Môđun đối buchsbaum

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYN TUN KIT MễUN I BUCHSBAUM luận văn thạc sỹ to¸n häc Nghệ An - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN TUẤN KIỆT MÔĐUN I BUCHSBAUM luận văn thạc sỹ toán học CHUY N N N : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An - 2012 MỤC LỤC Mục lục……………………………………………………… …… Mở đầu…………………… …………………………………………… Chƣơng Kiến thức chuẩn bị………………………………………… 1.1 Chiều Krull, hệ tham số số bội môđun Noether 1.2 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic 1.3 iá môđun 1.4 Biểu diễn thứ cấp 1.5 Chiều Noether, hệ tham số số bội môđun Artin 10 1.6 Môđun đối đồng điều địa phương 13 1.7 Đồng điều địa phương 14 1.8 Dãy đối quy mơđun đối Cohen-Macaulay 15 Chƣơng Môđun đối Buchsbaum 17 2.1 Môđun Buchsbaum 17 2.2 Môđun đối Buchsbaum vành địa phương 18 2.3 Môđun đối Buchsbaum vành hông thi t địa phương 30 Kết luận………………………………………………………………… 32 Tài liệu tham khảo………………………………….………………… 33 MỞ ĐẦU Trong phạm trù môđun Noether, môđun Cohen - Macaulay, môđun Buchsbaum môđun Cohen - Macaulay suy rộng ba lớp môđun quen thuộc Đại số giao hốn có nhiều ứng dụng ình học Đại số Cho (R, m) vành Noether, địa phương với iđêan tối đại m M R  môđun hữu hạn sinh với chiều Krull d ; x =  x1 , , xd  hệ tham số M Đặt I  x; M   (M / xM )  e( x; M ) , (M / xM ) độ dài môđun thương M/xM; e( x; M ) số bội M ứng với hệ số tham số x Chú ý I ( x; M ) số nguyên hông âm M gọi môđun Cohen - Macaulay n u n u tồn hệ tham số x =  x1 , , xd  M cho I ( x; M ) = ( hi I ( x; M ) = với hệ tham số x M) M gọi môđun Buchsbaum n u I ( x; M ) = c số với hệ tham số x M M môđun Cohen - Macaulay suy rộng n u I ( x; M ) <  với hệ tham số x M Trong phạm trù mơđun Artin, lớp mơđun đóng vai trị quan trọng lớp mơđun Cohen-Macaulay nhiều nhà tốn học nghiên cứu lớp môđun đối Cohen-Macaulay Cấu trúc môđun đối Cohen – Macaulay bi t đ n thơng qua tính chất hệ tham số, dãy đối qui, tập iđêan nguyên tố gắn k t, đồng điều địa phương… Cho (R, m) vành Noether, địa phương với iđêan tối đại m A R-môđun Artin Với hệ tham số x A m đặt I(x; A) = R(0: A x R) – e(x; R) I(A) = sup I(x; A), cận lấy tập tất hệ tham số x A Khi I(x; A) ln nhận giá trị ngun hông âm A môđun đối Cohen-Macaulay n u n u I(A) = Tương tự phạm trù môđun Noether, [4], Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung Lê Thanh Nhàn nghiên cứu lớp mơđun Artin A thỏa mãn tính chất I(x; A) = c số với hệ tham số x A họ gọi môđun môđun đối Buchsbaum Rõ ràng lớp môđun chứa thực lớp mơđun đối Cohen-Macaulay Mục đích Luận văn dựa vào báo [4] Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung Lê Thanh Nhàn để trình bày định nghĩa số tính chất mơđun đối Buchsbaum Ngồi phần Mở đầu, K t luận Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành hai chương Chương 1: Ki n thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số hái niệm Đại số giao hốn nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung Luận văn Chương Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số k t có dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau Chương 2: Môđun đối Buchsbaum Trong chương chúng tơi trình bày nội dung sau 2.1 Mơđun Buchsbaum: Trong phần chúng tơi trình bày hái niệm số tính chất mơđun Buchsbaum dựa theo [13] nhằm mục đích so sánh với hái niệm mơđun đối Buchsbaum trình bày phần ti p theo 2.2 Môđun đối Buchsbaum vành địa phương: Trong phần chúng tơi trình bày hái niệm số tính chất mơđun đối Buchsbaum vành địa phương theo [4] 2.3 Môđun đối Buchsbaum vành hông thi t địa phương: Trong phần chúng tơi trình bày hái niệm số tính chất mơđun đối Buchsbaum vành hông thi t địa phương theo [4] Tác giả xin bày tỏ lòng bi t ơn sâu sắc đ n TS Nguyễn Thị Hồng Loan - người hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm hắc suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả trân trọng cảm ơn thầy giáo, cô giáo Bộ môn Đại số Lý thuy t số, Khoa Tốn học Phịng Đào tạo Sau đại học thuộc Trường Đại học Vinh; phòng QLKH&SĐH trường Đại học Đồng Tháp; đồng nghiệp trường T PT Châu Thành giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn anh chị, bạn lớp cao học 18 - Đại số Lý thuy t số giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn hơng tránh hỏi sai sót Tác giả mong nhận ý i n đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 10 năm 2012 Tác giả CHƢƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số hái niệm Đại số giao hốn nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung Luận văn Chương Ngồi chúng tơi cịn trích dẫn số k t có dạng mệnh đề nhằm phục vụ cho chứng minh phần sau 1.1 Chiều Krull, hệ tham số số bội môđun Noether 1.1.1 Chiều Krull Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành R : p0  p1   pn gọi xích ngun tố có độ dài n Cho p iđêan nguyên tố vành R, cận tất độ dài xích nguyên tố với p0  p gọi độ cao p , ý hiệu ht  p Nghĩa là: ht  p = sup {độ dài xích nguyên tố với p0  p } Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R , ý hiệu dim R Cho M R  mơđun Khi dim  R / Ann R M  gọi chiều Krull môđun M, ý hiệu dim M 1.1.2 Hệ tham số Cho R vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan tối đại m; M R -mơđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M  d > Một hệ gồm d phần tử x :  ( x1, , xd ) m gọi hệ tham số M n u R (M /( x1, xd) M)   ( () í hiệu độ dài R -môđun) Sau số tính chất hệ tham số (i) Mọi hoán vị hệ tham số M hệ tham số M (ii) N u x :  ( x1, , xd) hệ tham số M với i  1,2, , d ta có dim (M /( x1, , xi ) M )  d  i (iii) xi 1 p với p Ass ( M / ( x1 , , xi )M ) thỏa mãn dim R / p  d  i với  i  1, ,d (iv) N u x :  ( x1, , xd) hệ tham số môđun M n:  (n1, , nd ) gồm d số nguyên dương x(n):  ( x1n1 , , xdnd ) hệ tham số môđun M 1.1.3 Số bội Cho R vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m; M R-môđun hữu hạn sinh có chiều Krull dim M  d  Một hệ phần tử x :  ( x1, x2 , , xt ) m cho (M /( x1, , xt )M )   gọi hệ bội M ; n u t  ta hiểu điều kiện có nghĩa (M )   Chú ý hệ tham số hệ bội điều ngược lại nói chung hơng Ta ln có t  d Khi ý hiệu bội e( x; M ) môđun M hệ bội x định nghĩa qui nạp theo t sau: Giả sử t  , đặt e(; M )  (M ) Với t  , đặt :M x1  {m mx1  0} Khi :M x1 mơđun M Vì (M /( x1, , xt )M )   ta dễ dàng suy ((0 :M x1 ) /( x2 , , xt )(0 :M x1))  , tức ( x2 , , xt) hệ bội môđun :M x1 Vậy theo giả thi t qui nạp e( x2 , , xt ; M / x1M ) e( x2 , , xt ; 0M x1 ) xác định Khi ta định nghĩa: e( x2 , , xt ; M )  e( x2 , , xt ; M / x1M )  e( x2 , , xt ; 0:M x1) Sau tính chất số bội e( x; M ) (i)  e ( x1, , xt ; M )  (M /( x1, , xt )M ) Đặt biệt, n u tồn i cho xin M  với n số tự nhiên e( x1, , xt ; M )  (ii) Cho dãy hớp ngắn R -môđun  M'  M  M" 0 Ta có, x hệ bội M hi x hệ bội M ' M " ơn e ( x; M )  e ( x; M ' )  e ( x; M " ) (iii) e ( x1, , xt ; M )  hi t  d (iv) e ( x1n1 , , xtnt ; M )  n1, , nt e ( x1, , xt ; M ) với n1, ,nt số nguyên dương (v) Giả sử q  ( x1, , xt ) R iđêan sinh bội ( x1, , xt ) Khi Fq (n)  (M / q n1M ) hàm theo bi n n, hàm gọi hàm Hilbert-Samuel 1.2 Vành địa phƣơng đầy đủ theo tôpô m- adic Cho  R, m vành địa phương Ta xét R vành tôpô với sở lân cận phần tử iđêan mt , với t = 0,1,2 Chú ý sở lân cận phần tử tuỳ ý r  R gồm lớp ghép r  mt với t = 0, 1,2 Khi vành đầy đủ theo tôpô m  adic R ý hiệu R định nghĩa cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy sau: Một dãy Cauchy R dãy  rn  phần tử R cho với t > 0, tồn số tự t nhiên n0 để rn  rm  m với n, m  n0 Dãy  rn  gọi hội tụ dãy không n u với t > tồn số tự t nhiên n0 để rn   rn  m với n  n0 dãy Cauchy  rn   sn  gọi hai dãy tương đương, ý hiệu  rn   sn  n u dãy  rn  sn  dãy hơng Khi quan hệ  tập dãy Cauchy quan hệ tương đương Ta ý hiệu R tập lớp tương đương dãy Cauchy Chú ý n u  rn   sn  dãy Cauchy dãy  rn  sn  ,  rn sn   rn sn  dãy Cauchy lớp tương đương dãy  rn  sn  , hông phụ thuộc vào việc chọn đại diện lớp tương r  đương dãy  rn   sn  , tức n u  rn   rn  sn  r , n  sn,   rn sn   r s  Vì th , , n n , n  sn  s  , n R trang bị hai phép tốn hai ngơi + đồng thời với hai phép toàn này, R lập thành vành Mỗi phần tử r  R đồng với lớp tương đương dãy Cauchy mà tất phần tử dãy r Vì th ta có đơn cấu tự nhiên vành R  R r  r ,  r  dãy mà tất phần tử r Định nghĩa tương tự cho môđun M với sở lân cận phần tử m M  Khi t M R -mơđun với phép nhân vô hướng sau: cho a   a1 , a2 ,   R , x   x1 , x2 ,   M Ta có ax   a1 x1 , a2 x2 ,   M 1.3 Giá môđun Cho p iđêan nguyên tố vành R Ký hiệu Rp Mp tương ứng địa phương hóa R M p Gọi SpecR tập tất iđêan nguyên tố vành R Khi tập   Supp M  p SpecR Mp  Spec R gọi giá M Khi M R- mơđun hữu hạn sinh 20 x1 A  qA   mt A t 0 Vì th ( A x1 A)  ( A  mt A)   t 0 