Toán Lớp 11 dãy số,ôn tập toán 11

Giới Hạn Nâng Cao Trang Giới Hạn Nâng Cao DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN A – LÝ THUYẾT CHUNG I – DÃY SỐ  Một hàm số u : N *   gọi dãy số vơ hạn, kí hiệu  un  Khi n  u  n  , un  u  n  gọi số hạng tổng quát dãy  un   Một hàm số u xác định tập hợp m số nguyên dương gọi dãy số hữu hạn  Dãy số  un  dãy số tăng un1  un  0, n  * Dãy số  un  dãy số giảm un1  un  0, n  *  Dãy số  un  gọi bị chặn tồn số M cho un  M , n  * Dãy số  un  gọi bị chặn tồn số M cho un  M , n  * Dãy số gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn II - CẤP SỐ CỘNG Định nghĩa:  un  cấp số cộng un1  un  d , với n  * , d số Các khái niệm: Cho cấp số cộng  un  , Khi đó:  un  u1   n  1 d : số hạng tổng quát cấp số cộng   d : công sai cấp số cộng Sn  u1  u2   un : tổng n số hạng cấp số cộng Tính chất: u u  un  n1 n1 n  Sn   u1  un  n  sn   2u1   n  1 d  III - CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa:  un  cấp số nhân  un1  un q , n  * Các khái niệm: un  u1.q n1 , n  : số hạng tổng quát cấp số nhân q : công bội cấp số nhân Tính chất:  un  un1.un1 n   Sn  u1   un  u1  q n  1 q 1 ; q 1 Trang Giới Hạn Nâng Cao B - BÀI TẬP DÃY SỐ Câu Cho dãy số có số hạng đầu là: 0,1;0,01;0,001;0,0001; Số hạng tổng quát dãy số có dạng? ,00 01 A u n  0     n chữ soá B u n  0 , 00 01 u  C n   10 n 1 n1 chữ số D u n  10 n 1 u1  Câu Cho dãy số u n  với  Số hạng tổng quát u n dãy số số hạng đây? u n 1  u n  n A u n  (n  1)n C u n   (n  1)n B u n   (n  1)n D u n   (n  1)(n  2) u1  Câu Cho dãy số  un  với  Số hạng tổng quát un dãy số số hạng un 1  un  n đây? A un   n  n  1 2n  1 B un   n  n  1 2n   C un   n  n  1 2n  1 D un   n  n  1 2n   Câu Cho dãy số  un  u1  với un 1  un  2n  Số hạng tổng quát un dãy số số hạng đây? A un    n  1 B un   n2 C un    n  1 D un    n  1 u1  2  Câu Cho dãy số  un  với  Công thức số hạng tổng quát dãy số là: u    n   un  A un   n 1 n Câu Cho dãy số  un  A un  B un  n 1 n C un   n 1 n D un   n n 1  u1  với  Công thức số hạng tổng quát dãy số là: un 1  un    n  1 B un    n  1 Trang C un   2n D un   2n Giới Hạn Nâng Cao  u1  Câu Cho dãy số  un  với  n Số hạng tổng quát u n dãy số số hạng u  u      n  n 1 đây? A un   n B un   n C un    1 2n D un  n u1  Câu Cho dãy số  un  với  n 1 Số hạng tổng quát u n dãy số số hạng un 1  un   1 đây? A un   n B un không xác định C un   n D un  n với n u1  Câu Cho dãy số  un  với  Số hạng tổng quát un dãy số số hạng un 1  un  n đây? A un   n  n  1 2n  1 B un   n  n  1 2n   C un   n  n  1 2n  1 D un   n  n  1 2n   u  Câu 10 Cho dãy số  un  với  Số hạng tổng quát un dãy số số hạng un 1  un  2n  đây? A un    n  1 B un   n2 C un    n  1 D un    n  1 u1  2  Câu 11 Cho dãy số  un  với  Công thức số hạng tổng quát dãy số là: un 1  2  u n  A un   n 1 n Câu 12 Cho dãy số  un  A un  B un  C un   n 1 n D un   n n 1  u1  với  Công thức số hạng tổng quát dãy số là: un 1  un    n  1 Câu 13 Cho dãy số  un  n 1 n B un    n  1 C un   2n D un  u1  1  với  un Công thức số hạng tổng quát dãy số là: un 1  Trang  2n Giới Hạn Nâng Cao n 1 A un   1   2 1 B un   1   2 n 1 1 C un    2 n 1 1 D un   1   2 n 1 u1  Câu 14 Cho dãy số  un  với  Công thức số hạng tổng quát dãy số này: un 1  2un A un  nn1 Câu 15 Cho dãy số  un  D un  C un  2n1 B un  2n  u1  với  Công thức số hạng tổng quát dãy số này: un 1  2un B un  A un  2n1 1 2n 1 C un  1 2n D un  2n2  u1  Câu 16 Cho dãy số  un  với  n Số hạng tổng quát u n dãy số số hạng u  u      n  n 1 đây? A un   n C un    1 B un   n 2n D un  n Câu 17 Đặt Tn      (có n dấu căn) Mệnh đề mệnh đề đúng? A Tn  B Tn  2cos  n 1 C Tn  cos  2n 1 D Tn  u1  2 Câu 18 Cho dãy số  S  u1  u2   u2018  2018 Khi S có chữ un 1  3un  số? A 963 B 962 C 607 D 608 u1  Câu 19 Cho dãy số  un  xác định cơng thức  Tìm giới hạn dãy 2018un 1  un  2017un un u u số Sn     ? u2  u3  un1  A lim Sn  2018 B lim Sn  2018 C lim Sn  2017 2018 D lim Sn  Câu 20 Cho dãy số  an  xác định a1  1; an 1   an  an  1, n  * Số hạng thứ 201 dãy 2 số  an  có giá trị bao nhiêu? A a2018  Câu 21 