ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11 ĐẦY DỦ NHẤT

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11 ĐẦY DỦ NHẤT ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11 ĐẦY DỦ NHẤT ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11 ĐẦY DỦ NHẤT ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11 ĐẦY DỦ NHẤT ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11 ĐẦY DỦ NHẤT ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11 ĐẦY DỦ NHẤT

ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT Phần 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Chương IV: GIỚI HẠN §1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I. Tóm tắt lý thuyết: 1. Giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực: a). Giới hạn hữu hạn  +∞→n lim u n = a ⇔ +∞→n lim (u n – a) = 0 b). Giới hạn vô cực:  +∞→n lim u n = + ∞  +∞→n lim u n = – ∞ ⇔ +∞→n lim (–u n ) = + ∞  Chú ý: Thay vì viết: +∞→n lim u n = a; +∞→n lim u n = ∞± , ta viết tắt: lim u n = a; lim u n = ∞± 2. Các giới hạn đặc biệt: a). lim 0 1 = n ; lim 0 1 = k n ; limn k = + ∞ ( với k nguyên dương) b).    >∞+ < = 1: ;. 1: ; 0 lim qneu qneu q n c). limc = c ( với c là hằng số ) 3. Định lí về giới hạn hữu hạn: a). Nếu limu n = a và limv n = b, thì:  lim(u n .v n ) = a.b  b a v u n n =lim ( nếu 0 ≠ b ) b). Nếu * ;0 Nnu n ∈∀≥ , và limu n = a, thì au n =lim . 4. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực: a). Nếu lim u n = a và lim v n = ∞± thì 0lim = n n v u . b). Nếu lim u n = a > 0, lim v n = 0 và v n > 0 ∀ n thì +∞= n n v u lim c). Nếu limu n = + ∞ và limv n = a > 0 thì lim(u n .v n ) = +∞ 5. Cấp số nhân lùi vô hạn: a). Định nghĩa: CSN lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội q thỏa mãn 1<q . b). Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 1 2 ( 1) 1 n u S u u u q q = + + + + = ≠ − II. Các dạng bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm giới hạn sau: a). lim(2n 2 + 3n – 1) b). lim(– n 2 – n + 3) c). lim(3n 3 – n 2 + n + 5) Bài 2 Tìm giới hạn sau: a). 3 3n n lim 2n 15 − + b). 32 23 lim + − n n c). n n 63 75 lim − − d). nn n 32 54 lim 2 2 + − e). nn nn − ++ 2 2 2 1 lim f). 367 135 lim 2 2 −+ ++ nn nn g). 132 )2)(12( lim 2 +− +− nn nn h). )1)(225( 135 lim 2 −+ +− nn nn i). 13 )12)(( lim 3 2 −+ −+ nn nnn j). 3 12 lim 2 ++ + nn nn k). 4 2 2 3 5 lim 7 6 9 n n n n + + + + l). 3 2 5 (2 3 ) ( 1) lim 1 4 n n n − + − m). 1 23 lim 2 2 +− +− nn nnn n). 2 2 1 4 2 lim 3 n n n n + − − − + o). ( 1)( 3) lim ( 2)( 4) n n n n + + + + p). 2 (2n 1)(n 2) lim 2n 3n 1 − + − + q). 2 5n 5n 1 lim (5n 2)(n 4) + − + − r). 2 3 (n n)(2n 1) lim n 3n 1 + − + − s). 3 2 3 5 1 lim 4 n n n − + + t). 2 2 lim 1 n n   −  ÷ +   x). 2 1 4n 9n lim 1 2n + + − Bài 3: Tìm các giới hạn sau: http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 1 ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT a). nn nn 2.53.2 32 lim + + b). nn nn 3.55 3.25.3 lim + − c). nn nn 7.55 7.25.7 lim − − d). nn nn 6.53.5 6.23.7 lim − + Bài 4: Tìm các giới hạn sau: a). )12lim( +−+ nn b). )153lim( −−+ nn c). )112lim( 2 +−−+ nnn d). 