DIEM ROI TRONG BAT DANG THUC CAUCHY

Như vậy, nếu nhóm và áp dụng BĐT Cô-si như ở trên thì “bế tắc” trong việc tìm giá trị nhỏ nhất của E.. “bế tắc”trong cách giải - không sao, đừng nản chí.[r]

1 Đ Trong BẤT ĐẲNG THỨC c AUCHY BÁO CÁO VIÊN : GV Đoàn Văn Tố Đỉnh núi Everest Tại Nepal, nó mang tên Sagarmatha (nghĩa là "trán trời") Trong tiếng Tây Tạng, nó gọi Chomolungma (nghĩa là "Thánh mẫu vũ trụ") Trong tiếng Trung Quốc, nó có tên phiên âm từ tiếng Tây Tạng là Châu Mục Lãng Mã Phong dịch nghĩa là Thánh Mẫu Phong - "đỉnh núi Thánh mẫu" Độ cao 8848 m Vị trí Solukhumbu District,Sagarmatha Zone, Nepal Tingri County, Xigazê Prefecture, Khu tự trị Tây Tạng,Cộng hòa Nhân dân Trung Hoa[2] Dãy núi Mahalangur Himal, Himalayas Vài dòng tri ân … Xin mạn phép nói rằng, số các bạn, đã có đặt cho mình câu hỏi “ Tại người ta luôn phải tìm cách trèo lên đỉnh núi Everest ? ” Công việc thật là quá khó khăn, mà nói cho cùng chẳng mang lại lợi ích thiết thực nào Nhưng xin các bạn nhớ cho rằng, sống ngoài nhu cầu vật chất, người cần đến lòng tin, sức mạnh và ý chí mình Xin chân thành cảm ơn các Thầy-Cô, người đã dạy mình chưa dạy mình, tất họ đã cho tôi lòng tin, sức mạnh và ý chí CHỦ ĐỀ B ẤT ĐẲNG THỨC Cauchy & Kỹ thuật chọn điểm rơi I- Giới thiệu số bất đẳng thức thông dụng : 1) Với a, b :  a b  a + b  2ab  (a + b)  4ab     ab (Dấu “=” xảy a = b)   2) Với a, b > : a b 1   và   (Dấu “=” xảy a = b) b a a b ab 2 3) Với a, b : a + b  a +b (Dấu “=” xảy a.b  0) và a – b  a – b (Dấu “=” xảy a  b  a  b  0) 4) Với số a, b, c : a) b) a  b 2 a + b + c2  ab + bc + ac a  b2  3(a2 + b2 + c2)  (a + b + c)2 5) Với số a, b, c không âm : c) a) ab a b  2 (BĐT “Căn trung bình cho hai số”) abc a b c  (BĐT “Căn trung bình cho ba số”) 3 6) Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy inequality) cho hai số không âm : b) Với a , b và c là ba số không âm : a  b  a.b Dấu ‘’ = ‘’ xảy  a = b 7) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-xki (Bunyakovsky inequality) Với a, b, c, d : (ac + bd)2  (a2 + b2)(c2 + d2) Hoặc : ac  bd  a  b2 c  d Dấu “=” xảy  a = k.c và b = k.d 1 1       n an   a1 a 8) Với n số thực dương a1,a2, …, an :  a1  a   a n   Dấu ‘’ = ‘’ xảy  a1 = a2 = … = an a b c (a  b  c) 9) Với m, n, p dương :    m n p mnp 10) Với a, b, c dương : a b c    (Nesbitt inequality) bc ca a b ( Sẽ nói rõ thêm BĐT Nesbitt và BĐT AM-GM chuyên đề khác Các bạn nhớ đón đọc nhé !) II-Từ sai lầm thường gặp : Bài toán : Tìm giá trị lớn A = x 3  5 x Điều kiện : 3  x  Cách “Dùng BĐT trung bình”  x  3    x  Ta có A = x 3  5 x  Ta có A = x    x = x    x =4 Dấu “=” xảy  x + = – x  x = (thỏa điều kiện) Vậy Amax = x = Cách “Dùng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski”  12     A   1  x3   5 x  =   Dấu “=” xảy  x    x  x = (thỏa điều kiện) Vậy Amax = x = Cách “Dùng BĐT Cô-si” Tất nhiên, hai cách giải trên là đúng Chúng đó để đối chiếu với cách giải sau, gặp bài toán này, số học sinh   Ta có :    A5   x .1    x  1  x  3.1   x   1 x    x  2 Dấu “=” xảy    : vô lý ! 