TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ ĐẠI HỌC CẦN THƠ (2001–2014) MÔN GIẢI TÍCH

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC

TỔNG HỢP

ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ

ĐẠI HỌC CẦN THƠ

Giai đoạn 2001 – 2014

Môn Giải tích

Biên soạn LATEX

Mai Mẫn Tiệp

Email

maimantiep@gmail.com

Homepage

maimantiep.wordpress.com

Lưu hành nội bộ

Cần Thơ, 2014

Trang 2

TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ

ĐẠI HỌC CẦN THƠ (2001–2014)

MÔN GIẢI TÍCH

LATEX by Mai Mẫn Tiệp∗ Ngày 13 tháng 5 năm 2014

Lưu ý

a) Thời gian làm bài của mỗi đề là 180 phút.

b) Thí sinh không được sử dụng bất kì tài liệu nào.

c) Nếu đề thi có hai phần Giải tích cơ sở (Giải tích cổ điển) và Giải tích hàm

(Giải tích hiện đại) thì thí sinh làm mỗi phần trên tờ giấy thi riêng.

d) Câu tô màu đỏcó thể đánh máy không chính xác, vì tác giả chỉ có đề photo rất mờ

e) Mọi ý kiến về các sai sót mắc phải, cũng như những đề thi khác của Đại học

Cần Thơ mà tác giả chưa cập nhật, xin liên hệ email maimantiep@gmail.com.

f) Các bạn hoàn toàn được quyền sử dụng file nguồn LATEX của ebook này, nhưng phải ghi rõ đội ngũ thực hiện

Tài liệu

[1] Nguyễn Chí Phương, Blog cùng Phương giải toán:

nguyenchiphuong.wordpress.com

[2] Website khoa Sau Đại học, trường Đại học Cần Thơ:

gs.ctu.edu.vn

Trang 3

1 Giải tích, năm 2001

Câu 1 Cho hàm

u (x , y ) = lnsinpx

y ,

với x (t ) = 3t2

, y (t ) =pt2+ 1 Tìm du

dt .

Câu 2 Tính cực trị (nếu có) của hàm số

f (x , y ) = y3

− x2− 2x y − x − 2y

Câu 3 Tính

I = ˆ

AB

(x2+ y2)dl ,

với AB là 1

4 cung đường tròn tâmO , bán kính R nằm ở góc vuông thứ nhất.

Câu 4 Tìm khoảng hội tụ và khảo sát tính hội tụ ở hai đầu khoảng đó của chuỗi

∞

X

n=1

(n + 1)x 2n

(2n + 1) .

Câu 5 Cho

T f =

ˆ 1

−1

t |t | f (t ) dt , ∀ f ∈ C[−1;1] Chứng minh rằngT là ánh xạ tuyến tính, liên tục từ C[−1;1] vào R Tìm kT k.

Câu 6 Cho

D =(x ; y ; z ): x2+ y2+ z2+ x y + y z + z x ≤ 1 Chứng minh rằngD compăc trong R3

Trang 4

Câu 1 Tìm cực trị (nếu có) của

f (x , y ) = y2

x + 2x2

− 4x y + 5x

Câu 2 Tính

I =

¨

D

(x + 2y )(y − x )2

dx dy ,

biết rằngD là miền giới hạn bởi các đường

y = x + 1, y = x + 4, x = −2y, x = −2y + 4.

Câu 3 Tính

ˆ

C

(y + 2x e y )dx + (x + x2

e y )dy,

vớiC là đường cong nối từ (1;0) tới (2;ln2)

Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

y00− 5y0+ 4y = e x

Câu 5 Chứng minh bằng nguyên lí ánh xạ co (dạng mở rộng) rằng phương trình sau

có nghiệm duy nhất y ∈ C[0;1]:

y (t ) =

ˆ t

0

y (x )cos(t − x )2

dx

Câu 6 Chứng minh rằng tập hợp A compăc trong R2 với

A =§(x ; y ): x2+3

2x y + y2

≤ 1 ª

Trang 5

Câu 1

• Trình bày cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến

f : D ⊂ Rn → R, trong đóD là tập đóng giới nội.

