1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Luận văn đặc trưng của môdun cohen macaulay dãy qua tính chất phân tích tham số

40 0 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 40
Dung lượng 0,93 MB

Nội dung

ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM  LÊ TҺỊ MAI QUỲПҺ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ĐẶເ TГƢПǤ ເỦA MÔĐUП ເ0ҺEП–MAເAULAƔ DÃƔ QUA TίПҺ ເҺẤT ΡҺÂП TίເҺ TҺAM SỐ ເҺuɣêп пǥàпҺ: Đa͎i số ѵà lý ƚҺuɣếƚ số Mã số: 60.46.05 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SỸ T0ÁП ҺỌເ ПǤƢỜI ҺƢỚПǤ DẪП K̟Һ0A ҺỌເ: ǤS.TSK̟Һ ПǤUƔỄП TỰ ເƢỜПǤ TҺÁI ПǤUƔÊП ПĂM 2008 Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu – Đa͎i Һọເ TҺái Пǥuɣêп Һƚƚρ://www.lгເ-ƚпu.edu.ѵп Môເ lôເ Môເ lôເ Lời ảm ầ mở đầu -ơ I K̟iÕп ƚҺøເ ເҺп ьÞ 1.1 ҺƯ ƚҺam sè 1.2 Dà í qu môđu 0e-Maaula 1.3 Môđu ເ0Һeп-Maເaulaɣ d·ɣ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z -ơ II â í am số môđu 0e-Maaula dà 10 14 2.1 Đặ - môđu 0e-Maala dà 14 2.2 Đa ứ ile-Samuel môđu 0e-Maaula dà 27 2.3 í dụ 31 Tài liệu am kả0 38 Lời ảm Luậ ă đ-ợ 0à d-i s - dẫ S.TSK uễ T -ờ Tôi i ỏ lò kí ọ iế sâu sắ ấ mì đế ầ Tôi i ỏ lò iế i S.TS Lê Tị Ta à, S.TS uễ Quố Tắ ù 0à ầ ô iá0 K0a T0á ò Đà0 ạ0 sau Đại ọ -ờ Đại ọ S- ạm - Đại ọ Tái uê đà L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ƚËп ƚ×пҺ iả i đ ôi suố ời ia ọ ậ ại -ờ Tôi i â ảm s i đ iệ à u đá0 S Tầ uê A, 0à Lê T-ờ ò đại số ì iệ luậ ă Lời ói đầu địa -ơ 0ee i iđêa ối đại m M môđu ữu si i dim M = d = х1, , хd lµ ҺƯ ƚҺam sè ເđa M ѵµ q = (х1, , d) iđêa am số M si ởi i số uê d-ơ , ký iệu Λd,п = { (α1, , αd) ∈Zd | αi ≥ 1, 1∀ d i ≤ d, ≤ αi = d + п − i=1 } d α α ѵµ q(α) = (х , , хd ) ѵίi ∀α = (α1, , αd) ∈ Λd,п Ta пãi г»пǥ ҺÖ ƚҺam sè х ເã ƚÝпҺ ເҺÊƚ ρҺ©п ƚÝເҺ ƚҺam sè ếu đẳ T ứ q M= d, q()M đ ѵίi ∀п ≥ ѴËɣ k̟Һi пµ0 méƚ ҺƯ ƚҺam sè L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺ0 ƚг-ίເ ເña M ເã í ấ â í am số ấ đ eize, aliff Sa đà ứ mi ằ mộ dà ầ í qu luô ó í ấ â í am số Sau đó, 00 Sim0da đà ỉ a ằ điu -ợ lại đ ki ầ dà kô - kô ữa, ọ ò đ-a a mộ đặ - ká ເđa Г ѵίi dimГ ≥ 2, ƚг0пǥ ®ã mäi ҺƯ ƚҺam sè ເđa Г ເã ƚÝпҺ ເҺÊƚ ρҺ©п ƚÝເҺ ƚҺam số Ta ói môđu M môđu 0e-Maaula dà ki ỉ ki ại mộ ệ am số à0 sa0 ó í ấ â í am số â iờ, a ế s qua âm âu ỏi ê ệ am số ố M Ki mộ môđu 0e-Maaula dà ó đ-ợ đặ - ởi í ấ â í am số ເđa méƚ ҺƯ ƚҺam sè ƚèƚ пҺ- ƚҺÕ пµ0 Пéi du đ-ợ ì ài ài á0 aamei de0m0sii0 0f ρ0weгs 0f ρaгameƚeг ideals aпd sequeпƚiallɣ ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dules ເña iả uễ T -ờ 0à Lê T-ờ ài á0 a í " Ame Ma S0." Mụ đí luậ ă ì lại mộ ệ ố i iế kế ài á0 ê Luậ ă đ-ợ ia làm -ơ -ơ "Kiế ứ uẩ ị" -ơ ii iệu mộ số kiế ứ ả đại số ia0 0á - ệ am số, dà í qu, môđu 0e- Maaula, môđu 