Cho dãy số  un  B a2018  C a2018  D a2018  u1  cos         xác định  Số hạng thứ 2017 dãy số cho là:  un u  ,  n   n 1  Trang Giới Hạn Nâng Cao    A u2017  cos  2016  2     B u2017  cos  2017  2     C u2017  sin  2016  2     D u2017  sin  2017  2  Câu 22 Cho dãy số  an  xác định a1  5, a2  an2  an1  6an , n  Số hạng thứ 14 dãy số hạng nào? A 3164070 B 9516786 C 1050594 D 9615090 Câu 23 Cho dãy số  an  xác định a1  3 an1  an  n  3n  4, n   * Số 1391 số hạng thứ dãy số cho? A 18 Câu 24 Biết B 17 C 20 D 19 1 an2  bn , a, b, c, d n số     1.2.3 2.3.4 n  n  1 n   cn  dn  16 nguyên dương Tính giá trị biểu thức T   a  c b  d  : A T  75 B T  364 C T  300 D T  256 n n  2018cos Câu 25 Cho dãy số  an  xác định an  2017sin Mệnh đề mệnh đề đúng? A an6  an , n  * B an9  an , n  * C an12  an , n  * D an15  an , n  * Câu 26 Cho dãy số A  an  có an  20 n a  , n   * Tìm số hạng lớn dãy số n n  100 B 30 C 25 D 21 u  n  2018  n  2017, n  * Khẳng định sau (u ) Câu 27 Cho dãy số n thỏa mãn n sai? A Dãy số (un ) dãy tăng B lim un  n  u , n  * D lim n 1  n  u 2018 n an  x  x  Câu 28 Cho dãy số n với xn  Dãy số n dãy số tăng khi: n2 C  un  A a  B a  C a  Câu 29 Trong dãy số sau dãy số dãy bị chặn ? A Dãy  an  , với an  n2  16, n   * B Dãy  bn  , với bn  n  , n   * 2n C Dãy  cn  , với cn  2n  3, n   * D Dãy  d n  , với d n  n , n   * n 4 Trang D a  Giới Hạn Nâng Cao Câu 30 Cho dãy số  un  với un  an  , a tham số Tìm tất giá trị a để dãy số  un  n 1 dãy số tăng A a  B a  C a  D a  n n  2cos Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ số hạng dãy số ( zn ) Tính giá trị biểu thức T  M  m2 Câu 31 Cho dãy số ( zn ) xác định zn  sin A T  13 B T  C T  18 D T  un 2017 Câu 32 Cho dãy số (un ) thỏa mãn u1  ; un1  n , n  1.Sn  u1  u2   un  2(n  1)un  2018 có giá trị nguyên dương lớn A 2017 B 2015 Câu 33 Cho hàm số f  x    x  3x   C 2016 cos 2017 x  D 2014 dãy số  un  xác định công thức tổng quát un  log f 1  log f     log f  n  Tìm tổng tất giá trị n thỏa mãn điều kiện un2018  ? A 21 B 18 C D 2018 f 1 f  3 f  2n  1 Câu 34 Cho f  n    n2  n  1  n * đặt un  Tìm số nguyên f   f   f  2n  10239 ? 1024 B n  29 dương n nhỏ cho log un  un   A n  23 C n  33 D n  21 Câu 35 Cho dãy số  an  thỏa mãn điều kiện a1  1; 5an1 an   với n  Tìm số 3n  nguyên dương n  nhỏ để an  ? A n  39 B n  41 C n  49 D n  123 n 1 n n n Câu 36 Cho dãy số  un  xác định u1  5; un1  un   2.3 với n  Tìm số nguyên nhỏ thỏa mãn unn  2n  5100 A 146 B 233 C 232 D 147 un  u4 n  u42 n   u42018 n a 2019  b  Câu 37 Biết L  lim  un  xác định c un  u2 n  u22 n   u22018 n u1  0; un1  un  4n  a, b, c số nguyên dương b  2019 Tính S  a  b  c ? A 1 B C 2017 D 2018 CẤP SỐ CỘNG Câu 38 Cho dãy số  un  (un) có u n  2n  Khẳng định sau sai? A Là cấp số cộng có u1  ; d  3 C Hiệu u n1  u n  B Số hạng thứ n+1: un 1  2(2n  1) 2(n  1)2  D Không phải cấp số cộng Trang Giới Hạn Nâng Cao Câu 39 Cho hai cấp số cộng  xn  : 4,7,10,  yn  :1,6,11, Hỏi 2018 số hạng cấp số có số hạng chung? A 404 B 673 C 403 D 672 Câu 40 Ba số phân biệt có tổng 217 coi số hạng liên tiếp cấp số nhân, coi số hạng thứ 2,thứ 9, thứ 44 cấp số cộng Hỏi phải lấy số hạng đầu cấp số cộng để tổng chúng 820? A 20 B 42 C 21 D 17 Câu 41 Cho cấp số cộng  un  biết u5  18 4Sn  S2 n Tìm số hạng u1 cơng sai d cấp số cộng A u1  2, d  B u1  2, d  C u1  2, d  D u1  3, d  Câu 42 Một cấp số cộng có tổng n số hạng đầu S n tính theo cơng thức Sn  5n2  3n,  n  *  Tìm số hạng đầu u1 công sai d cấp số cộng A u1  8, d  10 B u1  8, d  10 C u1  8, d  10 D u1  8, d  10 S S  77 S12  192 Tìm Câu 43 Cho cấp số cộng  un  gọi n tổng n số Biết số hạng tổng quát un cấp số cộng A un   4n B un   2n C un   3n D un   5n Câu 44 Cho ba số dương a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giá trị lớn biểu thức P a  8bc   2a  c   A có dạng x y  x, y    Hỏi x  y bao nhiêu: B 11 C 13 D Câu 45 Chu vi đa giác 158cm , số đo cạnh lập thành cấp số cộng với cơng sai d  3cm Biết cạnh lớn 44cm Số cạnh đa giác là: A B C D Câu 46 Chu vi đa giác n cạnh 158, số đo cạnh đa giác lập thành cấp