Đang tải... (xem toàn văn)
d) Đối với đề thi Lý luận dạy học toán (sau này sẽ gọi tắt là đề thi môn Phương pháp) thì các kiến thức toán học trong đề chỉ được xét trong chương trình Toán (phân ban) hiện hành. e) Câ[r]
(1)TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM
BỘ MƠN SƯ PHẠM TỐN HỌC
TỔNG HỢP
ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ ĐẠI HỌC CẦN THƠ
Giai đoạn 2001 – 2012
Biên soạn LATEX
Mai Mẫn Tiệp
maimantiep@gmail.com
Homepage
maimantiep.wordpress.com
(2)TUYỂN SINH THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐẠI HỌC CẦN THƠ 2001-2012
LATEXby Mẫn Tiệp∗ Ngày tháng 12 năm 2013
Lưu ý
a) Thời gian làm đề là180 phút
b) Thí sinhkhơng đượcsử dụng tài liệu nào, kể Sách giáo khoa (đối với mơn Lý luận dạy học tốn) để làm
c) Đối với đề thi Giải tích (tương ứng: Đại số) mà đề có hai phầnGiải tích sởvàGiải tích hàm
(tương ứng:Đại số tuyến tínhvà Đại số đại cương) thí sinh làm phần tờ giấy thi riêng
d) Đối với đề thi Lý luận dạy học toán (sau gọi tắt đề thi mơn Phương pháp) kiến thức tốn học đề xét chương trình Tốn (phân ban) hành
e) Câu tơ màuđỏcó thể đánh máy khơng xác, tác giả có đề photo mờ
f) Mọi ý kiến sai sót mắc phải, đề thi khác Đại học Cần Thơ mà tác giả chưa cập nhật, xin liên hệ emailmaimantiep@gmail.com
g) Các bạn hoàn toàn quyền sử dụng file nguồnLATEXcủa ebook này, phải ghi rõ đội
ngũ thực
Tài liệu
[1] Nguyễn Chí Phương, Blog Phương giải toán:nguyenchiphuong.wordpress.com
[2] Website khoa Sau Đại học, trường Đại học Cần Thơ:gs.ctu.edu.vn
(3)1 ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH
1 Đề thi mơn Giải tích
1.1 Giải tích, đề mẫu 01 (gần với đề Giải tích, năm 2006) Câu 1 (1,0 điểm) Tính tích phân
K =
˚ V
x y zdxdy dz
vớiV vật thể giới hạn mặt x+y =1và0≤z ≤x y
Câu 2 (2,0 điểm) Tính tích phân đường
I =
ˆ L
x ydl
vớiL đường giao tuyến mặtz =2−x2−2y2 vàz =x2 từ điểmA(0; 1; 0)đếnB(1; 0; 1)
Câu 3 (1,5 điểm) Tìm cực trị (nếu có) hàm số
f(x,y) =2x3+12x y−6y2+3
Câu 4 (1,5 điểm) Viết nghiệm tổng quát phương trình vi phân
y00+4y0+4y =2e2x(x2+2x+10)
Câu 5 (1,5 điểm) Chứng minh tập hợpA mở trongC[−3, 3], với
A=f ∈C[−3, 3]:|f(x)|<5∀x ∈[0, 1] ∩
f ∈C[−3, 3]:
ˆ 1
f(x)dx <5
Câu 6 (1,5 điểm) Chok >0, chứng minh phương trình
f0(t) =4t +3+5 sin[f(t)]2; f(0) =1
có nghiệm f ∈C[0,k]thỏa mãn f0∈C[0,k]
Câu 7 (1,0 điểm) ChoE không gian mêtric với khoảng cáchd Chứng minh
ρ(x,y) = d(x,y)
1+d(x,y),∀x,y ∈E
cũng khoảng cách trongE
———————————HẾT———————————
