Luận văn: Một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù M doc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN Một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù M 1 MỤC LỤC Trang Mục lục 1 Mở đầu 2 Chương I. Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Phạm trù σ[M] 4 1.2 Môđun Noether và môđun Artin 4 1.3 Môđun đều (uniform) và chiều uniform, môđun lõm (hollow) và chiều hollow 5 1.4 Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh 6 1.5 Bù giao và bù cộng . . . . 10 1.6 Căn và đế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương II. Một số tính chất của môđun extending và môđun lifting 12 2.1 Môđun extending . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Môđun lifting 17 Chương III. Khảo sát môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M] là extending hoặc lifting . . . . . . . . . .28 3.1 Môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ [M] là extending 28 3.2 Môđun tựa xạ ảnh M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ [M] là lifting 32 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 39 2 MỞ ĐẦU Môđun extending (hay còn được gọi là CS-môđun) là một dạng tổng quát hóa của môđun nội xạ được nghiên cứu rộng rãi trong vài chục năm trở lại đây. Cùng với môđun extending, người ta còn nghiên cứu môđun lifting, một tính chất đối ngẫu của extending và là một tính chất có quan hệ gần với tính chất xạ ảnh. Tuy nhiên trong khi mọi môđun M đều có bao nội xạ thì chưa chắc phủ xạ ảnh của nó đã tồn tại. Xét một khía cạnh khác, đối với môđun con N của một môđun M, bù giao của N trong M luôn tồn tại theo Bổ đề Zorn nhưng chưa chắc đã tồn tại bù cộng của N trong M. Điều này chắc chắn sẽ tạo ra sự không đối xứng trong quan hệ đối ngẫu giữa môđun extending và môđun lifting. Các kết quả liên quan đến môđun lifting được các nhóm nhà toán học ở Nhật, Ấn Độ, Thổ Nhĩ Kỳ đi sâu nghiên cứu. Các tính chất extending và lifting trên môđun được sử dụng để đặc trưng hay khảo sát một số lớp vành gần với các lớp vành Noether hoặc Artin. Quan tâm đến lớp các môđun này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Một số vấn đề về môđun extending và môđun lifting trong phạm trù σ(M)". Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương Chương I. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược về các kiến thức cơ sở liên quan đến nội dung của luận văn, các định nghĩa và các tính chất Chương II. Một số tính chất của môđun extending và môđun lifting Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất của môđun extending và môđun lifting. Trên cơ sở các tính chất của môđun extend- ing, chúng tôi xét xem môđun lifting có hay không các tính chất đối ngẫu tương ứng. Chương III. Khảo sát môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M] là extending hoặc lifting. 3 Trong chương này, chúng tôi khảo sát môđun M có tính chất mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M] là extending và khảo sát môđun tựa xạ ảnh M mà mọi môđun hữu hạn sinh trong σ[M] là lifting. Mặc dù tác giả đã rất cố gắng trong học tập và nghiên cứu khoa học cũng như cẩn thận trong khâu chế bản, song do ít nhiều hạn chế về thời gian và trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô và những đóng góp của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Quy Nhơn, 3-2008 4 Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận văn này, các vành được xét là vành kết hợp có đơn vị, thường kí hiệu bởi R. Các môđun là R-môđun phải Unita, được gọi đơn giản là R-môđun. 