Đối ngẫu Matlis của môđun đối đồng điều địa phương

B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH PHM TH TOAN I NGU MATLIS CA MễUN I NG IU A PHNG LUN VN THC S TON HC Ngh An, 2012 B GIO DC V O TO TRNG I HC VINH PHM TH TOAN I NGU MATLIS CA MễUN I NG IU A PHNG LUN VN THC S TON HC CHUYấN NGNH: I S V Lí THUYT S M S: 60.46.05 Ngi hng dn khoa hc TS NGUYN TH HNG LOAN Ngh An, 2012 MC LC trang MC LC M U CHNG KIN THC CHUN B 1.1 Iờan nguyờn t liờn kt 1.2 Dóy chớnh quy v sõu 1.3 Dóy chớnh quy lc 1.4 Mụun i ng iu a phng 1.5 Giỏ ca mụun i ng iu a phng 12 CHNG I NGU MATLIS CA MễUN I NG IU A PHNG 14 2.1 i ngu Matlis 2.2 Dóy chớnh quy I lc 2.3 i ngu Matlis ca mụun i ng iu a phng KT LUN TI LIU THAM KHO 14 21 25 29 30 M U Cho ( R, m) l mt vnh giao hoỏn a phng Noether khỏc khụng; I l mt iờan ca vnh R v M l mt R mụun Vi i 0, mụun i ng iu a phng th i ca M vi giỏ l I c xỏc nh bi: i n H Ii ( M ) = lim uuur Ext R ( R / I , M ) n0 Kớ hiu E = E ( R / m) l bao ni x ca trng thng d ( R, m) ca R Xột hm t D ( ) = Hom R ( , E ( R / m)) t phm trự cỏc R mụun n chớnh nú Vỡ E ( R / m) l mụun ni x nờn D ( ) l hm t khp Hm t D ( ) c gi l hm t i ngu Matlis Gn õy cú mt s cụng trỡnh nghiờn cu v mụun D ( H Ii ( R )) v ó thu c nhiu kt qu thỳ v Chng hn, ngi ta ch rng s cỏc phn t sinh ti thiu ca I liờn quan n di ca dóy chớnh quy trờn D ( H Ii ( R )) v mụun D ( H Ii ( R )) l theo ngha: H Ii ( D ( H Ii ( R ))) hoc bng E hoc bng Khỏi nim dóy chớnh quy I - lc l mt s m rng ca khỏi nim dóy chớnh quy Cho R l vnh Noether a phng, M l R mụun hu hn sinh v I l mt iờan ca R vi IM M Trong [6], bng cỏch s dng cụng c dóy chớnh quy I lc, K Khashyarmanesh ó ch rng nu tn ti mt dóy chớnh quy x1 , , xn I trờn M v H Ii ( M ) = vi mi i > n thỡ H In ( D( H In ( M ))) = E Mc ớch ca Lun l trỡnh by li chi tit cỏc kt qu bi bỏo [6] ca K Khashyarmanesh v i ngu Matlis ca mụun i ng iu a phng Ngoi phn M u, Kt lun v Ti liu tham kho, Lun c chia thnh hai chng Chng 1: Kin thc chun b Trong chng ny, chỳng tụi s trỡnh by mt s kin thc c s ca i s giao hoỏn cú s dng Lun nhm mc ớch lm c s cho vic trỡnh by ni dung chớnh ca Lun Chng Ngoi chỳng tụi cũn trớch dn mt s kt qu ó cú di dng Mnh nhm phc v cho cỏc chng minh phn sau Chng 2: i ngu Matlis ca mụun i ng iu a phng Chng ny l ni dung chớnh ca Lun Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by khỏi nim v mt s tớnh cht ca dóy chớnh quy I lc v i ngu Matlis ca mụun i ng iu a phng Lun c hon thnh vo thỏng nm 2012 ti trng i hc Vinh di s hng dn ca cụ giỏo TS Nguyn Th Hng Loan Nhõn dp ny tụi xin by t lũng bit n sõu sc n cụ, ngi ó hng dn tn tỡnh, chu ỏo v nghiờm tỳc sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu Cng nhõn dp ny tụi xin trõn trng cm n cỏc thy giỏo, cụ giỏo t i s Khoa Toỏn Trng i hc Vinh, tỏc gi xin cm n cỏc anh, ch, em, bn bố lp cao hc 18 Chuyờn ngnh i s v lý thuyt s ó cng tỏc v giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu v hon thnh Lun Mc dự ó cú nhiu c gng v nghiờm tỳc quỏ trỡnh hon thnh Lun vn, song khụng th trỏnh nhng thiu sút Chỳng tụi rt mong nhn c ý kin úng gúp ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo v bn bố ng nghip Lun c hon thin hn Vinh, thỏng 06 nm 2012 Tỏc gi CHNG KIN THC CHUN B Trong chng ny, chỳng tụi s trỡnh by mt s kin thc c s ca i s giao hoỏn cú liờn quan n cỏc kt qu v chng minh Chng nh: Iờan nguyờn t liờn kt, dóy chớnh quy v sõu, dóy chớnh quy lc, mụun i ng iu a phng, giỏ ca mụun i ng iu a phng 1.1 Iờan nguyờn t liờn kt 1.1.1 nh ngha Gi s M l mt R mụun Ta gi iờan nguyờn