Đề cương ôn tập vào lớp 10(đầy đủ)

Phơng pháp: Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến hoặc không nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên.. ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ẫT TRONG GIẢI TOÁN 2 b x  Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm

0 3 2

x

x

3 2 1

x x

2 0

) 3 5 2

)(

2

(

3 2

1 2

x x

3, PT chứa ẩn ở mẫu

B1: Đặt ĐK của ẩn ; Quy đồng khữ mẫu

B2: Biến đổi PT đa về dạng ax +b = 0 rồi giải

B3: Đối chiếu ĐK và trả lời nghiệm

Bài 6 : Giải các Pt sau

x x

Bài 7: Giải phương trỡnh 2x 7  3x 9  0 (1)

GV hớng dẫn HS giải theo hai cách

Vậy phương trỡnh cú nghiệm x = 16

Cỏch 2: Chuyển vế rồi đặt ĐK ở vế phải rồi giải

1

2x   x

+ Tạo ra bình phơng của một tổng hoặc một hiệu của biểu thức dới căn để đa ra ngoài căn

Do thiếu 2 lần tích nên ta nhân cả hai vế của phơng trình với 2

+ Xét xem biểu thức dới căn dơng hay không để đặt trong dấu gía trị tuyệt đối rồi giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

2 4 6

2 4 6

155

33



Cđ 2: toán liên quan đến rút gọn biểu thức

Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa(tồn tại hoặc xác định), nếu đề ra cha

- Quy đồng hoặc trục căn thức ở mẩu

* Lu ý: Thực hiện phép biến đổi theo trình tự trong ngoặc trớc, nhân chia - cộng trừ sau.

Dạng 3: Tính giá trị của biến để biểu thức >, =, < một số

Phơng pháp:

- Từ biểu thức đã đợc thu gọn và yêu cầu của đề ta đợc BPT hoặc PT

- Giải BPT hoặc PT tìm đợc giá trị của biến

- Đối chiếu giá trị của biến với ĐK đầu bài để kết luận

Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức, biết giá trị của biến.

Phơng pháp:

Dạng 5: Tìm giá trị nguyên của biến (hoặc không nguyên) để biểu thức nhận giá

trị nguyên.

Phơng pháp:

- Biến đổi biểu thức đã đợc thu gọn về dạng: 1 số + 1 biểu thức p(x)

- Nếu biểu thức p(x) là phân thì Mẫu phải là ớc của Tử

Dạng 6: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức.

Phơng pháp: Có nhiều cách, tuỳ theo biểu thức đã thu gọn Nhng ở THCS thờng hay

gặp các cách sau:

* Tìm GTLN: Biến đổi biểu thức về dạng: - [p(x)]2 + a  a (a 0) suy ra GTLN bằng

a (tức là dấu” = “ xảy ra)

* Tìm GTNN: Biến đổi biểu thức về dạng: [p(x)]2 + a  a (a 0) suy ra GTNN bằng

a (tức là dấu” = “ xảy ra)

II/ Bài tập cụ thể:

Bài 1: Cho biểu thức: M = (

a

a  

1 1

b/ Tính giá trị của M khi a =

, ĐK: x > 0, x ≠ 1

a/ Rút gọn biểu thức P

b/ Tìm tất cả các giá trị của x để P < - 2

Bài 3: Cho biểu thức:

M =

1 1

2 1

1 :

b/ Tìm tất cả các giá trị của x để P > 0 (P <0)

c/ Tính giá trị của P khi x = 3 + 2 x

Bài 5: Cho biểu thức:

x x

2

 c/ Tìm x thoả mãn: A x 6 x 3  x 4

Bài 6: Cho biểu thức:

1

1 1

1 2

x x

x x

x x

x

; x  0, x ≠ 1 a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên

Bài 7: Cho biểu thức:

1

1 2 2 : 1 1

x x x x

x x

; x > 0 , x ≠ 1

a) Rút gọn biểu thức M

b) Tìm giá trị nguyên của x để M nhận giá trị nguyên

Bài 8: Cho biểu thức:

c) Tỡm GTNN của Q và giá trị tơng ứng của x

Bài 9: Cho biểu thức:

b) Tìm giá trị của x để M đạt max

c) T×m GTNN cña P vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cña x

Bµi 10: Cho biÓu thøc:

th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt  a  a’

6

y x y x

1 3

2

y x

Bài 2: Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số.