số cộng với cơng sai d  Biết cạnh lớn có độ dài 44 Tính số cạnh đa giác A B C D Câu 47 Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Biết A C x tan tan   x, y    , giá trị x  y là: 2 y A B C D Câu 48 Cho số hạng dương a, b, c số hạng thứ m, n, p cấp số cộng cấp số nhân Tính giá trị biểu thức log2 a(bc ) b(c a) c (a b ) A B C Trang D Giới Hạn Nâng Cao Câu 49 Cho a  b  c  A  cota, cotb, cotc tạo thành cấp số cộng Gía trị cota.cotc B C D Câu 50 Cho a, b, c theo thứ tự tạo thành cấp số cộng Giá trị x  y biết P  log  a  ab  2b2  bc  c   x log  a  ac  c   y A  x, y    C 1 B D Câu 51 Cho ba (bố số chứ) số a, b, c, d theo thứ tự tạo thành cấp số nhân với công bội khác Biết 148 tổng ba số hạng đầu , đồng thời theo thứ tự chúng số hạng thứ nhất, thứ tư thứ tám cấp số cộng Tính giá trị biểu thức T  a  b  c  d ? 101 100 100 101 A T  B T  C T   D T   27 27 27 27 Câu 52 Cho cấp số cộng  un  Mệnh đề mệnh đề đúng? A  n  p  um   p  m  un   m  n  u p  B  m  n  um   n  p  un   p  m  u p  C  m  p  um   n  m  un   p  n  u p  D  p  n  um   m  p  un   m  n  u p  Câu 53 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 1 lập thành cấp , , b c c a a b số cộng Mệnh đề đúng? A Ba số a, b, c lập thành cấp số cộng 1 , , lập thành cấp số cộng a b c C Ba số a , b2 , c lập thành cấp số cộng B Ba số D Ba số a , b , c lập thành cấp số cộng Câu 54 Biết tồn giá trị x  0;2  để ba số  sin x,sin x,1  sin3x lập thành cấp số cộng, tính tổng S giá trị x 7 23 D S  Câu 55 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x3  3x2  x  m2   có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng A S  5 B S  3 C S  A m  16 B m  2 C m  D m  2 Câu 56 Biết tồn ba giá trị m1 , m2 , m3 tham số m để phương trình x3  x2  23x  m3  4m2  m   có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng, tính giá trị biểu thức P  m13  m23  m33 A P  34 B P  36 C P  64 D P  34 Câu 57 Biết tồn hai giá trị tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng: x4  10 x2  2m2  7m  , tính tổng lập phương hai giá trị A  343 B 721 C  Trang 721 D 343 Giới Hạn Nâng Cao Câu 58 Cho cấp số cộng  un  có u1  tổng 100 số hạng 24850 Tính giá trị biểu thức S  1 1 ?     u1u2 u2u3 u48u49 u49 u50 B S  A S  123 Câu 59 Cho cấp số cộng 23 C S   an  ; cấp số nhân  bn  246 D S  49 246 thỏa mãn a2  a1  0; b2  b1  hàm số f  x   x3  3x f  a2    f  a1  f  log b2    f  log b  cho Số nguyên dương n  nhỏ thỏa mãn điều kiện bn  2018an là? A 16 Câu 60 Cho cấp số cộng  u  B 15 C 17 D 18 có số hạng đầu u1  cơng sai d  3 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , lấy điểm A1 , A2 , cho với số nguyên dương n , điểm An có tọa độ  n; un  Biết tất điểm A1 , A2 , , An , nằm đường thẳng Hãy viết phương trình đường thẳng A y  3x  B y  3x  C y  x  D y  x  Câu 61 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị  C  hàm số y  3x  Với số nguyên dương n , gọi An giao điểm đồ thị  C  với đường thẳng d : x  n  Xét dãy số  un  với un tung độ điểm An Mệnh đề mệnh đề đúng? A Dãy số  un  cấp số cộng có cơng sai d  2 B Dãy số  un  cấp số cộng có cơng sai d  C Dãy số  un  cấp số cộng có cơng sai d  D Dãy số  un  cấp số cộng Câu 62 Trên tia Ox lấy điểm A1 , A2 , , An , cho với số nguyên dương n , OAn  n Trong nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa tia Ox , vẽ nửa đường trịn đường kính OAn , n  1, 2, Kí hiệu u1 diện tích nửa đường trịn đường kính OA1 với n  , kí hiệu un diện tích hình giới hạn nửa đường trịn đường kính OAn 1 , nửa đường trịn đường kính OAn tia Ox Mệnh đề đúng? A Dãy số  un  cấp số cộng   C Dãy số  un  cấp số cộng có cơng sai d  B Dãy số  un  cấp số cộng có cơng sai d  D Dãy số  un  khơng phải cấp số cộng có công sai d   Câu 63 Một sở khoan giếng đưa định mức sau: Giá từ mét khoan 100000 đồng kể từ mét khoan thứ hai, giá mét sau tăng thêm 30000 đồng so với giá mét khoan trước Một người muốn kí hợp đồng với sở khoan giếng để khoan giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt gia đình Hỏi sau hồn thành việc khoan giếng, gia đình phải tốn cho sở khoan giếng số tiền bao nhiêu? A 7700000 đồng B 15400000 đồng Trang 10 C 8000000 đồng D 7400000 đồng Giới Hạn Nâng Cao 721  9  Do       3 Câu 58 Cho cấp số cộng  un  có u1  tổng 100 số hạng 24850 Tính giá trị biểu thức S  1 1 ?     