Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 19 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
ĐS8-C1-CD2: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A LÝ THUYẾT: ( A + B) = A2 + AB + B ( A − B) = A2 − AB + B Bình phương tổng: Bình phương hiệu: A2 − B = ( A − B ) ( A + B ) Hiệu hai bình phương: Lập phương tổng: ( A + B) ( A − B) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP Lập phương hiệu: Tổng hai lập phương: Hiệu hai lập phương: = A3 + A2 B + AB + B 3 = A3 − A2 B + AB − B A3 + B = ( A + B ) ( A2 − AB + B ) A3 − B = ( A − B ) ( A2 + AB + B ) Ngoài ra, ta có đẳng thức hệ đẳng thức Thường sử dụng biến đổi, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,… A2 + B = ( A + B ) − AB Tổng hai bình phương: A3 + B = ( A + B ) − AB ( A + B ) WORD=>ZALO_0946 513 000 Tổng hai lập phương: Bình phương tổng số hạng: ( A + B + C) = A2 + B2 + C + ( AB + BC + CA) Lập phương tổng số hạng: ( A + B + C) = A3 + B + C + ( A + B ) ( B + C ) ( C + A ) B CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA CƠ BẢN: Dạng 1: Biến đổi biểu thức Phương pháp: Áp dụng đẳng thức đáng nhớ để thực biến đổi biểu thức Bài 1: Thực phép tính: a) ( −3x + y ) b) ( − x − xy ) c) 1 x2 − y2 d) ( x + y) − ( − y) Giải a) Áp dụng đẳng thức ta có: ( −3x + y ) = ( −3 x ) + ( −3 x ) ( y ) + ( y ) = x − 12 xy + y 2 b) Áp dụng đẳng thức ta có: ( − x − xy ) = ( − x ) − ( − x ) ( xy ) + ( xy ) = x + x y + x y 2 c) Áp dụng đẳng thức ta có: x2 − y = x2 − ( y ) = ( x − y ) ( x + y ) d) Áp dụng đẳng thức ta có: ( x + y) − ( − y) = ( ( x + y) − ( − y) ) ( ( x + y) + ( − y) ) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP 2 = ( x + y − 2) ( x + 2) Bài 2: Thực phép tính: a) b) c) d) ( x + y ) ( x − xy + y ) − ( − x + y ) ( x + xy + y ) x3 − x + x − x3 + x + 12 x + ( x + y) − ( x − 2y) WORD=>ZALO_0946 513 000 Giải a) Áp dụng bất đẳng thức ta được: ( x + y ) ( x − xy + y ) − ( − x + y ) ( x + xy + y ) = x3 + y + ( x − y ) ( x + xy + y ) = x3 + y + x3 − y = x3 b) Ta có: x − x + x − = ( x3 − 3x + x − 1) Áp dụng bất đẳng thức ta được: c) Ta có: ( x3 − x + 3x − 1) = ( x − 1) x + x + 12 x + = x3 + 3.2 x + 3.22.x + 23 2 Áp dụng bất đẳng thức ta được: x3 + 3.2.x + 3.22 x + 23 = ( x + ) d) Áp dụng bất đẳng thức ta được: ( x + y) ( − ( x − 2y) = ( x + x y + 3xy + y ) − x − 3.x 2 y + 3.x.