10

7 11

2

y x

y x

3 3

y x y x

2

8 5

3

2 2

3

y x

y x

6

4 2

5

y x

y x

4

11 3

* Dạng toán biện luận hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 3: Cho hệ phương trỡnh 2

b) Tìm số nguyờn m để hệ (I) cú nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0

b) Tìm m để hệ (II) có nghiệm nằm trong gúc phần tư thứ nhất

+) Tính chất biến thiên.

* y = a x + b đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi a < 0

+ Với a > 0  H/S đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0

Phơng pháp

- Lập bảng giá trị, ít nhất 6 giá trị của biến x ngoài giá trị 0 ta được 6 điểm tương

ứng

- Biểu diễn 6 điểm đó trên hệ trục tọa độ Oxy

- Kẻ đờng cong đi qua 7 điểm đó(Kể cả gốc tọa độ)

+) Vị trí tơng đối của:

y = ax + b (d) (với a 0, a: hệ số góc) và

y = ax2 (P) (với a 0, a: hệ số góc)

- (P) cắt (d) khi và chỉ khi PT: ax2 = ax + b có 2 nghiệm phân biệt ( > 0)

- (P) tiếp xúc (d) khi và chỉ khi PT: ax2 = ax + b có nghiệm kép ( = 0)

- (P) không có điểm chung với (d) khi và chỉ khi PT: ax2 = ax + b vô nghiệm (< 0)

a) (d) đi qua hai diểm A(0;- 3) và B ( -2; 5)

b) (d) song song với đờng thẳng (d’) có phơng trình: y = 3x và đi qua điểm (2;-1)

c) (d) vuông góc với đờng thẳng (d’) có phơng trình: y = 2x và đi qua điểm (2;-2)

d) (d) cắt trục tung tại điểm C có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm D có hoành

độ bằng - 2 Tính độ dài đoạn thẳng CD và diện tích tam giác OCD

Bài 4: Cho Parabol (P): y = -

4

1

x2 a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M(0 ;1) và có hệ số góc là m

b) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

c) Chứng minh rằng có hai đờng thẳng đi qua M và tiếp xúc với (P)

Bài 5 : Cho Parabol (P) 2

a) Tìm a và m biết (P) đi qua điểm A(- 2; 4) và tiếp xúc với (D)

b) Chứng minh rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m

c) Vẽ (P) và (D) tìm đợc ở câu a trên cùng một hệ trục toạ độ

Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ cho A(-2;2) và (d1): y = -2(x +1)

a) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị là (P) và đi qua A

b) Viết phơng trình (d2) qua A và vuông góc với (d1)

c) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d2), C là giao điểm của (d1) với Oy Tìm toạ độ giao điểm của B và C và tính diện tích tam giác ABC

Bài 8: Cho Parabol (P): y=

4

1

x2 và M(1; - 2) a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc là k và đi qua M

b) Chứng minh rằng (d) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B với mọi k

c) Tìm k để F = x2

AxB + xAx2

B đạt giá trị nhỏ nhất Tìm GTNN đó

Bài 9 : Cho hàm số (P): y  x2 và hàm số(d): y = x + m

a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B

b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)

Bài10 : Cho điểm A(-2; 2) và đờng thẳng ( d1) y = -2(x+1)

a) Điểm A có thuộc (d1) không ? Vì sao ?

b) Tìm a để hàm số (P): y  a x2 đi qua A

c) Xác định phơng trình đờng thẳng (d2) đi qua A và vuông góc với (d1)

Bài 11: Cho Parabol (P): y= x2 và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x+m

a) Tìm m để (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau Xác định toạ độ điểm chung đó

b) Tìm m để (d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm, một điểm có hoành độ x=-1.Tìm điểm còn lại

c) Giả sử đờng thẳng cắt (P) tại 2 điểm A và B Tìm tập hợp trung điểm I của AB

5.I.1) Cách giải phơng trình bậc hai khuyết (c) dạng: ax2 + bx = 0

+ Phơng pháp: Phân tích vế trái thành nhân tử, rồi giải phơng trình tích.

