Môđun đối cohen macaulay dãy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYN TH PHNG QUYấN MễUN I COHEN-MACAULAY DY luận văn thạc sỹ toán học Ngh An - 2012 B GIO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ PHƢƠNG QUYÊN MÔĐUN ĐỐI COHEN-MACAULAY DÃY CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI Ố VÀ L THUY T Ố Mã số: 60 46 05 luận văn thạc sỹ toán học Ngi hng dn khoa học: T NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An – 2012 MỤC LỤC Mục lục……………………………………………………… …… Mở đầu…………………… …………………………………………… Chƣơng Kiến thức chuẩn bị………………………………………… 1.1 Phổ, giá, độ cao chiều Krull môđun ………………… 1.2 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun… …………………… 1.3 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic ……………………… 1.4 Hệ tham số mơđun Noether…… …… …………………… 1.5 Dãy quy……………………………………………………… 1.6 Môđun đối đồng điều địa phương…………………………………… 1.7 Môđun Cohen-Macaulay …………………………………………… 1.8 Biểu diễn thứ cấp……………………………….…………………… 1.9 Chiều Noether, hệ tham số số bội môđun Artin……………… 11 1.10 Đồng điều địa phương……………………………………………… 12 1.11 Dãy đối quy mơđun đối Cohen-Macaulay ……………… 13 1.12 Lọc chiều cho môđun Artin 15 Chƣơng Môđun đối Cohen-Macaulay dãy……………………… 17 2.1 Môđun Cohen-Macaulay dãy……………………………………… 17 2.2 Mơđun đối Cohen-Macaulay dãy……………………… 19 2.3 Một số tính chất đặc trưng môđun đối Cohen-Macaulay dãy 23 Kết luận………………………………………………………………… 32 Tài liệu tham khảo………………………………….………………… 33 MỞ ĐẦU Trong phạm trù mơđun Noether, lớp mơđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trung tâm cấu trúc chúng biết đến cách trọn vẹn thông qua nhiều lí thuyết quan trọng Đại số giao hốn như: Phân tích nguyên sơ, đối đồng điều địa phương,… Đã có nhiều hướng mở rộng lớp mơđun CohenMacaulay ta lớp môđun mới, chứa thực mà cịn có nhiều tính chất tương tự lớp mơđun Cohen-Macaulay lớp mơđun Buchsbaum, lớp mơđun Cohen-Macaulay suy rộng Những lớp mơđun định nghĩa thông qua hàm I  x;M l ( M / xM )e( x;M ) , e( x;M ) số bội M ứng với hệ số tham số x , l ( M / xM ) độ dài môđun M / xM Chú ý I ( x;M ) số nguyên không âm M môđun Cohen-Macaulay tồn hệ tham số x   x1, , xd  M cho I ( x;M ) = ta c ng có I ( y;M ) với hệ tham số y M) M môđun Buchsbaum I ( x;M ) số với hệ tham số x M M môđun Cohen-Macaulay suy rộng I ( x;M ) với hệ tham số x M Một hướng mở rộng khác lớp môđun Cohen-Macaulay lớp môđun CohenMacaulay dãy nghiên cứu P Schenzel [12], Nguyễn Tự Cường Lê Thanh Nhàn [6] Trong phạm trù mơđun Artin, lớp mơđun đóng vai trị quan trọng lớp mơđun Cohen-Macaulay nhiều nhà tốn học nghiên cứu lớp môđun đối Cohen-Macaulay Cấu trúc lớp môđun biết đến thông qua dãy đối qui, bội, đồng điều địa phương, Trong [9], Nguyễn Thị Dung mở rộng khái niệm môđun đối CohenMacaulay thành khái niệm môđun đối Cohen-Macaulay dãy Lớp môđun mở rộng sau: R-môđun Artin A gọi đối Cohen-Macaulay dãy A có lọc môđun  B0  B1   Bt 1  Bt  A cho Bi/Bi-1 môđun đối Cohen-Macaulay, với i 1,…,t N-dim A/Bt-1 < N-dim A/Bt-2 < … < N-dim A/B0 = d Lớp môđun chứa thực lớp môđun đối