t pca R l iờan nguyờn t liờn kt ca M nu tn ti phn t x M , x cho p = (0 :R x) = AnnR ( x) Tp cỏc iờan nguyờn t liờn kt ca M c ký hiu l AssR M (hoc AssM nu khụng ý n vnh R ) AssM = { p SpecR : p = Ann( x ) vi x M , x 0} 1.1.2 Tớnh cht (i) p l iờan nguyờn t liờn kt ca M v ch tn ti mt mụun Q ca M cho Q R / p (ii) Gi = { Ann( x ) / x M} Khi ú, nu pl phn t ti i ca thỡ p l iờan nguyờn t liờn kt ca M (iii) R l vnh Noether v M l R mụun Khi ú, AssM v ch M Hn na, nu M l R mụun Noether thỡ AssM l hu hn (iv) Cho M l R mụun N l mụun ca M Khi ú, AssN AssM (v) Cho M l R mụun Khi ú, AssM SuppM Nu p SuppM v pti tiu SuppM theo quan h bao hm thỡ p AssM 1.1.3 B Cho dóy khp ngn cỏc R mụun M M M Khi ú: (i) AssM AssM AssM U AssM (ii) SuppM SuppM U SuppM 1.2 Dóy chớnh quy v sõu 1.2.1 nh ngha Cho M l mt R mụun hu hn sinh (i) Mt phn t a c gi l phn t chớnh quy ca M hay l M chớnh quy nu ax vi mi x M, x (ii) Mt dóy cỏc phn t x1 , x2 , , xn ca R c gi l dóy chớnh quy ca R mụun M hay cũn c gi l M dóy nu M / ( x1 , , xn ) M v xi l M / ( x1 , , xi ) M chớnh quy vi mi i = 1, , n Chỳ ý rng a R l phn t chớnh quy ca M v ch x p, vi mi p AssM Do ú, x1 , x2 , , xn l dóy chớnh quy ca M v ch M / ( x1 , , xn ) M v xi p, vi mi p AssM / ( x1 , , xn ) M vi mi i = 1, , n 1.2.2 nh ngha (i) Gi s x1 , x2 , , xn l mt M dóy Khi ú n c gi l di ca dóy (ii) Cho I l mt iờan tựy ý ca vnh R cho IM M v x1 , x2 , , xn l mt M dóy I Khi ú x1 , x2 , , xn c gi l dóy chớnh quy cc i I nu khụng tn ti y I cho x1 , x2 , , xn , y l dóy chớnh quy ca M Ta bit rng mi dóy chớnh quy cc i cựng mt iờan I u cú cựng di di chung ny c gi l sõu ca M i vi iờan I v c ký hiu l depthI ( M ) c bit, nu I = m thỡ depthm( M ) c gi l sõu ca M v ký hiu l depthM Nu x1 , x2 , , xn l mt dóy chớnh quy ca M thỡ nú cng l mt phn h tham s ca M Do ú depthM dim M 1.2.3 Mnh Cỏc phỏt biu sau õy l ỳng k (i) Nu x1 , , xn l mt M dóy chớnh quy thỡ x1 , , xnkn cng l M dóy chớnh quy vi mi s t nhiờn k1 , , kn (ii) Nu ( R, m) l vnh a phng v xi khụng l c ca i vi M / ( x1 , , xi ) M vi mi i thỡ x1 , , xn l M dóy chớnh quy (iii) Nu ( R, m) l vnh a phng thỡ mi hoỏn v ca M dóy chớnh quy l M dóy chớnh quy 1.2.4 Mnh Cho ( R, m) l vnh a phng Khi ú phn t a M l phn t M chớnh quy nu v ch nu a p vi mi p AssM c bit, M cú phn t chớnh quy m nu v ch nu m Ass M 1.3 Dóy chớnh quy lc Gi thit ( R, m) l vnh a phng v M l R mụun hu hn sinh Khỏi nim dóy chớnh quy lc c nh ngha nm 1978 bi N T Cng, P Schenzel v N V Trung l mt m rng ca khỏi nim dóy chớnh quy 1.3.1 nh ngha (i) Mt phn t a m c gi l phn t chớnh quy lc i vi M nu a p vi mi p AssM \ { m} (ii) Mt dóy cỏc phn t x1 , , xn ca R c gi l mt dóy chớnh quy lc ca M hay M dóy chớnh quy lc nu xi l phn t chớnh quy lc ca M / ( x1 , , xn ) M vi mi i = 1, , n 1.3.2 nh ngha (i) Ta gi di ca M l n nu tn ti mt dóy tng nhng mụun ca M cú di n v khụng tn ti mt dóy tng nhng mụun ca M cú di ln hn n Trong trng hp tn ti dóy tng nhng mụun ca M cú di tựy ý thỡ ta núi M cú di vụ hn di ca M c kớ hiu l l ( M ) (ii) Ta gi chiu ca M, kớ hiu l dim M , l s d nu tn ti mt dóy tng nhng iờan nguyờn t ca R cha AnnM cú di d nhng khụng tn ti mt dóy tng nhng iờan nguyờn t ca R cha AnnM cú di ln hn d 1.3.3 Mnh Cỏc phỏt biu sau l ỳng (i) Phn t a m l M chớnh quy lc nu v ch nu : M a cú di hu hn (ii) Phn t a m l M chớnh quy lc nu v ch nu dim ( 0:M a ) (iii) Phn t M chớnh quy lc m luụn tn ti Hn na, vi mi s t nhiờn n luụn tn ti mt M dóy chớnh quy lc m cú di n (iv) Cho I l iờan ca R Nu dim M / IM > thỡ mi dóy M chớnh quy lc I cú