Tìm tập hợp các trung điểm K của đoạn nối tâm hai hình vuông khi M chuyển động trên đờng thẳng AB cố định.. Bài 10 2đ: Cho xOy khác góc bẹt và một điểm M thuộc miền trong của góc.[r]
(1)§Ò sè C©u 1: (2®) Rót gän biÓu thøc : A = C©u 2: (2®) 62 3 12 18 128 Gi¶i ph¬ng tr×nh : x2 +3x +1 = (x+3) x C©u 3: (2 ®) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 2 x y xy 1 3 x y x 3 y C©u 4: (2®) Cho PT bËc hai Èn x : X2 - (m-1) x + m2 - 3m + = c/m : PT cã nghiÖm vµ chØ m Gäi x1 , x2 lµ nghiÖm cña PT c/m x1 x2 x1 x2 x x2 : Cho parabol y = và đờn thẳng (d) : y = C©u 6: (2®) a/ Vẽ (P) và (d)trên cùng hệ trục toạ độ b/ Gọi A,B là giao điểm (P) và (d) trên cùng hệ toạ trục toạ độ Oxy Tìm M trên AB cña (P) cho SMAB lín nhÊt C©u 7: (2®) a/ c/m : Víi sè d¬ng a th× 1 1 1 1 a 1 a a 1 a 1 1 1 1 2 2 2006 2007 b/ TÝnh S = C©u ( ®iÓm): Cho ®o¹n th¼ng AB = 2a cã trung ®iÓm O Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bờ AB , dựng nửa đờng tròn (O,AB) và ( O’,AO) , Trên (O’) lấy M ( M ≠ A, M ≠ O ) Tia OM c¾t (O) t¹i C Gäi D lµ giao ®iÓm thø hai cña CA víi (O’) a/ Chøng minh r»ng tam gi¸c AMD c©n b/ Tiếp tuyến C (O) cắt tia OD E Xác định vị trí tơng đối đơng thẳng EA (O) vµ (O’) c/ Đờng thẳng AM cắt OD H, đờng tròn ngoại tiếp tam giác COH cắt (O) điểm thứ hai lµ N Chøng minh ba ®iÓm A, M, N th¼ng hµng d/ T¹i vÞ trÝ cña M cho ME // AB h·y tÝnh OM theo a Câu ( điểm ): Cho tam giác có số đo các đờng cao là các số nguyên , bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác Chứng minh tam giác đó là tam giác Đáp án đề số C©u 1:( ®iÓm): Rót gän : A= = 62 3 62 3 12 18 128 12 = 62 3 42 (2) 1 62 2 = = 62 4 = = 1 C©u 2: (2®iÓm) Ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng ( x2 1 x 3 x x 0 (0,5®) => x x (0,5®) => x 9 2 x x => x 2 C©u 3: ( 2®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh (2) <=> <=> 2 x y xy 1(1) 3 x y x y (2) x3 y x y x y xy y x x y (x,y) = (0,75®) 2 Do x y xy 1 y 0 0 x x y 0 (0,5®) y 0 2 (0,5®) 2 x y y 0 1, ; 1, (0,5®) x 2006 C©u 4: (2®iÓm) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x 2007 x 2007 2013 2013 A 1 2 x 2007 2013 x 2007 x 2007 (0,5®)Amin x 2007 Max Min 2013 2006 1 x = (0,75®)VËy A nhá nhÊt = 2007 2007 (0,75®) Khi x = C©u 5: (2®) Ph¬ng tr×nh : x m 1 x 2m2 3m 0 * Cã nghiÖm : ' m 1 2m 3m 0 m m m m m m m m m 0 b/ Khi m Theo định ly viét ta có x1 x2 2 m 1 x1.x2 2m 3m -> Q = m 1 m 2 m 2 16 x1 x2 x1 x2 m 1 2m 3m 2m m 16 1 m 2 1 1 m 16 ->V× m m - => Do đó Q = C©u 6: (2®iÓm) a/ Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục toạ độ đúng , chính xác (3) xm b/ HS Xác định đợc phơng trình đờng thẳng (d’) có phơng trình : y = (d’) tiÕp xóc víi (P) x x m 2 PT : Cã nghiÖm kÐp x x 4m 0 Cã nghiÖm kÐp 1 ' 0 m Hoành độ tiếp điểm x =1 y= Do đó ta có tiếp điểm M( -1 ; 1/4) dễ dàng c/m với vị trí này S MAB là nhỏ C©u : (2 ®iÓm ) 1 1 1 a a 1 a a a a a 1 a 1 a/ Ta cã : 1 1 1 0 1 a a a a 1 a a a a 1 1 a a 1 a a 1 Mµ Do đó b/ ¸p dông c/m c©u a ta cã : 1 1 1 2007 2 2006 2007 2007 S= S = C©u : (4®iÓm) Vẽ hình viết giả thiết : cân đối đẹp (0,5đ) a/ Ta cã tam gi¸c OAC c©n t¹i O c e d n m h o’ k o A b Cã OD AC nªn MOD DOA => MD =AD Hay tam gi¸c DAM c©n t¹i D (0,5®) b/ Ta c/m đợc AOE COE (c g c) => EAO ECO 90 (0,5®) Hay EA AB Chøng tá EA lµ tiÕp tuyÕn cña (o) vµ (o’) (0,5®) c/ Gi¶ sö AM c¾t (o) t¹i N’ v× : AOC 2 ANC nªn COH CN ' A (0,5®) => CHO ' N lµ néi tiÕp Do đó N’ =N hay A, M, N thẳng hàng (0,5đ) d/ Dùng MK OA v× EM //AB nªn MEO c©n t¹i M vµ AEMK lµ h×nh ch÷ nhËt (0,5®) §Æt ME = MO = x 2 2 Ta cã MO AO AM AO AO AK = AO AO.ME (0,25®) x 51 2 x a ax (0,25®) C©u 9: (2®iÓm) Gọi x, y, z lần lợt là các đờng cao ứng với các cạnh a,b,c tam giác Nhận xét : Đờng cao tam giác luôn lớn đờng kính đờng tròn nội tiếp tam giác đó : tức là 2< x ; < y ; 2< z (0,25 ®) V× x ,y, z z nªn x ; y ; z (0,25®) 1 1 1 1 x y z 3 => (1) (0,5®) (4) 1 a b c a b c 1 MÆt kh¸c : x y z ax by cz 2S ABC r (2) (0,5®) Tõ (1) vµ (2) => x = y= z Hay tam giác ABC (0,5®) §Ò Sè C©u1 (6 ®iÓm): a) Chøng minh biÓu thøc: A= x ( x 6) x - (x - x + 3) (2 - x ) - 10 x - 2x - 12 - x - x - kh«ng phô thuéc vµo x th×: b) Chứng minh a, b, c và a', b', c' là độ dài các cạnh hai tam giác đồng dạng ++= c) TÝnh: B = 17 + 28 16 C©u2 (4 ®iÓm): Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) 10 x3 - 17 x2 - x + = b) + = C©u3 (2 ®iÓm): Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chøng minh: (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) - 2abc > C©u (2 ®iÓm): Chứng minh m thay đổi, các đờng thẳng có phơng trình: (2m - 1) x + my + = luôn qua điểm cố định C©u (6 ®iÓm): Cho điểm M nằm trên đờng tròn (O), đờng kính AB Dựng đờng tròn (M) tiếp xúc với AB Qua A và B, kẻ các tiếp tuyến AC; BD tới đờng tròn (M) a) Chøng minh ba ®iÓm C; M; D th¼ng hµng b) Chứng minh AC + BD không đổi c) T×m vÞ trÝ cña ®iÓm M cho AC BD lín nhÊt đáp án đề số C©u : a3 6a 11a a) §Æt = a ta cã A = 2(a 1)(a 3)(a 2) = BiÓu thøc A kh«ng phô thuéc vµo x (2 ®iÓm) b) Vì a; b; c và a'; b'; c' là độ dài các cạnh hai tam giác đồng dạng (5) nªn = = §Æt = = = k ta cã: a = ka'; b = kb'; c = kc' Khi đó, + + = (Vì (a' + b' + c') ) (2 ®iÓm) c) B = 17 + 28 16 = 17 4( 5+2) + = - + 4 = - + - = + - (2 ®iÓm) C©u : a) 10 x3 - 17 x2 - x + = (x - 2) (2x + 1) (5x - 1) = Ph¬ng tr×nh cã ba nghÖm lµ x = 2; x = - 0,5; x = 0,2 b) + = (2 ®iÓm) 2x + 2x = Dïng ph¬ng ph¸p xÐt kho¶ng hoÆc sö dông tÝnh chÊt: A B AB (DÊu "=" x¶y vµ chØ AB 0) Ta cã tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: S = {x\ - 1,5 x 0,5} C©u : Do a; b; c là độ dài ba cạnh tam giác nên a < b + c (2 ®iÓm) 2a < a + b + c, mµ a + b + c = nªn 2a < a < T¬ng tù, ta cã b < 1; c < (a - 1) (b - 1) (c - 1) < abc - ab - ac - bc + a + b + c - < abc - ab - ac - bc < - (Do a + b + c = 2) 2ab + 2ac + 2bc - 2abc > (a + b + c)2 - (a2 + b2 + c2) - 2abc > (§pcm) (2 ®iÓm) C©u 4: V× (x = 3; y = - 6) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh (2m - 1) x + my + = với m nên m thay đổi, các đờng thẳng có phơng trình: (2m - 1) x + my + = luôn qua điểm cố định (2 ®iÓm) C©u : A E B D M C C + Ghi gỉa thiết, kết luận đầy đủ, đúng, gọn Vẽ hình chính xác (0,5 ®iÓm) (6) a) Gãc CMD = gãc AMB = 1800 ba ®iÓm C; M; D th¼ng hµng b) Gọi tiếp điểm đờng tròn (M) với AB là E thì AC + BD = EA + EB = AB mà AB không đổi nên AC + BD không đổi c) Ta cã AC.BD = AE EB = EM2 (2 ®iÓm) (1,5 ®iÓm) AC BD lín nhÊt EM lín nhÊt Khi đó, M là điểm chính cung AB §Ò sè Bµi 1: Chøng minh: 3 √ √2 -1 = √ - √ + √ Bµi 2: Cho a2 + b2 = ab (2a > b > 0) ab TÝnh sè trÞ biÓu thøc: M = 2 (2 ®iÓm) (2 ®iÓm) (2 ®iÓm) 4b −b Bµi 3: (2 ®iÓm) Chøng minh: nÕu a, b lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 + px + = vµ c,d lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2 + qx + = th× ta cã: (a – c) (b – c) (a+d) (b +d) = q2 – p2 Bµi 4: (2 ®iÓm) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh Tuổi anh và em cộng lại 21 Hiện tuổi anh gấp đôi tuổi em lúc anh tuổi em hiÖn TÝnh tuæi cña anh, em Bµi 5: (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x + √ x +2006 = 2006 Bµi 6: (2 ®iÓm) Trong cùng hệ trục toạ độ vuông góc, cho parapol (P): y = - x (d): y = mx – 2m – 1 VÏ (P) T×m m cho (d) tiÕp xóc víi (P) Chứng tỏ (d) luôn qua điểm cố định A (P) và đờng thẳng Bµi 7: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc A = x – √ xy + 3y - √ x + Tìm giá trị nhỏ mà A có thể đạt đợc Bµi 8: (4 ®iÓm) Cho hai đờng tròn (O) và (O’) ngoài Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyÕn chung EF, A,E (O); B, F (O’) a Gäi M lµ giao ®iÓm cña AB vµ EF Chøng minh: ∆ AOM ∾ ∆ BMO’ b Chøng minh: AE BF c Gäi N lµ giao ®iÓm cña AE vµ BF Chøng minh: O,N,O’ th¼ng hµng Bµi 9: (2 ®iÓm) Dựng hình chữ nhật biết hiệu hai kích thớc là d và góc nhọn đờng chéo Đáp án đề số Bµi 1: (2 ®iÓm) §Æt a = √ th×: √3 √3 -1 = - + ⇔ √2 √ 9 ¿ - = 13 √¿ √ √3 + √3 √ (0,5 ®iÓm) (7) ⇔ 9(a-1) = (1 –a + +a2)3 Biến đổi tơng đơng đợc a3 = (đúng) Suy ®iÒu ph¶i chøng minh Bµi 2: + Tõ: 4a2 + b2 = 5ab => 16a4 – 8a2b2 + b4 = 9a2b2 (*) (1 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) (2 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) kết hợp (*) suy đợc: M2 = (0,5 ®iÓm) ab a − b2 ab + Tõ: M = a − b2 Tính đợc: M = + Tõ: M = kÕt hîp (2a > b > 0) suy ra: M > (0,5 ®iÓm) (2 ®iÓm) Bµi 3: Theo hÖ thøc Viet ta cã: (I) (0,5 ®iÓm) ¿ a+b=− p ab=1 c+ d=− q c d =1 ¿{{{ ¿ (0,5 ®iÓm) (a – c)(b –c)(a+d)(b+d) (*) KÕt hîp (I) vµ (*) suy ra: (a –c)(b - c)(a + d)(b + d) = q2 – p2 (1,5 ®iÓm) Bµi 4: (2 ®iÓm) Gäi tuæi em hiÖn t¹i lµ (0 < x < 21) (0,25 ®iÓm) Th× tuæi anh hiÖn t¹i lµ 21 – x Thêi ®iÓm anh b»ng tuæi em hiÖn th× tuæi anh lµ x, tuæi em lµ (21 - x) (0,75 ®iÓm) Ta cã ph¬ng tr×nh x - (21 - x) = 21 - x – x Giải đợ x = (thoả mãn điều kiện) (0,75 ®iÓm) Tính đợc: Tuổi anh: 21 –9 = 12 12 tuæi (0,25 ®iÓm) §¸p sè: tuæi Bµi 5: x4 + ⇔ ⇔ (2 ®iÓm) √ x +2006 = 2006 x4 = 2006 - √ x2 +2006 x4 + x2 + = x2 + 2006 - √ x2 +2006 + x+ ¿ = ( ⇔ √ x2 +2006 - )2 ¿ = √ x 2+2006 − ⇔ x2 + 2 1 * x2 + > nªn: x2 + = √ x2 +2006 2 | | (0,5 ®iÓm) - * Biến đổi tơng đơng đợc: x4 + x2 – 2005 = (1) §Æt x2 = y ( y 0) (1) ⇔ y2 + y – 2005 = (2) Giải (2) đợc: y1 = − 1+ √ 8021 : y2 = − 1− √ 8021 (loại) Suy ra: x1 = x2 = −1+ 8021 −1+ √ 8021 −❑ √ √ (0,25 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) (0,25 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) (8) Bµi 6: a Vẽ đồ thị (0.5 đ) b Khi (d) tiÕp xóc víi (P) ta cã ph¬ng tr×nh: (2 ®iÓm) - x = mx – 2m – ⇔ x2 + 4mx – 8m – = vµ Δ ' = Tính đợc m = -1 Suy ra: m = - thì (d) tiếp xúc (P) (0,75 ®iÓm) c Giả xử (d) qua điểm cố định A (x0, y0) thuộc (P) thì: y0 = mx0 – 2m –1 đúng với ∀ m x0 = VËy (d) lu«n ®i qua ®iÓm A(2; -1) thuéc (P) (0,75 Tính đợc: Y0 = -1 ®iÓm) Bµi 7: (2 ®iÓm) Điều kiện: x 0; y để √❑ x ; √ y ; √ xy Có nghĩa (0,25 điểm) A = x - √ xy + 3y – √ x + Biến đổi đồng đợc: A = ( √❑ x - √ y - 1)2 + ( √ y - 1)2 - (0,75 ®iÓm) 2 x= (tho¶ m·n ®/k) Suy đợc: A = - ⇔ y= (tho¶ m·n ®k) (1®iÓm) Bµi 8: Vẽ hình đúng, ghi GT, KL sạch, đẹp a Chỉ đợc Δ AOM ∾ BMO’ (g.g) BF O’M b Chỉ đợc OM O’M AE OM BF OM Chỉ đợc (4 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) => BF (0,5 OM => AE BF §iÒu ph¶i chøng minh (0,5 ®iÓm) c, Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ OM K lµ giao ®iÓm cña BN vµ MO’ ¸p dông hÖ thøc lîng cho hai tam gi¸c vu«ng AOM vµ BMO’ Ta cã: OA MB ( ) OA2 = OH OM => MB2 = MK MO’ OM = OH ' MK (0,5 MO ®iÓm) Kết hợp: Δ AOM ∾ BMO’(chứng minh câu a) suy đợc: OH MK HN) = OM ' MO => OH OM = MK ' MO => OH OM Chỉ đợc: Δ OHN ∾ Δ OMO’ (c.g.c) Tính đợc: ONH + HNE +FNO’= 1800 Suy ra: O, N, O’ th¼ng hµng Bµi 9: = HN (Do chứng minh đợc: MK = ' MO (1,0 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) (2 ®iÓm) (9) Giả sử hình chữ nhật ABCD đã x E dựng đợc thoả mãn yêu cầu bài toán: A AB – AD = d gãc nhän AOD = + Thể đợc trên hình vẽ C¸ch dùng: D - Dùng Δ EDB cã EB = d, ❑ O 0; EBD = = 135 BED - Dùng tia BE - LÊy O lµ trung ®iÓm cña BD, dùng DOx d B (0,5 ®iÓm) = tia BE c¾t Ox t¹i ®iÓm A ( Ox vµ ®iÓm E n»m vÒ phÝa so víi bê BD) - Dựng điểm C đối xứng với A qua O Nối AD, DC, BC đợc hình chữ nhật ABCD Chøng minh: Chỉ đợc ABCD là hình chữ nhật Chỉ đợc: AB - AD = d DOA = KÕt luËn: ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cÇn dùng đề số C©u 1(2®) : Gi¶i PT sau : a, x4 - 3x3 + 3x2 - 3x + = b, √ x+2+2 √ x+1+ √ x +2− √ x +1 = C©u 2(2®): a, Thùc hiÖn phÐp tÝnh : √ 13− √100 − √53+ √ 90 b, Rót gän biÓu thøc : B= (1 ®iÓm) (0,5 ®iÓm) a b c + 2 2+ 2 2 2 a − b −c b − c −a c − a − b Víi a + b + c = C©u 3(3®) : a, Chøng minh r»ng : 1 <10 √ √ 2< 1+ + + + √ √ √2 50 b, T×m GTNN cña P = x + y + z BiÕt x + y + z = 2007 Câu 4(3đ) : Tìm số HS đạt giải nhất, nhì, ba kỳ thi HS giỏi toán K9 năm 2007 Biết : Nếu đa em từ giải nhì lên giải thì số giải nhì gấp đôi giải NÕu gi¶m sè gi¶i nhÊt xuèng gi¶i nh× gi¶i th× sè gi¶i nhÊt b»ng 1/4 sè gi¶i nh× Số em đạt giải ba 2/7 tổng số giải C©u (4®): Cho Δ ABC : Gãc A = 900 Trªn AC lÊy ®iÓm D VÏ CE BD a, Chøng minh r»ng : Δ ABD ∞ Δ ECD b, Chứng minh tứ giác ABCE là tứ giác nội tiếp đợc c, Chøng minh r»ng FD BC (F = BA CE) d, Góc ABC = 600 ; BC = 2a ; AD = a Tính AC, đờng cao AH Δ ABC và bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ADEF Câu (4đ): Cho đờng tròn (O,R) và điểm F nằm đờng tròn (O) AB và A'B' là dây cung vu«ng gãc víi t¹i F a, Chøng minh r»ng : AB2 + A'B'2 = 8R2 - 4OF2 b, Chøng minh r»ng : AA'2 + BB'2 = A'B2 + AB'2 = 4R2 c, Gäi I lµ trung ®iÓm cña AA' TÝnh OI2 + IF2 Đáp án đề số C©u 1(2®) : (10) a, PT đã cho <=> (x-1)(x-2)(x2+1) = (0,5®) Do x +1 > víi mäi x => x-1 =0 vµ x-2 = (0,25®) (0,25®) ⇔ x = 1; x = b, |√ x+1+1| + |√ x+1 −1| =2 §KX§ : x -1 (0,25®) ⇔ √ x+1+1 + |√ x+1 −1| =2 (1) NÕu √ x+1 - ⇔ x+1 ⇔ x th× (1) √ x+1 = ⇔ √ x+1 =1 ⇔ x = (0,25®) Nếu x < thì = (luôn đúng) (0,25®) vËy -1 x lµ nghiÖm cña PT (0,25®) C©u : (2®) a, √ 13− √100 − √53+ √ 90 (0,25®) = √ 13− √ 10 − √ 53+2 √ 10 (0,25®) 2 √ 2− √ ¿ ¿ = √ 2+3 √ ¿2 ¿ ¿ √¿ = √2 - √5 - (0,25®) (0,25®) √ - √ = -4 √ b, V× a + b + c = ⇔ a = - b - c ⇔ a2 = b2 + 2bc + c2 (0,25®) ⇒ a2 - b2 - c2 = 2bc b2 - c2 - a2 = 2ac c - a2 - b2 = ab (0,25®) B= a2 b2 c a3 +b3 + c3 abc + + = = = bc ac ab abc abc C©u :(3®) a, √ < + + √2 đặt S = + Ta cã S > + √2 + √ 50 MÆt kh¸c cã : = 2 = < √ 2 √ √ 2+ √ √ 50 √3 √3 √50 2 √1 + + + + + + < (0,5®) √ 50 √ 50 √ 50 < 10 √ = 50 = √ 50 (0,25®) √2 √1+ √ < = (0,5®) √ 50 √ 50+ √ 49 Cộng vế ta đợc : 2 + + .+ S< √1+ √ √2+ √ √ 50+ √ 49 = 2{( √ 1− √ ¿+( √ 2− √ 1)+ +( √ 50− √ 49) } = √ 50 = 10 √ (2) (0,5®) Tõ (1) vµ (2) ⇒ √ < S < 10 √ (®pcm) (0,25®) 2 b, T×m GTNN P = x + y + z biÕt x + y + z = √ 2007 ¸p dông B§T Bu Nhiacèpxki ta cã : (x + y + z)2 (x2 + y2 +z2) (12+12+12) (0,5®) ⇔ x + y2 + z x+ y+ z ¿ ¿ ¿ ¿ = 669 (0,25®) VËy GTNN cña P lµ : 669 (0,25®) C©u 4(3®): Gäi sè gi¶i nhÊt, nh×, ba lÇn lît lµ x,y,z Ta cã §K : x,y,z N (0,5®) (0,5®) (11) Theo đề ta có : 2(x+1) = y - 4(x-3) = y +3 (0,5®) (x+ y+z) z= 2x - y = - (1) <=> 4x - y = 15 (2) (0,5®) z= (x+y) (3) 7 Lấy (2) - (1) ta đợc 2x = 18 ⇒ x = (0,25đ) Thay x = vµo (1) ⇒ y = 2.9 + = 21 (0,25®) Thay x = 9, y = 21 vµo (3) ⇒ (3) ⇔ z= (9+21) ⇒ VËy : z= 30 =12 x=9 (0,5®) y = 21 z = 12 (0,25®) (0,25®) §¸p sè : Sè gi¶i nhÊt lµ Sè gi¶i nh× lµ 21 Sè gi¶i ba lµ 12 Câu 5(5đ) : Vẽ hình cân đối GT- KL (0,5đ) E C (1®)a, Δ ABD vµ Δ ECD cã : E = A = 900 K ADB = EDC (đồng dạng) F A B ⇒ Δ ABD ∞ Δ ECD (0,5®)b, Tø gi¸c ABCE néi tiÕp v× BAC = BEC = 1v (1đ)c, Δ FBC có : CA và BE là đờng cao Giao điểm D chúng là trực tâm tam gi¸c BC t¹i K ⇒ FD (2®)d, Δ ABC A , có B = 600 nên là nửa tam giác có BC = 2a Đờng cao AH và nửa cạnh là AB Do đó : AC = BC √ = a √ =a √ 2 BC = a AB = H có B = 600 nên là nửa tam giác có AB = a đờng cao AH, nửa Δ AHB c¹nh BH AB √ a √ ⇒ AH = = 2 t¹i K (chøng minh trªn) cã B = 600 Δ KEB ⇒ KFB = 300 Do đó Δ AFD là nửa tam giác FD = 2AD = 2a Vì FAD = FED = nên ADEF nội tiếp đờng tròn đờng kính FD = 2a ⇒ R=a Câu (5đ): Vẽ hình cân đối , viết GT- KL (0,5đ) a, VÏ OH AB ; OK A'B' XÐt Δ vu«ng OHB vµ OKA' cã AB2 = 4R2 - OH2 A'B'2 = 4R2 - 4OK2 (1,5®) ⇒ AB2 + A'B'2 = 8R2 - 4OF2 b, Chøng minh Δ vu«ng FAA' ∞ Δ vu«ng FBB' cã AA' = FA2 + FA'2 BB' = FB2 + FB'2 AA'2 + BB'2 = FA2 + FA'2 + FB2 + FB'2 = 4R2 T¬ng tù víi Δ vu«ng FAB' ∞ Δ vu«ng FBA' cã A'B2 + AB'2 = AA'2 + BB'2 = 4R (2®) (12) c, XÐt Δ vu«ng FAA' cã : IF = AA ' Do đó IO2 + IF2 = R2 (1®) đề số C©u1: Cho hµm sè: y = √ x2 −2 x+1 + √ x2 −6 x +9 a.Vẽ đồ thị hàm số b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y vµ c¸c gi¸ trÞ x t¬ng øng c.Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× y C©u2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a √ −12 x + x = b √ x −18 x+28 + √ x − 24 x +45 = -5 – x2 + 6x c √ x +2 x −3 + x-1 √ x+3 C©u3: Rót gän biÓu thøc: a A = ( √ -1) √ 6+2 √2 √ − √ 2+ √12+ √ 18− √ 128 bB= 1 + + + √ 1+1 √ √ 2+2 √3 1 + 2006 √ 2005+ 2005 √ 2006 2007 √ 2006+2006 √ 2007 C©u4: Cho h×nh vÏ ABCD víi ®iÓm M ë bªn h×nh vÏ tho¶ m·n MAB=MBA=150 Vẽ tam giác ABN bên ngoài hình vẽ a TÝnh gãc AMN Chøng minh MD=MN b Chứng minh tam giác MCD C©u5: Cho h×nh chãp SABC cã SA SB; SA SC; SB SC BiÕt SA=a; SB+SC = k §Æt SB=x a TÝnh Vhchãptheo a, k, x b Tính SA, SC để thể tích hình chóp lớn C©u1: ( 4®iÓm) C©u a: (2®) đáp án đề số ¿ – 2x nÕu x ¿ ¿ * Đa đợc hàm số y= { nÕu x 2x – nÕu x * Vẽ đợc đồ thị hàm số nh hình vẽ : điểm C©u b: 1®iÓm Dùng đồ thị tìm đợc Min y = ⇔ x C©u c: ®iÓm Dùng đồ thị biết y ⇔ x 0; x ( 1® ) (13) Câu2: Mỗi pt giải đúng: 1,5 điểm a/ √ −12 x + x = −2 x ¿2 =4 ⇔ ¿ √¿ ⇔|3 − x| = ( 0,5®) ⇔ –2x = hoÆc – 2x =-4 x = -1/2 hoÆc x= 7/2( 0,75®) ⇔ Tr¶ lêi nghiÖm cña pt (0,25®) b/ √ x −18+28 + √ x − 24 x +45 = -5 –x2+6x Viết đợc: x − 3¿ +1 = √ x −18+28 3¿ √¿ x − 3¿ 2+ √ x − 24 x +45 = 4¿ √¿ -5 –x2+6x= -(x-3)2 + (0,75®) §Ó pt cã nghiÖm th× x − 3¿ +1 =1 3¿ √¿ x − 3¿ + =3 { 4¿ √¿ ⇔ x=3(1®) -5 –x2+6x = NghiÖm cña pt lµ: x=3 (0,25®) √ x +2 x −3 = x-1 c/ √ x+3 ⇔ √(x −1)( x − 3) =x-1 √ x+ x ⇔ √ x −1 = x-1 ( V× √ x+3 ⇔ √ x −1 (1- √ x −1 ) = ⇔ x =1; x=2 ( Tho¶ m·n ®k) ( 1®) NghiÖm cña pt lµ x=1;x=2 (0,25®) C©u3: (4®iÓm) a Biến đổi đợc A = ( √ -1)( √ +1)=2 (2đ) b Đa đợc đẳng thức vận dụng và CM = (k +1) √ k+ k √ k +1 √k (0,75®) √k + ¸p dông: 1 1 + + + B= + √ 1+1 √ √ 2+2 √ 2006 √ 2005+ 2005 √ 2006 2007 √ 2006+2006 √ 2007 1 1 1 = + + + √1 √2 √2 √3 √2006 √2007 1 2007 −1 √ = = (1,25®) √1 √2007 √ 2007 C©u4: (3,5®iÓm) B C C©u a:(2®) * CM đợc AMN=BMN(c.c.c) §Ó suy AMN = 1/2 AMB=1/2 (1800 – 2MAB) N Hay AMN = 1/2(1800-2.150) = 750 (1®) CM đợc AMN=AMD(c.g.c) ( 1®) M A D (14) §Ó suy MD =MN C©ub: (1,5®) BMN=BMC(c.g.c) Suy : MC = MD ⇒ MCD c©n t¹i M Tính đợc góc MCD = 600 để suy MCD C©u5: (4®iÓm) C©u a: (2®) V× SA SB, SA SC A NÕu SA mp(SBC)( 1®) SA là đờng cao hình chóp a ⇒ (1®) ⇒ Ta cã: V = 1/3SA 1/2SB.SC =1/6ax(k-x) C©u b: ( 2®) S Ta thấy: x + ( k-x) = k không đổi Nªn x( k-x) lín nhÊt vµ chØ x= k-x ⇔ x= k/2 ( 1®) Khi đó thể tích hình chóp lớn C MaxV = 1/6 a.k/2.k/2 = 1/24ak2 VËy thÓ tÝch h×nh chãp lín nhÊt SB = SC = k/2 ( 1®) Chú ý: Mọi cách giải thích khác đợc điểm tối đa đề số C©u 1(2®) B x √ 7+5 √ Cho x = √ 7+5 √ − TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : C©u 2(2®) : Cho ph©n thøc : A = x3 + 3x – 14 B = x −2 x +24 x − x +3 x +6 x +2 x − Tìm các giá trị x để B = Rót gän B C©u 3(2®) : Cho ph¬ng tr×nh : x2 + px + = cã hai nghiÖm lµ a vµ b ph¬ng tr×nh : x2 + qx + = cã hai nghiÖm lµ b vµ c Chøng minh hÖ thøc : (b-a)(b-c) = pq – C©u 4(2®) : Cho hÖ ph¬ng tr×nh : mx+4 y=10 −m (1) (m lµ tham sè) x +my =4 (2) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ theo m Víi gi¸ trÞ nµo cña sè nguyªn m hÖ cã nghiÖm (x,y) víi x, y lµ c¸c sè nguyªn d¬ng C©u 5(2®) : Gi¶i ph¬ng tr×nh : √ x+5 − √ x+ 1+ √ x +10 −6 √ x+ 1=1 Câu 6(2đ) : Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho tam giác ABC có các đờng cao có phơng trình là : y = -x + và y = 3x + Đỉnh A có toạ độ là (2;4) Hãy lập phơng trình các cạnh tam gi¸c ABC Câu 7(2đ) : Với a>0 ; b>0 cho trớc và x,y>0 thay đổi cho : a b + =1 Tìm x,y để x + y đạt giá trị nhỏ x y Câu 8(2đ) : Cho tam giác vuông ABC (Â= 90 0) có đờng cao AH Gọi trung điểm BH là P Trung ®iÓm cña AH lµ Q Chøng minh : AP CQ Câu 9(3đ) : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Một điểm M thay đổi trên đờng tròn ( M khác A, B) Dựng đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB H Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD đến đờng tròn tâm M a) Chøng minh CD lµ tiÕp tuyÕn cña (O) b) Chứng minh tổng AC+BD không đổi Từ đó tính giá trị lớn AC.BD c) Lờy điểm N có định trên (O) Gọi I là trung điểm cuả MN, P là hình chiếu I trên MB TÝnh quü tÝch cña P Câu 10(1đ) : Hình chóp tam giác S.ABC có các mặt là tam giác Gọi O là trung điểm đờng cao SH hình chóp { (15) Chøng minh r»ng : AOB = BOC = COA = 900 đáp án đề số C©u 1: Tõ : x = √ 7+5 √2 − √ 7+5 √ - 3.1.x ⇒ : x3=7+5 √ 2− 7+5 √ − √2 −3 x ⇔ x3 = 7+5 √ 2− (7+5 √ 2)(7 − √2) ⇔ x3 = 7+5 √ 2+ −5 √ 2− x ⇔ x3 = 14 – 3x VËy A = ⇔ x3 + 3x – 14 = C©u 2: (1,5®) : * §k X§ : x2 + 2x – ⇔ x vµ x -4 ⇔ (x-2)(x+4) ¿ x −2 x +2 x − x − x +6=0 * §Ó B = th× x2 +2 x − ≠0 ¿{ ¿ xÐt : x5 – 2x4 + 2x3 – 4x2 –3x +6 =0 ⇔ (x-2)(x4+2x2-3) = 2 (x-2)(x2+3)(x-1)(x+1) = ⇔ (x-2)[(x +1) – 4] = ⇔ ⇒ x = ; x = ; x = -1 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn th× : x = ± Vậy để B = thì x = ± (0,5®) : 2 2 B = ( x − 2)(x +3)(x −1) = (x + 3)(x −1) ( x − 2)( x + 4) x +4 Câu 3: Theo định lý Vi ét ta có : ¿ a+b=− p ab=1 ¿{ ¿ vµ ⇒ (a+b)(b+c) = p.q ⇔ ab + ac + b2 + bc = pq ⇔ b2 – bc – ab + ac = pq – 2ab – 2bc ⇔ (b-c)(b-a) = pq - ¿ b+ c=−q bc=2 ¿{ ¿ C©u 4: (1®) : Ta cã : x = – my Thay vµo Pt (1) ta cã : (4-m2)y = 10 – 5m a Víi m ± Ta cã : y= ; x= −m m+ x+ VËy hÖ cã nghiÖm nhÊt : b Víi m = hÖ trë thµnh : HÖ nµy cã v« sè nghiÖm c Víi m = -2 hÖ trë thµnh : HÖ nµy v« nghiÖm (1®) : x= 8− m m+2 ¿ x + y=8 x+ y =4 ¿{ ¿ ¿ −2 x+ y =12 x −2 y=4 ¿{ ¿ ; y= m+ (16) * Khi m≠ ± hÖ cã nghiÖm nhÊt : x= 8− m ; y= m+2 m+ §Ó y nguyªn d¬ng th× m+2 lµ íc nguyªn d¬ng cña m+2=1 ¿ m+ 2=5 ¿ ⇔ ¿ m=−1 ¿ m=3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ m = -1 ⇒ x = vµ y = ( tho¶ m·n ®k) m = ⇒ x = vµ y = ( tho¶ m·n ®k ) * Khi m = hÖ cã v« sè nghiÖm tho¶ m·n x + 2y = ⇔ x = – 2y mµ x > ⇒ – 2y > ⇒ y < mµ y nguyªn d¬ng ⇒ y = vµ x = C©u 5: §kX§ : x −1 phơng trình đã cho tơng đơng với : √ x+1 −2 ¿2 ¿ √ x+1 −3 ¿2 §Æt : u = √ x+1 đó (1) ¿ ¿ ¿ √¿ (1) §k : u ≥0 u −2 ¿ ¿ u −3 ¿2 ¿ ¿ ¿ ⇔√¿ ⇔ |u −2|+|u− 3|=1 Ta cã b¶ng sau : u - ∞ (2) + ∞ -u+2 u–2 u-2 -u+3 -u + u–3 PT - 2u + = 1=1 2u – = NghiÖm NghiÖm cña ph¬ng tr×nhu(2) = 2lµ ∀ u ∈ [ 2; ] tøc 2≤ ulµ≤ ∀ x chou = 2≤ √ x+ 1≤ |u −2| |u −3| ⇔ ≤ x +1 ≤ ⇔3 ≤ x ≤ Vậy phơng trình đã cho là : ∀ x ∈ [ ; ] Câu 6: Ta thấy A không thuộc hai đờng cao có phơng trình đã cho vì toạ độ A không nghiệm đúng hai phơng trình đã cho Suy hai đờng cao này phải kẻ B và C Giả sử đờng cao BH có phơng trình : y = - x + đờng cao CK có phơng trình : y = 3x + * C¹nh AC BH vµ qua A(2;4) nªn ph¬ng tr×nh cã d¹ng : y = ax + b đó : a = và = 2a + b suy b = ⇒ : (AC) : y = x + AC và CK cắt C nên toạ độ điểm C là nghiệm hệ : (17) ¿ y= ⇒C ( ; ) 2 ¿{ ¿ x= ¿ y=3 x +1 y=x +2 ⇔ ¿{ ¿ * C¹nh AB CK vµ qua A(2,4) nªn ph¬ng tr×nh cã d¹ng : 14 ⇒ b= ⇒ a=− y = ax + b đó : a.3 = -1 vµ = 2a + b (AB) : y = − x +14 3 AB và BH cắt B nên toạ độ điểm B là nghiệm hệ: ⇒ ¿ y=− x +3 14 y=− x + 3 ⇔ ¿ x=− 11 y= 11 ⇒ B(− ; ) 2 ¿{ ¿ * Từ toạ độ điểm B và C ta có phơng trình BC có dạng : y = ax + b đó : a, b thoả mãn : ⇒ ¿ 11 =− a+ b 2 = a+b 2 ⇔ ¿ a=−1 b=3 ¿{ ¿ (BC) : y = -x + C©u 7: ¸p dông B§T Bu_ nhi_ a_ cèp_ xki ta cã : x+ y=( √ x + √ y hay ) a + x b y (√( ) √( ) ) ( √ x+ y ≥ ( √ a+ √ b ) DÊu “=” x¶y : ≥ a b √x =√ y a x √ √ b y x y x+ y = = = √ a+ √ b hay : √ a √ b √ a+ √ b Tøc lµ : x=√ a ( √ a+ √ b ) ; √) √ x x +√ y y y=√ b ( √ a+ √ b ) (18) VËy (x+y) = ( √ a+ √ b ) : x=√ a ( √ a+√ b ) y=√ b ( √ a+ √ b ) C©u 8: Gäi I lµ giao ®iÓm cña CQ vµ AP Ta cã : CAH = ABH (1) ( gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) Hai tam gi¸c vu«ng CAH vµ ABH cã gãc nhän b»ng ⇒ ΔCAH ~ Δ ABH ⇒ AB = BH CA AH AB BP AB BP ⇒ = ⇒ = (2) CA AQ CA AQ Tõ (1) vµ (2) ⇒ Δ ABP ~ ΔCAQ (c.g.c) AP BP ⇒ = mµ BP =PH ⇒ AP = PH CQ AQ AQ QH CQ QH ⇒ Δ HCQ ~ ΔHAP (c¹nh gãc vu«ng vµ c¹nh huyÒn t¬ng øng tØ lÖ) ⇒ HAP = HCQ Xét tam giác IQA và HQC có : Q1 = Q2 (đối đỉnh) HAP = HCQ ( chøng minh trªn) ⇒ Δ IQA ~ Δ HQC⇒ AIQ = CHQ = 900 hay : AI CQ (®pcm) C©u 9: (1®) : Theo tÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn xuÊt ph¸t t¹i mét ®iÓm ta cã : CMA = HMA vµ DMB = HMB Từ đó : CMA + DMB = HMA+HMB = 900 ⇒ CMA + DMB + AMB = 1800 ⇒ C , M , D th¼ng hµng ⇒ AC//BD ( cïng vu«ng gãc víi CD) Trong hình thang ABDC thì OM là đờng trung bình nên : OM//AC ⇒ OM ⊥CD M ; OM làbán kính đờng tròn (O) VËy CD tiÕp xóc víi (O) t¹i M 2.(1®) : Ta cã : AC = AH ; BD = BH ⇒ AC + BD = AB không đổi Ta cã : 4AC.BD = (AC+BD)2 – (AC-BD)2 Bëi vËy tÝch AC.BD lín nhÊt vµ chØ (AC–BD)2 nhá nhÊt Tức là : AC = BD = OM Khi đó M là điểm chính cung AB (1®) : KÐo dµi PI c¾t AN t¹i K thÕ th× : PK // AM ( cïng vu«ng gãc víi MB) Do I lµ trung ®iÓm cña MN nªn K lµ trung ®iÓm cña AN Bởi K cố định Suy P chạy trên đờng tròn đờng kính KB C©u 10: Gäi a lµ c¹nh cña h×nh chãp M lµ trung ®iÓm cña AB Ta cã : CH= CM= a √ ; SH = a √ ; OH= a √ 3 2 OC2 = CH2 + OH2 = a + a = a T¬ng tù : OB2 = OA2 = a 2 Tam gi¸c BOC cã OB2 + OC2 = a + a =a2 = BC2 2 Suy BOC = 900 T¬ng tù : AOB = COA = 900 §Ò sè Bµi 1(2 ®iÓm) TÝnh sè trÞ cña biÓu thøc: A = (1,2345) ❑4 +(0,7655) ❑4 - (1,2345) ❑3 (0,7655) ❑2 - (1,2345) ❑2 (0,7655) +4,938.3,062 ❑ Bµi 2(2 ®iÓm) TÝnh: (19) Bµi 3(2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x+ a ¿ −1 ¿ x+1¿2 − − a2 ¿ a+1¿ ¿ a+1¿ x −¿ x −¿ ¿ ¿ ¿ ( a lµ h»ng sè) Bµi 4(2®iÓm) Có thùng đựng nớc Lần thứ ngời ta đổ thùng I sang hai thùng số nớc số nớc thùng có lúc đó Lần thứ hai ngời ta đổ thùng II sang hai thùng gấp đôi số nớc thùng có lúc đó Lần thứ ba ngời ta đổ thùng III sang hai thùng số nớc số nớc thùng có lúc đó Cuối cùng thùng có 24 lít nớc TÝnh sè lÝt níc ë mçi thïng lóc ®Çu Bµi 5(2®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 3+ x + x - ¿2 ¿ ¿ √¿ Bµi 6(2®iÓm) §å thÞ hµm sè: y = a x ®i qua ®iÓm A( -2; -2) a, Xác định hệ số a b, Ngoài điểm A, trên parabol y = a x còn có điểm nào cách hai trục toạ độ? Bài 7(2điểm) Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn bất đẳng thức: Bµi 8(2®iÓm) Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đờng cao AH Gọi P là trung điểm BH và Q là trung ®iÓm cña AH 1, Chứng minh hai tam giác ABP và CAQ đồng dạng 2, Chøng minh AP vu«ng gãc víi CQ Bài 9(2điểm) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O; R) Hai đờng cao BD và CE cắt H Chứng minh rằng: OA vuông góc với DE Bài 10(2điểm) Một điểm A di động trên nửa đờng tròn đờng kính BC cố định Đờng thẳng qua C và song song với BA cắt đờng phân giác ngoài góc BAC tam giác ABC D Khi A di động trên nửa đờng tròn đờng kính BC thì D chuyển động trên đờng nào? Đáp án đề số Bµi 1(2 ®iÓm) §Æt a = 1,2345; b = 0,7655 ta cã: a + b = 2; 4a = 4,938; 4b = 3,062 vµ A = a4 + b4- a3b2 - a2b3+ 16ab (0,25 ®) = a4 + b4 - a2b2(a+b) + 16ab = a4 + b4 - 2a2b2 + 16ab (0,25 ®) =(a2-b2)2+ 16ab (0,25 ®) =(a+b)2(a-b)2 + 16ab =4(a-b)2+16ab (0,25 ®) a −b ¿ 2+ ab =4 ¿ ¿ =4(a+b)2 = 16 Bµi 2(2 ®iÓm) Ta cã: (0,5 ®) (0,5 ®) (20) ¿ 2006 2006 2006 2006 (1+ )(1+ )(1+ ) (1+ ) 2007 B= 2007 2007 2007 2007 (1+ )(1+ )(1+ ) (1+ ) 2006 ¿ 1+ 2006 2+2006 3+2006 2007+2006 ( )( )( ) ( ) 2007 = 1+ 2007 2+2007 3+2007 2006+2007 ( )( )( ) ( ) 2006 2007 2008 2009 4013 .2006 = 2008 2009 2010 4013 .2007 (0,25 ®) (0,75 ®) (0,5 ®) Bµi =1 3(2®iÓm) x+ a ¿2 −1 ¿ x+1¿2 − − a2 ¿ a+1¿ ¿ a −1 ¿ x −¿ x −¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ (1) 1 1 + −− + ( x +a+ 1)( x +a −1) ( x+ a+1)( x − a+1) ( x +a+ 1)( x −a −1) (x+ a −1)( x − a+1) §KX§: x - a-1; x - a +1; x - a - 1; x -a+1 (1) ⇒ (x - a + 1)(x - a - 1) + (x - a - 1)(x + a - 1) = (x + a - 1)(x - a + 1) + (x - a - 1)(x + a + 1) (0,25 ®) ⇔ (x - a)2- + (x - 1)2 - a2 = x2- (a - 1) + x ❑2 - (a + 1) ❑2 ⇔ − ax + x = a ❑2 + (2) ⇔ − (a + 1)x = a ❑2 + (0,5 ®) NÕu a = -1 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm -1 th× ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm lµ x = a +1 NÕu a Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau víi a -1: a+1 (0,25 ®) a+1 ¿ ⇔− a +a+1=0 ⇔ − a∈ −Φ a +1 =− a −1 ⇔− a2 +1=− ¿ a+1 a+1 ¿ ⇔ a=0 ⇔−a=0 a +1 =a+1 ⇔− a2 +1=− ¿ a+1 a +1 =−a −1 ⇔ − a2 +1=a2 − ⇔−a ∈ Φ a+1 a2 +1 =1− a ⇔ − a2 +1=1 −a ⇔ − a2=0 ⇔ −a=0 a+1 (0,5 ®) VËy: - NÕu a = hoÆc a= -1 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm - NÕu a -1, a th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nhÊt x= a +1 Bµi 4(2 ®iÓm) Gäi : sè níc ë thïng II lóc ®Çu lµ x lÝt, (0,5 ®) (21) sè níc ë thïng III lóc ®Çu lµ y lÝt, sè níc ë thïng I lóc ®Çu lµ z lÝt §iÒu kiÖn: x,y,z >0 Tæng sè níc ë thïng lµ: 24.3= 72 (lÝt) (0,25 ®) Suy ra: lóc ®Çu thïng I cã 72- x - y ( lÝt) Sau lÇn thø nhÊt thïng II cã 2x lÝt, thïng III cã 2y lÝt nªn thïng I cã 72 - 2x - 2y (lÝt) (0,25 ®) Sau lÇn thø hai thïng I cã 3( 72 - 2x - 2y) = 216 - 6x - 6y (lÝt), thïng III cã 2y.3 = 6y (lÝt) nªn thïng II cã 72 - (216 - 6x - 6y) - 6y = 6x - 144 ( lÝt) (0,25 ®) Sau lÇn thø ba thïng II cã 2(6x - 144) = 12x - 288 (lÝt), thïng I cã : 2(216 - 6x - 6y) = 432 - 12x - 12y ( lÝt) Cuèi cïng mçi thïng cã 24 lÝt (0,25 ®) Theo bµi ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: { 432 −12 x −12 y=24 12 x −288=24 ¿{ (0,25 ®) Giải hệ phơng trình đợc : { x=26 y =8 (0,25 ®) Suy z = 38 Các giá trị x,y,z tìm đợc thoả mãn điều kiện lớn Tr¶ lêi: Lóc ®Çu thïng I cã 38 lÝt níc Lóc ®Çu thïng II cã 26 lÝt níc ¿ ¿ Lóc ®Çu thïng III cã lÝt níc ¿ (0,25 ®) (0,25 ®) Bµi 5(2 ®iÓm) x 3+ x + x - ¿2 ¿ ¿ √¿ ⇔ −|x 3+ x + x − 2|=x − x 2− − x+ x3 + x + x − 2=x − x − x +2 ⇒ x 3+ x + x − 2=−(x − x − x +2) ¿ 2 x +2 x − 4=0 ⇔− x3 =0 ¿ x + x −2=0 ⇔− x=0 ¿ Giải phơng trình x 2+ x −2=0 tìm đợc x1 = 1, x2 = - 2; Thử các giá trị tìm đợc vào phơng trình ban đầu ta thấy: x1 = tho¶ m·n x2 = -2 kh«ng tho¶ m·n x = tho¶ m·n Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm là x = 1, x = Bµi 6(2 ®iÓm) a) (0,5 ®) Parabol y = ax2 ®i qua ®iÓm A(- 2; - 2) nªn - = a(- 2)2 ⇔− - = 4x ⇔ a = - (0,25 ®) (0,25 ®) (0,25 ®) (0,5 ®) (0,5 ®) (0,25 ®) (0,25 ®) b) (1,5 ®) Tập hợp các điểm cách hai trục toạ độ là các đờng thẳng y = x và y = - x (0,25 ®) (0,25 ®) Toạ độ các điểm nằm trên Parabol và cách hai trục toạ độ là nghiệm các hệ phơng trình: (22) { y=− x y=x (I) vµ { y=− x y=− x (II) (0,5 ®) Giải hệ phơng trình (I) tìm đợc: ( x = 0; y = 0) (x = - 2; y = - 2) (0,25 đ) Giải hệ phơng trình (II) tìm đợc: ( x = 0; y = 0) (x =2; y = - 2) (0,25 đ) Nh ngoài điểm A( -2; -2) trên parabol còn có các điểm O(0; 0) và B(2; -2) cách hai trục toạ độ (0,25 ®) Bµi (2 ®iÓm) 2 Ta cã: x + y + z < xy+3 y +2 z −3 2 ⇔ − x + y + z − xy −3 y −2 z+3< ⇔ − x 2+ y 2+ z − xy −3 y −2 z+ 3≤ −1 −−(v × x , y , z ∈ Z)−−− −−− −− −−− −−− −−− −(0,5 ®) y2 y2 ⇔ − x − xy + +3( − y+1)+ z − z +1 ≤0 4 z − 1¿ ≤ −−− −−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −−(0,5 ®) ¿ y y ⇔ −(x − =0; − −1=0 ; − z −1=0)− −−− −−− −−− −− −−− −−− −−− −− −−− −−−(0,5 ®) 2 ¿ ¿ y − 1¿2 +¿ y x − ¿2+ ¿ ⇔ −¿ VËy (x = 1, y = 1, z = 1) Bµi 8(2 ®iÓm) Học sinh vẽ hình đúng, ghi đủ, gọn GT, KL 1.