5  x  x   Tới đây, tôi đã gặp nhiều câu trả lời thú vị từ học sinh : _ có bạn thì nói : Bài toán không có GTLN ! _ có bạn thì lại nói : Đề bài có vấn đề !? _ bạn kỹ tính thì lại nhận định : Có lẽ hướng “chặn A  5” chưa đúng !  Các bạn ghi nhớ bài này nhé, ta giải biết “điểm rơi” là gì ! Bài toán : Cho x > 0, y > thỏa xy = Tìm giá trị nhỏ B = x  y  xy (có lẽ, cấu trúc bài toán làm cho học sinh bị “ghiền” Cô-si cho hai số… !? Và thật vậy, nhiều bạn đã miệt mài giải sau…) Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm x + y và , ta có : xy B = xy 1 =  B   (x  y) xy xy Dấu “=” xảy  x + y =   x  y    x + y = (x; y > 0) xy   x2  x   x (vô lý ! vì ta đã biết x  x   với x) Như thì : Ta chặn B  không tìm giá trị x và y để dấu “=” xảy ! Điều này có nghĩa là : “giải theo Cô-si kiểu này bế tắc luôn !” Bài toán : Cho a  Tìm giá trị nhỏ C = a  a Có lẽ, số học sinh thấy : _ Khi áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm a và thì cho kết a là C  Nhưng tìm a để dấu “=” xảy thì : _ Dấu “=” xảy  a =  a2 =  a = (a không âm) : trái giả thiết a  a  Các bạn thấy chưa ! dùng Cô-si chặn giá trị các biểu thức cần tìm GTNN-GTLN thì Kết hợp xy =1, ta có : x  đẹp tìm giá trị biến để dấu “=” xảy là công việc cần phải cẩn thận ! Bài toán : Cho a, b và c là ba số không âm thỏa a + b + c = Tìm giá trị lớn D = Một số học sinh nhận thấy :  gặp a  b là chuyển thành ab  bc  ca   a  b .1  ngoài ra, với giả thiết a + b + c = 1, sử dụng Cô-si cho hai số a + b và 1, gặp tổng a + b + c và thay tổng này là Có lẽ là quá đẹp phải không ? Và các bạn đã giải sau : Ta có : D =  a  b    b  c    c  a    2. a  b  c   3   2.1    2 a  b   Dấu “=” xảy  b  c  c  a   Kết hợp điều kiện a + b + c = 1, ta có : a = b = c = (mâu thuẫn !) Tới đây thì ta có kết luận kết luận bài toán Và bây thì giải nào đây ? (Hãy khoan dùng BĐT Cô-si, đề dành biết “điểm rơi” là gì !) Thử dùng BĐT “căn trung bình cho số không âm” : 2. a  b  c    3 Dấu “=” xảy  a  b  b  c  c  a  a = b = c Kết hợp điều kiện a + b + c = 1, ta có : a = b = c = (quá đẹp luôn !) a  b  b  c  c  a  Ta có : D =  Ghi nhớ ! Khi gặp bài toán có chứa các biểu thức dạng A  B  C , theo kinh nghiệm tôi, các bạn nên nhớ tới các BĐT sau :  A  B  C  ABC , :  A  B  C  ABC Với ghi nhớ này, các bạn giải nhiều bài toán hay Ví dụ : Giải phương trình Hd : x  x  x  x  x  (1) (Đề thi HSGTP 09-10)  x  x   x 1  x    x  v x  1 Điều kiện      x 1  x  x  0  x   x 1  x   Khi đó, áp dụng BĐT A  B  AB (A, B  0) x  x2  x  x2 Ta có VT(1)   x , đó VP(1)  x (áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm x và 1) x  x  Như vậy, dấu “=” hai BĐT trên xảy   (!)   2 x  x  x  x 2x    Kết luận : Phương trình (1) vô nghiệm Bài toán : Cho x  , y  , x  y  Tìm giá trị nhỏ E  3x  2y   x y Một số bạn dùng BĐT Cô-si cho hai số không âm và giải sau :  8 6  8  Ta có : E =  3x     2y    2. 