u1u2 u2u3 u48u49 u49 u50 B S  A S  123 Ta có: u100  u1  497  u100 Lại có: 5S  23 C S  246 D S  49 246 Hướng dẫn giải  496   99d  d   u50  246 u u u u u2  u1 u3  u2 1 49    49 48  50 49    1  S u1u2 u2u3 u48u49 u49u50 u1 u50 246 246 Câu 59 Cho cấp số cộng  an  ; cấp số nhân  bn  thỏa mãn a2  a1  0; b2  b1  hàm số f  x   x3  3x f  a2    f  a1  f  log b2    f  log b  cho Số nguyên dương n  nhỏ thỏa mãn điều kiện bn  2018an là? A 16 B 15 C 17 D 18 Hướng dẫn giải Tính bảng biến thiên: Vì f  a2   f  a1   a1 , a2   0;1 a2  1; a1  Tương tự log b2  log b1  Khi an  n  bn  2n1 Vậy bn  2018 an  n1  2018  n 1  Chọn A Câu 60 Cho cấp số cộng  u  có số hạng đầu u1  công sai d  3 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , lấy điểm A1 , A2 , cho với số nguyên dương n , điểm An có tọa độ  n; un  Biết tất điểm A1 , A2 , , An , nằm đường thẳng Hãy viết phương trình đường thẳng A y  3x  B y  3x  C y  x  Hướng dẫn giải Chọn A Số hạng tổng quát cấp số cộng  un  un  u1   n  1 d  3n  Trang 37 D y  x  Giới Hạn Nâng Cao Nhận thấy toạ độ điểm An thoả mãn phương trình y  3x  nên phương trình đường thẳng qua điểm A1 , A2 , , An , y  3x  Suy A phương án Câu 61 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị  C  hàm số y  3x  Với số nguyên dương n , gọi An giao điểm đồ thị  C  với đường thẳng d : x  n  Xét dãy số  un  với un tung độ điểm An Mệnh đề mệnh đề đúng? A Dãy số  un  cấp số cộng có cơng sai d  2 B Dãy số  un  cấp số cộng có cơng sai d  C Dãy số  un  cấp số cộng có cơng sai d  D Dãy số  un  cấp số cộng Hướng dẫn giải Chọn B Ta có An  n; un  un  3n  Do un1  un  3,  n  nên  un  cấp số cộng với công sai d  Suy B phương án Câu 62 Trên tia Ox lấy điểm A1 , A2 , , An , cho với số nguyên dương n , OAn  n Trong nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa tia Ox , vẽ nửa đường trịn đường kính OAn , n  1, 2, Kí hiệu u1 diện tích nửa đường trịn đường kính OA1 với n  , kí hiệu un diện tích hình giới hạn nửa đường trịn đường kính OAn 1 , nửa đường trịn đường kính OAn tia Ox Mệnh đề đúng? A Dãy số  un  cấp số cộng   C Dãy số  un  cấp số cộng có cơng sai d  B Dãy số  un  cấp số cộng có cơng sai d  D Dãy số  un  cấp số cộng có cơng sai d   Hướng dẫn giải Chọn B Bán kính đường trịn có đường kính OAn rn  n n n 2 Diên tích nửa đường trịn đường kính OAn Sn      2 Suy un  sn  sn1   2n  1  , n   2 n   n  1   8  1  Ta có u1      2 Do un 1  un   ,  n  nên  un  cấp số cộng với công sai d  Trang 38  Giới Hạn Nâng Cao Suy B phương án Câu 63 Một sở khoan giếng đưa định mức sau: Giá từ mét khoan 100000 đồng kể từ mét khoan thứ hai, giá mét sau tăng thêm 30000 đồng so với giá mét khoan trước Một người muốn kí hợp đồng với sở khoan giếng để khoan giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt gia đình Hỏi sau hồn thành việc khoan giếng, gia đình phải tốn cho sở khoan giếng số tiền bao nhiêu? A 7700000 đồng B 15400000 đồng C 8000000 đồng Hướng dẫn giải D 7400000 đồng Chọn A Gọi un giá mét khoan thứ n ,  n  20 Theo giả thiết, ta có u1  100000 un1  un  30000 với  n  19 Ta có (un ) cấp số cộng có số hạng đầu u1  100000 công sai d  30000 Tổng số tiền gia đình tốn cho sở khoan giếng tổng số hạng cấp số cộng (un ) Suy số tiền mà gia đình phải tốn cho sở khoan giếng S20  u1  u2   u20  20[2u1  (20  1)d ]  7700000 (đồng) Câu 64 Trên bàn cờ có nhiều vuông Người ta đặt hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đặt tiếp vào thứ hai số hạt dẻ nhiều ô 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt dẻ nhiều ô thứ hai 5, … tiếp tục đến ô cuối Biết đặt hết số ô bàn cờ người ta phải sử dụng hết 25450 hạt dẻ Hỏi bàn cờ có ơ? A 98 B 100 C 102 ô Hướng dẫn giải D 104 ô Chọn B Kí hiệu un số hạt dẻ thứ n Khi đó, ta có u1  un1  un  5, n  Dãy số  un  cấp số cộng với u1  cơng sai d  nên có n  2u1   n  1 d  5n2  9n Sn   2 5n2  9n Theo giả