Luận văn Một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù M

Luận văn Một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù M Magento là một hệ thống thương mại điện tử giàu tính năng được xây dựng trên nền tảng công nghệ...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG………………… LUẬN VĂN Một số vấn đề modun extending modun lifting phạm trù M MỤC LỤC Trang Mục lục Mở đầu Chương I Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phạm trù σ[M ] 1.2 Môđun Noether môđun Artin 1.3 Môđun (uniform) chiều uniform, môđun lõm (hollow) chiều hollow 1.4 Môđun nội xạ môđun xạ ảnh 1.5 Bù giao bù cộng 10 1.6 Căn đế 11 Chương II Một số tính chất mơđun extending mơđun lifting 12 2.1 Môđun extending 12 2.2 Môđun lifting 17 Chương III Khảo sát mơđun M có môđun hữu hạn sinh phạm trù σ[M ] extending lifting 28 3.1 Mơđun M có môđun hữu hạn sinh phạm trù σ [M ] extending 28 3.2 Môđun tựa xạ ảnh M có mơđun hữu hạn sinh phạm trù σ [M ] lifting 32 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 39 MỞ ĐẦU Mơđun extending (hay cịn gọi CS-mơđun) dạng tổng qt hóa môđun nội xạ nghiên cứu rộng rãi vài chục năm trở lại Cùng với môđun extending, người ta cịn nghiên cứu mơđun lifting, tính chất đối ngẫu extending tính chất có quan hệ gần với tính chất xạ ảnh Tuy nhiên mơđun M có bao nội xạ chưa phủ xạ ảnh tồn Xét khía cạnh khác, mơđun N môđun M , bù giao N M tồn theo Bổ đề Zorn chưa tồn bù cộng N M Điều chắn tạo không đối xứng quan hệ đối ngẫu môđun extending môđun lifting Các kết liên quan đến mơđun lifting nhóm nhà tốn học Nhật, Ấn Độ, Thổ Nhĩ Kỳ sâu nghiên cứu Các tính chất extending lifting mơđun sử dụng để đặc trưng hay khảo sát số lớp vành gần với lớp vành Noether Artin Quan tâm đến lớp môđun này, chọn đề tài nghiên cứu "Một số vấn đề môđun extending mơđun lifting phạm trù σ(M )" Nội dung luận văn trình bày chương Chương I Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày sơ lược kiến thức sở liên quan đến nội dung luận văn, định nghĩa tính chất Chương II Một số tính chất mơđun extending mơđun lifting Trong chương này, chúng tơi trình bày số tính chất mơđun extending mơđun lifting Trên sở tính chất môđun extending, xét xem môđun lifting có hay khơng tính chất đối ngẫu tương ứng Chương III Khảo sát mơđun M có mơđun hữu hạn sinh phạm trù σ[M ] extending lifting Trong chương này, khảo sát mơđun M có tính chất mơđun hữu hạn sinh phạm trù σ[M ] extending khảo sát môđun tựa xạ ảnh M mà môđun hữu hạn sinh σ[M ] lifting Mặc dù tác giả cố gắng học tập nghiên cứu khoa học cẩn thận khâu chế bản, song nhiều hạn chế thời gian trình độ hiểu biết nên trình thực luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận bảo quý thầy đóng góp bạn đọc để luận văn hoàn thiện Quy Nhơn, 3-2008 Chương I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận văn này, vành xét vành kết hợp có đơn vị, thường kí hiệu R Các mơđun R-môđun phải Unita, gọi đơn giản R-môđun 1.1 Phạm trù σ[M ] 1.1.1 Định nghĩa Một R-môđun N gọi M -sinh ảnh đồng cấu tổng trực tiếp M 1.1.2 Định nghĩa Phạm trù σ[M ] phạm trù đầy phạm trù R-môđun mà vật R-mơđun đẳng cấu với môđun môđun M -sinh 1.2 Môđun Noether môđun Artin 1.2.1 Định nghĩa (i) Một R-môđun M gọi Noether tập không rỗng mơđun có phần tử tối đại (ii) Một R-môđun M gọi Artin tập khơng rỗng mơđun có phần tử tối tiểu 1.2.2 Định lý [1, tr 99-100] (i) Giả sử A môđun M Các điều sau tương đương: (1) M Noether; (2) A M/A Noether; (3) Mọi chuỗi tăng A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ môđun M dừng (ii) Giả sử A môđun M , điều sau tương đương: (1) M Artin; (2) A M/A Artin; (3) Mọi chuỗi giảm A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ môđun M dừng 1.3 Môđun (uniform) chiều uniform, môđun lõm (hollow) chiều hollow 1.3.1 Định nghĩa (i) Môđun A M gọi cốt yếu (hay lớn) M với mơđun khác khơng B M ta có A ∩ B = (Một cách tương đương, A ∩ B = B = 0) Khi ta nói M mở rộng cốt yếu A, kí hiệu A ⊂∗ M (ii) Mơđun A M gọi đối cốt yếu (hay bé) M với môđun E = M ta có A + E = M (Một cách tương đương, A + E = M E = M ) Khi ta kí hiệu A ⊂o M 1.3.2 Tính chất [1, tr 51-53] (i) Cho A, B, C môđun M Khi đó: (1) Nếu A ⊂ B ⊂ C A ⊂∗ M kéo theo B ⊂∗ C (2) Nếu A ⊂∗ M B ⊂∗ M A ∩ B ⊂∗ M (3) Nếu ϕ : M → N đồng cấu môđun A ⊂∗ N ϕ−1 (A) ⊂∗ M (ii) Cho A, B, C mơđun M Khi đó: (1) Nếu A ⊂ B ⊂ C B ⊂o C kéo theo A ⊂o M (2) Nếu A ⊂o M B ⊂o M A + B ⊂o M (3) Nếu ϕ : M → N đồng cấu mơđun A ⊂o M ϕ(A) ⊂o N 1.3.3 Định nghĩa (i) Một R-môđun K M gọi đóng (closed) M khơng có mở rộng cốt yếu thực M (ii) Cho L ⊂ M , L gọi đối đóng (coclosed) M L khơng có mơđun thực K cho L/K ⊂o M/K 1.3.4 Định nghĩa (i) Môđun M khác không gọi môđun (uniform) môđun khác khơng cốt yếu M (ii) Môđun M gọi môđun lõm (hollow) mơđun thực đối cốt yếu M 1.3.5 Định nghĩa (i) Môđun M gọi có chiều uniform hữu hạn (haychiều Goldie hữu hạn) tồn số nguyên dương n n môđun U1 , , Un cho ⊕ Ui cốt yếu M i=1 n m i=1 j=1 Nếu M có chiều uniform hữu hạn ⊕ Ui ⊂∗ M , ⊕ Vj ⊂∗ M với Ui , Vj môđun M m = n Người ta gọi n chiều uniform M kí hiệu u dim(M ) = n Nếu