ON THI TOAN VAO LOP 10 FULL

-Dùng mối quan hệ của các góc với đường tròn.Chứng minh 2 góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau của một đường tròn, … 3.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau -Dùng đoạn t[r]

Chuyên đề CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BA A KIẾN THỨC CẦN NHỚ : Bảy đẳng thức đáng nhớ ïì x ³ x = a Û ïí ïïî x = a Căn bậc hai số học : Với a ³ , ta có : Lưu ý : Với a ³ thì ( ) a =a A có nghĩa Û A ³ Các phép toán biến đổi bậc hai +) Hằng đẳng thức bậc hai : ìï A A ³ A = A = ïí ïïî - A A < ; A.B  A B +) Khai phương tích và nhân các bậc hai : +) Khai phương thương và chia hai bậc hai : A A  B B +) Đưa thừa số ngoài dấu bậc hai : +) Đưa thừa số vào dấu bậc hai : A B  A B  A  0, B 0  ; +) Khử mẫu biểu thức lấy : +) Trục thức mẫu : A A B   B  0 B B ;  C A B C  A B A B  C A B C  A B A B A B A B   A  B B  A 0,B    B 0  ; A B  A 2B AB  A 0,B 0   A 0, B 0  ;  AB 0, B 0  ;  A 0, B 0, A B   A 0, B 0, A B  B VÍ DỤ Ví dụ Thực phép tính a 11 - 10 ; b - 14 ; c 13 - 42 ; d 46 + ; e 12 - 15 ; f 21 - Ví dụ Tìm ĐKXĐ các biểu thức sau đây : a d - 3x + 2( x + 3) b ; e 2x + 9x - 6x +1 c x2 f 2x - 2- x x- 5- x ; g Đáp án gợi ý : x - x + h - 3x + ³ Û - 3x ³ - Û x £ a b c d - 3x + có nghĩa Û - 2x + > Û x > 2x + có nghĩa Û 2 x có nghĩa Û x > Û x ¹ 2( x + 3) 2( x + 3) ³ Vì > 0, nên 2( x + 3) ³ Û x + ³ Û x ³ - có nghĩa Û e Ta có : 9x - 6x +1 = ( 3x ) + 2.( 3x ) + ( 1) = ( 3x +1) 9x - 6x +1 có nghĩa với x Î ¡ éìï 2x - ³ êïí êï - x > 2x - 1 ïî ³ 0Û ê Û £ x <2 ê 2- x êìïï 2x - £ 2x - êíï ê - x có nghĩa Û ëïî - x < Suy f C MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ BIỂU THỨC VÔ TỶ a 2a - a a - a- a P= Bài Cho biểu thức : Cho biểu thức: a Tìm ĐKXĐ rút gọn P b Tính giá trị P với a = c Tìm a để P < (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2000 – 2001) Đáp án gợi ý : ìï a ³ ïï Û ïí a - ¹ Û ïï ïï a - a ¹ î a ĐKXĐ : P có nghĩa b Biến đổi : a =3Þ Thay =3- 2 = a = 3- 8= ( ïíìï a > ïïî a ¹ ( 2) ) ĐS : P = a - - 2 +1 = c P < Û a - 1<0 Û ) 2- 2 - = - = - 1Î - vào (1) ta : P = = a - = Vậy P = - a = - a = ( (1) ( ) –1= 2- ĐKXĐ 2- a <1 Û £ a <1 Kết hợp với ĐKXĐ, P < < a < x- x ( x - 1) x x- A= Bài Cho biểu thức: a Tìm ĐKXĐ rút gọn A b Tính giá trị A với x =36 c Tìm x để A >A (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2001 – 2002) Đáp án gợi ý : a ĐKXĐ : P có nghĩa ìï x ³ ïï ï Û ïí x - ¹ Û ïï ïï x x - ¹ ïî ( ) ïíìï x > ïïî x ¹ ĐS : A = x- x x = 36 = ( ±6) = ±6 = x- 6- = x x 6 Thay = vào biểu thức A = , ta A = Vậy A = x = 36 b Biến đổi x = 36 Î ĐKXĐ Þ x- A > A Û A <0 Û x <0 c Ta có x- x < thì Với x Î ĐKXĐ thì x > Để Kết hợp với ĐKXĐ, A >A x - < Û £ x <1 < x < æ M =ç ç ç è x Bài Cho biểu thức: ö ÷ : ÷ ø x- x + 3÷ a Tìm ĐKXĐ rút gọn M b Tìm x để M > c Tìm x để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn đó (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2002 – 2003) Đáp án gợi ý : ìï ïï ïï x ³ ìï x ³ ï ï x ¹ Û í í ïï ïïî x ¹ ïï ¹ M= ïï x +3 a ĐKXĐ : M có nghĩa Û ïî x - ĐS : 3- x > Û >0 x + x + Û b Ta có M > Với x Î ĐKXĐ thì 3- x >0 x + > Để x + cần - x >0 Û £ x <9 Kết hợp ĐKXĐ, M > £ x < 2 £ c Ta có M = x + 3 với x Î ĐKXĐ Đẳng thức xảy Û x = Û x = (x Î ĐKXĐ) Vậy maxM = x = æ öæ ÷ ö ÷ ç A =ç + + ÷ ÷ ç ç ÷ ç ç è ø è ø x x + x÷ Bài Cho biểu thức: a Tìm ĐKXĐ rút gọn A b Tính giá trị A x = c Tìm giá trị x để: A =A (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2003 – 2004) Đáp án gợi ý : ìï x ³ ïï ïí x - ¹ Û ïï ï x¹ a ĐKXĐ : A có nghĩa Û ïî b Với x = Î ĐKXĐ Ta có : Thay 2 =- x - , ta A = 0,5 - 1 Vậy A = - x = éA = A =A Û ê ê ëA = Suy Kết hợp ĐKXĐ, é ê ê 2 = Û ê x- x- ê ê ê ë =0 x- Û x =9 =1 x- A = A x = æ P =ç 1+ ç ç è x- Bài Cho biểu thức: a Tìm ĐKXĐ rút gọn P b Tính giá trị A với x = 25 c Tìm x để: ĐS : A = x - æ 1÷ ö 1 x= = ç ± ÷ = ± = = 0,5 ç ç è 2÷ ø 2 x = 0,5 vào biểu thức A = c Ta có : ïíìï x > ïïî x ¹ ö ÷ ÷ ÷x - x 1ø P + ( x - 1) = x - 2005 + + (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2004 – 2005) Đáp án gợi ý : ìï x ³ ïï Û ïí x - ¹ Û ïï ïï x - x ¹ î a ĐKXĐ : P có nghĩa = ĐS: P ( ) x- x = 25 = ( ±5) = ±5 = b Với x = 25 Î ĐKXĐ Ta có : = Thay ïíïì x > ïïî x ¹ x = vào biểu thức P Vậy P = 16 x = 25 ( ) x- 1 , ta P = ( - 1) = 1 = 16 = c Với P + ( x - 1) = x - 2005 + + , P ( ) x- ( Ta có phương trình : ) ( x- 2+ )( ) x- = x – 2005 + Û x – 2005 = Û x = 2005 Î ĐKXĐ ( 2+ ) P + ( x - 1) = x - 2005 + + x = 2005 − √ x ¿2 ¿ Bài Cho biểu thức 1 √ x +1 P= + : ¿ √ x − x 1− √ x a Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b Tìm x để P > (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2006 – 2007) Đáp án gợi ý : Vậy ( ) ìï x ³ ïï Û ïí - x ¹ Û ïï ïï x - x ¹ î a ĐKXĐ : P có nghĩa ïíïì x > ïïî x ¹ ĐS: P = 11x Với x Î ĐKXĐ, suy x > Để Kết hợp ĐKXĐ, suy P > < x < Bài Cho biểu thức A = x x x x b Ta có x > và x ¹ , P > trở thành 1- > x > thì 1- x >0 Û x < Û £ x <1 ( √ x√−1x − x −1√ x ): √ x1−1 a Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A b Tìm tất các giá trị x cho A < c Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình A √ x=m− √ x có nghiệm (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2007 – 2008) Đáp án gợi ý : x  x-  x 1 ĐS : A = x a) Điều kiện xác định:  x  b Với x > 0, x  1, A < trở thành x x  Vì x  Nên x  x - <  x < Kết hợp với điều kiện ta có kết < x < c Với x > 0, x  thì A x = m - x trở thành x x  x m  x  x x  m   (1) Đặt x = t, vì x > 0, x  nên t > 0, t  Phương trình (1) qui t2 + t - m - = (2) Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm dương khác b    Nhận thấy a Nên phương trình (2) có nghiệm dương khác  m   m      1   m    m  Kết luận: m > -1 và m  æ3 ö ÷ P =ç + : ÷ ç ÷ x +1 ç èx - x +1ø Bài Cho biểu thức: a Nêu ĐKXĐ và rút gọn P P= b Tìm các giá trị x để M= c Tìm giá trị nhỏ biểu thức x +12 x- P (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2008– 2009) Đáp án gợi ý : ïì x ³ Û ïí Û ïîï x - ¹ a ĐKXĐ : P có nghĩa ïìï x ³ í ïîï x ¹ = ĐS : P x +2 x- P= trở thành : b Với x ³ và x ¹ 1, x +2 = Û x- ( ) x +2 =5 ( ) x- Û x = 13 Û x = 169 Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết x = 169 c Với x ³ và x ¹ 11, M= M= x +12 x - P , trở thành : ( x- x +12 = =2+ x +12 x - x +2 x +2 Đẳng thức xảy x - = Û x = Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết minP = x = x x 1 x   x  x 1 Bài Cho biểu thức A = a Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A ) x- x +2 ³ b Tính giá trị biểu thức A x = c Tìm tất các giá trị x để A < (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2009– 2010) Đáp án gợi ý : ìï x ³ Û ïí Û ïîï x - ¹ a ĐKXĐ : A có nghĩa b x = Î ĐKXĐ, ìïï x ³ í ïîï x ¹ x x - ĐS : A = æ 3ö 3 x= = ç ± ÷ =± = ÷ ç ÷ ç è 2ø 2 3 = :æ ç ç x ç è2 - x - Ta A = vào biểu thức A = Thay c Với x ³ và x ¹ 1, A < trở thành : x= x - 1< Û <0 Û x- x- Kết hợp với ĐKXĐ ta có kết £ x <1 x x- <1 ö 1÷ =3 ÷ ÷ ø x - < Û £ x <1 x 2   x 1 x  Bài 10 Cho biểu thức A = x  a Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A b Tính giá trị biểu thức A x = c Khi x thoả mãn điều kiện xác định Hãy tìm giá trị nhỏ cuả biểu thức B, với B = A(x – 1) (Thi vào lớp 10 Tỉnh Nghệ An Năm học 2010– 2011) Đáp án gợi ý : ïìï x ³ ï Û ïí x - ¹ Û ïï ïï x - ¹ î a ĐKXĐ : A có nghĩa b x = Î ĐKXĐ Suy ìïï x ³ í ïîï x ¹ x x 1 ĐS : A = x = =3 x 3  x  , ta có kết : A =  Thay x = vào biểu thức A = c Với x và x , ta có: x ¿ √ (x −1) B = A (x − 1) √ x +1 ¿ √ x ( √ x −1) æö ÷ √ x − ¿2 + − = ( x ) - x +ç ÷ ç ÷- è2 ø ç ¿¿ ( ) ¿ x − √x ³ - x= 1 x − ¿ =0 ⇔ √ x − =0 ⇔ x = √ Dấu xảy 2 ¿ Vậy giá trị nhỏ biểu thức B là (− 14 ) đạt Bài tập đề nghị Bài Cho biểu thức: M = √ a+3 − − √ a √ a −6 √ a+6 (với a 0; a 9.) a Rút gọn biểu thức M b Tìm giá trị a để M = c Tìm giá trị nguyên a để M có giá trị nguyên lớn 10 Tìm giá trị nguyên M 1 − −1 Bài Cho biểu thức: A= √a − √ a+1 a) Tìm tập xác định và rút gọn biểu thức A b) Tìm các số nguyên tố a để giá trị biểu thức A là số nguyên 3 x x+x + + √ Bài Cho biểu thức A = √ x − − √ x √ x −3+ √ x √ x +1 61 a) Rút gọn A x 3; b) Tính giá trị A x = 9+2 √  1  Bài Cho biểu thức C =  x   4x      2x x1    : 1    4x  4x x      b Tìm các giá trị x để C < C2   2a    1 a3 a   .   a 3    a  a 1   a  Bài Cho biểu thức P =  a  a Rút gọn C a Rút gọn P æ a +1 ç ç ç ç è a- b Xét dấu biểu thức P  a ö a- a a÷ ÷ ÷ a +1 a - 1÷ ø æa - a- ç ç ç ç è a- Bài Cho biểu thức : B = : a Rút gọn gọn B b So sánh B với  1   a  a      :   a1 a  a a   Bài Cho biểu thức A =  a- A> a Rút gọn A b Tìm giá trị a để 2a  a 2   Bài Cho biểu thức : P= a a  a  a  a Rút gọn P ö ÷ ÷ ÷ 1÷ ø a1 b Tính giá trị P a = - 2   1 x 2   :     x  x x  x  x    x  x      Bài Cho biểu thức A =  a Rút gọn A b Với GT nào x thì A đạt GTNN và tìm GTNN đó 2a + a +2 + a a a + a + Bài 10 Cho biểu thức : P = a Rút gọn P a- b Tính P a = -   x4   :     x  1  x  x 1  2x 1    x   Bài 11 Cho biểu thức P= a Rút gọn P b Tìm GT nguyên x để P nhận GT nguyên dương  x       x   x  x  :  x   x      Bài 12 Cho biểu thức P =  a Rút gọn P b Tìm các GT x để P > c Tìm các số m để có các GT x thoả mãn P x m  x  x   x 2 x        x x   x  2 : x x      Bài 13 Cho biểu thức : P = a) Rút gọn P b) Tính GT P biết x=6 -   c) Tìm các GT n để có x thoả mãn P.( x  1)  x  n  x2   x x  4   x   :     x x  x     Bài 14 Cho biểu thức : P =  a) Rút gọn P b) Tìm các GT x để P < c) Tìm GTNN P x 8x x1 (  ):(  )  x  x x  x x Bài 15 Cho biểu thức P = a/ Rút gọn P b/ Tìm giá trị x để P = -1 c/ Tì m m để với giá trị x >9 ta có: m( x - 3)P > x+1    x  1 x    x   :   x   x x  x   Bài 16 Cho biểu thức P = a) Rút gọn P b) Tính GT P x =  c) Tìm các GT x thoả mãn P x 6 x   x   a 3 a 2 a a  1       :  a    a 1 a 2 a  a  1  Bài 17 Cho biểu thức P= a 1  1 a Rút gọn P b.Tìm a để : P     x  x  :   x x   x  x Bài 18 Cho biểu thức P =  a Rút gọn P b Tính GT P x = 4; x x   x x 1 Bài 19 Cho biểu thức : P= x  a Rút gọn P ; 13 c Tìm x để P = b Tìm các GT x để P <  x  x  :   x  x 1 x  x Bài 20 Cho biểu thức : P =  a Rút gọn P Bài 21 Cho P = b Tính GT P x= x x 3x    , x 0 & x 9 x 3 x  x 13 c Tìm GT x để P = b Tìm giá trị x để P = c Tìm GTLN P a Rút gọn P 2x + 1 1+ x 1- x Bài 22 Cho T = - x a Tìm điều kiện x để T xác định Rút gọn T A  Bài 23 Cho x + x x - x x + x b Tìm giá trị lớn T x A = a, Hãy rút gọn biểu thức A b Tìm x thoả mãn  x -1   - x4   x +  x - x2 + x2 +   + x2   Bài 24 Cho biểu thức: M = a Rút gọn M b Tìm giá trị nhỏ M  P   Bài 25 Cho biểu thức: a Rút gọn P x1 x  3x     : x  x  x    b Tìm x để P >  x 2 x P   x  x  Bài 26 Cho biểu thức: a Rút gọn P x - +  x   x  x  x   c Tìm x để P  x  x  x  3  x x    :   x  2  x x  x   b Chứng minh : P <1 c Tìm giá trị lớn P Hết Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN, HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP A PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN, HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Kiến thức cần nhớ : * Phương trình bậc ẩn là phương trình có dạng : ax + b = ( a 0 ) ; a, b   , x là ẩn  Phương trình có nghiệm x = b a ax  by c  a 'x  b' y c' * Hệ phương trình bậc hai ẩn :  Trong đó : a, b, c, a', b', c'   ; a, b không đồng thời 0, a' và b' không đồng thời và x, y là ẩn Các phương pháp giải hệ phương trình : a) Phương pháp : +) Từ hai phương trình rút ẩn theo ẩn kia, vào phương trình thứ hai ta phương trình bậc ẩn +) Giải ẩn, suy ẩn thứ hai b) Phương pháp cộng +) Quy đồng hệ số ẩn nào đó (làm cho ẩn nào đó hệ số có hệ số đối nhau) +) Giải ẩn, suy ẩn thứ hai c) Phương pháp đặt ẩn phụ Trong quá trình giải toán, tùy vào trường hợp cụ thể để có phương pháp hợp lý B VÍ DỤ Ví dụ Giải các phương trình sau: 2x  2 b) x  x  x x  2 a) x  x  Phương pháp Đây là phương trình chứa ẩn mẫu để giải bài toán này người ta thường làm sau : Biến đổi phương trình dạng : ax + b = ax2 + bx + x = cách : + Tìm ĐKXĐ + Quy đồng và khử mẫu + Giải phương trình vừa tìm + Kết hợp với ĐKXĐ để trả lời Giải a) ĐKXĐ : x 1, x  -   x  0  x  , thỏa mãn b) ĐKXĐ : x  x    2x  0  x  (*) 3  31   3  3 3 1  0 x x    thay vào (*) ta có   là nghiệm Với Vậy Ví dụ Tìm m nguyên để phương trình sau đây có nghiệm nguyên :  m   x  2m  m  0 (1) Giải Với m nguyên thì 2m  0 phương trình có nghiệm : x   2m  m   2m    m    2m  Để phương trình có nghiệm nguyên thì 2m - phải là ước hay 2m - Giải ta m = và m =   1, 2, 4 2x  3y a  5x  3y 2 Ví dụ Cho hệ phương trình :  1) Giải hệ phương trình với a = 2) Tìm giá trị a để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x > 0, y < Giải  x  2x  3y 1  2x  3y 1     5x  3y 2 7x 3 y   21 1) Với a = 1, ta có hệ phương trình : 2) Lấy phương trình đầu cộng với phương trình thứ hai ta có : 7x a   x  a 2 a 2 5a    3y a  y  7 21 Hệ có nghiệm a  0  x      5a  y   0  21 a       2a  a  hệ phương trình có nghiệm x > 0, y < Vậy với  x   m  3 y 0   m   x  4y m  Ví dụ Cho hệ phương trình :   2a  1) Giải hệ m = -1 2) Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m Giải  x  2y 0  x 2    3x  4y   y 1 1) Với m = -1 hệ phương trình đã cho có dạng :  (1)  x   m  3 y 0  (2)  m   x  4y m  2) Xét hệ phương trình :  x  m  3 y thay vào (2) ta có :  m    m  3 y  4y m  Từ (1) ta có :   m  m   y m    m  1  m   y m  (3)  *) Nếu m = ta có : (3) = hay phương trình có nghiệm với y  hệ có vô số nghiệm *) Nếu m = - từ (3)  = - hay hệ phương đã cho trình vô nghiệm m 3 y  x m2 m2 *) Nếu m 1,m  từ (3)  m 3  x   m2  y   m2 Vậy hệ có nghiệm :  Ví dụ Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết hai lẫn chữ số hàng đơn vị lớn chữ số hàng chục đơn vị Và viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại thì số có hai chữ số bé số cũ 36 đơn vị Phương pháp Bước : Lập hệ phương trình - Tìm mối liên hệ để dự kiến phương trình - Chọn ẩn, xác định điều kiện cho ẩn - Biểu thị các yếu tố qua ẩn Bước Giải hệ phương trình vừa lập Bước Đối chiếu giá trị vừa tìm với ĐK để trả lời Giải Gọi chữ số hàng chục số cần tìm là x, chữ số hàng đơn vị là y Điều kiện ẩn là x và y là số nguyên ,  x 9 và  y 9 Khi đó, số cần tìm là xy 10x  y Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta số yx 10y  x Theo bài ta có hệ phương trình : 2y  x 1  x  2y 1    10x  y    10y  x  36  x  y 4 Giải hệ phương trình ta có nghiệm : x = 9, y = thỏa mãn ĐK bài toán Vậy chữ số cần tìm là : 95 Ví dụ Một ôtô và xe đạp chuyển động từ đầu quảng đường AB sau thì gặp Nếu cùng chiều và xuất phát địa điểm, sau ô tô cách xe đạp 28 km Biết quảng đường AB dài 156km, tính vận tốc xe đạp và ôtô Giải Gọi x là vận tốc xe ô tô là x (km/h, x >0), vận tốc xe đạp là y (km/h, y >0) 3x  3y 156   x  y  28 Ta có :   y 40   x 12 x = 40, y = 12 thỏa mãn ĐK bài toán Vậy vận tốc xe đạp là 12 km/h, vận tốc xe ô tô là 40 km/h Ví dụ Một xe tải từ A đến B, quảng đường dài 189 km Sau xe tải xuất phát giờ, xe khách bắt đầu từ B đến A và gặp xe tải sau 48 phút Tính vận tốc xe, biết xe khách nhanh xe tải 13 km Giải Đổi : 48 phút = Gọi vận tốc xe khách là x (km/h) và vân tốc xe tải là y (km/h) Điều kiện ẩn là x và y là số dương Theo bài ta có hệ phương trình  x  y 13 14x  14y 182  x 49    9 14 9x  14y 945  y 36  x  y 189 x = 49, y = 36 thỏa mãn ĐK bài toán Vậy vận tốc xe khách là 49 km/h, vận tốc xe tải là 36 km/h Ví dụ Để trở số hàng có thể dùng ô tô lớn trở 12 chuyến ô tô nhỏ trở 15 chuyến Ô tô lớn trở số chuyến chuyển sang làm việc khác, ô tô nhỏ trở tiếp cho xong, hai xe trở tổng cộng 14 chuyến xong công việc Hỏi ô tô trở chuyến Giải Gọi x là sô chuyến ô tô lớn chở, y là sô chuyến ô tô nhỏ chở (x, y nguyên dương)  x  y 14   x y    Theo bài ta có hệ phương trình : 12 15  x 4   y 10 x = 4, y = 10 thỏa mãn ĐK bài toán Vậy ô tô lớn chở chuyến, ô tô nhỏ chở 10 chuyến Ví dụ Hai đội công nhân cùng làm đoạn đường 24 ngày thì xong Mỗi ngày, phần việc đội A làm đội B Hỏi làm mình thì đội làm xong đoạn đường đó bao lâu ? Giải Gọi thời gian đội A làm mình xong đoạn đường là x (ngày) và thời gian đội B làm mình xong đoạn đường là y (ngày) Điều kiện ẩn là x và y là số dương Ta có : Công việc đội A làm ngày x (công việc) Công việc đội B làm ngày y (công việc) Theo bài ta có hệ phương trình : 1 1  x  y  x  60  x 60      y 40 1   1   x y 24  y 40 x = 60, y = 40 thỏa mãn ĐK bài toán Vậy thời gian đội A làm mình xong đoạn đường là : 60 ngày, thời gian đội B làm mình xong đoạn đường là 40 ngày Ví dụ 10 Hai người cùng làm chung công việc thì sau giờ12 phút xong Nếu mình người thứ làm hai sau đó mình người thứ hai làm ba làm công việc Hỏi người làm mình thì sau bao nhiêu lâu xong công việc ? Giải Gọi x , y là thời gian để mình người thứ nhất, mình người thứ hai làm xong công việc (giờ, x, y > 7,2) Trong : Người thứ làm x công việc ; Người thứ hai làm y công việc ; 1 1  x  y 36  x 12  x 12      y 18   1 1    y 18 Theo bài ta có hệ phương trình :  x y x = 12, y = 18 thỏa mãn ĐK bài toán Vậy mình người thứ làm xong công việc 12 giờ, mình người thứ hai làm xong công việc 18 Ví dụ 11 Hai người thợ cùng làm công việc 16 thì xong Nếu người thứ làm và người thứ hai làm thi hoàn thành 25% công việc Hỏi làm riêng thì người hoàn thành công việc đó bao lâu ? Giải Gọi x , y là thời gian để mình người thứ nhất, mình người thứ hai làm xong công việc (giờ, x, y > 16) Trong : Người thứ làm x công việc ; Người thứ hai làm y công việc ; 1 1 1   x  y 16  x 24   x 24     y 48   1 1    y 48 Theo bài ta có hệ phương trình :  x y x = 24, y = 48 thỏa mãn ĐK bài toán Vậy mình người thứ làm xong công việc 24 giờ, mình người thứ hai làm xong công việc 48 Ví dụ 12 Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể cạn nước (không có nước) thì bể đầy 30 phút Nếu hai vòi chảy vòi thứ chảy 15 phút, vòi thứ hai 20 phút thì bể nước Hỏi mở riêng vòi thì thời gian để vòi chảy đầy bề là bao nhiêu ? Giải Gọi thời gian vòi thứ chảy mình đầy bể là x (giờ) và thời gian vòi thứ hai chảy mình đầy bể là y (giờ) Điều kiện ẩn là x và y là số dương Ta có : 1 vòi thứ chảy x (bể nước) 1 vòi thứ hai chảy y (bể nước) Theo bài ta có hệ phương trình : 1  x  y 3    1     4x 3y 1   x 15 1     y 15  x    y   15 x = , y = 40 thỏa mãn ĐK bài toán 15 Vậy vòi thứ chảy mình đầy bể : ; vòi thứ hai chảy mình đầy bể : Bài tập tự luyện 3x  2y 6  Bài Cho hệ phương trình : ax  y  1) Giải hệ phương trình với a = (x, y là ẩn ; a là tham số) x 2) Tìm giá trị a cho nghiệm (x ; y) hệ thỏa mãn y = ax  y 3  Bài Cho hệ phương trình :  x  ay  1) Giải hệ phương trình với a = 2) Với giá trị nào a thì hệ phương trình đã cho có nghiệm  a  1 x  ay 3a   2x  y a  Bài Cho hệ phương trình :  1) Giải hệ phương trình với a = 2) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm (x ; y) cho : S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ mx – y   Bài Cho hệ phương trình: 3x  my  1) Giải hệ phương trình m = 2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:(x, y) cho: x + y = Bài Hai người thợ cùng làm công việc 18 thì xong Nếu người thứ làm nghỉ và người thứ làm tiếp thì họ làm công việc Hỏi làm mình thì người bao lâu để hoàn thnàh công việc ? Bài Để chở đoàn khách 320 người tham quan chiến trường Điện Biên Phủ, công ty xe khách