thiết, ta có  25450  n  100 Suy bàn cờ có 100 ô Câu 65 Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực việc trả lương cho kỹ sư theo phương thức sau: Mức lương quý làm việc cho công ty 13,5 triệu đồng/quý, kể từ quý làm việc thứ hai, múc lương tăng thêm 500.000 đồng quý Tính tổng số tiền lương kỹ sư nhận sau ba năm làm việc cho công ty A 198 triệu đồng B 195 triệu đồng C 228 triệu đồng Hướng dẫn giải D 114 triệu đồng Chọn B Kí hiệu un mức lương quý thứ n làm việc cho công ty Khi u1  13,5 un1  un  0,5, n  Dãy số  un  lập thành cấp số cộng có số hạng đầu u1  13,5 công sai d  0,5 Trang 39 Giới Hạn Nâng Cao Một năm có quý nbên năm có tổng 12 quý Số tiền lương sau năm tổng số tiền lương 12 quý tổng 12 số hạng cấp số cộng  un  Vậy, tổng số tiền lương nhận sau năm làm việc cho công 12. 2.13,5  11.0,5  195 (triệu đồng) Câu 66 Mặt sàn tầng nhà cao mặt sân 0,5m Cầu thang từ tầng lên tầng hai ty kỹ sư S12  gồm 21 bậc, bậc cao 18cm Kí hiệu hn độ cao bậc thứ n so với mặt sân Viết cơng thức để tìm độ cao hn A hn  0,18n  0,32  m  B hn  0,18n  0,5  m  C hn  0,5n  0,18  m  D hn  0,5n  0,32  m  Hướng dẫn giải Chọn A Ký hiệu hn độ cao bậc thứ n so với mặt sân Khi đó, ta có hn1  hn  0,18 (mét), h1  0,5 (mét) Dãy số  hn  lập thành cấp số cộng có h1  0,5 công sai d  0,18 Suy số hạng tổng quát cấp số cộng hn  0,5   n  1 0,18  0,18.n  0,32 (mét) Câu 67 Trên tia Ox lấy điểm A1 , A2 , , An , cho với số nguyên dương n, OAn  n Trong nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa tia Ox, vẽ nửa đường trịn đường kính OAn , n  1, Kí hiệu u1 diện tích nửa hình trịn đường kính OA1 với n  2, kí hiệu un diện tích hình giới hạn nửa đường trịn đường kính OAn1 , nửa đường trịn đường kính OAn tia Ox Chứng minh dãy số (un ) cấp số cộng Hãy xác định cơng sai cấp số cộng A d   B d   C d   Hướng dẫn giải Đáp án A Đặt OA0  0, ta có  2n  1  , n  OAn12     OAn 2 un        n   n  1   2 4  8 Trang 40 D d  2 Giới Hạn Nâng Cao Suy un1  un   2n  1    2n  1    , n  8 Do  un  cấp số cộng công sai d   CẤP SỐ NHÂN Câu 68 Cho tam giác ABC biết góc tam giác lập thành cấp số cộng có góc 25 Tìm góc lại? A 65,90 B 75,80 C 60,95 D 60,90 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: u1  u2  u3  180  25  25  d  25  2d  180  d  35 Vâỵ u2  60; u3  90 Câu 69 Cho dãy số  an  xác định a1  5, an1  q.an  với n  1, q số, a  0, q  Biết công thức số hạng tổng quát dãy số viết dạng an   q n 1   Tính   2 ? A 13 B C 11 D 16 Hướng dẫn giải Chọn C Cách Ta có: an1  k  q  an  k   k  kq   k  1 q Đặt  an  k  vn1  q.vn  q2 vn1   qn v1   Khi  q n 1.v1  q n 1  a1  k   q n 1     1 q      q n1 n 1  n 1  k  q    q  Vậy an   k  q n1      1q  1 q   1 q  1 q Do dó:   5;      2   2.3  11 Cách Theo giả thiết ta có a1  5, a2  5q  Áp dụng công thức tổng quát, ta   q11 11 a   q     1 q  , suy  1 a   q 21    q   q    1 q 5     , hay   5q    q        2   2.3  11 Trang 41  q n1 1 q Giới Hạn Nâng Cao Câu 70 Trong dịp hội trại hè 2017 bạn A thả bóng cao su từ độ cao 3m so với mặt đất, lần chạm đất bóng lại nảy lên độ cao hai phần ba độ cao lần rơi trước Tổng quãng đường bóng bay (từ lúc thả bóng lúc bóng khơng nảy nữa) khoảng: A 13m B 14m C 15m D 16m Hướng dẫn giải Chọn C Gọi S tổng quãng đường bóng bay, ta có: n 2 2 2 2 2 S   .3                 3 3 3 3 3 S tổng cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng u1  , công bội q  S nên u1  9 1 q 1 Vậy tổng quãng đường bay bóng khoảng 9m Do x  y   u1  u2  u3  u4  15 Câu 71 Có hai cấp số nhân thỏa mãn  với công bội q1 , q2 Hỏi giá 2  u1  u2  u3  u4  85 trị q1  q2 là: A B C D Hướng dẫn giải Đáp án C  u  q  12  u1  q  1  225   15  q  1  q  1 225   q 1   q  1    Biến đổi giả thiết thành  2  q  1  q8  1 85  u1  q  1  u12  q8  1  85    85  q 1  q  1  q  14q  17q  17q  17q  14    q  Do q1  q2  Câu 72 Cho tứ giác ABCD biết góc tứ giác lập thành cấp số cộng góc A 30o Tìm góc cịn lại? A 75,120,65 B 72,114,156 C 70o; 110o; 150o Hướng dẫn giải Trang 42 D 80o; 110o; 135o Giới Hạn Nâng Cao Chọn C Ta có: u1  u2  u3  u4  360  30  30  d  30  2d  30  3d  360  