Một số vấn đề về môđun đối cohen – macaulay dãy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ THỊ PHƯƠNG NHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MƠĐUN ĐỐI COHEN-MACAULAY DÃY LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ THỊ PHƯƠNG NHI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ MÔĐUN ĐỐI COHEN-MACAULAY DÃY Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số: 8460104 Người hướng dẫn: TS NGUYỄN THÁI HÒA i Mục lục MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đầy đủ 1.2 Địa phương hóa 1.3 Sự phân tích nguyên sơ 1.4 Chiều Krull 10 1.5 Dãy quy độ sâu 13 1.6 Môđun Artin 14 1.7 Biểu diễn thứ cấp 16 1.8 Chiều Noether, hệ tham số số bội 17 1.9 Môđun đối đồng điều địa phương môđun đồng điều địa phương 21 1.10 Môđun Cohen-Macaulay môđun đối Cohen-Macaulay 24 1.11 Môđun Cohen-Macaulay dãy 27 MÔĐUN ĐỐI COHEN-MACAULAY DÃY 30 2.1 Lọc chiều môđun Artin 30 2.2 Môđun đối Cohen-Macaulay dãy 37 2.3 Đặc trưng môđun đối Cohen-Macaulay dãy 42 ii KẾT LUẬN 50 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 MỞ ĐẦU Cho (R, m) vành giao hoán, Noether, địa phương với iđêan cực đại m; M R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim(M ) = d Trong phạm trù mơđun Noether, lớp mơđun Cohen-Macaulay đóng vai trị trung tâm cấu trúc chúng biết đến đầy đủ Môđun M môđun Cohen-Macaulay depth M = dim M Đặc biệt, chúng đặc trưng qua số bội độ dài sau: M môđun Cohen-Macaulay tồn hệ tham số x = (x1 , , xd ) M cho I(x; M ) = (M/xM ) − e(x; M ) = 0, e(x; M ) số bội M tương ứng với hệ tham số x Tiếp tục mở rộng, D A Buchsbaum đưa giả thuyết phát biểu lại sau: I(x; M ) số với hệ tham số x Các nhà Toán học W Vogel J Stuckrad đưa phản ví dụ cho giả thuyết từ lý thuyết mơđun Buchsbaum đời, sau N T Cường, P Schenzel Ngơ Việt Trung tiếp tục nghiên cứu lớp mơđun thỏa mãn tính chất SupI(x; M ) < ∞ Lớp môđun gọi lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng Một hướng mở rộng khác lớp môđun Cohen-Macaulay lớp mơđun Cohen-Macaulay dãy đưa R P Stanley [24] cho môđun phân bậc hữu hạn sinh, sau P Schenzel [25], Nguyễn Tự Cường, Đoàn Trung Cường Lê Thanh Nhàn [7], [8] định nghĩa cho trường hợp vành địa phương Trong phạm trù mơđun Artin, lớp mơđun đóng vai trị quan trọng tương tự lớp mơđun Cohen-Macaulay nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu gọi mơđun đối Cohen-Macaulay Nó định nghĩa sau: Một R-môđun Artin A gọi đối Cohen-Macaulay WidthA = N-dimA Cấu trúc lớp môđun đặc trưng qua dãy đối quy, số bội, đồng điều địa phương (Xem [10], [15], [21], [27]) Với mục đích tìm hiểu sâu Đại số giao hốn, chúng tơi đọc hiểu trình bày chi tiết kết báo "Về môđun