Cohen-Macaulay, không trùng với lớp môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng c ng có nhiều tính chất tương tự lớp mơđun Cohen-Macaulay dãy Mục đích Luận văn trình bày lại kết báo [9] Nguyễn Thị Dung Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, Luận văn chia làm hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm Đại số giao hốn nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung Luận văn chương Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số kết có dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương 2: Môđun đối Cohen-Macaulay dãy Trong chương chúng tơi chia làm ba phần: Mục 2.1 trình bày khái niệm số tính chất mô đun Cohen-Macaulay dãy dựa theo [6] [12] nhằm mục đích so sánh với khái niệm mơđun đối Cohen-Macaulay dãy trình bày phần Các Mục 2.2 2.3 trình bày kết báo [9] Nguyễn Thị Dung Luận văn hoàn thành vào tháng 08 năm 2012 Trường Đại học Đồng Tháp hướng dẫn TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cơ, người hướng dẫn tận tình trình học tập nghiên cứu Tôi xin cám ơn quý thầy giáo, cô giáo Khoa Tốn, phịng Sau đại học Trường Đại học Vinh, đồng nghiệp, gia đình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập Nghệ An, tháng 09 năm 2012 Tác giả Chƣơng KI N TH C CHUẨN BỊ Trong tồn Luận văn ln kí hiệu R, m) vành địa phương Noether, M R-môđun A R-môđun Artin Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm Đại số giao hốn nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung Luận văn Chương Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số kết có dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau 1.1 Phổ, giá, độ cao chiều Krull môđun 1.1.1 Phổ vành Ký hiệu Spec R tập tất iđêan nguyên tố vành R Khi Spec R gọi phổ vành R Với iđêan I R ta ký hiệu V ( I )pSpecR pI  1.1.2 Độ cao iđêan Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành R : p0  p1   pn gọi xích ngun tố có độ dài n Cho p Spec R , cận tất độ dài xích nguyên tố với p0  p gọi độ cao p , ký hiệu ht  p ; nghĩa là: ht  p sup {độ dài xích nguyên tố với p0  p } Cho I iđêan R Khi độ cao iđêan I định nghĩa: ht  I   inf ht  p p Spec R, p  I  1.1.3 Chiều Krull môđun Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R , ký hiệu dim R Cho M R  mơđun Khi dim  R / Ann R M  gọi chiều Krull môđun M, ký hiệu dim M Chú ý dim M  dim M , M bao đầy đủ m-adic M   1.1.4 Giá môđun Tập Supp M  p SpecR M  Spec R p gọi giá môđun M Với x  M ta ký hiệu AnnR x  a  R ax  0 ; AnnR M  a  R aM  0  a  R ax  0, x  M  Ta có AnnR x AnnR M Annx AnnM không tập trung ý đến vành R) iđêan M Ann M gọi linh hố tử mơđun M Hơn M R-mơđun hữu hạn sinh Supp M = V(AnnM) 1.2 Tập iđêan nguyên tố liên kết môđun Cho M R  môđun ta gọi iđêan nguyên tố p R iđêan nguyên tố liên kết M hai điều kiện tương đương sau thoả mãn: (i) Tồn phần tử x  M cho Ann  x  = p ; (ii) M chứa môđun đẳng cấu với R / p Tập iđêan nguyên tố liên kết M ký hiệu Ass R M Ass M ta không tập trung ý đến vành R Như AssM  p SpecR p= Annx x  M  Chú ý M R  môđun Noether Ass M tập hợp hữu hạn 1.3 Vành