M = 0, ta viết u dim(M ) = 0, M khơng có chiều uniform hữu hạn ta viết u dim(M ) = ∞ (ii) Môđun M gọi có chiều hollow hữu hạn tồn số n Hi đối cốt nguyên dương n môđun H1 , , Hn cho i=1 yếu M M/Hi lõm với ≤ i ≤ n n Nếu M có chiều hollow hữu hạn Hi ⊂o M , i=1 m Kj ⊂o M với j=1 Hi , Kj môđun M cho M/Hi M/Kj lõm với ≤ i ≤ n, ≤ j ≤ m m = n Người ta gọi n chiều hollow M kí hiệu h dim(M ) = n Nếu M = ta viết h dim(M ) = 0, M khơng có chiều hollow hữu hạn ta viết h dim(M ) = ∞ 1.4 Môđun nội xạ môđun xạ ảnh 1.4.1 Định nghĩa (i) Một R-môđun M gọi nội xạ với đồng cấu f : A → M với đơn cấu g : A → B môđun R tồn đồng cấu h : B → M cho h.g = f , nghĩa 1.4.1 i biểu đồ sau giao hoán A f g h M B M (ii) Một R-môđun M gọi xạ ảnh với đồng cấu f : Mii→ B với tồn cấu g : A → B mơđun R 1.4.1 tồn đồng cấu h : M → A cho g.h = f , nghĩa biểu đồ sau giao hoán h A M f g B 1.4.2 Định nghĩa (i) Một R-môđun M gọi N-nội xạ với đồng cấu f : A → M với đơn cấu g : A → N với A môđun R tồn đồng cấu h : N → M cho h.g = f , nghĩa biểu đồ sau giao hoán A f g N h M (ii) Một R-môđun M gọi N-xạ ảnh với đồng cấu f : M → B với toàn cấu g : N → B với B môđun R tồn đồng cấu : M →N cho g.h = f , nghĩa biểu đồ h N g B sau giao hoán f h h N M M f g B 1.4.3 Định nghĩa (i) Một R-môđun M gọi tựa nội xạ (hay tự nội xạ) M -nội xạ (ii) Một R-môđun M gọi tựa xạ ảnh (hay tự xạ ảnh) M -xạ ảnh L p L/K L1 / K 1.4.4 Mệnh đề Mỗi môđun tựa h nội xạ M thỏa mãn tính chất sau: L p L/K (C1 ) Mỗi môđun M cốt yếu hạng tử M (C2 ) Nếu môđun A M đẳng cấu với hạng tử M A T hạng tử M q Chứng minh (C1 ) Gọi N môđun M , trước hết ta chứng L / Soc( L )) L minh f (M ) ⊂ M với fπ∈ End(E(M) E(M ) bao đóng nội xạ M Đặt X = {x ∈ M |f (x) ∈ M } ⊂ M Xét biểu đồ i X ϕ M M f f E (M ) Đặt ϕ = f |X , M tựa nội xạ nên tồn đồng cấu f : M → M M f cho ϕ = f i Khi đó, ta có f (M ) ⊂ M Giả sử x ∈ M ∩(f −f )(M ), tồn U M x+f (y) ∈ M , y ∈ M cho x = (f −f )(y) = f (y)−f (y), suy f (y) = p g B y M X π ∈ /A U /V f p Ta có x = f (y) − f (y) = f (y) − f (y) = nên M ∩ (f − f )(M ) = Vì M ⊂∗ E(M ), M ∩(f −f )(M ) = nên (f −f )(M ) = hay f (M ) = f (M ) mà f (M ) ⊂ M f (M ) ⊂ M Ta có E(M ) = E1 ⊕ E2 với E1 = E(N ) Vì f (M ) ⊂ M với f ∈ End(E(M )) nên M = M ∩ E1 ⊕ M ∩ E2 Gọi U môđun khác không M ∩ E1 , ta có U mơđun E1 , mà N ⊂∗ E1 nên N ∩ U = 0, N ⊂∗ M ∩ E1 Vậy, (C1 ) chứng minh (C2 ) Giả sử A ⊆ M A M với M hạng tử trực tiếp M , tồn đơn cấu f : M → M cho Imf = A Vì M tựa nội xạ, M hạng tử trực tiếp M nên M M -nội xạ, suy tồn đồng cấu g : M → M cho g.f = idM Ta có: M = Imf ⊕ Kerg = A ⊕ Kerg hay A hạng tử trực tiếp M Đối ngẫu với tính chất (C1 ), (C2 ) ta có tính chất sau: (D1 ) Với môđun A M , tồn phân tích M = M1 ⊕M2 cho M1 ⊆ A A ∩ M2 ⊂o M (D2 ) Nếu A môđun M cho M/A đẳng cấu với hạng tử trực tiếp M A hạng tử trực tiếp M 1.4.5 Mệnh đề Mỗi môđun tựa xạ ảnh có tính chất (D2 ) Chứng minh Giả sử M môđun tự xạ ảnh, A ⊆ M M/A M với M hạng tử trực tiếp M Khi tồn tồn cấu f : M → M cho Kerf = A Vì M tựa xạ ảnh, M hạng tử trực tiếp M nên M M -xạ ảnh, suy tồn đồng cấu g : M → M cho f.g = idM Ta có M = Kerf ⊕ Img = A ⊕ Img hay A hạng tử trực tiếp M 1.4.6 Nhận xét Như biết, mơđun tựa nội xạ có (C1 ) (C2 ) Trong đó, khơng phải mơđun tựa xạ ảnh có (D1 ) Chẳng hạn Z-mơđun Z xạ ảnh khơng có tính chất (D1 ) Thật vậy, Z-mơđun Z tự nên theo [1, tr 64] ZZ xạ ảnh Xét A môđun khác không Z, A = mZ với M ∈ N∗ Vì Z khơng phân tích nên Z có phân tích Z = Z ⊕ Gọi B môđun Z, B = nZ, với n ∈ N∗ , n > cho (m; n) = Ta có A + B = mZ + nZ = Z nZ = Z Do A ∩ Z = A không đối cốt yếu Z hay ZZ tính chất (D1 ) 25 Vậy C = A ∩ B ⊂o M hay M môđun lifting 2.2.10 Mệnh đề Cho M R-mơđun có chiều hollow hữu hạn Nếu n M mơđun lifting M = ⊕ Mi , với Mi môđun lõm i=1 n = h dim(M ) Chứng minh Trước hết ta chứng minh R-mơđun M có chiều k hollow hữu hạn M = ⊕ Mi i=1 k h dim(M ) = h dim(Mi ) i=1 Thật vậy, với ≤ i ≤ k ta có h dim(Mi ) ≤ h dim(M ) Nếu tồn i0 , ≤ i0 ≤ k cho h dim(Mi0 ) = ∞ Thì h dim(M ) = ∞, mâu thuẫn, h dim(Mi ) = ni < ∞ với ≤ i ≤ k Với ≤ i ≤ k ni tồn môđun Hi1 , , Hini cho ∩ Hij ⊂o Mi Mi /Hij j=1 môđun lõm Khi tồn phép chiếu ni ni fi : Mi → Mi /( ∩ Hij ) j=1 ⊕ (Mi /Hij ) j=1 Đặt f = (f1 , , fk ), ta có phép chiếu k k i=1 i=1 f : M = ⊕ Mi → ⊕ ni ⊕ (Mi /Hij ) j=1 k Do h dim(M ) = h dim(Mi ) Ta chứng minh định lý phương i=1 pháp quy nạp theo n = h dim(M ) Nếu h dim(M ) = M khơng phân tích được, mà M lifting nên theo 2.2.3, M môđun lõm Cho n ≥ 1, giả sử điều cần chứng minh với R-mơđun có số chiều nhỏ n Giả sử h dim(M ) = n + 1, M mơđun lifting khơng lõm nên có phân tích M = M1 ⊕ M2 với M1 , M2 26 mơđun khác khơng M Ta có h dim(M ) = h dim(M1 ) + h dim(M2 ) = n + Đặt h1 = h dim(M1 ) h2 = h dim(M2 ), suy h1 ≤ n h2 ≤ n h1 h2 i=1 j=1 nên M1 , M2 viết M1 = ⊕ Hi , M2 = ⊕ Kj với Hi , Kj môđun lõm với ≤ i ≤ h1 , ≤ j ≤ h2 Vậy ta có điều phải chứng minh 2.2.11 Định nghĩa R-mơđun M gọi có tính chất hữu hạn với họ hữu hạn R-môđun {Ai |i = 1, 2, , n}, với môđun N n cho M ⊕ N = ⊕ Ai , tồn môđun Bi ⊆ Ai , i = 1, 2, , n i=1 n thỏa mãn M ⊕ N = M ⊕ ( ⊕ Bi ) i=1 