đối CohenMacaulay dãy" N T Dung [9] Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày vắn tắt kiến thức Đại số giao hốn như: Đầy đủ; Địa phương hóa; Sự phân tích nguyên sơ; Chiều Krull; Dãy quy độ sâu; Môđun Artin; Biểu diễn thứ cấp; Chiều Noether, hệ tham số số bội; Môđun đối đồng điều địa phương môđun đồng điều địa phương; Môđun Cohen-Macaulay môđun đối Cohen-Macaulay; Môđun Cohen-Macaulay dãy Chương 2: Môđun đối Cohen-Macaulay dãy Chương trình bày chứng minh chi tiết kết môđun đối Cohen-Macaulay dãy như: Lọc chiều môđun Artin; Môđun đối Cohen-Macaulay dãy; Đặc trưng môđun đối Cohen-Macaulay dãy Luận văn hồn thành khóa 20 đào tạo thạc sĩ khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hịa Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới Thầy hướng dẫn, người tận tình giảng dạy khích lệ tơi vượt qua lúc khó khăn suốt thời gian thực đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn thầy, cô giáo ngồi khoa tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn học viên lớp cao học Tốn khóa 20, đồng nghiệp Trường THPT Phạm Kiệt, người thân gia đình bạn bè bên tôi, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực khoá luận Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận góp ý q thầy, giáo bạn đọc để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Ngày 26 tháng năm 2019 Học viên thực đề tài Lê Thị Phương Nhi Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong tồn chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức 1.1 Đầy đủ Nội dung phần trình bày theo tài liệu [18] Cho R vành giao hốn có đơn vị Định nghĩa 1.1.1 Một vành lọc R vành R với họ (Rn )n nhóm R thỏa mãn điều kiện: (i) R0 = R; (ii) Rn+1 ⊂ Rn với n 0; (iii) Rn Rm ⊂ Rn+m với n, m Ví dụ 1.1.2 (i) Giả sử R vành Lấy R0 = R Rn = với n Khi (Rn )n lọc R gọi lọc tầm thường (ii) Cho I iđêan R Khi (I n )n lọc R, gọi lọc I -adic (iii) Cho (Rn )n (Rn ∩ S)n 0 lọc R S vành R Khi lọc S , gọi lọc cảm sinh S Định nghĩa 1.1.3 Cho R vành lọc với lọc (Rn )n Một R-môđun M lọc R-môđun M với họ (Mn )n R-môđun M thỏa mãn điều kiện: (i) M0 = M ; (ii) Mn+1 ⊂ Mn với n 0; (iii) Rn Mm ⊂ Mn+m với n, m Ví dụ 1.1.4 (i) Cho M R-mơđun R có lọc tầm thường Khi M có lọc tầm thường định nghĩa M0 = M Mn = với n (ii) Cho I iđêan R xét lọc I -adic R Định nghĩa lọc I -adic M cách lấy Mn = I n M Khi M R-mơđun lọc Cho M R-môđun lọc Lọc (Mn )n M xác định tơpơ M tương thích với cấu trúc nhóm abel M mà (Mn )n sở lân cận cận Tôpô gọi tôpô cảm sinh lọc (Mn )n Cho M R-môđun với lọc (Mn )n tôpô định nghĩa lọc (Mn )n Chúng nhắc lại khái niệm dãy Cauchy: Một dãy (xn ) phần tử M gọi dãy Cauchy với k ∈ N, tồn n0 cho xm − xn ∈ Mk , với m, n n0 Gọi T tập tất dãy Cauchy M Trên T quan hệ hai định nghĩa bởi: Với (xn ), (yn ) ∈ T , (xn ) ∼ (yn ) với m ∈ N tồn n0 cho xn − yn ∈ Mm , với n Khi quan hệ tương đương Kí hiệu M = T /∼ = {(xn ) | (xn ) ∈ T } n0 Tương tự, S tập dãy Cauchy R tương ứng với lọc (Rn )n Kí hiệu R = S/∼ = {(an )n | (an ) ∈ S} Khi (R, +, ) vành giao hốn có đơn vị với hai phép toán Với (an )n , (bn )n ∈ R, (an ) + (bn ) = (an + bn )n , (an ).(bn ) = (an bn )n Tiếp theo, hai phép toán cộng nhân vô hướng M định nghĩa bởi: Với (xn ), (yn ) ∈ M , (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) Với (an ) ∈ R, (xn ) ∈ M , (an ).(xn ) = (an xn ) Khi M R-môđun Định nghĩa 1.1.5 Cho I iđêan vành R, tôpô định nghĩa M lọc I -adic gọi tôpô I -adic bao đầy đủ M gọi bao đầy đủ I -adic 1.2 Địa phương hóa Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm địa phương hóa theo [18] Cho R vành giao hốn có đơn vị Tập S ⊂ R gọi tập nhân đóng ∈ S với x, y ∈ S xy ∈ S Xét tập S × R = {(s, r) | s ∈ S r ∈ R} 40 với j = 1, , t Từ đẳng cấu A mơđun đối Cohen-Macaulay dãy nên suy N-dim (A/Bi )/(Bt−1 /Bi ) < N-dim (A/Bi )/(Bt−2 /Bi ) < < N-dim (A/Bi )/(Bi /Bi ) A/Bt−1 , Bt−1 /Bt−2 , , Bi+1 /Bi mơđun đối Cohen-Macaulay Do ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.2.6 Giả sử A có lọc đối Cohen-Macaulay Khi nhất, lọc chiều A Chứng minh Cho = A0 ⊂ A1 ⊂ ⊂ At−1 ⊂ At = A lọc chiều A = B0 ⊂ B1 ⊂ ⊂ Bh−1 ⊂ Bh = A lọc đối Cohen-Macaulay A Ta chứng minh quy nạp theo i t = h Ai = Bi với i = 1, , t Cho i = Vì N-dimA/B1 < d, theo tính chất nhỏ A1 ta có A1 ⊆ B1 Nếu B1 = A1 B1 /A1 = Từ dãy khớp → B1 → A → A/B1 → N-dimA/B1 < d nên N-dimA = N-dimB1 = d Mặt khác, B1 đối Cohen-Macaulay nên theo Bổ đề 2.2.4, ta có N-dim(B1 /A1 ) = d Do d > N-dim(A/A1 ) ≥ N-dim(B1 /A1 ) = d, mâu thuẫn Vậy B1 = A1 Cho i > giả sử Bi−1 = Ai−1 Do theo Bổ đề 2.2.5 A/Bi−1 đối Cohen-Macaulay dãy với lọc đối Cohen-Macaulay = Bi−1 /Bi−1 ⊂ Bi /Bi−1 ⊂ ⊂ Bh−1 /Bi−1 ⊂ Bh /Bi−1 = A/Bi−1 41 Vì Bi−1 = Ai−1 , ta kiểm tra lọc chiều A/Bi−1 = Ai−1 /Bi−1 ⊂ Ai /Bi−1 ⊂ ⊂ At−1 /Bi−1 ⊂ At /Bi−1 = A/Bi−1 Tương tự trường hợp i = 1, ta chứng minh Bi /Bi−1 = Ai /Bi−1 Từ dãy khớp → Bi /Bi−1 → A/Bi−1 → A/Bi → từ điều kiện lọc chiều N-dimA/Bi < N-dimA/Bi−1 ta phải có N-dimBi /Bi−1 = N-dimA/Bi−1 = N-dimA/Ai−1 Mặt khác, tính chất nhỏ Ai /Bi−1 nên ta có Ai /Bi−1 ⊆ Bi /Bi−1 Giả sử Bi /Bi−1 = Ai /Bi−1 Do Bi /Bi−1 môđun đối CohenMacaulay, nên theo Bổ đề 2.2.4, ta có N-dim((Bi /Bi−1 )/(Ai /Bi−1 )) = N-dimBi /Bi−1 Hơn nữa, N-dim (A/Bi−1 )/(Ai−1 /Bi−1 ) > N-dim (A/Bi−1 )/(Ai /Bi−1 ) ≥ N-dim (Bi /Bi−1 )/(Ai /Bi−1 ) Nên theo định lý đẳng cấu mơđun, ta có N-dimA/Ai−1 > N-dimA/Ai ≥ N-dimBi /Bi−1 = N-dimA/Ai−1 Suy mâu thuẫn Do Bi /Bi−1 = Ai /Bi−1 , hay Bi = Ai Vậy t = h Ai = Bi với i = 1, , t 42 2.3 Đặc trưng môđun đối Cohen-Macaulay dãy Trong phần này, cho B R-môđun Artin, D(B) = HomR (B; E) đối ngẫu Matlis B xem R-mơđun hữu hạn sinh E = E(R/m) bao nội xạ R/m Đối ngẫu Matlis cho mối quan hệ môđun Artin mơđun Noether Ví dụ AttR A = AssR D(A), N-dimA = dimR D(A) WidthR A = depthR D(A) Do đó, A R-mơđun đối Cohen-Macaulay D(A) R-mơđun Cohen-Macaulay Trước hết chúng tơi trình bày kết quan trọng để thu đặc trưng môđun đối Cohen-Macaulay dãy Bổ đề 2.3.1 A môđun đối Cohen-Macaulay dãy đối ngẫu Matlis D(A) A R-môđun Cohen-Macaulay dãy Chứng minh Cho A: = A0 ⊂ A1 ⊂ ⊂ At−1 ⊂ At = A lọc chiều A Trước hết ta khẳng định D(A) : = D(A/At ) ⊂ D(A/At−1 ) ⊂ ⊂ D(A/A1 ) ⊂ D(A/A0 ) = D(A) lọc chiều D(A) Thật vậy, cho i ∈ {1, , t} Khi đó, từ dãy khớp −→ Ai /Ai−1 −→ A/Ai−1 −→ A/Ai −→ kéo theo dãy khớp −→ D(A/Ai ) −→ D(A/Ai−1 ) −→ D(Ai /Ai−1 ) −→ Vì vậy, D(A/Ai ) mơđun D(A/Ai−1 ) D(A/Ai−1 )/D(A/Ai ) ∼ = D(Ai /Ai−1 ) Dễ thấy N-dim(Ai /Ai−1 ) = N-dim(A/Ai−1 ), với i t Do đó, dimR (D(Ai /Ai−1 )) = N-dimAi /Ai−1 < N-dimAi−1 /Ai−2 = dimR D(Ai−1 /Ai−2 ) 43 Vì vậy, dimR D(A/Ai−1 )/D(A/Ai ) < dimR D(A/Ai−2 )/D(A/Ai−1 ) Khẳng định chứng minh ta D(A/Ai ) môđun lớn D(A/Ai−1 ) có chiều nhỏ dimD(A/Ai−1 ) Bằng quy nạp, ta cần chứng minh cho trường hợp i = Thật vậy, giả sử tồn môđun L D(A) cho D(A/A1 ) thực chứa L dimL < dimD(A) = d Khi ∅ = AssR (L/D(A/A1 )) ⊆ AssR (D(A)/D(A/A1 )) Lấy p ∈ AssR (L/D(A/A1 )) Vì dimL < d, nên dimR/p < d Khi p ∈ AssR (D(A)/D(A/A1 )) = AssR D(A1 ) = AttR A1 Vì theo Định lý 2.1.4, ta có dimR/p = d Điều dẫn đến vô lý Bây ta tiếp tục chứng minh bổ đề Cho i t Khi Ai /Ai−1 mơđun đối Cohen-Macaulay D(Ai /Ai−1 ) CohenMacaulay, và D(A/Ai−1 )/D(A/Ai ) Cohen-Macaulay Do đó, theo Mệnh đề 2.2.6 ta có điều phải chứng minh Từ Bổ đề 2.3.1, ta có hệ sau Hệ 2.3.2 Cho M R-môđun hữu hạn sinh Giả sử R vành có phức đối ngẫu Khi M Cohen-Macaulay dãy đối ngẫu Matlis D(M ) M đối Cohen-Macaulay dãy Chứng minh Ta có D(D(M )) ∼ = M , M đầy đủ m-adic M Bởi Bổ đề 2.3.1, D(M ) đối Cohen-Macaulay dãy M Cohen-Macaulay dãy Vì R vành có phức đối ngẫu, theo ([7], Định lý 5.1) M Cohen-Macaulay dãy M Cohen-Macaulay dãy 44 Định lý sau cho đặc trưng môđun đối Cohen-Macaulay dãy đồng điều địa phương Giả thiết định lý khơng u cầu vành có phức đối ngẫu Định lý 2.3.3 Các mệnh đề sau tương đương: (i) A môđun đối Cohen-Macaulay dãy (ii) Với j = 0, 1, , d, môđun Hjm (A) = R-môđun CohenMacaulay chiều j (iii) Với j = 0, 1, , d − 1, môđun Hjm (A) = R-môđun Cohen-Macaulay chiều j Chứng minh (i) ⇒ (ii) Vì A