S) cĩ tâm /{1;0;—1), bán kính R = 2
Ta thấy : > nên / = J ứng với giao điểm Ư (là điểm
AB = (-1;-3;-4), AC = (1;-1;-4)
Goi (ø) là mặt phẳng chứa ba điểm 4, B, C thì (2) cĩ vectơ pháp tuyến
=| AB, AC] = (8;~8;4)//(2:~2:1)
Phương trình tổng quát của (ø) là :
2(x+1)- 2(y + 2) + l(z +3) =0
> 2x-2y+724+1=0
Khoảng cách từ tâm /(1 ; O0 ; —1) của (S) tới mặt phẳng (ø) là : -1+] _2 2
22+ (-2)° +P 3
nén (S) > (a) # ©