1.1 Phạm trù σ[M] 1.1.1 Định nghĩa. Một R-môđun N được gọi là M-sinh nếu nó là ảnh đồng cấu của một tổng trực tiếp các bản sao của M. 1.1.2 Định nghĩa. Phạm trù σ[M] là phạm trù con đầy của phạm trù các R-môđun mà các vật của nó là các R-môđun đẳng cấu với môđun con của môđun M-sinh. 1.2 Môđun Noether và môđun Artin 1.2.1 Định nghĩa. (i) Một R-môđun M được gọi là Noether nếu mỗi tập con không rỗng các môđun con của nó đều có phần tử tối đại. (ii) Một R-môđun M được gọi là Artin nếu mỗi tập con không rỗng các môđun con của nó đều có phần tử tối tiểu. 1.2.2 Định lý. [1, tr 99-100] (i) Giả sử A là môđun con của M. Các điều sau là tương đương: (1) M Noether; (2) A và M/A Noether; (3) Mọi chuỗi tăng A 1 ⊂ A 2 ⊂ A 3 ⊂ những môđun con của M đều dừng. (ii) Giả sử A là môđun con của M, các điều sau là tương đương: (1) M Artin; (2) A và M/A Artin; 5 (3) Mọi chuỗi giảm A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 3 ⊃ những môđun con của M đều dừng. 1.3 Môđun đều (uniform) và chiều uniform, môđun lõm (hollow) và chiều hollow 1.3.1 Định nghĩa. (i) Môđun con A của M được gọi là cốt yếu (hay lớn) trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có A ∩ B = 0 (Một cách tương đương, nếu A ∩ B = 0 thì B = 0). Khi đó ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của A, kí hiệu A ⊂ ∗ M. (ii) Môđun con A của M được gọi là đối cốt yếu (hay bé) trong M nếu với mỗi môđun con E = M ta đều có A + E = M (Một cách tương đương, nếu A + E = M thì E = M). Khi đó ta kí hiệu A ⊂ o M. 1.3.2 Tính chất. [1, tr 51-53] (i) Cho A, B, C là các môđun con của M. Khi đó: (1) Nếu A ⊂ B ⊂ C thì A ⊂ ∗ M kéo theo B ⊂ ∗ C. (2) Nếu A ⊂ ∗ M và B ⊂ ∗ M thì A ∩ B ⊂ ∗ M. (3) Nếu ϕ : M → N là đồng cấu môđun và A ⊂ ∗ N thì ϕ −1 (A) ⊂ ∗ M. (ii) Cho A, B, C là các môđun con của M. Khi đó: (1) Nếu A ⊂ B ⊂ C thì B ⊂ o C kéo theo A ⊂ o M. (2) Nếu A ⊂ o M và B ⊂ o M thì A + B ⊂ o M. (3) Nếu ϕ : M → N là đồng cấu môđun và A ⊂ o M thì ϕ(A) ⊂ o N. 1.3.3 Định nghĩa. (i) Một R-môđun con K của M được gọi là đóng (closed) trong M nếu nó không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M. (ii) Cho L ⊂ M, L được gọi là đối đóng (coclosed) trong M nếu L không có môđun con thực sự K sao cho L/K ⊂ o M/K. 1.3.4 Định nghĩa. (i) Môđun M khác không được gọi là môđun đều (uniform) nếu mọi môđun con khác không của nó đều cốt yếu trong M. (ii) Môđun M được gọi là môđun lõm (hollow) nếu mọi môđun thực 6 sự của nó đều đối cốt yếu trong M. 1.3.5 Định nghĩa. (i) Môđun M được gọi là có chiều uniform hữu hạn (haychiều Goldie hữu hạn) nếu tồn tại số nguyên dương n và các môđun con đều U 1 , , U n sao cho n ⊕ i=1 U i là cốt yếu trong M. Nếu M có chiều uniform hữu hạn và n ⊕ i=1 U i ⊂ ∗ M, m ⊕ j=1 V j ⊂ ∗ M với U i , V j là các môđun con đều của M thì m = n. Người ta gọi n là chiều uniform của M và kí hiệu