LUẬN VĂN TÓM TẮT: Một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù M potx

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN Một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù M 1 MỤC LỤC Trang Mục lục . .1 Mở đầu 2 Chương I. Kiến thức chuẩn bị .4 1.1 Phạm trù σ[M] .4 1.2 Môđun Noether và môđun Artin 4 1.3 Môđun đều (uniform) và chiều uniform, môđun lõm (hollow) và chiều hollow 5 1.4 Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh 7 1.5 Bù giao và bù cộng . 8 1.6 Căn và đế . . . . . . . . . . . 9 Chương II. Một số tính chất của môđun extending và môđun lifting . . . . . . . . . 10 2.1 Môđun extending . . .10 2.2 Môđun lifting . . 11 Chương III. Khảo sát môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M] là extending hoặc lifting . 14 3.1 Môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ [M ] là extending . . . 14 3.2 Môđun tựa xạ ảnh M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ [M ] là lifting . . . . . . . . 15 Kết luận . . . . . . . . . . . . . .17 Tài liệu tham khảo . 19 2 MỞ ĐẦU Môđun extending (hay còn được gọi là CS-môđun) là một dạng tổng quát hóa của môđun nội xạ được nghiên cứu rộng rãi trong vài chục năm trở lại đây. Cùng với môđun extending, người ta còn nghiên cứu môđun lifting, một tính chất đối ngẫu của extending và là một tính chất có quan hệ gần với tính chất xạ ảnh. Tuy nhiên trong khi mọi môđun M đều có bao nội xạ thì chưa chắc phủ xạ ảnh của nó đã tồn tại. Xét một khía cạnh khác, đối với môđun con N của một môđun M, bù giao của N trong M luôn tồn tại theo Bổ đề Zorn nhưng chưa chắc đã tồn tại bù cộng của N trong M . Điều này chắc chắn sẽ tạo ra sự không đối xứng trong quan hệ đối ngẫu giữa môđun extending và môđun lifting. Các kết quả liên quan đến môđun lifting được các nhóm nhà toán học ở Nhật, Ấn Độ, Thổ Nhĩ Kỳ đi sâu nghiên cứu. Các tính chất extending và lifting trên môđun được sử dụng để đặc trưng hay khảo sát một số lớp vành gần với các lớp vành Noether hoặc Artin. Quan tâm đến lớp các môđun này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Một số vấn đề về môđun lifting và môđun extending trong phạm trù σ(M)". Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương Chương I. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược về các kiến thức cơ sở liên quan đến nội dung của luận văn, các định nghĩa và các tính chất Chương II. Một số tính chất của môđun extending và môđun lifting Trong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất của môđun extending và môđun lifting. Trên cơ sở các tính chất của 3 môđun extending, chúng tôi xét xem môđun lifting có hay không các tính chất đối ngẫu tương ứng. Chương III. Khảo sát môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M] là extending hoặc lifting. Trong chương này, chúng tôi khảo sát môđun M có tính chất mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M] là extending và khảo sát môđun tựa xạ ảnh M mà mọi môđun hữu hạn sinh trong σ[M] là lifting Mặc dù tác giả đã rất cố gắng trong học tập và nghiên cứu khoa học cũng như cẩn thận trong khâu chế bản, song do ít nhiều hạn chế về thời gian và trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô và những đóng góp của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Quy Nhơn, 3-2008 4 Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận văn này, các vành được xét là vành kết hợp có đơn vị, thường kí hiệu bởi R. Các môđun là R-môđun phải Unita, được gọi đơn giản là R-môđun. 1.1 Phạm trù σ[M ] 1.1.1 Định nghĩa. Một R-môđun N được gọi là M-sinh nếu nó là ảnh đồng cấu của một tổng trực tiếp các bản sao của M . 