ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11 ĐẦY DỦ NHẤT

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11 ĐẦY DỦ NHẤT ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11 ĐẦY DỦ NHẤT ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11 ĐẦY DỦ NHẤT ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11 ĐẦY DỦ NHẤT ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11 ĐẦY DỦ NHẤT ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11 ĐẦY DỦ NHẤT

Phần 1: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

§1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I Tóm tắt lý thuyết:

1 Giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực:

a) Giới hạn hữu hạn

 n lim u n = a n lim (u n – a) = 0

b) Giới hạn vô cực:

 n lim u n = +

 n lim u n = – n lim (–u n ) = +

 Chú ý: Thay vì viết: n lim u n = a;

;.

1 :

;

0 lim

q neu q neu

u

n

n

 lim ( nếu b  0)b) Nếu u n  0 ; nN*, và limu n = a, thì lim u n  a

4 Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực:

a) Nếu limu n = a và limv n = thì lim  0

c) Nếu limu n = + và limv n = a > 0 thì lim(u n v n) =

5 Cấp số nhân lùi vô hạn:

a) Định nghĩa: CSN lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có

công bội q thỏa mãn q  1

b) Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

Bài 1: Tìm giới hạn sau:

a) lim(2n 2 + 3n – 1) b) lim(– n 2 – n + 3) c) lim(3n3 – n 2 + n + 5)

Bài 2 Tìm giới hạn sau:

2 3 lim

7 5 lim





d)

n n

n

3 2

5 4

n n

1 3 5 lim 2

n n

g)

132

)2)(

12

n n

h)

) 1 )(

2 25 (

1 3 5 lim

n n

i)

1 3

) 1 2 )(

n n n

j)

3

1 2

1 4

n n n

m)

1

2 3

n n

(5n 2)(n 4)

 

2 3

(n n)(2n 1)lim

n 3n 1

 s)

3 2

a) n n

n n

2 5 3

.

2

3 2

3 5 5

3 2 5 3 lim





n n

7 5 5

7 2 5 7 lim





d)

n n

n n

Bài 4: Tìm các giới hạn sau:

a) lim( n 2  n 1 ) b) lim( 3n 5  n 1 ) c) lim( 2 2 1 1 )

n n n

3 lim

2

2

n n

n n n







 1

lim

2 2

g)

n n

n n n

2 2

1 2 3 2 lim

2 2

n n n

1 8

1 4

1 2

1 1

1 1 2

1 2

f L

x f

x x x

x x

0

5) Quy tắc về giới hạn vô cực:

L x f

x x

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x ):

)(lim

0

x f

x

0

x g

x

0

x g x f

x x

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương g f((x x)):

)(lim

0

x f

x

0

x g

x x Dấu của g(x) lim (( ))

0 g x

x f

x x

thì: lim ( ) .

0

L x f

1

x

x x

3 2lim

 



2 2 1

(1 ) 1lim

x

x x

5

x

x x

2 2

x

x x

x

x x

6

x

x x

4 3lim

3lim

5 4lim

2

x

x x

5 2

x

x x

1 1lim



2 2 0

 Nếu bậc tử  bậc mẫu ta chia cả tử và mẫu cho x có mũ cao nhất

 Nếu bậc tử  bậc mẫu ta đặt x có mũ cao nhất của tử, x có mũ cao nhất của mẫu ra sau đó rút gọn

 Nếu tử, mẫu có căn thức thì ta phải đưa x có mũ cao nhất trong căn ra ngoài trước

2lim

(2 1)(5 3)lim

III Dạng vô định:    (áp dụng cho dãy số và hàm số):

* Đặc điểm: 1 biểu thức – căn thức; căn thức – 1 biểu thức; căn thức – căn thức

IV Dạng vô định: 0. (áp dụng cho dãy số và hàm số):

* Cách làm: sử dụng các phương pháp như ở các dạng trên

x

x x

1 Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng:

o Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b) Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 (a; b) nếu:

o f(x) xác định trên khoảng (a; b)

 Hệ quả: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm

c (a; b) sao cho f(c) = 0 Tức là có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b)

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

5 Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).

o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a; b]

o Chứng tỏ f(a) f(b) < 0

Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b)

Nếu chưa có (a; b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b Muốn chứng minh f(x) = 0

có hai, ba nghiệm thì ta tìm hai, ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x) = 0 đều cónghiệm

+ Nếu a = 2 thì hàm số liên tục tại x0 = 1.