1.2 Giải tích, đề mẫu 02 (gần với đề Giải tích, năm 2010, đề 03) Câu 1 (2,0 điểm) Cho miềnD giới hạn y =x3,y =x ≥0 Hãy
• Biểu diễn miềnD
• Tính diện tích caD
ã TớnhI =
ă D
(4)Câu 2 (1,5 điểm) Tính tích phân đường
I =
ˆ C
(4x2−4y2)dx+ (lny −8x y)dy
vớiC =C1∪C2, màC1=
(x,y)|1≤x ≤2,y(x) =x2 ,C2=
(x,y)|2≤x ≤4,y(x) =8−2x
Câu 3 (1,0 điểm) Tính cực trị (nếu có) hàm số sau
f(x,y) =−4x3+10x y +2y2+10
Câu 4 (1,5 điểm) Viết nghiệm phương trình vi phân
2y00−3y0+y =e2x(x2−10)
thỏa mãn điều kiện y(0) =6, y0(0) =15
Câu 5 (2,0 điểm) Chứng minh tập hợp
B =f ∈C[0, 1]:|f(x)|<6∀x ∈[0, 1] ∩
f ∈C[0, 1]:
ˆ
f(x)dx ≥5
khơng mở, khơng đóng trongC[0, 1]
Câu 6 (2,0 điểm) Chứng minh phương trình
f(t) =
ˆ 1
e−[t−f(s)]2ds
có nghiệm f ∈C[0, 1]
———————————HẾT———————————
1.3 Giải tích, năm 2001 Câu 1 Cho hàmu(x,y) =ln sinpx
y với x(t) =3t
2, y(t) =pt2+1 Tìm du
dt
Câu 2 Tính cực trị (nếu có) hàm số f(x,y) =y3−x2−2x y −x−2y
Câu 3 Tính I =
ˆ AB
(x2+y2)dl với AB 1/4cung đường tròn tâm O, bán kính R nằm góc vng thứ
Câu 4 Tìm khoảng hội tụ khảo sát tính hội tụ hai đầu khoảng chuỗi
∞
X
n=1
(n+1)x2n (2n+1)
Câu 5 ChoT f =
ˆ −1
t|t|f(t)dt, với f ∈C[−1; 1] Chứng minh rằngT ánh xạ tuyến tính, liên tục từC[−1; 1]vàoR Tìm||T||
Câu 6 ChoD =(x;y;z):x2+y2+z2+x y +y z+z x ≤1 Chứng minh rằngD compăc
R3
(5)1.4 Giải tích, năm 2002 ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH
1.4 Giải tích, năm 2002
Câu 1 Tính cực trị (nếu có) f(x,y) =y2x +2x2−4x y +5x
Cõu 2 TớnhI =
ă D
(x+2y)(y −x)2dxdy, biết rằngD miền giới hạn đường y =x+1;
y =x +4;x =−2y; x =−2y +4 Câu 3 TínhI =
ˆ
C(
y +2x ey)dx+ (x+x2ey)dy, vớiC đường cong nối từ(1; 0)tới(2; ln 2)
Câu 4 Viết nghiệm tổng quát phương trình vi phân y00−5y0+4y =ex
Câu 5 Chứng minh nguyên lí ánh xạ co (dạng mở rộng) phương trình sau có nghiệm y ∈C[0; 1]: y(t) =
ˆ t
0
y(x)cos(t −x)2dx
Câu 6 Chứng minh tập hợpAcompăc trongR2 vớiA=
§
(x;y):x2+3
2x y +y
2
≤1
ª
———————————HẾT———————————
1.5 Giải tích, năm 2003
Câu 1 Trình bày cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm nhiều biến f :D ⊂Rn →Rtrong đóD
là tập đóng giới nội Áp dụng với f(x,y,z) =x y z vàD hình cầu đơn vị đóng
Câu 2 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa
∞
X
n=1
(2x+1)n
2n.3n
Câu 3 TínhI =
ă D
ặ
x2+y2dxdy, viD =
(x,y)|x2+y2≤2y
Câu 4 Viết nghiệm tổng quát phương trình vi phân y00−6y0+9y =3x2−1
Câu 5 Chứng minh ngun lí ánh xạ co phương trình: y(t) =
ˆ
d s
1+ (t −y(s))2 có
nghiệm nhấty ∈C[0; 1]
Câu 6 Cho toán tửT:C[−1; 3]→RvớiT f = ˆ
−1
x(x−2)f(x)dx,∀f ∈C[−1; 3]
a) Chứng minh rằngT ánh xạ tuyến tính liên tục b) Tính||T||
Câu 7 Trên khơng gianC[a;b],a<b đặt||f||1= ˆ b
a |
f(t)|dt, f ∈C[a;b]
a) Chứng minh rằng||.||1 chuẩn
b) Chứng rằngC[a;b]với chuẩn||.||1là không đầy đủ
(6)1.6 Giải tích, năm 2004
Câu 1 Tìm cực trị (nếu có) hàm số: f(x,y) = (x2+y2)e−(x2+y2)−(x2+y2)
Câu 2 Tính tích phân đường theo chiều dương chu tuyến L:I =
˛ L
x2y2dx +y x3dy , vớiL
tạo x =0, y =px, y =x −2
Câu 3 Chứng minh chuỗi dương
∞
X
n=1
an hội tụ lim
n→∞n an=0
Câu 4 Viết nghiệm phương trình vi phân: y00−4y0+3y =x2+1thỏa mãn điều kiện ban đầu
y(0) =2, y0(0) =10
Câu 5 Chứng minh tập hợp A =
f ∈C[0; 1],||f|| ≤5và
ˆ
f(x)dx ≥2
là tập mở trongC[0; 1]với||f||=max
0≤t≤1|f(t)|
Câu 6 Áp dụng định lí Schauder chứng minh phương trình thỏa mãn:
x(t) =3t +2
ˆ
arctan(t −x(s))ds có nghiệmx ∈C[0; 2]
———————————HẾT———————————
1.7 Giải tích, năm 2005, lần 1
Câu 1 Khảo sát tính hội tụ chuỗi số theop,q
+∞
X
n=1
np nq+sin2n Câu 2 Tính tích phân đường theo chiều dương chu tuyếnL
I =
˛ L
x y2dx+3y x2dy
Câu 3 Tính gần giá trị biểu thức phép tính vi phânA=arcsin 0, 51+p3 8, 25 Câu 4 Tìm miền hội tụ chuỗi
∞
X
n=1
(−1)n−1(x−5)
n
p
n
Câu 5 Viết nghiệm tổng quát phương trình vi phân3y00+y0−4y =e2x(x−1)
Câu 6 ChoA=(x;y;z)∈R3:x ≥0,x +y +z <1 Chứng minh rằngAkhơng mở, khơng đóng
trongR3
Câu 7 Đặt f(x) =x3−2vàT x=x − f(x)
f0(x)
a) Chứng minh có tập hợpD ⊂(0;+∞)sao choD tập đóng vàT(D)⊂D
b) Chứng minh rằngT có điểm bất động thỏa mãn phương trình x3−2=0
Câu 8 Chứng minh tồn hàm f ∈C[0; 1]thỏa mãn
f(t) =1
2
ˆ 1
f(s)arctan[2(t −s)]ds
(7)1.8 Giải tích, năm 2005, lần ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH
1.8 Giải tích, năm 2005, lần 2 Câu 1
a) Tính tích phân đường theo chiều dương củaL I =
˛ L
ex y(1+x y)dx+x2dy
trong đóL nửa đường elip x
2
a2 +
y2
b2 =1với y ≤0,a>0,b >0
b) ChoD =(x;y):x2+y2≤2y , tính tích phân kép
I =
ă D
(x+y)2dxdy
Cõu 2
a) Tính giá trị gần biểu thức phép tính vi phân
A=p4 16, 16+sin(ln 1, 273)
b) Tính khoảng cách từ điểm A(3; 0) đến đường cong y = x2 giá trị nhỏ hàm số nhiều biến
Câu 3 Tìm miền hội tụ chuỗi
+∞
X
n=1
(−1)n(2x −4)
n
n.2n
Câu 4 Viết nghiệm tổng quát phương trình vi phân7y00+y0−3y =x2+3x−2 Câu 5 Chứng minh tập hợp sau mở trongC[0; 2]
B =f ∈C[0; 2]:f(x)<6∀x ∈[0; 2] ∩
f ∈C[0; 2]:
ˆ
f(x)dx <5
Câu 6 Chứng minh phương trình sau có nghiệm f ∈C[0; 2]
f(t) =30t +3+5
ˆ
e−[t−f(s)]2ds
———————————HẾT———————————
1.9 Giải tích, năm 2006 Câu 1 Tính tích phân
I =
ˆ
ˆ p4−y2
(8)Câu 2 Tính tích phân đường
I =
ˆ L
x ydl
trong L đường giao tuyến mặt z =2−x2−2y2 z = x2 từ điểm A(0; 1; 0) đến