d  40 Vâỵ u2  70; u3  110; u  150 Câu 73 Cho cấp số cộng (un ) có u1  tổng 100 số hạng đầu 24850 Tính S 1    u1 u2 u2u3 u49u50 A S  246 B S  23 C S  123 D S  Hướng dẫn giải Chọn D Gọi d công sai cấp số cho Ta có: S100  50  2u1  99d   24850  d   5S  497  2u1 5 99 5    u1u2 u2u3 u49u50  u u u2  u1 u3  u2    50 49 u1u2 u2u3 u49u50  1 1 1 1         u1 u2 u2 u3 u48 u49 u49 u50  1 1 245     u1 u50 u1 u1  49d 246 S  49 246 Câu 74 Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức sau đúng? A a2  c2  2ab  2bc  2ac B a2  c2  2ab  2bc  2ac C a2  c2  2ab  2bc  2ac D a2  c2  2ab  2bc  2ac Hướng dẫn giải Chọn C a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng b  a  c  b   b  a    c  b   a  c  2ab  2bc 2  a  c  2c  2ab  2bc  2ab  2c  c  b   2ab  2c  b  a   2ab  2bc  2ac  u1  Câu 75 Cho dãy số  un  xác định sau:  Tính tổng u  u   n n     n  n 1 S  u2018  2u2017 Trang 43 49 246 Giới Hạn Nâng Cao A S  2015  3.42017 S  2015  3.42017 B S  2016  3.42018 C S  2016  3.42018 D Hướng dẫn giải Chọn C Câu 76 Cho số hạng thứ m thứ n cấp số nhân biết số hạng thứ (m  n) A , sổ hạng thứ (m  n) B số hạng đểu dương Số hạng thứ m là: m  B  2n A A    A m  An C   B AB B D  AB  n Hướng dẫn giải Chọn B u  A  u1.q m n 1 A  2n 2n Ta có  m n  A  Bq  q  m  n 1 B  umn  B  u1.q n m 1  um um  u1.q  A n n Mặt khác    q  um  A    AB m  n 1 A B  um n  u1.q m  B  2n Tương tự ta tính un  A    A Câu 77 Cho dãy số U n  xác định bởi: U1  U U U n 1 U n Tổng S  U1     10 U n 1  3n 10 bằng: A 3280 6561 B 29524 59049 C 25942 59049 D 243 Hướng dẫn giải Chọn B u n 1 u un  n 1  n  n u1 3n n 1 n u u2 1 u3 u2  u1 ;   u1 ;…; 10  u1 3 3 10 Khi đó: Ta có un1  1   10   u u u 1 3  29524 S  u1     10     10    10 3 59049 1 x Câu 78 Phương trình  a  a   a  1  a  1  a 1  a  với  a  có nghiệm? A B C Hướng dẫn giải Chọn B Trang 44 D Giới Hạn Nâng Cao  a x 1  1  a  1  a 1  a    a x 1   a8  x  Phương trình biến đổi thành 1 a Câu 79 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân: x3   3x  1 x   5m   x   A m  2 B m  C m  Hướng dẫn giải D m  4 Chọn B d 8   a Điều kiện cần để phương trình choc ó ba nghiệm lập thành cấp số nhân x   nghiệm phương trình Thay x  vào phương trình cho, ta  2m   m  Phương pháp 1: Ta có  Với m  2, ta có phương trình x3  x2  14 x    x  1; x  2; x  Ba nghiệm lập thành cấp số nhân nên m  giá trị cần tìm Vậy, B phương án Phương pháp 2: Kiểm tra phương án đến tìm phương án Câu 80 Biết tồn hai giá trị m1 m2 để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân: x3   m2  2m  1 x   m2  2m   x  54  Tính giá trị biểu thức P  m13  m23 A P  56 B P  C P  56 Hướng dẫn giải D P  8 Chọn A d 54  27 Ta có    a Điều kiện cần để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân x  27  phải nghiệm phương trình cho  m2  2m    m  2; m  4 Vì giả thiết cho biết tồn hai giá trị tham số m nên m  m  4 giá trị thỏa mãn Suy P  23   4   56 Câu 81 Ba số x, y, z lập thành cấp số cộng có tổng 21 Nếu thêm số 2;3;9 vào ba số (theo thứ tự cấp số cộng) ba số lập thành cấp số nhân Tính F  x2  y  z A F  389 F  395 C F  389 F  179 B F  395 F  179 D F  441 F  357 Hướng dẫn giải Chọn C Theo tính chất cấp số cộng, ta có x  z  y Kết hợp với giả thiết x  y  z  21 , ta suy y  21  y  Gọi d công sai cấp số cộng x  y  d   d z  y  d   d Trang 45 Giới Hạn Nâng Cao Sau thêm số 2;3;9 vào ba số x, y, z ta ba số x  2, y  3, z  hay  d ,10,16  d Theo tính chất cấp số nhân, ta có   d 16  d   102  d  7d  44  Giải phương trình ta d  11 d  Với d  11 , cấp số cộng 18,7, 4 Lúc F  389 Với d  , cấp số cộng 3,7,11 Lúc F  179 a  7, a6  224 Sk  3577 Tính giá trị biểu thức Câu 82 Cho cấp số nhân  an  có T   k  1 ak A T  17920 B T  8064 C T  39424 Hướng dẫn giải D T  86016 Chọn A Ta có a6  224  a1q5  224  q  (do a1  ) Do Sk  a1 1  q k  1 q   2k  1 nên Sk  3577   2k  1  3577  2k  29  k  Suy T  10a9  10a1q8  17920 Câu 83 Cho cấp số nhân  an  có a1  biểu thức 20a1 10a2  a3 đạt giá trị nhỏ Tìm số hạng thứ bảy cấp số nhân A a7  156250 B a7  31250 C a7  2000000 Hướng dẫn giải D a7  39062 Chọn B Gọi q công bội cấp số