+ Nếu a2 thì hàm số gián đoạn tại x0 = 1

Hàm số liên tục tại x0 = 1 nếu a = -1

Hàm số gián đoạn tại x0 = 1 nếu a  -1

Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1 Hàm số liên tục trên    ;1    1;  nếu a  -1

(

x

x x

( )

x voi x x

x x

f

0 ,

0 ,

2, CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2x310x 7 0

3, CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x31000x0,1 0

4, CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2)

5, Chứng minh phương trình x2sinx x cosx  có ít nhất một nghiệm 1 0 x00;

6, Chứng minh phương trình m x 1 3 x 22x 3 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a)

2 4 -2

ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục

Bài 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:

( )

3 2

x

khi x x

c) hsliên tục trên R ; d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 1), (1; +) và bị gián đọan tại x = 1.

Bài 7: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0

a)  

1 1

e) cosx = x có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; /3)

f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm

g) x33x21 0 có 3 nghiệm phân biệt

h) 1 m2 x13x2 x 3 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m

1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

1.1 Định nghĩa :Cho hàm số yf x  xác định trên khoảng a b; và x0a b; , đạo hàm của hàm số tại

0

0 0

 Nếu hàm số yf x có đạo hàm tại x0thì nó liên tục tại điểm đó.

2 Ý nghĩa của đạo hàm

2.1 Ý nghĩa hình học: Cho hàm số yf x  có đồ thị  C

 f x' 0 là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị  C của hàm số yf x  tại M0x y0, 0   C

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yf x tại điểm M0x y0, 0   C là :

 0  0 0

'

yf x  x x y

2.2 Ý nghĩa vật lí :

 Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : s s t   tại thời điểm t0 là

 0 ' 0

v t s t .

 Cường độ tức thời của điện lượng Q Q t  tại thời điểm t0 là : I t 0 Q t' 0

3 Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm

 sinxcosx  sinuu cos u

 cosx sinx  cosuu.sinu

khi khi

Bài 5 Có bao nhiêu tiếp tuyến của  C :y x 3 3x26x 5 có hệ số góc âm ?

1.4. Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1 Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

11

x x y

( 1)( 1)

x y

Ví dụ 6 Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a) y  2 sin 3 cos 5x x ; b) sin cos

 Chú ý : Khi gặp các hàm số phức tạp nếu có thể ta hãy rút gọn hàm số rồi hãy đi tính đạo hàm , đặc biệt là

đối với các hàm số có chứa các hàm số lượng giác.

Ví dụ 7.Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

e)

2 3



211

x x y

x x

y

2cos2

sin

2

2cos2sin

1 tan

1 tan

x y

f

sin 1

; 2 '

; '

; 0

Bài 11 Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a) y3 sin 4xcos4x  2 sin6xcos6x ;

x

x y

g) sin sin 2 sin 3 sin 4

cos cos 2 cos3 cos 4

Bài 13 Cho các hàm số : f x  sin 4x cos 4x , g x  sin 6 x cos 6x Chứng minh : 3f' x  2g' x  0

Bài 14. a) Cho hàm số y x 1 x 2 Chứng minh : 2 1 x2 y' y

b) Cho hàm số ycot 2x Chứng minh : 2

Bài 16 Cho hàm số 1 3 2 1 2 4

3

y x  m x mx Tìm m để : a) y ' 0 cĩ hai nghiệm phân biệt ;

b) y' cĩ thể viết được thành bình phương của nhị thức ; (*)

b) y ' 0 cĩ hai nghiệm phân biệt cùng âm ;

c) y ' 0 cĩ hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : x12  x22  3

Bài 18 Cho hàm số

2

mx x y

x

 



 Xác định mđể hàm số cĩ y ' 0,  x 1 ; 

Bài 19. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: y x 33x2mx m

cĩ y ' 0 trên một đoạn cĩ độ dài bằng 1 (*)

Bài 20 Cho hàm số y mx 4m2 9x210 1  m là tham số Xác định mđể hàm số cĩ y ' 0 cĩ 3 nghiệm phân biệt

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

2.1. Phương pháp :

 Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến của đồ thị  C :yf x tại M x 0 ; y0, có phương trình là :

 Giải phương trình (1) tìm x0 suy ra y0 f x 0

 Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng : y k x x   0y0

 Chú ý :