Do N-dim A x1 A  Theo Mệnh đề 1.7.4 ta có Him ( A x1 A)  , với i  Ta có dãy hớp dài i x1   H im ( A)   H im ( A)   H im1 (0 :A x1 ) x1   H im1 ( A)   H im1 ( A)   , với i  Do Ker  i =Im x1  x1Him ( A) nên ta có H im ( A) H im ( A) Im i   Keri x1 H im ( A) Vì x2 , , xd q -đối dãy y u :A x1 chứa mq , theo giả thi t quy nạp suy qHim (0 :A x1 )  0, với i  0, ,d  Điều chứng tỏ qIm 1  0, với i  1, , d 1 Vì th ta có qHim ( A)  x1Him ( A), với i  1, ,d  Mặt hác x1  mq nên ta có qH im ( A)  x1H im ( A)  mqH im ( A)  m( mqH im ( A))   mnqH im ( A)  qH im ( A), với i  1, , d 1, với n  Do theo tính chất m -tách đồng điều địa phương Mệnh đề 1.7.5, ta có qH im ( A)  mt H im ( A)  0, t 0 với i  1, , d 1, bổ đề chứng minh 2.2.4 Định lý Cho q iđêan m -nguyên sơ R Khi mệnh đề sau tương đương: (i) qHim ( A)  với i  d 1 21 (ii) Tồn hệ tham số x  ( x1, , xd ) A chứa q2 cho x đối q -đối dãy yếu (iii) Mọi hệ tham số ( y1, , yd ) A, thỏa mãn yi  xini , i  , …, d, với xi q ni  , q -đối dãy yếu Chứng minh (iii)  (ii) hiển nhiên (ii)  (i) theo Bổ đề 2.2.3 (i)  (iii) Cho y  ( y1, , yd ) hệ tham số A cho yi  xini , i  , …, d, với xi q ni  Ta chứng minh quy nạp theo d y q đối dãy y u A Vì qHim ( A)  , nên ta có ( Him ( A))   với i  d Cho d  A  B0  B1   Bn biểu diễn thứ cấp tối thiểu A, B0 m - thứ cấp Theo Bổ đề 1.5.6, y1 p, với p Att R A \ m Vì y1 A  y1B0  B1   Bn  B1   Bn  mn A với n Từ qH 0m ( A)  q( A / mt A)  0, t 0 Ta có qA  t 0 mt A  y1 A Theo định nghĩa, suy y1 q -đối dãy y u Với d > 1, theo ta có qA  y1 A Cho x q, n  cho y1  x n Vì y1 phần tử tham số nên y1 p , với p Att R A \ m Do R ( A / y1 A)   Suy R(A/ xA)   (do xA Ê xn = y1 A) Vì th , ta có Him ( xn A) @Him ( y1 A) @Him ( A), với i ³ Do vậy, t biu giao hoỏn 22 jx ắ ắđ 0: A x ắ ắđ A ắ xắđ x A ¾ ¾® ¯j ¯x || j n- n xn ắ ắđ 0:A x n ắ ắắ đ A ắ xắđ x n A ắ ắđ 0, j, jxn , jx phép nhúng, ta cú biu giao hoỏn j*x ắ ắđ H im+ ( A) ắ dắđ H im (0 A : x) ắ ắ ắ đ H im ( A) ắ ắđ x n- j* || j* n ắ ắđ H im+ ( A) ắ dắđ H im (0 A : x n ) ắ ắxnắđ H im ( A) ắ ắđ 0, j* , jx*n , jx* đồng cấu cảm sinh Vì x Ỵ q , nên xHim ( A) = , với i < d Do đó, xn- 1Him+ 1( A) = , hay phép nhân xn- biểu đồ giao hoán thứ hai đồng cấu 0, với i < d Vì dn xn- = = j*.d1 nên Im d1 Í Ker j* Lại Im d1 = Ker jx* nên Ker jx* Í Ker j* Vì tồn đồng cấu gi : Him ( A) ắ ắđ Him (0:A xn ) cho jx*n gi = id H m ( A) Do đó, dãy khớp i biểu đồ thứ hai chẻ ra, k t hợp với giả thi t y1 = xn ta có Him (0:A y1) = Him+ 1( A) Å Him ( A), với i < d - Vì th , từ qHim ( A) = , với i < d Áp dụng giả thi t quy nạp cho môđun 0:A y1 ta hệ tham số ( y2 , , yd ) q -đối dãy y u môđun 0:A y1 K t hợp với trường hợp d = , ta có điều phải chứng minh Để tìm hiểu đồng điều địa phương mơđun đối Buchsbaum, ta cần bổ đề sau 2.2.5 Bổ đề Cho a  m iđêan R cho (0:A a)   Khi tồn hệ sinh tối thiểu ( x1, , xk ) a cho ( xi1 , , xid ) hệ tham số A với  i1   id  