địa phƣơng đầy đủ theo tôpô m- adic Cho  R, m vành địa phương Ta xét R vành tôpô với sở lân cận phần tử iđêan mt , với t = 0,1,2 Chú ý sở lân cận phần tử tuỳ ý r  R gồm lớp ghép r  m với t = 0, 1,2 Khi t vành đầy đủ theo tơpơ m  adic R ký hiệu R định nghĩa cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy sau: Một dãy Cauchy R dãy  rn  phần tử R cho với t > 0, tồn số tự nhiên n0 để rn  rm  mt với n, m  n0 Dãy  rn  gọi hội tụ dãy không với t > tồn số tự nhiên n0 để rn   rn  m với n  n0 t Hai dãy Cauchy  rn   sn  gọi hai dãy tương đương, ký hiệu  rn   sn  dãy  rn  sn  hội tụ dãy khơng Khi quan hệ  tập dãy Cauchy quan hệ tương đương Ta ký hiệu R tập lớp tương đương dãy Cauchy Chú ý  rn   sn  dãy Cauchy dãy  rn  sn  ,  rn sn  c ng dãy Cauchy lớp tương đương dãy  rn  sn  ,  rn sn  không phụ thuộc vào việc chọn đại diện lớp tương đương  rn  dãy  rn  sn  r , n  sn  ,  sn,   rn sn  tức  rn  r  , n  sn  s  , n  r s  Khi R với hai phép toán hai , , n n “+” “.” lập thành vành Mỗi phần tử r  R đồng với lớp tương đương dãy Cauchy mà tất phần tử dãy r Vì ta có đơn cấu tự nhiên vành R  R r  r ,  r  dãy mà tất phần tử r Định nghĩa tương tự cho môđun M với sở lân cận phần tử mt M  Khi M R -môđun với phép nhân vô hướng sau: cho a   a1 , a2 ,   R , x   x1, x2 ,   M Ta có ax   a1x1, a2 x2 ,   M 1.4 Hệ tham số môđun Noether 1.4.1 Định nghĩa Cho R vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m; M R  môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dimM = d >0 Một hệ gồm d phần tử x :  x1 , , xd  m gọi hệ tham số M l  M /  x1 , , xd  M    1.4.2 Mệnh đề (i) Mọi hoán vị hệ tham số môđun M hệ tham số M (ii) Nếu x :  x1 , , xd  hệ tham số môđun M n :  n1 , , nd   gồm d số nguyên dương x  n  : x1 , , xd n nd  hệ tham số môđun M 1.5 Dãy quy 1.5.1 Định nghĩa Dãy phần tử x1 , , xr  m gọi dãy quy hay cịn gọi M  dãy điều kiện sau thoã mãn: (i) M /  x1 , , xr  M  ; (ii)  x1 , , xi1  M :M xi   x1 , , xi 1  M , i  1, , r 19 2.2 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy Trong tiết này, chúng tơi trình bày lớp môđun đối Cohen-Macaulay dãy Lớp môđun chứa thực lớp môđun đối Cohen-Macaulay nhắc đến Chương 1, tiết 11 Ký hiệu A R-môđun Artin Các kết cho thấy A R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy A R -môđun đối CohenMacaulay dãy Trong môđun Cohen-Macaulay dãy lại khơng có tính chất tương tự (xem [12]) 2.2.1 Định nghĩa i) Một lọc :  B0  B1   Bt 1  Bt  A môđun A gọi lọc đối Cohen-Macaulay Bi / Bi 1 môđun đối Cohen-Macaulay, với i  1, , t N-dimA / Bt 1  N-dimA / Bt 2   N-dimA / B0  d (ii) A gọi mơđun đối Cohen-Macaulay dãy Acó lọc đối CohenMacaulay Sau số ví dụ lọc đối Cohen-Macaulay mơđun đối CohenMacaulay dãy 2.2.2 Ví dụ i) Mọi môđun đối Cohen-Macaulay môđun đối CohenMacaulay dãy với lọc đối Cohen-Macaulay  A0  A1  A ( R) (ii) Cho A R / m H1m ( R ) H m môđun Artin xây dựng Ví dụ 1.12.6 Theo Ví dụ 1.12.6, ta có ( R ) H ( R )  H ( R )  A  A 0 A0  H m m m lọc chiều A Mặt khác, hiển nhiên R / m môđun đối Cohen-Macaulay, ta có H m1 ( R), H m2 ( R) mơđun