• (P) ⊥ (Q) ⇔ (( ),( )·P Q )=900
•Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: ⊥( )aP ⊃ ⇒ ⊥( )Qa ( ) ( )P Q
4. Tính chất • ⊂( ) ( ),( ) ( )aP ⊥( ),P a cQ P⊥ ∩ Q = ⇒ ⊥c a ( )Q • ( ) ( )( ) ( ) , ( ) P Q A P a P a A a Q ⊥ ∈ ⇒ ⊂ ∋ ⊥ • ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q a P R a R Q R ∩ = ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ VẤN ĐỀ 1: Góc giữa hai mặt phẳng
Phương pháp: Muốn tìm góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
• Tìm hai đường thẳng a, b: a ⊥ (P), b ⊥ (Q). Khi đó: (( ),( )·P Q ) =( )a b¶, . • Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c, dựng ( ), ( ), a P a c b Q b c ⊂ ⊥ ⊂ ⊥ ⇒ (( ),( )·P Q ) =( )a b¶, * Ví dụ:
Bài 1: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng tâm O cạnh a, SA = a vuơng đáy. a)Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD)
b)Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
a a O S D C B A Lời giải:
a)Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
- Ta cĩ: (SBD)∩(ABCD)=BD
AC ⊥BD (Hai đường chéo hình vuơng) và AC⊂(ABCD)
SO⊥DB (Vì SO là đường trung tuyến của ∆SBD cân tại S do hai tam giác vuơng SAB và SAD bằng nhau)
⇒g[(SBD), (ABCD)] = g(SO, AO) = ∠SOA
- Trong ∆SAO vuơng tại A, ta cĩ: 2 arctan 2
2 2 tan = = = ⇒∠SOA= a a OA SA SOA
Vậy g[(SBD), (ABCD)] = g(SO, AO) = ∠SOA=arctan 2
b) Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD).
- Ta cĩ: (SCD)∩(ABCD)=CD
AD⊥CD( Hai cạnh kề của hình vuơng) (1) CD⊥SA ( vì SA⊥(ABCD))
⇒CD⊥(SAD)màSD⊂(SAD)⇒CD⊥SD (2) Từ (1) và (2) ⇒ g[(SCD),(ABCD)] = g(SD, AD) = ∠SDA
- Trong ∆SAD vuơng tại A, ta cĩ: tan = =1⇒∠SDA=450
AD SA SDA
Vây g[(SCD), (ABCD)] = g(SD, AD) = ∠SDA=450
BÀI TẬP.
1. Cho hình chĩp S.ABCD, cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA⊥(ABCD), SA = a 3.Tính gĩc giữa các cặp mặt phẳng sau:
a) (SBC) và (ABC) b) (SBD) và (ABD) c) (SAB) và (SCD)
2. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ SA⊥(ABCD) và SA = a 2, đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Tính gĩc giữa các cặp mặt phẳng:
a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD)
3.Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA ⊥ (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SEF) và (SBC).
4.Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA ⊥ (ABCD). Tính SA theo a để số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (SCD) bằng 600.
5.Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a 3. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
a) (SBC) và (ABC) b) (SBD) và (ABD) c) (SAB) và (SCD)
6.Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = 3 3
a ; SA ⊥ (ABCD) và SO = 6 3
a .
a) Chứng minh ·ASC vuông.
b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc. c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
7.Cho hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABCD) và SA = a 2, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng:
a) (SBC) và (ABC) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD)
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. * Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
• Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ⊥ (Q).
• Chứng minh (( ),( )·P Q ) =900
* Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
• Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
• Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) và (R) ⊥ (P).
• Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước. * Ví dụ:
Bài 1: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng, cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy. a) Chứng minh rằng : (SBC)⊥(SAB). b) Chứng minh rằng: (SBD)⊥(SAC). S D C B A Lời giải: a) Chứng minh rằng: (SBC)⊥(SAB).
Ta cĩ: BC⊥ AB ( Hai cạnh kề của hình vuơng ABCD) BC ⊥SA ( Vì SA⊥(ABCD))