3x  2y  x  y x y    8  3x  x  x   x  Dấu “=” xảy     (x > 0, y > 0) y  y    2y  y  Nhưng đó thì x + y < (trái giả thiết) Như vậy, nhóm và áp dụng BĐT Cô-si trên thì “bế tắc” việc tìm giá trị nhỏ E Bài toán : Với u + v = và u > 0, v > 1  1  Tìm giá trị nhỏ biểu thức F   u     v   v  u  Quan sát bài giải học sinh :     u v Ta có : F =  u     v2       u   v   v u    2.2 8 u  Dấu “=” xảy  u  v2    (u, v > 0) : trái giả thiết ! v  Và bài giải học sinh khác sau : Áp dụng BĐT : A2 + B2  2AB 2 1  1  Ta có : F =  u     v   v  u   1    u   v   = v  u      uv        uv    uv 2   uv   Dấu “=” xảy     1 u  v u   v  v u  u   (u, v > 0) : trái giả thiết ! v  _ Các em học sinh này chặn F  “bế tắc”trong cách giải - không sao, đừng nản chí Trong toán học, đây là chuyện bình thường các bạn nên biết rằng, đôi lúc ta học nhiều điều từ “bế tắc”! _ Thế thì bài này giải nào ? Thật không cần phải biết “điểm rơi” đây làm gì Ta dùng số BĐT đúng và BĐT Cô-si túy cho hai số không âm là rồi…  Cách 1   u v _ Ta có : F =  u  v2          v  u v u  Áp dụng BĐT : A2 + B2   A  B  (*) 1  u  v   u2 + v2  (vì u + v = 1) 2  Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm u, v : Ta có : u + v  uv  4 uv 1 u  v2 1  1 Khi đó :   2     16    (**) u v u v  uv  u v 1 u v  _ Vậy : F    2.2      F  12 2 v u  _ Dấu “=” xảy  u = v, kết hợp u + v =  u = v = (**) Giải theo hướng khác : 2 1 1 1 1 1 u  v 1        2 2      u v2  u v  u v  u.v   u.v  Ta có : u2 + v2  2 1 1 1 1  Hoặc :         u v 2 u v 2u  v  Cách Áp dụng BĐT (*) 2 1   1 1  _ Ta có : F   u     v     u   v   v  u  2 v u  _ Thay u + v = 1, ta : 2 1 u  v u  v 1 u v F  1     3    2 v u  2 v u u v 1    F      F  12 Mà v u 2 _ Dấu “=” xảy  u = v = Bài toán : Cho a > c, b > c và c > Chứng minh c  a  c   c  b  c   ab (1) Bài toán này thì đã quá quen thuộc với nhiều người Lời giải bài toán ta bàn sau nhé, hãy xem suy nghĩ học sinh giải bài toán sau :  Quan sát thấy : c  a  c  dấu và vế phải BĐT chứa a, b …còn chờ gì (?!) chặn : c  a  c    c  a  c   Bài giải sau : Áp dụng BĐT cô-si cho hai số không âm : c, a  c và c, b  c   c  a  c    c  a  c  _ Ta có :   ca  c  c b  c  a  b  c  b  c   c  b  c   _ Như vậy, để chứng minh BĐT (1) ta cần chứng minh :  a  b   ab Nhưng điều này là không thể vì ta đã biết  a  b   ab (Cô-si hai số)  Một số cách giải bài toán : Cách Hai vế BĐT đã cho không âm, bình phương hai vế - khai triển và thu gọn, ta BĐT tương đương BĐT đã cho : c   a  c  b  c      Cách Ta có : c  a  c   c  b  c   c a  c  b  c c Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski : c a  c  b  c c  c a  c  b  c c  c   b  c   ab : đpcm ! a  c  c Cách ca  c cb  c   (2) ab ab c ac Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm , Ta có : b a c  a  c c a c 1 c a c      ab b a 2 b a  Ta có : c  a  c   c  b  c   ab  c  b  c c bc 1c bc      ab a b 2a b  1 c a c c bc Vậy : VT(2)       2b a a b   =  đpcm ! Cách “Giải bài toán BĐT phương pháp hình học” Tương tự : 10 _ Xét ABC có AB = a , AC = b và đường cao AH = c (tất nhiên lúc này thì điều A kiện a > c, b > c và c > đảm bảo Câu hỏi mà bạn quan tâm là dựng ABC đó nào ?! Ta nói chuyện này sau nhé…) b a c  C B a-c H _ Tính BH = a  c , CH = b  c _ Ta có SABC = c a  c  b  c  c  a  c   c  b  c   2.SABC b-c  Mà : 2.SABC  a b  ab (lại nói sau nhé…) Từ đây ta có đpcm !  