đối Cohen-Macaulay Vì vậy, lọc lọc đối Cohen-Macaulay A 20 Từ Định nghĩa 2.2.1, ta suy hệ sau cho thấy tính đối CohenMacaulay dãy bảo toàn chuyển qua đầy đủ m-adic, mà tính chất tương tự lại không cho môđun Cohen-Macaulay dãy 2.2.3 Hệ A R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy A R môđun đối Cohen-Macaulay dãy Tiếp theo, thấy lọc đối Cohen-Macaulay tồn lọc chiều A Trước hết, ta cần chứng minh bổ đề sau 2.2.4 Bổ đề Giả sử A môđun đối Cohen-Macaulay Q môđun thương khác A Khi N  dim Q  d Chứng minh Vì A R-mơđun đối Cohen-Macaulay, nên A R -mơđun đối Cohen-Macaulay Do đó, ta có dim R / p  Width R A  d  với với p  Att R A Chú ý   Att RQ  Att R A Vì N-dim Q  max{dim R / p: p Att RQ}  d Bổ đề sau suy từ Định nghĩa 2.2.1 2.2.5 Bổ đề Nếu A môđun đối Cohen-Macaulay dãy với lọc đối CohenMacaulay 0 B0  B1  Bt 1 Bt  A A / Bi môđun đối Cohen-Macaulay dãy với lọc đối Cohen-Macaulay 0 Bi / Bi  Bi 1 / Bi  Bt 1 / Bi Bt / Bi  A/ Bi , với i  1, , t 2.2.6 Mệnh đề Giả sử A có lọc đối Cohen-Macaulay  Khi là lọc chiều A 21 Chứng minh Cho A :  A0  A1   At 1  At  A lọc chiều :  B0  B1   Bh1  Bh  A lọc đối Cohen-Macaulay A Ta chứng minh quy nạp theo i t = h Ai  Bi , với i  1, , t Cho i  Vì N-dim A / B1  d nên từ chất nhỏ A1 ta có A1  B1 Nếu B1  A1 B1 / A1  Do B1 đối Cohen-Macaulay N-dim B1  d , nên N-dim B1 / A1  d theo Bổ đề 2.2.4 Vì vậy, d  N-dim A / A1  N-dim B1 / A1  d , điều vơ lý Vì B1  A1 Cho i > giả sử Bi1  Ai1 Khi đó, theo Bổ đề 2.2.5 ta có A / Bi 1 môđun đối Cohen-Macaulay dãy với lọc đối Cohen-Macaulay  Bi- / Bi-  Bi / Bi-   Bh1 / Bi-  Bh / Bi-  A / Bi- Vì Bi 1  Ai 1 , nên ta kiểm tra lọc chiều A / Bi 1  Ai- / Bi-  Ai / Bi-   At 1 / Bi-  At / Bi-  A / Bi- Bằng lý luận tương tự trường hợp i  1, ta có Bi / Bi-  Ai / Bi- 1, Bi  Ai Cuối ta có t = h Ai  Bi , với i  1, , t P Schenzel [12, Định nghĩa 4.4] mở rộng khái niệm vành xấp xỉ Cohen-Macaulay cho R-môđun hữu hạn sinh sau: Cho M Rmôđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d M gọi môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay M / U M (0) môđun Cohen-Macaulay depth(M )  d  1, U M (0) mơđun lớn M cho dimU M (0)  d 22 Phần lại tiết này, chúng tơi trình bày khái niệm mơđun xấp xỉ đối Cohen-Macaulay cho môđun Artin Chúng ta thấy môđun xấp xỉ đối Cohen-Macaulay môđun đối Cohen-Macaulay dãy Đặt U A (0) môđun nhỏ A cho N-dimA / U A (0)  d Khi đó, theo Ký hiệu 1.12.3 Định lý 1.12.4, ta có U A (0)  A1   nt j 1 Adt , j , tổng tất thành phần thứ cấp có chiều Noether cao A 2.2.7 Định nghĩa A gọi môđun xấp xỉ đối Cohen-Macaulay U A (0) môđun đối Cohen-Macaulay Width A  d 1 Bây giờ, xét mối liên hệ môđun xấp xỉ đối Cohen-Macaulay môđun đối Cohen-Macaulay dãy 2.2.8 Mệnh đề A môđun xấp xỉ đối Cohen-Macaulay A môđun đối Cohen-Macaulay dãy Width R A  d  Chứng minh Theo giả thiết, ta có Width R A  Width R A  d  với biểu diễn thứ cấp A Ký hiệu 1.12.3, theo Bổ đề 1.9.3, (iii), ta có N-dim Adk , j  dim R / pdk , j  Width R A  d  1, với k = 1,…, t với j = 1, …, nk Vì thế, theo Định lý 1.12.4, A  U A (0) lọc chiều A phải có dạng  A0  A1  A2  A, A  U A (0) lọc chiều A phải có dạng  A0  A1  A Nếu lọc chiều A có dạng thứ hai, ta có kết Giả sử lọc chiều A có dạng thứ Vì A mơđun xấp xỉ đối Cohen-Macaulay, nên A khơng mơđun đối Cohen-Macaulay Width R (A)  d  Vì U A (0)  A1 môđun đối Cohen-Macaulay, nên Width R (A)  N-dim A1  d Do từ dãy khớp  A1  A  A / A1  0, 23 ta có Width R (A / A1 )  Width R (A)  d  Lại N-dim A/A1  d Width R (A / A1 )  d  1, nên suy A / A1 mơđun đối Cohen-Macaulay Vì vậy, A môđun đối Cohen-Macaulay dãy Ngược lại, giả sử A môđun đối Cohen-Macaulay dãy Width R A  d  Khi A1  U A (0) môđun đối Cohen-Macaulay Do A môđun xấp xỉ đối Cohen-Macaulay 2.3 Một số tính chất đặc trƣng mơđun đối Cohen-Macaulay dãy Kí hiệu E = E( R / m ) bao nội xạ trường thặng dư R / m R Xét hàm tử D     Hom R (, E ( R / m)) từ phạm trù R-môđun đến Vì E( R / m ) môđun nội xạ nên D    hàm tử khớp Hàm tử D    gọi hàm tử đối ngẫu Matlis Ta biết rằng, vành địa phương đầy đủ, đối ngẫu Matlis cho ta tương đương phạm trù môđun Noether mơđun Artin Chẳng hạn, ta ln có Att R A  Ass R D( A), N-dim A  dim R D( A) Width R A  depth R D( A) Do đó, A mơđun đối Cohen-Macaulay D( A) R -môđun Cohen-Macaulay (xem [8]) Bổ đề sau đây, xem kết mấu chốt để thu đặc trưng môđun đối Cohen-Macaulay dãy 2.3.1 Bổ đề A R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy đối ngẫu Matlis D(A) A R -môđun Cohen-Macaulay dãy Chứng minh Cho  A0  A1   At  A lọc chiều A Trước hết, ta khẳng định  D( A / At )  D( A / At 1 )   D( A / A1 )  D( A / A0 )  D( A) lọc chiều D(A) Thật vậy, cho i 1, , t Khi đó, từ dãy khớp 24  Ai / Ai1  A / Ai1  A / Ai  kéo theo dãy khớp  D( A / Ai )  D( A / Ai1 )  D( Ai / Ai1)  Vì vậy, D( A / Ai ) mơđun D( A / Ai 1 ) D( A / Ai1 ) / D( A / Ai )  D( Ai / Ai1) Dễ thấy N-dim Ai / Ai 1 = N-dim A / Ai 1 với i  t Do đó, dim R D( Ai / Ai 1 )= N-dim Ai / Ai 1 < N-dim Ai 1 / Ai 2  dim R D( Ai 1 / Ai 2 ) Vì dimR ( D( A / Ai1 )/D( A / Ai )) < dimR ( D( A / Ai2 )/D( A / Ai1 )) Do đó, khẳng định chứng minh ta D( A / Ai ) môđun lớn D( A / Ai 1 ) có chiều nhỏ dim D( A / Ai 1 ) Bằng quy nạp, ta cần chứng minh cho trường hợp i = Thật vậy, giả sử tồn môđun L D(A) cho D( A / A1 ) thực chứa L dim L < dim D(A) = d Khi   Ass R ( L / D( A / A1 ))  Ass R ( D( A) / D( A / A1)) Lấy p Ass R ( L / D( A / A1 )) Vì dim L < d, nên ta có dim R / p < d Chú ý p Ass R ( D( A) / D( A / A1 )) = Ass R D( A1)  Att R A1 Vì thế, theo Định lý 1.12.4 ta có dim R / p = d Điều dẫn đến vô lý Bây giờ, ta tiếp tục chứng minh bổ đề Cho i  t Khi Ai / Ai 1 môđun đối Cohen-Macaulay D( Ai / Ai1 ) R -môđun CohenMacaulay, D( A / Ai1 ) / D( A / Ai ) R -môđun Cohen-Macaulay 25 Do đó, theo Mệnh đề 2.2.6 khẳng định trên, ta có điều phải chứng minh Từ Bổ đề 2.3.1, ta có hệ sau 2.3.2 Hệ Cho M R-môđun hữu hạn sinh Giả sử R vành có phức đối ngẫu Khi M môđun Cohen-Macaulay dãy đối ngẫu Matlis D(M) M môđun đối Cohen-Macaulay dãy Chứng minh Ta có D( D( M ))  M , M mơđun đầy đủ theo tơpơ madic M Vì thế, theo Bổ đề 2.3.1, D(M) môđun đối Cohen-Macaulay dãy