Đối ngẫu Matlis của môđun đối đồng điều địa phương

Trong chương này chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của dãy chính quy I −lọc và đối ngẫuMatlis của môđun đối đồng điều địa phương.. CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊTrong chương

PHẠM THỊ TOAN

-ĐỐI NGẪU MATLIS CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Nghệ An, 2012

MỤC LỤC

trang

MỤC LỤC……… 1

MỞ ĐẦU……… 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ……… 4

1.1 Iđêan nguyên tố liên kết……… 4

1.2 Dãy chính quy và độ sâu……… 5

1.3 Dãy chính quy lọc……… 6

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương……… 7

1.5 Giá của môđun đối đồng điều địa phương……… 12

CHƯƠNG 2 ĐỐI NGẪU MATLIS CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG……… 14

2.1 Đối ngẫu Matlis……… 14

2.2 Dãy chính quy I −lọc……… 21

2.3 Đối ngẫu Matlis của môđun đối đồng điều địa phương……… 25

KẾT LUẬN……… 29

TÀI LIỆU THAM KHẢO… ……… 30

MỞ ĐẦU

Cho ( , )R m là một vành giao hoán địa phương Noether khác không; I

là một iđêan của vành R và M là một R−môđun Với i ≥ 0, môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M với giá là I được xác định bởi:

D − được gọi là hàm tử đối ngẫu Matlis Gần đây có một số công trình

nghiên cứu về môđun D H R( I i( )) và đã thu được nhiều kết quả thú vị Chẳng

hạn, người ta chỉ ra rằng số các phần tử sinh tối thiểu của I liên quan đến độ

dài của dãy chính quy trên D H R( I i( )) và môđun D H R( I i( )) là “bé” theonghĩa: H D H R I i( ( I i( )))hoặc bằng E hoặc bằng 0

Khái niệm dãy chính quy I - lọc là một sự mở rộng của khái niệm dãy chính quy Cho R là vành Noether địa phương, M là R− môđun hữu hạn sinh

và I là một iđêan của R với IM ≠ M Trong [6], bằng cách sử dụng công cụ

dãy chính quy I – lọc, K Khashyarmanesh đã chỉ ra rằng nếu tồn tại một dãy

chính quy x1, ., x n ∈I trên M và H M I i( ) 0= với mọi i > n thì

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn đượcchia thành hai chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày

một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán có sử dụng trong Luận văn nhằmmục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận văn ởChương 2 Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạngMệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau

Chương 2: Đối ngẫu Matlis của môđun đối đồng điều địa phương.

Chương này là nội dung chính của Luận văn Trong chương này chúng tôi

trình bày khái niệm và một số tính chất của dãy chính quy I −lọc và đối ngẫuMatlis của môđun đối đồng điều địa phương

Luận văn được hoàn thành vào tháng 6 năm 2012 tại trường Đại họcVinh dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịpnày tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn tận tình,chu đáo và nghiêm túc trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu Cũng nhândịp này tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số –Khoa Toán – Trường Đại học Vinh, tác giả xin cảm ơn các anh, chị, em, bạn

bè trong lớp cao học 18 – Chuyên ngành Đại số và lý thuyết số đã cộng tác vàgiúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luậnvăn Mặc dù đã có nhiều cố gắng và nghiêm túc trong quá trình hoàn thànhLuận văn, song không thể tránh những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhậnđược ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn bè đồng nghiệp đểLuận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 06 năm 2012 Tác giả

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số kiến thức cơ sở củaĐại số giao hoán có liên quan đến các kết quả và chứng minh ở Chương 2như: Iđêan nguyên tố liên kết, dãy chính quy và độ sâu, dãy chính quy lọc,môđun đối đồng điều địa phương, giá của môđun đối đồng điều địa phương

1.1 Iđêan nguyên tố liên kết

1.1.1 Định nghĩa Giả sử M là một R−môđun Ta gọi iđêan nguyên tố pcủa

R là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại phần tử x M x∈ , ≠ 0 saocho p=(0 :R x)= Ann x R( )

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là Ass M (hoặc R AssM nếu không để ý đến vành R ).