th m rng thnh mt dóy chớnh quy lc ti i, v cỏc M dóy chớnh quy lc ti i I u cú chung di di chung ny c gi l sõu lc ca M I v c kớ hiu l f depth( I , M ) 1.3.4 Mnh Cỏc phỏt biu sau õy l ỳng (i) Nu I l iờan ca R thỡ depth( I , M ) f depth( I , M ) (ii) depthM dim M (iii) Nu dim( M / IM ) > thỡ f depth( I , M ) dim M (iv) Nu dim( M / IM ) = thỡ f depth( I , M ) = 1.4 Mụun i ng iu a phng 1.4.1 nh ngha Gi thit R l vnh Noether a phng, m l iờan ti i nht ca R v M l R mụun hu hn sinh vi chiu Krull dim M = d (i) i ng iu a phng ln u tiờn c nh ngha bi A Grothendick Cho I l mt iờan ca R Vi mi R mụun M, t I ( M): = U (0: M I n) = { x M / n Ơ , xI n = 0} nƠ Ta cú I ( M) l mt mụun ca M Vi mi R ng cu f : M N, ta cú f ( I ( M )) I (N ) Do ú tn ti I ( f ): I ( M ) I (N ) x a I ( f )( x ) = f ( x ), x I ( M ) Khi ú I l mt hm t cng tớnh, hip bin, khp trỏi t phm trự cỏc R mụun vo phm trự cỏc R mụun I c gi l hm t xon Vi mi s t nhiờn i, hm t dn xut phi th i ca I c kớ hiu l HIi v c gi l hm t i ng iu a phng th i vi giỏ l I Vi mi R mụun M, ta kớ hiu HIi ( M ) l nh ca mụun M qua tỏc ng bi hm t H Ii Khi ú, HIi ( M ) c gi l mụun i ng iu a phng th i ca mụun M vi giỏ l I d ( M ) (vi dim M = d ) l mụun i ng iu a (ii) Ngi ta gi Hm phng cp cao nht ca mụun M i ( M ) l R mụun Artin vi mi i 1.4.2 Mnh (i) Hm (ii) HIdim M ( M) l mụun Artin vi mi iờan I ca R i ( M ) = vi mi i > dim M hoc i < depth M Vi (iii) Hm { } { } i i depth M = i : Hm ( M ) ; dim M = max i : Hm (M) dim M dim M ( M) v Hm ( M ) l mụun Artin d >0 c bit, Hm 17 (v) Theo (iv), ỏnh x àG : R HomR ( HomR ( R, E ), E ) l mt ng cu Do ú iu cn chng minh c suy t àG : R D ( D ( R )) D( E ) W 2.1.7 Mnh Cho m l mt iờan cc i ca R Khi ú R mụun ni x E ( R / m) l Artin Chng minh Ta cú (0 :ER ( R / m) m) ER / m( R / m) Do R / m l trng, ER / m( R / m) = R / m Do ú, (0 :ER ( R / m) m) l mt R mụun Artin Khi ú ER ( R / m) l m xon, t ú suy ER ( R / m) l Artin W 2.1.8 Mnh Gi s ( R, m) l vnh a phng v t E = E ( R / m) Cho M l mt R mụun Khi ú M l Artin nu v ch nu M ng cu vi mt mụun ca E t , vi mt s t nhiờn t no ú, ú E t = ti =1 Ei vi Ei = E , i = 1, , t Chng minh +/ iu kin Gi s M ng cu vi mt mụun ca E t Khi ú theo Mnh 2.1.7, vi mi t Ơ , mi mụun ca E t l Artin +/ iu kin cn Gi s M l Artin v M Theo H qu 2.1.5, M l m rng ct yu ca Soc( M ) v Soc( M ) l mt mụun Artin trit tiờu bi m Vỡ vy, Soc( M ) cú mt cu trỳc t nhiờn nh mt khụng gian vect trờn R / mv tn ti t Ơ cho Soc( M ) ( R / m)t Hp thnh ng cu trờn vi tng trc tip ca cỏc ỏnh x bao hm thu c mt R n cu f : Sos(M) E t Do E t l ni x nờn f cú th m rng thnh mt R n cu f : M E t v f cng cú mt n cu t M l mt m rng ct yu ca Soc( M ) (Theo H qu 2.1.5) Suy M ng cu vi mt mụun ca E t , vi t Ơ 18 2.1.9 Nhn xột Gi s ( R, m) l vnh a phng v A l R mụun Artin Cho a A Khi ú tn ti s t Ơ cho mt a = Tht vy, vi a = thỡ hin nhiờn Nu a thỡ R mụun Ra l Artin, vnh R / (0 : a) l Artin, a phng v iờan cc i ly linh nờn ta cú iu phi chng minh mụun: vi mi T ú ta suy A cú cu trỳc t nhiờn nh l R , ú rn R , a mn = n ln (n ? 