• Áp dụng với f (x , y, z ) = x y z và D là hình cầu đơn vị đóng.

Câu 2 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

∞

X

n=1

(2x + 1) n

2n 3 n

Câu 3 Tính

I =

¨

D

Æ

x2+ y2dx dy ,

vớiD =(x ; y ): x2

+ y2

≤ 2y

y00− 6y0+ 9y = 3x2

− 1

Câu 5 Chứng minh bằng nguyên lí ánh xạ co rằng phương trình

y (t ) =

ˆ 1

0

ds

1+ (t − y (s ))2

có nghiệm duy nhất y ∈ C[0;1]

Câu 6 Cho toán tửT : C[−1;3]→ R với T f =

ˆ 3

−1

x (x − 2)f (x )dx , ∀ f ∈ C[−1;3] a) Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính liên tục.

b) TínhkT k.

Câu 7 Trên không gian C [a,b ] , a < b đặt f 1=

ˆ b

a

f (t )

dt , f ∈ C [a,b ] a) Chứng minh rằng k.k1 là một chuẩn

b) Chứng mình rằng C [a,b ] với chuẩn k.k1 là không đầy đủ

Trang 6

Câu 1 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số

f (x , y ) = (x2+ y2)e −(x2+y2 )

− (x2+ y2)

Câu 2 Tính tích phân đường theo chiều dương của chu tuyến L

I =

˛

L

x2y2dx + y x3

dy ,

với L tạo bởi x = 0, y =px , y = x − 2.

Câu 3 Chứng minh rằng nếu chuỗi dương

∞

X

n=1

a n hội tụ thì lim

n→∞n a n = 0

Câu 4 Viết nghiệm của phương trình vi phân

y00− 4y0+ 3y = x2+ 1

thỏa mãn điều kiện ban đầu y (0) = 2, y0(0) = 10

Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp

A=

f ∈ C[0;1]: f ≤ 5và

ˆ 1

0

f (x )dx ≥ 2

là một tập mở trongC[0;1], với f = max

0≤t ≤1

f (t )

Câu 6 Áp dụng định lí Schauder chứng minh rằng phương trình thỏa mãn

x (t ) = 3t + 2

ˆ 2

0

arctan(t − x (s ))ds

có nghiệm x ∈ C[0;2]

Trang 7

5 Giải tích, năm 2005, đợt 1

Câu 1 Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số theop , q

+∞

X

n=1

n p

n q + sin2n.

Câu 2 Tính tích phân đường theo chiều dương của chu tuyến L

I =

˛

L

x y2dx + 3y x2dy

Câu 3 Tính gần đúng giá trị của biểu thức bằng phép tính vi phân

A= arcsin0,51 +p3

8, 25

Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi

∞

X

n=1

(−1)n−1(x − 5) n

p

n .

3y00+ y0

− 4y = e 2x (x − 1).

Câu 6 Cho

A=(x ; y ; z ) ∈ R3

: x ≥ 0, x + y + z < 1 Chứng minh rằng A không mở, không đóng trong R3

Câu 7 Đặt f (x ) = x3

− 2 và T x = x − f (x )

f 0(x ).

a) Chứng minh rằng có tập hợp D ⊂ (0; +∞) sao cho D là tập đóng và T (D ) ⊂

D

b) Chứng minh rằng T có điểm bất động thỏa mãn phương trình x3− 2 = 0

Câu 8 Chứng minh rằng tồn tại hàm f ∈ C[0;1] thỏa mãn

f (t ) = 1

2

ˆ 1

0

f (s )arctan[2(t − s )]ds.