đã bố trí loại xe, loại thứ xe có 40 chỗ, loại thứ hai xe có 12 chỗ Em hãy tính số xe loại biết loại thứ ít số xe loại thứ hai là và số người ngồi vừa đủ số ghế trên xe Bài Hai người thợ cùng sơn cửa cho ngôi nhà ngày thì xong Nếu người thứ làm ngày nghỉ và người thứ hai làm tiếp ngày thì xong việc Hỏi người làm mình thì sau bao lâu xong việc ? Bài Hai người cùng làm chung công việc thì sau 30 phút họ làm xong công việc Nếu mình người thứ làm giờ, sau đó mình người thứ hai làm thì hai người làm 75% công việc Hỏi người làm mình thì sau bao lâu xong công việc? (Biết suất làm việc người là không thay đổi) Bài Để chuẩn bị cho kỉ niệm ngày sinh nhật Bác, các đoàn viên hai lớp 9A và 8A trường trung học sở Kim Liên, tổ chức trồng 110 cây quanh trường Mỗi đoàn viên lớp 9A trồng cây, đoàn viên lớp 8A trồng hai cây Biết số đoàn viên lớp 9A nhiều số đoàn viên lớp 8A là người Hãy tính số đoàn viên các lớp 9A và 8A (1) mx  y 3  2x  my 9 (2) Bài 10 Cho hệ phương trình : 1) Giải hệ phương trình m=1 b) Tìm các giá trị nguyên m để hệ đã cho có nghiệm (x ; y) cho biểu thức A = 3x - y nhận giá trị nguyên 2x  y 5m   Bài 11 Cho hệ phương trình:  x  2y 2 (m là tham số) 1) Giải hệ phương trình với m = 2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x ; y) thỏa mãn: x2 – 2y2 =  mx  y 2 (1)  Bài 12 Cho hệ phương trình :  x  my 1 (2) 1) Giải hệ phương trình theo tham số m 2) Gọi nghiệm hệ phương trình là (x, y) Tìm các giá trị m để x + y = -1 3) Tìm đẳng thức liên hệ x và y không phụ thuộc vào m (a  1)x  y a  Bài 13 Cho hệ phương trình: x  (a  1)y 2 có nghiệm là (x; y) 1) Tìm đẳng thức liên hệ x và y không phụ thuộc vào a 2) Tìm các giá trị a thoả mãn 6x2 – 17y = 2x  5y 3) Tìm các giá trị nguyên a để biểu thức x  y nhận giá trị nguyên  a  1 x  y 4  ax  y 2a Bài 14 Cho hệ phương trình  (a là tham số) 1) Giải hệ a = 2) Chứng minh với a hệ luôn có nghiệm (x ; y) thoả mãn x + y  2 x  y m   Bài 15 Cho hệ phương trình:  x  y 3m  1) Giải hệ phương trình với m = 2) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn : x2 + y2 =10  x  2y 3  m  2x  y 3(m  2) Bài 16 Cho hệ phương trình: 1) Giải hệ phương trình thay m = - 2) Gọi nghiệm hệ phương trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhấtl x  ay 1 (1)  ax  y   Bài 17 Cho hệ phương trình: 1) Giải hệ (1) a = 2) Với giá trị nào a thì hệ có nghiệm Chuyên đề CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Giải phương trình bậc hai dạng : ax2 + bx + c = (a 0) (1) a) Nhẩm nghiệm:  x1 1   x2  c a a + b +c =  pt (1) có nghiệm:   x1    x2  c a a – b +c =  pt (1) có nghiệm:  b) Giải với  ' : b Nếu b = 2b’  b’ =   ' = (b’)2 – ac  b' '  b' ' x1  x2  a a +) Nếu  ' >  phương trình có nghiệm phân biệt : ;  b' x1 x2  a +) Nếu  ' =  phương trình có nghiệm kép: +) Nếu  ' <  phương trình vô nghiệm c) Giải với  : Tính  :  = b2 – 4ac  b   b  x1  x2  2a ; 2a +) Nếu  >  phương trình có nghiệm phân biệt: b x1  x2  2a +) Nếu  =  phương trình có nghiệm kép:  +) Nếu  < phương trình vô nghiệm * Điều kiện có nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a ≠0) (1) - (1) có nghiệm   0 ; có nghiệm phân biệt     0   P  - (1) có nghiệm cùng dấu - (1) có nghiệm dương  0  P    S   0  P    S  - (1) có nghiệm âm - (1) có nghiệm trái dấu  ac < (hoặc P < 0) Hệ thức Vi ét và ứng dụng: b   S x1  x2  a   P  x x c a a) Định lý: Nếu x1, x2 là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a 0) thì ta có:  b) Định lý đảo: u  v S  Nếu u.v P  u, v là nghiệm phương trình x2 – Sx + P = (ĐK: S2 – 4P  0) * Một số hệ thức áp dụng hệ thức Vi-ét: 2 + Tổng bình phương các nghiệm: x1  x2 ( x1  x2 )  x1 x2 = S2 – 2P 1 x x S    x1 x2 P + Tổng nghịch đảo các nghiệm: x1 x2 x12  x22 S2  2P 1    2 x x ( x x ) P2 2 + Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm: 2 + Bình phương hiệu các nghiệm: ( x1  x2 )  ( x1  x2 )  x1 x2 = S2 – 4P 3 + Tổng lập phương các nghiệm: x1  x2  ( x1  x2 )  3x1 x2 ( x1  x2 ) = S3 – 3PS B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 1) Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát 2) Xác định tham số đẩ phương trình có nghiệm ; có nghiệm kép ; có hai nghiệm phân biệt ; có hai nghiệm dương ; có hai nghiệm âm ; có hai nghiệm khác dấu 3) Chứng minh (chứng tỏ) phương trình có nghiệm với giá trị tham số 4) Tìm biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số C MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH Bài Cho phương trình bậc hai x2 + 2x – m = (1) 1) Giải phương trình ( ) m = 2) Xác định m để phương trình (1) có nghiệm Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x14 + x24 Bài Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = (1) 2) Giải phương trình (1) m = – 3) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với m 3) Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = (1) Giải phương trình (1) m = Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = (m là tham số) (1) Giải phương trình (1) m = 2 Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với m Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m Bài Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = (m là tham số) (1) Giải phương trình (1) m = Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với m 3.Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ x 1, x2 độc lập với m Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trái dấu Bài Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – = (1) Giải phương trình (1) m = –2 Chứng minh : m , phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Gọi x1, x2 là hai nghiệm pt (1) Chứng minh biểu thức: A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m Bài Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = (1) 1) Giải phương trình (1) m = – 2) Chứng minh : Với m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 2 3) Gọi x , x là hai nghiệm (1) Tính A = x1  x2 theo m 4) Tìm giá trị m để A đạt giá trị nhỏ Bài Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – = (1) Giải phương trình (1) m = –1 Chứng minh : Với m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình (1) có nghiệm trái dấu Thiết lập mối quan hệ nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m 2 Tìm m để x1  x = 10 Bài Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + = (1) 1) Giải phương trình (1) m = –1 2) Tìm m để: a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu c) Tổng bình phương các nghiệm pt (1) 11 Bài 10 Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m là tham số) (1) a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó b) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 hãy tìm hệ thức liên hệ các nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m Bài 12 Cho phương trình bậc hai : x2 + (m + 1)x + m -1 = 1) Giải phương trình m = 2) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt với m Bài 13 Cho phương trình bậc hai, với tham số m : 2x2 – (m + 3)x + m = (1) 1) Giải phương trình (1) m = x1x 2 2) Tìm các giá trị tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = x1  x 3) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = Bài 14 Cho phương trình bậc hai : x2 + (m + 1)x + m -1 = 1) Giải phương trình m = 2) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt với m Bài 15 Cho phương trình: x  2(m  1)x  2m  0 ( m là tham số) 1) Giải phương trình m = -2 2) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt với m 3) Tìm hệ thức không phụ thuộc tham số m các nghiệm Bài 16 Cho phương trình: (m+1)x2 - 2(m + 2)x + m - = (1) Giải phương trình (1) m = Định m để phương trình (1) có nghiệm Định m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 Bài 17 Cho phương trình: 3x2 - 4x + m + = (m là tham số) (1) Giải phương trình với m = - 1   x x2 Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt cho 2 Bài 18 Cho phương trình: x  mx  m  m  0 (với m là tham số) Giải phương trình m = 2 Tìm m để phương trình có nghiệm x 1, x2 là dộ dài cạnh góc vuông tam giác vuông ABC có độ dài cạnh huyền BC = Bài 19 Cho phương trình: x2 – 2(m + 2)x + m2 – = (1) Giải phương trình (1) với m = Tìm m để (1) có nnghiệm phân biệt Gọi nghiệm phân biệt (1) là x1 và x2 Hãy xác định các giá trị m để: x1  x2  x1  x Bài 20 Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m : x2 - (m + 1)x + 2m - = (1) Giải phương trình (1) m = 2 Tìm giá trị tham số m để x = -2 là nghiệm phương trình (1) Bài 21 Một canô chạy xuôi dòng từ A đến B quay trở lại A Biết quãng sông AB dài 30km và vận tốc dòng nước là 4km/h Tính vận tốc thực canô ? Bài 22 Hai ôtô khởi hành lúc từ A đến B cách 150km Biết vận tốc ôtô thứ vận tốc ô tô thứ hai 10km/h và ôtô thứ đến B trước ôtô thứ hai 45 phút Tính vận tốc xe ? Bài 23 Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A đến B Xe máy thứ có vận tốc trung bình lớn vận tốc trung bình xe máy thứ hai 10km/h, nên đến trước xe máy thứ hai Tính vận tốc trung bình xe máy, biết quãng đường AB dài 120km Bài 24 Một ô tô trên quãng đường dài 520 km Khi 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h và hết quãng đường còn lại Tính vận tốc ban đầu ô tô, biết thời gian hết quãng đường là Bài 25 Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước thì sau 12 bể đầy Nếu vòi chảy riêng thì thời gian vòi thứ chảy đầy bể ít vòi thứ chảy đầy bể là 10 Hỏi chảy riêng vòi thì vòi chảy bao lâu đầy bể ? Bài 15 Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó lại ngược từ B A Thời gian xuôi ít thời gian ngược 1h20 phút Tính khoảng cách hai bến A và B biết vận tốc dòng nước là 5km/h và vận tốc riêng ca nô xuôi và ngược là Bài 26 Một người xe máy từ A đến B cách 12 0km với vận tốc dự định trước Sau quảng đường AB người đó tăng vận tốc lên 10km/h trên quãng đường còn lại Tìm vận tốc dự định và thời gian lăn bánh trên đường, biết người đó đến B sớm dự định 24 phút Bài 27 Một người dự định xe đạp từ A đến B cách 96km thời gian định Sau nửa quãng đường người đó dừng lại nghỉ 18 phút Do đó để đến B đúng hẹn người đó đã tăng vận tốc thêm 2km/h trên quãng đường còn lại Tính vận tốc ban đầu và thời gian xe lăn bánh trên đường Bài 28 Một công nhân dự định làm 150 sản phẩm thời gian định Sau làm với xuất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác nên đã tăng xuất sản phẩm và vì đã hoàn thành 150 sản phẩm sớm dự kiến 30 phút Hãy tính xuất dự kiến ban đầu Bài 29 Một ca nô xuôi dòng trên khúc sông từ bến A đến bến B cách 80km,sau đó lại ngược dòng đến địa điểm C cách B 72km, thời gian ca nô xuôi dòng ít thời gian ca nô ngược dòng 15 phút Tính vận tốc riêng ca nô,biết vận tốc dòng nước là 4km/h Bài 30 Một người xe đạp từ A đến B cách 24km Khi từ B trở A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, vì thời gian ít thời gian 30 phút Tính vận tốc người xe đạp từ A đến B Bài 31 Khoảng cách hai bến sông A và B là 48 km Một canô từ bến A đến bến B, quay lại bến A Thời gian và là (không tính thời gian nghỉ) Tính vận tốc canô nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước là km/h Bài 32 Hai ô tô cùng xuất phát từ A đến B, ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe ô tô, biết quãng đường AB dài là 300km Bài 34 Theo kế hoạch, tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến làm việc, phải điều công nhân làm việc khác nên công nhân còn lại phải làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết suất lao động công nhân là Bài 35 Khoảng cách hai tỉnh A và B là 108 km Hai ô tô cùng khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B trước xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc xe Bài 36 Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + = (m là tham số) 1) Tìm các giá trị m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm phương trình) Bài 37 Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – = 1) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm trái dấu 3) Gọi hai nghiệm phương trình là x1 và x2, tìm các giá trị m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8 Bài 38 Cho phương trình : x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 1) Giải phương trình với m = 2) Gọi hai nghiệm phương trình là x1 và x2 Tìm các giá trị m thoả mãn 5x1 + x2 = Bài 39 Cho phương trình : x2 – 6x + = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm phương trình Không giải phương trình, hãy tính: x12  x 22  x1x  x1  x  1) x12 + x22 ; 2) x1 x1  x x ; 3)    x12 x12   x 22 x 22   Chuyên đề Hàm số y = ax + b và hàm số y = ax2 I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số y = ax + b : a Tính chất :  Xác định với giá trị x thuộc   Đồng biến trên  a >  Nghịch biến trên  a < b Đồ thị :  Đồ thị là đường thẳng với hệ số góc a  Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ b c Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Bước : Xác định hai điểm phân biệt Bước : Vẽ đường thẳng qua hai điểm đó d Vị trí tương đối hai đường thẳng y = ax + b (d1) và y = a'x + b' (d2)  (d1) cắt (d2)  a  a' Chú ý : Giao điểm hai đường thẳng y = ax + b (d1) và y = a'x + b' (d2) là nghiệm hệ ax  b a 'x  b'  :  y ax  b a a '  b b'  (d1) song song (d2)  (d1) vuông góc (d2)  a a' = -1 e Phương trình đường thẳng qua hai điểm A(xA;yA) ; B(xB;yB) có dạng : x  xA y  yA  x A  x B yA  yB Hàm số y = ax2(a 0): a Hàm số y = ax2 (a 0) có tính chất sau:  Xác định với giá trị x thuộc   Nếu a > thì hàm số đồng biến x > và nghịch biến x <  Nếu a < thì hàm số đồng biến x < và nghịch biến x > b Đồ thị hàm số y = ax2(a 0): + Là Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > thì đồ thị nằm phía trên trục hoành là điểm thấp đồ thị + Nếu a < thì đồ thị nằm phía trục hoành là điểm cao đồ thị c Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a 0): + Lập bảng các giá trị tương ứng (P) + Dựa và bảng giá trị  vẽ (P) Tìm giao điểm hai đồ thị :(P): y = ax2(a 0) và (d): y = kx + b:  Lập phương trình hoành độ giao điểm (P) và (D): cho vế phải hàm số  đưa pt bậc hai dạng ax2 - kx - c =  Giải pt hoành độ giao điểm: + Nếu  >  pt có nghiệm phân biệt  (D) cắt (P) điểm phân biệt + Nếu  =  pt có nghiệm kép  (D) và (P) tiếp xúc + Nếu  <  pt vô nghiệm  (D) và (P) không giao B VÍ DỤ y k xk 2   Ví dụ Cho hàm số Xác định các giá trị của k để : a Hàm số là hàm số bậc và luôn nghịch biến b Vẽ đồ thị hàm số k = ; k = ; k = c Đồ thị hàm số qua M(1 ; -2) d Đồ thị cắt hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích Đáp án gợi ý a Hàm số là hàm số bậc và luôn nghịch biến  k    k  b Hướng dẫn HS vẽ đồ thị c Đồ thị hàm số qua M(1 ; -2) nên ta có   k  3  k   k  1  2k  ;0    k   , cắt trục tung B  0;2  k  d Đồ thị hàm số cắt trục hoành A Diện tích tam giác vuông AOB (O là gốc tọa độ) : 2k  k 2    k    k 3 k +) Với  k 0  k 3 thì phương trình có dạng : k  8k  0 , phương trình có hai nghiệm k1   , k   (thỏa mãn) +) Với  k   k  thì phương trình có dạng : k  16 0 , phương trình vô nghiệm Ví dụ Cho hai điểm A (1 ; 3), B(2 ; 5) a Lập phương trình đường thẳng  qua A và B b Xác định khoảng cách từ O đến đường thẳng  c Lập phương trình đường thẳng qua C(-4 ; 1) và song song với  ; vuông góc với  Đáp án gợi ý x  xA y  yA  a Đường thẳng qua hai điểm A, B có dạng : x A  x B y A  y B nên : x y     x  1   y  3 1  hay y = 2x + Vậy đường thẳng  có dạng : y = 2x + 1 b Đường thẳng  cắt Ox D( ; 0), cắt trục tung Oy tai E(0 ; 1) Gọi H là chiếu O trên  , ta có : 1 1 1     4  5  OH  2 OH OD OE      2 c Đường thẳng (d) qua C có dạng : y = ax + b Do (d) //  nên hệ số góc a =  y 2x  b (b 1) Vì (d) qua C(-4 ; 1) nên : = 2(-4) + b  b = Vậy đường thẳng (d) là y = 2x + 1  y xb 2 +) Do (d)   nên a = -1 Vì (d) qua C(-4 ; 1) nên : 1  y x = (-4) + b  b = -1 Vậy đường thẳng (d) là  a  II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho đường thẳng (d) có phương trình : 2(m - 1)x + (m - 2)y = a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) : y = x2 hai điểm phân biệt A,B b) Tìm tọa độ trung điểm AB theo m Bài Cho hàm số y = (m - 2)x + + m a) Xác định m để hàm số là hàm số bậc đồng biến b) Xác định m để đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua M(1 ; 3) ; c) Xác định m để đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ thành tam giác có diện tích 1 y  x2 có đồ thị là parabol (P) Bài Cho hàm số : a) Viết phương trình đường thảng qua hai điểm A và B thuộc (P) : xA = -2, xB = b) Xác định tọa độ điểm M  (P) biết đường thẳng tiếp xúc với (P) M song song với đường thẳng AB Bài Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình y = mx + a) Chứng minh với m, (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A, B b) Tìm giá trị m để tam giác OAB có diện tích Bài Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + = (m là tham số) 1) Tìm các giá trị m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm phương trình) Bài Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 1) Tìm điều kiện m để hàm số luôn nghịch biến 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ 3) Tìm m để đồ thị hàm số trên và các đồ thị các hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy Bài Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn qua với m 4) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành tam giác có diện tích (đvdt) Bài Cho hàm số y = -2x2 có đồ thị là (P) 1) Các điểm A(2 ; -8), B(-3 ; 18), C( ; -4) có thuộc (P) không ? 2) Xác định các giá trị m để điểm D có toạ độ (m; m – 3) thuộc đồ thị (P)  x2 Bài Cho hàm số y = 1) Vẽ đồ thị hàm số 2) Gọi A và B là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ là và -2 Viết phương trình đường thẳng AB 3) Đường thẳng y = x + m – cắt đồ thị trên hai điểm phân biệt, gọi x1 và x2 là hoành độ hai giao điểm Tìm m để x12 + x22 + 20 = x12x22 Bài 10 Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 1) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh đồ thị hàm số luôn qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ x =   x2 Bài 11 Cho hàm số y = f(x) = 1) Với giá trị nào x hàm số trên nhận các giá trị : ; -8 ; - ; 2) A và B là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ là -2 và Viết phương trình đường thẳng qua A và B x Bài 12 Cho hàm số y = f(x) = ), f( ) 1) Hãy tính f(2), f(-3), f( 3  3 ;    1;  2;  2;     có thuộc đồ thị hàm số không ?    