AssM = ∈p SpecR p=Ann x với x M x∈ , ≠0}

1.1.2 Tính chất (i) p là iđêan nguyên tố liên kết của M khi và chỉ khi tồn

tại một môđun con Q của M sao cho Q R≅ /p

(ii) Gọi ∑={ Ann x x M( ) / ∈ } Khi đó, nếu plà phần tử tối đại của ∑ thì p

là iđêan nguyên tố liên kết của M.

(iii) R là vành Noether và M là R−môđun Khi đó,AssM ≠ ∅ khi và chỉkhi M≠ 0 Hơn nữa, nếu M là R−môđun Noether thì tập AssM là tậphữu hạn

(iv) Cho M là R−môđun N là môđun con của M Khi đó,AssN ⊆ AssM

(v) Cho M là R−môđun Khi đó, AssM ⊆ SuppM Nếu p∈SuppM và ptối

tiểu trong SuppM theo quan hệ bao hàm thì p∈AssM

1.1.3 Bổ đề Cho dãy khớp ngắn các R−môđun 0→ M′→ M → M′′→0 Khi đó:

(i) AssM′⊆AssM⊆ AssM′UAssM′′.

(ii) SuppM ⊆ SuppM′USuppM′′.

1.2 Dãy chính quy và độ sâu

1.2.1 Định nghĩa Cho M là một R−môđun hữu hạn sinh

(i) Một phần tử a được gọi là phần tử chính quy của M hay là M −chính quynếu ax ≠0với mọi x M x∈ , ≠0

(ii) Một dãy các phần tử x x1, , , 2 x n của R được gọi là dãy chính quy của

R−môđun M hay còn được gọi là M −dãy nếu M x/ ( , , )1 x M n ≠0 và x i

là M / ( , ,x1 x i−1)M −chính quy với mọi i=1, ,n

Chú ý rằng a R∈ là phần tử chính quy của M khi và chỉ khi x∉p,

với mọi p AssM∈ Do đó, x x1, , , 2 x n là dãy chính quy của M khi và chỉ

khi M x/ ( , , )1 x M n ≠0 và x i∈p, với mọi p∈AssM x/ ( , , )1 x M n vớimọi i =1, ,n

1.2.2 Định nghĩa (i) Giả sử x x1, , , 2 x n là một M −dãy Khi đó n được gọi

là độ dài của dãy.

(ii) Cho I là một iđêan tùy ý của vành R sao cho IM M≠ và x x1, , , 2 x n là

một M −dãy trong I Khi đó x x1, , , 2 x n được gọi là dãy chính quy cực đại

trong I nếu không tồn tại y I∈ sao cho x x1, , , ,2 x y n là dãy chính quy của

M Ta biết rằng mọi dãy chính quy cực đại trong cùng một iđêan I đều có

cùng độ dài Độ dài chung này được gọi là độ sâu của M đối với iđêan I và

được ký hiệu là depth M I( ) Đặc biệt, nếu I =m thì depth Mm( ) được gọi

là độ sâu của M và ký hiệu là depthM

Nếu x x1, , , 2 x n là một dãy chính quy của M thì nó cũng là một phần

hệ tham số của M Do đó depthM≤dimM

1.2.3 Mệnh đề Các phát biểu sau đây là đúng.

(i) Nếu x1, ,x n là một M −dãy chính quy thì 1

1k , , k n

n

x x cũng là M −dãy chính quy với mọi số tự nhiên k1, ,k n .

(ii) Nếu ( , )R m là vành địa phương và x i không là ước của 0 đối với

/ ( , , i− )

M x x M với mọi i thì x1, ,x n là M −dãy chính quy.

(iii) Nếu ( , )R m là vành địa phương thì mọi hoán vị của M −dãy chính quy

Giả thiết ( , )R m là vành địa phương và M là R – môđun hữu hạn sinh.