Theo [8, 1.21], R-mơđun tựa nội xạ có tính chất hữu hạn Do đó, mơđun đơn có tính chất hữu hạn 2.2.12 Mệnh đề Cho M môđun chuỗi với chuỗi hợp thành ⊂ U ⊂ V ⊂ M Khi M ⊕ (U/V ) khơng lifting Chứng minh Vì M môđun chuỗi U/V môđun đơn nên chúng môđun lifting Đặt X = M ⊕ (U/V ), giả sử X lifting, trước hết ta chứng minh với mơđun đối đóng N X cho (N + (U/V ))/(U/V ) ⊂o X/(U/V ) X = N + M X = N ⊕ M Thật vậy, X lifting nên nên N hạng tử trực tiếp X, tức ta có X = N ⊕N với N mơđun X Vì U/V có tính chất hữu hạn nên X = (U/V ) ⊕ A ⊕ B với A ⊆ N, B ⊆ N Mặt khác (N + (U/V ))/(U/V ) ⊂o X/(U/V ) nên (N + (U/V ))/N ⊂o X/N , X = N ⊕ B, suy B = N π H1 H2 H V f 27 f X Khi X = (U/V ) ⊕ A ⊕ N Lại có (N + (U/V ))/(U/V ) ⊂o X/(U/V ) f nên X = (U/V ) ⊕ N Vì U/V M N p só N có tính chất hữu hạn, ta tồn C ⊆ U/V Y D ⊆ M cho X N ⊕ C ⊕ D = π M/X Tương tự , (N + (U/V ))/(U/V ) ⊂o X/(U/V ) nên X = (U/V ) ⊕ D, D = M , suy X = N ⊕ M Xét biểu đồ U /V f M p M /V p : M → M/V phép chiếu tắc, f : U/V → M/V phép nhúng với f (U/V ) = U/V ⊂o M/V M Đặt N = {a + b ∈ (U/V ) ⊕ M |f (a)1= −p(b), a ∈ U/V, b ∈ M } , ta có N mơđun đối đóng ϕ V ⊆ N X = N + M Xét đồng cấu X, h : M/V → X/(U/V ) xác định /h(m + V ) m + (U/V ), với = M D* M2 m + V ∈ M/V Vì U/V ⊂o M/V ta có h(U/V ) = (U + (U/V ))/(U/V ) ⊂o X/(U/V ), mà (N + (U/V ))/(U/V ) ⊆ (U + (U/V ))/(U/V ) (N + (U/V ))/(U/V ) ⊂o X/(U/V ) Khi ta có X = N ⊕M Xét phép chiếu tắc π : X = N ⊕M → M , ta có g = π|U/V : U/V → M mở rộng f , tức p.g = f Mặt khác U/V đơn, g(U/V ) ⊆ V nên p.g = 0, mâu thuẫn Vậy, X khơng lifting 28 Chương III KHẢO SÁT MƠĐUN M CĨ MỌI MƠĐUN HỮU HẠN SINH TRONG PHẠM TRÙ σ [M ] LÀ EXTENDING HOẶC LIFTING Trong chương này, chúng tơi khảo sát mơđun M có tính chất môđun hữu hạn sinh phạm trù σ[M ] extending môđun tựa xạ ảnh M mà môđun hữu hạn sinh σ[M ] lifting Kết chương định lý 3.1.3 3.2.3 Để chứng minh định lý này, trước hết, giới thiệu chứng minh bổ đề có liên quan 3.1 Mơđun M có mơđun hữu hạn sinh phạm trù σ [M ] extending Cho M R-môđun Mỗi môđun môđun thương M gọi môđun thương (subfactor) M Ta có kết sau đây: 3.1.1 Bổ đề Cho M môđun hữu hạn sinh cho môđun thương cyclic M extending Khi mơđun thương M có chiều uniform hữu hạn Chứng minh Trước hết ta chứng minh M có chiều uniform hữu hạn Giả sử M có chiều uniform vô hạn Gọi ⊕ Mi tổng trực tiếp môđun N khác không M E1 mở rộng cốt yếu tối đại M1 M Khi M = E1 ⊕ F1 E1 ⊕ M2 = E1 ⊕ M2 với M2 = (E1 ⊕ M2 ) ∩ F1 M2 Ta có F1 extending gọi E2 mở rộng cốt yếu tối đại M2 F1 , ta có F1 = E2 ⊕ F2 với