2) Các điểm A ,B ,C ,D Bài 13 Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*) 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua: a) A(-1; 3) ; b) B( ; -5 ) ; c) C(2 ; -1) 2) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 2x – điểm nằm góc vuông phần tư thứ IV Bài 14 Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = (m – 2)x2 (*) 1   ; 5 2;  1) Tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm: a) A(-1 ; 3) ; b) B ; c) C   2) Thay m = Tìm toạ độ giao điểm đồ thị (*) với đồ thị hàm số y = x – Bài 15 Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm các giá trị m để đường thẳng (D) : 1) Đi qua điểm A(1; 2003) 2) Song song với đường thẳng x – y + = x 3) Tiếp xúc với parabol y = - Bài 16 Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Biết (d) cắt trục hoành điểm có hoành độ và song song với đường thẳng y = -2x + 2003 1) Tìm a và b  x2 2) Tìm toạ độ các điểm chung (nếu có) (d) và Parabol y = Bài 17 Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (D) : y = 2(a – 1)x + – 2a (a là tham số) 1) Với a = tìm toạ độ giao điểm đường thẳng (D) và parabol (P) 2) Chứng minh với a (D) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt 2 3) Giả sử x1 và x là hoành độ các giao điểm (D) và (P) Tìm a để x1  x 6     Cho hàm số : y = (2m – 1)x + m + với m là tham số và m  Hãy xác định m Bài 18 trường hơp sau : a) Đồ thị hàm số qua điểm M ( -1;1 ) b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành A , B cho tam giác OAB cân Chủ đề HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Định lý Pitago ABC vuông A  AB2  AC BC2 2.Hệ thức lượng tam giác vuông 1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC 2) AB.AC = AH.BC 3) AH2 = BH.HC 1  2 AB AC 4) AH Kết quả: a h ; -Với tam giác cạnh là a, ta có: 3.Tỉ số lượng giác góc nhọn   Đặt ACB  ; ABC  đó: a2 S AB AH AC HC AB AH AC HC  ; cos   ; tg   ; cot g   BC AC BC AC AC HC AB AH b a sin B acosC ctgB ccot gC c acosB asinC bctgB btgC Kết suy ra: 1) sin  cos; cos sin; tg cotg; cot g tg sin  cos 2)  sin   1;  cos <1; tg  ; cot g  cos sin 1 3) sin   cos 2 1; tg.cot g 1; 1  cot g; 1  tg sin  cos 2 4) Cho ABC nhọn, BC = a; AC = b; AB = c đó: a b  c2  2bc.cosA; SABC  bcsin A B.MỘT SỐ VÍ DỤ VD1.Cho tam giác ABC có AB > AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH Chứng minh: BC2 2 a) AB  AC 2AM  b) AB2  AC 2BC.MH VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm a) Chứng minh AC vuông góc với BD b) Tính diện tích hình thang  VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15; ADC =700 sin   C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến BD Gọi I là hình chiếu C trên BD, H là hình chiếu I trên AC Chứng minh: AH = 3HI 2.Qua đỉnh A hình vuông ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt BC E và cắt đường thẳng DC F 1   2 AF a Chứng minh: AE 3.Cho tam giác cân ABC có đáy BC = a;  BAC =  ;   45 Kẻ các đường cao AE, BF a) Tính các cạnh tam giác BFC theo a và tỉ số lượng giác góc  b) Tính theo a, theo các tỉ số lượng giác góc  và 2 , các cạnh tam giác ABF, BFC c) Từ các kết trên, chứng minh các đẳng thức sau: 2tg 1) sin 2 2sin cos; 2) cos2=cos 2  sin ; 3) tg2   tg 2 Chủ đề §6 CHỨNG MINH BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tam giác  A  '; B  B';  C  C'  A ABC A 'B'C'   AB A 'B'; BC B'C'; AC A 'C' a) Khái niệm: b) Các trường hợp hai tam giác: c.c.c; c.g.c; g.c.g c) Các trường hợp hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh huyền và cạnh góc vuông; cạnh huyền và góc nhọn d) Hệ quả: Hai tam giác thì các đường cao; các đường phân giác; các đường trung tuyến tương ứng 2.Chứng minh hai góc -Dùng hai tam giác hai tam giác đồng dạng, hai góc tam giác cân, đều; hai góc hình thang cân, hình bình hành, … -Dùng quan hệ các góc trung gian với các góc cần chứng minh -Dùng quan hệ các góc tạo các đường thẳng song song, đối đỉnh -Dùng mối quan hệ các góc với đường tròn.(Chứng minh góc nội tiếp cùng chắn cung hai cung đường tròn, …) 3.Chứng minh hai đoạn thẳng -Dùng đoạn thẳng trung gian -Dùng hai tam giác -Ứng dụng tính chất đặc biệt tam giác cân, tam giác đều, trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông, hình thang cân, hình chữ nhật, … -Sử dụng các yếu tố đường tròn: hai dây cung hai cung nhau, hai đường kính đường tròn, … -Dùng tính chất đường trung bình tam giác, hình thang, … 4.Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng song song -Dùng mối quan hệ các góc: So le nhau, đồng vị nhau, cùng phía bù nhau, … -Dùng mối quan hệ cùng song song, vuông góc với đường thẳng thứ ba -Áp dụng định lý đảo định lý Talet -Áp dụng tính chất các tứ giác đặc biệt, đường trung bình tam giác -Dùng tính chất hai dây chắn hai cung đường tròn 5.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc -Chứng minh chúng song song với hai đường vuông góc khác -Dùng tính chất: đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại -Dùng tính chất đường cao và cạnh đối diện tam giác -Đường kính qua trung điểm dây -Phân giác hai góc kề bù 6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng -Dùng tiên đề Ơclit: Nếu AB//d; BC//d thì A, B, C thẳng hàng -Áp dụng tính chất các điểm đặc biệt tam giác: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, … -Chứng minh tia tạo ba điểm tạo thành góc bẹt: Nếu góc ABC 1800 thì A, B, C thẳng hàng -Áp dụng tính chất: Hai góc có hai cạnh nằm trên đường thẳng và hai cạnh nằm trên hai nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng trên -Chứng minh AC là đường kính đường tròn tâm B 7.Chứng minh các đường thẳng đồng quy -Áp dụng tính chất các đường đồng quy tam giác -Chứng minh các đường thẳng cùng qua điểm: Ta hai đường thẳng cắt điểm và chứng minh đường thẳng còn lại qua điểm đó -Dùng định lý đảo định lý Talet *********************************************** Chủ đề §8.CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HỆ THỨC HÌNH HỌC A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.Tam giác đồng dạng  A  '; B  B';  C  C'  A  ABC A 'B'C'  AB AC BC     A'B' A 'C' B'C' -Khái niệm: -Các trường hợp đồng dạng hai tam giác: c – c – c; c – g – c; g – g -Các trường hợp đồng dạng hai tam giác vuông: góc nhọn; hai cạnh góc vuông; cạnh huyền - cạnh góc vuông… *Tính chất: Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường cao, hai đường phân giác, hai đường trung tuyến tương ứng, hai chu vi tỉ số đồng dạng; tỉ số hai diện tích bình phương tỉ số đồng dạng 2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học -Dùng định lí Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng tam giác vuông, … Giả sử cần chứng minh MA.MB = MC.MD -Chứng minh hai tam giác MAC và MDB đồng dạng hai tam giác MAD và MCB -Trong trường hợp điểm đó cùng nằm trên đường thẳng thì cần chứng minh các tích trên cùng tích thứ ba Nếu cần chứng minh MT2 = MA.MB thì chứng minh hai tam giác MTA và MBT đồng dạng so sánh với tích thứ ba Ngoài cần chú ý đến việc sử dụng các hệ thức tam giác vuông; phương tích điểm với đường tròn *************************************************** Chủ đề §10.CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.KIẾN THỨC CƠ BẢN Phương pháp chứng minh - Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cùng cách điểm - Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù - Chứng minh hai đỉnh cùng nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm còn lại hai góc - Chứng minh tổng góc ngoài đỉnh với góc đối diện bù - Nếu MA.MB = MC.MD NA.ND = NC.NB thì tứ giác ABCD nột tiếp (Trong đó M AB  CD; N AD  BC ) - Nếu PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp (Trong đó P AC  BD ) - Chứng minh tứ giác đó là hình thang cân; hình chữ nhật; hình vuông; … Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc đường tròn ta có thể chứng minh điểm lúc Song cần chú ý tính chất “Qua điểm không thẳng hàng xác định đường tròn” Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H và cắt đường tròn (O) M,N ,P Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD, nội tiếp Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đường tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H và M đối xứng qua BC Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Lời giải A N P E F O H B D ( ( - M C Xét tứ giác CEHD ta có:  CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)  CDH = 90 ( Vì AD là đường cao)   => CEH  CDH = 1800   Mà CEH và CDH là hai góc đối tứ giác CEHD Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp Theo giả thiết:  BE là đường cao => BE  AC => BEC = 900  CF là đường cao => CF  AB => BFC = 900 Như E và F cùng nhìn BC góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC Vậy bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên đường tròn 3) Xét hai tam giác AEH và ADC ta có:   AEH  ADC = 900 ;  là góc chung AE AH  AD AC => AE.AC = AH.AD =>  AEH  ADC =>    * Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: BEC  ADC = 900 ; C là góc chung BE BC  =>  BEC  ADC => AD AC => AD.BC = BE.AC  A   C ABC Ta có ( vì cùng phụ với góc )  A  C ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) C1  C  => => CB là tia phân giác góc HCM; lại có CB  HM =>  CHM cân C => CB là đương trung trực HM H và M đối xứng qua BC Theo chứng minh trên bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên đường tròn    => C1  E1 ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF ) Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp 1 E    C ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD ) 1 E    E => EB là tia phân giác góc FED  Chứng minh tương tự ta có FC là tia phân giác góc DFE mà BE và CF cắt H đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By C và D Các đường thẳng AD và BC cắt N Chứng minh AC + BD = CD  Chứng minh COD = 900 AB2 Chứng minh AC BD = Chứng minh OC // BM Chứng minh AB là tiếp tuyến đường tròn đường kính CD Chứng minh MN  AB Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Lời giải: Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: CA  CM  DB  DM => AC + BD = CM + DM Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC là tia phân giác góc AOM ; OD là tia phân giác góc    BOM Mà AOM và BOM là hai góc kề bù =>  COD = 90  Theo trên COD = 900 nên  COD vuông O có OM  CD ( OM là tiếp tuyến ) Áp dụng hệ thức cạnh và đường cao tam giác vuông ta có : OM2 = CM DM, AB Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD =  Theo trên COD = 900 nên OC  OD (1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD là trung trực BM => BM  OD (2) Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì cùng vuông góc với OD) Gọi I là trung điểm CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp  COD đường kính CD có IO là bán kính Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC  AB; BD  AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang Lại có I là trung điểm CD; O là trung điểm AB => IO là đường trung bình hình thang ACDB  IO // AC , mà AC  AB => IO  AB O => AB là tiếp tuyến O đường tròn đường kính CD CN CM CN AC   BN DM BN BD Theo trên AC // BD => , mà CA = CM; DB = DM nên suy => MN // BD mà BD  AB => MN  AB ( HD): Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ , mà CD nhỏ CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By Khi đó CD // AB => M phải là trung điểm cung AB Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao AD, BE, cắt H Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên đường tròn Chứng minh ED = BC Chứng minh DE là tiếp tuyến đường tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có:  CEH = 900 ( Vì BE là đường cao)  CDH = 90 ( Vì AD là đường cao)   => CEH  CDH = 1800   Mà CEH và CDH là hai góc đối tứ giác CEHD Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp  Theo giả thiết : BE là đường cao => BE  AC => BEA = 900  AD là đường cao => AD  BC => BDA = 900 Như E và D cùng nhìn AB góc 90 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên đường tròn Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD là đường cao nên là đường trung  tuyến => D là trung điểm BC Theo trên ta có BEC = 900 Vậy  BEC vuông E có ED là trung tuyến => DE = BC Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp  AHE nên O là trung điểm AH => OA = OE => 1 A   AOE cân O => E (1)   Theo trên DE = BC =>  DBE cân D => E  B1 (2)     Mà B1  A1 ( vì cùng phụ với góc ACB) => E1  E 0 1  E  E   E 3        E Mà E1  E BEA 90  E  E 90  OED => DE  OE E Vậy DE là tiếp tuyến đường tròn (O) E Theo giả thiết AH = cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm Áp dụng định lí Pitago cho  OED vuông E ta có ED2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm IK Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên đường tròn 2.Chứng minh AC là tiếp tuyến đường tròn (O) Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm Lời giải: Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác hai góc kề bù đỉnh B  Do đó BI  BK hay IBK = 900  Tương tự ta có ICK = 900 B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính IK đó B, C, I, K cùng nằm trên đường tròn   Ta có C1 C (1) ( vì CI là phân giác góc ACH)  2 C I1  I1 = 900  ICO  (2) ( vì IHC = 900 ) (3) ( vì  OIC cân O)   Từ (1), (2) , (3)  C1  ICO = 900 hay AC  OC Vậy AC là tiếp tuyến đường tròn (O) Từ giả thiết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm 2 AH2 = AC2 – HC2 => AH = 20  12 = 16 ( cm) CH 12  CH2 = AH.OH => OH = AH 16 = (cm) 2 2 OC = OH  HC   12  225 = 15 (cm) Bài Cho đường tròn (O; R), từ điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm) Kẻ AC  MB, BD  MA, gọi H là giao điểm AC và BD, I là giao điểm OM và AB Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên đường tròn Chứng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chứng minh OAHB là hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển trên đường thẳng d d P A K D N O H I M C B Lời giải: (HS tự làm) Vì K là trung điểm NP nên OK  NP ( quan hệ đường kính    và dây cung) => OKM = 900 Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900; OBM = 900 Như K, A, B cùng nhìn OM góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM Vậy năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên đường tròn Ta có MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau); OA = OB = R => OM là trung trực AB => OM  AB I  Theo tính chất tiếp tuyến ta có OAM = 900 nên  OAM vuông A có AI là đường cao Áp dụng hệ thức cạnh và đường cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; và OI IM = IA2 Ta có OB  MB (tính chất tiếp tuyến) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH OA  MA (tính chất tiếp tuyến) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH => Tứ giác OAHB là hình bình hành; lại có OA = OB (=R) => OAHB là hình thoi Theo trên OAHB là hình thoi => OH  AB; theo trên OM  AB => O, H, M thẳng hàng( Vì qua O có đường thẳng vuông góc với AB) (HD) Theo trên OAHB là hình thoi => AH = AO = R Vậy M di động trên d thì H di động luôn cách A cố định khoảng R Do đó quỹ tích điểm H M di chuyển trên đường thẳng d là nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K 1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM IB 3) Chứng minh BAF là tam giác cân 4) Chứng minh : Tứ giác AKFH là hình thoi 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn Lời giải:  Ta có : AMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )  => KMF = 900 (vì là hai góc kề bù)  AEB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn )  => KEF = 900 (vì là hai góc kề bù)     => KMF  KEF = 1800 Mà KMF và KEF là hai góc đối tứ giác EFMK đó EFMK là tứ giác nội tiếp Ta có IAB = 900 ( vì AI là tiếp tuyến ) => AIB vuông A có AM  IB ( theo trên) Áp dụng hệ thức cạnh và đường cao => AI2 = IM IB Theo giả thiết AE là tia phân giác góc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lí ……) => ABE =MBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) => BE là tia phân giác góc ABF (1) Theo trên ta có AEB = 900 => BE  AF hay BE là đường cao tam giác ABF (2) Từ (1) và (2) => BAF là tam giác cân B BAF là tam giác cân B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm AF (3) Từ BE  AF => AF  HK (4), theo trên AE là tia phân giác góc IAM hay AE là tia phân giác HAK (5) Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung điểm HK (6) Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường) (HD) Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FK hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình thang Để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn thì AKFI phải là hình thang cân AKFI là hình thang cân M là trung điểm cung AB Thật vậy: M là trung điểm cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c góc nội tiếp ) (7) Tam giác ABI vuông A có ABI = 450 => AIB = 450 (8) Từ (7) và (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy nhau) Vậy M là trung điểm cung AB thì tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn Bài Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A Vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E Nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F Chứng minh AFHE là hình chữ nhật BEFC là tứ giác nội tiếp AE AB = AF AC Chứng minh EF là tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn A E B )1 I O1 1( F H O2 C Lời giải: Ta có : BEH = 90 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) => AEH = 900 (vì là hai góc kề bù) (1) CFH = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn ) => AFH = 900 (vì là hai góc kề bù).(2) EAF = 900 ( Vì tam giác ABC vuông A) (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông) Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn =>F1=H1 (nội tiếp chắn cung AE) Theo giả thiết AH BC nên AH là tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn (O1) và (O2) => B1 = H1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mà AFE + EFC = 1800 (vì là hai góc kề bù) => EBC+EFC = 1800 mặt khác EBC và EFC là hai góc đối tứ giác BEFC đó BEFC là tứ giác nội tiếp Xét hai tam giác AEF và ACB ta có A = 900 là góc chung; AFE = ABC ( theo Chứng minh trên) AE AF  => AEF ACB => AC AB => AE AB = AF AC * HD cách 2: Tam giác AHB vuông H có HE  AB => AH2 = AE.AB (*) Tam giác AHC vuông H có HF  AC => AH2 = AF.AC (**) Từ (*) và (**) => AE AB = AF AC Tứ giác AFHE là hình chữ nhật => IE = EH => IEH cân I => E1 = H1 O1EH cân O1 (vì có O1E vàO1H cùng là bán kính) => E2 = H2 => E1 + E2 = H1 + H2 mà H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF Chứng minh tương tự ta có O2F  EF Vậy EF là tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn Bài Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm Vẽ phía AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K Đường vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự là giao điểm EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K) 1.Chứng minh EC = MN 2.Chứng minh MN là tiếp tuyến chung các nửa đ/tròn (I), (K) 3.Tính MN 4.Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn Lời giải: E N H M 1 A I C O K B Ta có: BNC= 900( nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm K) => ENC = 900 (vì là hai góc kề bù) (1) AMC = 900 ( nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm I) => EMC = 900 (vì là hai góc kề bù).(2) AEB = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) hay MEN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đường chéo hình chữ nhật ) Theo giả thiết EC AB C nên EC là tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn (I) và (K) => B1 = C1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN) Tứ giác CMEN là hình chữ nhật nên => C1= N3 => B1 = N3.