(1 ®iÓm) Ta cã: Δ ABC CAH ⇒ ®) (0,5 ®) AB BH = CA AH (0,25 ®) (0,25 Do BP = BH vµ AQ = AH nªn tõ tØ sè trªn ta suy ra: AB = BP (1) (0,25 ®) 2 CA AQ Ta l¹i cã: ∠ ABP = ∠ CAQ (2) Tõ ( 1) vµ (2) suy ra: ABP CAQ (0,5 ®) 2) (0,75 ®iÓm) Do ABP CAQ nªn ∠ BAP = ∠ ACQ (0,25 ®) ∠ BAP + ∠ PAC = 900 ⇒ −∠ ACQ −+− ∠PAC=90 ⇒ −∠ CIA=90 − hay − − AP ⊥ CQ Bµi 9(2 ®iÓm) Học sinh vẽ hình đúng, ghi đủ, gọn GT, KL CE c¾t (O) t¹i M, BD c¾t (O) t¹i N ∠ MBA −−∠ MCA ( hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AM) ∠ ABN=−∠ MCA ( cïng phô víi gãc BAC) Suy ra: ∠ MBA=− ∠ABN −⇒ cung AM b»ng cung AN (0,5 ®) (0,25 ®) (0,5 ®) (0,25 ®) ⇒ OA ⊥ MN Tam giác BMH có BE vừa là đờng cao vừa là đờng phân giác nên là tam giác cân đỉnh B, suy E lµ trung ®iÓm cña MH Chøng minh t¬ng tù ta còng cã D lµ trung ®iÓm cña HN Do đó DE là đờng trung bình tam giác HMN, suy DE// MN (0,5 ®) Ta cã DE// MN ,OA MN nªn OA DE (0,5 ®) Bµi 10(2 ®iÓm) Chứng minh đợc tam giác ACD vuông cân C suy : ∠ CAD=−∠ CDA=450 (0,5 ®) Gọi I là giao điểm AD và nửa đờng tròn (23) ⇒ −∠CAI=∠ CBI=45 ⇒ I là điểm chính nửa đờng tròn cố định đờng kính BC,I cố định (0,5 ®) Mà ∠ CDI=45 , CI cố định Suy D thuéc cung chøa gãc 450 dùng trªn ®o¹n CI §Ò sè PhÇn I: Tr¾c nghiÖm kh¸ch quan C©u 1: Víi a>0, b>0; biÓu thøc a− √ ab : √ a b»ng a+2 √ ab √a A: B: a-4b C: √ a −2 √ b D: √ a+2 √ b C©u 2: Cho bất đẳng thức: (1,0 ®) ( 1.5®) ( 1.5®) (II): √ +4> √ + √ 10 (III): √ 30 > √2 + √6 √2 Bất đẳng thức nào đúng A: ChØ I B: ChØ II C: ChØ III D: ChØ I vµ II C©u 3: ( 1.5®) Trong c¸c c©u sau; c©u nµo sai ( I ): 3+ √ <2 Ph©n thøc x −y 3 3 ( x − y )( x + y ) b»ng ph©n thøc x+ y ( x + xy + y 2)( x + y ) a/ d/ b/ x + x y 2+ y 4 x− y ( x − y )(x − xy + y ) 3 2 x +y ¿ 2 c/ x y ¿ ¿ PhÇn II: Bµi tËp tù luËn C©u 4: Cho ph©n thøc: M= x −2 x +22 x − x −3 x +6 x +2 x − a/ Tìm tập xác định M b/ Tìm các giá trị cảu x đê M=0 c/ Rót gän M C©u 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh : x+ 2(3 − x) x+2+ (4.0®) −3 x 5 x − (x − 1) (1) = + 14 24 12 59 − x 57 − x 55 − x 53 − x 51 − x b/ + + + + =− (2) 41 43 45 47 49 a/ − C©u 6: ( 6.0®) Cho hai đờng tròn tâm O và tâm O’ cắt A và B Một cát tuyến kể qua A và cắt đờng tròn (O) C và (O’) D gọi M và N lần lợt là trung điểm AC và AD a/ Chøng minh : MN= CD b/ Gọi I là trung điểm MN chứng minh đờng thẳng vuông góc với CD I qua điểm cố định cát tuyến CAD thay đổi c/ Trong số cát tuyến kẻ qua A , cát tuyến nào có độ dài lớn C©u 7: ( 3.5®) Cho hình chóp tứ giác SABCD AB=a; SC=2a a/ TÝnh diÖn tÝch xung quanh vµ diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh chãp b/ TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp Đáp án đề số I/ Tr¾c nghiÖm (24) C©u 1: A:1 C©u 2: D: ChØ I vµ II C©u 3: ( 1.5®) (1.5®) ( 1.5®) 2 x +y ¿ 2 c/ x y ¿ ¿ II/ Tù luËn C©u 4: a/ XÐt x2+2x- 8=0 <=> (x+1)1- = <=> (x-2)(x+4) = => x=2; x=4 TX§ : { x/x ( Q; x 2; x ≠− } b/ §Ó M= ta ph¶i cã: x5 – 2x4+2x3- 4x2-3x+6 = Phân tích vế trái thành nhân tử ta đợc ( x-2)(x4+ 2x2-3) =0 <=> (x-2)(x2+3)(x-1)(x+1) =0 <=> x=2; x= ± theo (c©u a) x 2; x ≠− vËy M=0 x= ± ( 1.0®) ( 2.0®) 2 c/ M= ( x + 3)(x −1) (1.0®) C©u 5: a/ ( 4.0®) ( 2.0®) x +4 (1) <=> x +2(3 − x ) − x − 4(x −1) =35 x +10+ 9− x + 70 24 60 <=> 12( 5x+6-2x)-35(5x-4x+4)=14(35x+19-3x)+560 <=> 36x+72 - 35x-140 = 148x +266+ 560 <=> - 447x= 894 => x= - b/ ( 2.0®) (2) <=> 59 − x +1 + 57 − x +1 + 55− x + + 53 − x +1 + 51 − x +1 =0 41 43 45 47 49 ¿ 100 − x 100 − x 100 − x 100 − x 100 − x <=> + + + + =0 41 43 45 47 49 1 1 <=>(100 − x).( + + + + )=0 41 43 45 47 49 ¿ 1 1 V× ( + + + + )≠ -> 100- x= -> x= 100 41 43 45 47 49 ( )( )( )( C©u 6: a/ MN= AM+ AN = AC= (1.5®) )( ) (4.0®) CD= AC+CD 2 b/ Tứ giác OO’MN’ làh ình thang TK là đờng trung bình nó nên K là trung điểm OO’ K là cố định M’ M N’ (1.5®) c/ Qua A kÎ c¸t tuyÕn C’ C’D’//OO’ kÎ OM’ C’D’ vµ ON’ C’D’ -> C’D’ = 2M’N’= OO’ vËy C’D’> CD hay c¸t tuyÕ qua A song song OO’ lµ c¸t tuyÕn lín nhÊt C©u 7: a/ A D’ D K B N 0’ ( 2.0®) (25) ¿ √ +SH= a2 − a2 a = √ 15 2a a Sxq= a √15=a2 √ 15 2 ¿ + STP= Sxq + S® D C a = a2 √ 15+ a2=a2 ( √ 15+1) A a O B H b/ 1 V = Bh= a2 h(1) 3 a mµ h= a2 − =a (2) 2 7 thay (2) vµo(1)− V = a a = a 3 √ √ √ √ ( 1.5®) §Ò sè Bµi (2®): Cho biÓu thøc: √ x+1 + √ xy + √ x +1 : 1− √ xy+ √ x − √ x+ √ xy+ 1− √ xy √ xy −1 √ xy +1 a Rót gän biÓu thøc 1 + =6 T×m Max A b Cho √x √ y Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n ta cã: A= ( )( ) n+1 ¿ ¿ ¿ 1 1+ + ¿ n S= √ 1+ từ đó tính tổng: 1 1 1 + + 1+ + + + 1+ + 2 2 2005 20062 √ √ Bµi (2®): Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: A = (xy + yz + zx) (x + y+ z) – xyz Bµi (2®): Tìm giá trị a để phơng trình sau có nghiệm: − a(2 a+3) x +6 a+ = x + a+1 ( x − a)( x+ a+1) Gi¶ sö x1,x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x2+ 2kx+ = Tìm tất các giá trị k cho có bất đẳng thức: x1 x 2 + ≥3 x2 x1 ( )( ) Bµi 4: (2®) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ m + =2 x−1 y−2 3m − =1 y −2 x −1 ¿{ ¿ Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = Tìm m để hệ đã cho có nghiệm Bµi (2®) : (26) √ x +6 x +7+√ x2 +10 x+ 14=4 − x − x Gi¶i ph¬ng tr×nh: y x 27 x 27 0 z y 27 y 27 0 x z 27 z 27 0 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: Bài (2đ): Trên mặt phẳng toạ độ cho đờng thẳng (d) có phơng trình: 2kx + (k – 1)y = (k lµ tham sè) Tìm k để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng y = √ x ? Khi đó hãy tính góc tạo bëi (d) vµ tia Ox Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) là lớn nhất? Bài (2đ): Giả sử x, y là các số dơng thoả mãn đẳng thức: x+ y=√ 10 Tìm giá trị x và y để biểu thức: P=( x +1)( y +1) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài (2đ): Cho ABC với BC = 5cm, AC= 6cm; AB = 7cm Gọi O là giao điểm đờng ph©n gi¸c, G lµ träng t©m cña tam gi¸c Tính độ dài đoạn OG Bài 9(2đ) Gọi M là điểm bất kì trên đờng thẳng AB Vẽ phía AB các hình vu«ng AMCD, BMEF a Chøng minh r»ng AE vu«ng gãc víi BC b Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BC Chøng minh r»ng ba ®iÓm D, H, F th¼ng hµng c Chứng minh đờng thẳng DF luôn luôn qua điểm cố định M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định d Tìm tập hợp các trung điểm K đoạn nối tâm hai hình vuông M chuyển động trên đờng thẳng AB cố định Bài 10 (2đ): Cho xOy khác góc bẹt và điểm M thuộc miền góc Dựng đờng th¼ng qua M vµ c¾t hai c¹nh cña gãc thµnh mét tam gi¸c cã diÖn tÝch nhá nhÊt Đáp án đề số C©u 1/ a) §k : x 0; y 0; x.y Quy đồng rút gọn ta đợc: A= √x y 1 1 + =6 ⇒ A= ≤9 b) √x √ y √x √ y 1 = =3 ⇔ x = y= Max A = √x √ y 1 1 2 1 1+ − =1+ + + − − =1+ + n n+1 n ( n+1 ) n n+ n(n+ 1) n ( n+1 )2 1 1+ − +¿ S= ¿ ¿ 4024035 ¿ 2006 − = 2006 2006 2/ ( ) C©u A= (xy+ yz+ zx) (x+y+ z) – xyz = xy (x+ y+ z)+ yz (x+ y + z) + zx (x+ z) = y (x+ y + z) (x+z)+ zx (x+ z) = (x+ z) [y(x+ y+ z)+ zx] = (x+ z ) [x (y+ z) + y ( y+ z)] = (x+ y) (x+ z) ( y+ z) C©u 1/ §k: x (a+ 1) ; x a (*) (1) (x + 6a +3) (x- a) = - 5a (2a+ 3) x2+ (5a+ 3)x + 4a(a+ 3) = (2) Pt (2) cã nghiÖm: x1= 4a; x2= -(a+3) PT(1) cã nghiÖm : a) x1 = x2 vµ T/m (*) 4a = - (a+3) a=1 (27) Khi đó : x1 = x2 = - T/m (*) b) x1 kh«ng t/m (*) 4a = - (a+ 1) hoÆc – 4a = a +) 4a = -(a+1) a= đó x2= − 10 T/m (*) 3 +) - 4a= a a = Khi đó : x2 = -3 T/m (*) c) x2 kh«ng tháa m·n (*) - (a+ 3) = a v× - (a+ 3) - (a+ 1) a = − đó : x = - thoả mãn (*) KÕt hîp a, b, c ta cã: gi¸ trÞ cña a lµ: 1; ; 0; − 3 2/ Ta thÊy: x1 0; x2 x1 x1 x2 x2 +2 + ≥3+ x2 x2 x1 x1 ( ) Ta cã : ( ) ) x1 x2 ⇔ + ≥5 x2 x1 ( x1 x2 + ≥ √ 5(1) x2 x1 2 2 x x x +x x + x MÆt kh¸c : + = = > (2) x2 x1 x1 x2 x 1+ x ¿ x1 x2 ¿ Tõ (1) vµ (2) ta suy ra: + ¿ x2 x1 √5 ⇔ ¿ −2 k ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ x ≠1 C©u 1/ §k: y ≠ ¿{ ¿ ¿ u= x −1 §Æt §k : u, v v= y −2 ¿{ ¿ ⇔ | | Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ u+ mv=2(1) v − mu=1(2) ¿{ ¿ Víi m = ta cã: (28) ¿ u+ v=2 v − u=1 ⇔ ¿u= v= ⇒ ¿ = x −1 = y −2 ⇔ ¿ x= 19 y= ¿{ ¿ ¿ 19 y= ¿{ ¿ x= VËy víi m = 1, hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 2/ Tõ (1) u = 2- mv ThÕ vµo (2) ta cã: 2v – 6m + 3m2v = v = u = – m( 1+ m )= m2 +2 §Ó hÖ cã nghiÖm th×: VËy víi C©u ¿ m≠ −1 m≠ ¿{ ¿ 1/ 1+ m m2 +2 4−m m2 +2 víi m R ¿ u≠ v ≠0 ⇔ ¿ − m≠ 1+6 m ≠ ⇔ ¿ m≠ −1 m≠ ¿{ ¿ th× hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (29) √ x +6 x +7+ √ x2 +10 x +14=4 − x − x x +1 ¿2 +4 ¿ x+1 ¿2 +9 ¿ x +1 ¿2 5¿ ¿ 3¿ ⇔ √¿ x+ 1¿2 + ¿ ≥ √ 4=2 ¿ x +1¿ 2+ ¿ Ta cã: ≥ √ 9=3 ¿ ⇒ VT ≥5 ¿ 3¿ ¿ √¿ VËy S = { −1 } 2/ Cộng vế phơng trình ta đợc: (x + 3)2 + (y-3)2 + (z- 3)2 = (4) MÆt kh¸c: (1) 9x2- 27x + 27 = y3= ( x − ¿2+ 27 >0 y> 0; t¬ng tù : x > 0; z > a XÐt x tõ (3) 9z2 – 27z = x3- 27 9z (z – 3) z T¬ng tù y Tõ (4) x = y= z = b XÐt < x < Tõ (3) 9z2- 27z = x3 – 27 < 9z (z-3) < z < Tõ (4) hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm VËy hÖ cã nghiÖm nhÊt (x= 3; y = 3; z = 3) C©u 1/ Với k = thì (d) là x = 1, (d) không song song với đờng thẳng y = √ x Víi k 1, ®a ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng : y = − k x+ k−1 k −1 (*) Điều kiện cần và đủ để (d) song song với đờng thẳng y = √ x là : −2k =√ 3⇒ k= √ 3( 2− √3) k−1 Khi đó góc nhọn tạo (d) với tia Ox có Tg = √ nên =600 2/ Với k = thì khoảng cách từ O đến (d) là Với k = phơng trình đờng thẳng (d) là y = -2, suy khoảng cách từ O đến (d) là ¿ k ≠1 Víi k ≠ gäi giao ®iÓm cña (d) víi Ox, Oy t¬ng øng lµ A, B ¿{ ¿ Thay y = vào (*) đợc : x A= ⇒ OA= k k || (30) 2 ⇒OB= ⇒( d) k−1 k −1 | | Thay x = vào (*) đợc yB= 1 1 = 2+ 2 OH OA OB Trong tam gi¸c vu«ng AOB, ta cã: Từ đó: OH = √5 k không qua gốc tọa độ với k 0; k , ta cã: −2 k +1 5k2 – 2k + = 5( k − ¿ 2+ Víi k ⇒ OH ≤ √5 ,OH=√ ⇔ k = 5 5 VËy víi k = thì khoảng cách từ O đến (d) là lớn C©u P = (x4 + 1) (y4+ 1) = (x4+ y4) + (xy)4 + §Æt: t = xy, ta cã: x2+ y2 = (x +y)2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2= (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2- 40t + 100 Khi đó : P = t4 + 2t2- 40 t + 101= (t4 – 8t + 16) + 10 (t2- 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2+ 10 (t – 2)2 + 45 Suy P 45 §¼ng thøc x¶y t = 2 x+y = √ 10 vµ xy = VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P lµ P = 45 khi: (x,y) = √ 10+ √2 ; √ 10− √ hoÆc: √ 10 − √ ; √ 10+ √ 2 ( 2 ) C©u 1/ BI lµ ph©n gi¸c cña gãc B, nªn: AI AB AI = = ⇒ = IC BC AC 12 Do dã: AI = AC = =3,5(cm) 12 12 B O G AO lµ ph©n gi¸c cña gãc A ABI, Ta l¹i cã: OI = IA = 3,5 = (1) OB AB C GM A = (2) GB MÆt kh¸c, G lµ träng t©m cña ABC, nªn A I M OI GM = , đó OG//IM OB GB Khi đó ta lại có : OG =BG = , IM BM Suy ra: OG = IM= (IA −MA)= (3,5 −3)= (cm) 3 3 ( cm) VËy : OG = Tõ (1) vµ (2) suy ra: C©u XÐt CAB, ta cã: D C CM AB, BE AC ( v× BE MF, MF//AC) AE là đờng cao thứ ba AE BC A b Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ DM Do gãc AHC = 900 (c©u a) nªn: AC DM OH = ⇒ OH= ⇒ gãc MHD = 900 (1) 2 F O I’ M B (31) Chøng minh t¬ng tù: gãc MHF = 900 (2) Tõ (1) vµ (2) D, H, F th¼ng hµng c Gäi I lµ giao ®iÓm cña DF vµ AC; DMF cã DO = OM OI//MF nªn I lµ trung ®iÓm DF KÎ I I’ AB th× I’ lµ trung ®iÓm cña AB vµ II' = AD+BF =AM+ BM = AB 2 Do đó điểm I cố định: I nằm trên đờng trung trực AB và cách AB khoảng AB d Tập hợp các điểm K là đờng trung bình IAB C©u 10 LÊy A Ox, B Oy, M AB VÏ MH//OA, MK//OB th× SOHMK không đổi §Æt SOHMK = S3; SAKM= S1 SMHB= S2; SABC = S y B a H M §Æt MA = a; MB = b Ta cã: S3 = S – (S1+ S2) S3 S +S =1 − S S Các tam giác AKM, MHB, AOB đồng dạng nên : b x SO1 a = S a+b ( ) K A a+ b ¿ ¿ a+ b ¿2 ¿ ¿ S2 b S3 a2 +b2 = ⇒ =1 − ¿ S a+b S a+b ¿ ¿ ¿ (B®t C«si) S =¿ S3 ( ) (a+b)2 4ab dÊu b»ng s¶y a = b SAOB nhá nhÊt a = b M lµ trung ®iÓm AB §Ò sè 10 C©u 1( 2®) Ph©n tÝch ®a thøc sau thõa sè a4 + 8a3 + 14a2 – 8a –15 C©u 2( 2®) Chøng minh r»ng biÓu thøc 10n + 18n - chia hÕt cho 27 víi n lµ sè tù nhiªn C©u 3( 2®) T×m sè trÞ cña a+ b NÕu 2a2 + 2b2 = 5ab , vµ b > a > a− b C©u 4( 4®) Gi¶i ph¬ng tr×nh a) √ y + x=√ y − x − √ x 2+ b) x + √ x2 +2006=2006 C©u 5( 3®) Tæng sè häc sinh giái To¸n , giái V¨n cña hai trêng THCS ®i thi häc sinh Giái lín h¬n 27 ,sè häc sinh ®i thi v¨n cña trêng lµ thø nhÊt lµ 10, sè häc sinh ®i thi to¸n cña trêng thø hai lµ 12 BiÕt r»ng sè häc sinh ®i thi cña trêng thø nhÊt lín h¬n lÇn sè häc sinh thi V¨n cña trêng thø hai vµ sè häc sinh ®i thi cña trêng thø hai lín h¬n lÇn sè häc sinh thi To¸n cña trêng thø nhÊt TÝnh sè häc sinh ®i thi cña mçi trêng Câu 6( 3đ) Cho tam giác ABC cân A đờng cao AH = 10 cm dờng cao BK = 12 cm Tính độ dài các cạnh tam giác ABC C©u 7(4®) Cho (O;4cm) vµ (O’;3cm) n»m ngoµi , OO’=10cm TiÕp tuyÕn chung tiếp xúc với đờng tròn tâm O E và đờng tròn O’ F, OO’ cắt đờng tròn tâm O A và B, cắt đờng tròn tâm O’ C và D (B,C nằm điểm A và D) AE cắt CF M, BE c¾t DF t¹i N CMR : MN AD Đáp án đề số 10 (32) C©u 1: a4 +8a3 + 14a2 – 8a – 15 = a4 +8a3+16a2 –a2-8a –16-a2 +1 = (a4+8a3 +16)-(a2+8a+16) –(a2-1) = (a2+4)2-(a+4)2-(a2-1) = a2(a+4)2-(a+4)2-(a2-1) =(a2-1)[(a+4)2-1] =(a-1)(a+1)(a+3)(a+5) 99 ⏟ C©u 2: Ta cã: 10n –1 = (n ch÷ sè9) n 99 + n ⏟ +2 n ¿⋮ ⏟ = ( 11 (11 +2 n) = (11 +2 n) -n +3n ⏟ ⏟ VËy 10n +18n –1 = n n mµ ( n n Sè n vµ sè cã tæng ch÷ sè b»ng n cã cïng sè d phÐp chia cho 3( theo dÊu hiÖu ⋮ ) +2 n) ⏟ nªn (11 ⋮ n 10n +18n - ⋮ 27 C©u 3: 2a2 +2b2 = 5ab => 2a2 –5ab +2b2 =0 <=> (2a-b)(a- 2b) =0 (1) V× b > a > nªn a 2b (1) tho¶ m·n th× 2a – 2b = => 2a = b VËy a+ b = a+2 a =¿ a = -3 a− b a− a −a C©u a, √ y + x = √ y − x - √ x2 +2 (1) √ y +x + √ x2 +2 = √ y − x 4y ❑2 +x + √ (4 y 2+ x)(x 2+ 2) + x ❑2 +2 = 4y –x (4y ❑2 -4y + 1) + (x ❑2 +2x + 1)+ √ (4 y 2+ x)( x 2+ 2) =0 (2y-1) ❑2 +(x+1) ❑2 + √ (4 y 2+ x)( x 2+ 2) =0 (2) VT =0 (2y-1) ❑2 =0 , (x+1) ❑2 =0 , √ (4 y 2+ x)( x 2+ 2) =0 x=-1 , y = ; VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: x= -1 y= b) ¿ x + √ x +2006=2006 ¿ <=> x = 2006 - √ x2 +2006 <=> x4 + x2 + = x2 +2006 <=> (x2+ )2 = ( √ x2 +2006 <=> x2 + = | √ x2 +2006 2 <=> x +1 = √ x2 +2006 √ x2 +2006 + ) |= <=> x4 + 2x2 + = x2 + 2006 <=> x4 + x2 – 2005 = §Æt ,gi¶i theo ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng C©u 5: √ x2 +2006 - (33) Gäi häc sinh trêng lµ x Gäi häc sinh trêng lµ y Ta cã : x 10 ; y 12 Từ đề bài => x + y > 27 ; x > 2(y – 12) ; y > 9(x – 10) Tøc lµ : x + y > 27 (1) 2y – x < 24 (2) 9x – y < 90 (3) NÕu x = 10 th× tõ (1) => y >10 hay 2y – x > 34 – 10 = 24 ®iÒu nµy m©u thuÉn víi (2) VËy x> 10 (4) Nhân hai vế (3) với cộng với (2) đợc 17x < 204 => x < 12 mµ x >10 => x = 11 Thay vµo (1) => y > 16 Thay vµo (2) => 2y < 35 => y < 18 => y = 17 §¸p sè : - Trêng 1: 11 häc sinh - Trêng 2: 17 häc sinh C©u 6: A §Æt AC = x = AB ; BC = y => 12x = 10y => x = y (1) K ( x ¿2=x − 10 y Giải ta đợc : (2) x B C x = 12,5 ; y = 15 yH C©u : M E2 K2 A I D N Cm : EF lµ tiÕp tuyÕn chung OE F EF ; O’F EF => OE // O’F ^ 1= O ^ ' ( so le trong) => OE = OB => => O ^ ^ =180 − O' O’C = O’F => C ^ =¿ O’C = O’F => C ^1 180 − O ^ ^ 1=180 − O1 B ^ 1= O ^ '1 O => B^ 1=¿ ^ 1=O ^ '1 ; O ^1 1800 − O ^1 => B^ 1=C ^ =C ^2 ; C (đối đỉnh) ^2 => B^ 1=C => EN // FM T¬ng tù EM // FN MENF lµ h×nh b×nh hµnh ❑ AB là đờng kính => AEB = 900 => MEN = 900 ❑ MENF lµ h×nh ch÷ nhËt ; EF c¾t MN t¹i K KE = KM => ^ M 1= ^ E2 Sè ®o ^A 1=¿ s® B^ E => s® ^E1 ^ = s® B E => s® ^A = s® ^E1 Cã ^E1 + ^E2 = 900 => ^A + ^ M = 900 => MN §Ò sè 11 Bµi 1: (4®) Cho biÓu thøc: AD (34) P= 2( √ x −3) √ x +3 x √ x −3 − + x −2 √ x −3 √ x +1 − √ x a) Rót gän biÓu thøc P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 14 - √ c) T×m GTNN cña P Bµi 2( 4®) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh a) 1 1 + + = + x +4 x+3 x +8 x+ 15 x + 12 x +35 x +16 x+63 √ x+6 − √ x +2+ √ x+11 − √ x +2=1 b) Bài 3: ( 3đ) Cho parabol (P): y = x2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc k qua điểm M(0;1) a) Chứng minh với giá trị k, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biÖt A vµ B b) Gọi hoành độ A và B lần lợt là x1 và x2 Chứng minh : |x1 -x2| 2 c) Chøng minh r»ng :Tam gi¸c OAB lµ tam gi¸c vu«ng Bµi 4: (3®) Cho sè d¬ng x, y tháa m·n x + y =1 a) T×m GTNN cña biÓu thøc M = ( x2 + y2 )( y2 + ) x2 b) Chøng minh r»ng : N = ( x + )2 + ( y + )2 25 x y Bµi ( 2®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A cã AB = 6cm, AC = 8cm Gäi I lµ giao ®iÓm các đờng phân giác, M là trung điểm BC Tính góc BIM Bµi 6:( 2®) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, ®iÓm M BC Các đờng tròn đờng kính AM, BC c¾t t¹i N ( kh¸c B) BN c¾t CD t¹i L Chøng minh r»ng : ML vu«ng gãc víi AC Bµi ( 2®iÓm) Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD EFGH Gäi L vµ K lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AD và AB Khoảng cách từ G đến LK là 10 TÝnh thÓ tÝch h×nh lËp ph¬ng Đáp án đề 11 Bµi ( ®iÓm) C©u a: ®iÓm Điều kiện để giá trị biểu thức P xác định : x0; x ( 0,5 đ) Rót gän: 2( √ x −3) √ x +3 x√x−3 P= − − ( √ x+1)( √ x − 3) √ x +1 √ x − √ x −3 ¿2 −( √ x+3)( √ x +1) ¿ = x √ x −3 − 2¿ ¿ x √ x −3 −2 x +12 √ x − 18 − x − √ x − √ x −3 = ( √ x − 3)( √ x +1) √ x (¿ x +8)− 3( x +8) = x √ x −3 x +8 √ x −24 = ( √ x −3)( √ x+1) ( √ x −3)( √ x+ 1) ¿ = x +8 √ x +1 ( 1,5 ®iÓm) C©u b :1 ®iÓm x = 14 - √ = ( √ )2 - 2.3 √ + = ( √ - 3)2 √ x = - √ Khi đó P = 14 −6 √ 5+8 = 22− √ = 58 −2 √5 11 − √ 5+1 −√5 C©u c: ®iÓm x +8 x −1+9 9 = = √ x −1+ =√ x+1+ − ≥2 √ −2=4 P= √ x +1 √ x +1 √ x +1 √ x+1 ( ¸p dông B§T C«Si cho sè d¬ng √ x+1 ; ) √ x +1 (35) DÊu"=" x¶y √ x+1= x = ( tháa m·n ®iÒu kiÖn) √ x +1 Vậy minP = 4, đạt đợc x = Bµi 2: ®iÓm ( mçi c©u ®iÓm) a) x2 + 4x + = ( x + 1)( x+ 3) x2 + 8x + 15 = ( x +3)(x+5) x2 + 12x + 35 = ( x +5)( x + 7) x2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9) §KX§ : x -1; x -3; x -5; x -7; x -9 ( 0,5®) pt 1 1 + + + = ( x+ 1)(x +3) ( x+3)(x +5) (x +5)( x +7) (x +7)( x +9) 1 1 1 1 1 ( − + − + − + − )= x+1 x+3 x+3 x+5 x+ x+ x +7 x +9 1 1 ( − )= x+1 x+ 5( x + - x -1) = 2( x+1)( x+9) 2x2 + 20x + 18 - 40 = x2 + 10x - 11 = Ph¬ng tr×nh cã d¹ng a + b + c = x1 = 1; x2 = -11 x1; x2 tháa m·n §KX§ VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : S = { −11 ; } b) §KX§: x -2 ( 0,5 ®iÓm) √ x+2 −2 ¿2 ¿ Pt | | √ x+2 −3 ¿2 ¿ ¿ ¿ √¿ √ x+2 −2∨¿ √ x+2 −2∨¿ + | √ x+2 -3| = + | - √ x+2 | = ¸p dông B§T |A|+ |B| | A + B| ta cã : | √ x+2 −2∨¿ + | - √ x+2 | DÊu "=" x¶y : ( √ x+2 −2 )( - √ x+2 ) √ x+2 2 x VËy tËp nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : S = { x /2≤ x ≤ } Bµi 3: ®iÓm ( mçi c©u ®iÓm) Đờng thẳng (d) có hệ số góc k và qua điểm M (0;1) nên (d0 có tung độ gốc là Phơng trình đờng thẳng (d) là : y = kx+1 a) Phơng trình hoành độ giao điểm ( P) và (d) là: x2 - kx - = (1) = k2 + > víi mäi k Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm ph©n biÖt ®pcm b) Ta cã : x1 + x2 = k ; x1.x2 = -1 x2 = | x1 - x2| = | x1 + mµ |x1| +| x1 1 | = |x1| +| | ( v× x1 vµ x1 x1 | VËy | x1 - x2| 2 x1 x1 cïng dÊu) C¸ch 2: ( x1 - x2)2 = k2 + | x1 - x2| 2 c) Gi¶i sö A(x1;y1) vµ B(x2; y2) Gọi phơng trình đờng thẳng OA là y= k1x, ta có : y1 = k1.x1 k1 = Gọi phơng trình đờng thẳng OB là y= k2x, ta có : y2 = k2.x2 k1 = Ta cã : k1.k2 = x1.x2 = -1 VËy OA OB AOB vu«ng Bµi 4: ( ®iÓm) ( mçi c©u 1,5 ®iÓm) y1 = x1 y2 = x2 x1 =x x1 x2 =x x2 2 (36) x y +1 ¿2 ¿ 1 2 a) Ta cã : M = ( x + )( y + ) = xy + ¿ y2 x xy ¿ ¿ 1 15 ¿ + MÆt kh¸c : xy + = ( xy + ( 1) xy 16 xy 16 xy ¸p dông B§T C«si : xy + 2 = (2) 16 xy 16 x+ y = xy ( 3) √ xy ≤ 2 15 1 17 Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã : xy + + (xy + )2 ( 17 )2 = 16 xy xy 4 = 289 16 ¿ xy= 289 16 xy x = y = VËy minM = , đạt đợc x= y 16 ¿{ ¿ A+B¿ ¿ b) ¸p dông B§T : A2 + B2 , ta cã : ¿ ¿ x+ y x+ y+ ¿ 1+ ¿2 xy xy N = ( x + )2 + ( y + )2 = ¿ ¿ x y ¿ ¿ ¿ ¿ MÆt kh¸c : (x + y)2 4xy ( ( x -y)2 0) 4xy xy 14 1+ ¿2 xy N VËy N 25 ¿ ¿ ¿ ¿ A x+ y=1 DÊu "=" x¶y x= y x = y = C B ¿{ √ ' I ' Bµi 5: ( ®iÓm) Vẽ hình đúng, ghi GT, KL ( 0,5 điểm) Tính góc BIM B( 1,5 điểm) M Tõ gi¶ thiÕt ABC vu«ng t¹i A cã: 2 AB = 6cm, AC = 8cm BC = √ AB + AC =10( cm) MC = MB = 5cm ¿ C Gäi B' lµ giao ®iÓm cña BI vµ AC Ta cã : AB ' =IB ' =CB ' AB IB CB AB ' CB ' AB '+CB ' AC = = = = = AB CB AB+CB AB+CB 6+10 AB' = AB = 3cm CB' = CB = 5cm CB' = CM IMC = IB'C ( c.g.c) 2 gãc IMC = IB'C gãc AB'B = gãc IMB Tam giác AB'B đồng dạng với tam giác IBM góc BIM = góc BAB' mµ gãc BAB' = 900 gãc BIM = 900 Bµi 6: ( ®iÓm) Gäi E lµ giao ®iÓm cña AC vµ ML B (37) M Ta cã: gãc NCD = gãcNCB (cïng phô víi goc BCN) N E gãc NBC = gãc NAM ( cïng ch¾n cung MN) L C D Tam giác NCL đồng dạng với tam giác NAM NC = NL NA NM MÆt kh¸c : gãc ANC = gãc MNL( cïng b»ng 900 + gãcMNC) tam giác ANC đồng dạng với tam giác MNL gãc NAC = gãc NML hay gãc NAE = gãc NME Tứ giác AMEN nội tiếp E thuộc đờng tròn đờng kính AM gãc AEM = 900 hay ML vu«ng gãc víi AC ( ®pcm) Bµi 7: ( 2®iÓm) Vẽ hình đúng, ghi GT, KL : ( 0,5điểm) Gọi I là chân đờng vuông góc kẻ từ G A K đến LK B Gọi độ dài cạnh hình lập phơng là 2a I L ( a>0), ta cã: Tam gi¸c ALK vu«ng t¹i A LK = √ AL2 + AK = √ a2 +a2 D C = a √2 Tam gi¸c DHG vu«ng t¹i H DG2 =DH2 + HG2 = 8a2 Tam gi¸c LDG vu«ng gãc t¹i D ( V× AD mp(DCGH) ADDG) LG2 = LD2 + DG2 =a2 + 8a2 = 9a2 Tõ LDG = KBG (c.g.c) E ( V× cã : gãc LDG = gãc KBG = 900, F LD = KB , DG = BG) GL = GK GLK c©n t¹i G I lµ trung ®iÓm cña LK IL =LK : = a √2 H G LIG vu«ng t¹i I nªn ta cã: LG2 = LI2 + IG2 hay 9a2 = 2a2:4 + 100 a2 = 200: 17 a = 10 √ √ 17 20 √2 Vậy độ dài cạnh hình lập phơng là √ 17 Thể tích hình lập phơng là 16000 √2 ( đơn vị diện tích) 17 √17 §Ò sè 12 C©u 1: (4 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 1) x3 - 3x - = 2) √ - x −+ √ x- = x2 - 12x + 38 C©u 2: ( ®iÓm) 1) T×m c¸c sè thùc d¬ng a, b, c biÕt chóng tho¶ m·n abc = vµ a + b + c + ab + bc + ca 2) Cho x > ; y > tho· m·n: x + y