M mơđun Cohen-Macaulay dãy Vì R vành có phức đối ngẫu nên theo [6, Định lý 5.1] ta có M môđun Cohen-Macaulay dãy M môđun Cohen-Macaulay dãy Trường hợp đặc biệt, M = R R  D( E ) theo [3, 10.2.11] Vì ta có E mơđun đối Cohen-Macaulay dãy R môđun CohenMacaulay dãy Định lý sau kết chương này, cho ta đặc trưng môđun đối Cohen-Macaulay dãy đồng điều địa phương, tương tự Định lý 2.1.4 đặc trưng môđun Cohen-Macaulay dãy qua đối đồng điều địa phương Tuy nhiên, giả thiết định lý khơng u cầu vành có phức đối ngẫu Định lý 2.1.4 2.3.3 Định lý Các mệnh đề sau tương đương : (i) A môđun đối Cohen-Macaulay dãy (ii) Với j=0,1, ,d, môđun H mj ( A) R -môđun CohenMacaulay chiều j (iii) Với j=0,1, ,d-1, môđun H mj ( A) R -môđun CohenMacaulay chiều j 26 Chứng minh (i) => (ii): Vì A R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy, nên theo Bổ đề 2.3.1 ta có D(A) R -mơđun Cohen-Macaulay dãy với dim R D( A)  d Vì vậy, theo Định lý 2.1.4 ta có D( H mj ( D( A))) R -môđun Cohen-Macaulay chiều j, với j = 0,1, ,d Vì H mj ( A)  D( H mj ( D( A))) theo Mệnh đề 1.10.2, ii), ta có H mj ( A) R -môđun chiều j, với j = 0,1, ,d (ii) => (iii) : Hiển nhiên (iii) => (i) : Cho „ jj „ dd -1dlà số nguyên Vì H mj ( A) R -môđun Cohen-Macaulay chiều j, theo Mệnh đề 1.10.2, ii), ta có D( H mj ( D( A))) c ng là R -mơđun Cohen-Macaulay chiều j Vì D(A) R -mơđun Cohen-Macaulay dãy theo Định lý 2.1.4 Vì A môđun đối Cohen-Macaulay dãy theo Bổ đề 2.3.1 Hệ sau suy từ [6, Mệnh đề 4.5] Bổ đề 2.3.1 2.3.4 Hệ Tổng trực tiếp hữu hạn môđun đối Cohen-Macaulay dãy môđun đối Cohen-Macaulay dãy Tiếp theo, định lý sau cho ta điều kiện phần tử tham số xm để A môđun đối Cohen-Macaulay dãy :A x c ng môđun đối CohenMacaulay dãy 2.3.5 Định lý Cho xm Giả sử x p với p Att A \ { m} Khi A mơđun đối Cohen-Macaulay dãy hai điều kiện sau thỏa mãn: (a) x  p với p i 1, ,d Ass R H im ( A) (b) :A x môđun đối Cohen-Macaulay dãy 27 ( A / xA)   Vì thế, Chứng minh Vì x p với p Att A \ { m} , ta có N  dim A / xA  nên theo Định lý 1.10.4, ta có H im ( A / xA)  0, với i > Từ dãy khớp  xA  A  A / xA  0, ta có đẳng cấu R -mơđun H im ( xA)  H im ( A) với i  Do đó, dãy khớp x  :A x  A   xA  kéo theo dãy khớp sau  Him1 ( A) / xHim1  H 0m ( A)(0 :A x)  H 0m ( A), (1)  Him1 ( A) / xHim1 ( A)  Him (0 :A x)   Him ( A) x  0, (2) với j = 0,1, , d-1 Bây ta chứng minh Định lý Giả sử A môđun đối CohenMacaulay dãy Theo Định lý 2.3.3, H im ( A) R -môđun Cohen-Macaulay dãy chiều i với i = 1, ,d Giả sử x  p với p Ass R H km ( A) với k  Vì H km ( A) Cohen-Macaulay chiều k , nên suy x phần tử tham số H km ( A) , dim R H km ( A) / xH km ( A)  k Do đó, từ dãy khớp 1) 2), ta có k  dimR ( H km ( A) / xH km ( A)) „ dim R ( H km1(0 :A x)) Hơn nữa, H km1 (0 :A x)  D( H mk 1 ( D(0 :A x))) theo Mệnh đề 1.10.2, (ii) Chú ý theo Bổ đề 1.9.3, iii) iv), ta có dimR ( D( H mk 1 ( D(0 :A x))))  N-dim( H mk 1 ( D(0 :A x))) „ k-1 Vì thế, dim R ( H km1 (0 :A x)) „ k-1 Điều dẫn đến vơ lý a) chứng minh 28 Tiếp theo, ta chứng minh b) Cho i  Theo a) ta có :H m ( A) x  Vì i thế, từ dãy