Vậy phương trỡnh cú nghiệm x1 = 0; x2 = 2

5.I.2) Cách giải phơng trình bậc hai khuyết (b) dạng: ax 2 + c = 0

+ Phơng pháp : Biến đổi về dạng x2 m x  m

+ Ví dụ: Giải phơng trình: 4x  2 8 0 (2)

(2) x2   2 x 2

Vậy phương trỡnh cú nghiệm x  2

5.I.3) Cách giải phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a  0) bằng công thức nghiệm:

Phơng pháp:

5.I.3.1 Dùng công thức nghiệm TQ và Thu gọn:

5.I.3.2 Cách giải phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a  0) bằng P 2 đặc biệt:

5.I.3.3 Dùng Định lý Vi-et và hệ quả:

a Định lý Vi ét:Nếu x1, x2 là nghiệm của phương trỡnh ax2 + bx + c = 0(a  0) thỡ

S = x1 + x2 = - a b

P = x1x2 = a c

b. Đả o lại : Nếu cú hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = P thì hai số đó l nghiệmà nghiệm(nếu có) của pt bậc hai: x2 – S x + P = 0

5.I.3.4 ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ẫT TRONG GIẢI TOÁN

2

b x



Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trỡnh (*) cú liờn quan chặt chẽ với

cỏc hệ số a, b, c Đõy chớnh là nội dung của Định lớ VI-ẫT, sau đõy ta tỡm hiểu một số

ứng dụng của định lớ này trong giải toỏn

ỨNG DỤNG 1: NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRèNH

U1.1 Dạng đặc biệt:

Xột phương trỡnh (*) ta thấy :

a) Nếu cho x = 1 thỡ ta cú (*)  a.12 + b.1 + c = 0  a + b + c = 0

b) Nếu cho x =  1 thỡ ta cú (*)  a.( 1)2 + b( 1) + c = 0  a  b + c = 0

Như vậy với phương trỡnh (*):

+) Nếu cú a + b + c = 0 thỡ PT cú một nghiệm x 1 1 và nghiệm cũn lại là 2

c x a



+) Nếu cú a - b + c = 0 thỡ PT cú một nghiệm x 1 1 và nghiệm cũn lại là 2

c x a

c x a

Phương trỡnh (2) cú dạng a + b + c = 0 nờn cú nghiệm x 1 1 và 2

11 3

c x a



 

Bài tập ỏp dụng: Hóy tỡm nhanh nghiệm của cỏc phương trỡnh sau:

1 35x2  37x  2 0 2 7x2  500x 507 0 

3 x2  49x 50 0  4 4321x2  21x 4300 0 

Đáp án: 1 1 2

2 1;

b) Phương trình x2  5x q  0 Có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.

c) Cho phương trình : x2  7x q  0, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11 Tìm q và hai

nghiệm của phương trình

d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2  qx 50 0  , biết phương trình có 2nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

x x

x x

Bài tập áp dụng:

b) Tìm m để phương trình x2 + 3x + m = 0 có nghiệm x1 = 1, tìm nghiệm còn lại

Đáp án: a) k = 5, k= -5

b) m = - 4; x2 = - 4

ỨNG DỤNG 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

U2.1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x x1 ; 2

Ví dụ : Cho x 1 3; x 2 2 Hãy lập một phương trình bậc hai nhận hai giá trị trên làm nghiệm

1 2

5 6

Ví dụ : Cho phương trình : x2  3x  2 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1 ; 2 Không giải

1/ Cho phương trình 3x2  5x 6 0  có 2 nghiệm phân biệt x x1 ; 2 Không giải phương

ỨNG DỤNG 3 : TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

ỨNG DỤNG 4 : TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thứcVI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

U4.1 Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1 x2) và x x1 2

U4.2 Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

a) Cho phương trình : x2  8x 15 0  Không giải phương trình, hãy tính

Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là

a  0 và   0 hoặc '  0)

- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 và P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ

Ví dụ 2: Gọi x x1 ; 2 là nghiệm của phương trình : m 1x2  2mx m  4 0  Chứng minh rằng biểu thức A 3x1 x2 2x x1 2  8 không phụ thuộc giá trị của m.

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì :

1

m

x x

m m

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm

- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Hoặc từ hệ thức VI-ÉT ta biến đổi để triệt tiêu tham số, từ đó ta sẽ có được biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham sốchúng

Bài tập áp dụng:

1) Cho phương trình : x2  m 2x2m 1  0 có 2 nghiệm x x1 ; 2 Hãy lập hệ thức liên

hệ giữa x x1 ; 2 sao cho x x1 ; 2 độc lập đối với m.