nhân  an  Ta có 20a1  10a2  a3   q  10q  20    q  5  10  10, q Dấu xảy q  Suy a7  a1.q6  2.56  31250 Câu 84 Trong mệnh đề đây, mệnh đề sai? A Dãy số  an  , với a1  an1  an  6, n  1, vừa cấp số cộng vừa cấp số nhân B Dãy số  bn  , với b1  bn1  2bn2  1  3, n  1, vừa cấp số cộng vừa cấp số nhân C Dãy số  cn  , với c1  cn1  3cn2  10 n  1, vừa cấp số cộng vừa cấp số nhân D Dãy số  d n  , với d1  3 dn1  2dn2  15, n  1, vừa cấp số cộng vừa cấp số nhân Hướng dẫn giải Chọn D Kiểm tra phương án đến tìm phương án sai + Phương án A:Ta có a2  3; a2  3; Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng chứng minh an  3, n  Do  an  dãy số khơng đổi Suy vừa cấp số cộng (công sai ) vừa cấp số nhân (công bội ) Trang 46 Giới Hạn Nâng Cao + Phương án B: Tương tự phương án A, bn  1, n  Do  bn  dãy số không đổi Suy vừa cấp số cộng (cơng sai ) vừa cấp số nhân (công bội ) + Phương án C: Tương tự phương án A, cn  2, n  Do  cn  dãy số khơng đổi Suy vừa cấp số cộng (công sai ) vừa cấp số nhân (công bội ) + Phương án D: Ta có: d1  3, d2  3, d3  Ba số hạng không lập thành cấp số cộng không lập thành cấp số nhân nên dãy số  d n  cấp số cộng không cấp số nhân Câu 85 Xét bảng ô vuông gồm  ô vng Người ta điền vào vng hai số 1 cho tổng số hang tổng số cột Hỏi có cách? A 72 B 90 C 80 D 144 Hướng dẫn giải Xét hàng (hay cột bất kì) Giả sử hàng có x số y số -1 Ta có tổng chữ số hàng x  y Theo đề có x  y   x  y Lần lượt xếp số vào hàng ta có số cách xếp 3!.3!.2.1 =72 (Cách) Câu 86 Số đo ba kích thước hình hộp chữ nhật lập thành cấp số nhân Biết thể tích khối hộp 125 cm3 diện tích tồn phần 175 cm2 Tính tổng số đo ba kích thước hình hộp chữ nhật A 30cm B 28cm C 31cm Hướng dẫn giải D 17,5cm Chọn D Vì ba kích thước hình hộp chữ nhật lập thành cấp số nhân nên ta gọi ba kích a thước , q, aq q a Thể tích khối hình hộp chữ nhật V  a.qa  a3  125  a  q Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật a   a 1 1 Stp   a  a.aq  aq   2a 1  q    50 1  q   q q q q   q   1 Theo giả thiết, ta có 50 1  q    175  2q  5q     q  q   kích thước hình hộp chữ nhật 2,5cm;5cm;10cm Suy tổng ba kích thước 2,5   10  17,5 cm Câu 87 Một hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng) Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên 10% Nhưng sau thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng lên 10% Hỏi giá mặt hàng A cửa hàng sau hai tăng giá bao nhiêu? A 120 B 121 C 122 D 200 Với q  q  Trang 47 Giới Hạn Nâng Cao Hướng dẫn giải Chọn B Sau lần tăng giá thứ giá mặt hàng A là: M1  100  100.10%  110 Sau lần tăng giá thứ hai giá mặt hàng A là: M  110  110.10%  121 Câu 88 Một người đem 100 triệu đồng gửi tiết kiệm với kỳ han tháng, tháng lãi suất 0, 7% số tiền mà người có Hỏi sau hết kỳ hạn, người lĩnh tiền? A 108  0, 007  (đồng) B 108 1, 007  (đồng) 5 C 108  0, 007  (đồng) D 108 1, 007  (đồng) 6 Hướng dẫn giải Chọn D Số tiền ban đầu M  108 (đồng) Đặt r  0,7%  0,007 Số tiền sau tháng thứ M1  M  M r  M 1  r  Số tiền sau tháng thứ hai M  M1  M1r  M 1  r  Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu Do M  108 1, 007  M  M 1  r  Câu 89 Tỷ lệ tăng dân số tỉnh M 1, 2% Biết số dân tỉnh M triệu người Nếu lấy kết xác đến hàng nghìn sau năm số dân tỉnh M bao nhiêu? A 10320 nghìn người C 2227 nghìn người B 3000 nghìn người D 2300 nghìn người Hướng dẫn giải Chọn C Đặt P0  2000000  2.106 r  1, 2%  0,012 Gọi Pn số dân tỉnh M sau n năm Ta có: Pn1  Pn  Pn r  Pn 1  r  Suy  Pn  cấp số nhân với số hạng đầu P0 công bội q   r Do số dân tỉnh M sau 10 năm là: P9  M 1  r   2.106 1, 012   2227000 10 Câu 90 Tế bào E Coli điều kiện nuôi cấy thích hợp 20 phút lại nhân đơi lần Nếu lúc đầu có 1012 tế bào sau phân chia thành tế bào? A 1024.1012 tế bào B 256.1012 tế bào C 512.1012 tế bào Hướng dẫn giải D 512.1013 tế bào Chọn C Lúc đầu có 1022 tế bào lần phân chia tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với u1  1022 công bội q  Do 20 phút phân đôi lần nên sau có lần phân chia tế bào Ta có u10 số tế bào nhận sau Vậy, số tế bào nhận sau u10  u1q9  512.1012 Trang 48 Giới