Khái niệm dãy chính quy lọc được định nghĩa năm 1978 bởi N T Cường, P.Schenzel và N V Trung là một mở rộng của khái niệm dãy chính quy

1.3.1 Định nghĩa (i) Một phần tử a∈m được gọi là phần tử chính quy lọc

đối với M nếu a∉p với mọi p∈AssM \{ }m

(ii) Một dãy các phần tử x1, ,x n của R được gọi là một dãy chính quy lọc của M hay M −dãy chính quy lọc nếu x i là phần tử chính quy lọc của

1

/ ( , , )n

M x x M với mọi i =1, ,n

1.3.2 Định nghĩa (i) Ta gọi độ dài của M là n nếu tồn tại một dãy tăng

những môđun con của M có độ dài n và không tồn tại một dãy tăng những môđun con của M có độ dài lớn hơn n Trong trường hợp tồn tại dãy tăng

những môđun con của M có độ dài tùy ý thì ta nói M có độ dài vô hạn Độ dài của M được kí hiệu là l M ( ).

(ii) Ta gọi chiều của M, kí hiệu là dim M , là số d nếu tồn tại một dãy tăng những iđêan nguyên tố của R chứa AnnM có độ dài d nhưng không tồn tại một dãy tăng những iđêan nguyên tố của R chứa AnnM có độ dài lớn hơn d.

(iv) Cho I là iđêan của R Nếu dim M IM/ >0 thì mỗi dãy M − chính quy lọc trong I có thể mở rộng thành một dãy chính quy lọc tối đại, và các M −dãy chính quy lọc tối đại trong I đều có chung độ dài Độ dài chung này được gọi

là độ sâu lọc của M trong I và được kí hiệu là f depth I M− ( , ).

1.3.4 Mệnh đề Các phát biểu sau đây là đúng.

(i) Nếu I là iđêan của R thì depth I M( , )≤ −f depth I M( , ).

(ii) depthM≤dimM

(iii) Nếu dim( M IM/ ) 0> thì f depth I M− ( , ) dim≤ M

(iv) Nếu dim( M IM/ ) 0= thì f depth I M− ( , )= ∞.

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương

1.4.1 Định nghĩa Giả thiết Rlà vành Noether địa phương, m là iđêan tốiđại duy nhất của R và M là R−môđun hữu hạn sinh với chiều Krull

dim M d=

(i) Đối đồng điều địa phương lần đầu tiên được định nghĩa bởi A.

Grothendick Cho I là một iđêan của R Với mỗi R− môđun M, đặt

Khi đó ΓI là một hàm tử cộng tính, hiệp biến, khớp trái từ phạm trù các R−

môđun vào phạm trù các R−môđun ΓI được gọi là hàm tử xoắn

Với mỗi số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ΓI được kí hiệu

là H I i và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i với giá là I.

Với mỗi R−môđun M, ta kí hiệu H M I i( )là “ảnh” của môđun M qua

tác động bởi hàm tử H I i Khi đó, H M I i ( ) được gọi là môđun đối đồng điều

địa phương thứ i của môđun M với giá là I.

(ii) Người ta gọi Hmd ( )M (với dim M =d ) là môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất của môđun M.

1.4.2 Mệnh đề (i) Hmi ( )M là R− môđun Artin với mọi i ≥ 0

(ii) H I dim M( )M là môđun Artin với mọi iđêan I của R.

(iii) Hmi ( ) 0M = với mọi i >dimM hoặc i < depth M. Với

depth M min i H M dim M max i H M

Đặc biệt, Hmdim M( )M ≠ 0 và Hmdim M( )M là môđun Artin khi d >0

1.4.3 Mệnh đề Cho M là một R – môđun Các phát biểu sau đây là tương đương:

(i) 0( ) ( )

H M ≅ Γ M

(ii) Nếu M là R− môđun nội xạ thì H M I i ( ) =0 với mọi i≥1

(iii) Nếu M = ΓI ( )M thì H M I i ( ) =0 với mọi i≥1

Các đồng cấu δn trong Mệnh đề trên được gọi là các đồng cấu nối.