2 2 lim( 1)n n n+ − − e). nn nnn −+ +−+ 1 3 lim 2 2 f). nn nnn −+ +− 1 lim 2 2 g). nn nnn 22 1232 lim 2 2 −+ ++−− h). 2 2 lim( 2 1 1)n n n n+ + − + − i). nnn nnn −+ −−+ 2 2 12 lim Bài 5: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: a). ; 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 1 +−+−+−=S b). ; 2 1 2 1 12 +−+−=S c). ; 2 1 22 1 12 12 ++ − + − + =S §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I. Tóm tắt lý thuyết: 1). Giới hạn hữu hạn: 2). Giới hạn vô cực: 3). Các giới hạn đặc biệt: ):Định lí 1: a). 0 0 lim xx xx = → b). cc xx = → 0 lim c). cc x = ±∞→ lim d). lim 0 k x c x →±∞ = e). +∞= +∞→ k x xlim (với k nguyên dương) f).    ∞− ∞+ = −∞→ lekneu chankneu x k x ; ; lim 4). Định lí về giới hạn hữu hạn: a). Nếu Lxf xx = → )(lim 0 và Mxg xx = → )(lim 0 , thì:  ;)]()([lim 0 MLxgxf xx +=+ →  ;)]()([lim 0 MLxgxf xx −=− →  ;.)]().([lim 0 MLxgxf xx = →  )0(; )( )( lim 0 ≠= → M M L xg xf xx ; b). Nếu 0)( ≥xf và Lxf xx = → )(lim 0 , 0≥L thì: .)(lim 0 Lxf xx = → Chú ý: ĐL1 vẫn đúng khi +∞→x hoặc −∞→x ):Định lí 2: LxfxfLxf xxxx xx ==⇔= −+ →→ → )(lim)(lim)(lim 00 0 5). Quy tắc về giới hạn vô cực: Lxf xx = → )(lim 0 ; ±∞= → )(lim 0 xg xx a). Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x ): )(lim 0 xf xx→ )(lim 0 xg xx→ )().(lim 0 xgxf xx→ L > 0 ∞+ ∞+ ∞− ∞− L < 0 ∞+ ∞− ∞− ∞+ b). Quy tắc tìm giới hạn của thương )( )( xg xf : )(lim 0 xf xx→ )(lim 0 xg xx→ Dấu của g(x) )( )( lim 0 xg xf xx→ L ∞± Tùy ý 0 L > 0 0 + ∞+ – ∞− L < 0 0 + ∞− – ∞+ http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 2 Xem SGK ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT II. Các dạng bài tập áp dụng: A. Tìm giới hạn hàm số: bằng cách thay số trực tiếp: 1/ 2 1 lim( 2 1) x x x →− + + 2/ 2 3 1 lim 1 x x x →− − + 3/ 1 lim( 2 1) x x x → + + 4/ 2 1 3 1 lim 1 x x x x →− + − − B. Các dạng vô định: 0 , , , 0. 0 ∞ ∞ − ∞ ∞ ∞ khử dạng vô định. I. Dạng vô định: 0 0 * Đặc điểm: là phân thức, x → số: 0 ( ) lim ( ) x x f x g x → * Cách làm:  Nếu tử, mẫu không chứa căn thức: ta phân tích thành nhân tử rồi rút gọn nhân tử giống nhau (sử dụng sơ đồ Hooc – ne: đối với hàm bậc 2 trở lên)  Nếu tử, mẫu có chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp. o 2 2 : ( )( )A B A B A B− + = − o 2 2 3 3 3 2 2 3 3 : ( )( ) ( )( ) A B A AB B A B A B A AB B A B + − + = + − + + = − Bài 1: Tìm các giới hạn: 1/ → → → + − − + + = = = − + + − 2 2 2 2 2 6 ( 2)( 3) 3 5 lim lim lim ( 2)( 2) 2 4 4 x x x x x x x x x x x x 2/ →− − − + + + 4 2 3 2 3 6 27 lim 3 3 x x x x x x 3/ 2 3 2 1 2 3 1 lim 1 x x x x x x → − + − + − 4/ →− + + + + 2 2 1 5 4 lim 3 2 x x x x x 5/ → − − + − − 3 2 3 2 3 9 2 lim 6 x x x x x x 6/ → − + − + 3 4 1 3 2 lim 4 3 x x x x x 7/ → − + − − 3 2 2 3 4 4 3 lim 3 x x x x x x 8/ 2 3 2 1 3 2 lim 1 x x x x x x → − + − − + − 9/ → − + + − + 3 2 2 3 5 15 lim 2 11 15 x x x x x x 10/ →− − − − − 3 2 3 1 5 6 1 lim 7 10 3 x x x x x 11/ 2 2 1 2 3 lim 2 1 x x x x x → + − − − 12/ 2 2 4 lim 2 x x x →− − + 13/ 2 2 1 2 3 lim 2 1 x x x x x → + − − − 14/ 3 0 (1 ) 1 lim x x x → + − Bài 2: Tìm các giới hạn: 1/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) → → → → − − − − + − − − = = = = + − + − + − 