u. dim(M) = n. Nếu M = 0, ta viết u dim(M) = 0, nếu M không có chiều uniform hữu hạn ta viết u dim(M) = ∞. (ii) Môđun M được gọi là có chiều hollow hữu hạn nếu tồn tại số nguyên dương n và các môđun con H 1 , , H n sao cho n  i=1 H i là đối cốt yếu trong M và M/H i là lõm với mọi 1 ≤ i ≤ n. Nếu M có chiều hollow hữu hạn và n  i=1 H i ⊂ o M, m  j=1 K j ⊂ o M với H i , K j là các môđun con của M sao cho M/H i và M/K j là lõm với mọi 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m thì m = n. Người ta gọi n là chiều hollow của M và kí hiệu h. dim(M) = n. Nếu M = 0 ta viết h. dim(M) = 0, nếu M không có chiều hollow hữu hạn ta viết h. dim(M) = ∞. 1.4 Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh 1.4.1 Định nghĩa. (i) Một R-môđun M được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu f : A → M và với mỗi đơn cấu g : A → B của những môđun trên R tồn tại một đồng cấu h : B → M sao cho h.g = f, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán 1.4.1 i 1.4.1 ii A B g 0 f h M B M A f g h 0 7 (ii) Một R-môđun M được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu f : M → B và với mỗi toàn cấu g : A → B của những môđun trên R tồn tại một đồng cấu h : M → A sao cho g.h = f, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán 1.4.1 i 1.4.1 ii A B g 0 f h M B M A f g h 0 1.4.2 Định nghĩa. (i) Một R-môđun M được gọi là N-nội xạ nếu với mỗi đồng cấu f : A → M và với mỗi đơn cấu g : A → N với A là một môđun trên R đều tồn tại một đồng cấu h : N → M sao cho h.g = f, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán A N g 0 f h M N B g 0 f h M (ii) Một R-môđun M được gọi là N-xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu f : M → B và với mỗi toàn cấu g : N → B với B là một môđun trên R đều tồn tại một đồng cấu h : M → N sao cho g.h = f, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán M B N f h g 0 1.4.3 Định nghĩa. (i) Một R-môđun M được gọi là tựa nội xạ (hay tự nội xạ) nếu nó là M-nội xạ. (ii) Một R-môđun M được gọi là tựa xạ ảnh (hay tự xạ ảnh) nếu nó là M-xạ ảnh. 8 1.4.4 Mệnh đề. Mỗi môđun tựa nội xạ M thỏa mãn các tính chất sau: (C 1 ) Mỗi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử của M. (C 2 ) Nếu môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử của M thì A là một hạng tử của M. Chứng minh. (C 1 ) Gọi N là một môđun con của M, trước hết ta chứng minh f(M) ⊂ M với mọi f ∈ End(E(M)) trong đó E(M) là bao đóng nội xạ của M. Đặt X = {x ∈ M|f(x) ∈ M} ⊂ M. Xét biểu đồ S / L K L h 0 p 1 / L K / L K h 0 L p q T /() L Soc L 0 L π i M X 0 ϕ M f f () E M M / M A B p π f 0 U M g f /UV p 0 Đặt ϕ = f| X , vì M tựa nội xạ nên tồn tại đồng cấu f : M → M sao cho ϕ = f.i. Khi đó, ta có f(M) ⊂ M. Giả sử x ∈ M ∩(f −f)(M), tồn tại y ∈ M sao cho x = (f −f)(y) = f(y)−f(y), suy ra f(y) = x+f(y) ∈ M, do đó y ∈ X. Ta có x = f(y) − f(y) = f(y) − f(y) = 0 nên M ∩ (f − f)(M) = 0. Vì M ⊂ ∗ E(M), M ∩(f −f)(M) = 0 nên (f −f)(M) = 0 hay f(M) = f(M) mà f(M) ⊂ M cho nên f(M) ⊂ M. Ta có E(M) = E 1 ⊕ E 2 với E 1 = E(N). Vì f(M) ⊂ M với mọi f ∈ End(E(M)) nên M = M ∩ E 1 ⊕ M ∩ E 2 . Gọi U là môđun con khác không của M ∩ E 1 , ta có U là môđun con của E 1 , mà N ⊂ ∗ E 