B(1; 0; 1)
Câu 3 Tìm cực trị (nếu có) hàm số f(x,y) = sinx +cosy +cos(x +y) miền D =
§
(x;y)|0≤x ≤3π
2 , 0≤y ≤ 3π
2
ª
Câu 4 Viết nghiệm tổng quát phương trình vi phân sau a) y00+4y0+4y =2e2x(x2+2x +10)
b) (x2+y2+x)dx+y dy =0
Câu 5 Chứng minh tập hợpAmở trongC[0; 3] với
A=f ∈C[0; 3]:|f(x)|<7∀x ∈[0; 3] ∩
f ∈C[0; 3]:
ˆ
f(x)dx <5
Câu 6 Chok >0, chứng minh phương trình f0(t) =4t+3+5 cos[f(t)]2; f(0) =1có nghiệm
f ∈C[0;k]thỏa mãn f0∈C[0;k]
Câu 7 ChoE không gian mêtric với khoảng cáchd Chứng minh vớix,y ∈E
ρ(x,y) = d(x,y)
1+d(x,y)
cũng khoảng cách trongE
———————————HẾT———————————
1.10 Giải tích, năm 2007, khóa 14 Câu 1 (2,5 điểm) Tích phân bội
Cho miềnV giới nội mặtz =0, y =z, y =x2và y =1 Hãy a) Biểu diễn miềnV
b) Tính thể tích khốiV
c) Tính tích phân bội baI =
˚ V
(x +y)dxdy dz
Câu 2 (1,0 điểm) Tính tích phân đường
I =
ˆ L(
2x2−2y2)dx+ (lny −4x y)dy
vớiL đường nối hai điểmA(−1; 1)vàB(4;e)
Câu 3 (1,0 điểm) Tính cực trị (nếu có) hàm số
(9)1.11 Giải tích, năm 2009, đề số 02 ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH
Câu 4 (1,5 điểm) Viết nghiệm tổng quát phương trình vi phân
y00−6y0+9y =e2x(x2+5)
Câu 5 (1,0 điểm) Khảo sát tính đóng (hay mở) trongC[0, 1]của tập hợp
A=
f ∈C[0, 1]:
ˆ
f(t)dt ≥4 :f(0) = f(1) =0
Câu 6 (2,0 điểm) Chứng minh với λ∈
0,1
, ta chọn đượcM >0 để phương trình
x =T x có nghiệm trongKM với
T x(t) =λ+
ˆ t
x2(s)ds(0≤t ≤2)
vàKM ={x ∈C[0, 2]:||x|| ≤M}
Câu 7 (1,0 điểm) Chứng minh ánh xạ
T f =1
3
f(1) +f(0), f ∈C[0, 1]
là ánh xạ tuyến tính liên tục trênC[0, 1] Tìm chuẩn
———————————HẾT———————————
1.11 Giải tích, năm 2009, đề số 02
Câu 1 (1,0 điểm) Tính tích phân đường vớiC chu tuyến
I =
ˆ C
(x2+y2)(xdx+y dy)
Câu 2 (2,0 điểm) Cho miềnD giới nội
(x2+y2)2=2a2(x2−y2)
Hãy
• Tính diện tích miềnD
ã Tớnh tớch phõnI =
ă D
x ydxdy
Câu 3 (1,5 điểm) Tính cực trị (nếu có) hàm số
f(x,y) =x3+y3+3x y +5
Câu 4 (1,5 điểm) Viết nghiệm phương trình vi phân
y00−4y0+3y =x2+3x +5
thỏa mãn điều kiện y(0) =1, y0(0) =2
Câu 5 (2,0 điểm) Chứng minh phiếm hàm sau tuyến tính liên tục trênC[−1, 1]
T f =
ˆ −1
f(t)dt −
ˆ
f(t)dt,∀f ∈C[−1, 1]
Tính chuẩn củaT
Câu 6 (2,0 điểm) Chứng minh phương trình f(t) =
2
ˆ t
e−[t−f(s)]3ds có nghiệm
f ∈C[0, 1]
(10)1.12 Giải tích, năm 2010, đề số 03
Câu 1 (1,0 điểm) Tính tích phân đường loại hai dọc theoC cạnh tam giác nối đỉnh
O(0; 0), A(2; 0),B(0; 2)
I =
ˆ C
x2y(y dx +xdy)
Câu 2 (2,0 điểm) Cho miềnD giới nội
D =(x;y)|π2≤x2+y2≤4π2
Hãy
• Biểu diễn hình học miềnD
• Tính tích phõnI =
ă D