k 23 Chứng minh Trước h t ta chứng minh khẳng định sau: Cho p  Att A Khi AnnR (0 :A p) = p Giả sử thêm thành phần thứ cấp A ứng với p có chiều Noether d Khi N-dim(0:A p) = d Thật vậy, theo Bổ đề 1.4.3 (ii), tồn iđêan pˆ  Att Rˆ A cho ˆ  R Mặt p= p hác, dùng đối ngẫu Matlis, ta dễ dàng chứng minh ˆ  Ann ˆ A Vì ˆ) = p ˆ với p Ann Rˆ (0:A p R ˆ  R  Ann R (0:A p ˆ )  Ann R (0:A p)  p p= p Giả sử thành phần thứ cấp ứng với p có chiều Noether d Khi hơng có phần tử tham số A nằm p Vì vậy, theo [12, Bổ đề 2.7] ta có N-dim(0:A p) = N-dim A = d Khẳng định chứng minh Bây ta ti p tục chứng minh Bổ đề Giả sử ( y1, , yk ) hệ sinh tối thiểu a Ta chứng minh quy nạp theo m, m = 1, ,k, tồn x1, , xm cho x1, , xm , ym1, , yk hệ sinh tối thiểu a ( xi1 , , xi j ) phần hệ tham số A, với j  d , m với số nguyên ≤ i < i2 Giả sử tồn phần tử x1, , xm1 cho ( x1, , xm1, ym , , yk ) hệ sinh tối thiểu a với số hông âm j cho j  m 1, d  , tập gồm j phần tử {x1, , xm1} phần hệ tham số A Với j=1,…, m 1, d 1 , ta ý hiệu Lj hợp tất tập iđêan nguyên tố gắn k t p môđun 0:A ( xi1 , , xi j ) R cho thành phần thứ cấp ứng với p có chiều Noether d – j, hợp lấy tất j – cặp số nguyên (i1,… ,ij), với ≤ i1 < < i j ≤ m – Ký hiệu L hợp tất tập Lj với j=1,…, m 1, d 1 Khi theo Bổ 24 đề 1.4.6 k t chứng minh n u ta chọn phần tử xm a cho xm p, với p  L (x1,…,xm,ym + 1,…,yk) hệ sinh tối thiểu a Vì j  m 1, d 1 , nên theo hẳng định ta có N-dim(0:A p)  , với p  Lj N-dim(0: A p) 0 với p  L Lại (0:A a)   , dẫn đ n a  p với p  L dó ( x1, , xm1, ym, ym1, , yt) R  p với p  L Theo [8, Định lý 124], tồn phần tử r  ( x1, , xm1, ym1, , yk )R cho ym  r p với p  L Đặt xm = ym + r Rõ ràng ( x1, , xm1, ym1, , yk ) hệ sinh tối thiểu a bổ đề chứng minh K t sau điều kiện cần cho môđun đối Buchsbaum thông qua đồng điều địa phương 2.2.6 Mệnh đề Nếu A mơđun đối Buchsbaum mHim ( A) =0, với i 1, cho x phần tử tham số A Đặt x1 = x2 A  0:A x1 Cho (x2,…,xd) hệ tham số tùy ý A x = (x1, x2, , xd) Do d > N-dim(A/x1A) ≤ nên ta có e(x2, , xd; A/x1A) = Vì th suy I ( x2 , , xd ; A)  (0:A ( x2 , , xd ) R)  e( x2 , , xd ; A)  (0:A xR)  e( x; A)  e( x2 , , xd ; A x1 A)  I ( x; A) Vì A mơđun đối Buchsbaum Theo giả thi t quy nạp ta có mHim (0:A x1)  , với i < d – Thông qua đồng điều địa phương người m m m ta chứng minh Hi (0:A x1 )  Hi ( A)  Hi 1 ( A) với i < d – Vậy suy mHim ( A)  , với i < d Môđun A gọi môđun đối Cohen Macaulay suy rộng n u I (x ; A)  R (0 : A xR)  e( x; A)  , với hệ tham số x A Từ Mệnh đề 2.2.6, người ta xây dựng nhiều ví dụ để chứng minh lớp môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng chứa thực lớp môđun đối Buchsbaum 2.2.7 Ví dụ Tồn mơđun đối Cohen-Macaulay suy rộng không môđun đối Buchsbaum Chứng minh Cho k trường, S= k[x1, , xd] vành đa thức R = k[[x1, , xd]] vành chuỗi lũy thừa hình thức d bi n trường k Đặt B= k[ x11 , , xd1 ] S-môđun đa thức ngược Khi đó, B