khớp 1) 2), Him1 ( A) / xHim1 ( A)  H im (0 :A x) Do đó, H im1 ( A)  0, H im (0 :A x) mơđun Cohen-Macaulay chiều i Vì :A x môđun đối Cohen-Macaulay dãy theo Định lý 2.3.3 b) chứng minh Ngược lại, giả sử hai điều kiện a), b) thỏa mãn Từ giả thiết a) ta có :H m ( A) x  với i  Do đó, từ dãy khớp 2), ta có i Him1 ( A) / xHim1 ( A)  Him (0 :A x) với i  Vì :A x mơđun đối CohenMacaulay dãy x phần tử quy tất môđun H im1 ( A) cho H im1 ( A) khác 0, nên theo Định lý 2.3.3 ta có H im ( A) R môđun Cohen-Macaulay chiều i với i  Hơn nữa, theo dãy khớp 1), ( H1m ( A) / xH1m ( A))   Vì x  p với p Ass R H1m ( A), ta có H1m ( A) R -mơđun Cohen-Macaulay chiều Vì vậy, A môđun đối Cohen-Macaulay dãy theo Định lý 2.3.3 Ký hiệu S  R[[ X1, , X n ]] vành chuỗi l y thừa hình thức n biến vành R Cho A R-môđun Artin K  A[ X11, , X n1 ] môđun đa thức ngược lấy hệ số A Khi K có cấu trúc tự nhiên S-mơđun Artin Hơn nữa, ta kiểm tra N-dimS K = N-dimR A  n Mặt khác, ta có a1 , , ar dãy đối quy cực đại A m a1, , ar , X1, , X n dãy đối quy cực đại K iđêan cực đại (m, X1, , X n ) S Vì Width K  Width A  n A Rmôđun đối Cohen-Macaulay K S-môđun đối Cohen-Macaulay Với ký hiệu ta có kết sau 2.3.6 Định lý A R-mơđun đối Cohen-Macaulay dãy K Smôđun đối Cohen-Macaulay dãy 29 Chứng minh Bằng quy nạp theo n, ta cần chứng minh Định lý cho trường hợp n = Cho S  R[[ X ]] K  A[ X 1 ] Giả sử K mơđun đối CohenMacaulay dãy Vì X phần tử đối quy K :K X  A, theo Định lý 2.3.5, ta có A môđun đối Cohen-Macaulay dãy Ngược lại, giả sử A môđun đối Cohen-Macaulay dãy với lọc đối CohenMacaulay  A0  A1   At 1  At  A Đặt Ki  Ai [ X 1 ] với i = 0,1, ,t Ta kiểm tra Ki / Ki1  ( Ai / Ai1 )[ X 1 ]; K / Ki  ( A / Ai )[ X 1 ] Vì N-dim K / Ki < N-dim K / Ki 1, với i „ t Vì Ai / Ai 1 môđun đối Cohen-Macaulay, nên Ki / Ki 1 c ng mơđun đối Cohen-Macaulay Do đó,  K0  K1   Kt 1  Kt  K lọc đối Cohen-Macaulay K, hay K môđun đối Cohen-Macaulay dãy Từ Định lý 2.3.5, ta thu kết sau cho môđun Cohen-Macaulay dãy 2.3.7 Hệ Cho M R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Giả sử vành R có phức đối ngẫu Cho xm phần tử cho x p, với p Ass M \ {m} Khi M môđun Cohen-Macaulay dãy hai điều kiện sau thỏa mãn: (a) x p với p Att R H mi (M ) i 1, ,d (b) M/ xM môđun Cohen-Macaulay dãy Chứng minh Vì R vành có phức đối ngẫu nên dùng đối ngẫu Matlis, ta ln có điều kiện a) b) Hệ 2.3.7 tương đương với điều kiện a) b) Định lý 2.3.5 Do đó, áp dụng Bổ đề 2.3.1 Định lý 2.3.5, ta có M mơđun Cohen-Macaulay dãy đối ngẫu Matlis D(M) M 30 môđun đối Cohen-Macaulay dãy, hai điều kiện a), b) thỏa mãn Do ta có điều cần chứng minh 2.3.8 Chú ý i) Ta biết x phần tử quy M M mơđun Cohen-Macaulay M/ xM c ng môđun Cohen-Macaulay P Schenzel [12] chứng minh kết tương tự cho môđun CohenMacaulay dãy sau: Cho x phần tử M-chính quy M môđun CohenMacaulay dãy M/ xM mơđun Cohen-Macaulay dãy Tuy nhiên, ví dụ sau cho thấy điều kiện đủ định lý P Schenzel không đúng: Cho R  k[[ x, y]] vành chuỗi l y thừa hình thức hai biến trường k Cho M  ( x, y) R Khi x phần tử quy M M/ xM mơđun