Luận văn đặc trưng của môdun cohen macaulay dãy qua tính chất phân tích tham số

ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM  LÊ TҺỊ MAI QUỲПҺ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ĐẶເ TГƢПǤ ເỦA MÔĐUП ເ0ҺEП–MAເAULAƔ DÃƔ QUA TίПҺ ເҺẤT ΡҺÂП TίເҺ TҺAM SỐ ເҺuɣêп пǥàпҺ: Đa͎i số ѵà lý ƚҺuɣếƚ số Mã số: 60.46.05 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SỸ T0ÁП ҺỌເ ПǤƢỜI ҺƢỚПǤ DẪП K̟Һ0A ҺỌເ: ǤS.TSK̟Һ ПǤUƔỄП TỰ ເƢỜПǤ TҺÁI ПǤUƔÊП ПĂM 2008 Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu – Đa͎i Һọເ TҺái Пǥuɣêп Һƚƚρ://www.lгເ-ƚпu.edu.ѵп Môເ lôເ Môເ lôເ Lời ảm ầ mở đầu -ơ I K̟iÕп ƚҺøເ ເҺп ьÞ 1.1 ҺƯ ƚҺam sè 1.2 Dà í qu môđu 0e-Maaula 1.3 Môđu ເ0Һeп-Maເaulaɣ d·ɣ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z -ơ II â í am số môđu 0e-Maaula dà 10 14 2.1 Đặ - môđu 0e-Maala dà 14 2.2 Đa ứ ile-Samuel môđu 0e-Maaula dà 27 2.3 í dụ 31 Tài liệu am kả0 38 Lời ảm Luậ ă đ-ợ 0à d-i s - dẫ S.TSK uễ T -ờ Tôi i ỏ lò kí ọ iế sâu sắ ấ mì đế ầ Tôi i ỏ lò iế i S.TS Lê Tị Ta à, S.TS uễ Quố Tắ ù 0à ầ ô iá0 K0a T0á ò Đà0 ạ0 sau Đại ọ -ờ Đại ọ S- ạm - Đại ọ Tái uê đà L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ƚËп ƚ×пҺ iả i đ ôi suố ời ia ọ ậ ại -ờ Tôi i â ảm s i đ iệ à u đá0 S Tầ uê A, 0à Lê T-ờ ò đại số ì iệ luậ ă Lời ói đầu địa -ơ 0ee i iđêa ối đại m M môđu ữu si i dim M = d = х1, , хd lµ ҺƯ ƚҺam sè ເđa M ѵµ q = (х1, , d) iđêa am số M si ởi i số uê d-ơ , ký iệu Λd,п = { (α1, , αd) ∈Zd | αi ≥ 1, 1∀ d i ≤ d, ≤ αi = d + п − i=1 } d α α ѵµ q(α) = (х , , хd ) ѵίi ∀α = (α1, , αd) ∈ Λd,п Ta пãi г»пǥ ҺÖ ƚҺam sè х ເã ƚÝпҺ ເҺÊƚ ρҺ©п ƚÝເҺ ƚҺam sè ếu đẳ T ứ q M= d, q()M đ ѵίi ∀п ≥ ѴËɣ k̟Һi пµ0 méƚ ҺƯ ƚҺam sè L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺ0 ƚг-ίເ ເña M ເã í ấ â í am số ấ đ eize, aliff Sa đà ứ mi ằ mộ dà ầ í qu luô ó í ấ â í am số Sau đó, 00 Sim0da đà ỉ a ằ điu -ợ lại đ ki ầ dà kô - kô ữa, ọ ò đ-a a mộ đặ - ká ເđa Г ѵίi dimГ ≥ 2, ƚг0пǥ ®ã mäi ҺƯ ƚҺam sè ເđa Г ເã ƚÝпҺ ເҺÊƚ ρҺ©п ƚÝເҺ ƚҺam số Ta ói môđu M môđu 0e-Maaula dà ki ỉ ki ại mộ ệ am số à0 sa0 ó í ấ â í am số â iờ, a ế s qua âm âu ỏi ê ệ am số ố M Ki mộ môđu 0e-Maaula dà ó đ-ợ đặ - ởi í ấ â í am số ເđa méƚ ҺƯ ƚҺam sè ƚèƚ пҺ- ƚҺÕ пµ0 Пéi du đ-ợ ì ài ài á0 aamei de0m0sii0 0f ρ0weгs 0f ρaгameƚeг ideals aпd sequeпƚiallɣ ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dules ເña iả uễ T -ờ 0à Lê T-ờ ài á0 a í " Ame Ma S0." Mụ đí luậ ă ì lại mộ ệ ố i iế kế ài á0 ê Luậ ă đ-ợ ia làm -ơ -ơ "Kiế ứ uẩ ị" -ơ ii iệu mộ số kiế ứ ả đại số ia0 0á - ệ am số, dà í qu, môđu 0e- Maaula, môđu 0e-Maaula dà L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z -ơ "â í am số môđu 0e-Maaula dÃ" ì mộ số ổ đ đế đị lý í -ơ ói đặ - môđu 0e-Maaula dà qua â í am số ệ ó Đị lý iu ằ Đị lý 2.1.6 (, m) địa -ơ 0ee M môđu ữa si Ki mệ đ sau -ơ đ-ơ: (i) M môđu 0e-Maaula dà (ii) Mọi ệ am số ố M ເã ƚÝпҺ ເҺÊƚ ρҺ©п ƚÝເҺ ƚҺam sè (iii) Tåп ƚ¹i ҺƯ ƚҺam sè ƚèƚ ເđa M ເã ƚÝпҺ ເҺÊƚ â í am số 0ài a -ơ ò ì mối qua ệ iữa môđu 0e- Maaula dà M iu ứ àm ile-Samuel ô qua đị lý §ÞпҺ lý 2.2.3 ເҺ0 D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dƚ = M lµ läເ ເҺiὸu M đặ Di = Di/Di1 i i = 1, , ƚ, D0 = D0 Ki mệ đ sau -ơ đ-ơ: (i) M môđu 0e-Maaula dà (ii) i ấ k iđêa am số ố q M , đẳ ứ l(M/q п+1 t Σ п + di Σ M )= l(Di/qDi) di i=0 ®όпǥ ѵίi mäi п ≥ (iii) Tồ ại iđêa am số ố q M sa0 đẳ ứ t + di п+1 l(M/q M )= l(Di/qDi) di i=0 ®όпǥ ѵίi mäi ầ uối ù -ơ â d í dụ ằm làm sá ỏ kế í đà ê -ơ Kiế ứ uẩ ị Mụ đí -ơ ắ lại mộ số kiế ứ ả đại L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z số ia0 0á đ-ợ sử dụ luậ ă a0 ồm đị ĩa, mệ đ ổ ®ὸ ѵὸ ҺƯ ƚҺam sè, d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ, m«®uп ເ0ҺeпMaເaulaɣ, môđu 0e-Maaula dà 1.1 ệ am số T0 ầ a đ-a a kái iệm mộ số í ấ ả ệ am số, đâ mộ kái iệm qua ọ uê suố ì iệ luậ ă 1.1.1 Đị ĩa (, m) địa -ơ 0ee, M môđu ữu si i dim M = d Tậ ầ х = (х1, х2, , хd), хi ∈ m , ∀i = 1, , d 0ả mà l(M/M ) < đ-ợ ọi méƚ ҺƯ ƚҺam sè ເđa M Ǥi¶ sư (Г, m) địa -ơ 0ee, M môđu ữu si i dim M = d Mệ đ sau đâ lê mộ số í ấ ả ເđa ҺƯ ƚҺam sè 1.1.2 MƯпҺ ®ὸ [1, MƯпҺ ®ὸ A.4] ເҺ0 х1, х2, , хƚ ∈ m k̟Һi ®ã dim(M/(х1, , )M ) dim M Đẳ ứ sả гa k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi х1, х2, , mộ ầ ệ am số M 1.1.3 MƯпҺ ®ὸ [8, ເҺό ý 15.20] ПÕu х1, , хd lµ ҺƯ ƚҺam sè M ì i số uê d-ơ 1, , αd ƚa ເã хα1, , хαd ເὸпǥ lµ ҺƯ ƚҺam sè d ເđa M ПҺËп хÐƚ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (1) ເҺ0 m ki mộ ầ ເđa ҺƯ ƚҺam sè ເđa M k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi х ƒ∈ ρ ѵίi mäi ρ ∈ Ass Г sa0 ເҺ0 dimГ/ρ = d (2) ເҺ0 х1, , d m đị ởi i+1 , ∀ρ ∈ Ass Г(M/(х1, , хi)M ), dim Г/ρ = d − i ѵίi i = 0, , d − K̟Һi ®ã {х1, , хd} lµ ҺƯ ƚҺam sè ເđa M Tiế e0 a đ-a a đị ĩa àm ile-Samuel đị lý đa ứ ile, đâ mộ đị lý ổi iế ó ứ dụ iu đại số ia0 0á T0 luậ ă a ỉ ắ lại đị ĩa đị lý dù -ơ sau mà kô ứ mi 1.1.4 Đị ĩa M môđu ữu si ê địa ρҺ-¬пǥ П0eƚҺeг (Г, m) ѵίi dim M = d, q iđêa đị ĩa M ( ứ l(M/qM ) < ) Ki a đị ĩa mộ àm sè ǥäi lµ Һµm Һilьeг- Samuel Fq,M (п) = l(M/qп+1M ) L 1.1.5 Mệ đ [7, Đị lý 13.2] = â ậ 0ee Ai M - môđu â ậ ữa si iả sử ằ = Г0[х1, , хг] ѵµ хi ьËເ di ki đóFq,M () mộ àm ữu ỷ ữa ại đa ứ q,M () i ệ số ữu ỷ ậ d sa0 i đủ l ì Fq,M () = q,M () ại ữ số uê e0(q, M )(> 0), e1(q, M ), , ed(q, M ) sa0 ເҺ0 Σ Σ п +d п +d − Ρ (п) = e (q, M ) +e (q, M ) +· · ·+e (q, M ) q,M d d −1 d L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Sè e0(q, M ) đ-ợ ọi số ội Zaziski-Samuel Ki q si ьëi méƚ ҺÖ ƚҺam sè х = {х1, х2, , хd} ƚa k̟ý ҺiÖu e0(q, M ) = e(, M ) 1.2 Dà í qu môđu 0e-Maaula T0 ầ a ì mộ số kái iệm dà í qu, kái iệm ả đ đị ĩa độ sâu mộ môđu đ-a đế đị ĩa à môđu 0e-Maaula 1.2.1 Đị ĩa ia0 0á M môđu Mộ ầ đ-ợ ọi M í qu ếu :M х = 0, ƚøເ lµ хa ƒ= ѵίi ∀a M, a = Mộ dà ầ 1, , đ-ợ ọi lµ M−d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ пÕu (х1, , хп)M ƒ= M ѵµ хi lµ M/(х1, , хi−1)M− ເҺÝпҺ quɣ ѵίi mäi i = 1, , mệ đ sau đâ lê í ấ ả dà í qu 1.2.2 Mệ đ [8, ổ đ 16.4] M môđu ki mệ đ sau -ơ đ-ơ: (i) D·ɣ х1, , хп lµ d·ɣ M− ເҺÝпҺ quɣ (ii) D·ɣ х1, , хi lµ d·ɣ M− ເҺÝпҺ quɣ ѵµ хi+1, , хп lµ d·ɣ M/(х1, , хi)M− ເҺÝпҺ quɣ ѵίi mäi ≤ i ≤ 1.2.3 Mệ đ [7, Đị lý 16.1] ПÕu х1, , хп lµ d·ɣ M− í qu ì i số uê d-ơ 1, , αп ƚa ເã {хα1, , хαп} ເὸпǥ lµ d·ɣ п M− ເҺÝпҺ quɣ 1.2.4 Mệ đ [8, Đị lý 16.9] ếu 1, , dà M í qu ì i 0á ị ầ 1, , a ẫ đ-ợ mộ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z d·ɣ M− ເҺÝпҺ quɣ 1.2.5 MƯпҺ ®ὸ [1, Mệ đ 1.2.12] ếu M môđu ữu si ê địa -ơ 0ee 1, , dà M í qu ì 1, , mộ ầ ệ am số M i đị ĩa dà í qu ê é đế kái iệm độ sâu mộ môđu, đ đế kái iệm môđu 0eMaaula 1.2.6 Đị ĩa I iđêa , M môđu ữu siпҺ sa0 ເҺ0 M ƒ= IM K̟Һi ®ã ®é dài đại dà M í qu I ọi độ sâu iđêa I đối i môđu M , kí iệu de (I, M ) ếu (, m) địa -ơ 0ee, a ó kí iệu độ sâu môđu M de M 0ặ ó iả de M 1.2.7 MƯпҺ ®ὸ [1, MƯпҺ ®ὸ 1.2.13] ເҺ0 (Г, m) địa -ơ 0ee, M môđu ữu si Ta ó kẳ đị sau de M ≤ dim Г/ρ ≤ dim M, ∀ρ ∈ Ass M iế e0 a ắ lại kái iệm môđu 0e- Maaula 1.2.8 Đị ĩa Môđu M đ-ợ ọi môđu 0e-Maaula ếu M = 0ặ M ƒ= ѵµ deρƚҺ M = dim M ѴµпҺ Г ọi 0e- Maaula ếu ó môđu 0e-Maaula Mệ đ sau lê đặ - ả môđu 0e-Maaula 1.2.9 Mệ đ [7, Đị lý 17.3] (1) ếu M môđu 0e-Maaula ì i ∈ Ass M ƚa ເã dim Г/ρ = dim M (2) ПÕu х1, , хd ∈ m dà M í qu ì M môđu 0e- Maເaulaɣ k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi M/(х1, , d)M môđu 0eMaaula L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 1.2.10 MÖпҺ đ [7, ý 136] ếu M môđu 0e-Maaula ì ệ am số M dà M ເҺÝпҺ quɣ 1.2.11 Ьỉ ®ὸ [3, Ьỉ ®ὸ 2.2] ເҺ0 môđu M 0ả mà dim < dim M M/ môđu 0e-Maaula 1, , i mộ ầ ệ ƚҺam sè ເđa M k̟Һi ®ã (х1, , хi)M∩П = (х1, , хi)П ເҺøпǥ miпҺ Ta ເҺøпǥ miпҺ ь»пǥ quɣ п¹ρ ƚҺe0 i Ѵίi i = ƚa ρҺ¶i ເҺøпǥ miпҺ х1M ∩ П = х1П Ta lu«п ເã х1П ⊆ х1M ∩ П ƚa ເҺøпǥ miпҺ х1M ∩ П ⊆ х1П TҺËƚ ѵËɣ, lÊɣ ɣ ∈ х1M ∩ П k̟Һi ®ã ɣ ∈ х1M ѵµ ɣ = х1m ѵίi m ∈ M suɣ гa ɣ = х1m ∈ П Һaɣ х1m + П = + П ƚг0пǥ M/П ƚøເ х1(m + П ) = suɣ гa m + П = Һaɣ m ∈ П D0 ®ã ɣ = х1m ∈ х1П Ǥi¶ sư i > Ta lu«п ເã (х1, , хi)П ⊆ (х1, , хi)M ∩ П (1) LÊɣ a ∈ (х1, , хi)M ∩П k̟Һi ®ã a = х1a1 + · · · + хiai ƚг0пǥ ®ã aj ∈ M ѵίi mäi j = 1, , i ì a ê ∈ (П + (х1, , хi−1)M ) : i Mặ ká, ì dà 1, , хi lµ M/П− ເҺÝпҺ quɣ ѵµ (П + (х1, , хi−1)M ) :M хi = П + (х1, , хi−1)M 25 T ເҺ0 х ∈ q(α)M k̟Һi ®ã ƚa ເã х ∈ qM, ả d, T ƚг0пǥ M d0 ®ã х ∈ qпM + Dƚ−1 ѴËɣ α∈Λd,п q(α)M ⊆ qпM + Dƚ−1 Ѵ× х , , хd lµ ҺƯ ƚҺam sè ƚèƚ M i d, e0 ổ đ 1.3.8 lµ α αd α1 α1 dƚ−1 q(α)M ∩ D t−1 = (х , , хdt−1 )D t−1 D0 ѵËɣ \ \ q(α)M = [ q(α)M ] ∩ [qпM + Dƚ−1] α∈Λd,п α∈Λd,п \ =[ α∈Λd,п = qп M + q(α)M ∩ qпM ] + [ \ α∈Λd,п \ q(α)M ∩ Dƚ−1] [q(α)M ∩ Dƚ−1] α∈Λd,n п t−1 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z =q M + \ (хα1, , хαddƚ−1)D t−1 α∈Λd,n Ta lu«п ເã (β1, , βdƚ−1, 1, , 1) ∈ Λd,п ѵίi ьÊƚ k̟ύ (1, , d1) d1, độ dài lọ iu môđu 0e-Maaula dà D1 D0 e0 iả iế qu ƚa ເã \ \ αdƚ−1 βd α (х , , х )D ⊆ (хβ1, , х ƚ−1 )D dƚ−1 (α1, ,αd)∈Λd,п ƚ−1 dƚ−1 ƚ−1 (β1, ,βdƚ−1 )∈Λdƚ−1,п = (х1, х2, , хdƚ−1 )пDƚ−1 ⊆ qn M Suɣ гa T q(α)M = qпM α∈Λd,п (ii) ⇒(iii) Ѵ× mäi ҺƯ ƚҺam sè ເđa M ເã ƚÝпҺ ເҺÊƚ ρҺ©п ƚÝເҺ am số ê luô ại mộ ệ am số à0 M ó í ấ â í am sè (iii) ⇒ (i) ເҺ0 х = х1, , хd lµ ҺƯ ƚҺam sè ƚèƚ ເđa M ó í ấ â í am số Ta ải ứ mi M môđu 0eMaaula dà a -ơ đ-ơ i ເҺøпǥ miпҺ Ds/Ds−1, ∀s = 1, , môdu 0e- 26 Maaula i D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dƚ = M lọ iu M Đ ứ mi điu ®ã ƚг-ίເ ҺÕƚ ƚa ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ (qiM + Ds) : хi+1 = qiM + Ds ѵίi ∀i < ds+1 ѵµ s = 0, , ƚ − Tậ ậ, e0 ổ đ 2.1.5 ại sè пǥuɣªп k̟ sa0 ເҺ0 qiM : хk̟ i+1 = qiM + :M хk̟ qiM : хk̟+d1 s+1 = qiM + :M хk̟ i+1 ds+1 ̟ ⊆ :M k Ki a ó ữa ƚҺe0 ьỉ ®ὸ 1.3.5 ເã :M хki+1 ds+1 (qiM + :M хd s+1 ) : x k̟i+1 ⊆ qiM : хd s+1 xk̟i+1 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z k̟ ) : х d = (qiM + :M хi+1 s+1 k+1 ⊆ qiM : хds+1 = q iM + : M k mà e0 ổ đ 1.3.5 ເã D s = : х k̟ ds+1 d0 ®ã (qiM + Ds) : хk̟ i+1 = q M ⊆ i (qiM + Ds) : хi+1 ѵίi ∀i < ds+1 suɣ гa (qiM + Ds) : хi+1 = qiM + Ds Ta ເã deρƚҺ M/Ds ≥ ds+1 ѵίi s = 0, , ƚ − пªп ƚõ d·ɣ k̟Һίρ пǥ¾п ds+1 −→ Ds/Ds−1 −→ M/Ds−1 M/Ds ké0 e0 Ds/Ds1 môđu 0e-Maaula ѵίi ∀s = 1, , ƚ Һaɣ M môđu 0e-Maaula dà 2.1.7 ệ dim M (M ) môđu đối đồ điu địa m -ơ ứ M ứ i iđêa ối đại m Ki mệ đ sau -ơ đ-ơ: (i) M/0 (M ) môđu 0e-Maaula m0 (M ) = m m (ii) Mäi ҺƯ ƚҺam sè ເđa M ເã ƚÝпҺ ເҺÊƚ ρҺ©п ƚÝເҺ ƚҺam sè 27 ເҺøпǥ miпҺ (i)⇒ (ii) Te0 iả iế M/0m(M ) môđu 0e-Maaula ê M môđu 0e-Maaula dà i lọ iu D : m(M ) M ữa, e0 ổ ®ὸ 1.2.11 ƚa ເã (х1, , хd)M ∩ Һ (M ) = (х1, , d)0 (M ) m m mặ ká (1, , хd)Һ (M ) ⊆ mҺm0 (M ) = ѵίi ьÊƚ k̟ύ ҺÖ ƚҺam sè m х1, , хd ເña M Suɣ гa (х1, , хd)M ∩ mҺ (M ) = Điu ó ĩa ằ ệ am số M ố, d0 e0 đị lý í ó ó í ấ â í am sè L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (ii)⇒ (i) Ѵ× mäi ҺƯ ƚҺam sè ເđa M ເã ƚÝпҺ ເҺÊƚ ρҺ©п ƚÝເҺ ƚҺam số ê e0 đị lý í M môđu 0e-Maaula dà a a ó M/m0 (M ) môđu 0e-Maaula Ta ò ải ứ mi m (M ) = 0.Ta sÏ m ເҺøпǥ miпҺ mDƚ−1 = TҺËƚ ѵËɣ iả sử -ợ lại Ki ại mộ ầ ƚư х1 ∈ m sa0 ເҺ0 х1Dƚ−1 ƒ= ѵµ dim M/1M = d1 ì d ê a ເã ƚҺό ເҺäп х2 ∈ m sa0 ເҺ0 х2Dƚ−2 = ѵµ dim M/(х1, х2)M = d − Ta dƠ ƚҺÊɣ г»пǥ d·ɣ х1, х2 ѵµ х1, х1 + ầ ệ am số M D0 đó, e0 iả iế ổ đ 2.1.3(i) ƚa ເã (х21, х1 + х2)M ∩ (х1, (х1 + х2)2)M = (х1, х1 + х2)2M = (х1, х2)2M = (2, 2)M (1, 2)M ì M/D1 môđu 0e-Maaula, ổ đ 1.2.11 ó 1D1 = (х , х1 + х2)Dƚ−1 ∩ (х1, (х1 + х2)2)Dƚ−1 12 = (х , х2)Dƚ−1 ∩ (х1, х2)Dƚ−1 = х 1Dƚ−1 TҺe0 ьỉ ®ὸ Пak̟aɣama ƚa ເã х1Dƚ−1 = Suɣ гa mDƚ−1 = 28 2.2 Đa ứ ile-Samuel môđu 0e-Maaula dà ầ ê ®· ເҺ0 ƚa ƚҺÊɣ méƚ m«®uп ເ0Һeп-Maເaulaɣ d·ɣ M ເã đ-ợ đặ - ởi í ấ â í am sè ເđa ҺƯ ƚҺam sè ƚèƚ пҺ- ƚҺÕ пµ0, ƚг0пǥ ầ a ỉ a ằ i M môđu 0e-Maaula dà ì àm ile-Samuel Fq,M () = l(M/q+1M ) mộ iu ứ đặ iệ i ệ số kô âm, ó ó í 0á đ-ợ ằ lọ iu àm ù i đa ứ ile-Samuel q,M () i ấ kì iđêa am L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z sè ƚèƚ q пµ0 ເđa M ѵµ ѵίi mäi п ữa môđu 0e-Maaula dà M ó đ-ợ đặ - ởi iu ứ àm ile-Samuel T- iê a ắ đầu ằ iệ ứ mi ổ đ sau 2.2.1 ổ đ q iđêa am số ố môđu 0e-Maaula dà M Ki ®ã q п M ∩ D i = q п Di ѵίi ∀п ≥ ѵµ i = 0, , ứ mi q iđêa ƚҺam sè ƚèƚ ເđa M ѵµ х1 , , хd lµ ҺƯ ƚҺam sè ƚèƚ ເđa m ƚa k̟ý ҺiÖu qM = (х1, , хd)M Ѵίi ∀п ≥ ѵµ i = 0, , ƚ ƚa lu«п ເã qпDi ⊆ qM D i Ta ò ải ứ mi qM ∩D i ⊆ qпDi TҺËƚ ѵËɣ ƚa ເã qпM ∩ Di = [ \ q(α)M ] ∩ Di α∈Λd,п = \ (q(α)M ∩ Di) α∈Λd,n \ α = (хα1,1 , х ddii )D i α∈Λd,n 29 MỈƚ ká a luô ó (1, , di, 1, , 1) ∈ Λd,п ѵίi ∀(β1, , βdi ) ∈ Λdi ,п D0 e0 đị lý 2.1.6 a ó \ (хα1,1 , х ddi )D ⊆ i i α∈Λd,n \ β (хβ11, , хdidi )Di (β1, ,βdi )∈Λdi,n = (х1, , хdi )пDi Suɣ гa qпM ∩ Di ⊆ (х1, , хdi )пDi ⊆ qпDi ѴËɣ ƚa ເã q п M ∩ D i = q п Di ѵίi ∀п ≥ ѵµ i = 0, , ƚ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 2.2.2 Ьỉ ®ὸ ເҺ0 q iđêa am số môđu M.Ki Σ п + d l(M/qп+1 M ) ≤ l(M/qM ) d ữa, ấ đẳ ứ đẳ ứ ki ỉ ki M môđu 0e-Maaula ứ mi Ǥi¶ sư q = (х1, , хd) iđêa am số M Ta đặ L П = (M/qM )[Х1, , Хd] q(M) = qiM/qi+1M ki a ó 0à i=0 ấu : q(M) đị ởi (i) = i = i +q2M qM/q2M Đặ Q = Ke Te0 đị lý đồ ấu môđu ó /Q = q(M ) ọi J iđêa siпҺ ьëi Х1 , , Хd suɣ гa П/J П ∼ = M/qM ѵµ M/qп M ∼ = П/J пП + Q D0 ®ã l(M/qп+1M ) = l(П/J п+1П + Q) = l(П/J п+1П ) − l(Jп+1П + Q/J п+1П ) ≤ l(П/J п+1 П) 30 mỈƚ k̟Һ¸ເ ƚa ເã Σ п + d l(П/J п+1 П ) = l(П/J П ) d Σ п +d = l(M/qM ) d Suɣ гa l(M/qп+1 M ) +d l(M/qM ) d ữa, ấ đẳ ứ đẳ ứ ki ỉ ki đẳ ấu a M môđu 0e-Maaula 2.2.3 Đị lý D : D0 D1 ⊂ Dƚ = M lµ läເ ເҺiὸu ເña M L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z đặ Di = Di/Di−1 ѵίi mäi i = 1, , , D0 = D0 Ki mệ đ sau -ơ đ-ơ: (i) M môđu 0e-Maaula dà (ii) i ấ k iđêa am số ố q M , đẳ ứ t + di п+1 l(M/q M )= l(Di/qDi) di i=0 ®όпǥ ѵίi mäi (iii) Tồ ại iđêa am số ố q M sa0 đẳ ứ t Σ п + di п+1 l(M/q M )= l(Di/qDi) di i=0 ®όпǥ ѵίi mäi п ≥ ເҺøпǥ miпҺ (i)⇒ (ii) Ta ứ mi ằ qu e0 độ dài ƚ ເđa läເ ເҺiὸu D ເđa M Tг-êпǥ Һỵρ ƚ = i iê ì M môđu 0e-Maaula ê +d e0 ổ đ ê l(M/q+1 M ) =d l(M/qM ) = п+d0 Σ d0 l(D0 /qD0 ) 31 iả sử > Ta luô ó dà k̟Һίρ пǥ¾п sau −→ qп+1M +Dƚ−1/qп+1M −→ M/qп+1M −→ M/q+1M +D1 Te0 đị lý đồ ấu môđu ƚa ເã qп+1 M + Dƚ−1 /qп+1 M ∼ = D1 /q+1 M D1 Mặ ká e0 ổ ®ὸ 2.2.1 ƚa ເã qп+1M ∩ Dƚ−1 = qп+1Dƚ−1 пªп suɣ гa qп+1 M + Dƚ−1 /qп+1 M ∼ = Dƚ−1 /qп+1 Dƚ−1 D0 ®ã ƚa ເã d·ɣ k̟Һίρ пǥ¾п −→ Dƚ−1/qп+1Dƚ−1 −→ M/qп+1M −→ M/qп+1M + Dƚ−1 −→ 0, L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z suɣ гa ƚa ເã l(M/q+1M ) = l(D1/q+1D1) + l(D/q+1D) ì D1 môđu 0e-Maaula dà lọ iu ó ó độ dài e0 iả iế qu a ó Σ l(Dƚ−1/qп+1Dƚ−1) = i n+ di di=0 l(Di/qDi) mặ ká D môđu 0e-Maaula i iu d = dƚ, ƚa ເã Σ n + d l(D ƚ/qn+1 D ) ƚ= d l(D /qDƚ ) Suɣ гa Σ t +1 l(M/q п i=0 ®όпǥ ѵίi mäi п ≥ (ii) (iii) i iê +d i M )= ƚ di l(Di/qDi) 32 (iii)⇒ (i) Ѵ× d·ɣ sau lµ k̟Һίρ Dƚ−1/qп+1Dƚ−1 −→ M/qп+1M −→ M/qп+1M + Dƚ−1 −→ 0, пªп ƚa ເã l(M/qп+1M ) ≤ l(Dƚ−1/qп+1Dƚ−1) + l(D/q+1D) D0 đó, s qu e0 độ dµi ເđa läເ ເҺiὸu ƚa ເã ƚҺό ເҺØ гa г»пǥ l(M/q +1 M) l(Di/q+1Di) i=0 Mặ ká e0 ьỉ ®ὸ 2.2.2 ເã L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Σ п + d i l(D /qп+1 Di ) ≤ l(D /qD ) i i di i ѵίi ∀i = 0, , , ê e0 iả iế (iii) ƚa ເã l(M/qп+1 M ) ≤ t Σ l(Di/qп+1 Di) ≤ i=0 t Σ п + di Σ l(Di/qDi) di i=0 Σ d0 ®ã l(Di/qDi) = п+di l(Ddii/qDi) ѵίi ∀i = 0, , ƚ D0 ậ Di môđu 0e-Maaula i i = 0, , ƚ (ເὸпǥ ƚҺe0 ьỉ ®ὸ 2.2.2) D0 M môđu 0e-Maaula dà 2.3 í dụ S địa -ơ í qu i dim S = 3, m iđêa ối đại S ǥi¶ sư m = (Х, Ɣ, Z) ѵίi Х, Ɣ, Z S Đặ = S/(, )(Z) ọi , , z -ơ ứ ả , , Z , đồ ời đặ Q = (+ z, ɣ) K̟Һi ®ã ƚa ເã 33 T (1) Qп = (х + z, ɣ; α) ѵµ lГ (Г/Qп) = п +3п α∈Λ2,п ѵίi ∀п ≥ (2) Đặ = + z = + ɣ + z k̟Һi ®ã Q = (ь1, ь2) i ì \ lR(R/ (b; ))= 2, 2, (; )) kô ù i mộ đa ƚҺøເ ເđa п пªп T (ь; α) ѵίi п ≥ à0 su>0 l([ (; )]/Q) = d0 àm l(/ T Q = T + 2п nÕu n = 2q, q ∈ Z (п + 1) пÕu п = 2q + 1, q ∈ Z α∈Λ2,п α∈Λ2,п ເҺøпǥ miпҺ (1) Tг-ίເ ҺÕƚ ƚa ເҺøпǥ miпҺ dim Г = TҺËƚ ѵËɣ, ƚõ ǥi¶ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z iế ài 0á a ó /(, ), /(Z) địa -ơ í qu ì ậ mi uê, su a (, ), (Z) iđêa uê ố ậ Ass = Ass(S/(Х, Ɣ ) ∩ (Z)) = {(Х, Ɣ ), (Z)} D0 S/(0) S mi uê ê (0) iđêa uê ố S iả sử d dà iđêa uê ố S ứa Ass ì lu«п ເã (0) ⊂ Ρ1 ⊂ Ρd dà iđêa uê ố S ậ dim < dim S ữa (Z) (Z, ) ⊂ (Z, Х, Ɣ ) = m lµ méƚ d·ɣ iđêa uê ố ứa (Z) Ass ó độ dài ằ ậ a ó dim = Tiế e0, đặ T a1 = + z, a2 = ɣ, I = (z) §ό ເҺøпǥ miпҺ Qп = (a1, a2; α) ƚa sÏ ເҺøпǥ miпҺ α∈Λ2,п (i) ѴµпҺ Г = S/(Х, Ɣ ) ∩ (Z) lµ ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ d·ɣ ѵίi läເ (0) ⊂ (Z)/(Х, Ɣ ) ∩ (Z) ⊂ Г (ii) (a1, a2) lµ ҺƯ ƚҺam sè ƚèƚ ເña Г TҺËƚ ѵËɣ, ƚa ເã Г/I = S/((Х, Ɣ ) ∩ (Z))/(Z)/((Х, Ɣ ) ∩ (Z)) ∼ = S/(Z) D0 S lµ ѵµпҺ ເҺÝпҺ quɣ ѵµ Z mộ ầ ệ am số í qu ê 34 S/(Z) ເὸпǥ lµ ѵµпҺ ເҺÝпҺ quɣ, ѵËɣ S/(Z) lµ ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵµ dim Г/I = Һaɣ Г/I lµ ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ (*) TiÕρ ƚҺe0 ƚa ເã I = (Z)/((Х, Ɣ ) ∩ (Z)) ∼ = (Х, Ɣ, Z)/(Х, Ɣ ) d0 , , Z í qu ê Z S/(, ) í qu đâ a ເã S− ®åпǥ ເÊu θ : S/(Х, Ɣ ) −→ S/(, ) đị ởi (u) = uZ Ke() = AппS/(Х,Ɣ )(Z) = ѵµ Im(θ) = Z(S/(Х, Ɣ )) = (Х, Ɣ, Z)/(Х, Ɣ ) = m/(Х, Ɣ ) Suɣ гa S/(Х, Ɣ ) ∼ = m/(Х, Ɣ ) = I Mặ ká S/(, ) lµ ѵµпҺ ເ0ҺeпMaເaulaɣ ѵµ dim S/(Х, Ɣ ) = ê I môđu 0e-Maaula dim I = dim S/(Х, Ɣ ) = (**) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Tõ (*) ѵµ (**) suɣ гa Г lµ ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ d·ɣ Ta ເã (a1, a2) lµ ҺƯ ƚҺam sè ố Tậ ậ, ọi a1, a2 ả ເña a1, a2 ƚг0пǥ Г/(z) Ta ເã (a1, a2)Г/(z) = (+z, , z)/(z) = (, , z)/(z) iđêa đại /(z), Mặ ká dim = dim /(z) = ê (a1, a2) ệ am số Г/(z)ѵµ ເὸпǥ suɣ гa (a1, a2) lµ ҺƯ ƚҺam sè ữa a ó a2I = (z) = ê (a1, a2) ệ am số ố Từ (i) (ii) e0 đị lý 2.1.5 a ເã Qп = T (a1, a2;α) ∈Λ2,п п ເuèi ເïпǥ ƚa sÏ ເҺøпǥ miпҺ lГα(Г/Q ) = п +3п,2 ∀п ≥ Tг-ίເ ҺÕƚ ƚa ƚҺÊɣ пÕu ϕ : M đồ ấu môđu ì a ເã d·ɣ k̟Һίρ −→ M/ K̟eг ϕ −→ П −→ П/ Im ϕ −→ ѵίi α : M/ Ke ởi (m + Ke ) = (m) 0à ấu iê Ta ó đồ ấu môđu : I Г/(al1, am2 ) ƚг0пǥ ®ã ϕ = ρi ѵίi i : I ấu í ắ ρ : Г −→ Г/(al , am) lµ ƚ0µп ເÊu ƚὺ пҺiªп ѵËɣ ƚa ເã d·ɣ k̟Һίρ −→ I/ K̟eг ϕ −→ Г/(al , 1am2) −→ (Г/(al , a1 m))/ Im ϕ −→ 35 ѵίi đị ĩa - ê ì a ó Im = (I + (al , am))/(al , am) ѵµ 2 K̟eг ϕ = I ∩ (al ,1 am2) D0 Г/I ∼ = S/(Z) пªп ƚa ເã (Г/(al ,1 am2))/ Im ϕ ∼ = Г/(I + (al , am )) ∼ = (S/Z)/((Х + Z)l , Ɣ m , Z)S/(Z) ∼ = S/((Х + Z)l , Ɣ m , Z) = S/(Хl, Ɣ m, Z) Ta ເã K̟eг ϕ = I ∩ (al , 1am)2 пҺ-пǥ (al , 1am)2 /I í qu ê I ∼ l m (al1, am ) = (a ,1a 2)I Mặ ká I = S/(, ) ê I/ K̟eг ϕ = I/(al , am)I L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ∼ = S/(Х, Ɣ )/((Х + Z)l , Ɣ m )S/(Х, Ɣ ) ∼ = S/((Х + Z)l , Ɣ m , Х, Ɣ ) = S/(Х, Ɣ, Zl) ѴËɣ ƚa ເã d·ɣ k̟Һίρ −→ S/(Х, Ɣ, Zl) −→ Г/(al , am) −→ S/(Хl, Ɣ m, Z) −→ 0, ∀l, m ≥ D0 ®ã ƚa ເã lГ(Г/(al , am)) = lГ(S/(Х, Ɣ, Zl)) + lГ(S/(Хl, Ɣ m, Z)) = e(Х, Ɣ, Z l ; S) + e(Хl, Ɣ m, Z; S) = l.e(Х, Ɣ, Z; S) + ml.e(Х, Ɣ, Z; S) = l(m + 1) 36 ѴËɣ ƚa ເã \ lГ(Г/Qп) = lГ(Г/ (a1, a2; α)) α∈Λ2,п п−1 Σп Σ +1−i n i = lR(R/(a , a ))− lR(R/(an−i, )) 2 i=1 п−1 i=1 п Σ Σ =i=1 (п + − i)(i + 1) − i=1(п − 1)(i + 1) п Σ = (i + 1) i=1 п2 + 3п = L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (2) DÔ ƚҺÊɣ Q = (х + z, х + ɣ + z) = (х + z, ɣ) a Q = (1, 2) ọi 1, ả ເđa ь1, ь2 ƚг0пǥ Г/(z) K̟Һi ®ã ເã (ь1, ь2)Г/(z) = (х + z, х + ɣ + z, z)/(z) = (, , z)/(z) iđêa đại /(z) ê 1, ệ am số /(z) a ệ am số /I ứ mi -ơ пҺ- (1) ѵίi ϕ = ρi ƚг0пǥ ®ã i : I ấu í ắ : /(l ,1m)2 0à ấu iê ƚa ເã (Г/(ьl , ьm))/ Im ϕ = Г/(I + (ьl , ьm)) 2 ∼ = (S/Z)/((Х + Z)l , (Х + Ɣ + Z)m , Z)S/(Z) ∼ = S/(Х l , (Х + Ɣ )m , Z) Mặ ká Ke = I (l , ьm) = (ьl , ьm)I ѵµ I/ K̟eг ϕ = I/(ьl , ьm)I 2 ∼ = S/(Х, Ɣ )/((Х + Z)l , (Х + Ɣ + Z)m , Х, Ɣ )S/(Х, Ɣ ) ∼ = S/(Х, Ɣ, (Z l , Z m )) 37 ѴËɣ ƚa ເã d·ɣ k̟Һίρ пǥ¾п −→ S/(Х, Ɣ, (Z l, Zm)) −→ Г/(ьl1 , ь2m) −→ S/(Хl, (Х+Ɣ )m, Z) −→ D0 ®ã lГ(Г/(ьl , ьm)) = lГ(S/(Х, Ɣ, (Zl, Zm))) + lГ(S/(Хl, (Х + Ɣ )m, Z)) = e(Х, Ɣ, (Z l, Zm); S) + e(Хl, (Х + Ɣ )m, Z; S) ѴËɣ lГ(Г/(ьl , ьm)) = lm + miп{l, m} K̟Һi ®ã ƚҺe0 [4, MƯпҺ ®ὸ 4.3] ƚa ເã lГ(Г/ T (ь , ь ; α)) = α∈Λ2+п i=1 п L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Σп Σ п−1 +1−i i n = lR(R/(b , b ))− lR(R/(bn−i, bi 1)) i=1 п−1 Σ Σ = i=1(п + − i)i + miп{п + − i, i} − (пi=1 − i)i + miп{п − i, i} п−1 Σ = п + + (п − 1)п/2 + (miп{п + − i, i} − miп{п − i, i}) i=1 (/ ếu ẵ ứ = 2q, q Z ì l ếu lẻ ứ п = 2q + 1, q ∈ Z ƚҺ× lГ (Г/ Tõ ®ã ƚa ƚҺÊɣ lГ(Г/ T (ь1 , ь2 ; α)) = п T T α∈Λ2+п α∈Λ2+п +п 2 (ь1 , ь2 ; α)) = (п+1) (1, 2; )) kô ải đa ứ mà a 2+ iế ải ại số iê đủ l sa0 l(/Q) ù i méƚ ®a T ƚҺøເ Èп п ѵίi ∀п ≥П D0 ®ã (ь1, ь2; α) ƒ= Qп ເҺ0 п =2q, q ≥ α∈Λ2,п 38 ƚҺ× ƚa ເã lГ(Г/ \ \ (ь1, ь2; α)/Qп) = lГ(Qп) − lГ(Г/ α∈Λ2,п α∈Λ2,п п + 3п = п2 + 2п − = = q Điu ứ ỏ suρп>0 lГ([ T (ь;α)]/Qп) < ∞ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 2, (1, 2;)) Tài liệu am kả0 [1] W us aпd J Һeгz0ǥ, ເ0Һeп-Maເaulaɣ гiпǥs, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess [2] П T ເu0пǥ aпd D T ເu0пǥ, 0п sequeпƚiallɣ ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dules, K̟0dai MaƚҺ J, 30 (2007), 409-428 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z [3] П T ເu0пǥ aпd Һ L Tгu0пǥ, Ρaгameƚгiເ deເ0mρ0siƚi0п 0f ρ0weгs 0f ρaгameƚeг ideals aпd sequeпƚiallɣ ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dules, ƚ0 aρρeaг iп Ρг0ເ Ameг MaƚҺ S0ເ 2008 [4] S Ǥ0ƚ0 aпd Ɣ SҺim0da, Ρaгameƚгiເ deເ0mρ0siƚi0п 0f ρ0weгs 0f ideals ѵeгsus гeǥulaгiƚɣ 0f sequeпເes, Ρг0ເ Ameг MaƚҺ S0ເ., 132 (2003), 229-233 [5] S Ǥ0ƚ0 aпd Ɣ SҺim0da 0п ƚҺe ρaгameƚгiເ deເ0mρ0siƚi0п 0f ρ0weгs 0f ρaгameƚeг ideals iп a П0eƚҺeгiaп l0ເal гiпǥ, T0k̟ɣ0 J MaƚҺ, 27 (2004), 125-134 [6] W Һeiпzeг, L J Гaƚliff aпd K̟ SҺaҺ, Ρaгameƚгiເ deເ0mρ0siƚi0п 0f m0п0mial ideals (I), Һ0usƚ0п J MaƚҺ., 21 (1995), 29-52 [7] Һ Maƚsumuгa, ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥ ƚҺe0гɣ, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 1986 [8] Г Ɣ SҺaгρ, Sƚeρs iп ເ0mmuƚaƚiѵe Alǥeьгa, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 1980 39