H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M = 3x + 2y + + x y C©u 3: (3 ®iÓm) Cho x + y + z + xy + yz + zx = CMR: x2 + y2 + z2 Câu 4: (5 điểm) Cho nửa đờng tròn tâm có đờng kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax và By và nửa đờng tròn cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đờng tròn Tiếp tuyến M cắt Ax; By theo thứ tự C; D a) CMR: Đờng tròn đờng kính CD tiếp xúc với AB b) Tìm vị trí M trên nửa đờng tròn (0) để ABDC có chu vi nhỏ c) Tìm vị trí C; D để hình thang ABDC có chu vi 14cm BiÕt AB = 4cm (38) Câu 5: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD , hãy xác định hình vuông có đỉnh thuộc cạnh hình vuông ABCD cho hình vuông đó có diện tích nhỏ nhất./ Đáp án đề 12 C©u 1: (4 ®iÓm) (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 - 3x - = ( x3 - 2x2) + (2x2 - 4x) + (x - 2) = (0,5®) x2 (x - 2) + 2x (x - 2) + (x - 2) = (x - 2) (x + 1)2 = (0,75®) x - = => x = HoÆc (x + 1)2 = => x = -1 (0,5®) (2 ®iÓm) Gi¶i PT: √ - x −+ √ x- = x2 - 12x + 38 + §K: 7-x0 x-50 5x7 (0,25®) + ¸p dông B§T C« Si cho sè kh«ng ©m ta cã: VT = √ - x −+ √ x- DÊu b»ng x¶y − x+1 x −5+1 + 2 7-x=1 x-5=1 =2 x=6 (0,5®) MÆt kh¸c : + VP = (x - 6)2 + DÊu b»ng x¶y vµ chØ x = + VËy : √ - x −+ √ x- = x2 - 12x + 38 √ - x −+ √ x- = = x2 - 12x + 38 x = (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn) Vậy nghiệm PT đã cho là : x = C©u 2: (6 ®iÓm) (3 ®iÓm) 1 ab= ; bc= ; ac= ; Ta cã c a (0,5®) (0,5®) (0,25®) b Thay vào bắt đẳng thức đã cho có : a + b + c + ab + bc + ac ⇔ (√ 1 ⇔ a+ b+c + + + ≤ c a b 1 2 a+ √b − + √c− ≤0 √a √b √c )( ) ( √a − =0 √a √b − =0 ⇔a=b=c=1 √b √c − =0 √c (1,0®) ) (1,0®) (Tho¶ m·n yªu cÇu) (1,0®) (39) (3®) ( 32 x+ 32 y )+( 32 x+ 6x )+( 2y + 8y )= 32 ( x + y ) ( 32x + 6x )+( 2y + 8y ) Μ= - Biến đổi : + áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho các số không âm ta có : x y Μ ≥ 6+6 +2 2 x y √ √ M ≥ + + = 19 DÊu b»ng x¶y x = 2; y = 4 M nhá nhÊt b»ng 19 (khi x = 2; y = 4) (0,5®) C©u : (3®) + Ta cã : x2 + ≥ 2x y2 + ≥ 2y z2 + ≥ 27 (0,5®) (x2 + y2 + z2) + ≥ 2(x + y + z) MÆt kh¸c ta cã : (0,5®) (x2 + y2 + z2) ≥ (xy + yz + zx) (0,5®) Do đó : (x2 + y2 + z2) + ≥ (x + y + z + xy + yz + zx) x2 + y2 + z2 ≥3 DÊu b»ng x¶y vµ chØ : x=y=z=1 X C©u : (5 ®iÓm) + Vẽ hình đúng ghi giả thiết kÕt luËn (0,5®) (1,0®) Y (0,5®) D I M c C©u a : (1,5®) A O B + OC; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc kÒ bï gãc COD = 900 (0,5®) Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD th× ta cã : IO = IC = ID Đờng tròn đờng kính CD là (CI; IO) (0,5®) + Tứ giác ACDB là hình thang, có OI là đờng trung bình; từ đó suy IO AB (t¹i O) VËy AB tiÕp xóc víi (I; IO) (0,5®) C©u b : (1,5®) - Chu vi h×nh thang ABDC b»ng : AB + AC + BD + CD - Chứng minh đợc : AC + BD = CM + MD = CD CABDC = 2CD + AB (0,5®) CABDC nhá nhÊt CD nhá nhÊt (40) CD = AB CD // AB OM AB (0,5®) VËy : M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a gãc AB th× chu vi h×nh thang ABDC nhá nhÊt vµ b»ng 3AB (0,5®) C©u c : (1,5®) + §Æt AC = x BD = y CABDC = AB + 2CD = + (x + y) CABDC = 14 x + y = (1) (0,5®) Mµ xy = MC.MD = OM xy = (2) (0,5®) KÕt hîp (1) vµ (2) ta cã : x+ =5 ⇔ x=1 x hoÆc x=4 VËy : NÕu C Ax vµ C c¸ch A 1cm hoÆc 4cm th× CABCD = 14 (cm) (0,5®) C©u : (2®) Gọi EFGH là hình vuông cần xác định + Chứng minh đợc : Δ AHE = Δ CFG (Cạnh huyền,góc nhọn) EH = CG AEGC lµ h×nh b×nh hµnh Mµ AE // CG Do đó EG qua trung điểm O AC T¬ng tù ta cã : HF qua trung ®iÓm O cña BD T©m cña h×nh vu«ng ABCD vµ t©m cña h×nh vu«ng EHGF trïng (0,75®) + Ta cã S EHGF = GE HF= OE OE =2 OE 2 SEHGF nhá nhÊt OE nhá nhÊt + Gäi K lµ nhá nhÊt OE = OK E = K SEHGF nhá nhÊt E, F, G, H lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh h×nh vu«ng ABCD §Ò sè13 (0,5®) (0,25®) PhÇn I: Tr¾c nghiÖm (4 ®iÓm) Khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trẻ lời đúng NghiÖm nhá nghiÖm cña ph¬ng tr×nh + x+ 2 − ( ) ( )( x+ 25 )=0 x− A lµ B − C D Đa thừa số vào dấu a √ b với b ta đợc A √ a2 b B − √ a2 b C √|a|b D Cả sai Gi¸ trÞ cña biÓu thøc √ √ 3+5 √ 48 −10 √ 7+ √ b»ng: A √3 B C √ D Cho h×nh b×nh hµnh ABCD tho¶ m·n 20 (41) 15 30 30 y A Tất các góc nhọn B Gãc A nhän, gãc B tï C Góc B và góc C nhọn D ¢ = 900, gãc B nhän Câu nào sau đây đúng A Cos870 > Sin 470 B Sin470 < Cos140 C Cos140 > Sin 780 D Sin 470 > Sin 780 Độ dài x, y hình vẽ bên là bao nhiêu Em hãy khoanh tròn kết đúng A x = 30 √2 ; y=10 √ B x = 10 √3 ; y =30 √2 C x = 10 √2 ; y=30 √ D Một đáp số khác PhÇn II: Tù luËn (6 ®iÓm) C©u 1: (0,5®) Ph©n tÝch ®a thøc sau thõa sè a4 + 8a3 - 14a2 - 8a - 15 C©u 2: (1,5®) Chøng minh r»ng biÓu thøc 10n + 18n - chia hÕt cho 27 víi n lµ sè tù nhiªn C©u (1,0®) T×m sè trÞ cña a+ b nÕu 2a2 + 2b2 = 5ab Vµ b > a > x a− b C©u (1,5®) Gi¶i ph¬ng tr×nh a √ y + x + √ y − x − √ x +2 b x4 + √ x2 +2006=2006 Câu (0,5đ) Cho ABC cân A đờng cao AH = 10cm, đờng cao BK = 12cm Tính độ dài c¸c c¹nh cña ABC C©u (1,0®) Cho (0; 4cm) vµ (0; 3cm) n»m ngoµi OO’ = 10cm, tiÕp tuyÕn chung tiếp xúc với đờng tròn (O) E và đờng tròn (O’) F OO’ cắt đờng tròn tâm O A và B, cắt đờng tròn tâm (O) C và D (B, C nằm điểm A và D) AE cắt CF M, BE c¾t DF t¹i N Chøng minh r»ng: MN AD Đáp án đề 13 I PhÇn tr¾c nghiÖm (4 ®iÓm) 1 D ®iÓm 20 D sai 0,6 ®iÓm D 0,6 ®iÓm B gãc A nhän, gãc B tï: 0,6 ®iÓm B sin 470 < Cos140 0,6 ®iÓm B x = 10 √ ; y = 10 √2 0,6 ®iÓm II PhÇn tù luËn (6 ®iÓm) C©u 1: (0,5 ®iÓm) a4 + 8a3 + 14a2 - 8a - 15 = a4 + 8a3 + 16a2 - a2 - 8a - 16 - a2 + = (a4 + 8a3 + 16) - (a2 + 8a + 16) - (a2 - 1) = (a2 + 4)2 - (a + 4)2 - (a2 - 1) = a2(a + 4)2 - (a + 4)2 - (a2 - 1) = (a2 - 1)[(a + 4)2 - 1] = (a - 1)(a + 1)(a + 3)(a + 5) C©u (1,5 ®iÓm): Ta cã (42) .9 (n ch÷ sè 9) VËy 10n + 18n - = 99 .9 + 2n ⏟ ⏟ 10n - = 99 n n +2 n) ⋮ ⏟ = (11 Mµ n 11 .1+ 2n ¿ ¿ 11 1+ 2n − n+3 n ⏟ n ¿ Sè n vµ sè cã tæng c¸c ch÷ sè b»ng n cã cïng sè d phÐp chia cho (theo dÊu +2 n)⋮ ⏟ hiÖu chia hÕt cho 3) nªn (11 n C©u 3: (1®iÓm): 2a2 + 2b2 = 5ab ⇒ 2a2 - 5ab + 2b2 = ⇔ ( 2a - b) (a - 2b) = (1) V× b > a > nªn a 2b (1) tháa m·n th× 2a - 2b = ⇒ 2a = b VËy a+ b = a+2 b = a =−3 a− b a −2 a − a √ y + x=√ y − x − √ x 2+ ⇔ √ y + x=√ x 2+ 2=√ y − x ⇔ 4y2 + x +2 √ (4 y 2+ x)(x 2+ 2)+ x +2=4 y − x ⇔ (4y2 - 4y +1) + (x2 + 2x + 1) + √( y 2+ x)(x 2+ 2)=0 (2) ⇔ (2y - 1)2 + ( x+1)2 + √ (4 y 2+ x)(x 2+ 2)=0 VÕ tr¸i =0 ⇔ (2y - 1)2 = 0, (x + 1)2 = 0, √ (4 y 2+ x)(x 2+ 2)=0 ¿ x=−1 , VËy nghiÖm cña PT lµ y= ⇒ x = -1; y = 2 ¿{ ¿ b x4 + √ x2 +2006=2006 ⇔ x4 = 2006 - √ x2 +2006 C©u ( 1,5®iÓm) =x +2006 − x 2+2006+ 4 √ ⇔ x4 + x2+ ⇔ (x2 + √ x2 +2006 − 12 ¿ 1 = √ x +2006 − =√ x 2+2006 − 2 2 2 ⇔ x + = √ x +2006 ⇔ x + 2x + = x2 + 2006 ⇔ x2 + | ¿ =¿ | ⇔ x4 + x2 - 2006 = Hàm số đặt ẩn phụ đa phơng trình trùng phơng đợc kết A K x C y H C©u ( 0,5 ®iÓm) §Æt AC = x = AB; BC = y x = (1) ⇒ 12x = 10y ⇒ B (43) x 2 =x − 10 y () (2) Giải đợc: x = 12,5; y = 15 C©u ( 1®iÓm) Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn trung OE O’F EF O’F EF ⇒ OE // 1800 −O1 O =O’ ( so le trong) OE = OB B = ⇒ ⇒ ⇒ 1 2 0 O1 = O’1 ⇒ B1 = 180 −O1 , O’C =O’F ⇒ C1= 180 −O' , O’C = O’F ⇒ C1 = 180 −O1 ; O1 = O’1 2 ⇒ B1 = B2 , C1 = C2 ( Đối đỉnh) ⇒ B2 = C2 ⇒ FN // FM T¬ng tù EM//FN ⇒ MENF lµ h×nh b×nh hµnh AB là đờng kính ⇒ AEB = 900 ⇒ MEN = 900 ⇒ MENF lµ h×nh ch÷ nhËt; EF c¾t MN t¹i K ⇒ KE = KM ⇒ M1 = E2 Sè ®o A1 = s® BE ⇒ s® E1 = s® BE ⇒ s® A1 = s® E1 2 Cã E1 + E2 = 900 ⇒ A1 + M1 = 900 ⇒ M E A 1 O B N C O ’ D F AD MN (44)