Cohen-Macaulay dãy Vì vậy, Hệ 2.3.7 sửa lại cho định lý P Schenzel ii) Hệ 2.3.7 khơng cịn vành R khơng có phức đối ngẫu Chẳng hạn, cho ( R, m) miền nguyên địa phương chiều Ví dụ 1.12.6 Cho  x m Khi R / xR Cohen-Macaulay dãy Theo Ví dụ 1.12.6, Att R H m1 ( R)  {0}  Att R H m2 ( R) Do đó, R thỏa mãn điều kiện a), b) Hệ 2.3.7 Tuy nhiên, R không Cohen-Macaulay dãy Kết sau suy từ Định lý 2.3.6 2.3.9 Hệ Cho S  R[[ X1, , X n ]] vành chuỗi lũy thừa hình thức n biến R Khi R mơđun Cohen-Macaulay dãy S môđun Cohen-Macaulay dãy Chứng minh Bằng lý luận tương tự chứng minh Định lý 2.3.6 áp dụng Hệ 2.3.2, ta có điều phải chứng minh 31 K T LUẬN 32 Dựa vào tài liệu báo [9] Nguyễn Thị Dung tài liệu tham khảo liên quan, Luận văn trình bày môđun đối Cohen-Macaulay dãy Cụ thể trình bày vấn đề sau Một số kiến thức liên quan đến kết mơđun đối Cohen-Macaulay dãy Chương 1; Chương 2, Mục 2.1) Định nghĩa môđun đối Cohen-Macaulay dãy Mục 2.2) Một số tính chất đặc trưng môđun đối Cohen-Macaulay dãy Mục 2.3) TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 33 [1] Nguyễn Tự Cường 2003), Giáo trình Đại số đại, NXB ĐH Quốc gia [2] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, NXB Đại học sư phạm Tiếng Anh [3] M P Brodman and R Y Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge university press [4] N.T Cuong, N.T Dung and L.T Nhan (2007), On generalized co CohenMacaulay and co-Buchsbaum modules, Algebra Colloquium, 14, no 2, 265-278 [5] N T Cuong and T T Nam (2001), The I-adic completion and homology for Artinian modules, Math Proc Camb Phil Soc 131 (1), 61-72 [6] N T Cuong and L T Nhan (2003), On pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generalized Cohen-Macaulay modules, J Algebra 267 (1), 156-177 [7] N T Cuong and L T Nhan (2002), On Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J Math 30 (1), 121-130 [8] I H Denizler and R Y Sharp (1996), Co-Cohen-Macaulay modules over commutative rings, Glasgow Math J 38, 359-366 [9] N T Dung (2007), On sequentially co Cohen-Macaulay module, Algebra Colloquium, 14: 3, 455- 468 [10] I G Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica 11, 23-43 [11] H Matsumura (1970), Commutative algebra, Benjamin [12] P Schenzel (1999), On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered modules, Lecture notes in Pure and Apll Math., 206, Dekker, New York; Commutative Algebra and Algebraic Geometry (Ferrera), 245-264 ... Acó lọc đối CohenMacaulay Sau số ví dụ lọc đối Cohen- Macaulay mơđun đối CohenMacaulay dãy 2.2.2 Ví dụ i) Mọi môđun đối Cohen- Macaulay môđun đối CohenMacaulay dãy với lọc đối Cohen- Macaulay  A0... hạn môđun đối Cohen- Macaulay dãy môđun đối Cohen- Macaulay dãy Tiếp theo, định lý sau cho ta điều kiện phần tử tham số xm để A môđun đối Cohen- Macaulay dãy :A x c ng môđun đối CohenMacaulay dãy. .. mơđun đối Cohen- Macaulay Vì vậy, A mơđun đối Cohen- Macaulay dãy Ngược lại, giả sử A môđun đối Cohen- Macaulay dãy Width R A  d  Khi A1  U A (0) mơđun đối Cohen- Macaulay Do A môđun xấp xỉ đối Cohen- Macaulay