R-mơđun đối Cohen-Macaulay dãy nên theo Bổ đề 2.3.1, D(A) R-môđun Cohen-Macaulay dãy với chiều Krull dimR D(A) = d Vì vậy, theo Định lý 1.11.6 D(Hmj (D(A))) = R-môđun Cohen-Macaulay chiều j , với j = 0, 1, , d Từ đẳng cấu j Hjm (A) ∼ = D Hm (D(A)) , theo Mệnh đề 1.9.5 (ii), ta có Hjm (A) = R-mơđun Cohen-Macaulay với chiều j với j = 0, 1, , d (ii) ⇒ (iii) Hiển nhiên (iii) ⇒ (i) Cho j d − số nguyên Từ Hjm (A) = R-môđun Cohen-Macaulay với chiều j , theo Mệnh đề 1.9.5 (ii) D Hmj (D(A)) = R-môđun Cohen-Macaulay với chiều j Vì vậy, D(A) R-mơđun Cohen-Macaulay dãy Định lý 1.11.6 Do đó, A mơđun đối Cohen-Macaulay Bổ đề 2.3.1 45 Hệ sau suy từ Mệnh đề 1.11.7 Bổ đề 2.3.1 Hệ 2.3.4 Tổng trực tiếp hữu hạn môđun đối Cohen-Macaulay dãy môđun đối Cohen-Macaulay dãy n Chứng minh Giả sử A = A1 ⊕ ⊕ An = Ai , Ai mơđun i=1 đối Cohen-Macaulay dãy với i = 1, , n Ta chứng minh A môđun đối Cohen-Macaulay dãy n Thật vậy, ta có D(A) = D( n Ai ) = i=1 D(Ai ) Vì Ai mơđun i=1 Cohen-Macaulay dãy, theo Bổ đề 2.3.1 ta có D(Ai ) R-mơđun Cohenn Macaulay dãy với i = 1, , n Do D(Ai ) = D(A) R-mơđun i=1 Cohen-Macaulay dãy Vậy theo Bổ đề 2.3.1 ta có A mơđun đối CohenMacaulay dãy Tiếp theo, định lý sau cho ta điều kiện phần tử tham số x ∈ m để A môđun đối Cohen-Macaulay dãy :A x môđun đối Cohen-Macaulay dãy Định lý 2.3.5 Cho x ∈ m Giả sử x ∈ / p với p ∈ AttA\{m} Khi A đối Cohen-Macaulay dãy hai điều kiện sau thỏa mãn: (a) x ∈ / p với p ∈ m i=1, ,d AssR Hi (A) (b) :A x đối Cohen-Macaulay dãy Chứng minh Vì x ∈ / p với p ∈ AttA\{m} nên ta có (A/xA) < ∞ Vì từ dãy khớp −→ xA −→ A −→ A/xA −→ 0, ta có đẳng cấu R-mơđun Him (xA) ∼ = Him (A) 46 x Do đó, từ dãy khớp → :A x → A − → xA → kéo theo với i dãy khớp sau −→ H1m (A)/xH1m (A) −→ H0m (0 :A x) −→ H0m (A), (1) m m −→ Hi+1 (A)/xHi+1 (A) −→ Him (0 :A x) −→ :Him (A) x −→ 0, (2) với i = 1, , d − Bây ta chứng minh định lý (a) Giả sử A môđun đối Cohen-Macaulay dãy Bởi Định lý 2.3.3, Him (A) = R-môđun Cohen-Macaulay chiều i với i = 1, , d Giả sử x ∈ p với p ∈ AssR Hkm (A) với k ≥ Vì Hkm (A) Cohen-Macaulay chiều k , nên suy x phần tử tham số Hkm (A), dimR (Hkm (A)/xHkm (A)) = k Do đó, từ dãy khớp (1) (2), ta có k = dimR Hkm (A)/xHkm (A) m dimR Hk−1 (0 :A x) m (0 :A x) ∼ Hơn nữa, Hk−1 = D(Hmk−1 (D(0 :A x))) Mệnh đề 1.9.5 (ii) Chú ý dimR D Hmk−1 (D(0 :A x)) = N-dim Hmk−1 (D(0 :A x)) m (0 :A x)) Bổ đề 1.8.5 (iii), (iv) Do dimR (Hk−1 k−1 k − Điều dẫn đến mâu thuẫn (a) chứng minh Bây ta chứng minh cho câu (b) Cho i ≥ 1, theo câu (a) ta có :Him (A) x = Vì từ dãy khớp (1), (2), ta có m m Hi+1 (A)/xHi+1 (A) ∼ = Him (0 :A x) m m Do đó, Hi+1 (A) = Him (0 :A x) = 0, Hi+1 (A) Cohen- Macaulay chiều