Giải thích số ý : a) Dựng ABC :  ABH vuông H có AH = c , AB = a nên ABH dựng  Vẽ tia Hx đối tia HB Cung tròn (A; b ) cắt tia Hx điểm C Lúc này ABC xem dựng xong b) Tính chất diện tích tam giác : A Tam giác ABC có độ dài hai cạnh là x và H y (x > 0, y > 0) Khi đó ta luôn luôn có SABC  xy y x Thật vậy, kẻ đường cao BH 1 ABC thì : SABC = BH.AC  BH.y C 2 B Mà BH  x, đó : SABC  x.y III- Khái niệm “điểm rơi” - Một số ví dụ minh họa : 1) Bài toán mở đầu : Cho x  Tìm GTNN P  x  ? x 1  Rõ ràng không thể áp dụng BĐT Cô-si để có P  x   x  vì x x dấu “=” xảy  x = 1, mâu thuẫn với điều kiện x   Từ điều kiện đề bài “ x  ”, ta dự đoán P có giá trị nhỏ “ x = ” và đây chính là “điểm rơi” bài toán  Sơ đồ phân tích : 1  x với P  x   tách hạng tử x P để có : x 1 1  ?    ?  x x  x=3 a.b  (a  b) “=” xảy  a = b 11 Với x = (tức là dấu “=” xảy ra) 1 1 x      ?  ?     x   x  3 9  x x  2  x x 8x  x  8.3  P=x+ =     với x  x 9 x 10  P 10  Dễ thấy, dấu “=” xảy  x = Vậy Pmin = x = 3 10 (Đề thi HSG Q.9 - 2000.2001) Bài toán tương tự : Chứng minh x    x 3  Và giải sau : 2) Bài toán thứ : Cho x, y > thỏa mãn xy =1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = x + y + xy  Vì x, y > và xy = nên ta dự đoán : dấu “=” xảy  x = y =  Sơ đồ phân tích : x=y=1 1   x  y 11 với ? (chắc chắn tách từ x + y) để dùng xy BĐT Cô-si cho hai số (không âm) ta có dạng sau : Ta nhóm  1  ?    ? xy xy  Và dấu “=” xảy x = y = thì giá trị = giá trị ? xy xy (để x = y =1, cho giá trị là ) 3(x  y)  x  y   Và giải sau : M =   x  y   3(x  y) 3(x  y) Trong đó :  xy   (1) 4 xy xy xy      (2) xy xy xy Vậy : M   hay M  2 Như : ? có thể là 12 Dấu “=” xảy  dấu “=” (1) và (2) đồng thời xảy x  y x  y   x  y  x = y = : đúng dự đoán    x  y  (x, y  0)   xy  “điểm rơi” ban đầu 3) Bài toán thứ hai : Cho a, b, c > thỏa mãn abc =1 a2 b2 c2 Chứng minh : P =    1 b 1 c 1 a  Dự đoán dấu đẳng thức xảy  a = b = c =  Sơ đồ phân tích : a2 a2 a2 Ý tưởng : ?2 ? (dấu “=” xảy  = ? a = b = 1) 1 b 1 b 1 b Có a2 12   a = b = 1 b 11  cần tạo “một lượng ?” có tử là + b = và cân với đại lượng a2 a = b = 1 b  mẫu “lượng ?” là để 1+b  b =1  Và giải sau : a2 1 b a2 1 b Ta có :  2 a 1+b 1+b b2  c c2  a Tương tự :   b và  c 1+c 1+a 1 a 1 b 1 c Khi đó : P   a  b  c     4 3 P   a  b  c  4 Tiếp tục, áp dụng BĐT Cô-si cho số dương a, b, c : 3 P  3 abc   P  (*) (quá đẹp phải không !) 