(4) Lại có KB = KN (cùng là bán kính) => tam giác KBN cân K => B1 = N1 (5) Từ (4) và (5) => N1 = N3 mà N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN  KN N => MN là tiếp tuyến (K) N Chứng minh tương tự ta có MN là tiếp tuyến (I) M, Vậy MN là tiếp tuyến chung các nửa đường tròn (I), (K) Ta có AEB = 900 (nội tiếp chắn nửc đường tròn tâm O) => AEB vuông A có EC  AB (gt) => EC2 = AC BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trên EC = MN => MN = 20 cm Theo giả thiết AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta có S(o) =  OA2 =  252 = 625  ; S(I) =  IA2 =  52 = 25  ; S(k) =  KB2 =  202 = 400  Ta có diện tích phần hình giới hạn ba nửa đường tròn là S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 S = ( 625  - 25  - 400  ) = 200  = 100  314 (cm2) Bài Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn (O) có đường kính MC đường thẳng BM cắt đường tròn (O) D đường thẳng AD cắt đường tròn (O) S Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp 2.Chứng minh CA là tia phân giác góc SCB Gọi E là giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh các đường thẳng BA, EM, CD đồng quy Chứng minh DM là tia phân giác góc ADE Chứng minh điểm M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Lời giải: Ta có CAB = 900 ( vì tam giác ABC vuông A); MDC = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => CDB = 900 D và A cùng nhìn BC góc 900 nên A và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => ABCD là tứ giác nội tiếp ABCD là tứ giác nội tiếp => D1= C3( nội tiếp cùng chắn cung AB)   D = C => SM EM => C = C (hai góc nội tiếp đường tròn (O) chắn hai cung 3 nhau) => CA là tia phân giác góc SCB Xét CMB Ta có BACM; CD  BM; ME  BC BA, EM, CD là ba đường cao tam giác CMB nên BA, EM, CD đồng quy   Theo trên Ta có SM EM => D = D => DM là tia phân giác góc ADE.(1) Ta có MEC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) => MEB = 900 Tứ giác AMEB có MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ giác AMEB nội tiếp đường tròn => A2 = B2 Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp => A1= B2( nội tiếp cùng chắn cung CD) => A1= A2 => AM là tia phân giác góc DAE (2) Từ (1) và (2) Ta có M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE TH2 (Hình b) Câu : ABC = CME (cùng phụ ACB); ABC = CDS (cùng bù ADC) => CME = CDS     => CE CS  SM EM => SCM = ECM => CA là tia phân giác góc SCB Bài 10 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A và B Đường tròn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn F, G Chứng minh : Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD B O E F 1 D G S A C Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp AC // FG Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy Lời giải: Xét hai tam giác ABC và EDB Ta có BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông A); DEB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => DEB = BAC = 900 ; lại có ABC là góc chung => DEB   CAB Theo trên DEB = 900 => DEC = 900 (vì hai góc kề bù); BAC = 900 ( vì ABC vuông A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mà đây là hai góc đối nên ADEC là tứ giác nội tiếp * BAC = 900 ( vì tam giác ABC vuông A); DFB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) hay BFC = 900 F và A cùng nhìn BC góc 900 nên A và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => AFBC là tứ giác nội tiếp Theo trên ADEC là tứ giác nội tiếp => E1 = C1 lại có E1 = F1 => F1 = C1 mà đây là hai góc so le nên suy AC // FG (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đường cao tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy S D I A / / O M B O' C Bài 11 Cho đường tròn (O) đường kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M là trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB Nối CD, Kẻ BI vuông góc với CD Chứng minh tứ giác BMDI nội tiếp Chứng minh tứ giác ADBE là hình thoi Chứng minh BI // AD Chứng minh I, B, E thẳng hàng Chứng minh MI là tiếp tuyến (O’) Lời giải: BIC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BID = 900 (vì là hai góc kề bù); DE  AB M => BMD = 900 => BID + BMD = 1800 mà đây là hai góc đối tứ giác MBID nên MBID là tứ giác nội tiếp Theo giả thiết M là trung điểm AB; DE  AB M nên M là trung điểm DE (quan hệ đường kính và dây cung) => Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD  DC; theo trên BI  DC => BI // AD (1) Theo giả thiết ADBE là hình thoi => EB // AD (2) Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vì qua B có đường thẳng song song với AD mà thôi.) I, B, E thẳng hàng nên tam giác IDE vuông I => IM là trung tuyến ( vì M là trung điểm DE) =>MI = ME => MIE cân M => I1 = E1 ; O’IC cân O’ ( vì O’C và O’I cùng là bán kính ) => I3 = C1 mà C1 = E1 ( Cùng phụ với góc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 Mà I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO’ hay MI  O’I I => MI là tiếp tuyến (O’) E D A M G C O O' E B F Bài 12 Cho đường tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài C Gọi AC và BC là hai đường kính qua điểm C (O) và (O’) DE là dây cung (O) vuông góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai DC với (O’) là F, BD cắt (O’) G Chứng minh rằng: Tứ giác MDGC nội tiếp Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên đường tròn Tứ giác ADBE là hình thoi B, E, F thẳng hàng DF, EG, AB đồng quy MF = 1/2 DE MF là tiếp tuyến (O’) Lời giải: BGC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => CGD = 900 (vì là hai góc kề bù) Theo giả thiết DE  AB M => CMD = 900 => CGD + CMD = 1800 mà đây là hai góc đối tứ giác MCGD nên MCGD là tứ giác nội tiếp BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BFD = 900; BMD = 900 (vì DE  AB M) F và M cùng nhìn BD góc 900 nên F và M cùng nằm trên đường tròn đường kính BD => M, D, B, F cùng nằm trên đường tròn Theo giả thiết M là trung điểm AB; DE  AB M nên M là trung điểm DE (quan hệ đường kính và dây cung)  Tứ giác ADBE là hình thoi vì có hai đường chéo vuông góc với trung điểm đường ADC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => AD  DF ; theo trên tứ giác ADBE là hình thoi => BE // AD mà AD  DF nên suy BE  DF Theo trên BFC = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BF  DF mà qua B có đường thẳng vuông góc với DF đo B, E, F thẳng hàng Theo trên DF  BE; BM  DE mà DF và BM cắt C nên C là trực tâm tam giác BDE => EC là đường cao => ECBD; theo trên CGBD => E,C,G thẳng hàng Vậy DF, EG, AB đồng quy Theo trên DF  BE => DEF vuông F có FM là trung tuyến (vì M là trung điểm DE) Suy MF = DE ( vì tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền) (HD) theo trên MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF cân M => D1 = F1 O’BF cân O’ ( vì O’B và O’F cùng là bán kính ) => F3 = B1 mà B1 = D1 (Cùng phụ với DEB ) => F1 = F3 => F1 + F2 = F3 + F2 Mà F3 + F2 = BFC = 900 => F1 + F2 = 900 = MFO’ hay MF  O’F F => MF là tiếp tuyến (O’) PHẦN CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý Định nghĩa Các hệ thức dạng a > b (hoặc a < b, a  b, a b ) là bất đẳng thức Tính chất : 2.1 Cộng hai vế bất đẳng thức vời cùng số a b   a c bc c tùy ý  2.2 Nhân hai vế bất đẳng thức vời cùng số a b  a b    a.c  b.c   a.c  b.c c  0 c  0 a b   a c b  c  2.3 Tính chất bắc cầu 2.4 Cộng vế hai bất đẳng thức cùng chiều, bất đẳng thức cùng chiều với các bất đẳng thức đã cho a b   a c bd c  d Chú ý : Không trừ vế hai bất đẳng thức ngược chiều 2.5 Trừ vế hai bất đẳng thức ngược chiều, bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ a b   a  cb d c  d 2.6 Nhân vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm a  b 0    a.c  b.d c  d 0  2.7 Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế bất đẳng thức : a  b   a n  bn ; a  b  a n  b n với n lẻ ; a  b  a n  b n với n chẵn Các bất đẳng thức 2 Ngoài các bất đẳng thức a 0 ;  a 0 với a, cần nhớ thêm các bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối a 0 Xảy đẳng thức a = a a Xảy đẳng thức a  a  b  a  b Xảy đẳng thức a.b 0 a  b  a  b Xảy đẳng thức a.b  và a  b Cũng cần nhớ thêm số đẳng thức khác để giải toán có thể sử dụng chúng bổ đề, chẳng hạn + Bất đẳng thức chauchy : a  b 2ab Xảy đẳng thức a = b ; a  b 2 ab (với a 0 , b 0 ) Xảy đẳng thức a = b ;  a b   ab a  b  4ab    hay ; 1   a b a  b (với a  , b  ) ; a b  2 b a (với a  , b  ) ; + Bất đẳng thức bunhiacopxki :  a  b2   x  y2   ax  by  PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta lập hiệu A –B > Lưu ý dùng bất đẳng thức M  với M Ví dụ  x, y, z chứng minh : 2 a) x + y + z  xy+ yz + zx 2 b) x + y + z  2xy – 2xz + 2yz 2 c) x + y + z +3  (x + y + z) Giải: 2 a) Ta xét hiệu : x + y + z - xy – yz – zx = 2 ( x + y + z - xy – yz – zx) 2 = ( x  y )  ( x  z )  ( y  z ) 0 đúng với x;y;z R Vì (x - y)2  với x ; y Dấu xảy x = y (x - z)2  với x ; z Dấu xảy x = z (y - z)2  với  z; y Dấu xảy z = y 2 Vậy x + y + z  xy+ yz + zx Dấu xảy x = y =z 2   2 2 2 b)Ta xét hiệu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) 0 đúng với x ; y ; z R 2 Vậy x + y + z  2xy – 2xz + 2yz đúng với x;y;z R Dấu xảy x + y = z 2 2 2 c) Ta xét hiệu: x + y + z +3 – 2( x + y + z ) = x - 2x + + y - 2y +1 + z - 2z +1 2 = (x - 1) + (y - 1) +(z - 1)  Dấu (=) xảy x = y = z = Ví dụ 2: chứng minh : a2  b2  a  b      ; a) a2  b2  c2  a  b  c    3   b) c) Hãy tổng quát bài toán Giải: a) Ta xét hiệu : a2  b2  a  b        2 a2  b2 a  2ab  b 1  a  b  0  2a  2b  a  b  2ab 4 = =4 =4   a2  b2  a  b      Dấu xảy a = b Vậy b)Ta xét hiệu a2  b2  c2  a  b  c     a  b    b  c    c  a  0 3   =9  a2  b2  c2  a  b  c    3   Vậy  Dấu xảy a = b =c a12  a 22   a n2  a1  a   a n    n n   c) Tổng quát Tóm lại các bước để chứng minh A B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B 2 Bước 2:Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) +….+(E+F) Bước 3:Kết luận A  B 2 2 Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta có : m + n + p + q +1  m(n + p + q + 1) Giải:  m2   m2   m2   m2     mn  n     mp  p     mq  q     m  1 0         2 2 m  m  m  m     n     p     q     1 0 2  2  2  2  (luôn đúng) m   n 0 m  m n    p 0  2 m p  m    q 0  m 2 q   m 2 m      m     n  p q 1 Dấu xảy Ví dụ 2: Chứng minh với a, b, c ta luôn có : a +b4 + c ≥abc (a+ b+c ) Giải: Ta có : a +b4 + c ≥abc (a+ b+c ) , ∀ a , b , c> 4 2 ⇔ a + b + c − a bc − b ac − c ab ≥ 4 2 ⇔ a +2 b +2 c − a bc − 2b ac − c ab ≥ 2 ⇔ ( a2 −b ) + 2a b 2+ ( b2 − c ) +2 b2 c2 + ( c2 −a ) + 2a c 2 2 −2 a bc −2 b ac −2 c ab ≥ 2 ⇔ ( a2 − b2 ) + ( b − c 2) + ( c − a2 ) +(a2 b 2+ b2 c −2 b2 ac)+(b2 c 2+ c a2 −2 c ab) +( a2 b 2+ c a −2 a ab) ≥0 2 ⇔ ( a2 − b2 ) + ( b − c 2) + ( c − a2 ) + ( ab − bc )2 + ( bc −ac )2 + ( ab −ac )2 ≥ Đúng với a, b, c Phương pháp : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng bất đẳng thức đã chứng minh là đúng Nếu A < B ⇔ C < D , với C < D là bất đẳng thức hiển nhiên, đã biết là đúng thì có bất đẳng thức A < B Chú ý các đẳng thức sau:  A  B   A  AB  B  A  B  C   A  B  C  AB  AC  BC  A  B   A3  A B  AB  B Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh b2 a  ab a) 2 b) a  b  ab  a  b 2 2 c) a  b  c  d  e a b  c  d  e  Giải: b2 a  ab  4a  b 4ab  4a  4a  b 0   2a  b  0 a) b2 a2  ab (BĐT này luôn đúng) Vậy (dấu xảy 2a=b) 2 a  b  ab  a  b  2(a  b    2(ab  a  b) b)  a  2ab  b  a  2a   b  2b  0  (a  b)  (a  1)  (b  1) 0 Bất đẳng thức cuối đúng 2 Vậy a  b  ab  a  b Dấu xảy a = b = 2 2 2 2 2 c) a  b  c  d  e a b  c  d  e   4 a  b  c  d  e  4a b  c  d  e          2 2 2 2  a  4ab  4b  a  4ac  4c  a  4ad  4d  a  4ac  4c 0 2 2   a  2b    a  2c    a  2d    a  2c  0 Bất đẳng thức đúng ta có điều phải chứng minh 10 10 2 8 4 Ví dụ 2: Chứng minh rằng:  a  b  a  b   a  b  a  b  Giải: a 10      b10 a  b  a  b a  b   a12  a10 b  a b10  b12 a12  a b  a b  b12 2 2 2  a b a  b  a b b  a 0  a2b2(a2-b2)(a6-b6)   a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)      Bất đẳng thứccuối đúng ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 và x  y x2  y2 Chứng minh x  y  2 x2  y2 Giải: x  y  2 vì :x  y nên x- y   x2+y2  2 ( x-y)  x2+y2- 2 x+ 2 y 0  x2+y2+2- 2 x+ 2 y -2 0  x2+y2+( )2- 2 x+ 2 y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2  (x-y- )2  Điều này luôn luôn đúng Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng: 2 a/ P(x,y)= x y  y  xy  y  0 x, y  R b/ a2  b2  c2  a  b  c (gợi ý :bình phương vế) x y.z 1  1 1    xyz  x y z c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: Chứng minh : có đúng ba số x, y, z lớn Giải: Xét (x - 1)(y - 1)(z -1 ) = xyz + (xy + yz + zx) + x + y + z - 1 1 1 1 1   )      = (xyz - 1) + (x + y + z) - xyz( x y z )= x + y + z - ( x y z (vì x y z < x+y+z theo gt)  số x-1 , y-1 , z-1 âm ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương Nếu trường hợp sau xảy thì x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy trường hợp trên tức là có đúng ba số x ,y ,z là số lớn a b c Ví dụ 5: Chứng minh : 1< a+b + b+c + a+ c <2 Giải: 1 a a Ta có : a+b <a+b +c ⇒ a+b > a+b+ c ⇒ a+b > a+b+ c (1) b b c c Tương tự ta có : b+c > a+ b+c (2) , a+c > a+ b+c (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta : a b c + + >1 (*) a+b b+c a+ c a a+c Ta có : a< a+b ⇒ a+b < a+ b+c (4) b a+b Tương tự : b+c < a+ b+c (5) , c c +b < (6) c+ a a+ b+c Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta : a b c + + <2 a+b b+c a+c (**) a b c Từ (*) và (**) , ta : 1< a+b + b+c + a+ c <2 (đpcm) Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ Kiến thức: 2 a) x  y 2 xy b) x  y  xy dấu( = ) x = y = c)  x  y  4 xy a b  2 d) b a Ví dụ Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh : (a + b)(b + c)(c + a)  8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ:  x  y  4 xy  a  b  4ab ;  b  c  4bc ;  c  a  4ac  a  b   b  c   c  a   64a b c 8abc   (a+b)(b+c)(c+a) 8abc Tacó  Dấu “=” xảy a = b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: a/ Với hai số không âm : a , b ≥ , ta có: a+b ≥ √ ab Dấu “=” xảy a=b b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : a1+a2 + +a n ≥ n √n a1 a2 an a1+ a2 + +a n n ⇔ a1 a an ≤ n Dấu “=” xảy a1=a2= =an ( ) Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi đề cho biến số không âm Ví dụ : Giải phương trình : 2x 4x 2x + + = x x x x + +1 + ¿ a=2 x x Giải : Nếu đặt t =2x thì pt trở thành pt bậc theo t nên ta đặt b=4 , a , b>0 ¿{ ¿ a b Khi đó phương trình có dạng : b+1 + a+1 + a+b = Vế trái phương trình:  a   b     a  b 1   a  b    a  b 1    1    1    1         b 1   a 1   a  b   b 1   a 1   a  b  1  1     a  b  c           b  1   a  1   a  b      b 1 a 1 a  b   b 1 a 1 a  b  3 3 √ ( a+1 )( b +1 )( a+b ) − 3= 2 √ ( a+1 ) ( b+1 ) ( a+ b ) Vậy phương trình tương đương với : x x a+1=b+1=a+b ⇔ a=b=1 ⇔2 =4 =1⇔ x =0 x y z Ví dụ : Cho x, y , z > và x + y + z = Tìm GTLN P = x +1 + y +1 + z +1 1 Giải : P = 3- ( x +1 + y +1 + z +1 ) = – Q Theo BDT Côsi , a, b, c > thì 1   3 a b c 1 Suy Q = x +1 + y +1 + z +1 Vậy max P = x = y = z = 1 1  1 1   a  b  c      9     abc a b c a b c a b c 9 ⇒ -Q − nên P = – Q 3- = 1 a+ b+c + + ≤ Cho a, b, c >0 Chứng minh rằng: a + bc b + ac c +ab abc a  b  c 3 abc  Ví dụ 3: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 1 1 ≤ ≤ + a ++ bc a √ bc ab ac 1 1  1 1            b  ac b ac  bc ab  c  ab c ab  ac bc  2 a b c     a  bc b  ac c  ab 2abc a2 ++ bc ≥ a √ bc ⇒ Tương tự : ( Dấu “=” xảy a = b = c ) a b c Ví dụ : CMR tam giác ABC : b+c − a + c+ a −b + a+b − c ≥ Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : a b c abc + + ≥3 (1) b+c − a c+ a −b a+b − c (b+ c − a)(c +a − b)(a+b − c) Cũng theo bất đẳng thức Côsi : √ √(b+ c − a)(c +a −b) ≤ (b+ c − a+c +a − b)=c (2) Viết tiếp hai BDT tương tự (2) nhân với (*) (b+ c − a)(c+ a −b)(a+b −c )≤ abc abc → ≥1(3) ( b+c −a)(c + a− b)(a+ b− c ) Từ (1),(3) suy (*) Dấu “=” xảy a = b = c hay ABC là ¿ 0< a≤ b ≤ c x y z ( a+ c ) ( x+ y + z )2 Ví dụ 5: Cho 0< x , y , z Chứng minh rằng: ( + by+cz ) + + ≤ a b c ac ¿{ ¿ Giải: Đặt f (x)=x −( a+c ) x +ac=0 có nghiệm a,c Mà: a ≤ b ≤ c ⇒ f (b)≤0 ⇔ b2 −( a+c )b+ ac ≤ ac y ⇔ b+ ≤ a+ c ⇔ yb+ac ≤ ( a+ c ) y b b x y z ⇒ xa +ac +(yb+ac )+(zc+ ac )≤ ( a+ c ) x + ( a+ c ) y +( a+c )z a b c x y z ⇒ xa+ yb+ zc+ac + + ≤ ( a+ c )( x + y + z ) a b c ( ( ) ) ( ) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: x y z + + ≤ ( a+c ) ( x + y + z ) ( a b c) √ x y z ⇔ ( xa +yb+ zc ) ac ( + + ) ≤ ( a+c ) ( x + y + z ) a b c x y z ( a+c ) ( x + y + z ) (đpcm) ⇔ ( xa+ yb+ zc ) ac ( + + )≤ a b c ac ⇒ ( xa + yb+zc ) ac 2 2 Phương pháp Bất đẳng thức Bunhiacopski Kiến thức : Cho 2n số thực ( n ≥2 ): a1 , a2 , an ,b , b2 , , bn Ta luôn có: 2 2 2 a1 b1 +a b2 + + an bn ¿ ≤(a1 +a2 + + an )(b1 +b2 + + bn ) ¿ a1 a2 an Dấu “=” xảy ⇔ b = b = = b n b1 b bn Hay a = a = = a (Quy ước : mẫu = thì tử = ) n Chứng minh: Đặt a= √ a 21+ a22 + +a 2n { b= √ b 21+ b22 + +b2n  Nếu a = hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng  Nếu a,b > 0: a a b b Đặt: α i= i , β i= i ( i=1,2, n ) , Thế thì: α 21+α 22 + + α2n=β 21 + β 22+ + β 2n 2 Mặt khác: |α i β i|≤ ( αi + β i ) 1 |α β 1|+|α β 2|+ +|α n β n|≤ (α 12+ α 22 + + α 2n)+ (β 21 + β 22+ .+ β 2n) ≤1 Suy ra: ⇒ |a1 b1|+|a2 b2|+ +|an bn|≤ a b Lại có: |a1 b1 +a b 2+ .+ an bn|≤|a1 b1|+|a2 b2|+ +|an bn| 2 2 2 Suy ra: a1 b1 +a b2 + + an bn ¿ ≤(a1 +a2 + + an )(b1 +b2 + + bn ) ¿ a1 a2 an α i=β i ( ∀ i=1,2, ,n ) Dấu”=” xảy ⇔ α β α β cùng dáu ⇔ b = b = = b n 1 n n { Ví dụ : 8 Chứng minh rằng: ∀ x ∈ R , ta có: sin x+ cos x ≥ Giải: Ta có: sin2 x+cos x =1, ∀ x ∈ R Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:  sin x.1  cos x.1  sin x  cos x 12  12     1 sin x  cos x   sin x  cos x     Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski lần nữa: 1  sin x.1  cos x.1   sin x  cos8 x 12 12  sin x  cos x  4         Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn Tìm GTLN của: P=√ 1+ tan A tan B+ √ 1+ tan B tan C + √ 1+ tan C tan A Giải: * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Cho m số, số gồm n số không âm: (ai , bi , ,c i )(i=1,2, , m) Thế thì: a1 a2 am +b b2 bm + + c1 c c m ¿2 ≤(am1 + bm1 + +c m1 )(a m2 + bm2 + + cm2 )(amm +bmm + .