( y ) − ( y ) 3 ) = x3 + x y + 3xy + y − x3 + x y − 12 xy + y = x y − xy + y Bài 3: Rút gọn biểu thức: a) b) c) d) e) ( a −b+c+d)(a −b−c−d) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP ( x + y + 3z ) ( x − y + 3z ) ( x − 1) ( x + x + 1) ( x + 1) ( x + x + 1) ( x + y) (x − ( x − y) + x + 1) + ( x + 1) − ( x + x + 1) ( x − 1) 2 Giải a) ( a −b+c+d)(a −b−c−d) WORD=>ZALO_0946 513 000 = ( a − b ) + ( c + d ) ( a − b ) − ( c + d ) = ( a − b ) − ( c + d ) 2 = a − 2ab + b − c − 2cd − d = a + b − c − d − 2ab − 2cd b) ( x + y + 3z ) ( x − y + 3z ) = ( x + 3z ) + y ( x + 3z ) − y = ( x + z ) − ( y ) = x + xz + z − y 2 c) d) ( x − 1) ( x + x + 1) ( x + 1) ( x + x + 1) = ( x3 − 1) ( x3 + 1) = x − ( x + y) − ( x − y) 3 3 = ( x + x y + xy + y ) − ( x − x y + xy − y ) = x3 + x y + xy + y − x + x y − xy + y = x2 y + y3 = y ( 3x2 + y ) e) (x + x + 1) + ( x + 1) − ( x + x + 1) ( x − 1) 2 = ( x + x + 1) − ( x − 1) = ( x + x + − 3x + 1) = ( x + ) 2 Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Phương pháp: Dạng tốn đa dạng ta giải theo phương pháp TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP sau: - Biến đổi biểu thức cho trước thành biểu thức cần thiết cho phù hợp với biểu thức cần tính giá trị - Áp dụng đẳng thức đáng nhớ để thực biến đổi biểu thức cần tính giá trị biểu thức có liên quan đến giá trị đề cho - Thay vào biểu thức cần tính tìm giá trị x + y =1 A = x3 + 3xy + y Bài 1: Cho Tính giá trị biểu thức sau: Giải Áp dụng đẳng thức bậc 3, ta được: WORD=>ZALO_0946 513 000 A = x + y + xy = ( x + y ) ( x − xy + y = ( x + y) ( ( x + y) Theo A = ( x + y) Vậy A =1 2 ) + 3xy ) − 3xy + 3xy x + y =1 ( ( x + y) , thay vào A ta được: ) − 3xy + 3xy = ( 12 − 3xy ) + xy = − 3xy + xy = Bài 2: Cho x− y=4 xy = Tính B = x3 − y + ( x − y ) Giải Áp dụng đẳng thức, ta được: 4 B = x3 − y + ( x − y ) = ( x − y ) ( x + xy + y ) + ( x − y ) = ( x − y) ( ( x − y) ) + 3xy + ( x − y ) 2 x − y = xy = B Theo , thay vào ta được: B = ( x − y) Vậy ( ( x − y) ) + 3xy + ( x − y ) = ( + 3.5 ) + 16 = 140 B = 140 Bài 3: Tính giá trị biểu thức: a) c) x − 48 x + 64 − x x3 − x2 − x=2 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP b) x=6 d) Giải x − 48 x + 64 − x = ( x − ) − x a) Ta có: Thay x=2 b) Ta có Thay − 5.23 = −36 WORD=>ZALO_0946 513 000 ( x − 3) vào ta được: = ( −4 − 3) = −73 = 343 x − ( x − 1) ( x + x + 1) x + x + = = x2 − x +1 ( x − 1) ( x + 1) x=6 d) Ta có: x − x + 27 x − 27 = ( x − 3) x = −4 c) Ta có: Thay vào ta được: ( 3.2 − 8) vào ta được: x + x + 62 + + 43 = = x +1 +1 x2 − 2x + x2 −1 + x3 − ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x + 1) = + 2 ( x − 1) ( x + x + 1) ( x − 1) = x −1 x +1 + x + x +1 x −1 5 x3 − x + 27 x − 27 x2 − 2x + x2 −1 + x3 − ( x − 1) tại x = −4 x=3 Thay x=3 −1 +1 28 + = +2= + + − 13 13 vào ta được: Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp: +) Giá trị lớn biểu thức dạng: m − Q2 ( x ) ≤ m (với m A( x ) Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi số) +) Giá trị lớn biểu thức A( x ) ⇒ GTLN A( x) = m Áp