2 2 0 0 0 0 2 4 2 4 2 4 2 4 1 1 lim lim lim lim 4 2 4 2 4 2 4 x x x x x x x x x x x x x x 2/ → − − − 2 3 5 1 lim 2 x x x 3/ → − − + 2 2 lim 3 7 x x x 4/ → − − 5 5 lim 5 x x x 5/ → − − − 7 2 3 lim 7 x x x 6/ → + − 0 4 2 lim x x x 7/ → − − − 1 2 1 lim 1 x x x x 8/ → − + − + 1 1 lim 2 2 3 1 x x x x 9/ →− + − − 3 3 lim 10 2 4 x x x 10/ → − − − 6 6 lim 2 2 x x x 11/ → + − + − 4 5 2 1 lim 4 x x x x 12/ → + − 0 lim 1 1 x x x 13/ → + − − 4 2 1 3 lim 4 x x x http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 3 ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT 14/ 5 5 4 5 lim 5 x x x →− − − + 15/ → + − − 3 2 10 4 lim 3 x x x 16/ → + − − 6 3 3 lim 6 x x x Bài 3: Tìm các giới hạn: 1/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 lim lim lim 3 2 ( 1)( 2) 2 3 ( 1)( 2) 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x → → → − + − + + + − + = = − + − − − + − + + − − + + + ( ) ( ) 1 1 2 2 (1 )(1 ) (1 ) 1 lim lim 2 ( 1)( 2) 2 3 ( 2) 2 3 x x x x x x x x x x → → − + − + = = = − − − + + + − + + + 2/ → − + + − 3 2 1 4 3 lim 2 7 3 x x x x 3/ → + − − 2 5 4 3 lim 25 x x x 4/ →− + + − 2 3 3 lim 3 2 x x x x x 5/ 2 3 2 3 3 lim 3 10 3 x x x x → + − − + 6/ 2 1 5 2 7 lim 2 1 3 x x x x x → + − − + 7/ → + − − 2 2 5 4 lim 2 x x x 8/ 2 1 1 lim 6 3 3 x x x x →− + + + 9/ 2 2 1 3 2 4 2 lim 3 2 x x x x x x → − − − − − + 10/ → + − 2 0 1 1 lim x x x 11/ 2 1 3 2 7 lim 4 3 x x x x x →− + − + + 12/ 2 0 9 5 4 3 lim x x x x → + + − 13/ 2 2 7 3 lim 4 → + − − x x x 14/ 2 5 4 2 lim 25 x x x x → + − − − 15/ 2 0 1 3 1 lim x x x x x → − + − + 16/ 2 7 2 3 lim 49 x x x → − − − Bài 4: Tìm các giới hạn: 1/ 2 2 lim 4 1 3 x x x x → − + + − 2/ 4 3 5 lim 1 5 x x x → − + − − 3/ 1 2 1 lim 5 2 x x x →− + − + − 4/ 2 2 0 1 1 lim 4 16 → + − − + x x x 5/ 9 7 2 5 lim 3 x x x → + − − 6/ 2 2 0 4 2 lim 9 3 x x x → − − − − 7/ 8/ 9/ Bài 5: Tìm các giới hạn: 1/ 3 0 1 4 1 lim x x x → + − 2/ 3 2 10 2 lim 2 x x x → − − − 3/ 3 0 3 lim 1 1 x x x → − + 4/ 3 2 4 2 lim 2 x x x → − − II. Dạng vô định: ∞ ∞ (áp dụng cho dãy số và hàm số): * Đặc điểm: là phân thức, x → ±∞ : ( ) lim ( ) x f x g x →±∞ * Cách làm:  Nếu bậc tử ≤ bậc mẫu ta chia cả tử và mẫu cho x có mũ cao nhất  Nếu bậc tử > bậc mẫu ta đặt x có mũ cao nhất của tử, x có mũ cao nhất của mẫu ra sau đó rút gọn.  Nếu tử, mẫu có căn thức thì ta phải đưa x có mũ cao nhất trong căn ra ngoài trước  Nếu có dạng . . lim . . n n n n a b p c q d α β + + + + thì ta xem a, b, c, d số lớn nhất ta chia cả tử và mẫu cho số đó. * Nhớ:  2 0 :x x x x x→ +∞ ⇒ ≥ = = http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 4 ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT  2 0 :x x x x x→ −∞ ⇒ < = = − Bài 1: Tìm các giới hạn: 1/ 2 3 2 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 2 3 1 2 1 3 2 1 lim lim lim 1 1 2 1 2 1 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →+∞ →+∞ →+∞ − + − − + − − + − = = = − − + − + − + 2/ 3 2 3 3 2 1 lim 1 7 9 x x x x x x →−∞ + − − − − 3/ 2 3 2 2 1 lim 2 1 x x x x x x →+∞ − + + − − 4/ 2 6 lim 4 x x x →+∞ − − 5/ 2 2 1 lim 3 x x x x →+∞ − + − + 6/ 2 17 lim 1 x x →+∞ + 7/ 3 3 2 10 3 1 