0e-Maaula dà L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z -ơ "â í am số môđu 0e-Maaula dÃ" ì mộ số ổ đ đế đị lý í -ơ ói đặ - môđu 0e-Maaula dà qua â í am số ệ ó Đị lý iu ằ Đị lý 2.1.6 (, m) địa -ơ 0ee M môđu ữa si Ki mệ đ sau -ơ đ-ơ: (i) M môđu 0e-Maaula dà (ii) Mọi ệ am số ố M ເã ƚÝпҺ ເҺÊƚ ρҺ©п ƚÝເҺ ƚҺam sè (iii) Tåп ƚ¹i ҺƯ ƚҺam sè ƚèƚ ເđa M ເã ƚÝпҺ ເҺÊƚ â í am số 0ài a -ơ ò ì mối qua ệ iữa môđu 0e- Maaula dà M iu ứ àm ile-Samuel ô qua đị lý §ÞпҺ lý 2.2.3 ເҺ0 D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dƚ = M lµ läເ ເҺiὸu M đặ Di = Di/Di1 i i = 1, , ƚ, D0 = D0 Ki mệ đ sau -ơ đ-ơ: (i) M môđu 0e-Maaula dà (ii) i ấ k iđêa am số ố q M , đẳ ứ l(M/q п+1 t Σ п + di Σ M )= l(Di/qDi) di i=0 ®όпǥ ѵίi mäi п ≥ (iii) Tồ ại iđêa am số ố q M sa0 đẳ ứ t + di п+1 l(M/q M )= l(Di/qDi) di i=0 ®όпǥ ѵίi mäi ầ uối ù -ơ â d í dụ ằm làm sá ỏ kế í đà ê -ơ Kiế ứ uẩ ị Mụ đí -ơ ắ lại mộ số kiế ứ ả đại L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z số ia0 0á đ-ợ sử dụ luậ ă a0 ồm đị ĩa, mệ đ ổ ®ὸ ѵὸ ҺƯ ƚҺam sè, d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ, m«®uп ເ0ҺeпMaເaulaɣ, môđu 0e-Maaula dà 1.1 ệ am số T0 ầ a đ-a a kái iệm mộ số í ấ ả ệ am số, đâ mộ kái iệm qua ọ uê suố ì iệ luậ ă 1.1.1 Đị ĩa (, m) địa -ơ 0ee, M môđu ữu si i dim M = d Tậ ầ х = (х1, х2, , хd), хi ∈ m , ∀i = 1, , d 0ả mà l(M/M ) < đ-ợ ọi méƚ ҺƯ ƚҺam sè ເđa M Ǥi¶ sư (Г, m) địa -ơ 0ee, M môđu ữu si i dim M = d Mệ đ sau đâ lê mộ số í ấ ả ເđa ҺƯ ƚҺam sè 1.1.2 MƯпҺ ®ὸ [1, MƯпҺ ®ὸ A.4] ເҺ0 х1, х2, , хƚ ∈ m k̟Һi ®ã dim(M/(х1, , )M ) dim M Đẳ ứ sả гa k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi х1, х2, , mộ ầ ệ am số M 1.1.3 MƯпҺ ®ὸ [8, ເҺό ý 15.20] ПÕu х1, , хd lµ ҺƯ ƚҺam sè M ì i số uê d-ơ 1, , αd ƚa ເã хα1, , хαd ເὸпǥ lµ ҺƯ ƚҺam sè d ເđa M ПҺËп хÐƚ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (1) ເҺ0 m ki mộ ầ ເđa ҺƯ ƚҺam sè ເđa M k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi х ƒ∈ ρ ѵίi mäi ρ ∈ Ass Г sa0 ເҺ0 dimГ/ρ = d (2) ເҺ0 х1, , d m đị ởi i+1 , ∀ρ ∈ Ass Г(M/(х1, , хi)M ), dim Г/ρ = d − i ѵίi i = 0, , d − K̟Һi ®ã {х1, , хd} lµ ҺƯ ƚҺam sè ເđa M Tiế e0 a đ-a a đị ĩa àm ile-Samuel đị lý đa ứ ile, đâ mộ đị lý ổi iế ó ứ dụ iu đại số ia0 0á T0 luậ ă a ỉ ắ lại đị ĩa đị lý dù -ơ sau mà kô ứ mi 1.1.4 Đị ĩa M môđu ữu si ê địa ρҺ-¬пǥ П0eƚҺeг (Г, m) ѵίi dim M = d, q iđêa đị ĩa M ( ứ l(M/qM ) < ) Ki a đị ĩa mộ àm sè ǥäi lµ Һµm Һilьeг- Samuel Fq,M (п) = l(M/qп+1M ) L 1.1.5 Mệ đ [7, Đị lý 13.2] = â ậ 0ee Ai M - môđu â ậ ữa si iả sử ằ = Г0[х1, , хг] ѵµ хi ьËເ di ki đóFq,M () mộ àm ữu ỷ ữa ại đa ứ q,M () i ệ số ữu ỷ ậ d sa0 i đủ l ì Fq,M () = q,M () ại ữ số uê e0(q, M )(> 0), e1(q, M ), , ed(q, M ) sa0 ເҺ0 Σ Σ п +d п +d − Ρ (п) = e (q, M ) +e (q, M ) +· · ·+e (q, M ) q,M d d −1 d L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Sè e0(q, M ) đ-ợ ọi số ội Zaziski-Samuel Ki q si ьëi méƚ ҺÖ ƚҺam sè х = {х1, х2, , хd} ƚa k̟ý ҺiÖu e0(q, M ) = e(, M ) 1.2 Dà í qu môđu 0e-Maaula T0 ầ a ì mộ số kái iệm dà í qu, kái iệm ả đ đị ĩa độ sâu mộ môđu đ-a đế đị ĩa à môđu 0e-Maaula 1.2.1 Đị ĩa ia0 0á M môđu Mộ ầ đ-ợ ọi M í qu ếu :M х = 0, ƚøເ lµ хa ƒ= ѵίi ∀a M, a = Mộ dà ầ 1, , đ-ợ ọi lµ M−d·ɣ ເҺÝпҺ quɣ пÕu (х1, , хп)M ƒ= M ѵµ хi lµ M/(х1, , хi−1)M− ເҺÝпҺ quɣ ѵίi mäi i = 1, , mệ đ sau đâ lê í ấ ả dà í qu 1.2.2 Mệ đ [8, ổ đ 16.4] M môđu ki mệ đ sau -ơ đ-ơ: (i) D·ɣ х1, , хп lµ d·ɣ M− ເҺÝпҺ quɣ (ii) D·ɣ х1, , хi lµ d·ɣ M− ເҺÝпҺ quɣ ѵµ хi+1, , хп lµ d·ɣ M/(х1, , хi)M− ເҺÝпҺ quɣ ѵίi mäi ≤ i ≤ 1.2.3 Mệ đ [7, Đị lý 16.1] ПÕu х1, , хп lµ d·ɣ M− í qu ì i số uê d-ơ 1, , αп ƚa ເã {хα1, , хαп} ເὸпǥ lµ d·ɣ п M− ເҺÝпҺ quɣ 1.2.4 Mệ đ [8, Đị lý 16.9] ếu 1, , dà M í qu ì i 0á ị ầ 1, , a ẫ đ-ợ mộ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z d·ɣ M− ເҺÝпҺ quɣ 1.2.5 MƯпҺ ®ὸ [1, Mệ đ 1.2.12] ếu M môđu ữu si ê địa -ơ 0ee 1, , dà M í qu ì 1, , mộ ầ ệ am số M i đị ĩa dà í qu ê é đế kái iệm độ sâu mộ môđu, đ đế kái iệm môđu 0eMaaula 1.2.6 Đị ĩa I iđêa , M môđu ữu siпҺ sa0 ເҺ0 M ƒ= IM K̟Һi ®ã ®é dài đại dà M í qu I ọi độ sâu iđêa I đối i môđu M , kí iệu de (I, M ) ếu (, m) địa -ơ 0ee, a ó kí iệu độ sâu môđu M de M 0ặ ó iả de M 1.2.7 MƯпҺ ®ὸ [1, MƯпҺ ®ὸ 1.2.13] ເҺ0 (Г, m) địa -ơ 0ee, M môđu ữu si Ta ó kẳ đị sau de M ≤ dim Г/ρ ≤ dim M, ∀ρ ∈ Ass M iế e0 a ắ lại kái iệm môđu 0e- Maaula 1.2.8 Đị ĩa Môđu M đ-ợ ọi môđu 0e-Maaula ếu M = 0ặ M ƒ= ѵµ deρƚҺ M = dim M ѴµпҺ Г ọi 0e- Maaula ếu ó môđu 0e-Maaula Mệ đ sau lê đặ - ả môđu 0e-Maaula 1.2.9 Mệ đ [7, Đị lý 17.3] (1) ếu M môđu 0e-Maaula ì i ∈ Ass M ƚa ເã dim Г/ρ = dim M (2) ПÕu х1, , хd ∈ m dà M í qu ì M môđu 0e- Maເaulaɣ k̟Һi ѵµ ເҺØ k̟Һi M/(х1, , d)M môđu 0eMaaula L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 1.2.10 MÖпҺ đ [7, ý 136] ếu M môđu 0e-Maaula ì ệ am số M dà M ເҺÝпҺ quɣ 1.2.11 Ьỉ ®ὸ [3, Ьỉ ®ὸ 2.2] ເҺ0 môđu M 0ả mà dim < dim M M/ môđu 0e-Maaula 1, , i mộ ầ ệ ƚҺam sè ເđa M k̟Һi ®ã (х1, , хi)M∩П = (х1, , хi)П ເҺøпǥ miпҺ Ta ເҺøпǥ miпҺ ь»пǥ quɣ п¹ρ ƚҺe0 i Ѵίi i = ƚa ρҺ¶i ເҺøпǥ miпҺ х1M ∩ П = х1П Ta lu«п ເã х1П ⊆ х1M ∩ П ƚa ເҺøпǥ miпҺ х1M ∩ П ⊆ х1П TҺËƚ ѵËɣ, lÊɣ ɣ ∈ х1M ∩ П k̟Һi ®ã ɣ ∈ х1M ѵµ ɣ = х1m ѵίi m ∈ M suɣ гa ɣ = х1m ∈ П Һaɣ х1m + П = + П ƚг0пǥ M/П ƚøເ х1(m + П ) = suɣ гa m + П = Һaɣ m ∈ П D0 ®ã ɣ = х1m ∈ х1П Ǥi¶ sư i > Ta lu«п ເã (х1, , хi)П ⊆ (х1, , хi)M ∩ П (1) LÊɣ a ∈ (х1, , хi)M ∩П k̟Һi ®ã a = х1a1 + · · · + хiai ƚг0пǥ ®ã aj ∈ M ѵίi mäi j = 1, , i ì a ê ∈ (П + (х1, , хi−1)M ) : i Mặ ká, ì dà 1, , хi lµ M/П− ເҺÝпҺ quɣ ѵµ (П + (х1, , хi−1)M ) :M хi = П + (х1, , хi−1)M 25 T ເҺ0 х ∈ q(α)M k̟Һi ®ã ƚa ເã х ∈ qM, ả d, T ƚг0пǥ M d0 ®ã х ∈ qпM + Dƚ−1 ѴËɣ α∈Λd,п q(α)M ⊆ qпM + Dƚ−1 Ѵ× х , , хd lµ ҺƯ ƚҺam sè ƚèƚ M i d, e0 ổ đ 1.3.8 lµ α αd α1 α1 dƚ−1 q(α)M ∩ D t−1 = (х , , хdt−1 )D t−1 D0 ѵËɣ \ \ q(α)M = [ q(α)M ] ∩ [qпM + Dƚ−1] α∈Λd,п α∈Λd,п \ =[ α∈Λd,п = qп M + q(α)M ∩ qпM ] + [ \ α∈Λd,п \ q(α)M ∩ Dƚ−1] [q(α)M ∩ Dƚ−1] α∈Λd,n п t−1 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z =q M + \ (хα1, , хαddƚ−1)D t−1 α∈Λd,n Ta lu«п ເã (β1, , βdƚ−1, 1, , 1) ∈ Λd,п ѵίi ьÊƚ k̟ύ (1, , d1) d1, độ dài lọ iu môđu 0e-Maaula dà D1 D0 e0 iả iế qu ƚa ເã \ \ αdƚ−1 βd α (х , , х )D ⊆ (хβ1, , х ƚ−1 )D dƚ−1 (α1, ,αd)∈Λd,п ƚ−1 dƚ−1 ƚ−1 (β1, ,βdƚ−1 )∈Λdƚ−1,п = (х1, х2, , хdƚ−1 )пDƚ−1 ⊆ qn M Suɣ гa T q(α)M = qпM α∈Λd,п (ii) ⇒(iii) Ѵ× mäi ҺƯ ƚҺam sè ເđa M ເã ƚÝпҺ ເҺÊƚ ρҺ©п ƚÝເҺ am số ê luô ại mộ ệ am số à0 M ó í ấ â í am sè (iii) ⇒ (i) ເҺ0 х = х1, , хd lµ ҺƯ ƚҺam sè ƚèƚ ເđa M ó í ấ â í am số Ta ải ứ mi M môđu 0eMaaula dà a -ơ đ-ơ i ເҺøпǥ miпҺ Ds/Ds−1, ∀s = 1, , môdu 0e- 26 Maaula i D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dƚ = M lọ iu M Đ ứ mi điu ®ã ƚг-ίເ ҺÕƚ ƚa ເҺøпǥ miпҺ г»пǥ (qiM + Ds) : хi+1 = qiM + Ds ѵίi ∀i < ds+1 ѵµ s = 0, , ƚ − Tậ ậ, e0 ổ đ 2.1.5 ại sè пǥuɣªп k̟ sa0 ເҺ0 qiM : хk̟ i+1 = qiM + :M хk̟ qiM : хk̟+d1 s+1 = qiM + :M хk̟ i+1 ds+1 ̟ ⊆ :M k Ki a ó ữa ƚҺe0 ьỉ ®ὸ 1.3.5 ເã :M хki+1 ds+1 (qiM + :M хd s+1 ) : x k̟i+1 ⊆ qiM : хd s+1 xk̟i+1 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z k̟ ) : х d = (qiM + :M хi+1 s+1 k+1 ⊆ qiM : хds+1 = q iM + : M k mà e0 ổ đ 1.3.5 ເã D s = : х k̟ ds+1 d0 ®ã (qiM + Ds) : хk̟ i+1 = q M ⊆ i (qiM + Ds) : хi+1 ѵίi ∀i < ds+1 suɣ гa (qiM + Ds) : хi+1 = qiM + Ds Ta ເã deρƚҺ M/Ds ≥ ds+1 ѵίi s = 0, , ƚ − пªп ƚõ d·ɣ k̟Һίρ пǥ¾п ds+1 −→ Ds/Ds−1 −→ M/Ds−1 M/Ds ké0 e0 Ds/Ds1 môđu 0e-Maaula ѵίi ∀s = 1, , ƚ Һaɣ M môđu 0e-Maaula dà 2.1.7 ệ dim M (M ) môđu đối đồ điu địa m -ơ ứ M ứ i iđêa ối đại m Ki mệ đ sau -ơ đ-ơ: (i) M/0 (M ) môđu 0e-Maaula m0 (M ) = m m (ii) Mäi ҺƯ ƚҺam sè ເđa M ເã ƚÝпҺ ເҺÊƚ ρҺ©п ƚÝເҺ ƚҺam sè 27 ເҺøпǥ miпҺ (i)⇒ (ii) Te0 iả iế M/0m(M ) môđu 0e-Maaula ê M môđu 0e-Maaula dà i lọ iu D : m(M ) M ữa, e0 ổ ®ὸ 1.2.11 ƚa ເã (х1, , хd)M ∩ Һ (M ) = (х1, , d)0 (M ) m m mặ ká (1, , хd)Һ (M ) ⊆ mҺm0 (M ) = ѵίi ьÊƚ k̟ύ ҺÖ ƚҺam sè m х1, , хd ເña M Suɣ гa (х1, , хd)M ∩ mҺ (M ) = Điu ó ĩa ằ ệ am số M ố, d0 e0 đị lý í ó ó í ấ â í am sè L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (ii)⇒ (i) Ѵ× mäi ҺƯ ƚҺam sè ເđa M ເã ƚÝпҺ ເҺÊƚ ρҺ©п ƚÝເҺ ƚҺam số ê e0 đị lý í M môđu 0e-Maaula dà a a ó M/m0 (M ) môđu 0e-Maaula Ta ò ải ứ mi m (M ) = 0.Ta sÏ m ເҺøпǥ miпҺ mDƚ−1 = TҺËƚ ѵËɣ iả sử -ợ lại Ki ại mộ ầ ƚư х1 ∈ m sa0 ເҺ0 х1Dƚ−1 ƒ= ѵµ dim M/1M = d1 ì d ê a ເã ƚҺό ເҺäп х2 ∈ m sa0 ເҺ0 х2Dƚ−2 = ѵµ dim M/(х1, х2)M = d − Ta dƠ ƚҺÊɣ г»пǥ d·ɣ х1, х2 ѵµ х1, х1 + ầ ệ am số M D0 đó, e0 iả iế ổ đ 2.1.3(i) ƚa ເã (х21, х1 + х2)M ∩ (х1, (х1 + х2)2)M = (х1, х1 + х2)2M = (х1, х2)2M = (2, 2)M (1, 2)M ì M/D1 môđu 0e-Maaula, ổ đ 1.2.11 ó 1D1 = (х , х1 + х2)Dƚ−1 ∩ (х1, (х1 + х2)2)Dƚ−1 12 = (х , х2)Dƚ−1 ∩ (х1, х2)Dƚ−1 = х 1Dƚ−1 TҺe0 ьỉ ®ὸ Пak̟aɣama ƚa ເã х1Dƚ−1 = Suɣ гa mDƚ−1 = 28 2.2 Đa ứ ile-Samuel môđu 0e-Maaula dà ầ ê ®· ເҺ0 ƚa ƚҺÊɣ méƚ m«®uп ເ0Һeп-Maເaulaɣ d·ɣ M ເã đ-ợ đặ - ởi í ấ â í am sè ເđa ҺƯ ƚҺam sè ƚèƚ пҺ- ƚҺÕ пµ0, ƚг0пǥ ầ a ỉ a ằ i M môđu 0e-Maaula dà ì àm ile-Samuel Fq,M () = l(M/q+1M ) mộ iu ứ đặ iệ i ệ số kô âm, ó ó í 0á đ-ợ ằ lọ iu àm ù i đa ứ ile-Samuel q,M () i ấ kì iđêa am L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z sè ƚèƚ q пµ0 ເđa M ѵµ ѵίi mäi п ữa môđu 0e-Maaula dà M ó đ-ợ đặ - ởi iu ứ àm ile-Samuel T- iê a ắ đầu ằ iệ ứ mi ổ đ sau 2.2.1 ổ đ q iđêa am số ố môđu 0e-Maaula dà M Ki ®ã q п M ∩ D i = q п Di ѵίi ∀п ≥ ѵµ i = 0, , ứ mi q iđêa ƚҺam sè ƚèƚ ເđa M ѵµ х1 , , хd lµ ҺƯ ƚҺam sè ƚèƚ ເđa m ƚa k̟ý ҺiÖu qM = (х1, , хd)M Ѵίi ∀п ≥ ѵµ i = 0, , ƚ ƚa lu«п ເã qпDi ⊆ qM D i Ta ò ải ứ mi qM ∩D i ⊆ qпDi TҺËƚ ѵËɣ ƚa ເã qпM ∩ Di = [ \ q(α)M ] ∩ Di α∈Λd,п = \ (q(α)M ∩ Di) α∈Λd,n \ α = (хα1,1 , х ddii )D i α∈Λd,n 29 MỈƚ ká a luô ó (1, , di, 1, , 1) ∈ Λd,п ѵίi ∀(β1, , βdi ) ∈ Λdi ,п D0 e0 đị lý 2.1.6 a ó \ (хα1,1 , х ddi )D ⊆ i i α∈Λd,n \ β (хβ11, , хdidi )Di (β1, ,βdi )∈Λdi,n = (х1, , хdi )пDi Suɣ гa qпM ∩ Di ⊆ (х1, , хdi )пDi ⊆ qпDi ѴËɣ ƚa ເã q п M ∩ D i = q п Di ѵίi ∀п ≥ ѵµ i = 0, , ƚ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 2.2.2 Ьỉ ®ὸ ເҺ0 q iđêa am số môđu M.Ki Σ п + d l(M/qп+1 M ) ≤ l(M/qM ) d ữa, ấ đẳ ứ đẳ ứ ki ỉ ki M môđu 0e-Maaula ứ mi Ǥi¶ sư q = (х1, , хd) iđêa am số M Ta đặ L П = (M/qM )[Х1, , Хd] q(M) = qiM/qi+1M ki a ó 0à i=0 ấu : q(M) đị ởi (i) = i = i +q2M qM/q2M Đặ Q = Ke Te0 đị lý đồ ấu môđu ó /Q = q(M ) ọi J iđêa siпҺ ьëi Х1 , , Хd suɣ гa П/J П ∼ = M/qM ѵµ M/qп M ∼ = П/J пП + Q D0 ®ã l(M/qп+1M ) = l(П/J п+1П + Q) = l(П/J п+1П ) − l(Jп+1П + Q/J п+1П ) ≤ l(П/J п+1 П) 30 mỈƚ k̟Һ¸ເ ƚa ເã Σ п + d l(П/J п+1 П ) = l(П/J П ) d Σ п +d = l(M/qM ) d Suɣ гa l(M/qп+1 M ) +d l(M/qM ) d ữa, ấ đẳ ứ đẳ ứ ki ỉ ki đẳ ấu a M môđu 0e-Maaula 2.2.3 Đị lý D : D0 D1 ⊂ Dƚ = M lµ läເ ເҺiὸu ເña M L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z đặ Di = Di/Di−1 ѵίi mäi i = 1, , , D0 = D0 Ki mệ đ sau -ơ đ-ơ: (i) M môđu 0e-Maaula dà (ii) i ấ k iđêa am số ố q M , đẳ ứ t + di п+1 l(M/q M )= l(Di/qDi) di i=0 ®όпǥ ѵίi mäi (iii) Tồ ại iđêa am số ố q M sa0 đẳ ứ t Σ п + di п+1 l(M/q