1.4.5 Mệnh đề Đặt M = M /ΓI ( )M Khi đó với mỗi số tự nhiên n≥1 ta

1.4.7 Mệnh đề dimM = Sup i H M{ / I i( ) 0≠ }

Ký hiệu ara I( )là số tự nhiên t bé nhất sao cho có t phần tử của R

sinh ra I Ta có kết quả sau

1.4.8 Mệnh đề Giả sử I là iđêan của vành Noether R và M là R−môđun Khi đó H M i I ( ) =0 với mọi i ara I> ( )

Một R– môđun A được gọi là Artin nếu mỗi dãy giảm các môđun concủa Ađều dừng Độ sâu lọc cũng đặc trưng thông qua tính không Artin củamôđun đối đồng điều địa phương như sau

1.4.9 Mệnh đề f −depth I M( , ) inf= {i H M/ I i( ) không Artin}

Cho L là một R– môđun tùy ý (không nhất thiết hữu hạn sinh)

Chiều của giá của L, kí hiệu là dim SuppL, được định nghĩa là số n

nếu có một dãy tăng những iđêan nguyên tố trong SuppL có độ dài lớn

hơn n.

Mệnh đề dưới đây chỉ ra rằng độ sâu lọc được đặc trưng thông quachiều của giá của môđun đối đồng điều địa phương

1.4.10 Mệnh đề f −depth I M( , ) inf= {i/ dimSuppH M I i( ) 0> }

Mệnh đề dưới đây chỉ ra rằng độ sâu suy rộng được đặc trưng thôngqua tính hữu hạn của giá của môđun đối đồng điều địa phương

1.4.11 Mệnh đề gdepth I M( , ) inf= {i SuppH M/ I i( ) lµ tËp v« h¹n}

1.4.12 Bổ đề Giả sử I là một iđêan của vành Noether R , M là một R−

môđun và x x1, , ,2 x r∈I là một M −dãy Khi đó, H M I i( ) 0= , với mọi

i r< .

1.4.13 Mệnh đề Giả sử I là một iđêan của vành Noether R và M là

một R−môđun hữu hạn sinh Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:

(i) Tồn tại một M −dãy x x1, , ,2 x r sao cho x j ∈ ∀ =I, j 1,2, ,r ( r∈¥ ). (ii) H M I i( ) 0= ,∀ <i r

1.4.14 Định lý Giả sử I là một iđêan của vành Noether R và M là một R−

môđun hữu hạn sinh Khi đó

grade I = r∈¥ H M ≠ .

(Quy ước: inf ( )φ = ∞)

1.4.15 Mệnh đề Giả sử I là một iđêan của vành Noether R và M là một

R−môđun hữu hạn sinh Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

(i) IM = M

(ii) H M I i( ) 0= , ∀ ∈i ¥ .

(iii) grade M( )I = ∞.

1.4.16 Định lý Giả sử I là một iđêan của vành Noether R và M là một

R−môđun hữu hạn sinh Khi đó H M I i( ) 0= ,∀ >i dim( )M

Một vành được gọi là vành địa phương nếu nó có duy nhất một iđêantối đại Hệ quả sau đây cho thấy, khi ( , )R m là vành địa phương, Noether và

M là một R−môđun hữu hạn sinh thì các môđun đối đồng điều địa phương

( )

i

Hm M chỉ khác không với những số nguyên i thỏa mãn

dim

depthM i≤ ≤ M Chú ý rằng, khi ( , )R m là vành địa phương, Noether

và M là hữu hạn sinh, grade M ( )m được gọi là độ sâu của M và kí hiệu là

depthM (hoặc depth M R )

1.4.17 Hệ quả Cho ( , )R m là vành địa phương, Noether và 0 M≠ là R−

môđun hữu hạn sinh Khi đó, nếu Hmi ( ) 0M ≠ thì số nguyên i thỏa mãn

dim

depthM i≤ ≤ M

1.4.18 Hệ quả Cho ( , )R m là vành địa phương, Noether và M là R−môđun hữu hạn sinh Khi đó

Hm M = ⇔ depthM > .