0) nờn a R v (rn ) R rn a khụng thay i n ? Vỡ th chỳng ta cú th nh ngha (rn ) a l phn t rn a vi n ? Khi ú, mi ca A l R mụun v ch mụun l R 2.1.10 Mnh Gi s ( R, m) l vnh a phng v gi E := E ( R / m) mụun Khi ú E l R mụun Artin v nú cú cu trỳc t nhiờn nh mt R Artin Hom ( E , E ) xỏc nh bi (r$) = rId $ R ng cu t nhiờn : R R E vi l mt ng cu Núi theo cỏch khỏc, vi mi f HomR ( E , E ) , mi r$ R cho f ( x) = rà x vi mi x E tn ti nht phn t ràf R f Chng minh Theo Mnh 2.1.7, E l R mụun Artin Do ú, theo Nhn mụun Vi mi n Ơ , t xột 2.1.9, E cú cu trỳc t nhiờn l mt R En := (0 :E mn ) Cho f HomR ( E , E ) , t Ơ Rừ rng, R / m trit tiờu bi mt Khi ú tn ti mt ng cu R / mt mụun Et ER / mt (( R / mt ) / ( m/ mt )) Ta cú f ( Et ) Et v R / mt l mt vnh a phng Artin Vỡ vy, theo Mnh 2.1.6(v), tn ti rt R cho f (e) = rt e vi mi e Et v hn 19 na, nu rt l phn t khỏc ca R cho f (e) = rt e vi mi e Et thỡ rt + mt = rt + mt tc l rt rt mt Ta thc hin tng t nh trờn vi mi t Ơ v cng xõy dng mt dóy xỏc nh nht (rn + mn ) nƠ nƠ R / mn vi tớnh cht: Vi mi n Ơ , ta cú f (e) = rn e vi mi e En Hn na, vi mi n, h Ơ , ta cú En En + h v cng t f (e) = rn e = rn + h e vi mi e En , suy rn rn + h mt Bi vy, ta tỡm c mt dóy xỏc nh nht n (rn + mn ) nƠ lim suu uR / m = R nƠ cho vi mi n Ơ , ta cú f (e) = rn e vi mi e En Do E = UnƠ En $ vi mi x E W cho f ( x) = rx nờn suy cú nht r$ R 2.1.11 nh lý (nh lý i ngu Matlis) Gi s ( R, m) l vnh a phng v y Ký hiu E := E ( R / m) v D := HomR (., E ) l hm t i ngu Khi ú (i) Vi mi f HomR ( E , E ) , tn ti nht mt phn t r f R cho f ( x) = r f x vi mi x E (ii) Nu N l mt R mụun hu hn sinh, ng cu t nhiờn N : N D( D( N )) l mt ng cu v D ( N ) l Artin (iii) Nu A l mt R mụun Artin, ng cu t nhiờn N : A D ( D ( A)) l mt ng cu v D ( A) l Noether Chng minh (i) D dng suy t Mnh 2.1.10 (ii) nh x hp thnh àR : R D ( D ( R )) D( E ) , 20 ú ỏnh x th hai l ng cu t nhiờn, cho (r ) = rId E vi mi r R Ta thy rng (i), l mt ng cu, vỡ vy R l mt ng cu Hm t ng nht v DD l hai hm t cng tớnh v kt qu ca s ỏp dng ca mt hm t cng tớnh vo mt dóy khp ngn l mt dóy khp ngn, cng vy, l mt phộp bin i t nhiờn ca hm t Bi vy ta cú th suy lun, quy np theo hng, rng F l mt ng cu F l R mụun hu hn sinh t Gi N l mt R mụun hu hn sinh tựy ý Khi ú N cú th nhỳng c vo dóy khp F1 F0 N , ú F1 v F0 l cỏc R mụun hu hn sinh t Do hm t DD l cng tớnh v khp, l mt phộp bin i t nhiờn ca hm t, suy dóy khp trờn cm sinh mt biu giao hoỏn F0 F1 N àF F àN D( D( F1 )) D( D( F0 )) D ( D ( N )) 0 0 vi cỏc hng l khp T ú suy N l mt ng cu Cui cựng, ỏp dng hm t phn bin, khp D vo dóy khp F0 N suy D ( N ) l mt ng cu vi mụun ca D ( F0 ) Do D ( F0 ) l ng cu ti mt tng trc tip ca mt s hu hn cỏc D ( R ) v D( R ) E , nờn theo Mnh 2.1.8, suy D ( N ) l Artin (iii) Hp thnh àE Hom ( , Id E ) E H1 H E 21 vi H1 = HomR ( HomR ( E , E ), E ) v H = HomR ( R, E ) , l ng cu xỏc nh chng minh (ii) Do ú E l ng cu Bõy gi s dng tớnh cht cng tớnh ca hm t DD v phộp bin i t nhiờn , quy np theo t , suy rng E t l mt ng cu vi mi t Ơ Cho A l mt R mụun Artin tựy ý Theo Mnh 2.1.8, suy cú mt dóy khp A E n0 E n1 vi n0 Ơ v n1 Ơ T tớnh khp ca hm t DD v phộp bin i t nhiờn nh chng minh phn (ii), chỳng ta nhn c mt biu giao hoỏn vi cỏc hng khp Suy A l mt ng cu Cui cựng, ỏp dng hm t phn bin, khp D cho dóy khp n n A E n0 suy D ( A) l mt nh ng cu ca D ( E ) ( D( E )) Do : R D( E ) l mt ng cu, D ( A) l mt nh ng cu ca mt R mụun hu hn sinh t v vỡ th cng l Noether 2.1.12 Nhn xột Gi s ( R , m) l mt vnh a phng, y v s dng ký hiu 2.1.1 Gi G l mt R mụun cú di hu hn, theo nh lý i ngu Matlis 2.1.11, i ngu Matlis D (G ) cng cú di hu hn v l ( D(G )) = l (G ) Trong [6], K Khashyarmanesh ó s dng khỏi nim dóy chớnh quy I lc nh l cụng c quan trng Vỡ th phn tip theo, chỳng tụi s trỡnh by v khỏi nim v mt s tớnh cht ca dóy chớnh qui I lc da theo [7] 2.2 Dóy chớnh quy I lc 2.2.1 nh ngha Cho I l mt iờan ca vnh R v x1 , x2 , , xn l mt dóy cỏc phn t thuc iờan I Khi ú x1 , x2 , , xn c gi l dóy chớnh quy I lc ca M nu 22 ( x , , xi ) M :M x1 Supp