S-mơđun Artin, B có cấu trúc tự nhiên R-mơđun Artin Cho n > số nguyên đặt A =B  R/( x1n , x2 , , xd ) R Chú ý B môđun đối Cohen-Macaulay 26 Vì vậy, A mơđun đối Cohen-Macaulay suy rộng, A hơng mơđun đối Buchsbaum, mH0m ( A)  Khái niệm hệ tham số chuẩn tắc Ngô Việt Trung P Schenzel đưa để đặc trưng cho môđun Buchsbaum (xem Định lý 2.1.4) Tương tự Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung Lê Thanh Nhàn [4] đưa hái niệm hệ tham số đối chuẩn tắc cho môđun Artin sau 2.2.8 Định nghĩa Một hệ tham số x  ( x1, , xd ) A gọi đối chuẩn tắc n u I ( x; A)  I ( x12 , , xd2 ; A) 2.2.9 Bổ đề Cho x  ( x1, , xd ) hệ tham số đối chuẩn tắc A Khi I ( x1n , , xdn ; A )  I (x ;A ) với n ≥ Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo n Với n  1, đẳng thức hiển nhiên Giả sử n  Ta có I ( x1n1 , , xdn1; A)  I ( x1 , , xd ; A) theo giả thi t quy n 1 n 1 n 1 nạp Đặt qi  :A ( x1 , , xi 1 ) R Vì n   nên theo Mệnh đề 1.5.7, (i) Bổ đề 1.5.8 ta có  I ( x1n 1 , , xdn 11 , xdn 1 ; A)  I ( x1n 1 , , xdn 11 , xdn  ; A)  n 1 qin 1   qdn 1  n 1 n 1   e  xi 1 , , xd 1 , xd ; n 1 n 1    n 1 n 1  xi qi   xd qd  i 1  d 1  n 1 qin 1   qdn 1  n 1 n2   e  xi 1 , , xd 1 , xd ; n 1 n 1    n  n 1  xi qi   xd qd  i 1  d 1 27  d 1  n 1 qin 1   n 1  (n  1)   e  xi 1 , , xd 1 , xd ; n 1 n 1    i 1 xi qi      d 1  n 1 qin 1    xdn 1qdn 1  n 1  (n  2)   e  xi 1 , , xd 1 , xd ; n 1 n 1     n  n 1   i 1 xi qi    xd qd     n 1 qin 1   xdn 1qdn 1  n 1   e  xi 1 , , xd 1 , xd ; n 1 n 1    n  n 1  xi qi   xd qd  i 1  d 1  xdn 1qdn 1  n 1 n 1 n  n 1 Vì  n  n 1   Suy xd qd  xd qd , th  xd qd  xdnqdn1  xd ( xdn1qdn1 )  xd ( xdn2qdn1 )  xdn1qdn1 Do ta có I ( x1n1 , , xdn11 , xdn ; A)  I ( x1n1 , , xdn11 , xdn1; A) Vậy I ( x; A)  I ( x1n 1 , , xdn11 , xdn 1; A)  I ( x1n 1 , , xdn11 , xdn ; A)  I ( x1n1 , , xdn1 , xdn ; A)   I ( x1n , , xdn1 , xdn ; A) Định lý sau đặc trưng môđun đối Buchsbaum thông qua đối dãy y u hệ tham số đối chuẩn tắc 2.2.10 Định lý Các mệnh đề sau tương đương: (i) A môđun đối Buchsbaum; (ii) Mọi hệ tham số A đối dãy yếu; (iii) Mọi hệ tham số A đối chuẩn tắc Chứng minh (i)  (iii) hiển nhiên (i)  (ii) Ta chứng minh quy nạp theo d 28 Với d = 1, cho x1 phân tử tham số A Vì A môđun đối Buchsbaum nên theo Mệnh đề 2.2.6, ta có mH 0m ( A)   Do mA  mn A Mặt    A  m n  m A    n 0  hác, A mơđun đối Buchsbaum nên n 0 (Him ( A))   , với i 1, lấy x hệ tham số A giả sử mệnh đề với d 1 Vì A đối Buchsbaum nên theo giả thi t ta có I ( x; A)  I ( A) Đặt A  0:A x1 giả sử x  ( y2 , , yd ) hệ tham số A Vì x1 phần tử tham số A nên ( A x1 A)   , e( y2 , , yd ; A x1 A)  Vì th I ( x; A)  (0:A xR)  e( x; A)  (0:A ( x1, y2 , , yd ) R  e( x1, y2 , , yd ; A)  e( y2 , , yd ; A x1 A)  I ( A) Vậy A  0:A x1 mơđun đối Buchsbaum có chiều d – Theo giả thi t quy nạp, hệ tham số A đối dãy y u, tức ( x2 , , xd ) đối dãy y u A K t hợp với trường hợp d = ta có x