1.1.2 Định nghĩa. Phạm trù σ[M ] là phạm trù con đầy của phạm trù các R-môđun mà các vật của nó là các R-môđun đẳng cấu với môđun con của môđun M-sinh. 1.2 Môđun Noether và môđun Artin 1.2.1 Định nghĩa. (i) Một R-môđun M được gọi là Noether nếu mỗi tập con không rỗng các môđun con của nó đều có phần tử tối đại. (ii) Một R-môđun M được gọi là Artin nếu mỗi tập con không rỗng các môđun con của nó đều có phần tử tối tiểu. 1.2.2 Định lý. [1, tr 99-100] (i) Giả sử A là môđun con của M. Các điều sau là tương đương: (1) M Noether; (2) A và M/A Noether; (3) Mọi chuỗi tăng A 1 ⊂ A 2 ⊂ A 3 ⊂ những môđun con của M đều dừng. (ii) Giả sử A là môđun con của M, các điều sau là tương đương: (1) M Artin; 5 (2) A và M/A Artin; (3) Mọi chuỗi giảm A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 3 ⊃ những môđun con của M đều dừng. 1.3 Môđun đều (uniform) và chiều uniform, môđun lõm (hollow) và chiều hollow 1.3.1 Định nghĩa. (i) Môđun con A của M được gọi là cốt yếu (hay lớn) trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có A ∩ B = 0 (Một cách tương đương, nếu A ∩ B = 0 thì B = 0). Khi đó ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của A, kí hiệu A ⊂ ∗ M. (ii) Môđun con A của M được gọi là đối cốt yếu (hay bé) trong M nếu với mỗi môđun con E = M ta đều có A + E = M (Một cách tương đương, nếu A+E = M thì E = M ). Khi đó ta kí hiệu A ⊂ o M. 1.3.2 Tính chất. [1, tr 51-53] (i) Cho A, B, C là các môđun con của M. Khi đó: (1) Nếu A ⊂ B ⊂ C thì A ⊂ ∗ M kéo theo B ⊂ ∗ C. (2) Nếu A ⊂ ∗ M và B ⊂ ∗ M thì A ∩ B ⊂ ∗ M. (3) Nếu ϕ : M → N là đồng cấu môđun và A ⊂ ∗ N thì ϕ −1 (A) ⊂ ∗ M. (ii) Cho A, B, C là các môđun con của M. Khi đó: (1) Nếu A ⊂ B ⊂ C thì B ⊂ o C kéo theo A ⊂ o M. (2) Nếu A ⊂ o M và B ⊂ o M thì A + B ⊂ o M. (3) Nếu ϕ : M → N là đồng cấu môđun và A ⊂ o M thì ϕ(A) ⊂ o N. 1.3.3 Định nghĩa. (i) Một R-môđun con K của M được gọi là đóng (closed) trong M nếu nó không có mở rộng cốt yếu thực 6 sự trong M . (ii) Cho L ⊂ M, L được gọi là đối đóng (coclosed) trong M nếu L không có môđun con thực sự K sao cho L/K ⊂ o M/K. 1.3.4 Định nghĩa. (i) Môđun M khác không được gọi là môđun đều (uniform) nếu mọi môđun con khác không của nó đều cốt yếu trong M. (ii) Môđun M được gọi là môđun lõm (hollow) nếu mọi môđun thực sự của nó đều đối cốt yếu trong M. 1.3.5 Định nghĩa. (i) Môđun M được gọi là có chiều uniform hữu hạn (haychiều Goldie hữu hạn) nếu tồn tại số nguyên dương n và các môđun con đều U 1 , , U n sao cho n ⊕ i=1 U i là cốt yếu trong M. Nếu M có chiều uniform hữu hạn và n ⊕ i=1 U i ⊂ ∗ M, m ⊕ j=1 V j ⊂ ∗ M với U i , V j là các môđun con đều của M thì m = n. Người ta gọi n là chiều uniform của M và kí hiệu u. dim(M ) = n. Nếu M = 0, ta viết u dim(M) = 0, nếu M không có chiều uniform hữu hạn ta viết u dim(M) = ∞. (ii) Môđun M được gọi là có chiều hollow hữu hạn nếu tồn tại số nguyên dương n và các môđun con H 1 , , H n sao cho n  i=1 H i là đối cốt yếu trong M và M/H i là lõm với mọi 1 ≤ i ≤ n. Nếu M có chiều hollow hữu hạn và n  i=1 H i ⊂ o M, m  j=1 K j ⊂ o M với H i , K j là các môđun con của M sao cho M/H i và M/K j là lõm với mọi 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m thì m = n. Người ta gọi n là chiều hollow của M và kí hiệu h. dim(M) = n. Nếu M = 0 ta viết h. dim(M) = 0, nếu M không có chiều hollow hữu hạn ta viết h. dim(M) = ∞. 