lim 6 4 7 x x x x x x →+∞ + − − + Bài 2: Tìm các giới hạn: 1/ 2 3 ( 2)(3 2 ) lim 1 5 6 x x x x x →+∞ − − + − 2/ 2 5 lim 2 1 x x x x →−∞ − + − 3/ 2 2 1 lim 2 2 x x x x x x →+∞ + + − − 4/ 2 2 2 lim 8 5 2 x x x x x →−∞ + + + − 5/ 2 2 2 3 (3 1)(10 9) lim (2 3) (4 7) x x x x x →+∞ + + − + 6/ 2 2 1 lim 1 x x x x →+∞ − + − 7/ 2 2 1 lim 9 3 x x x x →−∞ − + − 8/ 2 2 4 lim 3 1 x x x x x →−∞ − + − − 9/ 2 2 3 lim 4 2 x x x →−∞ + + 10/ 2 2 4 ( 1) (7 2) lim (2 1) x x x x →−∞ − + + 11/ 2 3 (2 1)(5 3) lim (2 1)( 1) x x x x x →+∞ + + − − 12/ III. Dạng vô định: ∞ − ∞ (áp dụng cho dãy số và hàm số): * Đặc điểm: 1 biểu thức – căn thức; căn thức – 1 biểu thức; căn thức – căn thức. * Cách làm: Lưu ý khi tính 2 x  Nếu hệ số của mũ lớn nhất trong căn bằng bình phương hệ số của mũ lớn nhất ngoài căn thì ta nhân lượng liên hợp. o 2 2 : ( )( )A B A B A B− + = − o 2 2 3 3 3 2 2 3 3 : ( )( ) ( )( ) A B A AB B A B A B A AB B A B + − + = + − + + = −  Nếu không có dạng trên thì ta đặt x có mũ cao nhất làm nhân tử chung Bài 1: Tìm các giới hạn: 1/ ( ) 2 lim 4 2 x x x x →−∞ − + 2/ ( ) 2 lim 4 2 x x x x →+∞ − − 3/ ( ) 2 lim 9 1 3 x x x →+∞ + − 4/ ( ) 2 lim 1 1 x x x →−∞ + + − 5/ ( ) 2 2 lim 4 x x x x →+∞ + − + 6/ ( ) 2 lim 1 x x x x →+∞ + + − 7/ ( ) 2 lim 2 5 4 4 1 x x x x →+∞ − − − + 8/ ( ) 2 lim 5 7 x x x x →−∞ + + + 9/ ( ) 2 lim 3 5 x x x x →−∞ + + + 10/ ( ) 2 lim 5 3 25 2 x x x x →+∞ − − − 11/ ( ) 2 lim 2 4 5 x x x →+∞ − − 12/ ( ) 2 lim 4 16 x x x x →+∞ − + 13/ ( ) 2 lim 9 3 3 2 x x x →−∞ + + − 14/ ( ) 2 2 lim 1 1 x x x x x →−∞ − + − + + Bài 2: Tìm các giới hạn: 1/ ( ) 2 lim 2 3 5 x x x →−∞ − − 2/ ( ) 2 lim 2 5 4 x x x →+∞ − + 3/ IV. Dạng vô định: 0.∞ (áp dụng cho dãy số và hàm số): http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 5 ĐỀ CƯƠNG ƠN TỐN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT * Cách làm: sử dụng các phương pháp như ở các dạng trên Bài 1: Tìm giới hạn các hàm số: 1/ ( ) 2 lim 1 x x x x →−∞ + − 2/ ( ) 2 lim 4 9 2 x x x x →−∞ + + 3/ V. Dạng giới hạn 1 bên: * Đặc điểm: là hàm số phân thức, x → số ( 4 , 2 , + − * Cách làm:  Nếu trong biểu thức khơng có dấu giá trị tuyệt đối ta: o Tìm lim (tử) o Tìm lim(mẫu) = 0 o Xét dấu mẫu o Kết luận: kết quả = +∞ −∞  Nếu trong biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối: ta phải xét dấu để bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi mới giải Bài 1: Tìm các giới hạn: 1/ 1 2 7 lim 1 x x x − → − − 2/ 1 2 7 lim 1 x x x + → − − 3/ 2 2 3 5 lim ( 2) x x x → − − 4/ 4 2 5 lim 4 x x x − → − − 5/ 2 2 3 1 lim 2 x x x x + → − + − 6/ 3 2 1 lim 3 x x x − → − − VI. Dạng số. ∞ : * Đặc điểm: lim[ ( ). ( )] x f x g x →±∞ . Lưu ý khi tính 2 x * Cách làm:  Đưa về dạng lim[ ( ). ( )] x f x g x →±∞  Tìm lim ( ) x f x →±∞ = ∞  Tìm →±∞ =lim ( ) x g x số  Kết luận: →±∞ +∞ ∞ = −∞ ∞ , lim[ ( ). ( )] , x nếu và số cùng dấu f x g x nếu và số khác dấu Bài tập: Tìm giới hạn các hàm số: 1/ 4 2 lim ( 1) x x x x →+∞ − + − 2/ 3 2 lim ( 2 3 5) x x x →−∞ − + − 3/ 2 lim ( 3 5 4) x x x →+∞ − + + 4/ 4 2 lim ( 3 2 7) x x x x →−∞ − + − + 5/ ( ) 2 lim 2 5 x x x →−∞ − + §3. HÀM SỐ LIÊN