4  Kiểm tra lại việc dự đoán “điểm rơi” : “ a = b = c = ” 1  b  2a 1  c  2b  Dấu “=” (*) xảy    a = b = c =1  a  2c  a  b  c 4) Bài toán thứ ba : Hai bài toán “họ hàng” với bài toán thứ hai 13 4.1) Chứng minh với x, y, z > thì x2 y2 z2 xyz    xy yz zx  Dự đoán “điểm rơi” : “ x = y = z ”  Khi đó x2 x xy x   “lượng mới” cần kết hợp :  xy  Áp dụng BĐT Cô-si : x2 xy   x … có đpcm ! xy  Nói thêm : Có thể dễ dàng chứng minh bài toán trên thông qua bổ đề sau : Cho a1, a2, a3, b1, b2, b3   và b1, b2, b3 > a a a  a +a +a  Khi đó :    b1 b b b1  b  b (BĐT Cauchy-Schwarz)  Nói thêm : Bài toán tổng quát bài toán trên : Chứng minh với x, y, z, m, n > thì : x2 y2 z2     x  y  z  mx  ny my  nz mz  nx m  n (Bạn nhớ giải nhé !) 4.2) Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ : x2 y2 z2 E=   yz zx x y  Dự đoán “điểm rơi” : “ x = y = z = ” 2 x  y 2x x  Khi đó   3   “lượng mới” cần kết hợp : 4 yz  Tương tự bài toán 4.1) ta có : E   Kiểm chứng lại việc dự đoán “điểm rơi”, ta có : Emin = x  y  z  5) Bài toán thứ tư : “ Trở bài toán cũ ” Cho a, b, c không âm thỏa a + b + c = Chứng minh: a  b  b  c  c  a  (1)  Dự đoán “điểm rơi” : “ a = b = c =  Sơ đồ phân tích : ” 3 14 Ý tưởng :  a  c  ?   a  c   ?  2 Dấu “=” xảy   a  c   ? Mà theo dự đoán, dấu “=” xảy “điểm rơi” : “ a = b = c = ” ?  Và giải sau : Do đó : 1 2   a  b   , tương tự cho : 2 3 2  b  c  và  c  a  3 1 2 Khi đó : VT(1)    a  b  c     …  VT(1)  2 3  Kiểm tra lại việc dự đoán “điểm rơi” : “ a = b = c = ”  a  b  b  c  c  a  Dấu “=” (1) xảy    a=b=c= a  b  c  Ta có :  a  b  6) Bài toán thứ năm : Dự đoán “điểm rơi” BĐT Cauchy qua cách giải đã biết trước đó Bài toán : Cho A = x    x (1) Tìm giá trị lớn A ? Cách giải đã biết trước : Điều kiện : 3  x  Áp dụng BĐT “Căn trung bình” cho hai số không âm là x + và  x : x 3  5 x   x  3    x  =4 Dấu “=” xảy  x + = – x  x = (thỏa điều kiện) Vậy Amax = x = Cách giải khác :  Tất nhiên theo các trên thì “điểm rơi” là : “ x = ”  Sơ đồ phân tích : Ý tưởng :  x  3 ?   x  3  ?  2 Khi dấu “=” xảy ra, ta có :  x  3  ? 15 Mà theo dự đoán, dấu “=” xảy “điểm rơi” : “ x = ” Do đó :  ? để x + =  x =  Và giải sau :   Ta có :      x .4    x    x  3.4   x    Như : 2A   x  3.4    x .4   x     x    A4  x  3  Dấu “=” xảy    x = (thỏa điều kiện)  x     Và tất nhiên thỏa dự đoán“điểm rơi” : “ x = ” Vậy Amax = x = 7) Bài toán thứ sáu : Chưa có lời giải cho bài toán trước đó, giải theo tinh thần “Dự đoán điểm rơi” thì bài toán trên giải đây ? Xét bài toán “ Tìm GTLN P = x 2  6x ”  ĐK :  x   Dự đoán “điểm rơi” là : “ x = k : số ”  Sơ đồ phân tích : Thông thường giá trị ? hai   x .?    x   ? BĐT là Nếu áp dụng BĐT Cô-si cho thành phần :  x   ?   x    ?  2 Thì điều kiện dấu “=” xảy cho chúng ta : x2? 6x ? Do đó : (x  2)  (6  x)  2.? Bạn biết k bao nhiêu chưa ? ?