đối dãy y u (ii)  (i) Lấy x hệ tham số A Do hệ tham số đối dãy y u nên theo Bổ đề 2.2.3, ta có mHim ( A)  , với i ≤ d Đặt A  0:A x1 Khi hệ tham số A đối dãy y u nên mHim ( A ')  mHim (0: A x1)  , với i ≤ d – Ti p tục trình ta 29 mHim (0: A ( x1, , x j) R) 0 , với j ≤ d với i ≤ d – j – Do đó, quy nạp theo d ta chứng minh I(x;A) = d 1    i 0  d 1  l ( H m ( A))  I ( A) i  R i Vậy A đối Buchsbaum (iii)  (i) Cho x hệ tham số A Theo giả thi t x đối chuẩn tắc Theo Bổ đề 2.2.9, ta có I ( x1n , , xdn ; A)  I ( x; A) , với n > ơn nữa, (Him ( A))   , với i < d Vì ta có I ( x; A)  I ( x1n , , xdn ; A)  với n d 1  d 1  i    i 0  m R ( H i ( A)), Vậy suy A đối Buchsbaum Từ định lý ta có hệ sau 2.2.11 Hệ Cho A môđun đối Buchsbaum x phần tử tham số A Khi 0:A x môđun đối Buchsbaum 2.2.12 Hệ Cho M R-môđun hữu hạn sinh Các mệnh đề sau (i) Nếu M mơđun Buchsbaum đối ngẫu Matlis D(M) = Hom(M;E) M môđun đối Buchsbaum (ii) Nếu M môđun Buchsbaum với dimM = d H dm (M ) mơđun đối Buchsbaum (iii) A R-môđun đối Buchsbaum A Rˆ - môđun đối Buchsbaum 30 2.3 Môđun đối Buchsbaum vành không thiết địa phƣơng Trong phần chúng tơi trình bày hái niệm số tính chất mơđun đối Buchsbaum vành hông thi t địa phương theo [4] Sau ln í hiệu A R – mơđun Artin với vành R hông thi t địa phương 2.3.1 Định nghĩa Một R-môđun Artin A gọi môđun đối Buchsbaum n u Am Rm -môđun đối Buchsbaum, với iđêan cực đại mSupp A Rõ ràng rằng, n u A mơđun đối Cohen-Macaulay A môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng đối Buchsbaum Cho JA giao tất iđêan cực đại thuộc tập Supp A, với hệ tham số x  JA, đặt I ( x; A)  R (0:A xR)  e( x; A) I ( A)  sup I ( x; A), x cận lấy tất hệ tham số x A JA Khi xuất câu hỏi sau: Liệu tính đối Buchsbaum A có tương đương với tính số số hàm I (x;A), với hệ tham số x A hay không? Đáng ti c rằng, câu trả lời lại phủ định (xem Ví dụ 2.3.3) Mệnh đề sau cho ta lớp môđun Artin thỏa mãn câu trả lời khẳng định cho câu hỏi 2.3.2 Mệnh đề Giả sử Supp A  m1, , mr  A = A1   Ar, Aj  n 0 (0:A mnj ) , với j = 1, , r Khi đó, A môđun đối Buchsbaum N-dim Aj = d J A Aj = 0, với j ≤ r I(x; A) số (khơng phụ thuộc vào x) với hệ tham số x A Chứng minh Cho x hệ tham số A N u N-dim Aj = d x hệ tham số Aj I ( x; Aj )  I ( Aj ) Aj  Am j môđun đối Buchsbaum N u N-dim Aj = (0:Aj xR)  e( x; Aj )  ( Aj ) J A Aj =0 Do 31 I ( x; A)  I ( Aj )    N -dim A d N -dim A 0 j ( Aj )  C j Chú ý điều ngược lại Mệnh đề 2.3.2 hông n u ta bỏ qua điều kiện chiều môđun Aj, với j ≤ r Ví dụ sau minh họa cho điều 2.3.3 Ví dụ Ký hiệu R   x  vành đa thức bi n x m1  (2, x); m2  (3, x) iđêan cực đại bao nội xạ R m1 A2  hệ số  x 1    x  Ký hiệu A1  ER ( R m1) môđun đa thức ngược với Đặt A  A1  A2 Rõ ràng rằng, Supp A  m1, m2 nên J A  (6, xn ) Ta kiểm tra Am1  A1 Am2  A2 ơn A1, A2 môđun đối Cohen-Macaulay với N-dim A1 = 2, N-dim A2 = Vì th A mơđun đối Cohen-Macaulay Do A mơđun đối