7 1.4 Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh 1.4.1 Định nghĩa. (i) Một R-môđun M được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu f : A → M và với mỗi đơn cấu g : A → B của những môđun trên R tồn tại một đồng cấu h : B → M sao cho h.g = f. (ii) Một R-môđun M được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu f : M → B và với mỗi toàn cấu g : A → B của những môđun trên R tồn tại một đồng cấu h : M → A sao cho g.h = f. 1.4.2 Định nghĩa. (i) Một R-môđun M được gọi là N-nội xạ nếu với mỗi đồng cấu f : A → M và với mỗi đơn cấu g : A → N với A là một môđun trên R đều tồn tại một đồng cấu h : N → M sao cho h.g = f. (ii) Một R-môđun M được gọi là N-xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu f : M → B và với mỗi toàn cấu g : N → B với B là một môđun trên R đều tồn tại một đồng cấu h : M → N sao cho g.h = f. 1.4.3 Định nghĩa. (i) Một R-môđun M được gọi là tựa nội xạ (hay tự nội xạ) nếu nó là M-nội xạ. (ii) Một R-môđun M được gọi là tựa xạ ảnh (hay tự xạ ảnh) nếu nó là M-xạ ảnh. 1.4.4 Mệnh đề. Mỗi môđun tựa nội xạ M thỏa mãn các tính chất sau: (C 1 ) Mỗi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử của M. (C 2 ) Nếu môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử của M thì A là một hạng tử của M. Đối ngẫu với các tính chất (C 1 ), (C 2 ) ta có các tính chất sau: 8 (D 1 ) Với mỗi môđun con A của M, tồn tại sự phân tích M = M 1 ⊕ M 2 sao cho M 1 ⊆ A và A ∩ M 2 ⊂ o M. (D 2 ) Nếu A là môđun con của M sao cho M/A đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M thì A là một hạng tử trực tiếp của M. 1.4.5 Mệnh đề. Mỗi môđun tựa xạ ảnh có tính chất (D 2 ). 1.4.6 Nhận xét. Như đã biết, mọi môđun tựa nội xạ đều có (C 1 ) và (C 2 ). Trong khi đó, không phải mọi môđun tựa xạ ảnh đều có (D 1 ). 1.5 Bù giao và bù cộng 1.5.1 Định nghĩa. (i) Cho A là môđun con bất kì của M. Một môđun con B của M được gọi là bù giao của A trong M, nếu B là môđun con tối đại trong tập các môđun con C của M thoả mãn C ∩ A = 0. Một môđun con K của M được gọi là bù giao trong M, nếu nó là bù giao của môđun con nào đó của M . (ii) Cho A là môđun con bất kì của M. Một môđun con B của M được gọi là bù cộng của A trong M, nếu B là môđun con tối tiểu trong tập các môđun con P của M thỏa mãn A + P = M. Một môđun con L của M được gọi là bù cộng nếu nó là bù cộng của một môđun con nào đó của M. Ta nói môđun M có tính bù cộng nếu với bất kỳ hai môđun con A, B của M mà A + B = M thì B chứa bù cộng của A. 1.5.2 Nhận xét. i) Cho A là môđun con của M. Vì tập các môđun con C ⊆ M với C ∩ A = 0 là khác rỗng và sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm nên theo bổ đề Zorn, mỗi môđun con A ⊆ M đều có bù giao trong M. Tuy nhiên bù cộng của A trong M chưa 9 chắc đã tồn tại. ii) Nếu M có tính bù cộng thì mọi môđun con của M đều có bù cộng. 1.5.3 Mệnh đề. Cho A và B là các môđun con của M. B là bù cộng của A nếu và chỉ nếu M = A + B và A ∩ B ⊂ o B. 1.6 Căn và đế 1.6.1 Định nghĩa. (i) Ta gọi giao của tất cả các môđun con tối đại của M R là căn Jacobson (hay đơn giản là căn) của môđun M R và kí hiệu bởi Rad(M R ). Nếu M R không có môđun con tối đại thì ta quy ước Rad(M R ) = M R . (ii) Ta gọi tổng của tất cả các môđun con đơn của M R là đế của môđun M R và kí hiệu bởi Soc(M R ). Nếu M R không có môđun con đơn thì ta quy ước Soc(M R ) = 0. 1.6.2 Định lý [1, tr 125]. Đối với môđun M R ta có: (i) Rad (M R ) =  B, trong đó B chạy khắp tập các môđun con đối cốt yếu của M R . (ii) Soc (M R ) =  C, trong đó C chạy khắp tập các môđun con cốt yếu của M R . [...]... của M 2.1.6 M nh đề Cho M = M1 M2 với M1 , M2 là các m đun extending Nếu M1 là M2 -nội xạ và M2 là M1 -nội xạ thì M là extending 2.1.7 M nh đề Cho M là R -m đun có chiều uniform hữu n hạn Nếu M là m đun extending thì M = ⊕ Mi , với Mi là các i=1 m đun đều và n = u dim (M ) 2.1.8 M nh đề Cho M là m đun chuỗi với chuỗi hợp thành duy nhất 0 ⊂ U ⊂ V ⊂ M Khi đó M ⊕ (U/V ) không extending 2.2 M đun lifting. .. M i m đun con đóng của M là m t hạng tử trực tiếp của nó 2.1.3 Hệ quả M t R -m đun M không phân tích được là extending nếu và chỉ nếu M là m đun đều 2.1.4 Định lý Nếu M là m đun extending và M = M1 ⊕ M2 thì M1 , M2 là các m đun extending 11 2.1.5 Định lý Cho M = M1 ⊕ M2 với M1 , M2 là các m đun extending Khi đó M là extending nếu