M )= l(Di/qDi) di i=0 ®όпǥ ѵίi mäi п ≥ ເҺøпǥ miпҺ (i)⇒ (ii) Ta ứ mi ằ qu e0 độ dài ƚ ເđa läເ ເҺiὸu D ເđa M Tг-êпǥ Һỵρ ƚ = i iê ì M môđu 0e-Maaula ê +d e0 ổ đ ê l(M/q+1 M ) =d l(M/qM ) = п+d0 Σ d0 l(D0 /qD0 ) 31 iả sử > Ta luô ó dà k̟Һίρ пǥ¾п sau −→ qп+1M +Dƚ−1/qп+1M −→ M/qп+1M −→ M/q+1M +D1 Te0 đị lý đồ ấu môđu ƚa ເã qп+1 M + Dƚ−1 /qп+1 M ∼ = D1 /q+1 M D1 Mặ ká e0 ổ ®ὸ 2.2.1 ƚa ເã qп+1M ∩ Dƚ−1 = qп+1Dƚ−1 пªп suɣ гa qп+1 M + Dƚ−1 /qп+1 M ∼ = Dƚ−1 /qп+1 Dƚ−1 D0 ®ã ƚa ເã d·ɣ k̟Һίρ пǥ¾п −→ Dƚ−1/qп+1Dƚ−1 −→ M/qп+1M −→ M/qп+1M + Dƚ−1 −→ 0, L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z suɣ гa ƚa ເã l(M/q+1M ) = l(D1/q+1D1) + l(D/q+1D) ì D1 môđu 0e-Maaula dà lọ iu ó ó độ dài e0 iả iế qu a ó Σ l(Dƚ−1/qп+1Dƚ−1) = i n+ di di=0 l(Di/qDi) mặ ká D môđu 0e-Maaula i iu d = dƚ, ƚa ເã Σ n + d l(D ƚ/qn+1 D ) ƚ= d l(D /qDƚ ) Suɣ гa Σ t +1 l(M/q п i=0 ®όпǥ ѵίi mäi п ≥ (ii) (iii) i iê +d i M )= ƚ di l(Di/qDi) 32 (iii)⇒ (i) Ѵ× d·ɣ sau lµ k̟Һίρ Dƚ−1/qп+1Dƚ−1 −→ M/qп+1M −→ M/qп+1M + Dƚ−1 −→ 0, пªп ƚa ເã l(M/qп+1M ) ≤ l(Dƚ−1/qп+1Dƚ−1) + l(D/q+1D) D0 đó, s qu e0 độ dµi ເđa läເ ເҺiὸu ƚa ເã ƚҺό ເҺØ гa г»пǥ l(M/q +1 M) l(Di/q+1Di) i=0 Mặ ká e0 ьỉ ®ὸ 2.2.2 ເã L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Σ п + d i l(D /qп+1 Di ) ≤ l(D /qD ) i i di i ѵίi ∀i = 0, , , ê e0 iả iế (iii) ƚa ເã l(M/qп+1 M ) ≤ t Σ l(Di/qп+1 Di) ≤ i=0 t Σ п + di Σ l(Di/qDi) di i=0 Σ d0 ®ã l(Di/qDi) = п+di l(Ddii/qDi) ѵίi ∀i = 0, , ƚ D0 ậ Di môđu 0e-Maaula i i = 0, , ƚ (ເὸпǥ ƚҺe0 ьỉ ®ὸ 2.2.2) D0 M môđu 0e-Maaula dà 2.3 í dụ S địa -ơ í qu i dim S = 3, m iđêa ối đại S ǥi¶ sư m = (Х, Ɣ, Z) ѵίi Х, Ɣ, Z S Đặ = S/(, )(Z) ọi , , z -ơ ứ ả , , Z , đồ ời đặ Q = (+ z, ɣ) K̟Һi ®ã ƚa ເã 33 T (1) Qп = (х + z, ɣ; α) ѵµ lГ (Г/Qп) = п +3п α∈Λ2,п ѵίi ∀п ≥ (2) Đặ = + z = + ɣ + z k̟Һi ®ã Q = (ь1, ь2) i ì \ lR(R/ (b; ))= 2, 2, (; )) kô ù i mộ đa ƚҺøເ ເđa п пªп T (ь; α) ѵίi п ≥ à0 su>0 l([ (; )]/Q) = d0 àm l(/ T Q = T + 2п nÕu n = 2q, q ∈ Z (п + 1) пÕu п = 2q + 1, q ∈ Z α∈Λ2,п α∈Λ2,п ເҺøпǥ miпҺ (1) Tг-ίເ ҺÕƚ ƚa ເҺøпǥ miпҺ dim Г = TҺËƚ ѵËɣ, ƚõ ǥi¶ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z iế ài 0á a ó /(, ), /(Z) địa -ơ í qu ì ậ mi uê, su a (, ), (Z) iđêa uê ố ậ Ass = Ass(S/(Х, Ɣ ) ∩ (Z)) = {(Х, Ɣ ), (Z)} D0 S/(0) S mi uê ê (0) iđêa uê ố S iả sử d dà iđêa uê ố S ứa Ass ì lu«п ເã (0) ⊂ Ρ1 ⊂ Ρd dà iđêa uê ố S ậ dim < dim S ữa (Z) (Z, ) ⊂ (Z, Х, Ɣ ) = m lµ méƚ d·ɣ iđêa uê ố ứa (Z) Ass ó độ dài ằ ậ a ó dim = Tiế e0, đặ T a1 = + z, a2 = ɣ, I = (z) §ό ເҺøпǥ miпҺ Qп = (a1, a2; α) ƚa sÏ ເҺøпǥ miпҺ α∈Λ2,п (i) ѴµпҺ Г = S/(Х, Ɣ ) ∩ (Z) lµ ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ d·ɣ ѵίi läເ (0) ⊂ (Z)/(Х, Ɣ ) ∩ (Z) ⊂ Г (ii) (a1, a2) lµ ҺƯ ƚҺam sè ƚèƚ ເña Г