Buchsbaum Mặt hác, ta có (6, xn ) hệ tham số A JA với số nguyên n > Do đó, I ( A)  I ( A1)  (0:A2 (6, xn ) R)  I ( A1)  (0:A2 xn )  I ( A1)  n , với n  Vì th I ( A) hơng hữu hạn 32 KẾT LUẬN Dựa vào báo [4] Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung Lê Thanh Nhàn, Luận văn trình bày lớp mơđun đối Buchsbaum ba tác giả đưa Đây lớp môđun đối ngẫu với lớp môđun Buchsbaum nghiên cứu nhiều từ lâu Đại số giao hốn Cụ thể chúng tơi hồn thành cơng việc sau Trình bày số ki n thức Đại số giao hoán nhằm làm rõ chứng minh k t Luận văn (Chương 1) Trình bày môđun Buchsbaum nhằm so sánh với t mơđun đối Buchsbaum (Mục 2.1) Trình bày định nghĩa số tính chất, đặc trưng mơđun đối Buchsbaum vành địa phương (Mục 2.2) Trình bày định nghĩa số tính chất môđun đối Buchsbaum vành hông thi t địa phương (Mục 2.3) 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số đại, NXB ĐH Quốc gia [2] Dương Quốc Việt (2008), Cơ sở lý thuyết module, NXB Đ Sư phạm Tiếng Anh [3] M P Brodman and R Y Sharp (1998), Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications, Cambridge university press [4] N.T Cuong, N.T Dung and L.T Nhan (2007), On generalized co CohenMacaulay and co-Buchsbaum modules, Algebra Colloquium, 14, no 2, 265-278 [5] N T Cuong and T T Nam (2001), The I-adic completion and homology for Artinian modules, Math Proc Camb Phil Soc 131 (1), 61-72 [6] N T Cuong and L T Nhan (2002), “On Noetherian dimension of Artinian modules”, Vietnam J Math., 30, pp 121-130 [7] I H Denizler and R Y Sharp (1996), Co-Cohen-Macaulay modules over commutative rings, Glasgow Math J 38, 359-366 [8] I Kaplansky (1974), Commutative ring, The University of Chicago Press [9] D Kirby (1973), Coprimary decomposition of Artinian modules, J London Math Soc (2), pp 571-576 [10] I G Macdonald (1973), Secondary representation of modules over a commutative ring, Symposia Mathematica 11, 23-43 [11] J Stückrad and W Vogel (1986), Buchsbaum rings and Applications, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, Newyork 34 [12] Z Tang and Za eri (1994), “Co-Cohen-Macaulay modules and modules of generalized fractions”, Comm.Algebra.,22 (6), pp.2173-2204 [13] Ngo Viet Trung (1986), Toward a theory of generalized CohenMacaulay modules, Nagoya Math J Vol.102, 1-49 ... mơđun Buchsbaum đối ngẫu Matlis D(M) = Hom(M;E) M môđun đối Buchsbaum (ii) Nếu M mơđun Buchsbaum với dimM = d H dm (M ) môđun đối Buchsbaum (iii) A R -môđun đối Buchsbaum A Rˆ - môđun đối Buchsbaum. .. địa phương 14 1.8 Dãy đối quy mơđun đối Cohen-Macaulay 15 Chƣơng Môđun đối Buchsbaum 17 2.1 Môđun Buchsbaum 17 2.2 Môđun đối Buchsbaum vành địa phương 18 2.3 Môđun đối Buchsbaum vành hông thi... Một R -môđun Artin A gọi môđun đối Buchsbaum n u Am Rm -môđun đối Buchsbaum, với iđêan cực đại mSupp A Rõ ràng rằng, n u A môđun đối Cohen-Macaulay A mơđun đối Cohen-Macaulay suy rộng đối Buchsbaum