1.5 Giá của môđun đối đồng điều địa phương

Cho I là iđêan của R và i ≥0 là một số nguyên Nhìn chung i( )

I

H M

không là hữu hạn sinh và cũng không là Artin Thậm chí, ta còn không biếttập SuppH M I i( )là đóng hay không Tuy nhiên, SuppH M I i( )là đóng vớiphép lấy đặc biệt hóa, tức là nếu p q⊆ và i( )

Cho I là iđêan của R và i ≥0 là một số nguyên Kí hiệu

dim(Supp H M( I i( ))) là cận trên của các số dim R/p, trong đó cận trên lấy

trên tập những iđêan nguyên tố p trong tập giá của i( )

I

H M Nếu H M I i( ) là hữu hạn sinh thì

dim(Supp H M( I i( ))) dim( /= R Ann H M( I i( ))).Nếu H M I i( ) là Artin thì Supp H M( I i( ))⊆{ }m và do đó

dimSupp H M( I i( )) 0≤

1.5.1 Mệnh đề Cho I là iđêan của R, với dim(M IM/ ) =s

Đặt n k = −k depth I M( , ) với k =0,1, ,s Giả thiết rằng

(iii) dim( Supp H M( I i( ))) < k j với mọi j =0,1, ,t và mọi i n< k j .

(iv) H M I i( ) 0= với mọi i n< k0 .

Chú ý rằng nếu dimM = >d 0 và H M I d( ) 0≠ thì H M I d( ) khônghữu hạn sinh Kết quả sau đây là một hệ quả tức khắc của Mệnh đề trên, cho

CHƯƠNG 2 ĐỐI NGẪU MATLIS CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả trong bài báo [6] của

K Khashyarmanesh Nội dung chính của bài báo này là nghiên cứu về đốingẫu Matlis của môđun đối đồng điều địa phương

Trước hết chúng tôi sẽ trình bày về đối ngẫu Matlis dựa theo [5]

2.1 Đối ngẫu Matlis

2.1.1 Kí hiệu và nhận xét Giả sử ( , )R m là vành địa phương Gọi

E E R là bao nội xạ của trường thặng dư R/m của R Ta sẽ sử dụng

ký hiệu µR là m – adic đầy đủ lim / n

D − là đối ngẫu Matlis.

Với mỗi R− môđun G , ta gọi ( ) D G là đối ngẫu Matlis của G Chú ý

rằng ( )D R đẳng cấu tự nhiên với E và D E( )= Hom E E R( , ) là một vànhcác R−tự đồng cấu của E Với mỗi R−môđun G , gọi

2.1.2 Mệnh đề Các phát biểu sau đây là đúng.

(i) Ann G Ann D G R = R ( ) Đặc biệt, G≠0 khi và chỉ khi D G( ) 0.≠

(ii) Nếu G có độ dài hữu hạn thì D G( ) ≅ G. Trong trường hợp này ta có

2.1.3 Nhận xét Giả sử rằng ( , )R m là vành địa phương Cho G là một R−môđun

(i) R−đồng cấu µG là đơn ánh, do nếu 0≠ ∈x G, có một R−đồng cấu

f Rx R xác định bởi f rx′( )= +r m với mọi r R∈ và hợp thành của f′

và ánh xạ bao hàm R/ m→E có thể mở rộng tới một f ∈Hom G E R( , ) với

và trong trường hợp này tương đương với G là hữu hạn sinh.

2.1.4 Định nghĩa Giả sử M là một R – môđun Đế của M ký hiệu

( )

Soc M là tổng tất cả các môđun con đơn của M

Giả sử ( , )R m là vành tựa địa phương, M là R– môđun Khi đó:

( ) 0 :M

Soc M = m( )

Soc M có cấu trúc là một không gian vectơ trên R/ m, chiều của nóhữu hạn khi M là Artin