sinặx2+y2dxdy Cõu 3 (1,5 điểm) Tính cực trị (nếu có) hàm số
f(x,y) =x2+y2+3x y +5
Câu 4 (1,5 điểm) Viết nghiệm tổng quát phương trình
x y0+ (1−2x)y =x
Câu 5 (2,0 điểm) Chứng minh tập hợp
B =
§
f ∈C[0, 1]: 10≥
x∈[0,1]f(x)>6
ª
khơng mở, khơng đóng trongC[0, 1]
Câu 6 (2,0 điểm) Chứng minh phương trình y0=x +1
2cos(x y(x)); y(0) =0có nghiệm
nhất y ∈C[0, 1]
———————————HẾT———————————
1.13 Giải tích, năm 2011, đợt 1, đề số 01 I Giải tích sở
Câu 1 Cho hàm f(x,y) =x +y −x y tậpD =¦(x,y)∈R2: 0≤y ≤1,y x ặ2y y2â
a) Tỡm giỏ tr ln nht nhỏ hàm f(x,y)trên miềnD
b) Tính tớch phõnI =
ă D
f(x,y)dxdy
Cõu 2 Tính tích phân đường:I =
ˆ (3,2)
(−2,1)e
x−y
(1+x +y)dx + (1−x−y)dy
Câu 3
a) Giải phương trình vi phân y0= y
2
x y −x2
b) Giải phương trình vi phân
y + x2
dx+
x −
y2
(11)
1.14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01 ĐỀ THI MƠN GIẢI TÍCH
II Giải tích hàm
Câu 4 Cho không gian metric(X,d)vàA⊂X Đặt diam(A) = sup
x,y∈A
d(x,y)
Chứng minh nếuA tập compact tồn tạia,b ∈Asao cho diam(A) =d(a,b)
Câu 5 Chứng minhA=
§
f ∈C[0,1]: max
x∈[0,1]f(x)≤1
ª
là tập đóng
Câu 6 Cho toán tửA:C[0,1]→C[0,1]xác định A x(t) =x(t) +x(1−t)với x ∈C[0,1]
Chứng minh Alà tốn tử tuyến tính liên tục xác định chuẩn củaA
———————————HẾT———————————
1.14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01 I Giải tích sở
Câu 1 Tìm cực trị hàm ẩnz =z(x,y), z >0, xác định phương trình
x2+y2+z2−2x +4y −6z−11=0
Câu 2 Tính thể tích vật thể nằm mặt phẳngO x y giới hạn mặt paraboloidz =x2+y2 mặt trụx2+y2=a2(a >0)
Câu 3 Tính tích phân mặt sau
I =
" S
x z2dydz+ (x2y −z3)dzdx + (2x y +y2z)dxdy
vớiS biên nửa hình cầu giới hạn mặt x2+y2+z2 =a2 (a >0) z =0 Tích phân mặt lấy theo phía củaS
Câu 4
a) Giải phương trình vi phân
y + x2
dx +
x−
y2
dy =0, y(1) =1
b) Tìm dạng nghiệm tổng quát phương trình
y00+3y0+2y =x(e−x −e−2x)
II Giải tích hàm
Câu 5 Cho không gian metric(X,d),(Y,ρ)và ánh xạ f :X →Y TrênX ×Y ta xét metric
d∗((x,y),(x0,y0)) =d(x,x0) +ρ(y,y0), (x,x0),(y,y0)∈X ×Y
và xét tập hợpG =(x,f(x)):x ∈X
a) Giả sử f liên tục, chứng minhG tập đóng
b) Giả sửG tập đóng và(Y,ρ)là khơng gian compact, chứng minh f liên tục
Câu 6 Chứng minhK =(x,y,z)∈R3:x+y +z ≤1,x ≥ −1,y ≥ −2,z ≥ −3 tập compact Câu 7 Cho toán tửA:C[0,1]→C[0,1]xác định A x(t) =2t.x(t)với x ∈C[0,1]
Chứng minh Alà toán tử tuyến tính liên tục xác định chuẩn củaA
(12)2 Đề thi môn Đại số
2.1 Đại số, năm 2009, đề số 01
Câu 1 ChoG nhóm giao hốn Chứng minh tập tất phần tử có cấp hữu hạn củaG
là nhóm củaG Kết cịn khiG khơng gian hốn hay khơng? Tại sao?