ữ V( I ) ( x1 , , xi ) M vi mi i = 1, , n v V ( I ) l cỏc iờan nguyờn t ca R cha I 2.2.2 Nhn xột (i) T nh ngha trờn ta thy mt dóy cỏc phn t x1 , x2 , , xn I l dóy chớnh quy I lc ca M nu vi mi i = 1, , n ta luụn cú xi p vi mi p AssM / ( x1 , x2, , xn ) M tha tớnh cht p I (ii) Nu ( R, m) l vnh a phng vi mt iờan cc i nht m thỡ dóy chớnh quy m lc chớnh l khỏi nim chớnh quy lc (hay cũn gi l f dóy) c a bi N T Cng, P Schezel v N V Trung Do ú dóy chớnh quy I lc l mt s khỏi quỏt húa khỏi nim dóy chớnh quy lc Mnh sau õy cho thy vi mi s nguyờn dng n luụn tn ti mt dóy chớnh quy I lc ca M cú di n iu ú chng t rng di ca mt dóy chớnh quy I lc cú th vụ hn 2.2.3 Mnh Gi s x1 , x2 , , xn l mt dóy chớnh quy I lc ca M vi i = 1, , n Khi ú luụn tn ti phn t y I cho x1 , x2 , , xn , y l mt dóy chớnh quy I lc ca M Chng minh Nu HI0 ( M ) = M thỡ ta chn tựy ý phn t y I ( ) 0 Nu HI0 ( M ) M thỡ HI M / HI ( M ) = Suy ( ) depth M / H I0 ( M ) > Do ú tn ti phn t y I l M / HI0 ( M ) chớnh quy Suy x1 , x2 , , xn , y l mt dóy chớnh quy I lc ca M W 2.2.4 nh ngha Mt dóy cỏc phn t x1 , x2 , , xn c gi l mt dóy chớnh quy I lc hoỏn v c ca M nu x1 , x2 , , xn l mt l mt dóy chớnh quy I lc ca M vi mi hoỏn v ca nú 23 2.2.5 Mnh Nu x1 , x2 , , xn l mt dóy chớnh quy I lc hoỏn v c ca M thỡ tn ti phn t xn +1 I cho x1 , x2 , , xn , xn +1 l mt dóy chớnh quy I lc hoỏn v c ca M Chng minh Nu r = ta chn phn t tựy ý x1 I \ UpAss ( M ) \ V ( I ) p Nu r t S := p: p Ass M / ( Rxi ) M ữ iI v gi s xn +1 I \ UpS \ V ( I ) p Gi s y1 , y2 , , yn +1 l dóy hoỏn v ca x1 , x2 , , xn , xn +1 Gi s yl = xn +1 vi l n + Bõy gi vi i = 1, , n + 1; yi p vi p Ass M / ( Rxi ) M ữ \ V( I ) Theo gi thit iI trờn vi mi s nguyờn dng i, + l i n + v p Ass M / ( Rxi ) M ữ \ V( I ) cho yi p Khi ú ta cú dóy iI y1 , , yl , , yi , , yn +1 l mt dóy chớnh quy I lc ca M Bõy gi ta cú y1 y y y , , l , , i , , n +1 1 1 vi yj pRp l mt M p dóy Cho nờn W i y1 y y , , i , , n +1 cng l M p dóy Suy pRp Ass Mp / ( y j ) Mp ữ.W j =1 1 2.2.6 Mnh Gi s I l mt iờan ca vnh R v x1 , x2 , , xn l mt dóy cỏc phn t ca I Khi ú cỏc mnh sau õy l tng ng: (i) x1 , x2 , , xn l dóy chớnh quy I lc ca M (ii) x1 x x , , i , , n 1 Rp l p Supp ( M ) \ V ( I ) , vi mi i = 1, , n M p dóy nghốo, vi mi 24 t (iii) x11 , , xntn l dóy chớnh quy I lc ca M , t1 , , tn Ơ Chng minh (i) (ii) Ta ch cn chng minh trng hp r = ri bng phng phỏp quy np ta suy kt lun Vi r = ta chng minh: * x1 l phn t chớnh quy ca M p , p Supp ( M ) \ V ( I ) m x1 p * x1 p, p Supp ( M ) \ V ( I ) Tht vy, M l R mụun hu hn sinh v R l vnh Noether nờn M l R mụun Noether nờn tn ti n0 Ơ cho U :M (V ( I )) n = :M (V ( I )) n0 n0 t M = :M (V ( I )) n0 Ta cú (V ( I )) n0 M = Suy M V ( I ).M (V ( I ))2 M (V ( I )) n0 1.M (V ( I )) n0 M = ( ) n Do ú l :M (V ( I )) = l R M < Mt khỏc x1 l phn t chớnh quy lc nờn theo nh ngha dóy chớnh quy lc ta cú :M x1 :M (V ( I )) n0 Suy AssR (0 :M x1 ) V ( I ) Do ú SuppR (0 :M x1 ) V ( I ) Suy p V ( I ) thỡ p SuppR (0 :M x1 ) Suy (0 : x1 ) p = (*) Gi s tn ti p Ass ( M ) \ V ( I ), x1 p, t (*) ta cú (0 : x1 ) p (< : x1 >) p = 0p :< x1 > p= : Suy :M p x1 Rp x1 x Rp = Suy l phn t chớnh quy ca M p Suy 1 x1 x pRp , vi mi pRp AssM p Do pRp nờn pRp AssM p Suy 1 25 p AssM p iu ny mõu thun vi p Ass( M ) \ V ( I ) Vy x1 p, vi mi p Ass ( M ) \ V ( I ) W Chng minh ca kt qu sau õy c suy t chng minh ca mt kt qu tng t ca U Nagel v P Schenzel i vi dóy chớnh qui lc Tuy nhiờn chng minh ny s dng kin thc rt sõu sc v dóy ph nờn chỳng tụi khụng trỡnh by õy 2.2.7 