TỤC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng: o Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x 0 ∈ (a; b) nếu: ( ) ( ) 0 0 lim x x f x f x →   =   . Điểm x 0 tại đó f(x) khơng liên tục gọi là điểm gián đoạn của hàm số. o f(x) xác định trên khoảng (a; b) http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 6 ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT liên tục tại điểm x 0 ∈ (a; b) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x + − → → →       ⇔ = = =       . o f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng ấy. o f(x) xác định trên khoảng [a; b] được gọi là liên tục trên khoảng [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim x a x b f x f a f x f b + − → →    =       =     2. Một số định lý về hàm số liên tục: o Định lý 1: f(x) và g(x) liên tục tại x 0 thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , . , 0 f x f x g x f x g x g x g x ± ≠ cũng liên tục tại x 0 . o Đinh lý 2: a/ Các hàm đa thức (hàm bậc 1, bậc 2, bậc 3,…) liên tục trên toàn bộ tập số thực ¡ . o b/ Hàm hữu tỷ (đa thức chia đa thức), hàm lượng giác (sin, cos, tan, cot) liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. o Định lý 3: f(x) liên tục trên đoạn [a; b] thì nó đạt GTLN, GTNN và mọi giá trị trung giữa GTLN và GTNN trên đoạn đó. • Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0 . Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b). B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. 1. Xét tính liên tục của hàm số dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 x x a x=x g x f x  ≠  =    tại 0 x x= o Tìm ( ) = 0 f x a o Tìm ( ) 0 lim x x g x →     . Hàm số liên tục tại x 0 ( ) 0 lim x x g x a →   ⇔ =   . 2. Xét tính liên tục của hàm số dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 x x a x=x g x f x  ≠  =    trên toàn trục số o Tìm tập xác định D = o 0 x x≠ : o 0 x x= :  Tìm ( ) 0 f x a=  Tìm ( ) 0 lim x x g x →     .  So sánh ( ) 0 lim x x g x →     và ( ) 0 f x  Kết luận http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 7 ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT 3. Xét tính liên tục của hàm số dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x<x x=x x>x g x f x a h x   =    tại 0 x x= o Tìm : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim lim lim lim x x x x x x x x f x g x f x g x f x − − + + → → → →      =           =         . Hàm số liên tục tại x = x 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim x x x x f x f x f x a + − → →     ⇔ = = =     . 4. Xét tính liên tục của hàm số dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x<x x=x x>x g x f x a h x   =    trên toàn trục số o Tìm tập xác định: D = o 0 x x< o 0 x x> o 0 x x=  Tìm : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim lim lim lim x x x x x x x x f x g x f x g x f x − − + + → → → →      =           =         . Hàm số liên tục tại x = x 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim lim x x x x f x f x f x a + − → →     ⇔ = = =     . 5. Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b). o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. o Chứng tỏ f(a). f(b) < 0 Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b). Nếu chưa có (a; b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x) = 0 có hai, ba nghiệm thì ta tìm hai, ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x) = 0 đều có nghiệm. C. CÁC VÍ DỤ. 1. Cho hàm số: ( ) ( ) ( )  − ≠  = −    2 1 x 1 1 a x=1 x f x x a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số tại x 0 = 1. Giải + D = ¡ . + Ta có f(1) = a. http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 8 ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT + ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 1 lim lim lim 1 2 1 1 x x x x x x x x x → → → − + − = = + = − − + Nếu a = 2 thì hàm số liên tục tại x 0 = 1. + Nếu a ≠ 2 thì hàm số gián đoạn tại x 0 = 1. 2. Cho hàm số: ( ) ( ) ( ) 2 1 x 0 x x 0 x f x  + >  =  ≤   . Xét tính liên tục của hàm số tại x 0 = 0. Giải + D = ¡ + Ta có f(0) = 0 + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 0 0 0 0 lim lim 0 lim lim 1 1 0= lim lim x x x x x x f x x f x x f x x − − + + − − → → → → → →   = =       = + = ≠ =     . Vậy hàm số không liên tục tại x 0 = 0. 3. Cho hàm số: ( ) ( ) ( )  + ≥  =  <   2 2 x 1 x +x-1 x 1 ax f x . Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số. Giải + x >1 ta có f(x) = ax + 2 hàm số liên tục. + x < 1 ta có f(x) = x 2 + x - 1 hàm số liên tục. + Khi x = 1: Ta có f(1) = a + 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 lim lim 2 2 lim lim 1 1 x x x x f x ax a f x x x + + − − → → → →   = + = +     = + − =   . Hàm số liên tục tại x 0 = 1 nếu a = -1. Hàm số gián đoạn tại x 0 = 1 nếu a ≠ -1. Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1. Hàm số liên tục trên ( ) ( ) ;1 1;−∞ ∪ +∞ nếu a ≠ -1. D. BÀI TẬP. Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau: 1, 2 4 2 ( ) 2 4 2 x voi x f x x voi x  − ≠ −  = +   − = −  tại x = -2 2, f(x) = 2 x 1 nÕu x 3 3 x 4 nÕu x 3  − +  ≠  −  =  tại x = 3 3, 2 2 ( ) 1 2 x voi x f x x voi x  <  =  − ≥   tai x = 0 4,    − = 2 12 )( x x xf 1, 1, ≥ < x x tại x = 1 Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng 1, 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 x voi x f x x voi x  − ≠  = −   =  2, 2 1 2 ( 2) ( ) 3 2 x voi x x g x voi x −  ≠  − =   =  http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 9 ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT 3,        −− = 2 1 11 )( x x xf 0, 0, = ≠ x x 4, ( ) 2 2 x > 2 2 5 x 2 x x khi f x x x khi  − −  = −   − ≤  5, ( ) 1 2 f x x = − 6, ( ) 3 1f x x = − + Bài 3: Tìm số thực a sao cho các hàm số liên tục trên R: 1, 2 1 ( ) 2 3 1 x voi x f x ax voi x  < =  − ≥  2, ( ) 2 2 x 1 1 x = -1 x x khi f x x a khi  − − ≠ −  = +    Bài 4: 1, CMR phương trình 7 5 3 2 0x x + − = có ít nhất một nghiệm Xét hàm số ( ) 7 5 3 2f x x x = + − liên tục trên ¡ nên f(x) liên tục trên [0;1] Và ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 0 0 . 1 0 1 2 0 f f f f  = − <  ⇒ <  = >   Nên phương trình ( ) 0f x = có ít nhất một nghiệm ( ) 0 0;1x ∈ , vậy bài toán được chứng minh. 2, CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 3 2 10 7 0x x− − = 3, CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: 3 1000 0,1 0x x+ + = 4, CMR: Phương trình x 4 -3x 2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2). 