dụng bất đẳng thức ta biến đổi TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP A( x ) = n n ⇒ dạng (với số) GTNN Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức Q2 ( x ) + n ≥ n a) A = −x2 − 2x + b) B = x − 3x2 + Giải A = − x − x + = − x − x − + = − ( x + 1) ≤ a) Ta có: Vậy giá trị lớn biểu thức A x + = ⇔ x = −1 b) Ta có: WORD=>ZALO_0946 513 000 43 43 27 3 B = x − x + = − + .x − x ÷ + +4= − 3 − x ÷ ≤ 4 2 Vậy giá trị lớn biểu thức B 43 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A = x − x + 14 b) B = x2 + x + Giải a) Ta có: A = x − x + 14 = ( x − x + 1) + 12 = ( x − 1) + 12 ≥ 12 6 3 −x=0⇔ x= 2 A Vậy giá trị nhỏ biểu thức 12 1 B = x + x + = x + .x + − + = x + 4 b) Ta có: 2x − = ⇔ x = B Vậy giá trị nhỏ biểu thức 1 7 ÷ + ≥ 2 4 x+ 1 =0⇔ x=− 2 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A = ( x − x + 1) b) Giải B = x − x3 + x − x + TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP 1 1 3 x − x + = x − .x + + = x − ÷ + ≥ 4 2 4 a) Ta có: x − x +1 2 Do đạt giá trị nhỏ Giá trị nhỏ b) Ta có: 3 A= ÷ 4 x− 1 =0⇔ x= 2 B = x − x3 + x − x + = x − x3 + x + x − x + WORD=>ZALO_0946 513 000 = x ( x − x + 1) + ( x − x + 1) = x ( x − 1) + ( x − 1) ≥ 2 Mặt khác: 2 x2 = x = B = ⇔ x − = ⇔ x = ⇔ x = x = x −1 = Vậy giá trị nhỏ biểu thức Bài 4: Chứng minh x − x + 10 B=0 dương với Giải x − x + 10 = x − 2.2.x + + = ( x − ) + Ta có: Ta thấy ( x − 2) ≥ ⇒ ( x − 2) + x =1 dương với 7 x x B.CÁC DẠNG BÀI TẬP MINH HỌA NÂNG CAO TỔNG HỢP Tìm hệ số x2 đa thức sau khai triển : a ) A = ( x − ) + ( x + ) + ( x + 3) + ( 3x + 1) 2 3 b) B = ( x − 1) + ( x − ) + ( x − 3) + ( x − 1) 2 Giải a ) A = x − x + + x + x + + x + x + 27 x + 27 + 27 x + 27 x + x + = 28 x + 38 x + 36 x + 36 Vậy hệ số x2 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP 38 b) B = x − x + + x − x + + x3 − x + 27 x − 27 + 27 x − 27 x + x − = 28 x − 31x + 28 x − 23 Vậy hệ số x2 -31 Tính giá trị biểu thức a ) A = x + 0, x + 0, 01 b) B = x + x + x + tại x = 0,9 x = 19 c)C = x − x + 3x − x + WORD=>ZALO_0946 513 000 x2 − x = Giải a ) Ta có : A = x + 0, x + 0, 01 = x + 0, x + ( 0,1) = ( x + 0,1) 2 x = 0, ⇒ A = ( 0,9 + 0,1) = Với b) Ta có: B = x3 + 3x + x + 8 = x + 3x + 3x + + = ( x + 1) + Với x = 19 B = ( 19 + 1) + = 8000 + = 8001 c) Ta có : C = x − x3 + 3x − x + = x − x3 + x2 + x2 − x + = ( x − x ) + ( x − x ) + + = ( x − x + 1) + TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP x − x = ⇒ C = ( + 1) + = 81 + = 82 Với Tính hợp lý : a) A = 356 − 1442 2562 − 2442 c)C = 1632 − 92.136 + 46 b) B = 2532 + 94.253 + 47 d ) D = ( 1002 + 982 + + 22 ) − ( 99 + 97 + + 12 ) Giải a) A = ( 356 + 144 ) ( 356 − 144 ) 500.212 53 3562 − 1442 = = = 2 256 − 244 ( 256 + 244 ) ( 256 − 244 ) 500.12 WORD=>ZALO_0946 513 000 b) B = 2532 + 94.253 + 47 = 2532 + 2.47.253 + 47 = ( 253 + 47 ) = 300 = 90000 c )C = 1362 − 92.136 + 46 = 136 − 2.46.136 + 46 = ( 136 − 46 ) = 90 = 8100 d ) D = ( 1002 + 982 + + 2 ) − ( 99 + 97 + + 12 ) = ( 1002 − 992 ) + ( 982 − 97 ) + + ( 22 − 12 ) = ( 100 − 99 ) ( 100 + 99 ) + ( 98 − 97 ) ( 98 + 97 ) + + ( − 1) ( + 1) = ( 100 + 99 ) + ( 98 + 97 ) + + ( + 1) = 100 + 99 + + = ( 100 + 1) + ( 99 + ) + + ( 51 + 50 ) 9 = 101 + 101 + + 101 = 101.50 = 5050 Tính giá trị biểu thức : 2 20212 ( 2020 − 2019 ) 2019 ( 2020 + 2021) A= 20203 − ( 2020 − 1) ( 20203 + 1) Giải 20212 ( 2020 − 2019 ) 20192 ( 2020 + 2021) A= 20203 − ( 20202 − 1) ( 20203 + 1) = = 20212 ( 20202 − 2020 + 1) 20192 ( 20202 + 2020 + 1) ( 2020 + 1) ( 2020 − 1) ( 2020 + 1) ( 20202 − 2020 + 1) ( 2020 − 1) ( 20202 + 2020 + 1) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP 2019 = 2019 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : a ) A = x + y + xy + y − x + 2020 b) M = x + y + z − x − xy − z − Giải a) Ta có : A = x + xy + y + x − x + + y + y + + 2018 WORD=>ZALO_0946 513 000 = ( x + y ) + ( x − 1) + ( y + 1) + 2018 ≥ 2018 2 Vậy giá trị nhỏ A = 2018 c) M = x − xy + y + x − x + + z − z + x = 1; y = −1 1 −2 4 1 1 2 = ( x + y ) + ( x − 1) + z − ÷ − ≥ −2 2 Dấu xảy x − y = 2 x − = ⇒ x = y = z = z − = 10 10 −2 Vậy giá trị nhỏ M x= y=z= Tìm x, biết : a ) ( x + ) + ( x + 3) − ( x − ) ( x − 3) = 19 2 b) ( x + ) ( x − x + ) − x ( x − ) = 15 c) ( x − 1) + ( − x ) ( + x + x ) + x ( x + ) = 17 Giải a ) ( x + ) + ( x + 3) − ( x − ) ( x − 3) = 19 2 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP ⇔ ( x − ) + x + ( x − 3) + 12 x − ( x − ) ( x − 3) = 19 2 ⇔ 20 x + ( x − ) − ( x − 3) = 19 ⇔ 20 x + = 19 ⇔ 20 x = 18 ⇔ x = 10 b) ( x + ) ( x − x + ) − x ( x − ) = 15 WORD=>ZALO_0946 513 000 ⇔ x + − x + x = 15 3 ⇔ x + = 15 ⇔ x = ⇔ x = c) ( x − 1) + ( − x ) ( − x + x ) + x ( x + ) = 17 ⇔ ( x − 1) + − x + 3x + x = 17 ⇔ x − x + x − + − x + x = 17 ⇔ x + = 17 ⇔ x = 10 ⇔ x = Biết 11 xy = 11 10 x y + xy + x + y = 2016 Hãy tính giá trị : 11 x2 + y Giải Ta có: x y + xy + x + y = 2016 xy ( x + y ) + x = y = 2016 11( x + y ) + ( x + y ) = 2016 12 ( x + y ) = 2016 ⇒ x + y = 168 x + y = ( x + y ) − xy = 1682 − 2.11 = 28202 Mà Cho a −b = A = a ( a + 1) − b ( b − 1) − 3ab ( a − b + 1) + ab TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ƠN-LỚP Tính giá trị biểu thức : Giải Ta có : A = a + a − b3 + b − 3ab ( a − b ) − 3ab + ab = a − 3ab ( a − b ) − b3 + a + b2 − 2ab = ( a − b ) + ( a − b ) = 73 + = 392 Chứng minh với x ta có : a ) x ( x − ) + 10 > b) ( x − ) ( x − ) + > WORD=>ZALO_0946 513 000 Giải a ) x ( x − ) + 10 > ⇔ x2 − 6x + + > ⇔ ( x − 3) + > (luôn ) b) ( x − ) ( x − ) + > ⇔ x − x + 18 > ⇔ x − x + 16 + > ⇔ ( x − 4) + > (luôn đúng) 12 12 c) x + x + > c) x + x + > 1 ⇔ x + x+ + > ⇔ x+ ÷ + > 4 2 (luôn ) 10 Tìm x, y biết : a) x − x + + y − y = b)4 x + y − 20 x − y + 26 = c)9 x + y + y − 12 x + = Giải a) x − x + + y − y = ⇔ ( x − x + 1) + ( y − y + ) = TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP ⇔ ( x − 1) + ( y − ) = 2 ⇔ ( x − 1) = 0; ( y − ) = 2 ( x − 1) , ( y − ) (vì ≥0 ) ⇔ x = 1; y = b)4 x + y − 20 x − y + 26 = ⇔ ( x − 20 x + 25 ) + ( y − y + 1) = ⇔ ( x − ) + ( y − 1) = ⇔ ( x − 5) = 2 ( y − 1) WORD=>ZALO_0946 513 000 ( x − ) , ( y − 1) =0 (vì ≥0 ) ⇔ x = ; y =1 c)9 x + y + y − 12 x + = ⇔ ( x − 12 x + ) + ( y + y + 1) = ⇔ ( x − ) + ( y + 1) = ⇔ ( 3x − ) = 2 ( y + 1) ( 3x − 2) , ( y + 1) =0 (vì 13 13 ≥0 ) ⇔x= ;y =− 11 Chứng minh không tồn x; y thỏa mãn: a ) x + y + x − y + 10 = b)3 x + y + 10 x − xy + 29 = c)4 x + y + y − xy + = Giải a ) x + y + x − y + 10 = ⇔ x2 + 4x + + y − y + + = TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP ⇔ ( x + ) + ( y − 1) + = Mà ( x + 2) 2 + ( y − 1) + ≥ > Suy khơng có x, y thỏa mãn đề b)3x + y + 10 x − xy + 29 = ⇔ x − xy + y + x + 10 x + 29 = ⇔ ( x − y ) + ( x + 2,5 ) + 16,5 = 2 WORD=>ZALO_0946 513 000 Mà ( x − y) + ( x + 2,5 ) + 16, ≥ 16,5 > Suy khơng có x, y thỏa mãn đề c)4 x + y + y − xy + = ⇔ ( x − xy + y ) + ( y + y + 1) + = ⇔ ( x − y ) + ( y + 1) + = Mà ( 2x − y ) 2 + ( y + 1) + ≥ > Suy khơng có x, y thỏa mãn đề 12 Tìm giá trị lớn biểu thức : a ) A = 15 − x − x b) B = x − x + c )C = x − y + x − y + 14 14 Giải A = 15 − x − x = 31 − ( 16 + x + x ) = 31 − ( + x ) ≤ 31 a) Ta có : Vậy giá trị lớn A 31 x = −4 B = − ( − x + x2 ) = − ( − x ) ≤ b) Ta có Vậy giá trị lớn B x=2 C = 10 − ( x − x + ) − ( y + y + ) = 10 − ( x − ) − ( y + ) ≤ 10 c) Ta có : x = 2; y = −2 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP Vậy giá trị lớn C 10 13 Cho số thực x; y thỏa mãn điều kiện biểu thức x3 + y x + y = 3; x + y = 17 Tính giá trị Giải Ta có: ( x + y) ⇔ xy = = x + y + xy = 17 + xy = 9 − 17 = −4 WORD=>ZALO_0946 513 000 x3 + y = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = 27 − ( −4 ) = 63 14 Cho x + y = a + b ( 1) x + y = a + b3 ( ) Chứng minh : x2 + y = a2 + b2 Giải Ta có đẳng thức : ( a + b) ( x + y) = a + b3 + 3ab ( a + b ) Kết hợp với (1) (2) suy Mặt khác, từ (1) suy ( x + y) = x + y + xy ( x + y ) (1) (2) xy = ab (3) = ( a + b ) ⇔ x + y + xy = a + b + 2ab 15 15 Kết hợp với (3) suy : 15 Cho a +b + c = 2p x2 + y = a2 + b2 Chứng minh rằng: a )2bc + b + c − a = p ( p − a ) b) ( p − a ) + ( p − b ) + ( p − c ) = a + b + c − p 2 2 Giải 2bc + b + c − a = ( b + c ) − a 2 a) Ta có: = ( b + c + a) ( b + c − a) = p ( p − a) = p ( p − a) Vế trái vế phải Điều phải chứng minh TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP b) Ta có : ( p − a) + ( p − b) + ( p − c) 2 = p − 2ap + a + p − pb + b + p − pc + c = p2 − p ( a + b + c ) + a2 + b2 + c2 = p − p.2 p + a + b + c = a + b + c − p Vế trái vế phải Điều phải chứng minh A = 99 { 16 Cho 2020 ch÷sè Hãy so sánh tổng chữ số A2 với tổng chữ số WORD=>ZALO_0946 513 000 A Giải Ta có : A = 99 { 2020 ch÷sè = 10 2020 −1 A2 = ( 102020 − 1) nên = 104040 − 2.102020 + = 99 9800 01 123 123 2019 Tổng chữ số A2 2019 : Tổng chữ số A : Vậy tổng chữ số × 2019 + + = 18180 × 2020 = 18180 A2 tổng chữ số A 17 Chứng minh rằng: 16 16 Nếu ( a − b) + ( b − c ) + ( c − a ) = ( a + b − 2c ) + ( b + c − 2a ) + ( c + a − 2b ) 2 2 a=b=c Hướng dẫn giải – đáp số Giải ( a + b − 2c ) − ( a − b ) + ( b + c − 2a ) − ( b − c ) + ( c + a − 2b ) − ( c − a ) = 0(*) 2 Áp dụng đẳng thức : ( a + b − 2c ) ( b + c − 2a ) 2 x2 − y2 = ( x + y ) ( x − y ) ta có : − ( a − b ) = ( 2a − 2c ) ( 2b − 2c ) = ( a − c ) ( b − c ) − ( b − c ) = ( 2b − 2a ) ( 2c − 2a ) = ( b − a ) ( c − a ) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP ( c + a − 2b ) − ( c − a ) = ( 2c − 2b ) ( 2a − 2b ) = ( c − b ) ( a − b ) Kết hợp với (*) ta có : 4( a − c) ( b − c) + 4( b − a) ( c − a) + 4( c − b) ( a − b) = ⇔ ( a − c) ( b − c) + ( b − a) ( c − a) + ( c − b) ( a − b) = ⇔ ab − ac − bc + c + bc − ba − ac + a + ac − bc − ab + b = ⇔ a + b + c − ab − bc − ac = ⇔ 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ac = WORD=>ZALO_0946 513 000 ⇔ a − 2ab + b + b − 2bc + c + c − 2ca + a = ⇔ ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) = 2 a − b = b − c = ⇔ a = b = c c − a = 18 Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n + 4n hợp số (Thi học sinh giỏi tốn 9, tỉnh Quảng Bình, năm học 2012-2013) Giải - Với n số chẵn ⇒ n = 2k ( k ∈ N + ) n + 4n = 16k + 42 k M4 17 17 nên n + 4n hợp số - Với n số lẻ Đặt n = 2k − 1( k ∈ N * , k > 1) ta có: n + 4n = n + 2.n 2n + 4n − n 2n +1 = ( n + 2n ) − n 22 k = ( n2 + 2n − 2k n ) ( n + 2n + 2k n ) Ta có: n + 2n − 2k n = n − 2k n + 22 k − + 2n − 2 k −2 = ( n − 2k −1 ) + 2 k −1 − 22 k −2 = ( n − 2k −1 ) + 22 k −2 > mà n + 2n + 2k n > n + 2n − 2k n Vậy n + 4n n + 4n TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP suy hợp số hợp số với n số tự nhiên lớn 19 a) Cho b) Cho a+b = Tìm giá trị nhỏ x + 2y = Tìm giá trị lớn A = a2 + b2 B = xy Giải a) Ta có: ( a + b) + ( a − b ) = ( a + b2 ) WORD=>ZALO_0946 513 000 ⇒ + ( a − b) = 2A ⇒ ≤ 2A ⇒ A ≥ Vậy giá trị nhỏ A b) Từ x + 2y = ⇒ x = − 2y a = b =1 suy B = ( − y ) y = y − y2 = − + 8y − y2 