Trang 8

6 Giải tích, năm 2005, đợt 2

Câu 1

a) Tính tích phân đường theo chiều dương của L

I =

˛

L

e x y (1 + x y )dx + x2dy ,

trong đó L là nửa đường elip x

2

a2 + y

2

b2 = 1 với y ≤ 0, a > 0, b > 0.

b) Cho D =(x ; y ): x2+ y2

≤ 2y , tính tích phân kép

I =

¨

D

(x + y )2

dx dy

Câu 2

a) Tính giá trị gần đúng của biểu thức bằng phép tính vi phân

A =p4

16, 16+ sin(ln1,273)

b) Tính khoảng cách từ điểm A (3;0) đến đường cong y = x2

bằng giá trị nhỏ nhất của hàm số nhiều biến

Câu 3 Tìm miền hội tụ của chuỗi

+∞

X

n=1

(−1)n (2x − 4) n

n 2 n

7y00+ y0

− 3y = x2+ 3x − 2.

Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp sau mở trongC[0;2]

B = f ∈ C[0;2]: f (x ) < 6, ∀ x ∈ [0;2] ∩

f ∈ C[0;2]:

ˆ 1 0

f (x )dx < 5

Câu 6 Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm f ∈ C[0;2]

f (t ) = 30t + 3 + 5

ˆ 2 0

e −[t −f (s )]2ds

Trang 9

7 Giải tích, không rõ năm A ( ' Giải tích 2006)

Câu 1 (1,0 điểm) Tính tích phân

K =

˚

V

x y z dx dy dz ,

vớiV là vật thể giới hạn bởi các mặt x + y = 1 và 0 ≤ z ≤ x y

Câu 2 (2,0 điểm) Tính tích phân đường

I = ˆ

L

x y dl ,

vớiL là đường giao tuyến của các mặt z = 2− x2

−2y2 vàz = x2

từ điểm A(0;1;0) đến B(1;0;1)

Câu 3 (1,5 điểm) Tìm cực trị (nếu có) của hàm số

f (x , y ) = 2x3+ 12x y − 6y2+ 3

Câu 4 (1,5 điểm) Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

y00+ 4y0+ 4y = 2e 2x (x2+ 2x + 10).

Câu 5 (1,5 điểm) Chứng minh rằng tập hợp A mở trong C[−3;3], với

A = f ∈ C[−3;3]: f (x )

< 5, ∀ x ∈ [0;1] ∩

f ∈ C[−3;3]:

ˆ 1

0

f (x )dx < 5

Câu 6 (1,5 điểm) Cho k > 0, chứng minh rằng phương trình

f 0(t ) = 4t + 3 + 5sin[f (t )]2; f (0) = 1

có nghiệm f ∈ C [0;k] thỏa mãn f 0∈ C [0;k]

Câu 7 (1,0 điểm) Cho E là không gian mêtric với khoảng cách d Chứng minh

ρ(x , y ) = d (x , y )

1+ d (x , y ) , ∀ x , y ∈ E

cũng là một khoảng cách trong E

Trang 10

Câu 1 Tính tích phân

I =

ˆ 2

0

ˆ p4−y2

0 (4 − x2)32dx dy

Câu 2 Tính tích phân đường

I = ˆ

L

x y dl ,

trong đó L là đường giao tuyến của các mặt z = 2 − x2

− 2y2 và z = x2

từ điểm

A (0;1;0) đến B(1;0;1).

Câu 3 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số

f (x , y ) = sin x + cos y + cos(x + y ),

trên miền

D =

§

(x ; y ): 0 ≤ x ≤ 3π

2 , 0≤ y ≤ 3π

2 ª

Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau

a) y00+ 4y0+ 4y = 2e 2x (x2+ 2x + 10),

b) (x2+ y2+ x )dx + y dy = 0.

Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp A mở trong C[0;3] với

A= f ∈ C[0;3]: f (x )

< 7, ∀ x ∈ [0;3] ∩

f ∈ C[0;3]:

ˆ 2

1

f (x )dx < 5

Câu 6 Chok > 0, chứng minh rằng phương trình

f 0(t ) = 4t + 3 + 5cos[f (t )]2

; f (0) = 1

có nghiệm f ∈ C [0;k] thỏa mãn f 0∈ C [0;k]

Câu 7 ChoE là không gian mêtric với khoảng cách d Chứng minh rằng với x , y ∈ E

thì

ρ(x , y ) = d (x , y )

1+ d (x , y )

cũng là một khoảng cách trong E

Trang 11

Câu 1 (2,5 điểm) Tích phân bội

Cho một miềnV giới nội bởi các mặt z = 0, y = z , y = x2

và y = 1 Hãy a) Biểu diễn miền V ,

b) Tính thể tích khối V ,

c) Tính tích phân bội ba I =

˚

V

(x + y )dx dy dz

I = ˆ

L

(2x2

− 2y2)dx + (ln y − 4x y )dy,

với L là đường nối hai điểm A (−1;1) và B(4;e ).

Câu 3 (1,0 điểm) Tính cực trị (nếu có) của hàm số

f (x , y ) = (x − 2)ln x y.

Câu 4 (1,5 điểm) Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

y00− 6y0+ 9y = e 2x

(x2

+ 5)

Câu 5 (1,0 điểm) Khảo sát tính đóng (hay mở) trong C[0,1] của tập hợp

A =

f ∈ C[0,1]:

ˆ 1

0

f (t )dt ≥ 4: f (0) = f (1) = 0

Câu 6 (2,0 điểm) Chứng minh rằng với λ ∈0;1

8

, ta có thể chọn đượcM > 0 để

phương trình x = T x có nghiệm trong K M với

T x (t ) = λ +

ˆ t

0

x2(s )ds (0 ≤ t ≤ 2),

và K M = x ∈ C[0,2]: kx k ≤ M

Câu 7 (1,0 điểm) Chứng minh rằng ánh xạ

T f = 1

3 f (1) + f (0), f ∈ C[0,1]

là ánh xạ tuyến tính liên tục trênC[0,1] Tìm chuẩn của nó

Trang 12

10 Giải tích, năm 2009, đề số 02

Câu 1 (1,0 điểm) Tính tích phân đường vớiC là một chu tuyến bất kì

I = ˆ

C

(x2+ y2)(x dx + y dy ).

Câu 2 (2,0 điểm) Cho miềnD giới nội bởi

(x2

+ y2

)2

= 2a2

(x2

− y2)

Hãy

• Tính diện tích của miền D ,

• Tính tích phân I =

¨

D

x y dx dy

f (x , y ) = x3+ y3+ 3x y + 5.

Câu 4 (1,5 điểm) Viết nghiệm của phương trình vi phân

y00− 4y0+ 3y = x2+ 3x + 5,

thỏa mãn điều kiện y (0) = 1, y0(0) = 2

Câu 5 (2,0 điểm) Chứng minh rằng phiếm hàm sau tuyến tính liên tục trên C[−1;1]

T f =

ˆ 0

−1

f (t )dt −

ˆ 1

0

f (t )dt , ∀ f ∈ C[−1,1],

và tính chuẩn của T

Câu 6 (2,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình

f (t ) = 1

2

ˆ t

0

e −[t −f (s )]3ds

có nghiệm duy nhất f ∈ C[0;1]

Trang 13

11 Giải tích, không rõ năm B ( ' Giải tích 2010) Câu 1 (2,0 điểm) Cho miềnD giới hạn bởi y = x3

, y = x ≥ 0 Hãy

• Biểu diễn miền D ,

• Tính diện tích của D ,

• Tính I =

¨

D

(x2+ y2)dx dy

I = ˆ

C

(4x2

− 4y2)dx + (ln y − 8x y )dy,

vớiC = C1∪ C2, mà

C1=(x ; y ): 1 ≤ x ≤ 2, y (x ) = x2 ,

C2=(x ; y ): 2 ≤ x ≤ 4, y (x ) = 8 − 2x

Câu 3 (1,0 điểm) Tính cực trị (nếu có) của hàm số sau

f (x , y ) = −4x3+ 10x y + 2y2+ 10

Câu 4 (1,5 điểm) Viết nghiệm của phương trình vi phân

2y00− 3y0+ y = e 2x (x2

− 10), thỏa mãn điều kiện y (0) = 6, y0(0) = 15

Câu 5 (2,0 điểm) Chứng minh rằng tập hợp

B = f ∈ C[0;1]: f (x )

< 6, ∀ x ∈ [0;1] ∩

f ∈ C[0;1]:

ˆ 1

0

f (x )dx ≥ 5

không mở, không đóng trong C[0;1]

f (t ) =

ˆ 1

0

e −[t −f (s )]2ds

có nghiệm duy nhất f ∈ C[0;1]

Trang 14

12 Giải tích, năm 2010, đề số 03

Câu 1 (1,0 điểm) Tính tích phân đường loại hai dọc theo C là các cạnh của tam

giác nối các đỉnh O (0;0), A(2;0), B(0;2)

I = ˆ

C

x2y (y dx + x dy ).

Câu 2 (2,0 điểm) Cho miềnD giới nội bởi

D =(x ; y ): π2

≤ x2+ y2

≤ 4π2 Hãy

• Biểu diễn hình học miền D ,

• Tính tích phân I =

¨

D

sinÆx2+ y2dx dy

f (x , y ) = x2

+ y2

+ 3x y + 5.

Câu 4 (1,5 điểm) Viết nghiệm tổng quát của phương trình

x y0+ (1 − 2x )y = x

Câu 5 (2,0 điểm) Chứng minh rằng tập hợp

B =§f ∈ C[0,1]: 10≥ min

x∈[0,1]f (x ) > 6ª

không mở, không đóng trong C[0,1]

y0= x +1

2cos x y (x ) ; y (0) = 0

có nghiệm duy nhất y ∈ C[0,1]

Trang 15

13 Giải tích, năm 2011, đợt 1, đề số 01

I Giải tích cơ sở

Câu 1 Cho hàm f (x , y ) = x + y − x y

và tập D =¦(x; y ) ∈ R2

b) Tính tích phân I =

¨

D

f (x , y )dx dy

I =

(3;2)

ˆ

(−2;1)

e x −y (1 + x + y )dx + (1 − x − y )dy .

Câu 3

a) Giải phương trình vi phân y0= y

2

x y − x2 b) Giải phương trình vi phân

y + 2

x2

dx+

x − 3

y2

dy = 0 với điều kiện ban đầu y(1) = 1

II Giải tích hàm

Câu 4 Cho không gian metric (X ,d ) và A ⊂ X Đặt diam(A) = sup

x ,y ∈A

d (x , y ).

Chứng minh nếuA là tập compact thì tồn tại a , b ∈ A sao cho diam(A) = d (a , b ).

Câu 5 Chứng minh A =

f ∈ C[0,1]: max

x∈[0,1]f (x ) ≤ 1

là tập đóng

Câu 6 Cho toán tử A : C[0,1]→ C[0,1]xác định bởi

A x (t ) = x (t ) − x (1 − t ), với x ∈ C[0,1] Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A.

Trang 16

Câu 1 Tìm cực trị của hàm ẩn z = z (x , y ), z > 0, xác định bởi phương trình

x2+ y2+ z2

− 2x + 4y − 6z − 11 = 0.

Câu 2 Tính thể tích vật thể nằm trên mặt phẳngO x y và giới hạn bởi mặt paraboloid

z = x2+ y2

và mặt trụ x2+ y2= a2(a > 0).

Câu 3 Tính tích phân mặt sau

I =

"

S

x z2dy dz + (x2y − z3)dz dx + (2x y + y2z )dx dy,

vớiS là biên của nửa trên hình cầu giới hạn bởi các mặt x2+ y2+ z2= a2(a > 0)

và z = 0 Tích phân mặt lấy theo phía ngoài của S.

Câu 4

a) Giải phương trình vi phân

y + 2

x2

dx +

x − 3

y2

dy = 0, y (1) = 1.

b) Tìm dạng nghiệm tổng quát của phương trình y00+3y0+2y = x (e −x −e −2x)

Câu 5 Cho không gian metric (X ,d ), (Y ,ρ) và ánh xạ f : X → Y Trên X × Y ta

xét metric

d∗ (x , y ),(x0, y0) = d (x , x0) + ρ(y, y0), (x , y ),(x0, y0) ∈ X × Y ,

và xét tập hợpG = x , f (x ) : x ∈ X

a) Giả sử f liên tục, chứng minh G là tập đóng.

b) Giả sửG là tập đóng và (Y ,ρ) là không gian compact, chứng minh f liên tục.

Câu 6 Chứng minh K = (x ; y ; z ) ∈ R3

: x + y + z ≤ 1, x ≥ −1, y ≥ −2, z ≥ −3

là tập compact

Câu 7 Cho toán tử A : C[0,1]→ C[0,1]xác định bởi

A x (t ) = 2 t x (t ), với x ∈ C[0,1] Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A.

Trang 17

Câu 1 Cho hàm số f (x , y ) = x e y

− y e x và điểm A(0;1)

a) Tính đạo hàm theo hướng D ~i={0;1} f (A).

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số F (x , y ) = D ~u={x ,y } f (A), với x2+ y2= 1

Câu 2 ChoD =(x ; y ): 1 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 1 Tính

I =

¨

D

y − 1

x

dx dy

˛

(OmAnO)

dy arctan

y x

− dx ,

trong đó O m A là cung y = x2

vàO n A là một đoạn của đường y = x

Câu 4

a) Giải phương trình vi phân

y − x y0= 1 − x2y0 b) Tìm dạng nghiệm tổng quát của phương trình

y00+ y = x + 5sin x

Câu 5 Cho A là tập compact và B là tập đóng trong không gian metric (X ,d ) sao

cho A ∩ B = ; Đặt d (A, B ) = inf

x ∈A,y ∈B d (x , y ).

Chứng minh rằngd (A, B) > 0.

Câu 6 Chứng minh F =

f ∈ C[0;1]:

ˆ 1 0

f (t )dt ≥ 0

là tập đóng

Câu 7 Chứng minh K =(x ; y ; z ) ∈ R3

:|x | + |y | + z2≤ 5 là tập compact

Câu 8 Cho toán tử A : C[0;1]→ C[0;1]xác định bởi

A x (t ) = (t2+ 1)x (t ), với x ∈ C[0;1] Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A.

Trang 18

Câu 1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm

f (x , y ) = 2x2

− y2− y

trên miền

D =(x ; y ): x2+ y2

≤ 1

Câu 2 Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt

z = 5 − x2

− y2 vàz = 4 x2+ y2

Câu 3 Tính tích phân

C

Æ

x2+ y2dx + y x y + lnx +Æx2+ y2dy ,

trong đó C là đường tròn (x − 1)2+ (y − 1)2= 1

Câu 4 Giải phương trình vi phân

x + e x y

dx + e x y

1− x

y

dy = 0, với điều kiện ban đầu y(0) = 2

Câu 5 Cho không gian metric (X ,d ) và A, B ⊂ X , A 6= ;, B 6= ; Đặt

d (A, B) = inf

x ∈A,y ∈B d (x , y ).

Chứng minh rằngd (A, B) = d (A, B).

Câu 6 Chứng minhG =

f ∈ C[0;1]:

ˆ 1

0

t f (t )dt < 0

là tập mở

Câu 7 Chứng minh K = (x ; y ; z ) ∈ R3: x + y + |z | ≤ 1, x ≥ −1, y ≥ −2

là tập compact

Câu 8 Cho X , Y là các không gian định chuẩn và A : X → Y là toán tử tuyến tính.

Chứng minh A liên tục khi và chỉ khi A biến dãy Cauchy thành dãy Cauchy.

7 Giải tích, khơng rõ năm A ( '' Giải tích 2006)

Câu (1,0 điểm) Tính tích phân

K =

˚

V... 15

I Giải tích sở

Câu Cho hàm f (x , y ) = x +... 16

I Giải tích sở

Câu Tìm cực trị hàm ẩn z = z

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	242,13 KB