nh lý Cho x = { x1 , , xn } l mt dóy chớnh qui I - lc ca M Khi ú ta cú cỏc ng cu sau õy: H (i x , , x ) (M ) n H Ii ( M ) i n n H I ( H ( x1 , , xn ) ( M )) với i < n với n i 2.2.8 nh ngha Gi s I l iờan ca vnh Noether R , M l mt R mụun Mt dóy cỏc phn t x1 , x2 , , xn ca iờan I c gi l mt M dóy I yu nu vi mi i = 1, , n ta cú ( x1 , , xi ).M :M xi = ( x1 , , xi ).M :M I 2.2.9 Chỳ ý (i) Cho I l iờan ca vnh Noether R, M l mt R mụun Nu mt dóy cỏc phn t x1 , , xn ca iờan I l mt M dóy I yu thỡ x1 , , xn cng l dóy chớnh quy I lc (ii) Cho ( R, m) l vnh a phng, M l R mụun hu hn sinh Khi ú M l mụun Cohen Macaulay suy rng v ch tn ti k cho mi h tham s ca M l M dóy mk yu 2.3 i ngu Matlis ca mụun i ng iu a phng 2.3.1 B Gi s M l mt R mụun hu hn sinh v I l mt iờan ca R Nu vi bt k s nguyờn khụng õm n v x1 , , xn +1 I l mt dóy chớnh quy I lc bt k trờn M thỡ tn ti dóy khp 26 H In ( M ) H (nx1 , , xn ) ( M ) ( H (nx1 , , xn ) ( M )) xn+1 H (nx+11, , xn+1 ) ( M ) Chng minh Gi s n Ơ v x1 , , xn +1 l mt dóy chớnh quy I lc trờn n M Tp hp N := H ( x1 , , xn ) ( M ) Theo nh lý 2.2.7, chỳng ta cú H (0xn+1 ) ( N ) H (0xn+1 ) ( H (0x1 , , xn ) ( N )) H (0x1 , , xn+1 ) ( N ) H (nx1 , , xn+1 ) ( M ) H In ( M ) 1 n +1 v H ( xn+1 ) ( N ) H ( x1 , , xn+1 ) ( N ) H ( x1 , , xn+1 ) ( M ) Ngoi ra, chỳng ta cú dóy khp sau õy H (0xn+1 ) ( N ) N ( N ) xn+1 H (1xn+1 ) ( N ) Vỡ vy, ta cú dóy khp W H In ( M ) H (nx1 , , xn ) ( M ) ( H (nx1 , , xn ) ( M )) xn+1 H (nx+11, , xn+1 ) ( M ) 2.3.2 Kớ hiu Gi s ( R, m) l mt vnh a phng v E := ER ( R / m) l bao ni x ca R/ m Chỳng ta biu th i ngu Matlis ca hm t HomR (, E ) bi D () i vi M l R mụun, chiu i ng iu ca M vi giỏ l I c { } i nh ngha bi cd ( I , M ) := max i  : H I ( M ) 2.3.3 Mnh Gi s ( R, m) l mt vnh a phng, j l mt s nguyờn dng cho j > cd ( I , M ) v x1 , , x j l mt dóy chớnh quy I lc n j trờn M Khi ú H I ( D( H ( x1 , , x j ) ( M ))) = vi mi n Ơ Chng minh Gi s j l mt s nguyờn dng cho j > cd ( I , M ) Gi s x1 , , x j +1 I l mt dóy chớnh quy I lc trờn M Theo B 2.3.1 chỳng ta cú dóy khp sau õy: H (jx1 , , x j ) ( M ) ( H (jx1 , , x j ) ( M )) x j +1 H (jx+11, , x j +1 ) ( M ) 27 Do ú tn ti dóy khp (*) D( H (jx+11, , x j +1 ) ( M )) D(( H (jx1 , , x j ) ( M )) x j +1 ) D( H (jx1 , , x j ) ( M )) Gi s n l mt s nguyờn dng khụng õm tựy ý Do phộp nhõn bi phn t x j +1 l mt t ng cu trờn ( H (jx , , x ) ( M )) x j +1 v mi phn t ca j H In ( D(( H (jx1 , , x j ) ( M )) x j +1 )) b trit tiờu bi mt ly tha ca I , d dng n j thy rng H I ( D(( H ( x1 , , x j ) ( M )) x j +1 )) = Vỡ vy, bng cỏch lp li phng phỏp ny chỳng tụi cú ng cu H In ( D( H (jx1 , , x j ) ( M ))) H In +1 ( D( H (jx+11, , x j +1 ) ( M ))) vi mi i Ơ W Cho iờan I ca vnh R cho IM M Khi ú di ca cỏc dóy chớnh quy cc i I i vi mụun M l bng v c ký hiu l gradeM I Vy gradeM I l mt s nguyờn khụng õm nh lý sau õy l kt qu chớnh [6] 2.3.4 nh lý Gi s ( R, m) l mt vnh a phng, I l mt iờan ca R cho IM M v n := gradeM I = cd ( I , M ) Khi ú H In ( D( H In ( M ))) D ( M ) Chng minh Gi s x1 , , xn I l mt dóy chớnh quy trờn M Do x1 , , xn l mt dóy chớnh quy I lc trờn M , nờn tn ti mt phn t xn +1 I cho x1 , , xn +1 to thnh mt dóy chớnh quy I lc trờn M Vỡ vy, theo B 2.3.1, tn ti dóy khp sau õy H In ( M ) H (nx1 , , xn ) ( M ) ( H (nx1 , , xn ) ( M )) xn+1 H (nx+11, , xn+1 ) ( M ) Do ú ta cú dóy khp sau 28 D( H (nx+11, , xn+1 ) ( M )) D(( H (nx1 , , xn ) ( M )) xn+1 ) D( H (nx1 , , xn ) ( M )) (**) D( H In ( M )) Do phộp nhõn bi phn t xn +1 l mt t ng cu trờn D (( H (nx1 , , xn ) ( M )) xn+1 ) v mi phn t ca H In ( D(( H (nx1 , , xn ) ( M )) xn+1 )) b n n trit tiờu bi mt ly tha ca I nờn suy H I ( D(( H ( x1 , , xn ) ( M )) xn+1 )) = Do ú, bng cỏch tỏch dóy khp (**) thnh hai dóy khp v ỏp dng cỏc hm t I () trờn chỳng kt hp vi Mnh 2.3.3, cú th d dng thy rng H In ( D( H In ( M ))) H In ( D( H (nx1 , , xn ) ( M ))) n n Vỡ vy, chỳng ta cn chng minh rng H I ( D( H ( x1 , , xn ) ( M ))) = D( M ) Do n = gradeM I , theo B 2.3.1 chỳng ta cú dóy khp H (i x1 , , xi ) ( M ) ( H (i x1 , , xi ) ( M )) xi +1 H (i x+11, , xi +1 ) ( M ) vi mi i, i n Nh vy, bng cỏch s dng mt phng phỏp tng t c s dng phn u ca chng minh ny, ta cú ng cu sau õy H In ( D( H (nx1 , , xn ) ( M ))) H In ( D ( H (nx11, , xn1 ) ( M ))) H 1I ( D( H (1x1 ) ( M ))) Hn na, x1 khụng l c trờn M, nờn ta cú dóy khp M M x1 H (1x1 ) ( M ) 1 Nh vy, H I ( D ( H ( x1 ) ( M ))) I ( D ( M )) Do mi phn t ca E b trit tiờu bi mt ly tha ca m v M l hu hn sinh, nờn ta cú I ( D( M )) D( M ) W H qu sau õy c suy lp tc t nh lý trờn H qu ny l mt s khỏi quỏt húa ca cỏc kt qu mt bi bỏo ca M Hellus trc bi bỏo [6] mt nm 29 2.3.5 H qu Cho R l mt vnh a phng v I l mt iờan thc s ca R cho n := gradeR I = cd ( I , R ) Khi ú H In ( D( H In ( R ))) E Chng minh c suy trc tip t nh lý 2.3.4 KT LUN Túm li, lun ny chỳng tụi ó trỡnh by mt cỏch tng minh cỏc kt qu bi bỏo [6] ca K Khashyarmanesh Da vo [6] v cỏc ti liu liờn quan chỳng tụi ó hon thnh c nhng ni dung chớnh sau õy: Trỡnh by khỏi nim mụun i ng iu a phng v mt s tớnh cht c bn ca nú Trỡnh by khỏi nim hm t i ngu Matlis v chng minh mt s tớnh cht ca nú Khỏi nim v mt s tớnh cht ca dóy chớnh quy I lc Khỏi nim ny l mt s khỏi quỏt húa ca khỏi nim dóy chớnh quy lc ( f dóy) c a bi N T Cng, P Schezel v N V Trung nm 1978 30 Mi liờn h gia dóy chớnh quy I lc v i ngu Matlis ca mụun i ng iu a phng õy l kt qu chớnh ca bi bỏo [6] TI LIU THAM KHO Ting Vit [1] Nguyn T Cng (2003), Giỏo trỡnh i s hin i, Nh xut bn i hc Quc gia H ni [2] Dng Quc Vit (2008), C s lý thuyt module, Nh xut bn i hc s phm [3] Dng Quc Vit (2008), Lớ thuyt chiu, Nh xut bn i hc s phm Ting Anh [4] M.F Atiyah and I.G Macdonal (1969), Introduction to Commutative Algebra, Reading, Mass 31 [5] M P Brodman, R Y Sharp (1998), Local comology: an algebraic introducsion winh geometric applications, Cambridge University Press [6] K Khashyarmanesh (2007), On the Matlis duals of the local cohomology modules, Arch Math 88, 413-418 [7] K Khashyarmanesh and Sh.Salarian (1998), Filter regular sequences and the Finiteness of local cohomology modules, Communications in algebra, 26(8), 2483 2490 [8] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Translated by M Reid, Cambridge University Press [...]... )) = s c bit, nu s > 0 thỡ H Ins ( M ) khụng l mụun Artin 14 CHNG 2 I NGU MATLIS CA MễUN I NG IU A PHNG Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by cỏc kt qu trong bi bỏo [6] ca K Khashyarmanesh Ni dung chớnh ca bi bỏo ny l nghiờn cu v i ngu Matlis ca mụun i ng iu a phng Trc ht chỳng tụi s trỡnh by v i ngu Matlis da theo [5] 2.1 i ngu Matlis 2.1.1 Kớ hiu v nhn xột Gi s ( R, m) l vnh a phng Gi E := E( R / m) l... l m adic y lim suu uR / m ca R ký hiu R nƠ Xột hm t D() = HomR (, E ( R / m)) t phm trự cỏc R mụun n chớnh nú Vỡ E ( R / m) l mụun ni x nờn D () l hm t khp Ta gi D () l i ngu Matlis Vi mi R mụun G , ta gi D(G ) l i ngu Matlis ca G Chỳ ý rng D( R ) ng cu t nhiờn vi E v D( E ) = Hom R ( E, E ) l mt vnh cỏc R t ng cu ca E Vi mi R mụun G , gi à G : G