Câu 2 Giải phương trình sau trongZ488
68x −60=620
Câu 3 TrongQ[x], xét hai đa thức
f(x) = (x −1)(x2+1) g(x) =x3n−x2n+xn−1
trong đón số nguyên dương Xác địnhn để f(x)|g(x)
Câu 4 Trong không gianR4cho véctơ
u1= (1, 2, 3, 4); u2= (2, 1, 5, 4); u3= (1, 4, 3, 8)
GọiW không gian củaR4 sinh bởiu1;u2;u3
a) Chứng minhB = (u1;u2;u3)là sở củaW
b) Xác định tham sốm để vectơu= (−1, 1, 2,m)thuộcW Với giá trịm đó, tìm[u]B
Câu 5 Trong không gianR3cho véctơ
u1= (1, 1, 2); u2= (0, 1, 1); u3= (0, 1, 2);
và tốn tử tuyến tính f(x,y,z) = (x−y +z, 2x−3y, 2x −y +4z)
a) Tìm số chiều xác định sở cho không gian Im(f), Ker(f)
b) Chứng minhB = (u1;u2;u3)là sở củaR3 tìm ma trận biểu diễn f theo sởB
Câu 6 Cho ma trận hệ số thựcA=
2 1 1 2
a) Tìm giá trị riêng xác định sở, số chiều không gian riêng củaA
b) Chứng minh A chéo hóa tìm ma trận P khả nghịch cho P−1AP ma trận chéo TínhA20
(13)2.2 Đại số, năm 2011, đợt 1, đề số 01 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ
2.2 Đại số, năm 2011, đợt 1, đề số 01
Câu 1 ChoG nhóm nhân cyclic cấpn sinh bởix Chứng minh vớim,k hai số ngun ta có<xm>=<xk>khi UCLN(m,n) =UCLN(k,n)
Câu 2 a) Xét vành Zn số nguyên đồng dư modulo n Tìm điều kiện k ∈ N để ánh xạ
f :Zn →Zn định f(x) =k x đồng cấu vành
b) Mô tả tất tự đồng cấu vànhZp vớip nguyên tố
Câu 3 Cho đa thức với hệ số nguyên
f(x) =x6+7x5+10x4−35x3−120x2−108x−16
a) Viết khai triển Taylor f(x)tạix0=−2
b) Phân tích f(x)thành tích đa thức bất khả qui trênQ Câu 4 Trong không gianR4 cho vectơ
u1= (1, 2, 1,−3), u2= (2, 3,−2, 5),u3= (1, 1, 0, 2);
v1= (2, 3,−1, 5), v2= (1, 2,−2, 3), u3= (5, 8,−5, 13)
GọiW không gian củaR4 sinh bởiu1,u2,u3
a) Chứng minhB1= (u1,u2,u3)là sở củaW
b) Chứng minhB2= (v1,v2,v3)là sở củaW Tìm ma trận chuyển sở từB1 sangB2 Câu 5 Trong không gianR3cho vectơ
u1= (1, 1, 2); u2= (0, 1, 1); u3= (0, 1, 2);
v1= (2, 9,−3);v2= (0, 3,−3); u3= (1, 7,−4);
a) Chứng minh tồn tốn tử tuyến tính f trênR3 thỏa mãn f(uk) = vk với
mọik =1, 2, 3và xác định biểu thức f
b) Tìm số chiều xác định sở cho không gian Im(f), Ker(f)
Câu 6 Cho ma trận hệ số thựcA=
3 2
a) Chéo hóa ma trậnA
b) Cho f tốn tử tuyến tính trênR3 thỏa[f]B =A đóB = (u1,u2,u3)là sở củaR3
với
u1= (1,−1, 1);u2= (0, 1, 1);u3= (1, 1, 4)
(14)2.3 Đại số, năm 2012, đợt 1, đề số 03 A Phần Đại số tuyến tính
Câu 1 Trong không gian vectơM(2, 2), không gian vectơ ma trận vuông cấp trênR, cho
E =
M =
a
b a+b
;a,b ∈R
vàH =Sp
v1=
1
,v2=
0 1
a) Chứng minh E ∩H khơng gian củaM(2, 2)và tìm choE ∩H sở b) ChoB=
v1=
1
,v2=
0 1
là sở củaH, tìmv ∈E ∩H cho[v]B=
2
Câu 2 ChoB0={1;x;x2}là sở tắc củaP2(x)và phép biến đổi tuyến tính
T:P2(x)→P2(x)xác định bởiT(1) =3+2x+x2, T(x) =2, T(x2) =2x2