B = − 2( − y) ≤ Vậy giá trị lớn B 20 Tìm giá trị nhỏ y = 2; x = A = ( x2 + y2 ) 18 18 biết x + y = xy + 12 (Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên Bình Dương, năm học 2014-2015) Giải Từ giả thiết, ta có ( x + y) = 3xy + 12 ⇔ xy = ( x + y ) − 24 Ta có : A = ( x + y ) = ( x + y ) − xy = ( x + y ) − ( x + y ) + 24 = ( x + y ) + 24 2 Vậy giá trị nhỏ A 24 2 x = x = −2 x+ y =0⇔ ; y = −2 y = 21 Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn: ( a − b) + ( b − c ) + ( c − a ) = 2010 3 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP Tính giá A= a−b + b−c + c−a trị biểu thức Giải Đặt a − b = x; b − c = y; c − a = z ⇒ x + y + z = ⇒ z = − ( x + y ) x3 + y + z = 210 ⇔ x3 + y − ( x + y ) = 210 ⇔ −3xy ( x + y ) = 210 Ta có : ⇔ xyz = 70 Do x, y, z số nguyên có tổng xyz = 70 = ( −2 ) ( −5 ) x, y , z ∈ { −2; −5; 7} ⇒ A = a − b + b − c + c − a = 14 WORD=>ZALO_0946 513 000 nên 22 Chứng minh không tồn hai số nguyên x, y thỏa mãn Giải Từ x − y = 2020 suy x; y chẵn lẻ TH1: Nếu x; y chẵn Đặt x = 2m; y = 2n 4m − 4n = 2018 ⇒ 2m − 2n = 1009 Vế trái chẵn, cịn vế phải lẻ Vơ lí TH2: Xét x; y lẻ Đặt Ta có : ( 2m + 1) x = 2k + 1; y = 2q + − ( 2n + 1) = 2018 ⇔ 4m + 4m − 4n − 4n = 2018 19 19 x − y = 2020 Vế trái chia hết cho 4, vế phải không chia hết cho 4, vơ lí x − y = 2020 Vậy không tồn số nguyên x; y thỏa mãn D.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CẦN NHỚ (A +B) (A - B) = A + 2AB + B 1) = A - 2AB + B 2) A2 - B = ( A - B ) ( A + B ) 3) (A +B) (A - B) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP = A + 3A 2B + 3AB + B 4) = A - 3A 2B + 3AB - B 5) ( ) ( ) A + B = ( A + B ) A2 - AB + B 6) A - B = ( A - B ) A + AB + B 7) BÀI TỰ LUYỆN Khai triển biểu thức sau: ổ ỗ ữ ỗ x - 3ữ ữ ữ ỗ ố2 ứ a) ( 2x ; ) + 3y WORD=>ZALO_0946 513 000 b) 2.Tính giá trị biểu thức sau giá trị ra: a) b) x3 + 12x2 + 48x + 64 x3 - 6x2 + 12x - tại x=6 x = 22 ; Rút gọn biểu thức sau: ( x + 3) ( x ) ( - 3x + - 54 + x3 ) ; a) ( 2x + y) ( 4x ) ( - 2xy + y2 - ( 2x - y) 4x2 + 2xy + y2 b) 4.Tính nhanh giá trị biểu thức sau: a) b) ) 342 + 662 + 68.66 742 + 242 - 48.74 ; 20 20 So sánh cặp số sau: a) A = 2008.2010 với ( B = 20092 )( ; )( )( ) A = ( + 1) 22 + 24 + 28 + 216 + với b) B = 232 6.Tìm x, biết: a) c) 16x2 - (4x - 5)2 = 15 b) (2x + 1)(1- 2x) + (1- 2x)2 = 18 (2x + 3)2 - 4(x - 1)(x + 1) = 49 d) 2(x + 1)2 - (x - 3)(x + 3) - (x - 4)2 = e) (x - 5)2 - x(x - 4) = TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP f) Chứng minh đẳng thức ( a - b) (x - 5)2 + (x - 4)(1- x) = = ( a + b) – 4ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x2 – 2x + b) B = x2 – x + C = ( x – 1) ( x + 2) ( x + 3) ( x + 6) D = x2 + 5y2 – 2xy + 4y + c) d) Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) A = –x2 – 4x – b) C = ( – x) ( x + 4) B = –2x2 – 3x + D = –8x2 + 4xy – y2 + WORD=>ZALO_0946 513 000 c) d) 10 Chứng minh giá trị biểu thức sau dương với giá trị biến a) A = 25x2 – 20x + b) E = x2 – 2x + y2 + 4y + B = 9x2 – 6xy + 2y2 + D = x2 – 2x + c) d) 11 Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng với số phương LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN a) Ta có: æ ö æ æ æ 1 ö ö 27 ữ ữ ữ ỗ ỗ ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ x = x x + x÷ 32 - 33 = x3 - x2 + x - 27 ỗ ỗ ỗ ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ è2 ø ÷ ÷ ÷ è2 ø è2 ø è2 ø 21 21 ( 2x ) + 3y ( ) = 2x2 ( ) 2 + 2x2 3y + 3.2x2.( 3y) + ( 3y) b) Ta có: = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3 a) Ta có: Thay x=6 b) Ta có: Thay x3 + 12x2 + 48x + 64 = x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43 = ( x + 4) vào biểu thức cuối ta kết 1000 x3 - 6x2 + 12x - = x3 - 3.x2.2 + 3.x.22 - 23 = ( x - 2) x = 22 vào biểu thức cuối ta kết 8000 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP ( x + 3) ( x ) ( ) ( ) ( ) - 3x + - 54 + x3 = x3 + 33 - 54 + x3 = x3 + 27 - 54 - x3 = - 27 a) Ta có: ( 2x + y) ( 4x ) ( - 2xy + y2 - ( 2x - y) 4x2 + 2xy + y2 ) b) Ta có: 3 ỉ 3 3 = ( 2x) + y3 - ỗ (ố 2x) - y3ửứữ ÷= ( 2x) + y - ( 2x) + y = 2y ỗ a) Ta cú: 342 + 662 + 68.66 = 342 + 2.34.66 + 662 = ( 34 + 66) = 1002 = 10000 WORD=>ZALO_0946 513 000 b) Ta có: 742 + 242 - 48.74 = 742 - 2.24.74 + 242 = ( 74 - 24) = 502 = 2500 a) Ta có: Vậy A = 2008.2010 = ( 2009 - 1) ( 2009 + 1) = 20092 - A WORD=>ZALO_0946 513 000 c) 2 E = ( x - 1) + ( y + 2) + ³ > D = ( x - 1) + ³ > 11 Gọi số tự nhiên liên tiếp d) x - 2; x - ; x; x + x ẻ Ơ ;x ( ) ( )( ) A = ( x - 2) ( x - 1) x ( x + 1) = ( x - 2) ( x + 1) x ( x - 1) = x2 - x - x2 - x Ta có: đặt x2 - x = t ( ) A + = x2 - x - A + = ( t - 2) t + = t - 2t + = ( t - 1) 2 A +1 Vậy số phương Tốn Học Sơ Đồ-ĐT/Zalo 0945943199-LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TRỌN BỘ CẢ NĂM- 23 23 ... ( - 1) = ( - 1) ( + 1) 22 + 24 + 28 + 216 + b) Ta có: ( )( )( )( )( ( )( )( )( ) ( ( )( ) ) = 22 - 22 + 24 + 28 + 216 + )( )( ) = 24 - 24 + 28 + 216 + = 28 - 28 + 216 + = 216 - 216 + = 232 - ... 97 ) + + ( 22 − 12 ) = ( 100 − 99 ) ( 100 + 99 ) + ( 98 − 97 ) ( 98 + 97 ) + + ( − 1) ( + 1) = ( 100 + 99 ) + ( 98 + 97 ) + + ( + 1) = 100 + 99 + + = ( 100 + 1) + ( 99 + ) + + ( 51 + 50... thức ta có: x2 − y = x2 − ( y ) = ( x − y ) ( x + y ) d) Áp dụng đẳng thức ta có: ( x + y) − ( − y) = ( ( x + y) − ( − y) ) ( ( x + y) + ( − y) ) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-M ÔN-LỚP 2 = ( x + y − 2) ( x +