 Hệ số góc của tiếp tuyến tại M x y 0, 0   C là kf x 0 tan Trong đó  là góc giữa chiều dương của trục hoành và tiếp tuyến

 Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau

 Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng  1

 Biết tiếp tuyến đi qua điểm A x y 1; 1:

 Viết phương trình tiếp tuyến của yf x  tại M x0 0 ; y0 : yf x'  0 x x 0y0  1

 Vì tiếp tuyến đi qua A x y 1; 1 y1f x'  0 x1 x0f x   0 *

 Giải phương trình(*) tìm x0 thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến

2.2. Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1.Cho đường cong  C :yf x x3 3x2 Viết phương trình tiếp tuyến của  C trong các trường hợp sau :

a) Tại điểm M01 ; 2  ;

b) Tại điểm thuộc  C và có hoành độ x 0 1 ;

c) Tại giao điểm của  C với trục hoành

d) Biết tiếp tuyến đi qua điểmA  1 ; 4 

Ví dụ 2.Cho đường cong  : 3 1





 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt

trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O

(Khối A – 2009)

Ví dụ 5 Cho hàm số yx33x2 2  C Tìm các điểm thuộc đồ thị C mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị  C .

(Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, 1999)

Ví dụ 6 Cho  C là đồ thị của hàm số y 6x x 2 Chứng minh tiếp tuyến tại một điểm bất kì của  C cắt trục tung tại một điểm cách đều gốc tọa độ và tiếp điểm

2.3. Bài tập áp dụng:

Bài 21 Cho hàm số  C :y x 2 2x3 Viết phương trình tiếp với  C :

a) Tại điểm có hoành độ x 0 2 ;

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4x y  9 0 ;

c) Vuông góc với đường thẳng : 2x4y 2011 0 ;

d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A1 ; 0

a) Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm M  1 ; 1  ;

b) Vết phương trình tiếp tuyến của  C tại giao điểm của  C với trục hoành;

c) Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại giao điểm của  C với trục tung ;

d) Viết phương trình tiếp tuyến của  C bết tiếp tuyến song song với đường thẳng  d : 4x y  1 0 ; e) Viết phương trình tiếp tuyến của  C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng   : 4x y  8 0

Bài 23 Cho hàm số : y x 3 3x2  C

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại điểm I1 ; 2 

b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị  C không đi qua I

Bài 24 Cho hàm số y 1 x x 2  C .Tìm phương trình tiếp tuyến với  C :

a) Tại điểm có hoành độ 0 1

2

x  ;

b) Song song với đường thẳng :  d :x2y0

Bài 25. Cho hàm số y x 33mx2m1x1 1  , m là tham số thực

Tìm các giá trị của mđể tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ x 1 đi qua điểm A1 ;2

(Dự bị A 1 - 2008)

Bài 26. Cho hàm số 3 1  1

1

x y x

 Gọi I1 ; 2 Tìm điểm M C sao cho tiếp tuyến của  C tại M

vuông góc với đường thẳng IM.

(Dự bị B 2 - 2003)

Bài 30. (*) Cho hàm số yx2x1  C Tìm điểm M C , biết tiếp tuyến của  C tại M cắt hai trụctọa độ tại A B, và tam giác OAB có diện tích bằng 1

2

  có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị

 C Viết phương trình các tiếp tuyến ấy

Bài 34. (*) Cho hàm số

( )1

Dựa theo định nghĩa và công thức sau :

 Cho hàm số yf x có đạo hàm f x  thì tích f x .x được gọi là vi phân của hàm số



Ví dụ 5. Tìm các đạo hàm cấp n của các hàm số sau :

a) ysin4xcos4x ; b) y 8sin cos3 cos 4x x x

 Chú ý : Khi tìm đạo hàm cấp n của một hàm số , nếu được ta hãy biến đổi hàm số đã cho thành tổng của các hàm số có một trong các dạng :



1 ; sin ; cosax ax

cho và chứng minh lại bằng quy nạp (nếu cần)

4.3. Bài tập áp dụng:

Bài 39. Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau :

a) yx.cos3x tìm y ; b) y  sin22 x tìm y ;