Hạn Nâng Cao Câu 91 Người ta thiết kế tháp gồm 11 tầng theo cách: Diện tích bề mặt tầng nửa diện tích mặt tầng bên diện tích bề mặt tầng nửa diện tích đế tháp Biết diện tích đế tháp 12288m2 , tính diện tích mặt A 6m2 B 12m2 C 24m2 Hướng dẫn giải D 3m2 Chọn A Gọi u0 diện tích đế tháp un diện tích bề mặt tầng thứ n , với  n  11 Theo giả thiết, ta có un 1  un  n  10 Dãy số  un  lập thành cấp số nhân với số hạng đầu u0  12288 công bội q  11 1 Diện tích mặt tháp u11  u0 q11  12288    m2 2 Câu 92 Một tứ giác lồi có số đo góc lập thành cấp số nhân Biết số đo góc nhỏ số đo góc nhỏ thứ ba Hãy tính số đo góc tứ giác A 50 ,150 , 450 , 2250 B 90 , 270 ,810 , 2430 C 70 , 210 ,630 , 2690 Hướng dẫn giải D 80 ,320 ,720 , 2480 Chọn B Phương pháp 1: Kiểm tra dãy số phương án có thỏa mãn yêu cầu tốn khơng + Phương án A : Các góc 50 ,150 , 450 , 2250 không lập thành cấp số nhân 150  3.50 ; 450  3.150 ; 2250  3.450 + Phương án B : Các góc 90 , 270 ,810 , 2430 lập thành cấp số nhân 90  270  810  2430  3600 Hơn nữa, 90  810 nên B phương án + Phương án C D : Kiểm tra phương án A Phương pháp 2: Gọi góc tứ giác a, aq, aq , aq3 , q  1 Theo giả thiết, ta có a  aq nên q  Suy góc tứ giác a,3a,9a, 27a Vì tổng góc tứ giác 3600 nên ta có: a  3a  9a  27a  3600  a  90 Do đó, phương án B (vì ba phương án cịn lại khơng có phương án có góc 90 ) Câu 93 Tam giác mà ba đỉnh ba trung điểm ba cạnh tam giác ABC gọi tam giác trung bình tam giác ABC Ta xây dựng dãy tam giác A1B1C1 , A2 B2C2 , A3 B3C3 , cho A1B1C1 tam giác cạnh với số nguyên dương n  , tam giác An BnCn tam giác trung bình tam giác An1Bn1Cn1 Với số nguyên dương n , kí hiệu S n tương ứng diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác An BnCn Tính tổng S  S1  S2   Sn  ? Trang 49 Giới Hạn Nâng Cao A S  15 B S  4 C S  9 D S  5 Hướng dẫn giải Chọn B   *Gọi Ri bán kính đường trịn ngoại tiếp Ai Bi Ci i  1; n Ta có R1  OA1  *Dễ thấy V 1  o;  2  V 1  o;  2  A1 A2   S1  3 : A1B1C1  A2 B2 C2  R2  : A2 B2C2  A3 B3C3  R3  Tương tự, ta có: Sn  1 R1  S2  S1 1 R2  R1  S3  S1 4 S1 4n 1  1  Suy ra: S  S1  S2   Sn   S1 1     n1    4   S1 1 1  S1  4 (Áp dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn) Câu 94 Cho tam giác ABC cân đỉnh A Biết độ dài cạnh đáy BC, đường cao AH cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân cơng bội q Gía trị q A 2 B 2 C 1 Hướng dẫn giải Trang 50 D 1 Giới Hạn Nâng Cao Chọn C A BC, AH , AB theo thứ tự lập thành CSN  AH  BC AB    AB  q2   BC Ta có: BC AB AB  AB.BC  4 1  BC BC AB 1  q BC AH  AB  B C H Câu 95 Mô ̣t công ty trách nhiê ̣m hữu ̣n thực hiê ̣n viê ̣c trả lương cho các ki ̃ sư theo phương thức sau: mức lương của quý làm viê ̣c đầ u tiên cho công ty là 15 triê ̣u đồ ng/quý kể từ quý làm việc thứ hai mức lương sẽ đươ ̣c tăng thêm 1,5 triê ̣u đờ ng mỡi quý Hãy tính tổng số tiền lương kĩ sư nhâ ̣n sau năm làm viê ̣c cho công ty A 495 triệu đồng B 279 triệu đồng C 384 triệu đồng D 558 triệu đồng Hướng dẫn giải Chọn B Câu 96 Một hình vng ABCD có cạnh AB  a, diện tích S1 Nối trung điểm A1 , B1 , C1 , D1 theo thứ tự cạnh AB, BC, CD, DA ta hình vng thứ hai A1B1C1D1 có diện tích S Tiếp tục thế, ta hình vng thứ ba A2 B2C2 D2 có diện tích S3 tiếp tục thế, ta diện tích S4 , S5 , Tính S  S1  S2   S100 2100  A S  99 a B S  a  2100  1 299 C S  a  2100  1 299 Hướng dẫn giải Đáp án C Dễ thấy S1  a ; S2  a2 a2 a2 ; S3  ; ; S100  99 Như S1 , S2 , S3 , , S100 cấp số nhân với công bội q  S  S1  S2   S100 2 100  a   1  1  a 1     99    299  2 Trang 51 D S  a  299  1 299 ... Câu 28 Cho dãy số n với xn  Dãy số n dãy số tăng khi: n2 C  un  A a  B a  C a  Câu 29 Trong dãy số sau dãy số dãy bị chặn ? A Dãy  an  , với an  n2  16, n   * B Dãy  bn ... Một hàm số u xác định tập hợp m số nguyên dương gọi dãy số hữu hạn  Dãy số  un  dãy số tăng un1  un  0, n  * Dãy số  un  dãy số giảm un1  un  0, n  *  Dãy số  un  gọi bị chặn...  Câu 29 Trong dãy số sau dãy số dãy bị chặn ? A Dãy  an  , với an  n2  16, n   * B Dãy  bn  , với bn  n  , n   * 2n C Dãy  cn  , với cn  2n  3, n   * D Dãy  d n  , với