a Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BCD là tam giác vuông cân... UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO.[r]
(1)UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (1,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a) (x – 3y)2 – 3(x – 3y) b) x2 – 12x + 35 c) x3 + 2x2 + 2x + Bài 2: (1,5điểm) Thực phép tính a) (2n3 – 5n2 +1) : (2n – 1) x2 10 x : x x2 b) x x 3x x c) (1- 3x)2 + 2(3x – 1)(3x +4) + (3x +4)2 Bài 3:( 2,0 điểm) a) Cho a là số tự nhiên và a > Chứng minh rằng: A = (a2 + a + 1)(a2 + a + 2) – 12 là hợp số b) Tính B = c) Tìm dư chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – Bài 4: (2,0 điểm) 1 22 1 1 28 1 21006 1 1 a b c a) Cho abc = Rút gọn biểu thức: M = ab+a+1 bc b ac c a 2013 b 2013 c 2013 2013 b) Cho a +b +c 0 và a3 + b3 + c3 = 3abc Tính N = a b c Bài 5: (3,0 điểm) Cho hình thang ABCD có A D = 900, CD = 2AD = 2AB Gọi H là hình chiếu D lên AC; M, N, P là trung điểm CD, HC và HD a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BCD là tam giác vuông cân b) Chứng minh tứ giác DMPQ là hình bình hành c) Chứng minh AQ vuông góc với DP d) Chứng minh S ABCD 6S ABC H ẾT - (2) UBND HUYỆN KIM SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN Đáp án a) = (x – 3y)(x – 3y – 3) b) = x2 – 5x – 7x + 35 = x(x – 5) – 7(x – 5) Bài = (x – 5)(x – 7) (1,5 đ) c) = x3 + + 2x2 +2x = (x + 1)(x2 – x + 1) + 2(x +1) = (x + 1)(x2 – x + 3) a) Thực phép chi theo cột dọc đúng Kết (2n3 – 5n2 + 1) : (2n – 1) = n2 – 2n -1 x2 10 x : x x x x x x2 Bài x x x ( x 2)( x 2) 10 x (1,5 đ) : ( x 2)( x 2) x2 6 x2 1 x 2 x b) ( x 2)( x 2) Bài (2,0 đ) c) = (1- 3x + 3x + 4)2 = 52 = 25 a) Đặt x = a2 +a +1 a2 +a +2 = x +1 A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12 = (x +4)(x – 3) Thay x = a2 +a +1 vào A ta có: A = (a2 +a +5) (a2 +a – 2) Vì a N và a > nên a là số tự nhiên Ngoài ước là 1 và chính A, nó còn có thêm ước là (a2 +a +5) và (a2 +a – 2) Do đó A là hợp số b) B 1 1 22 1 24 1 28 1 21006 1 Điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,1 0,2 0,2 0,5 0,25 0,25 0,75 22 1 22 1 24 1 28 1 21006 1 24 1 24 1 28 1 21006 1 21006 22012 c) Vì đa thức x2 – có bậc là 2, nên đa thức dư có dạng r(x) = ax + b Gọi thương phép chia trên là q(x), ta có: x + x3 + x9 + x27 = (x – 1)(x + 1).q(x) + ax + b (1) Đẳng thức (1) đúng với x, với x = ta có : a + b = (2) với x = ta có : - a + b = -4 (3) Từ (2) và (3) b = và a = - Vậy dư phép chia x + x3 + x9 + x27 cho x2 – là: – 4x c b Bài (2,0 đ) a) Thay abc = vào ac c , nhân tử và mẫu bc b với a 0,25 0,25 0,25 (3) ta có: M 0,5 a ab c ab+a+1 a bc b 1 ac c abc a ab ab+a+1 1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1 0,5 B) a3 + b3 + c3 = 3abc a b3 c 3abc 0 a b3 3ab(a b) c 3ab(a b) 3abc 0 a b c 3ab(a b c ) 0 (a b c)(a 2ab b ac bc c ) 3ab(a b c) 0 0,25 (a b c)(a b c ab ac bc ) 0 a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc = ( vì a +b +c 0) 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2ac –2bc = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = Vì (a – b)2 a, b; (b – c)2 b,c; (c – a)2 a, c Nên (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 a, b,c ; Do đó (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = a, b,c Khi a – b = và b – c = và c – a =0 a=b=c Mà a +b +c a = b = c (*) N Bài (3,0đ) Thay (*) vào N ta có: Hình vẽ 0,25 a 2013 a 2013 a 2013 a a a 2013 3a 2013 3a 2013 3a 2013 2013 27 a a) +/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có cạnh lại có A =900 nên ABMD là hình vuông +/ BMD có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh DC và BM = DC BMD vuông B 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 (4) lại có BDM = 450 BMD vuông cân B b) tứ giác DMPQ có PQ // DM và PQ = DM tứ giác DMPQ là hình bình hành c) Chứng minh Q là trực tâm tam giác ADP AQ DP Chứng minh ABC = AMC (c.c.c) S ABC S AMC 1 SAMC AD.MC AD 2 mà S ABCD S ABMD S BCM AD AD AD 2 Lại có 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 S ABCD S ABC AD 2 6 S ABCD 6S ABC AD Học sinh có cách giải khác đúng cho đủ điểm 0,25 (5)