Bài 40. Chứng minh các đẳng thức sau :

a) xy 2y' sin xxy" 0 nếu y xsinx;

b) 182y 1 y"  0 nếu y cos 2 3x

c) y" y  0 nếu

x x

x x

y

cos sin 1





  ;d) 4 22 5 3

f) Cho ycos3x Chứng minh y2n   1 3n 2n y

5 Dùng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn

5.1. Phương pháp :

Ta có thể sử dụng định nghĩa của đạo hàm :      

0 0

3 2 3

lim

1

n x

1 lim

x n

1 3 1

n m x

x x

x sin

1 1

2 lim

3 2 0

e)

x x



2

cos 3 1 sin 3 lim

x

x x

1 Định nghĩa và các phép toán

 Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàntoàn tương tự như trong mặt phẳng

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: a và b cùng phương a  (0)   !k R b ka:  

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý Ta có:

 Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặtphẳng.

 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a b c, , , trong đó a và b  không cùngphương Khi đó: a b c, , đồng phẳng  ! m, n  R: c ma nb  

 Cho ba vectơ a b c, ,  không đồng phẳng, x tuỳ ý

Khi đó: ! m, n, p  R: x ma nb pc   

3 Tích vô hướng của hai vectơ

 Góc giữa hai vectơ trong không gian:

) 180 0

( ,

v u v AC u AB

 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

+ Cho u v  , 0 Khi đó: u v u v    .cos( , )u v 

+ Với u0 hoặc v0 Qui ước: u v   0

+ u v u v   0

VẤN ĐỀ 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ

Dựa vào qui tắc các phép toán về vectơ và các hệ thức vectơ.

Ví dụ : Cho tứ diện ABCD Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC G là

trọng tâm của tam giác BCD.Chứng minh rằng :

Bài giải :

Như ta dã biết ,trong tam giác BCD ,nếu G là trọng tâm thì :

Theo quy tắc ba điểm ta có :( Kết quả của ví dụ 1)

b) Cũng theo quy tắc ba điểm ,ta có ba kết quả sau :

, với M tuỳ ý

c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố định (P) sao cho: MA MB MC MD  

   

nhỏ nhất

2. Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kì, các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh

đối đồng qui tại trung điểm của chúng (Điểm đồng qui đó được gọi là trọng tâm của tứ

diện)

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng.

Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng

 Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các

cách:

+ Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.

+ Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:

Nếu có m, n  R: c ma nb   thì a b c, , đồng phẳng

 Để phân tích một vectơ x theo ba vectơ a b c, ,  không đồng phẳng, ta tìm các số m,

n, p sao cho: x ma nb pc   

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC).Trên SA lấy điểm M

sao cho ,và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng

Bài giải :

Đặt : Khi đó ta biểu diễn ba véc tơ theo ba véc tơ

Ta có

Chứng tỏ ba véc tơ đồng phẳng

Ví dụ 2 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có : Hãy phân tích (biểu thị ) các véc tơ theo các véc tơ

C'

b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho FM CN FA CE 13 Các đường thẳngvẽ từ M và N song song với CF lần lượt cắt DF và EF tại P và Q Chứng minh ba vectơ, ,

4.Cho tứ diện OABC Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

a) Phân tích vectơ OG theo các ba OA OB OC  , ,

b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện OABC Phân tích vectơ OD theo ba vectơ OA OB OC  , ,

5.Cho hình hộp OABC.DEFG Gọi I là tâm của hình hộp

a) Phân tích hai vectơ OI và AG  theo ba vectơ OA OC OD  , ,

b) Phân tích vectơ BI theo ba vectơ FE FG FI  , ,

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD cĩ hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều cạnh a Chứng minh rằng

AB và CD vuơng gĩc với nhau

1 60 cos 60

cos

CD

Vây CD  AB

Bài tập.

1.Cho hình lập phương ABCD.ABCD

a) Xác định góc giữa các cặp vectơ: AB và A C ' ', AB và A D ' ', AC và BD' 

b) Tính các tích vô hướng của các cặp vectơ: AB và A C ' ', AB và A D ' ', AC và BD' 

2.Cho hình tứ diện ABCD, trong đó AB  BD Gọi P và Q là các điểm lần lượt thuộc cácđường thẳng AB và CD sao cho PA kPB QC kQD , 

   

(k  1) Chứng minh AB PQ

 

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng: a  0 là VTCP của d nếu giá của a song song hoặctrùng với d

2 Góc giữa hai đường thẳng:

 a//a, b//b  (a, b) = (a’, b’)

 Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b, ( , )u v   