1 nên N ∩ U = 0, do đó N ⊂ ∗ M ∩ E 1 . Vậy, (C 1 ) đã được chứng minh. (C 2 ) Giả sử A ⊆ M và A  M  với M  là một hạng tử trực tiếp của M, khi đó tồn tại đơn cấu f : M  → M sao cho Imf = A. Vì M là tựa nội xạ, M  là hạng tử trực tiếp của M nên M  là M-nội xạ, suy ra tồn 9 tại đồng cấu g : M → M  sao cho g.f = id M  . Ta có: M = Imf ⊕ Kerg = A ⊕ Kerg hay A là hạng tử trực tiếp của M. Đối ngẫu với các tính chất (C 1 ), (C 2 ) ta có các tính chất sau: (D 1 ) Với mỗi môđun con A của M, tồn tại sự phân tích M = M 1 ⊕M 2 sao cho M 1 ⊆ A và A ∩ M 2 ⊂ o M. (D 2 ) Nếu A là môđun con của M sao cho M/A đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M thì A là một hạng tử trực tiếp của M. 1.4.5 Mệnh đề. Mỗi môđun tựa xạ ảnh có tính chất (D 2 ). Chứng minh. Giả sử M là môđun tự xạ ảnh, A ⊆ M và M/A  M  với M  là một hạng tử trực tiếp của M. Khi đó tồn tại toàn cấu f : M → M  sao cho Kerf = A. Vì M là tựa xạ ảnh, M  là hạng tử trực tiếp của M nên M  là M-xạ ảnh, suy ra tồn tại đồng cấu g : M  → M sao cho f.g = id M . Ta có M = Kerf ⊕ Img = A ⊕ Img hay A là hạng tử trực tiếp của M. 1.4.6 Nhận xét. Như đã biết, mọi môđun tựa nội xạ đều có (C 1 ) và (C 2 ). Trong khi đó, không phải mọi môđun tựa xạ ảnh đều có (D 1 ). Chẳng hạn Z-môđun Z là xạ ảnh nhưng không có tính chất (D 1 ). Thật vậy, vì Z-môđun Z là tự do nên theo [1, tr 64] Z Z là xạ ảnh. Xét A là môđun con khác không của Z, A = mZ với M ∈ N ∗ . Vì Z không phân tích được nên Z có sự phân tích duy nhất Z = Z ⊕ 0. Gọi B là môđun con của Z, B = nZ, với n ∈ N ∗ , n > 1 sao cho (m; n) = 1. Ta có A + B = mZ + nZ = Z nhưng nZ = Z Do đó A ∩ Z = A không đối cốt yếu trong Z hay Z Z không có tính chất (D 1 ). [...]... của M ; (5) M có tính bù cộng và m i m đun con bù cộng của M là m t hạng tử của M Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử N là m t m đun con của M Vì M là lifting nên có sự phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho M1 ⊆ N, N /M1 ⊂o M/ M1 Vì M/ M1 M2 và N /M1 = (M1 ⊕N M2 ) /M1 N M2 nên N M2 ⊂o M2 , do đó N ∩ M2 ⊂o M (2) ⇒ (3) Với m i m đun con N của M đều có sự phân tích M = M1 M2 sao cho M1 ⊆ N và N M2 ⊂o M , do đó N = M1 ... M i m đun con đóng của M là m t hạng tử trực tiếp của nó Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử N là m t m đun con của M Vì M là extending nên N cốt yếu trong m t hạng tử M1 của M Do đó, ta có sự phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho N ⊂∗ M1 , m M2 ⊂∗ M2 nên N + M2 ⊂∗ M (2) ⇒ (3) Giả sử N là m t m đun con đóng của M , ta có sự phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho N ⊆ M1 và N + M2 ⊂∗ M Gọi U là m t 13 m đun con của M1 thoả... thiết L ∩ H là m t hạng tử trực tiếp của M nên L ∩ H cũng là hạng tử trực tiếp của H Vậy L là hạng tử trực tiếp của M hay M là m đun extending 2.1.6 M nh đề Cho M = M1 ⊕ M2 với M1 , M2 là các m đun extending Nếu M1 là M2 -nội xạ và M2 là M1 -nội xạ thì M là extending Chứng minh Giả sử M = M1 M2 , M1 là M2 -nội xạ, M2 là M1 -nội xạ và M1 , M2 là các m đun extending Ta chứng minh M extending bằng cách... sự phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho N ⊂∗ M1 M M không phân tích được và M1 = 0 nên M1 = M , hay M là m đun đều Ngược lại, gọi N là m t m đun con của M Nếu N = 0 thì N ⊂∗ N = 0 là hạng tử trực tiếp của M Nếu N = 0 thì vì M đều nên N ⊂∗ M Vậy, M là extending 2.1.4 Định lý Nếu M là m đun extending và M = M1 ⊕ M2 thì M1 , M2 là các m đun extending Chứng minh Gọi A là m t m đun con đóng của M1 , trước hết... tối đại là M1 Gọi K là m t m rộng cốt yếu của M1 , ta có N ⊂∗ M1 , M1 ⊂∗ K nên N ⊂∗ K hay K ∈ B Do tính tối đại của M1 trong B nên K = M1 hay M1 là m đun con đóng của M , vì vậy M1 là m t hạng tử trực tiếp của M do đó M là extending 2.1.3 Hệ quả M t R -m đun M không phân tích được là extending nếu và chỉ nếu M là m đun đều Chứng minh Gọi N là m t m đun con khác không của M Vì M là m đun extending. .. A /M1 ⊂o M/ M1 Vậy, M là lifting 2.2.3 Hệ quả M t R -m đun M không phân tích được là lifting nếu và chỉ nếu M là l m Chứng minh Gọi N là m t m đun con thực sự của M , vì M là lifting 20 nên N có thể được viết N = N1 ⊕ N2 trong đó N1 là m t hạng tử trực tiếp của M và N2 ⊂o M Giả sử M = N1 ⊕ M1 , vì M không phân tích được và N = M nên N1 = 0, suy ra N = N2 ⊂o M hay M là l m Ngược lại, gọi N là m t m đun... Cho M là m t R -m đun Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (1) M là lifting; (2) M có tính chất (D1 ), nghĩa là với m i m đun con N của M đều có sự phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho M1 ⊆ N và N ∩ M2 ⊂o M ; (3) Với m i m đun con N của M đều có thể viết được dưới dạng N = N1 ⊕ N2 , trong đó N1 là m t hạng tử trực tiếp của M và N2 ⊂o M ; 18 (4) M có tính bù cộng và m i m đun con đối đóng của M là m t hạng... th m các điều kiện gì để đạt được tính chất ấy 2.1 M đun extending 2.1.1 Định nghĩa M t R -m đun M được gọi là m đun extending (hay CS -m đun) nếu m i m đun con của M là cốt yếu trong m t hạng tử trực tiếp của M 2.1.2 Định lý Cho M là m t R -m đun Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: (1) M là extending; (2) M i m đun con N của M đều có sự phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho N ⊆ M1 và N + M2 ⊂∗ M ; (3) M i... A và M1 là m t hạng tử trực tiếp của M Đặt M = M1 ⊕ M2 , ta có A /M1 = (M1 ⊕ A ∩ M2 ) /M1 A ∩ M2 và A = (M1 + B) ∩ A = M1 + A ∩ B Vì B là bù cộng của A trong M nên A + B = M và A ∩ B ⊂o B, m B là hạng tử trực tiếp của M suy ra A ∩ B ⊂o M Xét phép chiếu p : M = M1 ⊕ M2 → M2 , vì A ∩ B ⊂o B nên p(A ∩ B) ⊂o p (M ) = M2 M t khác p(A ∩ B) = p (M1 + A ∩ B) = p(A) = A ∩ M2 , cho nên A ∩ M2 ⊂o M2 hay A /M1 ... là m đun extending thì M = ⊕ Mi , với Mi là các m đun đều và i=1 n = u dim (M ) Chứng minh Trước hết ta chứng minh nếu R -m đun M có chiều k k i=1 i=1 uniform hữu hạn và M = ⊕ Mi thì u dim (M ) = u dim(Mi ) Thật vậy, với m i 1 ≤ i ≤ k ta có u dim(Mi ) ≤ u dim (M ) Nếu tồn tại i0 , 1 ≤ i0 ≤ k sao cho u dim(Mi0 ) = ∞ thì u dim (M ) = ∞, m u 16 thuẫn, do đó u dim(Mi ) = ni < ∞ với m i 1 ≤ i ≤ k Với m i 1 ≤ . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN M t số vấn đề về modun extending và modun lifting trong ph m trù M 1 M C LỤC Trang M c. có m i m đun hữu hạn sinh trong ph m trù σ [M] là extending 28 3.2 M đun tựa xạ ảnh M có m i m đun hữu hạn sinh trong ph m trù σ [M] là lifting 32 Kết luận