+ c mm) ¿ ⇔ ∃ Dấu”=” xảy bô số (a,b,….,c) cho: với i = 1,2,…,m thì ∃ t i cho: a=t i , b=t i bi , ,c =t i c i , Hay a1 :b1 : : c1 =a2 :b2 : .: c2 =an :bn : c n a1 a an a21 +a22 + + a2n=3 + + + < √2 Ví dụ 1: Cho Chứng minh rằng: n+ n∈ Z , n ≥2 | { Giải: ∀ k∈N ❑ | 1 < = 1 k k2 − k− k+ 2 ta có: ( )( ) 1   1 k k k 2     1 1  1   1   1                  5  1 3 n 3  n n  2  2 n  2 2  Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski: | a1 a a 1 + + + n ≤ √ a21 +a22 + + a2n + + + < √ < √ (đpcm) n+ 3 n | √ Ví dụ 2: Cho số a,b,c,d chứng minh rằng: √ (a  c)  (b  d )  a  b  c  d 2 2 Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd  a  b c  d  a  c    b  d  a  b  2 ac  bd   c  d mà    a2  b2  a2  b2 c2  d  c2  d  (a  c)  (b  d )  a  b  c  d 2 2 Ví dụ 3: Chứng minh : a  b  c ab  bc  ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski 2 2 2 Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 1   (a  b  c ) 1.a  1.b  1.c    2 2 2  a  b  c a  b  c  2 ab  bc  ac   a  b  c ab  bc  ac Điều phải chứng minh Dấu xảy a = b = c Phương pháp 6: Kiến thức: ¿ a1 ≤ a2 ≤ ≤ an a) Nếu b1 ≤ b2 ≤ ≤ bn ¿{ ¿ Bất đẳng thức Trê- bư-sép thì a1 +a2 + + an b 1+ b2+ + bn a1 b 1+ a2 b2 + + an bn ≤ n n n a1=a2= =an ¿ b1=b2= =bn Dấu ‘=’ xảy và ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ a1 ≤ a2 ≤ ≤ an b)Nếu b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn thì ¿{ ¿ a1 +a2 + + an b 1+ b2+ + bn a1 b 1+ a2 b2 + + an bn ≥ n n n a1=a2= =an ¿ b1=b2= =bn Dấu ‘=’ xảy và ¿ ¿ ¿ ¿ Ví dụ 1: Cho Δ ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = và sin A sin a+sin B sin B +sin C sin2 C S = sin A +sin B+sin C S là diện tích tan giác chứng minh Δ ABC là tam giác π Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư 0< A ≤ B ≤ C< Suy ra: ¿ sin A ≤sin B ≤sin C sin a ≤sin B ≤ sin 2C ¿{ ¿ Áp dụng BĐT trebusep ta được: ( sin A+sin B+sin C )( sin A +sin B+ sin2 C ) ≥ ( sin A sin A+ sin B sin B+sin C sin 2C ) sin A sin A+ sin B sin2 B+sin C sin 2C ⇔ ≤ (sin A+ sin2 B+sin 2C ) sin A+sin B+sin C ⇔ sin A=sin B=sin C ¿ sin A=sin B=sin 2C Dấu ‘=’ xảy ¿ ⇔ Δ ABCdêu ¿ ¿ ¿ Mặt khác: sin A+ sin B+sin C=2sin (A + B) cos( A − B)+sin C ¿ sinC [ cos( A − B)+cos C ] =2 sin C [ cos (A − B)−cos ( A+ B) ] ¿ 2sin C sin A sin B=4 sin A sin B sin C ¿(2 R sin A )(2 R sin B) sin C=a b sin C=2 S (2) Thay (2) vào (1) ta có sin A sin a+sin B sin B +sin C sin2 C S ≤ sin A +sin B+sin C Dấu ‘=’ xảy ⇔ Δ ABC Ví dụ 2(HS tự giải): 1   9 Cho a, b, c > và a + b + c = CMR: a b c Cho x, y, z > và x + y + z = CMR:x + 2y + z 4(1  x)(1  y)(1  z ) a/ b/ a b c    c/ Cho a > , b > 0, c > CMR: b  c c  a a  b  x  y  d) Cho x 0 ,y 0 thỏa mãn ; CMR : x+y 2 Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và a  b  c 1 Chứng minh a3 b3 c3    b c a c a b Giải: Do a,b,c đối xứng ,giả sử a b c  Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có a2  a b c  a  b  c  b  c a  c a  b a b c a2  b2  c2  a b c   b2  c2      bc a c a b  b c a c a b = = a3 b3 c3    Vậy b  c a  c a  b Dấu xảy a=b=c= Ví dụ 4: Cho a, b, c, d > và abcd = Chứng minh : a  b  c  d  a  b  c   b c  d   d  c  a  10 2 Giải: Ta có a  b 2ab c  d 2cd 1 x  x 2) Do abcd =1 nên cd = ab (dùng a  b  c 2( ab  cd ) 2(ab  ) 4 ab Ta có (1) Mặt khác: a b  c   b c  d   d  c  a  = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)     1   ab     ac     bc   2   ab   ac   bc  = 2 2 Vậy a  b  c  d  a b  c   b c  d   d  c  a  10 Phương pháp7 Kiến thức: Bất đẳng thức Bernouli ¿ 1≤ n ∈ Z thì ( 1+a )n ≥ 1+ na Dấu ‘=’ xảy -1, ¿ a)Dạng nguyên thủy: Cho a a=0 ¿ n=1 và ¿ ¿ ¿ ¿ b) Dạng mở rộng: - Cho a > -1, α ≥ thì ( 1+a )α ≥1+ na Dấu xảy và a = - cho a ≥ −1,0<α <1 thì ( 1+a )α ≤1+na Dấu xảy va a=0 ¿ α=1 ¿ ¿ ¿ ¿ Ví dụ : Chứng minh ab + ba >1, ∀ a ,b >0 Giải - Nếu a ≥ hay b ≥ thì BĐT luôn đúng - Nếu < a,b < Áp dụng BĐT Bernouli: b b b 1 a a  b a    1 a      ab       1 a  a a a b a  b a Chứng minh tương tự: b > a+ b Suy ab + ba >1 Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0.Chứng minh a5 +b5 +c a+b+c ≥ 3 ( ) (1) Giải (1) ⇔ ( 3a 3b 3c + + ≥3 a+ b+c a+b+ c a+b+ c )( ) ( ) Áp dụng BĐT Bernouli: ( ( b+c −2 a ) 3a b +c − a = 1+ ≥1+ a+b+ c a+b+ c a+ b+c ) ( ) (2) Chứng minh tương tự ta đuợc: ( ( ( c+ a− b ) 3b ≥ 1+ a+b+ c a+b +c 5 ( a+b −2 c ) 3c ≥ 1+ a+b+ c a+b +c ) ) (3) (4) Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có ( 3a 3b 3c + + ≥ 3⇒ (đpcm) a+b+ c a+ b+c a+b+c )( )( ) Chú ý: ta có bài toán tổng quát sau đây: “Cho a1 , a2 , an >0 ; r ≥1 Chứng minh ar1 +ar2 + +arn a1+ a2 + +an r ≥ n n Dấu ‘=’ ⇔ a1=a2 = =an (chứng minh tương tự bài trên) Ví dụ 3: Cho ≤ x , y , z ≤1 Chứng minh ( ) (đpcm) ( x +2 y +2 z ) ( 2− x + 2− y +2− z ) ≤ 81 Giải Đặt a=2x , b=2 y , c=2 z ( 1≤ a , b , c ≤ ) ≤ a≤ ⇒ ( a −1 ) ( a −2 ) ≤ ⇒ a −3 a+ 2≤ ⇒a+ ≤ 3(1) a Chứng minh tương tự: b+ ≤3(2) b c + ≤ 3(3) c Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta côsi ( 1a + 1b + 1c ) 2√ ( a+ b+c ) 2( 1a + 1b + 1c ) 81 1 ⇒ ≥(a+b+ c) ( + + ) ⇒ (đpcm) a b c ≥ ( a+b+ c )+ Chú ý: Bài toán tổng quát dạng này “ Cho n số x , x , ., x n ∈ [ a , b ] , c>1 Ta luôn có: x1 x2 xn − x1 − x2 ( c +c + +c )( c +c + +c − xn [ n ( c a+ c b ) ] ) c a+b Phương pháp 8: Sử dụng tính chất bắc cầu Kiến thức: A>B và B>C thì A>C Ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a > c + d , b >c + d Chứng minh + bc Giải: ab > ad a  c  d a  c  d     b  d  c   (a - c)(b - d) > cd Tacó : b  c  d  ab - ad - bc + cd > cd  ab > ad + bc (điều phải chứng minh) a  b2  c2  1 1    Chứng minh a b c abc Ví dụ 2: Cho a,b,c > thỏa mãn Giải: Ta có : ( a + b - c)2= a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)    ac + bc - ab ( a2 + b2 + c2) 1 1     ac + bc - ab  Chia hai vế cho abc > ta có a b c  abc Ví dụ 3: Cho < a,b,c,d < Chứng minh (1- a)(1- b)( 1- c)(1- d) > 1- a - b - c -d Giải: Ta có (1- a).(1- b) = 1- a - b + ab Do a > , b > nên ab>0  (1- a)(1- b) > 1- a - b (1) Do c < nên 1- c >0 ta có  (1- a).(1- b) (1- c) > 1-a-b-c  (1- a).(1- b) ( 1- c).(1- d) > (1- a - b - c) (1- d) =1-a - b - c - d + ad + bd + cd  (1- a)(1- b) ( 1- c)(1- d) > 1- a - b - c - d (Điều phải chứng minh) 3 2 Ví dụ 4: Cho <a,b,c <1 Chứng minh rằng: 2a  2b  2c   a b  b c  c a Giải: Do a <  a  và 2 2 2 Ta có 1  a .1  b    - b - a + a b >  + a b > a + b 3 mà 0< a,b <1  a > a , b > b 2 3 3 2 Từ (1) và (2)  1+ a b > a + b Vậy a + b < 1+ a b b + c 1  b c ; c + a   c a Tương tự 3 2 Cộng các bất đẳng thức ta có : 2a  2b  2c 3  a b  b c  c a 2 2 Ví dụ Chứng minh : Nếu a  b c  d 1998 thì ac+bd =1998 Giải: 2 2 2 2 2 Ta có (ac + bd) + (ad – bc ) = a c + b d  2abcd  a d  b c - 2abcd = = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 2 ac  bd 1998 rõ ràng (ac+bd)2   ac  bd    ad  bc  1998  Ví dụ (HS tự giải) : a/ Cho các số thực : a1; a2;a3 ….;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1 2 a 22  a32   a 2003 c hứng minh : a + b/ Cho a;b;c 0 thỏa mãn :a+b+c=1  2003 1  1).(  1).(  1) 8 b c Chứng minh rằng: ( a Phương pháp 9: Dùng tính chất tỷ số Kiến thức 1) Cho a, b ,c là các số dương thì a a a c 1  a – Nếu b thì b b  c a a a c 1  b – Nếu b thì b b  c 2) Nếu b,d >0 thì từ a c a a c c     b d b bd d ` Ví dụ 1: Cho a,b,c,d > Chứng minh 1 a b c d    2 a b c b c  d c d a d  a b Giải: Theo tính chất tỉ lệ thức ta có a a ad 1  a b c a b c a b c d a a  Mặt khác : a  b  c a  b  c  d (1) (2) Từ (1) và (2) ta có \ a a ad a b c d < a b c < a b c d Tương tự ta có (3) b b ba   a b c d b c  d a b c d c c bc   a b c d c d a a b c d d d d c   a b c d d a b a b c d (4) (5) (6) Cộng vế với vế (3); (4); (5); (6) ta có a b c d    2 a b c b c  d c d a d  a b điều phải chứng minh a c a ab  cd c  2 d Ví dụ : Cho: b < d và b,d > Chứng minh b < b  d a c ab cd ab ab  cd cd c       b2 b2  d d d b d Giải: Từ b < d a ab  cd c  2 d Vậy b < b  d điều phải chứng minh 1 Ví dụ : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000 a b  tìm giá trị lớn c d a b a b a a b b      c cd d Giải: Không tính tổng quát ta giả sử : c d Từ : c d a 1 c vì a+b = c+d b a b  a/ Nếu :b 998 thì d 998  c d  999 a b 999   b/Nếu: b=998 thì a=1  c d = c d Đạt giá trị lớn d= 1; c=999 a b  Vậy giá trị lớn c d =999+ 999 a=d=1; c=b=999 Phương pháp 10: Phương pháp làm trội Kiến thức: Dùng các tính bất đẳng thức để đưa vế bất đẳng thức dạng tính tổng hữu hạn tích hữu hạn (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1  u2   un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k hiệu hai số hạng liên tiếp nhau: uk ak  ak 1 Khi đó :S =  a1  a2    a2  a3     an  an 1  a1  an1 (*) Phương pháp chung tính tích hữu hạn: P = u1u2 un ak Biến đổi các số hạng u k thương hai số hạng liên tiếp nhau: u k = ak 1 a a1 a2 a n  Khi đó P = a2 a3 an 1 an 1 Ví dụ 1: Với số tự nhiên n >1 chứng minh 1 1      n 1 n  nn 1   Giải: Ta có n  k n  n 2n với k = 1,2,3,…,n-1 1 1 n         2n 2n 2n n Do đó: n  n  1 1     n 1  n Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với n là số nguyên 2   2 k   k k  k 1 Giải: Ta có k k     Khi cho k chạy từ đến n ta có >   1 2 3   ………………  n 1  n  n  Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có n Ví dụ 3: Chứng minh k k 1 1 2 1     n 1  n  n  Z 1 1    Giải: Ta có k k  k  1 k  k Cho k chạy từ đến n ta có 1 1 2 1   32 1 1 1        n n n n n k 2 Vậy k 1 Phương pháp 11: Dùng bất đẳng thức tam giác Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh tam giác thì : a;b;c> Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a Ví dụ 1: Cho a;b;c là số đo ba cạnh tam giác chứng minh 1/ a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) 2/ abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải 1/Vì a,b,c là số đo cạnh tam giác nên ta có  a  a (b  c)  b  b(a  c)  c  c ( a  b)  0  a  b  c  0  b  a  c 0  c  a  b   Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có: a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) 2 2/ Ta có a > b-c   a  a  (b  c) > 2 b > a-c   b  b  (c  a ) > 2 c > a-b   c  c  ( a  b)  Nhân vế các bất đẳng thức ta     a 2b c  a   b  c  b   c  a  c   a  b  2 2  a b c   a  b  c b  c  a  c  a  b  abc   a  b  c . b  c  a . c  a  b   Ví dụ2 (HS tự giải) 1/ Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh tam giác 2 Chứng minh ab  bc  ca  a  b  c  2(ab  bc  ca) 2/Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh tam giác có chu vi 2 2 Chứng minh a  b  c  2abc  Phương pháp 12: Sử dụng hình học và tọa độ Ví dụ 1: Chứng minh : √ c (a − c)+ √ c (b −c )≤ √ ab , ∀ a ≥b ≥ và b ≥ c Giải v =¿( √ a − c , √ c) Trong mặt phẳng Oxy, chọn ⃗u=( √ c , √ b − c) ; ¿⃗ ⃗u ⃗v =√ c (a − c)+ √ c (b − c) Thì |u⃗|=√ b , |⃗v|=√ a ; Hơn nữa: ⃗u ⃗v =|u⃗|.|⃗v| cos (⃗u , ⃗v )≤|u⃗|.|⃗v|⇒ √ c (a− c)+ √ c (b − c) ≤ √ ab ⇒ (ĐPCM) Ví dụ 2: n Cho 2n số: x i ; y i ,i=1,2, , n thỏa mãn: n ∑ x i +∑ y i=1 i=1 Chứng minh rằng: i=1 n ∑ √ x 2i + y 2i ≥ √22 i=1 Giải: Vẽ hình y MK MN H M O Trong mặt phẳng tọa độ, xét: M (x1 + x , y + y ) ;…; M n ( x 1+ …+ x n , y +…+ y n ) M 1( x1 , y 1) : x x+y=1 ¿ M Giả thiết suy đường thẳng x + y = Lúc đó: n∈ ¿ 2 2 2 OM1=√ x 1+ y , M M 2=√ x 2+ y , M M 3=√ x 3+ y ,…, Và OM1 +M1 M2 2 M n −1 M n =√ x n + y n +…+ M n − M n ≥ OMn ≥ OH= √ +M2 M3 n ⇒ ∑ √ x 2i + yi2 ≥ √ ⇒ (ĐPCM) i=1 Phương pháp 13: Đổi biến số a b c    Ví dụ1: Cho a,b,c > Chứng minh b  c c  a a  b (1) yz x zx y x y z Giải: Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= ; b= ;c= yz x zx y xy z    2x 2y 2z ta có (1)  y z x z x y y x z x z y         3  )  (  )  (  ) 6 x x y y z z x z y z  ( x y y x z y z x  2;  2  2 x z Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì ( x y ; y z nên ta có điều phải chứng minh Ví dụ2: Cho a,b,c > 1   9 a  2bc b  2ac c  2ab và a+b+c <1 Chứng minh (1) 2 Giải: Đặt x = a  2bc ; y = b  2ac ; z = c  2ab Ta có x  y  z  a  b  c   (1)  1   9 x y z Với x+y+z < và x ,y,z > 1 1    Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x  y  z 3 xyz , và: x y z xyz 1  x  y  z .    9   9   x y z Mà x+y+z < Vậy x y z (đpcm) xy  x  y  Ví dụ3: Cho x 0 , y 0 thỏa mãn CMR Gợi ý: Đặt x u , thay vào tính S Bài tập tự giải y v  2u-v =1 và S = x+y = u  v  v = 2u-1 1) Cho a > , b > , c > 25a 16b c   8 CMR: b  c c  a a  b 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nb pc    b c c a a b Phương pháp 14:  Dùng tam thức bậc hai Kiến thức : Cho f(x) = ax2 + bx + c  m  n  p   m  n  p Định lí 1: ∀x⇔ a>0 f(x) > 0, Δ <0 ¿{ ¿ f (x) ≥0, ∀ x ⇔ a> Δ ≤0 ¿ f (x )< 0, ∀ x ⇔ a< Δ< ¿ f (x) ≤0, ∀ x ⇔ a< Δ ≤0 ¿ ¿{ ¿ Định lí 2: Phương trình f(x) = có nghiệm x 1< α < x ⇔ a f ( α )< Phương trình f(x) = có nghiệm : x 1< x <α ⇔ a f ( α ) >0 Δ> S <α ¿{{ Phương trình f(x) = có nghiệm : α < x1 < x ⇔ a f ( α ) >0 Δ> S >α ¿{{ α < x1 < β < x ¿ x 1<α < x < β Phương trình f(x) = có nghiệm ¿ ⇔ f ( α ) f ( β )< ¿ ¿ 2 Ví dụ 1:Chứng minh f  x, y  x  y  xy  x  y   2 Giải: Ta có (1)  x  x y  1  y  y   (1) 2 2   y  1  y  y  4 y  y   y  y    y  1   Vậy f  x, y   với x, y 2 Ví dụ2: Chứng minh rằng: f  x, y  x y  x  y  xy  x  xy   Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   1  y  x y  x  y  xy  x  xy   ( y  1) x  y 1  y  x  y  Ta có  4 y 2    y y   16 y  Vì a =  y  1  f  x, y   (đpcm) Phương pháp 15: Dùng quy nạp toán học Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n  n0 ta thực các bước sau : – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n n0 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh gọi là giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) – kết luận BĐT đúng với n  n0 1 1      n  N ; n  n n Ví dụ1: Chứng minh : 1 1   (đúng) Vậy BĐT (1) đúng với n =2 Giải: Với n =2 ta có (1) Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1 Thật n =k+1 thì (1)  Theo giả thiết quy nạp 1 1     2 2 k (k  1) k 1 1 1 1     2   2 2 k (k  1) k  k  1 k 1  1 1      2 (k  1) k   k  1 k  k 1 1   k ( k  2)  (k  1) 2 k  (k  1)  k2+2k<k2+2k+1 Điều này đúng Vậy bất đẳng thức (1)được chứng minh n  a b  a n  bn   Ví dụ2: Cho n  N và a+b> Chứng minh    (1) Giải: Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1 Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1 Thật với n = k+1 ta có  a b       (1) k 1 a k 1  b k 1  k  a b  a b a k 1  b k 1       k k k 1 (2) k k a  b a  b a  ab  a b  b k 1 a k 1  b k 1    Vế trái (2)  2 k 1 k 1 k 1 k k k 1 a b a  ab  a b  b  0 k k  a  b  a  b  0  (3)   Ta chứng minh (3) b (+) Giả sử a  b và giả thiết cho a  -b  a  k k k  a  b b  a k   b k  a  b  0 k a (+) Giả sử a < b và theo giả thiết k k - a<b   a  bk  a k  bk   b  a  b  0 Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm) n n a Ví dụ 3: Cho a ≥ −1 ,1 ≤ n∈ Ν Chứng minh : 1+a ¿ ≥1+ ¿ Giải n=1: bất đẳng thức luôn đúng k n=k ( k ∈ Ν ): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: 1+a ¿ ≥¿ 1+ k a k +1 n= k+1 Ta cần chứng minh: 1+a ¿ ≥ 1+(k +1) a ¿ 1+a ¿k ≥(1+a).(1+k a)≥ 1+(k +1)a+ k a ≥ 1+(k + 1)a Ta có: 1+a ¿k +1=(1+ a) ¿ ¿ ⇒ Bất đẳng thức đúng với n= k+1 n n a , ∀ n∈ Ν V ậy theo nguyên lý quy nạp: 1+a ¿ ≥1+ ¿ Ví dụ 4: Cho 1≤ n ∈ Ν a1 , a2 , … , an ≥ thoả mãn a1 +a 2+ …+an ≤ Chứng minh rằng: (1− a1 )(1− a2 )…(1− an )≥ Giải n=1: a1 ≤ ⇒ 1− a1 ≥ ⇒ Bài toán đúng n=k ( k ∈ Ν ): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (1− a1 )(1− a2 ) …(1− a k )≥ n= k+1 Ta cần chứng minh: (1− a1 )(1− a2 )…(1− a k+1) ≥ Ta có: (1− a1 )(1− a2 )…(1− a k+1)=¿ (1− a1 )(1− a2 ) …(1− a k− 1)[1−(ak +a k+1)+ ak ak +1 ] 1 (1− a1 )(1− a2 )…(1− a k− 1)[1−( ak +a k+1)]≥ (Vì a1 +a 2+ …+a k− 1+(a k + ak +1) ≤ ) ⇒ Bất đẳng thức đúng với n= k+1 Vậy theo nguyên lý quy nạp: (1− a1 )(1− a2 )…(1− an )≥ Ví dụ 5: Cho 1≤ n ∈ Ν , , bi ∈ R , i=1,2, , n Chứng minh rằng: a1 b1 +a b2 + …+ an bn ¿2 ≤(a21 +a 22+ …+a2n)(b 21+ b22 +…+b 2n) ¿ Giải n=1: Bất đẳng thức luôn đúng n=k ( k ∈ Ν ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: 2 2 2 a1 b1 +a b2 + …+ ak b k ¿ ≤(a 1+ a2+ …+a k )(b1+ b2 +…+ bk ) ¿ n= k+1 Ta cần chứng minh: a1 b1 +a b2 + …+ ak +1 b k+1 ¿2 ≤(a21 +a 22+ …+a2k +1)( b21+ b22 +…+ b2k+1 ) (1) ¿ 2 Thật vậy: VP (1)=(a1 +a2 +…+ a2k )(b21 +b 22+ …+b2k )+(a21 +…+ a2k ) b2 + 2 2 2 +a ( b1 +b2 +…+bk )+ak +1 bk +1 (a1 b1 +a b 2+ …+ak b k )+2 a1 b1 ak +1 b k+1 +2 a2 b2 ak+ b k+1 +¿ 2 +…+2 a k b k ak+1 b k+1 +ak +1 b k+1 2 a1 b1 +a b2 +…+ ak b k ¿2 +2 (a b +a b + …+a b ) a b +a k+1 b k+1 1 2 k k k+1 k+1 ¿ a1 b1 +a b2 + …+ ak +1 b k+1 ¿2 ¿ Vậy (1) chứng minh Ví dụ 6: Cho 1≤ n ∈ Ν , , bi ∈ R , i=1,2, , n Chứng minh rằng: a1 +a2 +…+ an a 21+ a22 +…+ a2n ¿ ≤ n n ¿ Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúng a1 +a2 +…+ak a21+a22 +…+a2k ¿ ≤ n=k ( k ∈ Ν ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: k k ¿ a1 +a2 +…+ ak+ a21 +a22 +…+ a2k +1 ¿≤ n= k+1 Ta cần chứng minh: (1) k+1 k +1 ¿ a2+ a3 +…+ ak +1 Đặt: a= k k +1 ¿2 ¿ a21+ a22 +…+ a2k+ 2 VP (1)= (a +k a +2 ka a) ¿ ¿ k +1 k+1 ¿ Vậy (1) đựơc chứng minh Ví dụ 7: Chứng minh rằng: ⇒ n n =4 ¿ Giải: n=2 n −1 n+1 ¿ =3 ¿ ¿ n −1 n+1 ¿ , ∀ n∈ Ζ , n≥ n n> ¿ n −1 n+1 ¿ ⇒ nn >¿ n=k : giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: k +1 ¿k − k k> ¿ k +1 ¿2 k +1 ¿ k +1 ¿2 ¿k −1 ¿ k −1 k+ 1¿ ¿ ¿ n= k+1:Ta c ó: k +1 k +1 ¿ =¿ k +1 ¿ ≥ ¿ k +1 ¿2 k −2 ¿ kk ¿ ¿¿ k−1 k +2 k ¿ (k +2 k) (vì k +1 ¿2=k 2+ k +1> k +2 k ) ¿ ¿ k k +2 ¿ k k +2 ¿ ⇒ Bất đẳng thức đúng với n= k+1 k +1 ¿k +1> ¿ k k ¿ ⇒¿ n+1 ¿n −1 , ∀ n∈ Ζ , n≥ Vậy n n> ¿ ❑ Ví dụ 8: Chứng minh rằng: |sin nx|≤ n|sin x|, ∀ n ∈ Ν , ∀ x ∈ R k+ Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúng n=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: |sin kx|≤ k|sin x| n= k+1 Ta cần chứng minh: |sin( k +1) x|≤(k +1)|sin x| ¿ |a+ b|≤|a|+|b|, ∀ a , b∈ R Ta có: |sin x|,|cos x|≤1, ∀ x ∈ R ¿{ ¿ Nên: |sin( k +1) x|=|sin kx cos x +cos kx sin x| |sin kx|.|cos x|+|cos kx|.|sin x| ¿( k +1)|sin x| |sin kx|.+.|sin x| k |sin x|.+ |sin x| ⇒ Bất đẳng thức đúng với n= k+1 Vậy: |sin nx|≤ n|sin x|, ∀ n ∈ Ν , ∀ x ∈ R + ❑ Phương pháp 16: Chứng minh phản chứng Kiến thức: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngược Từ đó suy bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề “p  q” Muốn chứng minh p⇒ q (với p : giả thiết đúng, q : kết luận đúng) phép chứng minh thực hiên sau: Giả sử không có q ( q sai) suy điều vô lý p sai Vậy phải có q (hay q đúng) Như để phủ định luận đề ta ghép tất giả thiết luận đề với phủ định kết luận nó Ta thường dùng hình thức chứng minh phản chứng sau : A - Dùng mệnh đề phản đảo : “P  Q” B – Phủ định rôi suy trái giả thiết C – Phủ định suy trái với điều đúng D – Phủ định suy điều trái ngược E – Phủ định suy kết luận : Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a +b+c > , ab+bc+ac > , abc > Chứng minh a > , b > , c > Giải: Giả sử a  thì từ abc >  a  đó a < Mà abc > và a <  cb < Từ ab+bc+ca >  a(b+c) > -bc > Vì a < mà a(b +c) >  b + c < a < và b +c <  a + b +c < trái giả thiết a+b+c > Vậy a > tương tự ta có b > , c > Ví dụ 2:Cho số a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện ac  2.(b+d) Chứng minh có ít các bất đẳng thức sau là sai: a  4b , c  4d Giải: 2 Giả sử bất đẳng thức : a  4b , c  4d đúng đó cộng các vế ta a  c  4(b  d ) (1) Theo giả thiết ta có 4(b+d)  2ac (2) Từ (1) và (2)  a  c  2ac hay  a  c   (vô lý) 2 Vậy bất đẳng thức a  4b và c  4d có ít các bất đẳng thức 2 sai Ví dụ 3:Cho x,y,z > và xyz = Chứng minh 1   Nếu x+y+z > x y z thì có ba số này lớn Giải :Ta có (x-1).(y-1).(z-1) =xyz – xy- yz + x + y+ z –1 1 1 1     =x + y + z – ( x y z ) vì xyz = theo giả thiết x+y +z > x y z nên (x-1).(y-1).(z-1) > Trong ba số x-1 , y-1 , z-1 có số dương Thật ba số dương thì x,y,z >  xyz > (trái giả thiết) Còn số đó dương thì (x-1).(y-1).