=2 k = _  Và giải sau :   Ta có :    Như : 1   x     x   x  2  1   x .2    x   2   x  8  x    x  .2  2.P   P  2 16 x   Dấu “=” xảy    x  (thỏa điều kiện)  x   Vậy : Pmax = 2 x  8) Bài toán thứ bảy : Dự đoán “điểm rơi” cho bài toán khó có điều kiện : a,b,c  Bài toán : Cho  a  b  c  a b c    (1) ab  3c bc  3a ca  3b  Dự đoán “điểm rơi” : “ a = b = c = ” Chứng minh :  Trước tiên, biến đổi VT(1) sau : Ta có : ab + 3c = ab + (a + b + c).c = (a + c)(b + c) Như : VT(1) = a b c   (a  c)(b  c) (b  a)(c  a) (c  b)(a  b)  Sơ đồ phân tích : a = b = c = 1, ta có : a(a  c) a(b  c) a  “kết hợp”   “kết hợp” 8 (a  c)(b  c) Tạo thành ba số dương để có thể áp dụng Cô-si cho ba số này a(a  c) a(b  c) a “kết hợp”  “kết hợp”   (a  c)(b  c) 8  Và giải sau : Ta có : a a(a  c) a(b  c)    a (a  c)(b  c) 8 a a  2ac  ab    a (a  c)(b  c) Tương tự : b b  2ab  bc   b (b  a)(c  a) c c  2bc  ac   c (c  b)(a  b)   ab  bc  ac   a  b  c 9 ab  bc  ac  VT(1)    (2) 8  Nhờ vào các BĐT : Như : VT(1) + a  b  c a  b  c2  ab  bc  ca   a  b  c    ab  bc  ca  17  a  b  c   ab  bc  ca   Kết luận : Từ (2), ta :  a  b  c VT(1)    : đpcm ! 8 9) Bài toán thứ tám : Dự đoán “điểm rơi” cho bài toán khó có điều kiện :  x, y,z  Bài toán : Cho  x  y  z  Chứng minh : P  x  1  y +  z   82 x y z ”  Đầu tiên, ta thấy bậc hai có dạng m + n2 nên ta nghĩ đến dạng BĐT :  am  bn    a +b  m  n  Ở đây : m = x ; n = x  Dự đoán “điểm rơi” : “ x = y = z = 1  a   Ta có :  ax  b    a +b   x   , dấu “=” xảy  b.x (1) x x  x   a Dự đoán, dấu “=” xảy x = y = z = nên từ (1) :  b hay 9a = b 3 Cho a = và b = 9, ta có BĐT sau : 2 1  9     2   1.x    1 +9   x     x    82. x   x x  x x       Và giải sau : Ta có : Tương tự (cho hai còn lại), ta có : Và : x2  1  9   x   x x 82  y2  1  9   y   y y 82  z2  1  9  z    z2 z 82   Khi đó : P  x2  1 1  9 9  y2 +  z2   xyz     x y z x y z 82  (dành cho các bạn làm tiếp tục nhé !) 10) Bài toán thứ chín : “Điểm rơi” dành cho độc giả : 18  Bài 10.1) a,b,c  a2 b2 c2 Cho  Chứng minh :    a+b b  c c  a  ab  bc  ca   Bài 10.2) a,b  a2 b2 Cho  Chứng minh :   a+1 b  a  b   Bài 10.3) Cho a, b, c > và a + b + c = Tìm GTNN : a3 b3 c3 P   (1+b)(1+c) (1  c)(1  a) (1  a)(1  b) 19 IV- Tài liệu tham khảo : 1) Tài liệu tập huấn nâng cao lực giảng dạy Toán THCS (SGD + Khoa Toán Trường ĐHKHTN) 2) Các chuyên đề Đại số bồi dưỡng HSG nhóm tác giả chuyên toán ĐHSPHN 3) Những đường khám phá lời giải bài toán BĐT - Tác giả Nguyễn Đức Tấn 4) Tuyển tập : 30 năm Tạp chí Toán học - Tuổi trẻ 5) Các bài toán cực trị - GS Hoàng Chúng (NXBGD 1993) 6) Các đề thi IMO từ 1974 - 2006 GS Lê Hải Châu 7) Toán rời rạc sử dụng khoa học máy tính - NXB Khoa học kỹ thuật 8) Các tài liệu tra cứu và sưu tầm trên Diendantoanhoc.net 9) Các bài toán trích từ Tạp chí Toán học tuổi trẻ - Hội Toán học VN Xin chân thành cảm ơn các tác giả đã cung cấp thêm kiến thức cho tôi để có thể hoàn thành chuyên đề nhỏ này ! Sẽ có cập nhật để làm cho chuyên đề hay và phong phú ! Tất ý kiến đóng góp, xin vui lòng gởi theo E-mail : doanvanto@gmail.com vanto@c2hongbang.hcm.edu.vn Các bạn có thể xem và tải lại file báo cáo này theo địa : www.misp.vn/hongbang www.violet.vn/vanto71 Xin cảm ơn Thầy-Cô và các bạn ! Xin chào !