D( D( G )) = Hom R ( Hom R ( G , E ), E ) l... l mt nh ng cu ca mt R mụun hu hn sinh t do v vỡ th cng l Noether 2.1.12 Nhn xột Gi s ( R , m) l mt vnh a phng, y v s dng ký hiu trong 2.1.1 Gi G l mt R mụun cú di hu hn, theo nh lý i ngu Matlis 2.1.11, i ngu Matlis D (G ) cng cú di hu hn v l ( D(G )) = l (G ) Trong [6], K Khashyarmanesh ó s dng khỏi nim dóy chớnh quy I lc nh l cụng c quan trng Vỡ th trong phn tip theo, chỳng tụi s trỡnh by v... ng iu a phng v mt s tớnh cht c bn ca nú 2 Trỡnh by khỏi nim hm t i ngu Matlis v chng minh mt s tớnh cht ca nú 3 Khỏi nim v mt s tớnh cht ca dóy chớnh quy I lc Khỏi nim ny l mt s khỏi quỏt húa ca khỏi nim dóy chớnh quy lc ( f dóy) c a ra bi N T Cng, P Schezel v N V Trung nm 1978 30 4 Mi liờn h gia dóy chớnh quy I lc v i ngu Matlis ca mụun i ng iu a phng õy l kt qu chớnh ca bi bỏo [6] TI LIU THAM... vỡ mi mụun con khỏc khụng B ca A cha mt mụun con n 2.1.6 Mnh Gi s ( R, m) l vnh a phng v Artin S dng cỏc ký hiu trong 2.1.1, khi ú ta cú: (i) D( R / m) R / m (ii) Vi mi R mụun hu hn sinh G , i ngu Matlis D( G ) cng hu hn sinh v l ( D(G )) = l (G ) (iii) E l hu hn sinh (v cng l Artin) v l ( E ) = l ( R ) (iv) Vi mi R mụun hu hn sinh G , ỏnh x àG : G D( D(G )) l mt ng cu (v) Vi mi f HomG ( E... x1 , , xn cng l dóy chớnh quy I lc (ii) Cho ( R, m) l vnh a phng, M l R mụun hu hn sinh Khi ú M l mụun Cohen Macaulay suy rng khi v ch khi tn ti k sao cho mi h tham s ca M l M dóy mk yu 2.3 i ngu Matlis ca mụun i ng iu a phng 2.3.1 B Gi s M l mt R mụun hu hn sinh v I l mt iờan ca R Nu vi bt k s nguyờn khụng õm n v x1 , , xn +1 I l mt dóy chớnh quy I lc bt k trờn M thỡ tn ti dóy khp 26 0 H... W 0 H In ( M ) H (nx1 , , xn ) ( M ) ( H (nx1 , , xn ) ( M )) xn+1 H (nx+11, , xn+1 ) ( M ) 0 2.3.2 Kớ hiu Gi s ( R, m) l mt vnh a phng v E := ER ( R / m) l bao ni x ca R/ m Chỳng ta biu th i ngu Matlis ca hm t HomR (, E ) bi D () i vi M l R mụun, chiu i ng iu ca M vi giỏ l I c { } i nh ngha bi cd ( I , M ) := max i  : H I ( M ) 0 2.3.3 Mnh Gi s ( R, m) l mt vnh a phng, j l mt s nguyờn dng... nht n à (rn + mn ) nƠ lim suu uR / m = R nƠ sao cho vi mi n Ơ , ta cú f (e) = rn e vi mi e En Do E = UnƠ En $ vi mi x E W à sao cho f ( x) = rx nờn suy ra cú duy nht r$ R 2.1.11 nh lý (nh lý i ngu Matlis) Gi s ( R, m) l vnh a phng v y Ký hiu E := E ( R / m) v D := HomR (., E ) l hm t i ngu Khi ú (i) Vi mi f HomR ( E , E ) , tn ti duy nht mt phn t r f R sao cho f ( x) = r f x vi mi x E (ii)... Commutative Algebra, Reading, Mass 31 [5] M P Brodman, R Y Sharp (1998), Local comology: an algebraic introducsion winh geometric applications, Cambridge University Press [6] K Khashyarmanesh (2007), On the Matlis duals of the local cohomology modules, Arch Math 88, 413-418 [7] K Khashyarmanesh and Sh.Salarian (1998), Filter regular sequences and the Finiteness of local cohomology modules, Communications ... iu a phng 1.5 Giỏ ca mụun i ng iu a phng 12 CHNG I NGU MATLIS CA MễUN I NG IU A PHNG 14 2.1 i ngu Matlis 2.2 Dóy chớnh quy I lc 2.3 i ngu Matlis ca mụun i ng iu a phng KT LUN TI LIU THAM KHO... phn sau Chng 2: i ngu Matlis ca mụun i ng iu a phng Chng ny l ni dung chớnh ca Lun Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by khỏi nim v mt s tớnh cht ca dóy chớnh quy I lc v i ngu Matlis ca mụun i ng iu... Artin 14 CHNG I NGU MATLIS CA MễUN I NG IU A PHNG Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by cỏc kt qu bi bỏo [6] ca K Khashyarmanesh Ni dung chớnh ca bi bỏo ny l nghiờn cu v i ngu Matlis ca mụun i ng