(z-1) < (vô lý) Vậy có và ba số x , y,z lớn Ví dụ 4: Cho a , b , c >0 và a.b.c=1 Chứng minh rằng: a+b +c ≥ (Bất đẳng thức Cauchy số) Giải: Giả sử ngược l ại: 2 2 a+b +c <3 ⇒(a+b+ c) ab<3 ab ⇔ a b+(a − a)b+1< ⇔ a b+ b a+cab< ab Xét : f (b)=a b+(a −3 a) b+1 2 a −1 ¿2 ( a− 4) ≤ a¿ −4a Có a −3Δ=¿ = a − a3 +9 a − a ¿ a(a3 − a2 +9 a− 4) = ¿a¿ ¿ a ,b ,c >0 ⇒ 0< a<3 ) ⇒ f (b)≥0 ⇒ vô lý Vậy: a+b +c ≥ (Vì a+b +c <3 ¿{ ¿ Ví dụ 5: Chứng minh không tồn các số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3): |a|<|b − c| (1) |b|<|c −a| (2) |c|<|a −b| (3) Giải: Giả sử tồn các số a, b, c đồng thời thỏa mãn (1),(2),(3), lúc đó: |a|<|b − c| |b|<|c −a| |c|<|a −b| 2 b − c ¿ >a ⇒¿ 2 c − a ¿ >b ⇒¿ 2 a −b ¿ > c ⇒¿ ⇒ −(a+ b− c )(a −b+ c)>0 (1’) ⇒−(− a+b+ c)(a+ b −c )> (2’) ⇒ −(a+ b− c )(−a+ b+c )> Nhân (1’), (2’) và (3’) vế với vế ta được: (3’) (a+ b− c )(a −b+ c)(− a+b+ c) ¿ >0 ⇒ −¿ Vô lý Vậy bài toán chứng minh PHẦN III : CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO *Dùng định nghĩa ⇒ a2  1) Cho abc = và a  36 Chứng minh b2+c2> ab+bc+ac a2 a2 a2    Giải: Ta xét hiệu: b2+c2- ab- bc – ac = 12 b2+c2- ab- bc – ac a a2 a2 a  36abc   = ( b2+c2- ab– ac+ 2bc) + 12 3bc =( -b- c)2 + 12a a a  36abc =( -b- c)2 + 12a >0 (vì abc=1 và a3 > 36 nên a >0 ) a2  Vậy : b2+c2> ab+bc+ac Điều phải chứng minh 2) Chứng minh 4 2 a) x  y  z  2 x.( xy  x  z  1) b) với số thực a , b, c ta có c) Giải: a  5b  4ab  2a  6b   a  2b  2ab  2a  4b  0 2 4 2 2 2 a) Xét hiệu: x  y  z   x y  x  xz  x =  x  y    x  z    x  1 =H H 0 ta có điều phải chứng minh 2 b) Vế trái có thể viết H =  a  2b  1   b  1   H > ta có đpcm 2 c) vế trái có thể viết H =  a  b  1   b  1  H  ta có điều phải chứng minh * Dùng biến đổi tương đương 1) Cho x > y và xy =1 Chứng minh x  y2  8  x  y2 2 x  2 x  y  x  y   xy  x  y   Giải: Ta có y 2   x  y  (vì xy = 1)  4. x  y   4 2 Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với  x  y   4 x  y   8. x  y   x  y   4 x  y   0    x  y    0 BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh 2) Cho xy  Chứng minh 1   2 1 x 1 y  xy Giải: 1   2 1 x 1 y  xy  Ta có    1   1       0   2    x  y    y  xy  xy  x xy  y x( y  x) y( x  y)  0  2 1  x .1  xy  1  y .1  xy    x 1  xy   y 1  xy  0  y  x   xy  1 0  x  y 1  xy  BĐT cuối này đúng xy > Vậy ta có đpcm        * Dùng bất đẳng thức phụ a2  b2  c2  1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1 Chứng minh Giải: áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho số (1,1,1) và (a,b,c) Ta có  1.a 1.b 1.c  1 1 1. a  b  c    a  b  c  3.a  b  c  a2  b2  c2  (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 2) Cho a,b,c là các số dương Chứng minh (1)  a  b  c .    9 a b c a b a c b c a a b b c c             9         9  b a  c a  c b  b c a c a a Giải: (1)  x y  2 y x áp dụng BĐT phụ Với x,y > Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng  a  b  c .    9  a b c Vậy (đpcm) * Dùng phương pháp bắc cầu 3 2 1) Cho < a, b,c <1 Chứng minh : 2a  2b  2c   a b  b c  c a Giải: Do a <1  a <1 và b <1 2 2 Nên 1  a   b     a b  a  b  2 Hay  a b  a  b (1) 3 3 Mặt khác <a,b <1  a  a ; b  b   a  a  b 3 Vậy a  b  1 a b Tương tự ta có b3  c   b c; a  c3   c a  2a  2b  2c   a 2b  b c  c a 2) So sánh 31 11 Giải: Ta thấy 31 < 11 và 17 3211  25 256 2 4.14     14 11 14 Mặt khác * Dùng tính chất tỉ số (đpcm) 255  256 1614  1714 1) Cho a ,b ,c ,d > Cminh rằng: Giải: Vì a ,b ,c ,d > nên ta có 11 Vậy 31 < 17 2 14 (đpcm) a b b c c d d a    3 a b c b c d c d a d a b a b a b a b  d   a b c  d a b c a b c d b  c bc b c a   a b c d b c d a b c d d a d a d a c   a b c  d d a b a b c d (1) (2) (3) Cộng các vế bất đẳng thức trên ta có : 2 a b b c cd d a    3 a b c b c  d c  d  a d  a b (đpcm) 2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác 1 a b c   2 b c c a a b Chứng minh : Giải: Vì a ,b ,c là số đo ba cạnh tam giác nên ta có a,b,c > Và a < b +c ; b <a+c ; c < a+b a a a 2a   b c a b c a b c Từ (1) a a  Mặt khác b  c a  b  c  a a 2a   Vậy ta có a  b  c b  c a  b  c Tương tự ta có b b 2b   a b c a c a b c c c 2c   a b c b a a b c Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta có : 1 a b c   2 b c c a a b (đpcm) * Phương pháp làm trội : 1) Chứng minh BĐT sau : 1 1     (2n  1).(2n  1) a) 1.3 3.5 1 1    2 1.2.3 n b) 1.2 1.2.3 Giải: 1  2k  1  (2k  1)  1       a) Ta có :  2n  1  2n  1 (2k  1).(2k 1)  2k  2k 1  Cho n chạy từ đến k Sau đó cộng lại ta có 1 1          1.3 3.5 (2n  1).(2n 1)  n 1  1 b) Ta có: (đpcm) 1 1 1    1    1.2 1.2.3 1.2.3 n 1.2 1.2.3  n  1 n 1  1  1  1              2 2 n  n n <  2  3 (đpcm) PHẦN IV : ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC 1/ Dùng bất đẳng thức để tìm cưc trị Kiến thức: - Nếu f(x)  A thì f(x) có giá trị nhỏ là A - Nếu f(x)  B thì f(x) có giá trị lớn là B Ví dụ :Tìm giá trị nhỏ :T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Giải: Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|  |x-1+4-x| = (1) x   x   x    x  x    x 1 Và (2)  Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = Ta có từ (1)  Dấu xảy x 4 (2)  Dấu xảy  x 3 Vậy T có giá trị nhỏ là  x 3 Ví dụ : Tìm giá trị lớn S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > và x+y+z =1 Giải: Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Côsi ta có 3 xyz  3 1 xyz   xyz  27 x+ y + z áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có  x  y   y  z   z  x  3  x  y   y  z   x  z  Dấu xảy x=y=z=  3  x  y   y  z   z  x  8  Vậy S  27 27 729 Vậy S có giá trị lớn là 729 x=y=z= 4 Ví dụ 3: Cho xy+yz+zx = Tìm giá trị nhỏ x  y  z Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho số (x,y,z) ;(x,y,z)  xy  yz  zx   x2  y  z     x2  y  z  Ta có 2 Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho ( x , y , z ) và (1,1,1) Ta có  (1) ( x  y  z ) (12 12  12 )( x  y  z )  ( x  y  z ) 3( x  y  z ) 4 Từ (1) và (2)  3( x  y  z )  x4  y  z  3  4 x  y  z Vậy có giá trị nhỏ là x=y=z= Ví dụ : Trong tam giác vuông có cùng cạnh huyền , tam giác vuông nào có diện tích lớn Giải: Gọi cạnh huyền tam giác là 2a Đường cao thuộc cạnh huyền là h Hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền là x,y  x  y  h a.h a h a xy Ta có S = Vì a không đổi mà x+y = 2a Vậy S lớn x.y lớn  x  y Vậy các tam giác có cùng cạnh huyền thì tam giác vuông cân có diện tích lớn 2/ Dùng Bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình 2 Ví dụ 1:Giải phương trình: 3x  x 19  x 10 x  14 4  x  x 2 Giải : Ta có 3x  x  19 3.( x  x  1)  16 3.( x  1)  16 16 x  10 x  14 5  x  1  9 2 Vậy x  x 19  x  10 x  14 2  5 Dấu ( = ) xảy x+1 =  x = -1 2 Vậy 3x  x  19  x  10 x  14 4  x  x Vậy phương trình có nghiệm x = -1 x = -1 2 Ví dụ 2: Giải phương trình x   x 4 y  y  Giải : áp dụng BĐT BunhiaCốpski ta có : x   x  12  12 x    x   2 2 Mặt khác Dấu (=) xảy x = 1 Dấu (=) xảy y = - x =1 và y =- y  y   y  1  2 2 Vậy x   x 4 y  y  2  x 1    y  Vậy nghiệm phương trình là  x  y  z 1  4 Ví dụ 3:Giải hệ phương trình sau:  x  y  z  xyz Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có x4  y y  z z  x4   x y  y z  z x 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z y z z x z  y x2    2 2 2  y xz  z xy  x yz  xyz.( x  y  z ) x4  y4  z4  Vì x+y+z = 1) Nên x  y  z xyz Dấu (=) xảy x = y = z =  x  y  z 1  4 x  y  z  xyz Vậy  có nghiệm x = y = z = 4  xy  8  y  Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau  xy 2  x y   y 0 Từ phương trình (1) Từ phương trình (2) (1) (2) hay  x   x y 2 x  x  2 x  22 0  ( x  2) 0  x   x  Nếu x = thì y = 2 Nếu x = - thì y = -2  x    y  Vậy hệ phương trình có nghiệm và 3/ Dùng BĐT để giải phương trình nghiệm nguyên  x 2   y  2 2 Ví dụ 1: Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn x  y  z xy  y  z  2 Giải: Vì x,y,z là các số nguyên nên x  y  z xy  y  z    y2   y2  x  y  z  xy  y  z  0   x  xy      y    z  z  0      2 2 y  y    x      1   z  1 0 2  2  y  y   x      1   z  1 0 2  Mà   y     x    3 2   y   x  0  y    0  2  z  0   y   1   z  1 0   x 1   y 2  z 1  Các số x,y,z phải tìm là  x 1   y 2  z 1  (*) x, y  R  1   2 Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x y z Giải: Không tính tổng quát ta giả sử x  y z 1      z 3 x y z z Ta có Mà z nguyên dương z = Thay z = vào phương trình ta 1  1 x y 1   Theo giả sử x y nên = x y y  y 2 mà y nguyên dương Nên y = y = Với y = không thích hợp Với y = ta có x = Vậy (2 ,2,1) là nghiệm phương trình Hoán vị các số trên ta các nghiệm phương trình là (2,2,1);(2,1,2); (1,2,2) Ví dụ 3:Tìm các cặp số nguyên thoả mãn phương trình x  x  y Giải: (*) Với x < , y < thì phương trình không có nghĩa (*) Với x > , y > (*) Ta có x  x  y  x  x  y  x  y  x  Đặt x k (k nguyên dương vì x nguyên dương ) Ta có k (k 1)  y k  k k 1  k 1      k  y  k 1 Nhưng Mà k và k+1 là hai số nguyên dương liên tiếp không tồn số nguyên dương nào Nên không có cặp số nguyên dương nào thoả mãn phương trình  x 0  Vậy phương trình có nghiệm là :  y 0 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ CHÍNH THỨC B Bài tập bắt buộc ( 8điểm) KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ Năm học 1999 - 2000 æ 1 A =ç + ç ç èx - x x- ö x +1 ÷ : ÷ ÷ 1ø x - x +1 Câu 1: Cho biểu thức: a) Rút gọn A b) Tính giá trị A x = 0,25 c) Tính các giá trị x để A > -1 Câu Để chuẩn bị cho kỉ niệm ngày sinh nhật Bác, các đoàn viên hai lớp 9A và 8A trường trung học sở Kim Liên, tổ chức trồng 110 cây quanh trường Mỗi đoàn viên lớp 9A trồng cây, đoàn viên lớp 8A trồng hai cây Biết số đoàn viên lớp 9A nhiều số đoàn viên lớp 8A là người Hãy tính số đoàn viên các lớp 9A và 8A Câu Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Vẽ bán kính OC vuông góc với AB Gọi M là điểm chính cung BC, E là giao điểm AM với OC Chứng minh : a) Tứ giác MBOE nội tiếp b ME = MB c CM là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác MBOE d Tính diện tích tam giác BME theo R Hết SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2000-2001 B Bài tập bắt buộc ( 8điểm) a 2a - a a - a- a P= Câu 1: Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tính giá trị P với a 3  c) Tìm a để P < Câu : Cho phương trình bậc hai : x2 + (m + 1)x + m - = a) Giải phương trình m = b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt với m Câu 3: Cho tam giác vuông ABC ( vuông A), đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AH (O) cắt AB, AC M và N a) Chứng minh điểm M, O, N thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp c) Gọi E là trung điểm HB, F là trung điểm HC Tính diện tích tứ giác EMNF, biết HB = 8cm, HC = 18cm Hết SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2001-2002 Bài tập bắt buộc ( 8điểm) A x  x1 Câu 1: Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tính giá trị A với x =36 c) Tìm x để AA x1 x ( x  1) Câu : Một canô chạy xuôi dòng từ A đến B quay trở lại A Biết quãng sông AB dài 30km và vận tốc dòng nước là 4km/h Tính vận tốc thực canô? Câu 3: AB Cho đoạn thẳng AB và AC vuông góc với nhau.( AB < AC ) Vẽ (O; ) và AC (O’; ) Gọi D là giao điể thứ đường tròn đó a) Chứng minh điểm B, D,C thẳng hàng b) Gọi giao điểm OO’ với cung nhỏ AD (O) là N Chứng minh AN là tia phân giác góc DAC c) Tia AN cắt (O’) điểm thứ là M, gọi I là trung điểm MN Chứng minh tứ giác AOIO’ nội tiếp Hết SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2002-2003 Bài tập bắt buộc: (8điểm)  1  M    : x 3 x   x Câu 1: Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ rút gọn M b) Tìm x để M > c) Tìm x để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn đó Câu : Hai người thợ cùng làm công việc 18 thì xong Nếu người thứ làm nghỉ và người thứ làm tiếp thì họ làm 1/3 công việc Hỏi làm mình thì người bao lâu để hoàn thnàh công việc ? Câu : Cho đường tròn tâm O đường kính AB, C là điểm thuộc đường tròn đó Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn, Ax cắt tia BC K Gọi Q, M là trung điểm KB, KA a) Chứng minh điểm A, M, C, Q cùng nằm trên đường tròn b) Cho AB = 10cm, OQ = 3cm Tính diện tích tứ giác ABQM c) Chứng minh MC là tiếp tuyến (O) d) Chưng minh rằng: Nếu  ACO và  BCO có bán kính đường tròn nội tiếp thì C là điểm chính cung AB -Hết -SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2003-2004 B Bài tập bắt buộc: (8điểm)    A   1   x  x  x     Câu 1: Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ rút gọn A b) Tính giá trị A x = A A c) Tìm giá trị x để: Câu : Để chở đoàn khách 320 người tham quan chiến trường Điện Biên Phủ, công ty xe khách đã bố trí loại xe, loại thứ xe có 40 chỗ, loại thứ hai xe có 12 chỗ Em hãy tính số xe loại biết loại thứ ít số xe loại thứ hai là và số người ngồi vừa đủ số ghế trên xe Câu : Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AE, BK, CI cắt H a) Chứng minh các tứ giác EHKC và BIKC nội tiếp b) Chứng minh AE, BK, CI là các đường phân giác tam giác IEK c) So sánh bán kính các đường tròn ngoại tiếp  AHB,  AHC,  BHC -Hết -SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC CƠ SỞ ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2004-2005 B Bài tập bắt buộc ( 8điểm)   P    x  1 x  x  Câu 1: (2,5đ) Cho biểu thức: a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tính giá trị A với x = 25 c) Tìm x để: P  ( x  1)  x  2005   Câu 2: (2đ) Hai ôtô khởi hành lúc từ A đến B cách 150km Biết vận tốc ôtô thứ vận tốc ô tô thứ hai 10km/h và ôtô thứ đến B trước ôtô thứ hai 45 phút Tính vận tốc xe? Câu 3: (3,5đ) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R; H là điểm nằm O và B Đường thẳng vuông góc với AB H cắt nửa đường tròn C Gọi I là trung điểm dây AC a) Chứng minh tứ giác OICH nội tiếp b) Chứng minh AI.AC = AO.AH c) Trong trường hợp OH = 1/3R, chứng minh BI  IK ( K là trung điểm AO ) -Hết -SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2006-2007  1  x 1 P    : x  x  x (  x )   Cho biểu thức Bài 1: (2,0 điểm) a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > Bài : (1,5 điểm) Trong mọt kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, hai trường A và B có tất 450 học sinh dự thi Biết số học sinh trúng tuyển trường A số học sinh dự thi trường A Số học sinh trúng tuyển trường B 10 số học sinh dự thi trường B Tổng số học sinh trúng tuyển hai trường số học sinh dự thi hai trường Tính số học sinh dự thi trường ? Bài : (2,5 điểm) Cho phương trình: x2 – 2(m + 2)x + m2 – = (1) a) Giải phương trình (1) với m = b) Tìm m để (1) có nnghiệm phân biệt c) Gọi nghiệm phân biệt (1) là x1 và x2 Hãy xác định các giá trị x  x x  x 2 m để: Bài : (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M là điểm nằm trên nửa đường tròn đó cho cung AM lớn cung BM (M khác B) Đường thẳng d là tiếp tuyến M nửa đường tròn (O ; R) Kẻ AD, BC vuông góc với d (D và C thuộc d) a Chứng minh M là trung điểm CD b) Chứng minh AD.BC = CM2 c) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với đường thẳng AB d) Kẻ MH  AB H Hãy xác định vị trí điểm M để diện tích tam giác DHC diện tích tam giác AMB -Hết SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2007-2008 Tự luận (8 điểm)  x   :   x1  x x x1 Câu (3 điểm) Cho biểu thức A =  a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A b) Tìm tất các giá trị x cho A < c) Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình A x  m  x có nghiệm Câu (2 điểm) Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ A đến B Xe máy thứ có vận tốc trung bình lớn vận tốc trung bình xe máy thứ hai 10km/h, nên đến trước xe máy thứ hai Tính vận tốc trung bình xe máy, biết quãng đường AB dài 120km Câu (3điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Điểm H nằm hai điểm A và B (H không trùng với O) Đường thẳng vuông góc với AB H, cắt nửa đường tròn trên điểm C Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AC và BC a) Tứ giác HDCE là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh ADEB là tứ giác nội tiếp Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEB Chứng minh DE = 2KO -Hết SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2008 -2009 PHẦN TỰ LUẬN: (8điểm)   P    : x 1  x 1  x Câu 1: (3,0 điểm) Cho biểu thức: a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm các giá trị x để P M x  12 x1 P c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu : ( 2,0 điểm)Hai người tợ cùng sơn cửa cho ngôi nhà ngày thì xong Nếu người thứ làm ngày nghỉ và người thứ hai làm tiếp ngày thì xong việc Hỏi người làm mình thì sau bao lâu xong việc ? Câu 3: (3,0 điểm)Cho tam giác ABC vuông A Đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC M Trên cung nhỏ AM lấy điểm E ( E   A; M) Kéo dài BE cắt AC F a) Chứng minh BEM  ACB , từ đó suy MEFC là tứ giác nội tiếp b) Gọi K là giao điểm ME và AC Chứng minh AK2 = KE.KM c) Khi điểm E vị trí cho AE + BM = AB Chứng minh giao điểm các đường phân giác AEM và BME  thuộc đoạn thẳng AB HÕt Së gd&®t nghÖ an kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt đề chính thức N¨m häc 2009-2010 x x 1 x   x  x 1 Câu I (3,0 điểm) Cho biểu thức A = 1) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x = 3) Tìm tất các giá trị x để A < Câu II (2,5 điểm) Cho phương trình bậc hai, với tham số m : 2x2 – (m + 3)x + m = (1) 1) Giải phương trình (1) m = 2) Tìm các giá trị tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1x x1 + x = 3) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình (1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x  x2 P= Câu III (1,5 điểm) Một ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài 45m Tính diện tích ruộng, biết chiều dài giảm lần và chiều rộng tăng lần thì chu vi ruộng không thay đổi Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R), đường kính AB cố định và CD là đường kính thay đổi không trùng với AB Tiếp tuyến đường tròn (O;R) B cắt các đường thẳng AC và AD E và F 1) Chứng minh BE.BF = 4R2 2) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp đường tròn 3) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh tâm I luôn nằm trên đường thẳng cố định HÕt Së gd&®t nghÖ an kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thpt đề chính thức N¨m häc 2010-2011 x  x1 2  x 1 x  Câu I (3,0 điểm) Cho biểu thức A = Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A Tính giá trị biểu thức A x = Khi x thoả mãn điều kiện xác định Hãy tìm giá trị nhỏ cuả biểu thức B, với B = A(x-1) Câu II (2,0 điểm) Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m : x2 - (m + 1)x + 2m - = (1) Giải phương trình (1) m = 2 Tìm giá trị tham số m để x = -2 là nghiệm phương trình (1) Câu III (1,5 điểm) Hai người cùng làm chung công việc thì sau 30 phút họ làm xong công việc Nếu mình người thứ làm giờ, sau đó mình người thứ hai làm thì hai người làm 75% công việc Hỏi người làm mình thì sau bao lâu xong công việc? (Biết suất làm việc người là không thay đổi) Câu IV (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Điểm H cố định thuộc đoạn thẳng AO (H khác A và O) Đường thẳng qua điểm H và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn (O) C Trên cung BC lấy điểm D (D khác B và C) Tiếp tuyến nửa đường tròn (O) D cắt đường thẳng HC E Gọi I là giao điểm AD và HC Chứng minh tứ giác HBDI nội tiếp đường tròn Chứng minh tam giác DEI là tam giác cân Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ICD Chứng minh góc ABF có số đo không đổi D thay đổi trên cung BC (D khác B và C) Hết SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI - - KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Khóa ngày 21 tháng năm 2008 MÔN THI : TOÁN Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề)  a        :   a  a  a   a 1 a   Câu : (1,5 điểm)Cho biểu thức M =  1) Rút gọn M 2) Tính giá trị M a = + 2 Câu : (1,5 điểm)  x  y   1) Giải hệ phương trình sau : 2 x  y 7 2) Giải phương trình : 4x4 – 5x2 – = Câu : (1,5 điểm) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = ( m – 1)x – ( m – 1) 1) Vẽ (P) 2) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) 3) Chứng minh (d) luôn qua điểm cố định với giá trị m Câu : (1,5 điểm) Một ô tô trên quãng đường dài 520 km Khi 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h và hết quãng đường còn lại Tính vận tốc ban đầu ô tô, biết thời gian hết quãng đường là Câu : (4,0 điểm) Từ điểm C nằm ngoài đường tròn ( O ; R ) kẻ cát tuyến CBA và hai tiếp tuyến CM, CN (M, N là các tiếp điểm) với (O) Gọi H là trung điểm AB 1) Chứng minh điểm C, H , O, N cùng nằm trên đường tròn 2) Đường thẳng OH cắt tia CN K Chứng minh : KO KH = KN KC 3) Đoạn thẳng CO cắt (O) I Giả sử  OMIN là hình thoi Tính thể tích hình tạo thành quay  COM vòng quanh cạnh MC 4) Một đường thẳng qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN E và F Xác định vị trí điểm C cho diện tích  CEF là nhỏ ======== Hết ======== SỞ GIÁO ĐỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HÀ NỘI Năm học 2010 – 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I (2,5 điểm) Môn thi: TOÁN Ngày thi: 22 tháng năm 2010 Thời gian làm bài: 120phút x x 3x    x 3 x  x Cho biểu thức : A = 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm giá trị x để A = 1/3 3) Tìm giá trị lớn biểu thức A Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau cách lập phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13 m và chiều dài lớn chiều rộng m Tính chiều dài và chiều rộng mảnh đất đó Bài III (1,0 điểm) Cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d): y = mx – 1) Chứng minh với giá trị m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) hai điểm phân biệt 2) Gọi x1, x2 là hoành độ các giao điểm đường thẳng (d) và parabol (P) Tìm giá trị m để: x12x2 + x22x1 – x1x2 = Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt tia BE điểm F 1) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC   3) Chứng minh CFD = OCB Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC là tiếp tuyến đường tròn (O) 4) Cho biết DF = R, chứng minh tg AFB = Bài V ( 0,5 điểm) Giải phương trình: x2 + 4x + = (x + 4) x  ======== Hết ======== SỞ GIÁO ĐỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT THANH HOÁ Môn thi: Toán Năm học 2010 – 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 30 tháng năm 2010 Thời gian làm bài: 120phút Bài I (2,0 điểm) Cho phương trình : x + nx – = (1) (với n là tham số) Giải phương trình (1) n = Giả sử x1,x2 là nghiệm phương trình (1),tìm n để : x1(x22 +1 ) + x2( x12 + ) > Bài II (2,0 điểm)  a 3 A   a  Cho biểu thức a  3 1     a    a 1.Rút gọn A 2.Tìm a để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài III (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Cho parabol (P): y = x2 và các điểm A,B thuộc parabol (P) v ới xA = -1,xB = 1.Tìm toạ độ các điểm A,B v à viết phương trình đ ờng th ẳng AB T ìm m đ ể đường th ẳng (d) : y = (2m2 – m)x + m + (v ới m là tham số ) song song với đường thẳng AB Bài IV (3,0)Cho tam giác PQR có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn t âm O,c ác đ ường cao QM,RN c tam gi ác c t ại H 1.Chứng minh tứ giác QRMN là tứ gi ác n ội tiếp đ ường tròn Kéo dài PO cắt đ ường tròn O K.Chứng minh tứ giác QHRK là hình bình hành Cho cạnh QR cố đ ịnh,Pthay đổi trên cung lớn QR cho tam giác PQR luôn nhọn.Xác định v ị trí điểm P để diện tích tam giác QRH lớn Bài V ( 1,0 điểm) Cho x,y là các số d ương thoả mãn : x + y = Tìm giá trị nhỏ c : P x  y  33 xy - Hết UBND TỈNH ĐĂKLĂK SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PTTH MÔN : TOÁN.Năm học : 2010 -2011 Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian phát đề) Bài 1: (2 điểm) 1) Giải phương trình: x + √ x=x 2+2 √ x 2) Xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b qua hai điểm A(2;8) và B(3;2) Bài 2: (2 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A= √2 ( √ 2− ) + ( √ 2+1 )2 ( −2√ x − √ x) :( 1+1√ x + 1−2 √ xx ) 2) Cho biểu thức: B= a) Rút gon biểu thức B b) Tìm giá trị x để biểu thức B = 2 Bài 3: (1,5 điểm) Cho phương trình: x − ( m+1 ) x +m + =0 (m là tham số) (1) 1) Với giá trị nào m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt? 2) Với giá trị nào m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 cho biểu thức M =( x − ) ( x − ) đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn có tâm O và đường kính AB Gọi M là điểm chính cung AB, P là điểm thuộc cung MB (P không trùng với M và B); đường thẳng AP cắt đường thẳng OM C, đường thẳng OM cắt đường thẳng BP D 1) Chứng minh OBPC là tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh hai tam giác BDO và CAO đồng dạng 3) Tiếp tuyến nửa đường tròn P cắt CD I Chứng minh I là trung điểm đoạn thẳng CD Bài 5: (1 điểm) Chứng minh phương trình ( a − b ) x2 −2 ( a6 − ab5 ) x+ a8 − a2 b6 =0 luôn luôn có nghiệm với a, b -Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT QUẢNG NINH NĂM HỌC 2010 – 2011 Ngày thi : 02/7/2010 Thời gian làm bài : 120 phút Bài (1,5 điểm) a) So sánh số : và 29 3 3  b) Rút gọn biểu thức : A =   2 x  y 5m   Bài (2,0 điểm) Cho hệ phương trình :  x  y 2 (m là tham số) a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) thoả mãn : x2 – 2y2 = Bài (2,5 điểm) Giải bài toán sau cách lập phương trình và hệ phương trình : Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước thì sau 12 bể đầy Nếu vòi chảy riêng thì thời gian vòi thứ chảy đầy bể ít vòi thứ chảy đầy bể là 10 Hỏi chảy riêng vòi thì vòi chảy bao lâu đầy bể ? Bài (3 điểm) Cho đường tròn(O;R) , dây cung BC cố định (BC < 2R) và điểm A di động trên cung lớn BC cho tam giác ABC có góc nhọn Các đường cao BD và CE tam giác cắt H a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp b) Giả sử góc BAC = 600 , hãy tính khoảng cách từ tâm O đến cạnh BC theo R c) Chứng minh đường thẳng kể qua A và vuông góc với DE luôn qua điểm cố định Bài (1,0 điểm) Cho biểu thức : P = xy(x – 2)(y + 6) + 12x2 – 24x + 3y2 + 18y + 36 Chứng minh P luôn dương với x;y thuộc R ………………………Hết……………………… MỘT SỐ ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 1998 – 1999) Câu I (2đ) Giải hệ phương trình: 2x  3y     3x  4y 2 Câu II (2,5đ) Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + = (m là tham số) 1) Tìm các giá trị m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm phương trình) Câu III (4,5đ) Cho tam giác ABC vuông cân A, trên cạnh BC lấy điểm M Gọi (O 1) là đường tròn tâm O1 qua M và tiếp xúc với AB B, gọi (O 2) là đường tròn tâm O2 qua M và tiếp xúc với AC C Đường tròn (O1) và (O2) cắt D (D không trùng với M) 1) Chứng minh tam giác BCD là tam giác vuông 2) Chứng minh O1D là tiếp tuyến (O2) 3) BO1 cắt CO2 E Chứng minh điểm A, B, D, E, C cùng nằm trên đường tròn 4) Xác định vị trí M để O1O2 ngắn Câu IV (1đ) Cho số dương a, b có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức:     a2    b2  A=     Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 1999 – 2000) Câu I Cho hàm số f(x) = x2 – x + 1) Tính các giá trị hàm số x = và x = -3 2) Tìm các giá trị x f(x) = và f(x) = 23 Câu II Cho hệ phương trình :  mx  y 2 (1)   x  my 1 (2) 1) Giải hệ phương trình theo tham số m 2) Gọi nghiệm hệ phương trình là (x, y) Tìm các giá trị m để x + y = -1 3) Tìm đẳng thức liên hệ x và y không phụ thuộc vào m Câu III Cho tam giác ABC vuông B (BC > AB) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm đường tròn nội tiếp với cạnh AB, BC, CA là P, Q, R 1) Chứng minh tứ giác BPIQ là hình vuông 2) Đường thẳng BI cắt QR D Chứng minh điểm P, A, R, D, I nằm trên đường tròn 3) Đường thẳng AI và CI kéo dài cắt BC, AB E và F Chứng minh AE CF = 2AI CI Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 1999 – 2000) Câu I 1) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) 2) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng trên với trục tung và trục hoành Câu II Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – = 1) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm trái dấu 3) Gọi hai nghiệm phương trình là x1 và x2, tìm các giá trị m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8 Câu III Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm E, qua E kẻ các đường thẳng song song với AB và AC chúng cắt AC P và cắt AB Q 1) Chứng minh BP = CQ 2) Chứng minh tứ giác ACEQ là tứ giác nội tiếp Xác định vị trí E trên cạnh BC để đoạn PQ ngắn 3) Gọi H là điểm nằm tam giác ABC cho HB2 = HA2 + HC2 Tính góc AHC Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2000 – 2001) Câu I Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 1) Tìm điều kiện m để hàm số luôn nghịch biến 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ 3) Tìm m để đồ thị hàm số trên và các đồ thị các hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy Câu II Giải các phương trình : 1) x2 + x – 20 = 1   2) x  x  x 3) 31  x x  Câu III Cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đường tròn tâm O, kẻ đường kính AD, AH là đường cao tam giác (H  BC) 1) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật 2) Gọi M, N thứ tự là hình chiếu vuông góc B, C trên AD Chứng minh HM vuông góc với AC 3) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MHN 4) Gọi bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vuông ABC là r và R Chứng minh : r + R  AB.AC Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2000 – 2001) Câu I Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 1) Giải phương trình với m = 2) Gọi hai nghiệm phương trình là x1 và x2 Tìm các giá trị m thoả mãn 5x1 + x2 = Câu II Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn qua với m 4) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành tam giác có diện tích (đvdt) Câu III Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, đường phân giác góc A cắt cạnh BC D và cắt đường tròn ngoại tiếp I 1) Chứng minh OI vuông góc với BC 2) Chứng minh BI2 = AI.DI   3) Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên cạnh BC Chứng minh : BAH CAO   C  HAO B 4) Chứng minh : Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2001 – 2002) Câu I (3,5đ) Giải các phương trình sau: 1) x2 – = ; 2) x2 + x – 20 = ; 3) x2 – x – = Câu II (2,5đ) Cho hai điểm: A(1 ; 1) và B(2 ; -1) 1) Viết phương trình đường thẳng AB 2) Tìm các giá trị m để đường thẳng y = (m – 3m)x + m2 – 2m + song song với đường thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Câu III (3đ) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C cắt H và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC E và F 1) Chứng minh AE = AF 2) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH 3) Kẻ đường kính BD, chứng minh tứ giác ADCH là hình bình hành x  y  3200 Câu IV (1đ) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn phương trình: Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2001 – 2002) Câu I (3,5đ) Giải các phương trình sau : 1) 2(x – 1) – = 5x + ; 2) 3x – x2 = ; x  x 1  2 x 3) x Câu II (2,5đ) Cho hàm số y = -2x2 có đồ thị là (P) 1) Các điểm A(2 ; -8), B(-3 ; 18), C( ; -4) có thuộc (P) không ? 2) Xác định các giá trị m để điểm D có toạ độ (m; m – 3) thuộc đồ thị (P) Câu III (3đ) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Đường tròn đường kính AH cắt cạnh AB M và cắt cạnh AC N 1) Chứng minh MN là đường kính đường tròn đường kính AH 2) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp 3) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt cạnh BC I Chứng minh: BI = IC 2 Câu IV (1đ) Chứng minh  là nghiệm phương trình: x + 6x + = x , từ đó phân tích đa thức x3 + 6x2 + 7x – thành nhân tử Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2002 – 2003) Câu I (3đ) Giải các phương trình: 1) 4x2 – = ; x  x  x  4x  24   x2  2) x  x  ; 3) 4x  4x  2002 Câu II (2,5đ) Cho hàm số y =  x 1) Vẽ đồ thị hàm số 2) Gọi A và B là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ là và -2 Viết phương trình đường thẳng AB 3) Đường thẳng y = x + m – cắt đồ thị trên hai điểm phân biệt, gọi x1 và x2 là hoành độ hai giao điểm Tìm m để x12 + x22 + 20 = x12x22 Câu III (3,5đ) Cho tam giác ABC vuông C, O là trung điểm AB và D là điểm trên cạnh AB (D không trùng với A, O, B) Gọi I và J thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACD và BCD 1) Chứng minh OI song song với BC 2) Chứng minh điểm I, J, O, D nằm trên đường tròn 3) Chứng minh CD là tia phân giác góc BCA và OI = OJ  74 3 Câu IV (1đ) Tìm số nguyên lớn không vượt quá Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2002 – 2003) Câu I (2,5đ) Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 1) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh đồ thị hàm số luôn qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ x =  Câu II (3đ) Cho phương trình : x2 – 6x + = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm phương trình Không giải phương trình, hãy tính: 1) x12 + x22 ; x x  x2 x2 2) 1 ; x12  x 22  x1x  x1  x      x x   x 22 x 22  3) 1 Câu III (3,5đ) Cho đường tròn tâm O và M là điểm nằm bên ngoài đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (P và Q là tiếp điểm) và cát tuyến MAB 1) Gọi I là trung điểm AB Chứng minh bốn điểm P, Q, O, I nằm trên đường tròn 2) PQ cắt AB E Chứng minh: MP2 = ME.MI 3) Giả sử PB = b và A là trung điểm MB Tính PA Câu IV (1đ) Xác định các số hữu tỉ m, n, p cho (x + m)(x2 + nx + p) = x3 – 10x – 12 Đề số 10 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2003 – 2004) Câu I (1,5đ) Tính giá trị biểu thức: 5 2   18 A=  x2 Câu II (2đ) Cho hàm số y = f(x) = 1) Với giá trị nào x hàm số trên nhận các giá trị : ; -8 ; - ; 2) A và B là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ là -2 và Viết phương trình đường thẳng qua A và B Câu III (2đ) Cho hệ phương trình:  x  2y 3  m  2x  y 3(m  2) 1) Giải hệ phương trình thay m = -1 2) Gọi nghiệm hệ phương trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhấtl Câu IV (3,5đ) Cho hình vuông ABCD, M là điểm trên đường chéo BD, gọi H, I và K là hình chiếu vuông góc M trên AB, BC và AD 1) Chứng minh :  MIC =  HMK 2) Chứng minh CM vuông góc với HK 3) Xác định vị trí M để diện tích tam giác CHK đạt giá trị nhỏ Câu V (1đ) Chứng minh : (m  1)(m  2)(m  3)(m  4) là số vô tỉ với số tự nhiên m Đề số 11 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2003 – 2004) x Câu I (2đ) Cho hàm số y = f(x) = ), f( ) 1) Hãy tính f(2), f(-3), f( 3  3 ;    1;  2;  2;     có thuộc đồ thị hàm số không ?    2) Các điểm A ,B ,C ,D Câu II (2,5đ) Giải các phương trình sau : 1   1) x  x  ; 2) (2x – 1)(x + 4) = (x + 1)(x – 4) Câu III (1đ) Cho phương trình: 2x2 – 5x + = x x  x x1 Tính (với x1, x2 là hai nghiệm phương trình) Câu IV (3,5đ) Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt A và B, tiếp tuyến chung hai đường tròn phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa B, có tiếp điểm với (O1) và (O2) thứ tự là E và F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt (O1) và (O2) thứ tự C và D Đường thẳng CE và đường thẳng DF cắt I Chứng minh: 1) IA vuông góc với CD 2) Tứ giác IEBF nội tiếp 3) Đường thẳng AB qua trung điểm EF   Câu V (1đ) Tìm số nguyên m để m2  m  23 là số hữu tỉ Đề số 12 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2004 – 2005) Câu I (3đ) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*) 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua: a) A(-1; 3) ; b) B( ; -5 ) ; c) C(2 ; -1) 2) Xác định m để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 2x – điểm nằm góc vuông phần tư thứ IV Câu II (3đ) Cho phương trình 2x2 – 9x + = 0, gọi hai nghiệm phương trình là x1 và x2 1) Không giải phương trình tính giá trị các biểu thức: 3 x1  x a) x + x ; x x ; b) x1  x ; c) 2 x2  x2 x2  x 2) Xác định phương trình bậc hai nhận và là nghiệm Câu III (3đ) Cho điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Dựng đường tròn đường kính AB, BC Gọi M và N thứ tự là tiếp điểm tiếp tuyến chung với đường tròn đường kính AB và BC Gọi E là giao điểm AM với CN 1) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp 2) Chứng minh EB là tiếp tuyến đường tròn đường kính AB và BC 3) Kẻ đường kính MK đường tròn đường kính AB Chứng minh điểm K, B, N thẳng hàng Câu IV (1đ) Xác định a, b, c thoả mãn: 5x  a b c    x  3x  x  x   x  1 Đề số 13 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2004 – 2005) Câu I (3đ) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = (m – 2)x2 (*) 1) Tìm m để đồ thị hàm số (*) qua điểm: 1   ; 5 2;   a) A(-1 ; 3) ; b) B ; c) C  2) Thay m = Tìm toạ độ giao điểm đồ thị (*) với đồ thị hàm số y = x – Câu II (3đ) Cho hệ phương trình: (a  1)x  y a  x  (a  1)y 2 có nghiệm là (x; y)   1) Tìm đẳng thức liên hệ x và y không phụ thuộc vào a 2) Tìm các giá trị a thoả mãn 6x2 – 17y = 2x  5y 3) Tìm các giá trị nguyên a để biểu thức x  y nhận giá trị nguyên Câu III (3đ) Cho tam giác MNP vuông M Từ N dựng đoạn thẳng NQ phía ngoài tam giác   MNP cho NQ = NP và MNP PNQ và gọi I là trung điểm PQ, MI cắt NP E   1) Chứng minh PMI QNI 2) Chứng minh tam giác MNE cân 3) Chứng minh: MN PQ = NP ME Câu IV (1đ) Tính giá trị biểu thức: x5  3x  10x  12 x  2 x  7x  15 A= với x  x  Đề số 14 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2005 – 2006) Câu I (2đ) Cho biểu thức:  x y   xy  x y y x x y xy N= ;(x, y > 0) 1) Rút gọn biểu thức N 2) Tìm x, y để N = 2005 Câu II (2đ) Cho phương trình: x2 + 4x + = (1) 1) Giải phương trình (1) 2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình (1) Tính B = x13 + x23 Câu III (2đ) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị là và đổi chỗ hai chữ số cho thì ta số số ban đầu Câu IV (3đ) Cho nửa đường tròn đường kính MN Lấy điểm P tuỳ ý trên nửa đường tròn (P  M, P  N) Dựng hình bình hành MNQP Từ P kẻ PI vuông góc với đường thẳng MQ I và từ N kẻ NK vuông góc với đường thẳng MQ K 1) Chứng minh điểm P, Q, N, I nằm trên đường tròn 2) Chứng minh: MP PK = NK PQ 3) Tìm vị trí P trên nửa đường tròn cho NK.MQ lớn Câu V (1d) Gọi x1, x2, x3, x4 là tất các nghiệm phương trình (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) = Tính: x1x2x3x4 Đề số 15 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2005 – 2006)  a  a  a a        a 1   a    Câu I (2đ) Cho biểu thức: N = 1) Rút gọn biểu thức N 2) Tìm giá trị a để N = -2004 Câu II (2đ) x  4y 6  1) Giải hệ phương trình : 4x  3y 5 2) Tìm giá trị k để các đường thẳng sau : 6 x 4x  y = ; y = và y = kx + k + cắt điểm Câu III (2đ) Trong buổi lao động trồng cây, tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng tất 80 cây Biết số cây các bạn nam trồng và số cây các bạn nữ trồng là ; bạn nam trồng nhiều bạn nữ cây Tính số học sinh nam và số học sinh nữ tổ Câu IV (3đ) Cho điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự ấy, gọi (O) là đường tròn qua N và P Từ M kẻ các tiếp tuyến MQ và MK với đường tròn (O) (Q và K là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm NP 1) Chứng minh điểm M, Q, O, I, K nằm trên đường tròn 2) Đường thẳng KI cắt đường tròn (O) F Chứng minh QF song song với MP 3) Nối QK cắt MP J Chứng minh : MI MJ = MN MP Câu V (1đ) Gọi y1 và y2 là hai nghiệm phương trình : y2 + 5y + = Tìm a và b cho phương trình : x2 + ax + b = có hai nghiệm là : x1 = y12 + 3y2 và x2 = y22 + 3y1 Đề số 16 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2006 – 2007) Bài (3đ) 1) Giải các phương trình sau: a) 4x + = b) 2x - x2 = 2x  y 3  2) Giải hệ phương trình: 5  y 4x Bài (2đ) 1) Cho biểu thức: a 3 a1 a    a (a  0; a  4) a 2 P= a a) Rút gọn P b) Tính giá trị P với a = 2) Cho phương trình : x2 - (m + 4)x + 3m + = (m là tham số) a) Xác định m để phương trình có nghiệm là Tìm nghiệm còn lại b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23  Bài (1đ) Khoảng cách hai thành phố A và B là 180 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở là 10 Biết vận tốc lúc kém vận tốc lúc là km/h Tính vận tốc lúc ô tô Bài (3đ) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC, BD cắt E Hình chiếu vuông góc E trên AD là F Đường thẳng CF cắt đường tròn điểm thứ hai là M Giao điểm BD và CF là N Chứng minh: a) CEFD là tứ giác nội tiếp b) Tia FA là tia phân giác góc BFM c) BE.DN = EN.BD Bài (1đ) 2x  m Tìm m để giá trị lớn biểu thức x  Đề số 17 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2006 – 2007) Bài (3đ) 1) Giải các phương trình sau: a) 5(x - 1) - = b) x2 - = 2) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng y = 3x - với hai trục toạ độ Bài (2đ) 1) Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) và B(-3; -1) 2) Gọi x1; x2 là hai nghiệm phương trình x2 - 2(m - 1)x - = (m là tham số) Tìm m để x1  x 5 3) Rút gọn biểu thức: x 1 x1   x  (x  0; x  1) P = x  2 x 2 Bài (1đ) Một hình chữ nhật có diện tích 300m2 Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m thì ta hình chữ nhật có diện tích diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu Bài (3đ) Cho điểm A ngoài đường tròn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm) M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M B, M C) Gọi D, E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc M trên các đường thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm MB và DF; K là giao điểm MC và EF 1) Chứng minh: a) MECF là tứ giác nội tiếp b) MF vuông góc với HK 2) Tìm vị trí điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn Bài (1đ) Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy) cho điểm A(-3; 0) và Parabol (P) có phương trình y = x Hãy tìm toạ độ điểm M thuộc (P) độ dài đoạn thẳng AM nhỏ Đề số 18 (Đề thi thành phố Hải Phòng năm học 2003 – 2004) Câu I (2đ) Cho hệ phương trình:  x  ay 1 (1)  ax  y 2 1) Giải hệ (1) a = 2) Với giá trị nào a thì hệ có nghiệm Câu II (2đ) Cho biểu thức:  x 2 x  x1     : x x  x  x  1  x  A=  , với x > và x  1) Rút gọn biểu thức A 2) Chứng minh rằng: < A < Câu III (2đ) Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2mx + m – = (*) 1) Giải phương trình m = 2) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm phân biệt Câu IV (3đ) Từ điểm M ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA , MB và cát tuyến MCD (MC < MD) tới đường tròn Gọi I là trung điểm CD Gọi E, F, K là giao điểm đường thẳng AB với các đường thẳng MO, MD, OI 1) Chứng minh rằng: R2 = OE OM = OI OK 2) Chứng minh điểm M, A, B, O, I cùng thuộc đường tròn   3) Khi cung CAD nhỏ cung CBD Chứng minh : DEC 2.DBC Câu V (1đ) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh rằng:   14 xy  yz  zx x  y  z Đề số 19 (Đề thi tỉnh Bắc Giang năm học 2003 – 2004) Câu I (2đ) 1) Tính :   1 21  x  y 1  2) Giải hệ phương trình: x  y 5 Câu II (2đ) Cho biểu thức:  x x  x x 1  x  x 1    : x x  x x  x  A=  1) Rút gọn A 2) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Câu III (2đ) Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km, cùng lúc đó từ A bè nứa trôi với vận tốc dòng nước km/h Khi đến B ca nô quay lại và gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A là km Tính vận tốc thực ca nô Câu IV (3đ) Cho đường tròn (O; R), hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA; trên tia đối tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M; MD cắt AB K; MB cắt AC H Chứng minh:   1) BMD BAC , từ đó suy tứ giác AMHK là tứ giác nội tiếp 2) HK song song với CD 3) OK OS = R2 1   Câu V (1đ) Cho hai số a, b  thoả mãn a b Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm: (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) =   Đề số 20 (Đề thi tỉnh Thái Bình năm học 2003 – 2004) Câu I (2đ) Cho biểu thức:  x  x  x  4x   x  2003     x  x 1 x2   x  A= 1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa 2) Rút gọn A 3) Với x  Z ? để A  Z ? Câu II (2đ) Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm các giá trị m để đường thẳng (D) : 1) Đi qua điểm A(1; 2003) 2) Song song với đường thẳng x – y + = x 3) Tiếp xúc với parabol y = - Câu III (3đ) 1) Giải bài toán cách lập phương trình : Một hình chữ nhật có đường chéo 13m và chiều dài lớn chiều rộng 7m Tính diện tích hình chữ nhật đó 2002 2003   2002  2003 2003 2002 2) Chứng minh bất đẳng thức: Câu IV (3đ) Cho tam giác ABC vuông A Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy E Nối BE và kéo dài cắt AC F 1) Chứng minh CDEF là tứ giác nội tiếp 2) Kéo dài DE cắt AC K Tia phân giác góc CKD cắt EF và CD M và N Tia phân giác góc CBF cắt DE và CF P và Q Tứ giác MPNQ là hình gì ? Tại sao? 3) Gọi r, r1, r2 theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC Chứng 2 minh rằng: r2 = r1  r2 Đề số 21 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2007 – 2008) Câu I (2đ) Giải các phương trình sau: 1) 2x – = ; 2) x2 – 4x – = Câu II (2đ) 1) Cho phương trình x2 – 2x – = có hai nghiệm là x , x Tính giá trị biểu thức x x S  x1 x 2) Rút gọn biểu thức :       1  a 3  a  với a > và a 9 A=  a Câu III (2đ)  mx  y n   1; 1) Xác định các hệ số m và n, biết hệ phương trình  nx  my 1 có nghiệm là 2) Khoảng cách hai tỉnh A và B là 108 km Hai ô tô cùng khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B trước xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc xe Câu IV (3đ) Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường kính AD Gọi M là trung điểm AC, I là trung điểm OD 1) Chứng minh OM // DC 2) Chứng minh tam giác ICM cân   3) BM cắt AD N Chứng minh IC2 = IA.IN Câu V (1đ) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(-1 ; 2), B(2 ; 3) và C(m ; 0) Tìm m cho chu vi tam giác ABC nhỏ Đề số 22 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2007 – 2008) Câu I (2đ) 2x  0  1) Giải hệ phương trình 4x  2y  x   x   4 2) Giải phương trình Câu II (2đ) 1) Cho hàm số y = f(x) = 2x – x + Tính f(0) ; f( ) ; f( ) 2) Rút gọn biểu thức sau :  x x 1 x      x  x x  x   A=  với x  0, x  Câu III (2đ) 1) Cho phương trình (ẩn x) x2 – (m + 2)x + m2 – = Với giá trị nào m thì phương trình có nghiệm kép? 2) Theo kế hoạch, tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến làm việc, phải điều công nhân làm việc khác nên công nhân còn lại phải làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết suất lao động công nhân là Câu IV (3đ) Cho đường tròn (O ; R) và dây AC cố định không qua tâm B là điểm bất kì trên đường tròn (O ; R) (B không trùng với A và C) Kẻ đường kính BB’ Gọi H là trực tâm tam giác ABC 1) Chứng minh AH // B’C 2) Chứng minh HB’ qua trung điểm AC 3) Khi điểm B chạy trên đường tròn (O ; R) (B không trùng với A và C) Chứng minh điểm H luôn nằm trên đường tròn cố định Câu V (1đ) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng y = (2m + 1)x – 4m – và điểm A(-2 ; 3) Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng trên là lớn    Đề số 23 Câu I (2đ) 2  x  x  y 2     1,  Giải hệ phương trình  x x  y Câu II (2đ) x  x  x , với x > và x  Cho biểu thức P = x  1) Rút gọn biểu thức sau P 2) Tính giá trị biểu thức P x = Câu III (2đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Biết (d) cắt trục hoành điểm có hoành độ và song song với đường thẳng y = -2x + 2003 1) Tìm a và b  x 2) Tìm toạ độ các điểm chung (nếu có) (d) và Parabol y = Câu IV (3đ) Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn Từ A kẻ các tiếp tuyến AP và AQ với đường tròn (O), P và Q là các tiếp điểm Đường thẳng qua O vuông góc với OP và cắt đường thẳng AQ M 1) Chứng minh MO = MA 2) Lấy điểm N nằm trên cung lớn PQ đường tròn (O) Tiếp tuyến N đường tròn (O) cắt các tia AP và AQ B và C a) Chứng minh : AB + AC – BC không phụ thuộc vào vị trí điểm N b) Chứng minh : Nếu tứ giác BCQP nội tiếp đường tròn thì PQ // BC Câu V (1đ) Giải phương trình : x  2x   x   x2  3x   x  Đề số 24 Câu I (3đ) 1) Đơn giản biểu thức : P = 14   14  2) Cho biểu thức:  x 2 x   x 1    x  x  x   x  Q= , với x > ; x  a) Chứng minh Q = x  ; b) Tìm số nguyên x lớn để Q có giá trị nguyên Câu II(3đ)  a  1 x  y 4  ax  y 2a Cho hệ phương trình  (a là tham số) 1) Giải hệ a = 2) Chứng minh với a hệ luôn có nghiệm (x ; y) thoả mãn x + y  Câu III(3đ) Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) A M và Q là hai điểm phân biệt chuyển động trên (d) cho M khác A và Q khác A Các đường thẳng BM và BQ cắt đường tròn (O) điểm thứ hai là N và P Chứng minh : 1) Tích BM.BN không đổi 2) Tứ giác MNPQ nội tiếp 3) BN + BP + BM + BQ > 8R Câu IV (1đ) x  2x  x  2x  Tìm giá trị nhỏ y = Đề số 25 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2008 – 2009) Câu I (3đ) 1) Giải các phương trình sau: a) 5.x  45 0 b) x(x + 2) – = x2 2) Cho hàm số y = f(x) = a) Tính f(-1) M 2;1 b) Điểm có nằm trên đồ thị hàm số không ? Vì ? Câu II (2đ) 1) Rút gọn biểu thức : a 1   4  a        a    a   a 2 P= với a > và a 4 2) Cho phương trình (ẩn x) : x – 2x – 2m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2   x12    x 22  5 thoả mãn : Câu III (1đ) Tổng số công nhân hai đội sản xuất là 125 người Sau điều 13 người từ đội thứ sang đội thứ hai thì số công nhân đội thứ đội thứ hai Tính số công nhân đội lúc đầu Câu IV (3đ) Cho đường tròn (O) Lấy điểm A ngoài đường tròn (O), đường thẳng AO cắt đường tròn (O) hai điểm B, C (AB < AC) Qua A vẽ đường thẳng không qua O cắt đường tròn (O) hai điểm phân biệt D, E (AD < AE) Đường thẳng vuông góc với AB A cắt đường thẳng CE F 1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp 2) Gọi M là giao điểm thứ hai đường thẳng FB với đường tròn (O) Chứng minh DM  AC 3) Chứng minh : CE.CF + AD.AE = AC2 Câu V (1đ) Cho biểu thức: B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x - 2)2 + 2008   Tính giá trị B x = 21 1 Đề số 26 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2008 – 2009) Câu I ( 2,5 điểm ) Giải các phương trình sau : 5 x 1  x a) x  b) x2 -6x+1 = Câu II ( 1,5 điểm ) 2 x  y m   Cho hệ phương trình:  x  y 3m  1) Giải hệ phương trình với m = 2) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn : x2 + y2 =10 Câu III ( 2,0 điểm ) M b  b  b    b b  1  (b 0; b 9) b   1) Rút gọn biểu thức : 2) Tích số tự nhiên liên tiếp lớn tổng chúng là 55 Tìm số đó Câu IV ( 3,0 điểm ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường tròn lấy điểm C ( C không trùng với A,B và CA > CB ) Các tiếp tuyến đường tròn (O) A , C cắt điểm D, kẻ CH vuông góc với AB ( H thuộc AB ), DO cắt AC E 1) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp   2) Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB F Chứng minh : BCF  CFB 90 3) BD cắt CH M Chứng minh EM // AB Câu ( 1,0 điểm ) Cho x, y thỏa mãn : x x  2008  y   y  2008 2008 Tính x + y Đề số 27 Câu I (2đ) 1) Tính P =    2) Chứng minh :  a   ab a b  b a a  b a b ab , với a > 0; b > Câu II (3đ) x2 Cho parabol (P) : y = và đường thẳng (D) : y = mx – m + (m là tham số) 1) Tìm m để đường thẳng (D) và parabol (P) cùng qua điểm có hoành độ x = 2) Chứng minh với m (D) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt x ;y  x ;y  3) Giả sử 1 và 2 là toạ độ các giao điểm (D) và (P) y  y  2   x1  x  Chứng minh : Câu III (4đ) Cho BC là dây cung cố định đường tròn (O) bán kính R (0 < BC < 2R) A là điểm di động trên cung lớn BC cho  ABC nhọn Các đường cao AD, BE, CF  ABC cắt H 1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp 2) Gọi A’ là trung điểm BC Chứng minh AH = 2A’O 3) Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) A Đặt S là diện tích  ABC và 2p là chu vi  DEF Chứng minh : a) d // EF ; b) S = pR Câu IV(1đ) Giải phương trình : b   9x  16 2 2x    x Đề số 28 Câu I (2đ)   x 2 x 1    :      x x    x  x    Cho A = với x > 0, x  và x  1) Rút gọn A 2) Tìm x để A = Câu II (3,5đ) Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (D) : y = 2(a – 1)x + – 2a (a là tham số) 1) Với a = tìm toạ độ giao điểm đường thẳng (D) và parabol (P) 2) Chứng minh với a (D) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt x  x 22 6 3) Giả sử x1 và x là hoành độ các giao điểm (D) và (P) Tìm a để Câu III (3,5đ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Điểm I nằm A và O (I khác A và khác O) Gọi C là điểm tuỳ ý trên cung lớn MN (C khác M , khác N và khác B) Nối AC cắt MN E Chứng minh : 1) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp ; 2) AM2 = AE.AC ; 3) AE.AC – AI.IB = AI2 Câu IV(1đ) Cho a  ; b  ; c  và a2 + b2 + c2 = 90 Chứng minh : a = b + c  16 Đề số 29 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2009 – 2010) Câu I (2 điểm): 1) Giải phương trình : 2(x - 1) = - x y x   2x  3y 9 2) Giải hệ phương trình :  Câu II (2 điểm): 1 f  f  x 1) Cho hàm số y = f(x) = Tính f (0) ; f(2) ;   ; 2 2) Cho phương trình (ẩn x): x - 2(m + 1)x + m - = Tìm giá trị m để phương trình có hai 2 nghiệm x , x thỏa mãn x1  x x1x     Câu III (2 điểm): 1) Rút gọn biểu thức :  x1    : x   x  x  với x > và x  A=  x x 2) Hai ô tô cùng xuất phát từ A đến B, ô tô thứ cạy nhanh ô tô thứ hai 10km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe ô tô, biết quãng đường AB dài là 300km Câu IV (3 điểm): Cho đường tròn (O), dây AB không qua tâm Trên cung nhỏ AB lấy điểm M (M không trùng với A, B) Kẻ dây MN vuông góc với AB H Kẻ MK vuông góc với AN (K thuộc AN) 1) Chứng minh bốn điểm A, M, H, K cùng thuộc đường tròn 2) Chứng minh MN là phân giác góc BMK 3) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB Gọi E là giao điểm HK và BN Xác định vị trí điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn Câu V (1 điểm): x   y3  y   x Cho x, y thỏa mãn: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : B = x2 + 2xy - 2y2 + 2y + 10 Đề số 30 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2009 – 2010) Câu (2 điểm): x x 1 1  a) Giải phương trình : x 2y  x  y 5 b) Giải hệ phương trình :  Câu (2 điểm): a) Rút gọn biểu thức :  x  x x x  với x  và x  A= b) Một hình chữ nhật có chiều dài lớn chiều rộng cm và diện tích nó là 15cm2 Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật đó Câu (2 điểm): Cho phương trình x2 - 2x + (m - 3) = (ẩn x) a) Giải phương trình m = b) Tính giá trị m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 và thỏa mãn điều kiện : x1  2x  x1x  12 Câu (3 điểm): Cho tam giác MNP cân M có cạnh đáy nhỏ cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O ; R) Tiếp tuyến N và P đường tròn lầ lượt cắt tia MP và tia MN E và D a) Chứng minh: NE2 = EP.EM b) Chứng minh: Tứ giác DEPN là tứ giác nội tiếp c) Qua điểm P kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt đường tròn (O) điểm K (K không trùng với P) Chứng minh : MN2 + NK2 = 4R2 Câu (1 điểm): Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức :  8x A = x 1 Đề số 31 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2010 – 2011) Cõu (3 điểm) 1) Giải các phương trỡnh sau: x  0 a) ; b) x  x  0 2) Rỳt gọn biểu thức:  N    a a  a a     a 1   a  1 với a 0 và a 1 Cõu (2 điểm) 1) Cho hàm số bậc y ax  Xác định hệ số a, biết đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ   x  y 3m  x  y  2) Tỡm cỏc số nguyờn m để hệ phương trỡnh  cú nghiệm ( x; y ) thỏa món điều kiện x  xy 30 Cõu (1 điểm) Theo kế hoạch, xưởng may phải may xong 280 quần áo thời gian quy định Đến thực hiện, ngày xưởng đó may nhiều quần áo so với số quần áo phải may ngày theo kế hoạch Vỡ thế, xưởng đó hoàn thành kế hoạch trước ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày xưởng phải may xong bao nhiêu quần áo? Cõu (3 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trũn (O) Cỏc đường cao BE và CF tam giác ABC cắt H và cắt đường trũn (O) E’ và F’ (E’ khác B và F’ khác C) 1) Chứng minh tứ giỏc BCEF là tứ giỏc nội tiếp 2) Chứng minh EF song song với E’F’ 3) Kẻ OI vuụng gúc với BC ( I  BC ) Đường thẳng vuông góc với HI H cắt đường thẳng AB M và cắt đường thẳng AC N Chứng minh tam giác IMN cõn Cõu (1 điểm) a 2 Cho a, b, c, d là các số dương thỏa món a  b 1 và c a d  2 Chứng minh c b  b d  cd Đề số 32 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2010 – 2011) Cõu (3 điểm) a) Vẽ đồ thị hàm số y 2 x   x 2 y   y 2 x  b) Giải hệ phương trỡnh  c) Rỳt gọn biểu thức: a 25a  4a a  2a P= với a  Cõu (2 điểm) Cho phương trỡnh x  x  m 0 (1) (x là ẩn) a) Giải phương trỡnh (1) m 1 b) Tỡm cỏc giỏ trị m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt x1 , x2 thỏa món 2 x1   x2  3 Cõu (1 điểm) Khoảng cỏch hai bến sông A và B là 48 km Một canô từ bến A đến bến B, quay lại bến A Thời gian và là (không tính thời gian nghỉ) Tính vận tốc canô nước yên lặng, biết vận tốc dũng nước là km/h Cõu (3 điểm) Cho hỡnh vuụng ABCD có độ dài cạnh a, M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M khác B) và N  là điểm thay đổi trên cạnh CD (N khác C) cho MAN 45 Đường chéo BD cắt AM và AN P và Q a) Chứng minh tứ giỏc ABMQ là tứ giỏc nội tiếp b) Gọi H là giao điểm MQ và NP Chứng minh AH vuông góc với MN c) Xác định vị trí điểm M và điểm N để tam giác AMN có diện tích lớn Cõu (1 điểm) 3 Chứng minh a  b ab (a  b) với a, b 0 Áp dụng kết trờn, chứng minh bất đẳng thức: 1   1 3 3 a  b 1 b  c 1 c  a 1 với a, b, c là các số dương thỏa món abc 1 Đề số 33 (Đề thi tỉnh Quảng Ninh năm học 2009 – 2010) Bài (2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau : a)  27  300     : x   x ( x  1)  x x b) Bài (1,5 điểm) a) Giải phương trình: x2 + 3x – = b) Giải hệ phương trình: 3x – 2y = 2x + y = Bài (1,5 điểm) Cho hàm số : y = (2m – 1)x + m + với m là tham số và m  Hãy xác định m trường hơp sau : a) Đồ thị hàm số qua điểm M ( -1;1 ) b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành A , B cho tam giác OAB cân Bài (2,0 điểm): Giải bài toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một ca nô chuyển động xuôi dòng từ bến A đến bến B sau đó chuyển động ngược dòng từ B A hết tổng thời gian là Biết quãng đường sông từ A đến B dài 60 Km và vận tốc dòng nước là Km/h Tính vận tốc thực ca nô (Vận tốc ca nô nước đứng yên) Bài (3,0 điểm) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB đến đường tròn (O;R) (A; B là hai tiếp điểm) a) Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp b) Tính diện tích tam giác AMB cho OM = 5cm và R = cm c) Kẻ tia Mx nằm góc AMO cắt đường tròn (O;R) hai điểm C và D (C nằm M và D) Gọi E là giao điểm AB và OM Chứng minh EA là tia phân giác góc CED