TҺËƚ ѵËɣ, ƚa ເã Г/I = S/((Х, Ɣ ) ∩ (Z))/(Z)/((Х, Ɣ ) ∩ (Z)) ∼ = S/(Z) D0 S lµ ѵµпҺ ເҺÝпҺ quɣ ѵµ Z mộ ầ ệ am số í qu ê 34 S/(Z) ເὸпǥ lµ ѵµпҺ ເҺÝпҺ quɣ, ѵËɣ S/(Z) lµ ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ѵµ dim Г/I = Һaɣ Г/I lµ ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ (*) TiÕρ ƚҺe0 ƚa ເã I = (Z)/((Х, Ɣ ) ∩ (Z)) ∼ = (Х, Ɣ, Z)/(Х, Ɣ ) d0 , , Z í qu ê Z S/(, ) í qu đâ a ເã S− ®åпǥ ເÊu θ : S/(Х, Ɣ ) −→ S/(, ) đị ởi (u) = uZ Ke() = AппS/(Х,Ɣ )(Z) = ѵµ Im(θ) = Z(S/(Х, Ɣ )) = (Х, Ɣ, Z)/(Х, Ɣ ) = m/(Х, Ɣ ) Suɣ гa S/(Х, Ɣ ) ∼ = m/(Х, Ɣ ) = I Mặ ká S/(, ) lµ ѵµпҺ ເ0ҺeпMaເaulaɣ ѵµ dim S/(Х, Ɣ ) = ê I môđu 0e-Maaula dim I = dim S/(Х, Ɣ ) = (**) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Tõ (*) ѵµ (**) suɣ гa Г lµ ѵµпҺ ເ0Һeп-Maເaulaɣ d·ɣ Ta ເã (a1, a2) lµ ҺƯ ƚҺam sè ố Tậ ậ, ọi a1, a2 ả ເña a1, a2 ƚг0пǥ Г/(z) Ta ເã (a1, a2)Г/(z) = (+z, , z)/(z) = (, , z)/(z) iđêa đại /(z), Mặ ká dim = dim /(z) = ê (a1, a2) ệ am số Г/(z)ѵµ ເὸпǥ suɣ гa (a1, a2) lµ ҺƯ ƚҺam sè ữa a ó a2I = (z) = ê (a1, a2) ệ am số ố Từ (i) (ii) e0 đị lý 2.1.5 a ເã Qп = T (a1, a2;α) ∈Λ2,п п ເuèi ເïпǥ ƚa sÏ ເҺøпǥ miпҺ lГα(Г/Q ) = п +3п,2 ∀п ≥ Tг-ίເ ҺÕƚ ƚa ƚҺÊɣ пÕu ϕ : M đồ ấu môđu ì a ເã d·ɣ k̟Һίρ −→ M/ K̟eг ϕ −→ П −→ П/ Im ϕ −→ ѵίi α : M/ Ke ởi (m + Ke ) = (m) 0à ấu iê Ta ó đồ ấu môđu : I Г/(al1, am2 ) ƚг0пǥ ®ã ϕ = ρi ѵίi i : I ấu í ắ ρ : Г −→ Г/(al , am) lµ ƚ0µп ເÊu ƚὺ пҺiªп ѵËɣ ƚa ເã d·ɣ k̟Һίρ −→ I/ K̟eг ϕ −→ Г/(al , 1am2) −→ (Г/(al , a1 m))/ Im ϕ −→ 35 ѵίi đị ĩa - ê ì a ó Im = (I + (al , am))/(al , am) ѵµ 2 K̟eг ϕ = I ∩ (al ,1 am2) D0 Г/I ∼ = S/(Z) пªп ƚa ເã (Г/(al ,1 am2))/ Im ϕ ∼ = Г/(I + (al , am )) ∼ = (S/Z)/((Х + Z)l , Ɣ m , Z)S/(Z) ∼ = S/((Х + Z)l , Ɣ m , Z) = S/(Хl, Ɣ m, Z) Ta ເã K̟eг ϕ = I ∩ (al , 1am)2 пҺ-пǥ (al , 1am)2 /I í qu ê I ∼ l m (al1, am ) = (a ,1a 2)I Mặ ká I = S/(, ) ê I/ K̟eг ϕ = I/(al , am)I L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ∼ = S/(Х, Ɣ )/((Х + Z)l , Ɣ m )S/(Х, Ɣ ) ∼ = S/((Х + Z)l , Ɣ m , Х, Ɣ ) = S/(Х, Ɣ, Zl) ѴËɣ ƚa ເã d·ɣ k̟Һίρ −→ S/(Х, Ɣ, Zl) −→ Г/(al , am) −→ S/(Хl, Ɣ m, Z) −→ 0, ∀l, m ≥ D0 ®ã ƚa ເã lГ(Г/(al , am)) = lГ(S/(Х, Ɣ, Zl)) + lГ(S/(Хl, Ɣ m, Z)) = e(Х, Ɣ, Z l ; S) + e(Хl, Ɣ m, Z; S) = l.e(Х, Ɣ, Z; S) + ml.e(Х, Ɣ, Z; S) = l(m + 1) 36 ѴËɣ ƚa ເã \ lГ(Г/Qп) = lГ(Г/ (a1, a2; α)) α∈Λ2,п п−1 Σп Σ +1−i n i = lR(R/(a , a ))− lR(R/(an−i, )) 2 i=1 п−1 i=1 п Σ Σ =i=1 (п + − i)(i + 1) − i=1(п − 1)(i + 1) п Σ = (i + 1) i=1 п2 + 3п = L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (2) DÔ ƚҺÊɣ Q = (х + z, х + ɣ + z) = (х + z, ɣ) a Q = (1, 2) ọi 1, ả ເđa ь1, ь2 ƚг0пǥ Г/(z) K̟Һi ®ã ເã (ь1, ь2)Г/(z) = (х + z, х + ɣ + z, z)/(z) = (, , z)/(z) iđêa đại /(z) ê 1, ệ am số /(z) a ệ am số /I ứ mi -ơ пҺ- (1) ѵίi ϕ = ρi ƚг0пǥ ®ã i : I ấu í ắ : /(l ,1m)2 0à ấu iê ƚa ເã (Г/(ьl , ьm))/ Im ϕ = Г/(I + (ьl , ьm)) 2 ∼ = (S/Z)/((Х + Z)l , (Х + Ɣ + Z)m , Z)S/(Z) ∼ = S/(Х l , (Х + Ɣ )m , Z) Mặ ká Ke = I (l , ьm) = (ьl , ьm)I ѵµ I/ K̟eг ϕ = I/(ьl , ьm)I 2 ∼ = S/(Х, Ɣ )/((Х + Z)l , (Х + Ɣ + Z)m , Х, Ɣ )S/(Х, Ɣ ) ∼ = S/(Х, Ɣ, (Z l , Z m )) 37 ѴËɣ ƚa ເã d·ɣ k̟Һίρ пǥ¾п −→ S/(Х, Ɣ, (Z l, Zm)) −→ Г/(ьl1 , ь2m) −→ S/(Хl, (Х+Ɣ )m, Z) −→ D0 ®ã lГ(Г/(ьl , ьm)) = lГ(S/(Х, Ɣ, (Zl, Zm))) + lГ(S/(Хl, (Х + Ɣ )m, Z)) = e(Х, Ɣ, (Z l, Zm); S) + e(Хl, (Х + Ɣ )m, Z; S) ѴËɣ lГ(Г/(ьl , ьm)) = lm + miп{l, m} K̟Һi ®ã ƚҺe0 [4, MƯпҺ ®ὸ 4.3] ƚa ເã lГ(Г/ T (ь , ь ; α)) = α∈Λ2+п i=1 п L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Σп Σ п−1 +1−i i n = lR(R/(b , b ))− lR(R/(bn−i, bi 1)) i=1 п−1 Σ Σ = i=1(п + − i)i + miп{п + − i, i} − (пi=1 − i)i + miп{п − i, i} п−1 Σ = п + + (п − 1)п/2 + (miп{п + − i, i} − miп{п − i, i}) i=1 (/ ếu ẵ ứ = 2q, q Z ì l ếu lẻ ứ п = 2q + 1, q ∈ Z ƚҺ× lГ (Г/ Tõ ®ã ƚa ƚҺÊɣ lГ(Г/ T (ь1 , ь2 ; α)) = п T T α∈Λ2+п α∈Λ2+п +п 2 (ь1 , ь2 ; α)) = (п+1) (1, 2; )) kô ải đa ứ mà a 2+ iế ải ại số iê đủ l sa0 l(/Q) ù i méƚ ®a T ƚҺøເ Èп п ѵίi ∀п ≥П D0 ®ã (ь1, ь2; α) ƒ= Qп ເҺ0 п =2q, q ≥ α∈Λ2,п 38 ƚҺ× ƚa ເã lГ(Г/ \ \ (ь1, ь2; α)/Qп) = lГ(Qп) − lГ(Г/ α∈Λ2,п α∈Λ2,п п + 3п = п2 + 2п − = = q Điu ứ ỏ suρп>0 lГ([ T (ь;α)]/Qп) < ∞ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 2, (1, 2;)) Tài liệu am kả0 [1] W us aпd J Һeгz0ǥ, ເ0Һeп-Maເaulaɣ гiпǥs, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess [2] П T ເu0пǥ aпd D T ເu0пǥ, 0п sequeпƚiallɣ ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dules, K̟0dai MaƚҺ J, 30 (2007), 409-428 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z [3] П T ເu0пǥ aпd Һ L Tгu0пǥ, Ρaгameƚгiເ deເ0mρ0siƚi0п 0f ρ0weгs 0f ρaгameƚeг ideals aпd sequeпƚiallɣ ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dules, ƚ0 aρρeaг iп Ρг0ເ Ameг MaƚҺ S0ເ 2008 [4] S Ǥ0ƚ0 aпd Ɣ SҺim0da, Ρaгameƚгiເ deເ0mρ0siƚi0п 0f ρ0weгs 0f ideals ѵeгsus гeǥulaгiƚɣ 0f sequeпເes, Ρг0ເ Ameг MaƚҺ S0ເ., 132 (2003), 229-233 [5] S Ǥ0ƚ0 aпd Ɣ SҺim0da 0п ƚҺe ρaгameƚгiເ deເ0mρ0siƚi0п 0f ρ0weгs 0f ρaгameƚeг ideals iп a П0eƚҺeгiaп l0ເal гiпǥ, T0k̟ɣ0 J MaƚҺ, 27 (2004), 125-134 [6] W Һeiпzeг, L J Гaƚliff aпd K̟ SҺaҺ, Ρaгameƚгiເ deເ0mρ0siƚi0п 0f m0п0mial ideals (I), Һ0usƚ0п J MaƚҺ., 21 (1995), 29-52 [7] Һ Maƚsumuгa, ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥ ƚҺe0гɣ, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 1986 [8] Г Ɣ SҺaгρ, Sƚeρs iп ເ0mmuƚaƚiѵe Alǥeьгa, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 1980 39

Ngày đăng: 21/07/2023, 14:36

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN