TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ ĐẠI HỌC CẦN THƠ (2007–2014) MÔN ĐẠI SỐ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ ĐẠI HỌC CẦN THƠ Giai đoạn 2007 – 2014 Môn Đại số Biên soạn L A T E X Mai Mẫn Tiệp Email maimantiep@gmail.com Homepage maimantiep.wordpress.com Lưu hành nội bộ Cần Thơ,2014 TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ ĐẠI HỌC CẦN THƠ (2007–2014) MÔN ĐẠI SỐ L A T E X by Mai Mẫn Tiệp ∗ Ngày 13 tháng 5 năm 2014 Lưu ý a) Thời gian làm bài của mỗi đề là 180 phút. b) Thí sinh không được sử dụng bất kì tài liệu nào. c) Nếu đề thi có hai phần Đại số tuyến tính và Đại số đại cương thì thí sinh làm mỗi phần trên tờ giấy thi riêng. d) Mọi ý kiến về các sai sót mắc phải, cũng như những đề thi khác của Đại học Cần Thơ mà tác giả chưa cập nhật, xin liên hệ email maimantiep@gmail.com. e) Các bạn hoàn toàn được quyền sử dụng file nguồn L A T E X của ebook này, nhưng phải ghi rõ đội ngũ thực hiện. Tài liệu [1] Nguyễn Chí Phương, Blog cùng Phương giải toán: nguyenchiphuong.wordpress.com [2] Website khoa Sau Đại học, trường Đại học Cần Thơ: gs.ctu.edu.vn ∗ Email: maimantiep@gmail.com 2 1 Đại số, năm 2007, đề số 01 Câu 1 Chứng minh rằng tập hợp K = a +b 7 | a,b ∈Q là một trường con của trường số thực R. Câu 2 Trong lí thuyết nhóm có định lí sau đây: “Với mọi số tự nhiên n = 4, A n là nhóm đơn”. (Nhắc lại rằng nhóm đơn là nhóm không có nhóm con chuẩn tắc nào khác {e} và chính nó.) Hãy sử dụng định lí nói trên để chứng minh rằng, với n = 4, nhóm đối xứng S n chỉ có 3 nhóm con chuẩn tắc là {e}, A n và S n . Câu 3 Cho A là nhóm xylic cấp m và B là nhóm xylic cấp n. Chứng minh rằng tích trực tiếp A ×B là nhóm xylic khi và chỉ khi m và n là những số nguyên tố cùng nhau. Câu 4 Với a là một số thực và n là một số tự nhiên bất kì, hãy tính a 1 0 a n . Câu 5 Hãy tìm điều kiện đối với các số thực a,b,c sao cho ma trận sau đây chéo hóa được A = 1 a b 0 2 c 0 0 2 . Câu 6 Xét không gian vectơ V = M 2 (R) gồm các ma trận vuông cấp 2 trên trường số thực R. Giả sử A = a b c d là một ma trận cho trước thuộc V . a) Chứng minh rằng ánh xạ ϕ: V →V, với ϕ(X ) = AX , ∀ X ∈V là một phép biến đổi tuyến tính trong không gian vectơ V . b) Tìm ma trận biểu diễn ϕ trong cơ sở gồm các ma trận sau 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 . —————HẾT————— 3 2 Đại số, không rõ năm, đề số 02 Câu 1 Chứng minh rằng nếu f : (Q,+) →(Z,+) là một đồng cấu nhóm aben thì f =0. Từ đó suy ra (Q,+) không phải là nhóm xyclic. Câu 2 Cho G là nhóm và H là một nhóm con của G. Nếu H =G thì ta nói H là một nhóm con thực sự của G. Chứng minh rằng G không thể là hợp của hai nhóm con thực sự của nó. Câu 3 Xét vành số nguyên Z và giả sử m,n ∈Z làhai số nguyêntố cùng nhau.Chứng minh rằng a) nZ ∩mZ =mnZ, b) nZ +mZ =Z. Câu 4 Phân tích đa thức sau thành tích những nhân tử bất khả qui a) X 6 −8 trên trường Q các số hữu tỉ. b) X 3 +2X +1 trên trường Z 3 . Câu 5 Xét vành số nguyên Z. Giả sử m là một số nguyên dương và m không phải là số chính phương. Đặt R = a +b m | a,b ∈Z . a) Chứng minh rằng R là vành con của trường R các số thực. b) Giả sử p là số nguyên tố. Đặt I p = a +b m : p |a, p |b . Chứng minh rằng I p là ideal của R. Câu 6 Cho S và T là các không gian con của R 4 sinh ra bởi các véctơ trong R 4 . Cụ thể như sau S = 〈 (1;−1;2;−3),(1; 1;2;0),(3;−1; 6;−6) 〉 và T = 〈 (0;−2;0;−3),(1; 0;1;0) 〉 . Hãy tìm một cơ sở và số chiều của không gian con S ∩T . Câu 7 Cho ma trận A = 1 2 2 1 3 2 3 2 −1 −3 0 4 0 4 −1 −3 . Hãy tìm không gian nghiệm của hệ phương trình AX =0. Câu 8 Với những giá trị nào của a,b,c,d,e, f ma trận dưới đây chéo hóa được trên R? 1 a b c 0 2 d e 0 0 2 f 0 0 0 2 . —————HẾT————— 4 3 Đại số, năm 2009, đề số 01 Câu 1 Cho G là một nhóm giao hoán. Chứng minh rằng tập tất cả các phần tử có cấp hữu hạn của G là một nhóm con củaG. Kết quả trên còn đúng khi G không gian hoán hay không? Tại sao? Câu 2 Giải phương trình sau trong Z 488 68x −60 =620. Câu 3 Trong Q[x], xét hai đa thức f (x) =(x −1)(x 2 +1) và g (x) =x 3n −x 2n +x n −1, trong đó n là số nguyên dương. Xác định n để f (x) | g (x). Câu 4 Trong không gian R 4 cho các véctơ u 1 =(1;2; 3;4), u 2 =(2;1; 5;4), u 3 =(1;4; 3;8). Gọi W là không gian con của R 4 sinh bởi u 1 ,u 2 ,u 3 . a) Chứng minh B =(u 1 ,u 2 ,u 3 ) là một cơ sở của W . b) Xác định tham số m để vectơ u =(−1;1;2;m) thuộc W . Với giá trị m đó, hãy tìm [u] B . Câu 5 Trong không gian R 3 cho các véctơ u 1 =(1;1; 2), u 2 =(0;1; 1), u 3 =(0;1; 2), và toán tử tuyến tính f (x, y, z) =(x −y +z, 2x −3y, 2x −y +4z). a) Tìm số chiều và xác định một cơ sở cho mỗi không gian Im( f ), Ker(f ). b) Chứng minh B =(u 1 ,u 2 ,u 3 ) là một cơ sở của R 3 và tìm ma trận biểu diễn của f theo cơ sở B. Câu 6 Cho ma trận hệ số thực A = 2 2 1 1 3 1 1 2 2 . a) Tìm giá trị riêng và xác định cơ sở, số chiều của các không gian riêng của A. b) Chứng minh A chéo hóađược và tìm một ma trận P khả nghịch saocho P −1 AP là ma trận chéo. Tính A 20 . —————HẾT————— 5 4 Đại số, năm 2010, đợt 1, đề số 02 Câu 1 Cho G là một nhóm cyclic cấp n. Chứng minh rằng với mỗi ước số dương m của n tồn tại duy nhất một nhóm con H của G có cấp m. Kết quả trên còn đúng khi G không cyclic hay không? Tại sao? Câu 2 Trong vành R =M(2, R), xét I = a 0 b 0 : a,b ∈R . a) Chứng minh I là một vành con của R. b) I cólàmột ideal của R không? I cólàmột ideal phải hay idealtráicủaR không? Câu 3 Xác định các số tự nhiên n sao cho đa thức f (x) = x 2n +x n+1 −x −1 chia hết cho đa thức g(x) = x 2 +x +1 trong Q[x]. Câu 4 Trong không gian R 3 cho các véctơ phụ thuộc tham số m u 1 =(1;m; −1), u 2 =(1;2; 0), u 3 =(5;14; −2). a) Xác định tham số m để B(m) =(u 1 ,u 2 ,u 3 ) là một cơ sở của R 3 . b) Đặt B 1 = B(3) và B 2 = B(5). Chứng minh B 1 và B 2 là hai cơ sở của R 3 và tìm ma trận chuyển cơ sở từ B 1 sang B 2 . Câu 5 Cho f là toán tử tuyến tính trên R 3 thỏa [f ] B = 4 1 3 16 10 15 12 −7 −11 , trong đó B =(u 1 ,u 2 ,u 3 ) là cơ sở của R 3 với u 1 =(1;1; 2),u 2 =(0;1; 1),u 3 =(0;1; 2). a) Xác định biểu thức của f . b) Tìm số chiều và xác định một cơ sở cho mỗi không gian Im( f ), Ker(f ). Câu 6 Cho toán tử tuyến tính f trên R 3 định bởi f (x, y, z) =(−4x −4y −2z,x +2y +2z, −x −2y −3z). a) Tìm các trị riêng và xác định cơ sở, số chiều của các không gian riêng của f . b) Chứng minh f chéo hóa được và tìm một cơ sở B của R 3 sao cho ma trận biểu diễn [f ] B là một ma trận chéo và xác định ma trận chéo đó. —————HẾT————— 6 5 Đại số, năm 2011, đợt 1, đề số 01 Câu 1 Cho G là nhóm nhân cyclic cấp n sinh bởi x. Chứng minh rằng với m,k là hai số nguyên bất kì ta có 〈 x m 〉=〈x k 〉 khi và chỉ khi UCLN(m,n) =UCLN(k, n). Câu 2 . a) Xét vành Z n các số nguyên đồng dư modulo n. Tìm điều kiện của k ∈N để ánh xạ f : Z n →Z n định bởi f (x) =kx là một đồng cấu vành. b) Mô tả tất cả các tự đồng cấu của vành Z p với p nguyên tố. Câu 3 Cho đa thức với hệ số nguyên f (x) = x 6 +7x 5 +10x 4 −35x 3 −120x 2 −108x −16. a) Viết khai triển Taylor của f (x) tại x 0 =−2. b) Phân tích f (x) thành tích các đa thức bất khả qui trên Q. Câu 4 Trong không gian R 4 cho các vectơ u 1 =(1;2; −1;3), u 2 =(2;3; −2;5), u 3 =(1;1; 0;2), v 1 =(2;3; −1;5), v 2 =(1;2; −2;3), u 3 =(5;8; −5;13). Gọi W là không gian con của R 4 sinh bởi u 1 ,u 2 ,u 3 . a) Chứng minh B 1 =(u 1 ,u 2 ,u 3 ) là một cơ sở của W . b) Chứng minh B 2 =(v 1 , v 2 , v 3 ) là một cơ sở của W . Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B 1 sang B 2 . Câu 5 Trong không gian R 3 cho các vectơ u 1 =(1;1; 2), u 2 =(0;1; 1), u 3 =(0;1; 2), v 1 =(2;9; −3), v 2 =(0;3; −3), u 3 =(1;7; −4). a) Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính f trên R 3 thỏa f (u k ) =v k với mọi k =1,2,3 và xác định biểu thức của f . b) Tìm số chiều và xác định một cơ sở cho mỗi không gian Im( f ), Ker(f ). Câu 6 Cho ma trận hệ số thực A = 3 2 1 0 2 0 1 2 3 . a) Chéo hóa ma trận A. b) Cho f là toán tử tuyến tính trên R 3 thỏa [f ] B = A, trong đó B =(u 1 ,u 2 ,u 3 ) là cơ sở của R 3 với u 1 =(1;−1; 1), u 2 =(0;1; 1), u 3 =(1;1; 4). Tìm một cơ sở C của R 3 sao cho [f ] C là một ma trận chéo và xác định ma trận chéo đó. —————HẾT————— 7 6 Đại số, năm 2012, đợt 1, đề số 03 A. Phần Đại số tuyến tính Câu 1 Trong không gian vectơ M(2,2), không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2 trên R, cho E = M = a 0 b a +b : a,b ∈R và H =Sp v 1 = 1 0 1 2 , v 2 = 0 1 1 0 . a) Chứng minh rằng E ∩ H là không gian con của M(2,2) và tìm cho E ∩ H một cơ sở. b) Cho B = v 1 = 1 0 1 2 , v 2 = 0 1 1 0 là cơ sở của H, tìm v ∈E ∩H sao cho [v] B = 2 0 . Câu 2 Cho B 0 ={1, x, x 2 } là cơ sở chính tắc của P 2 ( x) và phép biến đổi tuyến tính T : P 2 ( x) →P 2 ( x) xác định bởi T (1) =3 +2x +x 2 , T (x) =2, T (x 2 ) =2x 2 . a) Tìm KerT và ImT . b) Biết B = 1,1+x,1 +x 2 là cơ sở của P 2 ( x). Tìm ma trận của T đối với cơ sở B, từ đó tìm đa thức p ∈P 2 ( x) sao cho T (p) B = 4 2 1 . c) Chứng minh rằng phép biến đổi tuyến tính T là chéo hóa được, từ đó tìm cho P 2 ( x) một cơ sở C để ma trận của T đối với cơ sở C là ma trận chéo. d) Áp dụng kết quả tìm được ở câu c) để tính T 4 (2 +x). B. Phần Đại số đại cương Câu 3 Cho X là một nhóm nhân. Giả sử tồn tại ba số nguyên liên tiếp k,k +1,k +2 sao cho với các phần tử a,b bất kì của X ta luôn có ( ab) k =a k .b k , (ab) k+1 =a k+1 .b k+1 và (ab) k+2 =a k+2 .b k+2 . Chứng minh rằng X là nhóm giao hoán. Câu 4 Cho X và Y là những nhóm nhân cyclic có cấp lần lượt là m và n. Chứng minh rằng X ×Y là một nhóm cyclic khi và chỉ khi m và n nguyên tố cùng nhau. Câu 5 Cho X là một vành giao hoán có đơn vị, và P là một ideal của X . Chứng minh rằng X /P là miền nguyên khi và chỉ khi P là ideal nguyên tố. Câu 6 Chứng minh rằng đa thức sau bất khả quy trong Q[x] f (x) = x 4 +5x 3 −2x 2 −6x +3. —————HẾT————— 8 7 Đại số, năm 2013, đợt 2, đề số 01 A. Phần Đại số tuyến tính Câu 1 Trong P 2 ( x), (không gian vectơ các đa thức bậc không quá 2 trên R), cho các tập E = p ∈P 2 ( x) | p(1) +p(−1) =0 H =Sp 1 +x,1+x 2 . a) Chứng minh rằng E ∩H là không gian con của P 2 ( x). b) Tìm một cơ sở của E ∩H. Câu 2 Cho ánh xạ T : P 1 ( x) →P 1 ( x), T ( a.1 +b.x ) =(4a +3b).1 −(2a +3b).x; a) Chứng minh rằng T là phép biến đổi tuyến tính. b) Chứng minh T chéo hóa được. c) Trong P 1 ( x) tìm cơ sở B sao cho [ T ] B là ma trận chéo. d) Biết p =(α +β).1 −(2α +β ).x, α,β ∈R , tính T 3 ( p). B. Phần Đại số đại cương Câu 3 Cho X , Y là các nhóm nhân cyclic có các phần tử sinh theo thứ tự là x và y, với các cấp tương ứng là s và t. a) Chứng minh qui tắc ϕ cho tương ứng mỗi phần tử x n ∈ X với phần tử y k n ∈Y , với k là một số tự nhiên khác không cho trước, là một đồng cấu nhóm khi và chỉ khi sk là bội của t. b) Tìm tất cả các đồng cấu từ nhóm cộng Z 3 đến nhóm cộng Z 15 . Câu 4 Trong trường số thực R xét các tập Q( 2) = a +b 2 | a,b ∈Q và Q( 7) = a +b 7 | a,b ∈Q . a) Chứng minh rằng Q( 2) và Q( 7) là các trường con của R. b) Chứng minh rằng Q( 2) và Q( 7) không đẳng cấu. Câu 5 Chứng minh rằng đa thức sau bất khả quy trong Q[x] f (x) =3x 4 +7x 3 −4x 2 +12x +9. —————HẾT————— 9 8 Đại số, năm 2014, đợt 1, đề số 01 A. Phần Đại số tuyến tính Câu 1 Trong R 3 cho tập E = x =(a,b,c) ∈R 3 | a −2b +c =0 . a) Chứng minh rằng E là không gian con của R 3 . b) Tìm một cơ sở của E, từ đó xây dựng cho E một cơ sở trực chuẩn từ cơ sở này. c) Cho F = y =(a +2b,b, a +b) | a,b ∈R là không gian con của R 3 , tìm cơ sở và số chiều của các không gian E ∩F , E +F . Câu 2 Cho ánh xạ f : P 2 ( x) →P 2 ( x), f a1 +bx +cx 2 =(a +2c)1 +bx +(2a +c)x 2 . a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính và tìm Ker(f ), Im(f ). b) Chứng tỏ f là chéo hóa được, từ đó tìm cho P 2 ( x) một cơ sở B sao cho [f ] B là ma trận chéo và viết ra ma trận chéo này. c) Giả sử p =1 +x +5x 2 , tìm f k ( p), k =2,3,. B. Phần Đại số đại cương Câu 3 Cho X ,Y là các nhóm nhân và X là một nhóm hữu hạn. Cho f : X →Y là một đồng cấu nhóm. Chứng minh rằng a) Cấp của phần tử a ∈ X chia hết cho cấp của phần tử f (a). b) Cấp của f (X ) chia hết cấp của X . Câu 4 Tìm tất cả các tự đồng cấu từ nhóm cộng các số hữu tỉ Q đến nhóm cộng các số nguyên Z. Câu 5 Tìm tất cả các trường con của trường các số hữu tỉ Q. Câu 6 Cho n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng vành Z n là một miền nguyên khi và chỉ khi n là một số nguyên tố. Câu 7 Trong Q[x], cho đa thức f (x) =2x 4 +13x 3 +39x 2 +58x +20. a) Hãy phân tích f (x) theo các lũy thừa của x +2. b) Đa thức f (x) có bất khả quy trong Q[x] không? Giải thích. —————HẾT————— 10 . giải toán: nguyenchiphuong.wordpress.com [2] Website khoa Sau Đại học, trường Đại học Cần Thơ: gs .ctu. edu.vn ∗ Email: maimantiep@gmail.com 2 1 Đại số, năm 2007, đề số 01 Câu 1 Chứng minh rằng tập