Sử dụng bất đẳng thức bunhiacopxki

Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất. Ví dụ 4.[r]

Bất đẳng thức Bunhia copxky

I.Kiến thức bản.

Định lý: Với số a1, a2, …an, b1, b2 , …., bn ta có:

(a1b1 a2b2  anbn)2  (a12+a22+…+a

n)(b12+b22+…+b

n)

Dấu đẳng thức xẩy khi: n n b a b a b a    2 1 Chứng minh:

(a1t-b1)2 0

(a2t-b2)2 0

……… (ant-bn)2 0

(a12 a22+….+an2)t2-2(ab+ab+…+ab)t+(b12  b22+….+

n b )0

Đặt A=a12 a22+….+an2

B=ab+ab+ab C=b12  b22+….+bn2

Ta có: At2-2Bt+C0 với t

A[(t-B)2- A

AC B

4

2



]0 với t

B2-AC0  B2 AC (điều phải chứng minh).

II Một số ví dụ:

1)Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky chứng minh bất đẳng khác.

Ví dụ Cho a,b,c > Chứng minh rằng:

a c c b b a a c c b b a      2 2 2

với a, b, c > ta có : a+b+c  3 abc (bất đẳng thức Cosi)

a2+b2+c2  3

1

(a+b+c)2 Cosi-Bunhia

Hay c

b b a a c c b b a      ( 2 2 2

)2  3

1 ( a c c b b a   )

3

a c c b b a

= a

c c b b a   (đpcm)

Chứng minh rằng: ambnc 

Ta có: m2+n2+1 = đó: (am+bn+c)2  (a2+b2+c2)( m2+n2+1)=1.2 (áp dụng BĐT

Bunhia a,b,c m,n,1)

 (am+bn+c)22

 ambnc  (đpcm) Ví dụ

Cho ba số a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=1

Chứng minh a2+b2+c2  3

1

Giải:

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 1,1,1 a,b,c ta có: (12+12+12)( a2+b2+c2) (1 a+1.b+1.c)2 =( a+b+c)2=1

 3( a2+b2+c2) 1

 a2+b2+c2 3

1

Dấu xẩy a=b=c=3

2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất

Ví dụ Cho số x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1

Tìm giá trị nhỏ P = x4+y4+z4

Ta có: áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho số a1=x; a2=y; a3=z; b1=y; b2=z; b3=x

ta có:

1=(xy+yz+zx)2  (x2+y2+z2)( x2+y2+z2)  ( x2+y2+z2 )  1

Ta lại áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho: a1=1; a2=1; a3=1; b1=x2; b2=y2; b3=z2

1  (x2+y2+z2)2  (1+1+1) (x4+y4+z4)  ( x4+y4+z4 )  3

1

Dấu đẳng thức xẩy khi: x z z y y x

 

x2=y2=z2  x=y=z= 3

3 

Vậy Pmin =

Ví dụ 5:

Cho số dương a,b,c số dương x,y,z thay đổi cho:

1   

z c y b x a

Tìm giá trị nhỏ biểu thức A=x+y+z Giải:

Ta có: z z

c y y b x x a c b

a    

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

( a  b  c )2  ( z)(x y z)

c y b x a

  



 ( a b c)2  x+y+z

Dấu xẩy khi: z z c y y b x x a

: :

:  

  

    

y x

c b a z

c y

b x

a

=1:( a b c )

Đến dễ dàng suy ra: x= a( a  b c)

y= b( a b  c)

z= c( a b c)

Khi

Amin=( a  b c )2

3.Dùng bất đẳng thức cosi-bunhia copxky vào giải phương trình

I Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phương trình x 4+ x 6=x2 - 10x + 27

Giải: Đk:4x6

VT2=( x 4+ x 6)2 (12+12)  ( x 4)2 +( x 6)2 

(áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 1,1 x 4, x 6 )

Măt khác : ( x 4)2 +( x 6)2=x-4+6-x=2

Suy : VT2  2.2  VT2(vì VT= x 4+ x 0)

Ta thấy VP2, VT2 nên phương trình có nghiệm VT=VP=2



 x

Vậy phương trình có mơt nghiệm x=5

Ví dụ Giải phương trình 41 x2 41x 41 x 3

Giải: Đk : -1x1

Theo bât đẳng thưc Cơ-si ta có:

4 1 x2

 =4 (1 x)(1x)  2 1 x

+ 1 x

(1) 41 x 41.(1x)  2

1 x

(2)

41 x

=41.(1 x) 

1  x

(3)

Từ (1),(2),và(3) ta có : 41 x +4 1 x +41 x 1+ 1x+ ! x

1+

1 1 x

+ 1  x

=3

Dấu “=” xẩy 1x= 1 x

1x=1

x



1 =1

 x=o