F2 ⊆ F1 Khi đó, M = E1 ⊕ E2 ⊕ F2 E1 ⊕ E2 mở rộng cốt yếu tối đại M1 ⊕ M2 M Bằng phép qui nạp ta có với k ∈ N, tồn E1 ⊕ ⊕ Ek 29 mở rộng cốt yếu tối đại M1 ⊕ ⊕ Mk M cho M = E1 ⊕ ⊕ Ek ⊕ Fk Vì Ei hữu hạn sinh nên ta chọn mơđun tối đại Ki ⊆ Ei đặt Si = Ei /Ki Khi S = ⊕ Si chứa đế N M := M/(⊕ Ki ) Với k ∈ N ta có N M = S1 ⊕ ⊕ Sk ⊕ (Fk + ⊕ Ki )/(⊕ Ki ) N N môđun hữu hạn sinh S hạng tử trực tiếp M Theo giả thiết ta có M mơđun extending, S hữu hạn sinh, S = ⊕ Si N tổng vô hạn môđun đơn môđun hữu hạn sinh S hạng tử trực tiếp M Gọi M mở rộng cốt yếu tối đại S M Khi M hạng tử trực tiếp M , M extending môđun hữu hạn sinh đế S hạng tử trực tiếp M Theo giả thiết M /S extending Giả sử N hợp tập rời {Ai }i∈N Khi đó, ∞ S= ⊕ j=1 ⊕ Si i∈Aj Gọi Xj mở rộng cốt yếu tối đại ⊕ Si Xj ảnh i∈Aj tồn cấu tắc M → M /S Vì M /S extending nên tồn mở rộng cốt yếu tối đại X ⊕ Xj M /S hạng tử trực tiếp N M /S Do M môđun thương nên tồn môđun thương X ⊂ M cho X = (X + S)/S Với j ∈ N ta có Xj ⊂ X + S = X ⊕ U với U ⊆ S Giả sử tồn j ∈ N cho X ∩ Xj = 0, Xj nhúng U , suy Xj nửa đơn có độ dài hữu hạn, mâu thuẫn Do X ∩ Xj = với j ∈ N Gọi Vj môđun tối tiểu X ∩ Xj 30 V mở rộng cốt yếu tối đại ⊕ Vi X Vì X extending N nên V hạng tử trực tiếp X Mặt khác, V mơđun thương với đế cốt yếu có chiều vơ hạn, nên V ⊂ S Khi ta có (V + S)/S = m m Do ⊕ Vj hạng tử trực tiếp M cốt yếu V ∩ ( ⊕ Xj ) nên j=1 j=1 m m j=1 j=1 ⊕ Vj = V ∩ ( ⊕ Xj ), với m ∈ N Khi đó, V ∩ (⊕ Xj ) ⊂ S, điều N mâu thuẫn với (⊕ Xj + S)/S cốt yếu X, M có chiều N uniform hữu hạn Chứng minh tương tự ta có mơđun thương M có chiều uniform hữu hạn 3.1.2 Bổ đề Cho M R-môđun phải hữu hạn sinh, extending Nếu M/Soc(M ) có chiều uniform hữu hạn M có chiều uniform hữu hạn Chứng minh Giả sử M có chiều uniform vơ hạn, M/Soc(M ) có chiều uniform hữu hạn nên theo [3, 5.8(3)], Soc(M ) có chiều uniform vô hạn Giả sử u dim(M/Soc(M )) = k < ∞, Soc(M ) = ⊕ Ei với Soc(M ) N tổng trực tiếp vô hạn môđun đơn khác không M Gọi N hợp tập vô hạn rời A1 , , Ak+1 Sj = ⊕ Ei Gọi i∈Aj Fj mở rộng cốt yếu tối đại Sj M Vì M extending nên Fj hạng tử trực tiếp M , suy Fj hữu hạn sinh Do Fj = Sj hay Fj /Sj = Ta có k M/Soc(M ) = M/ ⊕ Sj j=1 chứa môđun đẳng cấu với (F1 /S1 ) ⊕ ⊕ (Fk+1 /Sk+1 ) M/Soc(M ) có chiều uniform k + 1, mâu thuẫn Vậy, M có chiều uniform hữu hạn 3.1.3 Định lý Cho M R-môđun phải hữu hạn sinh có mơđun hữu hạn sinh phạm trù σ [M ] extending Khi M Noether Chứng minh Gọi {Sα } dãy định nghĩa sau: S1 = Soc(M ), 31 Sα /Sα−1 = Soc(M/Sα−1 ), với α = 2, 3, , Sα = ∪ Sβ Đặt β