i + 1, Him (0 :A x) Cohen-Macaulay chiều i 47 Do :A x đối Cohen-Macaulay dãy theo Định lý 2.3.3 (b) chứng minh Ngược lại, giả sử hai điều kiện (a) (b) thỏa mãn Từ giả thiết (a), ta có :Him (A) x = với i ≥ m m Do đó, dãy khớp (2), Hi+1 (A)/xHi+1 (A) ∼ = Him (0 :A x) với i ≥ Vì :A x đối Cohen-Macaulay dãy x phần tử quy m m tất môđun Hi+1 (A) cho Hi+1 (A) = Theo Định lý 2.3.3 ta có Him (A) = mơđun Cohen-Macaulay chiều i với i ≥ Tuy nhiên, theo dãy khớp (1), (H1m (A)/xH1m (A)) < ∞ Vì x ∈ / p với p ∈ AssR H1m (A), ta có H1m (A) = mơđun Cohen-Macaulay chiều Do đó, A đối Cohen-Macaulay dãy theo Định lý 2.3.3 Kí hiệu T = R[X1 , , Xn ], S = R[[X1 , , Xn ]] vành chuỗi lũy thừa hình thức n biến R K = A[X1−1 , , Xn−1 ] T -môđun đa thức ngược lấy hệ số A Khi K T -mơđun Artin Khi K có cấu trúc tự nhiên S -mơđun Artin Ta kiểm tra N-dimS K = N-dimR A + n Tuy nhiên, (a1 , , ar ) dãy đối quy cực đại A m (a1 , , ar , X1 , , Xn ) dãy đối quy cực đại K iđêan cực đại (m, X1 , , Xn ) S Vì WidthK = WidthA + n A R-môđun đối Cohen-Macaulay K S -môđun đối Cohen-Macaulay (Xem [15], Mệnh đề 4.1 Định lý 4.3) 48 Định lý 2.3.6 A R-môđun đối Cohen-Macaulay dãy K S -môđun đối Cohen-Macaulay dãy Chứng minh Bằng quy nạp theo n, ta cần chứng minh định lý cho trường hợp n = Lấy S = R[[X]] K = A[X −1 ] Giả sử K đối Cohen-Macaulay dãy Vì X phần tử đối quy K :K X ∼ = A, theo Định lý 2.3.5 ta có A đối Cohen-Macaulay dãy Ngược lại, giả sử A đối Cohen-Macaulay dãy Khi lọc chiều = A0 ⊂ A1 ⊂ ⊂ At−1 ⊂ At = A A đối Cohen-Macaulay Đặt Ki = Ai [X −1 ] với i = 0, , t Ta kiểm tra Ki /Ki−1 ∼ = (A/Ai )[X −1 ], = (Ai /Ai−1 )[X −1 ] K/Ki ∼ với i t Do đó, N-dim(K/Ki ) = N-dim(A/Ai ) + 1, N-dim(K/Ki ) < N-dim(K/Ki−1 ), với i t Vì Ai /Ai−1 đối Cohen-Macaulay, nên Ki /Ki−1 đối Cohen-Macaulay Do = K0 ⊂ K1 ⊂ ⊂ Kt−1 ⊂ Kt = K lọc đối Cohen-Macaulay K hay K đối Cohen-Macaulay dãy Từ Định lý 2.3.5, ta thu kết cho môđun Cohen-Macaulay Hệ 2.3.7 Cho M R-môđun hữu hạn sinh với dimM = d Giả sử R vành có phức đối ngẫu Lấy x ∈ m phần tử cho x ∈ /p với p ∈ AssM \{m} Khi M Cohen-Macaulay dãy hai điều kiện sau thỏa mãn: (a) x ∈ / p với p ∈ i i=1, ,d AttR Hm (M ) (b) M/xM Cohen-Macaulay dãy 49 Chứng minh Giả sử M mơđun Cohen-Macaulay dãy Vì R vành có phức đối ngẫu nên D(M ) đối Cohen-Macaulay dãy theo Hệ 2.3.2 Mặt khác, theo Định lý 2.3.5 ta có x ∈ / p, với p ∈ AssR Him (D(M )) Do x ∈ / p, với p ∈ AttR D(Him (D(M ))) Vì D(Him (D(M ))) ∼ = Hmi (M ) nên x ∈ / p với p ∈ AttR Hmi (M ), (a) chứng minh Bây ta chứng minh (b) Theo Định lý 2.3.5 ta có :D(M ) x đối Cohen-Macaulay dãy Do D(0 :D(M ) )x Cohen-Macaulay dãy theo Hệ 2.3.2 Suy M/xM ∼ = D(0 :D(M ) x) Cohen-Macaulay dãy Ngược lại, giả sử hai điều kiện (a) (b) thỏa mãn Từ (b) ta có M/xM Cohen-Macaulay dãy D(M/xM ) ∼ = D(M )/D(xM ) ∼ = :D(M ) x đối Cohen-Macaulay dãy Theo Định lý 2.3.5, ta có D(M ) đối CohenMacaulay dãy Vậy M Cohen-Macaulay dãy theo Hệ 2.3.2 Kết sau suy từ Định lý 2.3.6 Hệ 2.3.8 Cho S = R[[X1 , , Xn ]] vành chuỗi lũy thừa hình thức n biến R Khi R Cohen-Macaulay dãy S Cohen-Macaulay dãy Chứng minh Bằng lí luận tương tự chứng minh Định lý 2.3.6 áp dụng Hệ 2.3.2, ta có điều cần chứng minh 50 KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày kết báo [9] N.T Dung, cụ thể là: Trong chương 1, chúng tơi trình bày vắn tắt kiến thức Đại số giao hoán như: Đầy đủ; Địa phương hóa; Sự phân tích ngun sơ; Chiều Krull; Dãy quy độ sâu; Môđun Artin; Biểu diễn thứ cấp; Chiều Noether, hệ tham số số bội; Môđun đối đồng điều địa phương môđun đồng điều địa phương; Môđun CohenMacaulay môđun đối Cohen-Macaulay; Môđun Cohen-Macaulay dãy Trong chương 2, chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết kết môđun đối Cohen-Macaulay dãy, cụ thể là: Lọc chiều môđun Artin; Môđun đối Cohen-Macaulay dãy; Đặc trưng môđun đối Cohen-Macaulay dãy 51 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Brodmann, M and Sharp, R Y., Local Cohomology : An Algebraic Introduction with Geometric Applications, Cambridge University Press, Cambridge, 1998 [2] Brodmann, M and Sharp, R Y , On the dimension and multiplicity of local cohomology modules, Nagoya Math J., 167, (2002), pp.217-233 [3] Bruns, W and Herzog, J., Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press [4] Cuong, N T and Nhan, L T., Dimension, multiplicity and Hilbert function of Artinian modules, East-West J Math., (2), (1999) pp 179-196 [5] Cuong, N T and Nam, T T., The I -adic completion and local homology for Artinian modules, Math Proc Camb Phil Soc 131 (1) (2001), pp 61-72 [6] Cuong, N T and Nhan, L T., On Noetherian dimension of Artinian modules, Vietnam J Math 30 (2002), pp 121-130 [7] Cuong, N T and Nhan, L T., On pseudo Cohen-Macaulay and pseudo generaliized Cohen-Macaulay modules, J Algebra 267 (1) (2003), pp 156-177 52 [8] Cuong, N T and Cuong, D T., On sequentially Cohen - Macaulay modules Kodai Math J 30 (2007), pp 409-428 [9] Dung, N T., On sequentially Co-Cohen - Macaulay modules, Algebra Colloquium 14:3 (2007), pp 455-468 [10] Denizler, I H and Sharp, R Y., Co-Cohen-Macaulay Artinian modules over commutative rings, Glasgow Math J 38 (1996), pp 359-366 [11] Ferrand, D and Raynaud, M.,Fibres formelles d’un anneau local Noetherian, Ann Sci.E’cole Norm Sup (4) (1970), pp 295-311 [12] Herzog, J and