và chỉ nếu m i m đun con đóng K ⊂ M với K ∩ M1 = 0 hoặc K ∩ M2 = 0 là m t. .. , trong đó N1 là m t hạng tử trực tiếp của M và N2 ⊂o M ; (4) M có tính bù cộng và m i m đun con đối đóng của M là m t hạng tử của M ; 12 (5) M có tính bù cộng và m i m đun con bù cộng của M là m t hạng tử của M 2.2.3 Hệ quả M t R -m đun M không phân tích được là lifting nếu và chỉ nếu M là l m 2.2.4 Nhận xét M i m đun nội xạ đều là m đun extending nhưng không phải m i m đun xạ ảnh đều là m đun lifting. .. hai m đun lifting là lifting, ta có kết quả sau 2.2.9 Định lý Cho M = M1 ⊕ M2 với M1 , M2 là các m đun lifting, M1 là M2 −xạ ảnh và M2 là M1 −xạ ảnh Khi đó, M là lifting 2.2.10 M nh đề Cho M là R -m đun có chiều hollow hữu n hạn Nếu M là m đun lifting thì M = ⊕ Mi , với Mi là các m đun i=1 l m và n = h dim (M ) 2.2.11 Định nghĩa R -m đun M được gọi là có tính chất thế hữu hạn nếu với m i họ hữu hạn R -m đun... 17 KẾT LUẬN Trong luận văn" M t số vấn đề về m đun lifting và m đun extending trong ph m trù σ [M ]" tác giả đã trình bày m t cách có hệ thống các vấn đề sau đây: 1 Trình bày tổng quan các kết quả chính về tính chất của m đun extending ([3], [8]) 2 Trên cơ sở các tính chất của m đun extending, xét xem m đun lifting có hay không các tính chất đối ngẫu tương ứng 3 Khảo sát m đun M có tính chất m i m đun... nghĩa Cho M là m t R -m đun, M được gọi là m đun lifting nếu với m i m đun con A của M , tồn tại hạng tử trực tiếp X của M sao cho X ⊆ A và A/X ⊂o M/ X 2.2.2 Định lý Cho M là m t R -m đun Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (1) M là lifting; (2) M có tính chất (D1 ), nghĩa là với m i m đun con N của M đều có sự phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho M1 ⊆ N và N ∩ M2 ⊂o M ; (3) Với m i m đun con N của M đều có... th m các điều kiện gì để đạt được tính chất ấy 2.1 M đun extending 2.1.1 Định nghĩa M t R -m đun M được gọi là m đun extending (hay CS -m đun) nếu m i m đun con của M là cốt yếu trong m t hạng tử trực tiếp của M 2.1.2 Định lý Cho M là m t R -m đun Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: (1) M là extending; (2) M i m đun con N của M đều có sự phân tích M = M1 M2 sao cho N ⊆ M1 và N + M2 ⊂∗ M ; (3) M i... SINH TRONG PH M TRÙ σ [M ] LÀ EXTENDING HOẶC LIFTING Trong chương này, chúng tôi khảo sát m đun M có tính chất m i m đun hữu hạn sinh trong ph m trù σ [M ] là extending và m đun tựa xạ ảnh M mà m i m đun hữu hạn sinh trong σ [M ] là lifting Kết quả chính của chương là các định lý 3.1.3 và 3.2.3 Để chứng minh được các định lý này, trước hết, chúng tôi giới thiệu và chứng minh các bổ đề có liên quan 3.1 M đun... M đun M có m i m đun hữu hạn sinh trong ph m trù σ [M ] là extending Cho M là R -m đun M i m đun con của m đun thương của M được gọi là m đun thương con (subfactor) của M Ta có các kết quả sau đây: 3.1.1 Bổ đề Cho M là m đun hữu hạn sinh sao cho m i m đun thương con cyclic của M là extending Khi đó m i m đun thương của M có chiều uniform hữu hạn 3.1.2 Bổ đề Cho M là R -m đun phải hữu hạn sinh, extending. .. hạn Z -m đun Z là xạ ảnh nhưng không là lifting như đã chứng minh trong nhận xét 1.4.6 Các kết quả tiếp theo sẽ đề cập đến vấn đề: khi nào m t m đun xạ ảnh là lifting và với điều kiện nào của vành R thì m i R -m đun xạ ảnh đều là lifting 2.2.5 Định lý Nếu M là m đun xạ ảnh và m i m đun con của M đều có bù cộng thì M là m đun lifting 2.2.6 Định nghĩa (i) R -m đun M gọi là có phủ xạ ảnh nếu có m t R -m đun . 0. 17 KẾT LUẬN Trong luận văn& quot ;M t số vấn đề về m đun lifting và m đun extending trong ph m trù σ [M] " tác giả đã trình bày m t cách có hệ thống các vấn. GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN M t số vấn đề về modun extending và modun lifting trong ph m trù M 1 M C LỤC Trang M c