Cách 2: Nhân vào hai vế của pt (1) với số 2 rồi lấy pt (1) trừ cho pt (2) theo vế ta được:

2(x1 x2 )  x x1 2  5

Vậy hệ thức liên hệ giữa x x1 ; 2 không phụ thuộc vào m là 2(x1 x2 )  x x1 2  5

2) Cho phương trình : x24m 1x 2m 4 0

Tìm hệ thức liên hệ giữax1vàx2sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn: Dễ thấy   (4m 1) 2  4.2(m 4) 16  m2  33 0  do đó phương trình đã cho

luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

ỨNG DỤNG 6 : TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN

BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO.

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là

Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x x1 2

Bài giải : Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 là :

(thoả mãn điều kiện xác định )

Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ

1 và ví dụ 2 ở chỗ:

+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x x1 2

nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.

+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x x1 2rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2

m

x x

m m

phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

1 2

3 (1)(3 1) 3

ỨNG DỤNG 7: XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA

PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI.

nghiệm: trỏi dấu, cựng dấu, cựng dương, cựng õm ….

(nếu 2 nghiêm phân biệt thì bỏ dấu =)

e PT (1) có hai nghiệm đều âm 

0 0

f PT (1) có hai nghiệm trái dấu  P < 0

2x  3m 1 x m  m 6 0  cú 2 nghiệm trỏi dấu

Để phương trỡnh cú 2 nghiệm trỏi dấu thỡ

0

2

6 0 2

P     P (m 3)(m 2) 0    2 m 3

Vậy với  2 m 3 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm trỏi dấu

Bài tập tham khảo:

1 mx2  2m 2x 3m 2  0 cú 2 nghiệm cựng dấu

2 3mx2  2 2 m 1x m  0 cú 2 nghiệm õm

3.m 1x2  2x m  0 có ít nhất một nghiệm không âm.

ỨNG DỤNG 8: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện

cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

2 2

B B

B B

4 Cho phương trỡnh : x2  (m 1)x m 2 m 2 0  Với giỏ trị nào của m, biểu thức

II/ Bài tập :

Bài 1: Cho phương trỡnh: 5x2 + 2x – 2m – 1 = 0

a) Giải phương trỡnh khi m = 1

b) Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm kộp Tớnh nghiệm kộp đú?

Bài 2: Cho phương trỡnh: x2 + mx + 3 = 0

a)Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm?

b) Tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm bằng 3 Tớnh nghiệm cũn lại?

Bài 3: Cho phương trỡnh: x2 – 2(k – 1)x + k – 3 = 0

a) Giải phương trỡnh khi k = 2

b) Chứng minh rằng phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi k

Bài 4: Cho phương trỡnh: x2 – 2x + m = 0

Tỡm m biết rằng phương trỡnh cú nghiệm bằng 3 Tớnh nghiệm cũn lại

Bài 5: Cho phương trỡnh: x2 + (m – 1)x – 2m – 3 = 0

a) Giải phương trỡnh khi m = - 3

b) Chứng tỏ phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 4

c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm

Bài 8: Cho phơng trình x2-2(m+1)x +m- 4=0 (1) ( m là tham số)

a) Giải phơng trình khi m=2

b) Chứng minh rằng phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu

d) Chứng minh rằng biểu thức M =x1(1-x2)+(1-x1) x2 không phụ thuộc vào m

Bài 9 : Cho phơng trình: x2- mx + 2m - 3 = 0

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

Bài 10: Cho phơng trình: x2- 2(m- 1)x + m2- 3m = 0

Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2 Tìm nghiệm còn lại

Bài 11 : Cho phơng trình bậc hai (m - 2)x2- 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0

a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2

b) Khi phơng trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại

Bài 12: Cho phơng trình x2- (m- 1)x – m 2+m-2 =0 (1) (m là tham số)

a) Giải phơng trình khi m=-1

b) Chứng minh rằng phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu với mọi m

c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho S = x12 +x2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 13: Cho phơng trình x2 - (m +2)x +m+1 = 0 (1) (m là tham số)

a)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm đối nhau

Bài 14: Cho phơng trình x2- (m +1)x +m =0 (1) (m là tham số)