Sbarra, E., Sequentially Cohen - Macaulay modules and local cohomology, in: Algebra, Arithmetic and Geometry (Mumbai, 2000), Tata Inst.Fund Res Stud Math., Bombay, 2002, pp 327-340 [13] Kirby, D., Coprimary decomposition of Artinian modules, J London Math Soc (2) (1973), pp 571-576 [14] Kirby, D., Dimension and length for Artinian modules, Quart J Math Oxford (Ser.2) 41 (1990), pp 419-429 [15] Nhan, L T., Dimension and width of linearly compact modules and co-localization of Artinian modules, Vietnam J Math., 29 (2) (2001), pp 165-177 [16] Macdonald, I G., Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica 11 (1973), pp 23–43 [17] Matlis, E., The Kozul complex and duality, Comm Algebra (1) (1960), pp 87-149 53 [18] Matsumura, H., Commutative ring theory, Cambridge University Press, Cambridge, (1986) [19] Matsumura, H., Commutative Algebra , Benjamin, W A., New York, (1970) [20] Matlis, E., Injective modules over Noetherian rings, Pacific J Math (1968), pp 511-528 [21] Ooishi, A., Matlis duality and width of a module, Hiroshima Math J (1976), pp 573–587 [22] Roberts, R N., Krull dimension for Artinian modules over quasilocal commutative rings, Quart J Math Oxford (Ser.2) 26 (1975), pp 269–273 [23] Sharp, R Y., A method for the study of Artinian modules, with an application to asymptotic behavior, in: Commutative Algebra, Math Sci Res Inst Publ., No 15, Springer-Verlag, New York, 1989, pp 443-465 [24] Stanley, R Y., Combinatorics and Commutative Algebra, 2nd ed., Birkha ăuser, Boston, 1996 [25] Schenzel, P., On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered modules, Lecture Notes in Pure and Apll Math., 206, Dekker New York; Commutative Algebra and Algebraic Geometry (Ferrara), pp 245264 54 [26] Schenzl, P., Dualisierende Komplexe in der lokalen and Buchsbaum rings, Lecture note in Math Vol 907 (1982), Springer Verlag, BerlinHeidelberg-Newton [27] Tang, Z M and Zakeri, H.,Co-Cohen-Macaulay modules and modules of generalized frac-tions, Comm Algebra 22 (6) (1994), pp 2173-2204 ... phương; Môđun Cohen- Macaulay môđun đối Cohen- Macaulay; Môđun Cohen- Macaulay dãy Chương 2: Mơđun đối Cohen- Macaulay dãy Chương trình bày chứng minh chi tiết kết môđun đối Cohen- Macaulay dãy như:... Cohen- Macaulay A Sau số ví dụ lọc đối Cohen- Macaulay mơđun đối Cohen- Macaulay dãy 38 Ví dụ 2.2.2 (i) Mọi mơđun đối Cohen- Macaulay môđun đối CohenMacaulay dãy Thật vậy, A mơđun đối Cohen- Macaulay, ... Vậy lọc (∗) lọc đối Cohen- Macaulay, A môđun đối Cohen- Macaulay dãy Hệ 2.2.3 A R-mơđun đối Cohen- Macaulay dãy R -môđun đối Cohen- Macaulay dãy 39 Tiếp theo ta A có lọc đối Cohen- Macaulay lọc chiều