a) Tìm KerT ImT
b) BiếtB={1; 1+x; 1+x2}là sở P2(x) Tìm ma trận củaT sởB, từ tìm đa thứcp∈P2(x)sao cho[T(p)]B=
4
c) Chứng minh phép biến đổi tuyến tínhT chéo hóa được, từ tìm choP2(x)một sở
C để ma trận củaT sởC ma trận chéo d) Áp dụng kết tìm câu c) để tínhT4(2+x)
A Phần Đại số đại cương
Câu 3 ChoX nhóm nhân Giả sử tồn ba số nguyên liên tiếpk,k+1,k+2sao cho với phần tửa,b củaX ta ln có
(a b)k=ak.bk, (a b)k+1=ak+1.bk+1 (a b)k+2=ak+2.bk+2
Chứng minh rằngX nhóm giao hốn
Câu 4 ChoX vàY nhóm nhân cyclic có cấp làm vàn Chứng minh rằngX ×Y
là nhóm cyclic khim vàn nguyên tố
Câu 5 ChoX vành giao hốn có đơn vị, vàP ideal X Chứng minh rằngX/P miền nguyên khiP ideal nguyên tố
Câu 6 Chứng minh đa thức sau bất khả quy trongQ[x] f(x) =x4+5x3−2x2−6x+3
(15)3 ĐỀ THI MÔN PHƯƠNG PHÁP
3 Đề thi môn Phương pháp
3.1 Phương pháp, năm 2010, đợt 1 Câu 1
a) Theo R Marzano, dạy học kiến thức thông báo giáo viên cần thực theo bước nào? Áp dụng vào dạy học khái niệm hai vectơ chương trình Hình học 10
b) Cho toán: “Trong mặt phẳngO x y, cho điểmA(2; 2),B(4; 4),C(1;a2)vàD(−1;a) Tìm
a cho tứ giácAB C D hình bình hành” Một học sinh giải sau:
“AB C D hình bình hành ⇔−→AB=−−→D C
⇔a2−a =2⇔a =−1hoặca =2.Đáp số:a =−1,a=2” Hãy phân tích lỗi học sinh
Câu 2 Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm cách giải tốn sau đây: “Giải phương trình:|3−2x|=
x” (Đại số 10)
Câu 3
a) Trình bày mơ hình dạy học dùng để dạy học khám phá định lý, cho biết dạy học theo mơ hình giáo viên phát triển lực tư cho học sinh
b) Hãy tổ chức trình dạy học định lí điều kiện đủ để hàm số có cực trị (khơng chứng minh định lí) dạy học khám phá
Câu 4 Cho toán: “Trong tập số thực, tìm tham sốm cho hệ phương trình sau õy cú nghim: ăp
x1+py 2=1
x+y =m ”
a) Giải toán
b) Tổng qt hóa tốn nêu thuật giải
———————————HẾT———————————
3.2 Phương pháp, năm 2011, đợt 1 Câu 1
a) Theo Marzano, dạy học kiến thức qui trình giáo viên cần thực theo bước nào? Áp dụng vào dạy học giải phương trình sau tập số thực
f(x).g(x) = f(x).h(x)
b) Phân tích sai lầm sau học sinh
(x −3)px2−16=0⇔
x −3=0
p
x −16=0 (2)⇔
x =3
(16)Câu 2
a) Hãy nêu ý nghĩa khác khái niệm hàm số
b) Hãy sử dụng sơ đồ để biểu thị mối liên hệ khái niệm “giá trị hàm số”, “giới hạn hàm số”, “hàm số liên tục”
Câu 3 Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải tốn sau đây:
“Giải phương trình:p8+x =4−px ”
Câu 4 Vận dụng quan điểm hàm số giải toán sau đây: “Giải hệ phương trình
(x6+1)x +
1
3
y
−y =
1
3
x
+y7
3x+4y =7
”
———————————HẾT———————————
3.3 Phương pháp, năm 2011, đợt 2, đề số 03 Câu 1 (3.0 điểm):
a) Khi hình thành khái niệm toán học cho học sinh, khâu giáo viên yêu cầu học sinh thực hành động phân tích?
b) Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh phân tích định nghĩa sau đường thẳng vng góc với mặt phẳng: “Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng đó” (HÌNH HỌC 11 - Nâng cao)
Câu 2 (3.0 điểm):
Trong dạy học định lí tốn học, bắt đầu trình dạy học phát biểu định lí giáo viên làm để tích cực hóa hoạt động học tập học sinh Áp dụng vào dạy học định lí cosin tam giác
Câu 3 (2.5 điểm): Nêu cách hướng dẫn học sinh giải toán sau đây:
“Giải bất phương trình: p x
x +1−1<3”
Câu 4 (1,5 điểm)
Cho toán: “Trong tập số thực, chứng minh phương trình (ẩn x):
4x x2+1=
(a+1)(a−1)−a+4
p
a(a−1) +2 vô nghiệm với mọia ”
Hãy giải khái quát hóa toán theo quan điểm hàm số
(17)3.4 Phương pháp, năm 2012, đợt 1, đề số 02 ĐỀ THI MÔN PHƯƠNG PHÁP
3.4 Phương pháp, năm 2012, đợt 1, đề số 02
Câu 1 Nếu dạy học định lí tốn học có khâu nêu giả thuyết trình dạy học cần tổ chức nào? Áp dụng vào dạy học định lí sau
“Nếua,b c ba số hạng liên tiếp cấp số cộng thìb =a+c
2 ”
Câu 2
a) Trong q trình dạy học khái niệm tốn học, khâu giáo viên yêu cầu học sinh thực hành động so sánh?
b) Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh so sánh khái niệm vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng
Câu 3 Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải tốn sau đây: “Giải phương trình:
p
x3−4+2x(1−x)−x+2
p
x2(x −1)−(x −1)2−3+p
2x2+2(2−3x) =1”
Câu 4 Xét toán: “Chứng minh rằng:a2+a+
a2+a+1≥1với mọia (1)”
Một học sinh giải sau:
“Giả sửa2+a+
a2+a+1≤1 (2) (2)⇔a2+a+1+
a2+a+1≤2
⇔(a2+a)2≤0vô lí Vậy(1)đúng với mọia ” Hãy nêu nhận xét lời giải
———————————HẾT———————————
3.5 Phương pháp, năm 2013, đợt 1, đề số 03 Câu 1
a) Trình bày mơ hình dạy học dùng cho dạy học khám phá định lý, cho biết dạy học theo mơ hình giáo viên phát triển lực tư cho học sinh
b) Hãy dạy học định lý sau đây:
“Cho cấp số cộng(un) ĐặtSn =u1+u2+ .+un
Khi đóSn =
n(u1+un)
2 ” (Đại số giải tích 11)
bằng dạy học khám phá
Câu 2
(18)b) Áp dụng vào dạy học khái niệm vectơ pháp tuyến đường thẳng với định nghĩa sau: “Vectơn~ gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng∆nếun~6=~0vàn~vuông góc với vectơ phương của∆” (Hình Học 10)
Câu 3 Hãy nêu cách hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải tốn sau đây: “Trong tập số thực, giải bất phương trình:
x+2x −11+2p5
x −1
5
p
x −1−1 ≥1”
Câu 4 Cho toán: “Chứng minh đẳng thức sau với số thựcα
3 2=
1 sin
4α+cos4α
+sin6α+cos6α+sin22α” a) Hãy giải toán theo quan điểm hàm số
b) Hãy khái qt hóa tốn theo quan điểm hàm số (trình bày thuật giải) c) Anh (Chị) đề xuất hai toán kèm theo lời giải chi tiết dạng toán
———————————HẾT———————————
Mục lục
1 Đề thi mơn Giải tích 2
1.1 Giải tích, đề mẫu 01
1.2 Giải tích, đề mẫu 02
1.3 Giải tích, năm 2001
1.4 Giải tích, năm 2002
1.5 Giải tích, năm 2003
1.6 Giải tích, năm 2004
1.7 Giải tích, năm 2005, lần
1.8 Giải tích, năm 2005, lần
1.9 Giải tích, năm 2006
1.10 Giải tích, năm 2007
1.11 Giải tích, năm 2009, đề số 02
1.12 Giải tích, năm 2010, đề số 03
1.13 Giải tích, năm 2011, đợt 1, đề số 01
1.14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01 10
2 Đề thi môn Đại số 11 2.1 Đại số, năm 2009, đề số 01 11
2.2 Đại số, năm 2011, đợt 1, đề số 01 12
2.3 Đại số, năm 2012, đợt 1, đề số 03 13
3 Đề thi môn Phương pháp 14 3.1 Phương pháp, năm 2010, đợt 14
3.2 Phương pháp, năm 2011, đợt 14
3.3 Phương pháp, năm 2011, đợt 2, đề số 03 15
3.4 Phương pháp, năm 2012, đợt 1, đề số 02 16