5, Chứng minh phương trình 2 sin cos 1 0x x x x + + = có ít nhất một nghiệm ( ) 0 0;x π ∈ . 6, Chứng minh phương trình ( ) ( ) 3 1 2 2 3 0m x x x − − + − = luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau: a) 2 4 -2 ( ) 2 4 -2 x khi x f x x khi x  − ≠  = +   − =  tại x 0 = -2 b) 2 4 3 khi x<3 ( ) 3 5 khi 3 x x f x x x  − +  = −   ≥  tại x 0 = 3 c) 2 2 3 5 1 ( ) 1 7 1 x x khi x f x x khi x  + − >  = −   ≤  tại x 0 = 1 d) 2 1 3 ( ) 3 3 3 x khi x f x x khi x  − + ≠  =  −  =  tại x 0 = 3 e/ 2 2 2 ( ) 2 2 2 2 x khi x f x x khi x  − ≠  = −   =  tại x 0 = 2 f) 2 2 ( ) 1 1 3 4 2 x khi x f x x x khi x −  >  = − −   − ≤  tại x 0 = 2 ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng: a) 2 3 2 2 ( ) 2 1 2 x x khi x f x x khi x  − + ≠  = −   =  b) ( ) 2 1 2 2 ( ) 3 2 x khi x x f x khi x −  ≠  − =   =  c) ( ) 2 2 x 2 2 5 x 2 x x khi f x x x khi  − − >  = −   − ≤  d) ( ) 2 2 0 0 1 2 1 1 x khi x f x x khi x x x khi x <   = ≤ <   − − + ≥  http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 10 [...]... AB 2.Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD a) Chứng minh AO vuông góc với CD b) Gọi M là trung điểm của CD Tính góc giữa AC và BM http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 27 ĐỀ CƯƠNG ƠN TỐN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT 3.Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có tất cả các cạnh đều bằng nhau Chứng minh rằng AC ⊥ B′D′, AB′ ⊥ CD′, AD′ ⊥ CB′ §3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT... thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R Gọi E là điểm đối tâm của D trên đường tròn (O) Chứng minh rằng: a) Tam giác SDE vuông tại S b) SD ⊥ CE c) Tam giác SCD vuông VẤN ĐỀ 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp: Xác đònh góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 30 ĐỀ CƯƠNG ƠN TỐN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT... ABD cùng vuông góc với đáy DBC Vẽ các đường cao BE, DF của ∆BCD, đường cao DK của ∆ACD a) Chứng minh: AB ⊥ (BCD) b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC) c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC CMR: OH ⊥ (ADC) http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 35 ĐỀ CƯƠNG ƠN TỐN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT 6.Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥... vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD a) Tính các cạnh của ∆SIJ và chứng minh rằng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB) b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ CMR: SH ⊥ AC c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM ⊥ SA Tính AM theo a 11. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều... http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 24 ĐỀ CƯƠNG ƠN TỐN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT Bài tập 1 Cho tứ diện ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là trung điểm của EF uu uu uu uu r r r r r a) Chứng minh: IA r IB + IC uuuu = 0 r uuu + uuur + ID uuuu uuu r r b) Chứng minh: MA + MB + MC + MD = 4 MI , với M tuỳ ý uuu uuur uuuu uuuu r r r c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố đònh (P) sao cho: MA + MB + MC + MD nhỏ nhất 2 Chứng minh... (SCD) 3.Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA ⊥ (ABC) và SA = a Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 33 ĐỀ CƯƠNG ƠN TỐN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC) 4.Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA ⊥ (ABCD) Tính SA theo a để... trình: a) x 4 − 5 x + 2 = 0 có ít nhất một nghiệm b) x 5 − 3 x − 7 = 0 có ít nhất một nghiệm c) 2 x 3 − 3 x 2 + 5 = 0 có ít nhất một nghiệm d) 2 x 3 − 10 x − 7 = 0 có ít nhất 2 nghiệm e) cosx = x có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; π/3) f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm g) x 3 + 3 x 2 − 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt ( ) ( x + 1) + x − x − 3 = 0 ln có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2)... tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm M 0 ( x0 , y0 ) ∈ ( C ) là : y = f ' ( x0 ) × x −x0 ) + y0 ( 2.2 Ý nghĩa vật lí : http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 11 ĐỀ CƯƠNG ƠN TỐN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT • Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : s = s ( t ) tại thời điểm t0 là v ( t0 ) = s ' ( t0 ) • Cường độ tức thời của điện lượng Q = Q ( t ) tại thời điểm... giác ABC.A'B'C' có : tích (biểu thò ) các véc tơ Bài giải : Theo hình vẽ thì : theo các véc tơ Hãy phân A C B http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm C' A' 25 B' ĐỀ CƯƠNG ƠN TỐN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT Bài tập 1 Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA lấy điểm M uuu r uuu r r 1 uuu 2 uuuu 2 uuu 1 uuu r r r MN = AB + SC HD: Chứng minh 3 3 uuu r sao cho MS = −2... AC ' và BD http://123doc.org/trang-ca-nhan-165450-nguyen-van-chuyen.htm 26 ĐỀ CƯƠNG ƠN TỐN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT 2.Cho hình tứ diện ABCD, trong đó AB ⊥ BD Gọi P và Q là các điểm lần lượt thuộc các uur u uuu uuu r r uuu r uuu r uuu r đường thẳng AB và CD sao cho PA = kPB, QC = kQD (k ≠ 1) Chứng minh AB ⊥ PQ §2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC r r r 1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng: a ≠ 0 là VTCP của d nếu giá . 0 + ∞− – ∞+ http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 2 Xem SGK ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT II. Các dạng bài tập áp dụng: A. Tìm giới hạn hàm số: bằng cách thay số trực tiếp: 1/ 2 1 lim(. số lớn nhất ta chia cả tử và mẫu cho số đó. * Nhớ:  2 0 :x x x x x→ +∞ ⇒ ≥ = = http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 4 ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT  2 0. x −  ≠  − =   =  http://123doc.org/trang - ca - nhan - 165450 - nguyen - van - chuyen.htm 9 ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 11 ĐẦY ĐỦ NHẤT 3,        −− = 2 1 11 )( x x xf 0, 0, = ≠ x x 4, ( ) 2 2 x > 2 2 5 x 2 x x khi f